Кут нахилу щодо графіка. Стосовно графіка функції в точці

Темі "Кутовий коефіцієнт дотичної як тангенс кута нахилу" в атестаційному іспиті відводиться відразу кілька завдань. Залежно від їхньої умови, від випускника може бути потрібна як повна відповідь, так і коротка. При підготовці до здачі ЄДІз математики учневі обов'язково варто повторити завдання, у яких потрібно обчислити кутовий коефіцієнт дотичної.

Зробити це вам допоможе освітній портал"Школкове". Наші фахівці підготували та представили теоретичний та практичний матеріал максимально доступно. Ознайомившись із ним, випускники з будь-яким рівнем підготовки зможуть успішно вирішувати завдання, пов'язані з похідними, в яких потрібно знайти тангенс кута нахилу дотичної.

Основні моменти

Для знаходження правильного та раціонального вирішення подібних завдань у ЄДІ необхідно згадати базове визначення: похідна являє собою швидкість зміни функції; вона дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної до графіка функції у певній точці. Не менш важливо виконати креслення. Він дозволить знайти правильне рішення задач ЄДІ на похідну, в яких потрібно обчислити тангенс кута нахилу дотичної. Для наочності найкраще виконати побудову графіка на площині ОХY.

Якщо ви вже ознайомилися з базовим матеріалом на тему похідної та готові приступити до вирішення завдань на обчислення тангенсу кута нахилу дотичної, подібних завданням ЄДІзробити це можна в режимі онлайн. Для кожного завдання, наприклад задач на тему «Зв'язок похідної зі швидкістю і прискоренням тіла», ми прописали правильну відповідь та алгоритм рішення. У цьому учні можуть попрактикуватися у виконанні завдань різного рівня складності. У разі потреби вправу можна зберегти у розділі «Вибране», щоб потім обговорити рішення з викладачем.

На сучасному етапі розвитку освіти як одне з основних його завдань виступає формування творчо мислячої особистості. Здатність до творчості в учнів може бути розвинена лише за умови систематичного залучення їх до основ дослідницької діяльності. Фундаментом для застосування учнями своїх творчих сил, здібностей та обдарувань є сформовані повноцінні знання та вміння. У зв'язку з цим проблема формування системи базових знань та умінь з кожної теми шкільного курсу математики має важливе значення. При цьому повноцінні вміння повинні бути дидактичною метою не окремих завдань, а ретельно продуманої системи. У найширшому розумінні під системою розуміється сукупність взаємозалежних елементів, що володіє цілісністю і стійкою структурою.

Розглянемо методику навчання учнів складання рівняння щодо графіку функції. По суті, всі завдання на відшукання рівняння дотичної зводяться до необхідності відбору з множини (пучка, сімейства) прямих тих з них, які задовольняють певну вимогу - є дотичним до графіка деякої функції. При цьому безліч прямих, з якого здійснюється відбір, може бути задано двома способами:

а) точкою, що лежить на площині xOy (центральний пучок прямих);
б) кутовим коефіцієнтом (паралельний пучок прямих).

У зв'язку з цим щодо теми «Доторна до графіку функції» з метою вичленування елементів системи нами було виділено два типи завдань:

1) завдання на дотичну, задану точкою, якою вона проходить;
2) завдання на дотичну, задану її кутовим коефіцієнтом.

Навчання вирішення завдань на дотичну здійснювалося за допомогою алгоритму, запропонованого А.Г. Мордковичем. Його принципова відмінністьвід вже відомих полягає в тому, що абсциса точки дотику позначається буквою a (замість x0), у зв'язку з чим рівняння дотичної набуває вигляду

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(порівняйте з y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Цей методичний прийом, на наш погляд, дозволяє учням швидше та легше усвідомити, де в загальному рівнянні дотичної записані координати поточної точки, а де – точки торкання.

Алгоритм складання рівняння щодо графіку функції y = f(x)

1. Позначити буквою a абсцис точки торкання.
2. Знайти f(a).
3. Знайти f"(x) і f"(a).
4. Підставити знайдені числа a, f(a), f "(a) в загальне рівняннядотичної y = f(a) = f "(a)(x - a).

Цей алгоритм може бути складений на основі самостійного виділення учнями операцій та послідовності їх виконання.

Практика показала, що послідовне рішеннякожним із ключових завдань за допомогою алгоритму дозволяє формувати вміння написання рівняння щодо графіку функції поетапно, а кроки алгоритму служать опорними пунктами дій. Цей підхід відповідає теорії поетапного формування розумових дій, розробленої П.Я. Гальперіним та Н.Ф. Тализіна.

У першому типі завдань було виділено дві ключові задачі:

• дотична проходить через точку, що лежить на кривій (завдання 1);
• дотична проходить через точку, що не лежить на кривій (завдання 2).

Завдання 1. Складіть рівняння щодо графіку функції у точці M(3; - 2).

Рішення. Точка M(3; – 2) є точкою торкання, оскільки

1. a = 3 – абсцис точки дотику.
2. f(3) = - 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f "(3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 - рівняння дотичної.

Завдання 2. Напишіть рівняння всіх, що стосуються графіка функції y = – x 2 – 4x + 2, що проходять через точку M(– 3; 6).

Рішення. Точка M(– 3; 6) не є точкою дотику, оскільки f(– 3) 6 (рис. 2).

2. f(a) = - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f "(a) = - 2a - 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – рівняння дотичної.

Відносна проходить через точку M(– 3; 6), отже, її координати задовольняють рівняння дотичної.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Якщо a = - 4, то рівняння дотичної має вигляд y = 4x + 18.

Якщо a = - 2, то рівняння дотичної має вигляд y = 6.

У другому типі ключовими завданнями будуть такі:

• дотична паралельна до деякої прямої (завдання 3);
• дотична проходить під деяким кутом до цієї прямої (завдання 4).

Завдання 3. Напишіть рівняння всіх, що стосуються графіка функції y = x 3 – 3x 2 + 3, паралельних прямій y = 9x + 1.

1. a – абсцису точки торкання.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f "(a) = 3a 2 - 6a.

Але, з іншого боку, f "(a) = 9 (умова паралельності). Отже, треба розв'язати рівняння 3a 2 – 6a = 9. Його коріння a = – 1, a = 3 (рис. 3).

4. 1) a = - 1;
2) f(-1) = - 1;
3) f "(-1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – рівняння дотичної;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 – рівняння дотичної.

Завдання 4. Напишіть рівняння щодо функції y = 0,5x 2 – 3x + 1, що проходить під кутом 45° до прямої y = 0 (рис. 4).

Рішення. З умови f "(a) = tg 45 ° знайдемо a: a - 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – абсцис точки дотику.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) = 4 - 3 = 1.
4. y = - 3 + 1 (x - 4).

y = x – 7 – рівняння дотичної.

Нескладно показати, що розв'язання будь-якого іншого завдання зводиться до вирішення однієї або кількох ключових задач. Розглянемо як приклад такі дві задачі.

1. Напишіть рівняння дотичних до параболи y = 2x 2 – 5x – 2, якщо дотичні перетинаються під прямим кутом і одна з них стосується параболи в точці з абсцисою 3 (рис. 5).

Рішення. Оскільки дана абсцис точки торкання, то перша частина рішення зводиться до ключового завдання 1.

1. a = 3 – абсцис точки дотику однієї зі сторін прямого кута.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x - 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – рівняння першої дотичної.

Нехай a – кут нахилу першої дотичної. Оскільки дотичні перпендикулярні, то – кут нахилу другої дотичної. З рівняння y = 7x – 20 першої дотичної маємо tg a = 7. Знайдемо

Це означає, що кутовий коефіцієнт другої дотичної дорівнює .

Подальше рішення зводиться до ключового завдання 3.

Нехай B(c; f(c)) є точка торкання другої прямої, тоді

1. – абсцису другої точки торкання.
2.
3.
4.
- Рівняння другої дотичної.

Примітка. Кутовий коефіцієнт дотичної може бути знайдений простіше, якщо учням відоме співвідношення коефіцієнтів перпендикулярних до прямих k 1 k 2 = – 1.

2. Напишіть рівняння всіх загальних, що стосуються графіків функцій

Рішення. Завдання зводиться до пошуку абсцис точок торкання загальних дотичних, тобто до вирішення ключового завдання 1 загальному вигляді, Складання системи рівнянь і подальшого її вирішення (рис. 6).

1. Нехай a – абсцис точки дотику, що лежить на графіку функції y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f"(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Нехай c – абсцису точки торкання, що лежить на графіку функції
2.
3. f"(c) = c.
4.

Оскільки дотичні загальні, то

Отже, y = x + 1 та y = - 3x - 3 - загальні дотичні.

Основна мета розглянутих завдань – підготувати учнів до самостійного розпізнавання типу ключового завдання під час вирішення складніших завдань, потребують певних дослідницьких умінь (уміння аналізувати, порівнювати, узагальнювати, висувати гіпотезу тощо. буд.). До таких завдань можна віднести будь-яку задачу, в яку ключове завдання входить як складова. Розглянемо як приклад завдання (зворотне завдання 1) на знаходження функції сімейства її дотичних.

3. При яких b і c прямі y = x та y = – 2x є дотичні до графіка функції y = x 2 + bx + c?

Нехай t – абсцису точки дотику прямої y = x з параболою y = x 2 + bx + c; p – абсцис точки торкання прямої y = – 2x з параболою y = x 2 + bx + c. Тоді рівняння дотичної y = x набуде вигляду y = (2t + b)x + c – t 2 , а рівняння дотичної y = – 2x набуде вигляду y = (2p + b)x + c – p 2 .

Складемо і розв'яжемо систему рівнянь

Відповідь:

приклад 1.Дана функція f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Напишемо рівняння щодо графіку функції f(x) у точці графіка з абсцисою x 0 = 1.

Рішення.Похідна функції f(x) існує для будь-якого x R . Знайдемо її:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

Тоді f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Рівняння дотичної має вигляд:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Відповідь. y = 10x – 8.

приклад 2.Дана функція f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Напишемо рівняння щодо графіку функції f(x), паралельної прямої y = 2x – 11.

Рішення.Похідна функції f(x) існує для будь-якого x R . Знайдемо її:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5) '= 3 x 2 – 6x + 2.

Так як до графіка функції f(x) у точці з абсцисою x 0 паралельна прямий y = 2x- 11, то її кутовий коефіцієнт дорівнює 2, тобто ( x 0) = 2. Знайдемо цю абсцису з умови, що 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Ця рівність справедлива лише за x 0 = 0 і при x 0 = 2. Так як у тому та в іншому випадку f(x 0) = 5, то пряма y = 2x + bстосується графіка функції або у точці (0; 5), або у точці (2; 5).

У першому випадку вірна числова рівність 5 = ​​2×0 + b, звідки b= 5, а у другому випадку вірна числова рівність 5 = ​​2×2 + b, звідки b = 1.

Отже, існує дві дотичні y = 2x+ 5 та y = 2x+ 1 до графіку функції f(x), паралельні прямий y = 2x – 11.

Відповідь. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

приклад 3.Дана функція f(x) = x 2 – 6x+ 7. Напишемо рівняння щодо графіку функції f(x), що проходить через точку A (2; –5).

Рішення.Так як f(2) -5, то точка Aне належить графіку функції f(x). Нехай x 0 - абсцис точки торкання.

Похідна функції f(x) існує для будь-якого x R . Знайдемо її:

= (x 2 – 6x+ 1) '= 2 x – 6.

Тоді f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. Рівняння дотичної має вигляд:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Бо точка Aналежить дотичній, то справедливо числова рівність

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

звідки x 0 = 0 або x 0 = 4. Це означає, що через точку Aможна провести дві дотичні до графіку функції f(x).

Якщо x 0 = 0, то рівняння дотичної має вигляд y = –6x+ 7. Якщо x 0 = 4, то рівняння дотичної має вигляд y = 2x – 9.

Відповідь. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

приклад 4.Дано функції f(x) = x 2 – 2x+ 2 та g(x) = –x 2 – 3. Напишемо рівняння загальної щодо графіків цих функції.

Рішення.Нехай x 1 - абсциса точки торкання прямої з графіком функції f(x), а x 2 - абсцис точки торкання тієї ж прямої з графіком функції g(x).

Похідна функції f(x) існує для будь-якого x R . Знайдемо її:

= (x 2 – 2x+ 2) '= 2 x – 2.

Тоді f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 – 2. Рівняння дотичної має вигляд:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Знайдемо похідну функції g(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Тип завдання: 7

Умова

Пряма y=3x+2 є дотичною до графіка функції y=-12x^2+bx-10. Знайдіть b , враховуючи, що абсцис точки дотику менший за нуль.

Рішення

Нехай x_0 - абсцис точки на графіку функції y = -12x ^ 2 + bx-10, через яку проходить дотична до цього графіка.

Значення похідної у точці x_0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, тобто y"(x_0)=-24x_0+b=3. З іншого боку, точка дотику належить одночасно і графіку функції і дотичної, тобто -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Отримуємо систему рівнянь \begin(cases) -24x_0+b=3,\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cases)

Вирішуючи цю систему, отримаємо x_0^2=1, отже або x_0=-1, або x_0=1. Згідно з умовою абсцис точки торкання менше нуля, тому x_0=-1, тоді b=3+24x_0=-21.

Відповідь

Тип завдання: 7
Тема: Геометричний зміст похідної. Стосовна графіку функції

Умова

Пряма y=-3x+4 паралельна до графіки функції y=-x^2+5x-7. Знайдіть абсцис точки торкання.

Рішення

Кутовий коефіцієнт прямий до графіка функції y=-x^2+5x-7 у довільній точці x_0 дорівнює y"(x_0). Але y"=-2x+5, отже, y"(x_0)=-2x_0+5. Кутовий коефіцієнт прямої y=-3x+4, вказаної в умові, дорівнює -3.Паралельні прямі мають однакові кутові коефіцієнти, тому знаходимо таке значення x_0, що =-2x_0 +5=-3.

Отримуємо: x_0 = 4.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Геометричний зміст похідної. Стосовна графіку функції

Умова

Рішення

На рисунку визначаємо, що дотична проходить через точки A(-6; 2) і B(-1; 1). Позначимо через C(-6; 1) точку перетину прямих x=-6 і y=1, а через кут кут ABC (на малюнку видно, що він гострий). Тоді пряма AB утворює з позитивним напрямом осі Ox кут \pi -\alpha, який тупий.

Як відомо, tg(\pi -\alpha) і буде значенням похідної функції f(x) у точці x_0. Зауважимо, що tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.Звідси за формулами наведення отримуємо: tg(\pi -\alpha) = -tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Геометричний зміст похідної. Стосовна графіку функції

Умова

Пряма y=-2x-4 є дотичною до графіка функції y=16x^2+bx+12. Знайдіть b , враховуючи, що абсцис точки дотику більше нуля.

Рішення

Нехай x_0 - абсциса точки на графіку функції y=16x^2+bx+12, через яку

проходить дотична до цього графіка.

Значення похідної у точці x_0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, тобто y"(x_0)=32x_0+b=-2. З іншого боку, точка дотику належить одночасно і графіку функції і дотичної, тобто 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Отримуємо систему рівнянь \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cases)

Вирішуючи систему, отримаємо x_0^2=1, отже або x_0=-1, або x_0=1. Відповідно до умови абсцису точки дотику більше нуля, тому x_0=1, тоді b=-2-32x_0=-34.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Геометричний зміст похідної. Стосовна графіку функції

Умова

На малюнку зображено графік функції y=f(x), визначеної на інтервалі (-2; 8). Визначте кількість точок, у яких дотична до графіка функції паралельна до прямої y=6.

Рішення

Пряма y=6 паралельна осі Ox. Тому знаходимо такі точки, у яких дотична до графіка функції паралельна осі Ox. На цьому графіку такими точками є точки екстремуму (точки максимуму чи мінімуму). Як бачимо, точок екстремуму 4 .

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Геометричний зміст похідної. Стосовна графіку функції

Умова

Пряма y=4x-6 паралельна до графіки функції y=x^2-4x+9. Знайдіть абсцис точки торкання.

Рішення

Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції y=x^2-4x+9 у довільній точці x_0 дорівнює y"(x_0). Але y"=2x-4, отже, y"(x_0)=2x_0-4. Кутовий коефіцієнт дотичної y =4x-7, зазначеної в умові, дорівнює 4. Паралельні прямі мають однакові кутові коефіцієнти, тому знаходимо таке значення x_0, що 2x_0-4 = 4. Отримуємо: x_0=4.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Тип завдання: 7
Тема: Геометричний зміст похідної. Стосовна графіку функції

Умова

На малюнку зображено графік функції y=f(x) і дотична щодо нього у точці з абсцисою x_0. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x_0.

Рішення

На рисунку визначаємо, що дотична проходить через точки A(1; 1) і B(5; 4). Позначимо через C(5; 1) точку перетину прямих x=5 і y=1, а через кут кут BAC (на малюнку видно, що він гострий). Тоді пряма AB утворює з позитивним напрямом осі Ox кут α.