Властивості кривих другого порядку

Еліпс, гіпербола, парабола

Якщо у рівнянні F( x, y) = 0 лінії на площині функція F( x, y) є багаточлен деякою мірою від двох змінних, то така лінія називається алгебраїчної, ступінь багаточлена називається порядкомкривою. Наприклад, пряма - лінія алгебри першого порядку. Розглянемо лінії другого порядку.

До кривих другого порядку відносяться еліпс, гіпербола та парабола. Ці криві відіграють велику роль у прикладних питаннях.

Визначення 1.

Еліпсомназивається геометричне місце точок площини, сума відстаней яких до двох фіксованих точок, що належать цій же площині і званих фокусами, є постійна величина, більша, ніж відстань між фокусами.

Знайдемо рівнянняеліпса. Для цього візьмемо систему координат так, щоб вісь ОХ проходила через фокуси, а вісь OY ділила відстань між фокусами навпіл. Нехай відстань між фокусами F 1 і F 2 дорівнює 2 за сума відстаней від поточної точки М( х, у) еліпса до фокусів дорівнює 2 а: r 1 + r 2 = 2a, 2a> 2з.

Тоді фокуси мають координати F 1 ( з, 0) та F 2 (– з, 0), відстані від т. м ( х, у) до фокусів рівні відповідно

r 1 = , r 2 = .

З визначення одержуємо рівняння еліпса

+ = 2а

Спрощуючи це рівняння, отримаємо

Вважаючи тут а 2 – з 2 = b 2 , отримаємо рівняння

, (1)

яке називається канонічним рівнянням еліпса.

Досліджуємо форму еліпса, використовуючи це рівняння.

1) Неважко бачити, що якщо точка ( х, у) належить еліпсу, то йому належать і точки ( -х, у), (х, –у) , (–х, –у), тобто. еліпс симетричний щодо осей координат і щодо початку координат.

2) Запишемо рівняння (1) у вигляді звідки випливає, що хÎ[– a; a], yÎ [– b, b].

3) В силу симетрії достатньо вивчити характер лінії при хÎ.

Коли хзростає від 0 до а, убуває від bдо 0, т.к. у¢ = < 0 для всех хÎ і відобразимо його симетрично щодо осей координат та початку координат.

Точки А, В, С, D перетину еліпса з осями координат називаються вершинами еліпса, точка О називається центромеліпса, відрізок АТ = ОС = аназивається великийпіввіссю, а ОВ = OD = b – малоїпіввіссю еліпса, відстані r 1 і r 2 від точки еліпса до фокусів називаються фокальними радіусами.

Якби ми розташували фокуси еліпса на осі ОУ, рівняння еліпса мало б такий самий вигляд, як і рівняння (1), тільки великою піввіссю була б b. Надалі домовимося, що велика піввісь відповідає осі, на якій лежать фокуси еліпса і, навпаки, з рівняння еліпса за більшим параметром аабо bможна визначити, який осі координат лежать фокуси еліпса.

На практиці за заданим канонічним рівнянням побудувати еліпс можна так: від початку координат вліво та вправо по осі ОХ відкласти відрізки завдовжки а, а по осі ОУ вгору та вниз – відрізки довжини b. Через отримані точки-вершини провести гладку замкнуту овальну лінію.

Якщо а= b= , то з= 0, фокуси еліпса зливаються в одну точку - початок координат - і еліпс вироджується в коло

х 2 +у 2 = а 2

з центром на початку координат та радіусом а.

Визначення 2.

Гіперболоюназивається геометричне місце точок площини, модуль різниці відстаней яких до двох заданих точок тієї ж площини, званих фокусами, є постійна величина, менша, ніж відстань між фокусами.

Якщо розташувати фокуси гіперболи на осі ОХ так, щоб початок координат виявилося в середині між ними, позначити відстань між фокусами 2 з, модуль різниці відстаней – 2 а, 2a> 2з, то символьне рівняння гіперболи матиме вигляд | r 1 – r 2 | = 2a, а координатній формі воно запишеться так:

½ – ½= 2 а.

Перетворивши це рівняння так само, як у разі рівняння еліпса, і позначивши b 2 = з 2 –а 2 , отримаємо канонічне рівняннягіперболи

, (2).

Досліджуючи форму гіперболу, знаходимо, що

1) крива симетрична щодо осей і початку координат, тому дослідження форми достатньо провести для частини кривої, розташованої в першій чверті і є графіком функції , хÎ [ а, +¥), ;

2) точки перетину з віссю ОХ (– а, 0) та ( а, 0) – ці точки називаються вершинами гіперболи; з віссю ОУ крива не перетинається;

3) прямі у= є асимптотамигіперболи. При зміні хвід адо нескінченності функція збільшується від 0 до нескінченності, т.к. у¢ = > 0 для всіх хÎ[ a, + ¥). Крім того, ця частина кривої опукла: у¢¢= >0 при хÎ[ a, + ¥). Зобразивши частину гіперболи у першій чверті відповідно до цих досліджень, потім відобразимо цю лінію симетрично щодо осей і початку координат на інші чверті, отримаємо шукану гіперболу.

На практиці за заданим канонічним рівнянням гіперболу будують так.

1. Спочатку будують осьовий прямокутник: ліворуч і праворуч від початку координат на відстані апроводять прямі, паралельні осі ОУ, а зверху та знизу на відстані bвід початку координат – прямі, паралельні осі ОХ.

2. Прямі, у яких лежать діагоналі отриманого прямокутника, є асимптоти гіперболи.

3. Крапки перетину сторін прямокутника з віссю ОХ – вершини гіперболи. Від вершин до асимптотів у лівій та правій півплощині проводять гілки гіперболи.

Точки А(– а, 0) і С( а, 0) називаються вершинамигіперболи, точка О (початок координат) - центромгіперболи. Відрізок ОА = ОС = аназивається справжньою піввіссюгіперболи, відрізок ОВ = OD = b – уявною піввіссю. Осі координат при цьому також називають відповідно дійсною віссю (її гіпербола перетинає у двох точках) і уявною віссю (її гіпербола не перетинає). відстані r 1 і r 2 від точки гіпербол до фокусів називаються фокальними радіусами.

Якщо фокуси гіперболи розташувати на осі ОУ, то її рівняння матиме вигляд

, або , (3).

де а-Уявна піввісь, b– дійсна. Гіперболи (2) та (3) називаються пов'язаними. Вони мають одні й самі асимптоти.

Таким чином, за канонічним рівнянням гіперболи легко визначити, яка з осей є дійсною (вісь, квадрат змінної якої входить у рівняння зі знаком плюс), а яка – уявною (квадрат відповідної змінної входить зі знаком мінус).

Якщо а = b, гіпербола називається рівносторонній(Рівнобічний), її асимптоти перпендикулярні один одному.

Визначення 3.

Параболоюназивається геометричне місце точок, рівновіддалених від заданої точки (фокусу) та від заданої прямої (директриси), що лежать в одній площині.

Знайдемо рівняння параболи, використовуючи це визначення.

Нехай р– відстань між фокусом F та директрисою D. Розташуємо систему координат так щоб директриса була паралельна осі ОУ, фокус знаходився на осі ОХ, початок координат розташовувалося посередині між фокусом та директрисою. Нехай М( х, у) – поточна точка параболи, фокус F( ,0), рівняння директриси х=– , проекція точки М на директрису – точка К(– , х). Тоді символьне рівняння параболи | FM | = | MK | у координатній формі набуде вигляду

Після перетворень отримуємо у 2 = 2рх.

Якщо фокус параболи помістити в точку F(– , 0), а директрисою взяти пряму х= , то рівняння набуде вигляду у 2 = –2рх. Тому канонічним рівнянням параболиназивають рівняння виду

у 2 = 2рх, (4)

де р- Параметр довільного знака.

Досліджуємо розташування параболи за її канонічним рівнянням (4).

1) Проходить через початок координат (0, 0).

2) Крива симетрична щодо осі ОХ: точки ( х, у) та ( х, –у) належать параболі. Вісь ОХ при цьому називають віссю параболи.

3) У силу симетрії дослідження достатньо провести за у> 0. Розглянемо функцію при р> 0 область визначення цієї функції хÎ. Похідні цієї функції рівні у¢ = , у¢¢= .Для р>0 ця функція зростає при хÎ(0, +¥), меншає при хÎ(–¥, 0), а у точці (0, 0) має мінімум. Для р < 0, наоборот, при хÎ(0, +¥) зменшується, при хÎ(–¥, 0) зростає, у точці (0, 0) – максимум. Точку (0, 0) називають вершиною параболи. При р>0 і при у¢¢ < 0, значит, кривая выпуклая.

4) За цими дослідженнями вимальовується наступна крива

Якщо фокус параболи розташувати на осі ОУ, директрису провести паралельно осі ОХ, початок координат розташувати, як і раніше, посередині між фокусом і директрисою, то отримаємо рівняння параболи у вигляді

х 2 = 2ру, (5)

яке також називається канонічним рівнянням параболи. Ця парабола має вершиною початок координат, віссю симетрії вісь ОУ; при р>0 гілки параболи спрямовані вгору, при р< 0 – вниз.

Властивості кривих другого порядку

Для всіх розглянутих кривих є Загальна характеристика: фокус.

Фокус у перекладі з латинської означає вогнище. З фокусами кривих другого порядку пов'язані їх оптичні властивості

Уявімо, що еліпс, гіпербола, парабола обертаються навколо осі, що містить фокуси. При цьому утворюється поверхня, яку називають відповідно еліпсоїдом, гіперболоїдом, параболоїдом. Якщо реальну поверхню такого виду покрити (з боку фокусів) амальгамою, то вийде еліптичне, гіперболічне, параболічне дзеркало. Відомі з фізики закони відбиття світла дозволяють зробити такі висновки:

1) Якщо джерело світла помістити в одному з фокусів еліптичного дзеркала, його промені, відбившись від дзеркала, зберуться в іншому фокусі.

Цією властивістю користувалися фокусники: поміщали джерело світла в одному фокусі еліптичного дзеркала, в іншому - займиста речовина, яка загорялася без видимих ​​причин, що вражало глядачів Тому слово «фокус» набуло того сенсу, в якому ми звикли його вживати.

2) Якщо джерело світла помістити у фокусі параболічного дзеркала, його промені, відбившись, підуть паралельно осі параболи. На цьому ґрунтується пристрій прожектора.

3) Якщо джерело світла помістити в одному з фокусів гіперболічного дзеркала, його промені підуть так, якби вони виходили з другого фокусу.

Поряд із фокусами, характерними компонентами кривих другого порядку є директриси та ексцентриситет.

Визначення 4.

Пряма Dназивається директрисоюкривою, якщо відношення відстані dвід будь-якої точки кривої до Lна відстань rвід цієї точки до фокусу F кривою є постійна величина. Величина називається ексцентриситетомкривою.

Еліпс має дві директорки D 1 і D 2 розташовані поза еліпсом, і перпендикулярні до великої осі (паралельні малої) еліпса.

У гіперболи також дві директриси, розташовані вони між гілками гіперболи перпендикулярно до дійсної осі (паралельно уявної осі).

Рівняння директоріс еліпса та гіперболи мають вигляд, де а –велика чи дійсна піввісь; директриса та фокус, розташовані по одну сторону від центру кривої, називаються відповідними один одному. Постійним є відношення відстаней від точки кривої до відповідних один одному фокусів та директрис.

У параболи один фокус і одна директриса, перпендикулярна до осі параболи. Рівняння директрис залежно від розташування фокусу мають вигляд.

Ексцентриситет кривої другого порядку характеризує форму цієї кривої. Для еліпса ексцентриситет e< 1, для гиперболы e >1, у параболи e = 1, у кола e = 0. Якщо а– велика чи дійсна піввісь, з- половина фокусної відстані, то ексцентриситет дорівнює . Залежність форми кривої другого порядку з тими самими фокусом і директрисою від ексцентриситета показано малюнку.

Лекція 8. Лінії другого порядку.

План лекції

8.1. Окружність, дослідження рівняння кола.

8.2. Виведення канонічного рівняння еліпса.

8.3. Гіперболу та параболу, їх канонічні рівняння.

8.4. Лінії другого порядку. Приведення кривих другого порядку до канонічного вигляду.

8.5. Полярне рівняння кривої другого порядку.

Коломназивається безліч всіх точок площини, рівновіддалених від цієї точки (центру кола) на відстань, що дорівнює радіусу кола.

Малюнок 8.1.

Нехай З(а,в) – центр кола, r- Радіус кола, M(x,y) – довільна точка кола (Малюнок 8.1). За визначенням кола. Виразимо цю рівність у координатах: . Зведемо обидві частини квадрат:

. (8.1)

Таким чином, координати будь-якої точки, що лежить на колі, задовольняють рівняння (8.1). Покажемо, що координати точки, що не лежить на колі, не задовольняють рівняння (8.1).

Справді, якщо точка М- всередині кола, то відстань, тобто. , а якщо точка M- поза колом, те , тобто. . Отже, рівняння (8.1) задовольняють координати всіх точок, що лежать на колі, і не задовольняють координати точок, що не лежать на колі. Тому рівняння (81) і є рівняння кола.

Якщо у рівнянні (8.1) розкрити дужки, то отримаємо рівняння

де , , .

Якщо , то рівняння (8.2) визначає коло.

Якщо то рівняння (8.2) визначає точку .

Якщо , то рівняння (8.2) немає геометричного сенсу. У цьому випадку говорять про уявне коло.

Малюнок 8.2.

канонічне рівняння

Рівняння (8.1) можна спростити, якщо помістити початок нової системи координат до центру кола (Малюнок 8.2). Тоді її рівняння матиме вигляд:

Це рівняння називається канонічним рівнянням кола , тобто. рівнянням найпростішого виду.

Еліпсом називається безліч всіх точок площини, сума відстаней яких до двох даних точок F 1 і F 2 , званих фокусами, є постійна величина (її позначають 2а) і більша, ніж відстань між фокусами.

центром еліпса , т.к. щодо цієї точки еліпс симетричний.

Довжина | F 1 F 2 | називається фокусною відстанню , позначимо її 2с, а половина цієї відстані називається напівфокусною відстанню , воно одно з.

Приймемо центр еліпса за початок координат, за вісь абсцис приймемо пряму через фокуси (Малюнок 8.3).

Малюнок 8.3. Еліпс

Тоді координати фокусів будуть F 1 (-c; 0), F 2 (c; 0). Будь-який відрізок, що з'єднує дві точки еліпса, якщо він проходить через центр, називається діаметром еліпса . Найбільший діаметр проходить через фокуси, цей діаметр A 1 A 2 називається великою віссю еліпса . Довжина великої осі еліпса A 1 A 2 |=2a. Справді, за визначенням еліпса |F 1 A 2 |+|F 2 A 2 |=2a, але |F 1 A 2 |=|OA 2 |+c, |F 2 A 2 |=|OA 2 |-c. Тоді отримуємо 2 | OA 2 | = 2a,або |OA 2 |=a. Аналогічно |A 1 O|=a, отже, |A 1 A 2 |=2a. Число аназивається великою піввіссю . Найменший діаметр еліпса перпендикулярний найбільшому, його називають малою віссю еліпса і позначають через 2b, так що |B 1 B 2 |=2b. Число bназивається малою піввіссю . Кінці осей, тобто. крапки A 1 ,A 2 ,B 1 ,B 2називаються вершинами еліпса. Основна властивість еліпса застосовується і для вершин В1 і В2. Наприклад, для вершини В 2 отримаємо |F 1 B 2 |+|F 2 B 2 |=2a, А т.к. | F 1 B 2 |=|F 2 B 2 |, то 2|F 2 B 2 |=2a, або |F 2 B 2 |=a. Тоді з прямокутного ∆OF 2 B 2 отримуємо важливе співвідношення:

(8.4)

Форма еліпса при заданому азалежить від відстані між фокусами, тобто. від з. При зближенні фокусів і збігу їх із початком координат еліпс поступово звернеться в окружність. Навпаки, якщо фокуси відсуваються від початку координат, еліпс поступово сплющується і вироджується прямолінійний відрізок A 1 A 2 . Ступінь стиснення еліпса визначається його ексцентриситетом , Який визначається дробом:

Для еліпса ексцентриситет може змінюватися від 0 до 1, причому для кола для еліпса, що виродився в прямолінійний відрізок, .

Для отримання канонічного рівняння еліпса візьмемо довільну точку еліпса М(x,y). Тоді за визначенням |MF 1 |+|MF 2 |=2a. Виразимо цю рівність у координатах:

Для спрощення рівняння (8.6) доведеться двічі його зводити у квадрат і наводити таких членів. В результаті буде отримано рівняння

або після поділу на –

Побудову еліпса, згідно з його визначенням, можна здійснити за допомогою нитки завдовжки 2а, закріплених кінцями у фокусах. Зачепивши нитку вістрям олівця, і рухаючи його так, щоб нитка весь час була в натягнутому стані, ми змусимо вістря викреслити еліпс.

Гіперболоюназивається безліч всіх точок площини, абсолютна величина різниці відстаней яких до двох даних точок і , званих фокусами, є постійна величина (її позначають 2а) та менша відстані між фокусами ( 2с).

Середина відстані між фокусами називається центром гіперболи , оскільки щодо цієї точки гіпербола симетрична. Довжина - називається фокусною відстанню , а половина цієї відстані напівфокусною відстанню . Зручно центр гіперболи прийняти за початок координат, а за вісь абсцис прийняти пряму через фокуси (Малюнок 8.4).

Кожен відрізок, що з'єднує дві точки гіперболи і проходить через центр, називається діаметром гіперболи . Найменший діаметр лежить на осі абсцис; цей діаметр називається справжньою віссю гіперболи, причому . Дійсно за визначенням гіперболи , але , тоді , або . Аналогічно, отже, .

Число називається справжньою піввіссю , точки і називаються вершинами гіперболи . Ставлення називається ексцентриситетом гіперболи , причому гіперболи .

Малюнок 8.4. Гіперболу

Нехай – довільна точка гіперболи. Тоді за визначенням , або в координатній формі

Рівняння (8.8) в результаті перетворень, аналогічних проведеним під час виведення рівняння еліпса, може бути зведене до вигляду:

.

Позначаючи , отримуємо канонічне рівняння гіперболи :

Прямі є асимптотами гіперболи . Це прямі, до яких гіпербола наближається в нескінченності, але не перетинає їх . З геометричної точкизору – ордината асимптоти, відновленої з вершини гіперболи. Для побудови асимптот гіперболи доцільно попередньо побудувати прямокутник зі сторонами і паралельними координатним осям і з центром на початку координат (такий прямокутник називається основним прямокутником гіперболи). Точки та визначають уявну вісь гіперболи.

Якщо в рівнянні (8.9) то гіпербола називається рівнобічної . Її асимптоти утворюють прямий кут. Якщо за осі прийняти асимптоти, то рівняння набуде вигляду . Таким чином, рівнобочна гіпербола є графіком зворотної пропорційності.

Зауважимо, що рівняння

(8.10)

теж визначає гіперболу, у якої дійсна вісь розташована на осі, а уявна вісь – на осі.

Параболоюназивається безліч усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки (названої фокусом параболи) і від цієї прямої (званої директрисою параболи).

Для виведення канонічного рівняння параболи проведемо вісь прямокутної системи координат через фокус перпендикулярно до директриси, початок координат помістимо на рівних відстанях від фокусу та директриси (Малюнок 8.5). Відстань від фокусу до директриси позначимо через (воно називається параметром параболи). Тоді, а директорка задається рівнянням. Нехай – довільна точка параболи. Опустимо перпендикуляр на директрису. Тоді за визначенням. Висловимо цю умову в координатах:

.

Малюнок 8.5. Парабола.

Зводячи в квадрат і наводячи подібні, отримуємо канонічне рівняння параболи :

ВершиноюПарабола називається точка перетину параболи з її віссю симетрії. Вісь симетрії параболи називається віссю параболи. Парабола, що визначається рівнянням (8.11), має вісь, що збігається з віссю.

Зауважимо, що рівняння визначає параболу, симетричну щодо осі .

Між еліпсом, гіперболою та параболою є близька спорідненість. Це тим, що вони - лінії другого порядку. Всі ці лінії можуть бути отримані при перетині прямого кругового конуса з площиною, що повертається навколо осі, обраної, наприклад, перпендикулярно осі конуса (Малюнок 8.6). Поки нахил малий, у перерізі виходить еліпс. У разі збільшення нахилу еліпс подовжується, його ексцентриситет зростає. Коли площина нахилена до осі конуса так само, як утворюють, у перерізі утворюється парабола. Нарешті, коли площина перетинатиме обидві половини конуса, у перерізі буде гіпербола. З цієї причини еліпс, гіперболу та параболу іноді називають конічними перерізами.

Малюнок 8.6. Спорідненість кривих другого порядку.

Спорідненість між зазначеними лініями зумовлена ​​тим, що всі вони задаються рівнянням другого ступеня, а тому і мають загальну назву ліній (або кривих ) другого порядку .

Загальним рівняннямліній другого порядкуназивається рівняння виду

. (8.12)

Шляхом перетворення координат це рівняння може призвести до канонічного виду. Здійснимо поворот осей координат на кут за формулами:

(8.13)

Кут виберемо таким, щоб вийшло рівняння, що не містить добутку координат. Для цього підставляємо (8.13) (8.12) і прирівнюємо коефіцієнт при к . В результаті отримуємо рівняння для визначення кута повороту:

. (8.15)

Формула (8.15) визначає 4 можливі значення для будь-яке з яких дозволяє привести рівняння (8.12) до вигляду:

(8.16)

Якщо , то рівняння (8.16) може бути приведене до вигляду:

яке за допомогою паралельного перенесення початку координат

зводиться до канонічного вигляду.

Якщо, тобто. або , то рівняння (8.16) може бути наведено до вигляду.

Розглянемо задачу приведення рівняння лінії другого порядку до найпростішого (канонічного) виду.

Нагадаємо, що алгебраїчною лінією другого порядку називається геометричне місце точок площини, яке в будь-якій афінній системі координат Ox_1x_2 може бути задане рівнянням виду p(x_1,x_2)=0, де p(x_1,x_2) - багаточлен другого ступеня двох змінних Ox_1x_2 . Потрібно знайти прямокутну систему координат, в якій рівняння лінії набуло б найпростішого вигляду.

Результатом розв'язання поставленої задачі є наступна основна теорема (3.3)

Класифікація ліній алгебри другого порядку (теорема 3.3)

Для будь-якої лінії алгебри другого порядку існує прямокутна система координат Oxy , в якій рівняння цієї лінії приймає один з наступних дев'яти канонічних видів:

Теорема 3.3 дає аналітичні визначення ліній другого порядку. Відповідно до пункту 2 зауважень 3.1, лінії (1), (4), (5), (6), (7), (9) називаються дійсними (дійсними), а лінії (2), (3), (8) - уявними.

Наведемо доказ теореми, оскільки він фактично містить алгоритм розв'язання поставленого завдання.

Без обмеження спільності можна припускати, що рівняння лінії другого порядку встановлено прямокутною системою координат Oxy . В іншому випадку можна перейти від непрямокутної системи координат Ox_1x_2 до прямокутної Oxy , при цьому рівняння лінії матиме той самий вигляд і той самий ступінь згідно з теоремою 3.1 про інваріантність порядку алгебраїчної лінії.

Нехай у прямокутній системі координат Oxy алгебраїчна лінія другого порядку задана рівнянням

A_(11)x^2+2a_(12)xy+a_(22)y^2+2a_1x+2a_2y+a_0=0,

в якому хоча б один із старших коефіцієнтів a_(11),a_(12),a_(22)відмінний від нуля, тобто. ліва частина (3.34) - багаточлен двох змінних x,y другого ступеня. Коефіцієнти при перших ступенях змінних x і y, а також при їх творі xcdot y взяті подвоєними просто для зручності подальших перетворень.

Для приведення рівняння (3.34) до канонічного виду використовуються такі перетворення прямокутних координат:

- Поворот на кут \varphi

\begin(cases)x=x"\cdot\cos\varphi-y"\cdot\sin\varphi,\y=x"\cdot\sin\varphi+y"\cdot\cos\varphi;\end( cases)

– паралельне перенесення

\begin(cases)x=x_0+x",\\y=y_0+y";\end(cases)

- Зміна напрямів координатних осей (відображення в координатних осях):

осі ординат \begin(cases)x=x",\\y=-y",\end(cases)осі абсцис \begin(cases)x=-x",\\y=y",\end(cases)обох осей \begin(cases)x=-x",\\y=-y";\end(cases)

– перейменування координатних осей (відображення у прямій y=x )

\begin(cases)x=y",\y=x",\end(cases)

де x,y та x",y" - координати довільної точки в старій (Oxy) і новій O"x"y" системах координат відповідно.

Крім перетворення координат обидві частини рівняння можна множити на відмінне від нуля число.

Розглянемо спочатку окремі випадки, коли рівняння (3.34) має вигляд:

\begin(aligned) &\mathsf((I)\colon)~ \lambda_2\cdot y^2+a_0,~\lambda_2\ne0;\\ &\mathsf((II)\colon)~ \lambda_2\cdot y ^2+2\cdot a_1\cdot x,~\lambda_2\ne0,~a_1\ne0;\\ &\mathsf((III)\colon)~ \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2 +a_0,~\lambda_1\ne0,~\lambda_2\ne0. \end(aligned)

Ці рівняння (також багаточлени у лівих частинах) називаються наведеними. Покажемо, що наведені рівняння (I), (II), (III) зводяться до канонічних (1)-(9).

Рівняння (І).Якщо рівняння (I) вільний член дорівнює нулю (a_0=0) , то, розділивши обидві частини рівняння \lambda_2y^2=0 на старший коефіцієнт (\lambda_0\ne0) , отримаємо y^2=0 - рівняння двох прямих, що збігаються(9), що містять вісь абсцис y=0. Якщо ж вільний член відмінний від нуля a_0\ne0, то розділимо обидві частини рівняння (I) на старший коефіцієнт (lambda_2\ne0): y^2+\frac(a_0)(\lambda_2)=0. Якщо величина негативна, то позначивши її через -b^2 , де b=\sqrt(-\frac(a_0)(\lambda_2)), Отримуємо y^2-b^2=0 - рівняння пари паралельних прямих(7): y=b або y=-b. Якщо ж величина \frac(a_0)(\lambda_2)позитивна, то, позначивши її через b 2, де b=\sqrt(\frac(a_0)(\lambda_2))отримуємо y^2+b^2=0 - рівняння пари уявних паралельних прямих(8). Це рівняння не має дійсних рішень, тому на координатної площининемає точок, які відповідають цьому рівнянню. Проте в області комплексних чиселрівняння y^2+b^2=0 має два сполучені рішення y=\pm ib , які ілюструються штриховими лініями (див. пункт 8 теореми 3.3).

Рівняння (ІІ).Розділимо рівняння на старший коефіцієнт (\lambda_2\ne0) і перенесемо лінійний член праву частину: y^2=-\frac(2a_1)(\lambda_2)\,x. Якщо величина негативна, то позначаючи p=-\frac(a_1)(\lambda_2)>0отримуємо y^2=2px - рівняння параболи(6). Якщо величина \frac(a_1)(\lambda_2)позитивна, змінюючи напрям осі абсцис, тобто. виконуючи друге перетворення (3.37), отримуємо рівняння (y")^2=\frac(2a_1)(\lambda_2)\,x"або (y")^2=2px" , де p=\frac(a_1)(\lambda_2)>0. Це рівняння параболи у новій системі координат Ox"y" .

Рівняння (ІІІ).Можливі два випадки: або старші коефіцієнти одного знака (еліптичний випадок) або протилежних знаків (гіперболічний випадок).

В еліптичному випадку (\lambda_1\lambda_2>0)

\mathsf((III))\quad\Leftrightarrow\quad \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2=-a_0\quad \Leftrightarrow \quad \frac(\lambda_1)(-a_0)\cdot x ^2+\frac(\lambda_2)(-a_0)\cdot y^2=1

Протилежний знаку a_0 , то, позначаючи позитивні величини \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 - рівняння еліпса (1).

Якщо знак старших коефіцієнтів \lambda_1,\lambda_2збігається зі знаком a_0 , то, позначаючи позитивні величини \frac(a_0)(\lambda_1)і \frac(a_0)(\lambda_2)через a^2 та b^2 , отримуємо -\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1~\Leftrightarrow~\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^ 2)(b^2)=-1 - рівняння уявного еліпса(2). Це рівняння немає дійсних рішень. Однак воно має рішення у сфері комплексних чисел, що ілюструються штриховою лінією (див. пункт 2 теореми 3.3).

Можна вважати, що в рівняннях еліпса (дійсного або уявного) коефіцієнти задовольняють нерівності a geqslant b, в іншому випадку цього можна домогтися, перейменовуючи координатні осі, тобто. роблячи перетворення (3.38) системи координат.

Якщо вільний член рівняння (III) дорівнює нулю (a_0=0) , то позначаючи позитивні величини \frac(1)(|\lambda_1|)і \frac(1)(|\lambda_2|)через a^2 та b^2 , отримуємо \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=0 - рівняння пари уявних прямих, що перетинаються(3). Цьому рівнянню задовольняє лише точка з координатами x = 0 і y = 0, тобто. точка O – початок координат. Однак у області комплексних чисел ліву частину рівняння можна розкласти на множники \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=\left(\frac(y)(b)+i\,\frac(x)(a)\ right)\!\!\left(\frac(y)(b)-i\,\frac(x)(a)\right)тому рівняння має пов'язані рішення y=\pm i\,\frac(b)(a)\,x, які ілюструються штриховими лініями, що перетинаються на початку координат (див. параграф 3 теореми 3.3).

У гіперболічному випадку (\lambda_1, \lambda_2<0) при a_0\ne0 переносимо вільний член у праву частину і ділимо обидві частини на -a_0\ne0 :

\mathsf((III))\quad \Leftrightarrow \quad \lambda_1\cdot x^2+\lambda_2\cdot y^2=-a_0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac(\lambda_1)(-a_0)\cdot x ^2+\frac(\lambda_2)(-a_0)\cdot y^2=1.

Величини \frac(-a_0)(\lambda_1)і \frac(-a_0)(\lambda_2)мають протилежні знаки. Без обмеження спільності вважаємо, що знак lambda_2 збігається зі знаком вільного члена a_0 , тобто. \frac(a_0)(\lambda_2)>0. Інакше необхідно перейменувати координатні осі, тобто. зробити перетворення (3.38) системи координат. Позначаючи позитивні величини \frac(-a_0)(\lambda_1)і \frac(a_0)(\lambda_2)через a^2 та b^2 , отримуємо \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1 - рівняння гіперболи (4).

Нехай у рівнянні (III) вільний член дорівнює нулю (a_0=0). Тоді можна вважати, що \lambda_1>0 , а \lambda_2<0 (в противном случае обе части уравнения умножим на –1) . Обозначая положительные величины \frac(1)(\lambda_1)і -\frac(1)(\lambda_2)через a^2 та b^2 , отримуємо \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=0 - рівняння пари прямих, що перетинаються(5). Рівняння прямих перебувають у результаті розкладання на множники лівої частини рівняння

\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=\left(\frac(x)(a)-\frac(y)(b)\right)\ !\!\left(\frac(x)(a)+\frac(y)(b)\right)=0, тобто y = pm frac (b) (a) cdot x

Таким чином, наведені рівняння (I), (II), (III) алгебраїчної лінії другого порядку зводяться до одного з канонічних видів (1) - (9), перерахованих у теоремі 3.3.

Залишилося показати, що загальне рівняння (3.34) можна звести до перетворень прямокутної системи координат, що наведені за допомогою.

Спрощення загального рівняння (3.34) провадиться у два етапи. У першому етапі з допомогою повороту системи координат " знищується " член із твором невідомих. Якщо твори невідомих немає (a_(12)=0) , то поворот робити треба (у разі переходимо відразу до другого етапу). На другому етапі за допомогою паралельного перенесення "знищуються" один або обидва члени першого ступеня. В результаті виходять наведені рівняння (I), (II), (III).

Перший етап:перетворення рівняння лінії другого порядку за повороту прямокутної системи координат.

Якщо коефіцієнт a_(12)\ne0, виконаємо поворот системи координат на кут \varphi. Підставляючи вирази (3.35) до рівняння (3.34), отримуємо:

\begin(gathered) a_(11)(x"\cos\varphi-y"\sin\varphi)^2+2a_(12)(x"\cos\varphi-y"\sin\varphi)(x"\ sin\varphi+y"\cos\varphi)+a_(22)(x"\sin\varphi+y"\cos\varphi)^2+\\ +2a_1(x"\cos\varphi-y"\sin \varphi)+2a_2(x"\cos\varphi-y"\sin\varphi)+a_0=0. \end(gathered)

Наводячи подібні члени, приходимо до рівняння виду (3.34):

A"_(11)(x")^2+2a"_(12)x"y"+a"_(22)(y")^2+2a"_1x"+2a"_2y"+a"_0 =0,

\begin(aligned)a"_(11)&=a_(11)\cos^2\varphi+2a_(12)\cos\varphi\sin\varphi+a_(22)\sin^2\varphi;\\ a"_(12)&=-a_(11)\cos\varphi\sin\varphi+a_(12)(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)+a_(22)\cos\varphi \sin\varphi;\a"_(22)&=a_(11)\sin^2\varphi-2a_(12)\cos\varphi\sin\varphi+a_(22)\cos^2\varphi; \\ a"_1&=a_1\cos\varphi+a_2\sin\varphi;\quad a"_2=-a_1\sin\varphi+a_2\cos\varphi; \quad a"_0=a_0. \end(aligned)

Визначимо кут \varphi так, щоб a"_(12)=0 . Перетворимо вираз для a"_(12) , переходячи до подвійного кута:

A"_(12)= -\frac(1)(2)\,a_(11)\sin2\varphi+a_(12)\cos2\varphi+\frac(1)(2)\,a_(22)\ sin2\varphi= \frac(a_(22)-a_(11))(2)\,\sin2\varphi+a_(12)\cos2\varphi.

Кут \varphi повинен задовольняти однорідне тригонометричне рівняння \frac(a_(22)-a_(11))(2)\,\sin2\varphi+a_(12)\cos2\varphi=0, яке рівносильне рівнянню

\operatorname(ctg)2\varphi=\frac(a_(11)-a_(22))(2a_(12)),

оскільки a_(12)\ne 0 . Це рівняння має нескінченну кількість коренів

\varphi=\frac(1)(2)\operatorname(arcctg)\frac(a_(11)-a_(22))(2a_(12))+\frac(\pi)(2)\,n, \ quad n\in\mathbb(Z).

Виберемо будь-який з них, наприклад, кут \varphi з інтервалу 0<\varphi<\frac{\pi}{2} . Тоді в рівнянні (3.39) зникне член 2a"_(12)x"y", оскільки a"_(12)=0.

Позначивши старші коефіцієнти, що залишилися через \lambda_1= a" і \lambda_2=a"_(22) , отримаємо рівняння

\lambda_1\cdot(x")^2+\lambda_2\cdot(y")^2+2\cdot a"_1cdot x"+2cdot a"_2cdot y"+a"_0=0.

Відповідно до теореми 3.1, рівняння (3.41) є рівнянням другого ступеня (при перетворенні (3.35) порядок лінії зберігається), тобто. хоча б один із старших коефіцієнтів \lambda_1 або \lambda_2 відмінний від нуля. Далі будемо вважати, що саме коефіцієнт при (y")^2 не дорівнює нулю (\lambda_2\ne0). В іншому випадку (при \lambda_2=0 і \lambda_1\ne0) слід зробити поворот системи координат на кут \varphi+\frac(\pi)(2), який також відповідає умові (3.40). Тоді замість координат x",y" (3.41) отримаємо y",-x" відповідно, тобто. Відмінний від нуля коефіцієнт \lambda_1 буде за (y")^2 .

Другий етап:перетворення рівняння лінії другого порядку при паралельному перенесенні прямокутної системи координат.

Рівняння (3.41) можна полегшити, виділяючи повні квадрати. Потрібно розглянути два випадки: \lambda_1\ne0 або \lambda_1=0 (згідно з припущенням \lambda_2\ne0 ), які називаються центральний (що включає еліптичний та гіперболічний випадки) або параболічний відповідно. Геометричний зміст цих назв розкривається надалі.

Центральний випадок: \lambda_1\ne0 та \lambda_2\ne0 . Виділяючи повні квадрати за змінними x",y", отримуємо

\begin(gathered)\lambda_1\left[(x")^2+2\,\frac(a"_1)(\lambda_1)\,x"+(\left(\frac(a"_1)(\lambda_1) ) \ right) \^2\right]+ \lambda_2\left[(y")^2+2\,\frac{a"_2}{\lambda_2}\,y"+{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2\right]- \lambda_1{\left(\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0~\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow~ \lambda_1{\left(x"+\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2+\lambda_2{\left(y"+\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2- \lambda_1{\left(\frac{a"_1}{\lambda_1}\right)\!}^2-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0. \end{gathered} !}

Після заміни змінних

\left\(\begin(aligned) x""&=x"+\frac(a"_1)(\lambda_1),\\""&=y"+\frac(a"_2)(\lambda_2) , \end(aligned)\right.

отримуємо рівняння

\lambda_1\,(x"")^2+\lambda_2\,(y"")^2+a""_0=0,

де a""_0=-\lambda_1(\left(\frac(a"_1)(\lambda_1)\right)\^2-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0 !}.

Параболічний випадок: \lambda_1=0 і \lambda_2\ne0. Виділяючи повний квадрат по змінній y", отримуємо

\begin(gathered) \lambda_2\left[(y")^2+2\cdot\frac(a"_2)(\lambda_2)\cdot y"+(\left(\frac(a"_2)(\lambda_2) ) \ right) \^2\right]+2\cdot a"_1\cdot x"-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0 \quad \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \quad \lambda_2{\left(y"+\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+2\cdot a"_1\cdot x"-\lambda_2{\left(\frac{a"_2}{\lambda_2}\right)\!}^2+a"_0=0.\end{gathered} !}

Якщо a"_1\ne0 , то останнє рівняння наводиться до вигляду

\lambda_2(\left(y"+ \frac(a"_2)(\lambda_2)\right)\^2+ 2\cdot a"_1\left=0. !}

Зробивши заміну змінних

\left\(\begin(aligned) x""&=x"+\frac(a"_0)(2a"_1)- \frac(\lambda_2)(2a"_1)(\left(\frac(a") _2)(\lambda_2)\right)\^2,\\ y""&=y"+ \frac{a"_2}{\lambda_2}, \end{aligned}\right. !}

отримаємо, де a""_1=a"_1

\lambda_2\cdot(y"")^2+2\cdot a""_1\cdot x""=0,

Якщо a"_1=0 то рівняння (3.44) наводиться до виду, де a""_0=-\lambda_2(\left(\frac(a"_2)(\lambda_2) \right)\^2+a"_0 !},

\lambda_2\cdot(y"")^2+a""_0,

\left\(\begin(aligned)x""&=x",\y""&=y"+\frac(a"_2)(\lambda_2).\end(aligned)\right.

Заміни змінних (3.42), (3.45), (3.48) відповідають паралельному перенесенню системи координат Ox"y" (див. пункт 1"a" зауважень 2.3).

Таким чином, за допомогою паралельного перенесення системи координат Ox"y" отримуємо нову систему координат O""x""y"" , в якій рівняння лінії другого порядку набуває вигляду (3.43), або (3.46), або (3.47). Ці рівняння є наведеними (виду (III), (II) або (I) відповідно).

Основна теорема 3.3 про приведення рівняння лінії алгебри другого порядку до канонічного виду доведена.

Зауваження 3.8

1. Система координат, в якій рівняння лінії алгебри другого порядку має канонічний вигляд, називається канонічної. Канонічна система координат визначається неоднозначно. Наприклад, змінюючи напрямок осі ординат на протилежний, знову отримуємо канонічну систему координат, оскільки заміна змінної y на (-y) не змінює рівнянь (1)-(9). Тому орієнтація канонічної системи координат немає принципового значення, її можна зробити правої, змінивши за необхідності напрям осі ординат.

2. Раніше показано, що перетворення прямокутних систем координат на площині зводяться до одного з перетворень (2.9) або (2.10):

\begin(cases) x=x_0+x"\cdot\cos\varphi-y"\cdot\sin\varphi,\\y=y_0+x"\cdot\sin\varphi+y"\cdot\cos\varphi \end(cases)\quad \begin(cases) x=x_0+x"\cdot\cos\varphi+y"\cdot\sin\varphi,\\y=y_0+x"\cdot\sin\varphi- y"\cdot\cos\varphi.\end(cases)

Тому завдання приведення рівняння лінії другого порядку до канонічного виду зводиться до знаходження початку O"(x_0,y_0) канонічної системи координат O"x"y" і кута \varphi нахилу її осі абсцис O"x" до осі абсцис Ox вихідної системи координат Oxy .

3. У випадках (3), (5), (7), (8), (9) лінії називаються такими, що розпадаються, оскільки відповідні їм багаточлени другого ступеня розкладаються у добуток багаточленів першого ступеня.

У вашому браузері вимкнено Javascript.
Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!

Лінії другого порядку.
Еліпс та його канонічне рівняння. Окружність

Після ґрунтовного опрацювання прямих на площиніпродовжуємо вивчати геометрію двовимірного світу. Ставки подвоюються, і я запрошую вас відвідати мальовничу галерею еліпсів, гіпербол, парабол, які є типовими представниками ліній другого порядку. Екскурсія вже розпочалася, і спочатку коротка інформація про всю експозицію на різних поверхах музею:

Поняття алгебраїчної лінії та її порядку

Лінію на площині називають алгебраїчної, якщо в афінної системи координатїї рівняння має вигляд , де – многочлен, що складається з доданків виду ( – дійсне число, – цілі неотрицательные числа).

Як бачите, рівняння лінії алгебри не містить синусів, косінусів, логарифмів та іншого функціонального бомонду. Тільки «ікси» та «ігреки» в цілих невід'ємнихступенях.

Порядок лініїдорівнює максимальному значенню складових, що входять до нього.

За відповідною теоремою, поняття алгебраїчної лінії, а також її порядок не залежать від вибору афінної системи координат, тому для легкості буття вважаємо, що всі наступні викладки мають місце в декартових координатах.

Загальне рівняннялінії другого порядку має вигляд , де – довільні дійсні числа (прийнято записувати з множником-«двійкою»), причому коефіцієнти не дорівнюють одночасно нулю.

Якщо , то рівняння спрощується до , і якщо коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю, то це точно загальне рівняння «плоської» прямої, яка є лінію першого порядку.

Багато хто зрозумів зміст нових термінів, але, проте, з метою 100%-го засвоєння матеріалу сунемо пальці в розетку. Щоб визначити порядок лінії, потрібно перебрати всі доданкиїї рівняння та у кожного з них знайти суму ступеніввхідних змінних.

Наприклад:

доданок містить «ікс» в 1-му ступені;
доданок містить «гравець» в 1-му ступені;
у складі змінні відсутні, тому сума їх ступенів дорівнює нулю.

Тепер розберемося, чому рівняння задає лінію другогопорядку:

доданок містить «ікс» у 2-му ступені;
у доданку сума ступенів змінних: 1 + 1 = 2;
доданок містить «гравець» у 2-му ступені;
решта доданків – меншоюступеня.

Максимальне значення: 2

Якщо до нашого рівняння додатково приплюсувати, скажімо, то воно вже буде визначати лінію третього порядку. Очевидно, що загальний вигляд рівняння лінії 3-го порядку містить «повний комплект» доданків, сума ступенів змінних у яких дорівнює трьом:
, Де коефіцієнти не рівні одночасно нулю.

У тому випадку, якщо додати одне або кілька відповідних доданків, які містять , то мова вже зайде про лінії 4-го порядку, і т.д.

З лініями алгебри 3-го, 4-го і більш високих порядків нам доведеться зіткнутися ще не раз, зокрема, при знайомстві з полярною системою координат.

Однак повернемося до загального рівняння та згадаємо його найпростіші шкільні варіації. Як приклади напрошується парабола, рівняння якої легко привести до загального вигляду, і гіпербола з еквівалентним рівнянням. Однак не все так гладко.

Істотний недолік загального рівняння у тому, майже завжди незрозуміло, яку лінію воно ставить. Навіть у найпростішому випадку не відразу зрозумієш, що це гіпербола. Такі розклади хороші лише на маскараді, тому в курсі аналітичної геометрії розглядається типове завдання приведення рівняння лінії 2-го порядку до канонічного вигляду.

Що таке канонічний вид рівняння?

Це загальноприйнятий стандартний вид рівняння, коли за лічені секунди стає ясно, який геометричний об'єкт воно визначає. Крім того, канонічний вигляд дуже зручний для вирішення багатьох практичних завдань. Так, наприклад, за канонічним рівнянням «плоский» прямий, по-перше, відразу зрозуміло, що це пряма, а по-друге – елементарно проглядається точка, що належить їй, і напрямний вектор .

Очевидно, що будь-яка лінія 1-го порядкує прямою. На другому поверсі нас чекає вже не вахтер, а набагато різноманітніша компанія з дев'яти статуй:

Класифікація ліній другого порядку

За допомогою спеціального комплексу дій будь-яке рівняння лінії другого порядку наводиться до одного з таких видів:

(і – позитивні дійсні числа)

1) - канонічне рівняння еліпса;

2) - канонічне рівняння гіперболи;

3) - канонічне рівняння параболи;

4) – уявнийеліпс;

5) - пара прямих, що перетинаються;

6) – пара уявнихпрямих, що перетинаються (з єдиною дійсною точкою перетину на початку координат);

7) – пара паралельних прямих;

8) – пара уявнихпаралельних прямих;

9) - пара прямих, що збіглися.

У ряду читачів може скластися враження неповноти списку. Наприклад, у пункті № 7 рівняння задає пару прямих, паралельних осі , і виникає питання: а де ж рівняння , що визначає прямі , паралельні осі ординат? Відповідь: воно не вважається канонічним. Прямі являють собою той самий стандартний випадок, повернутий на 90 градусів, і додатковий запис у класифікації надмірна, оскільки не несе нічого принципово нового.

Таким чином, існує дев'ять і лише дев'ять різних видів ліній 2-го порядку, але на практиці найчастіше зустрічаються еліпс, гіпербола та парабола.

Спочатку розглянемо еліпс. Як завжди, я акцентую увагу на тих моментах, які мають велике значення для вирішення завдань, і якщо вам необхідний докладний висновок формул, докази теорем, будь ласка, зверніться, наприклад, до підручника Базилєва/Атанасяна або Александрова.

Еліпс та його канонічне рівняння

Правопис… будь ласка, не повторюйте помилок деяких користувачів Яндекса, яких цікавить «як побудувати елібз», «відмінність еліпса від овалу» та «ексцентриситет елебсу».

Канонічне рівняння еліпса має вигляд , де - Позитивні дійсні числа, причому . Саме визначення еліпса я сформулюю пізніше, а поки саме час відпочити від говорілки і вирішити поширене завдання:

Як побудувати еліпс?

Так, ось взяти його і просто накреслити. Завдання зустрічається часто, і значна частина студентів не зовсім добре справляються з кресленням:

Приклад 1

Побудувати еліпс, заданий рівнянням

Рішення: спочатку наведемо рівняння до канонічного вигляду:

Навіщо наводити? Одна з переваг канонічного рівняння полягає в тому, що воно дозволяє миттєво визначити вершини еліпса, що у точках . Легко помітити, що координати кожної з цих точок задовольняють рівняння .

В даному випадку :


Відрізокназивають великою віссюеліпса;
відрізок – малою віссю;
число називають великою піввіссюеліпса;
число – малою піввіссю.
у прикладі: .

Щоб швидко уявити, як виглядає той чи інший еліпс, достатньо подивитися на значення «а» і «бе» його канонічного рівняння.

Все добре, складно та красиво, але є один нюанс: я виконав креслення за допомогою програми . І ви можете виконати креслення за допомогою будь-якої програми. Однак у суворій дійсності на столі лежить картатий аркуш паперу, і на наших руках водять хороводи миші. Люди з художнім талантом, звичайно, можуть посперечатися, але миші є і у вас теж (щоправда, менше). Такі недаремно людство винайшло лінійку, циркуль, транспортир та інші нехитрі пристрої для креслення.

Тому нам навряд чи вдасться акуратно накреслити еліпс, знаючи одні вершини. Ще куди не йшло, якщо еліпс невеликий, наприклад, з півосями. Як варіант, можна зменшити масштаб і, відповідно, розміри креслення. Але загалом вкрай бажано знайти додаткові точки.

Існує два підходи до побудови еліпса – геометричний та алгебраїчний. Побудова за допомогою циркуля і лінійки мені не подобається через не короткий алгоритм і суттєву захаращеність креслення. У разі крайньої необхідності, будь ласка, зверніться до підручника, а насправді ж набагато раціональніше скористатися засобами алгебри. З рівняння еліпса на чернетці швиденько висловлюємо:

Далі рівняння розпадається на дві функції:
- Визначає верхню дугу еліпса;
- Визначає нижню дугу еліпса.

Заданий канонічним рівнянням еліпс симетричний щодо координатних осей, і навіть щодо початку координат . І це добре - симетрія в більшості випадків провісник халяви. Очевидно, що достатньо розібратися з 1-ою координатною чвертю, тому нам потрібна функція . Напрошується знаходження додаткових крапок з абсцисами . Настукаємо три смс-ки на калькуляторі:

Безумовно, приємно й те, що якщо допущено серйозну помилку в обчисленнях, то це відразу з'ясується в ході побудови.

Зазначимо на кресленні точки (червоний колір), симетричні точки на решті дуг (синій колір) і акуратно з'єднаємо лінією всю компанію:


Початковий малюнок краще прокреслити тонко-тонко, і лише потім надати натиск олівця. В результаті має вийти цілком гідний еліпс. До речі, чи не хочете дізнатися, що це за крива?

Визначення еліпса. Фокуси еліпса та ексцентриситет еліпса

Еліпс - це окремий випадок овалу. Слово «овал» не слід розуміти в обивательському сенсі («дитина намалювала овал» і т.п.). Це математичний термін, що має розгорнуте формулювання. Метою даного уроку не є розгляд теорії овалів та різних їх видів, яким практично не приділяється уваги у стандартному курсі аналітичної геометрії. І, відповідно до більш актуальних потреб, ми відразу переходимо до суворого визначення еліпса:

Еліпс– це безліч усіх точок площини, сума відстаней до кожної з яких від двох даних точок , фокусамиеліпса, - є величина постійна, чисельно рівна довжині великої осі цього еліпса: .
При цьому відстані між фокусами менші від даного значення: .

Тепер стане все зрозуміліше:

Уявіть, що синя крапка «їздить» еліпсом. Так от, яку б точку еліпса ми не взяли, сума довжин відрізків завжди буде однією і тією ж:

Переконаємося, що у нашому прикладі значення суми справді дорівнює восьми. Подумки помістіть точку «ем» у праву вершину еліпса, тоді: , що потрібно перевірити.

На визначенні еліпса заснований ще один спосіб його креслення. Вища математика часом причина напруги і стресу, тому саме час провести черговий сеанс розвантаження. Будь ласка, візьміть ватман або великий лист картону і приколоти його до столу двома гвоздиками. Це будуть фокуси. До капелюшків цвяхів, що стирчать, прив'яжіть зелену нитку і до упору відтягніть її олівцем. Гриф олівця опиниться в деякій точці, яка належить еліпсу. Тепер починайте олівець по аркушу паперу, зберігаючи зелену нитку сильно натягнутою. Продовжуйте процес доти, доки не повернетеся у вихідну точку… відмінно… креслення можна здати на перевірку лікареві викладачеві =)

Як знайти фокуси еліпса?

У наведеному прикладі я зобразив «готові» точки фокусу, і зараз ми навчимося видобувати їх із надр геометрії.

Якщо еліпс заданий канонічним рівнянням, його фокуси мають координати , де це відстань від кожного з фокусів до центру симетрії еліпса.

Обчислення простіше пареної ріпи:

! Зі значенням «це» не можна ототожнювати конкретні координати фокусів!Повторюся, що це ВІДСТАНЬ від кожного з фокусів до центру(який у випадку ні розташовуватися саме на початку координат).
І, отже, відстань між фокусами теж не можна прив'язувати до канонічного становища еліпса. Іншими словами, еліпс можна перенести в інше місце і значення залишиться постійним, тоді як фокуси, звичайно, змінять свої координати. Будь ласка, враховуйте цей момент під час подальшого вивчення теми.

Ексцентриситет еліпса та його геометричний зміст

Ексцентриситетом еліпса називають відношення, яке може набувати значень у межах.

У нашому випадку:

З'ясуймо, як форма еліпса залежить від його ексцентриситету. Для цього зафіксуємо ліву та праву вершинианалізованого еліпса, тобто значення великої півосі залишатиметься постійним. Тоді формула ексцентриситету набуде вигляду: .

Почнемо наближати значення ексцентриситету до одиниці. Це можливо лише в тому випадку, якщо . Що це означає? …згадуємо про фокуси . Це означає, що фокуси еліпса «роз'їжджатимуться» по осі абсцис до бічних вершин. І, оскільки «зелені відрізки не гумові», то еліпс неминуче почне сплющуватися, перетворюючись на все більш тонку сосиску, нанизану на вісь.

Таким чином, чим ближче значення ексцентриситету еліпса до одиниці, тим еліпс більш довгастий.

Тепер змоделюємо протилежний процес: фокуси еліпса пішли назустріч один одному, наближаючись до центру. Це означає, що значення «це» стає дедалі менше і, відповідно, ексцентриситет прагне нулю: .
При цьому "зеленим відрізкам" буде, навпаки - "ставати тісно" і вони почнуть "виштовхувати" лінію еліпса вгору і вниз.

Таким чином, чим ближче значення ексцентриситету до нуля, тим еліпс більше схожий… дивимося граничний випадок, коли фокуси успішно возз'єдналися на початку координат:

Окружність – це окремий випадок еліпса

Справді, у разі рівності півосей канонічне рівняння еліпса набуває вигляду , який рефлекторно перетворюється на – добре відомого зі школи рівняння кола з центром на початку координат радіусу «а».

Насправді частіше використовують запис із «говорящей» буквою «ер»: . Радіусом називають довжину відрізка, при цьому кожна точка кола віддалена від центру на відстань радіуса.

Зауважте, що визначення еліпса залишається повністю коректним: фокуси збіглися, і сума довжин відрізків, що збіглися, для кожної точки кола – є величина постійна. Оскільки відстань між фокусами, то ексцентриситет будь-якого кола дорівнює нулю.

Будується коло легко і швидко, достатньо озброїтися циркулем. Тим не менш, іноді буває потрібно з'ясувати координати деяких її точок, у цьому випадку йдемо знайомим шляхом – наводимо рівняння до бадьорого матанівського вигляду:

– функція верхнього півкола;
– функція нижнього півкола.

Після чого знаходимо потрібні значення, диференціюємо, інтегруємоі робимо інші добрі речі.

Стаття, звичайно, має довідковий характер, але як на світі без кохання прожити? Творче завдання для самостійного вирішення

Приклад 2

Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомий один із його фокусів і мала піввісь (центр знаходиться на початку координат). Знайти вершини, додаткові точки та зобразити лінію на кресленні. Обчислити ексцентриситет.

Рішення та креслення наприкінці уроку

Додамо екшену:

Поворот та паралельне перенесення еліпса

Повернемося до канонічного рівняння еліпса , зокрема, до умови , загадка якого мучить допитливі уми ще з часів першої згадки про цю криву. Ось ми розглянули еліпс але хіба на практиці не може зустрітися рівняння ? Адже тут, однак, це начебто як і еліпс!

Подібне рівняння не часто, але справді трапляється. І воно справді визначає еліпс. Розвіємо містику:

Внаслідок побудови отримано наш рідний еліпс, повернутий на 90 градусів. Тобто, – це неканонічний записеліпса . Запис!- Рівняння не ставить якийсь інший еліпс, оскільки на осі немає точок (фокусів), які б задовольняли визначенню еліпса.

Малий дискримінант 5 (§ 66) для еліпса позитивний (див. приклад 1 § 66), для гіперболи негативний, для параболи дорівнює нулю.

Доведення. Еліпс є рівнянням. У цього рівняння малий дискримінант При перетворенні координат зберігає свою величину, а при множенні обох частин рівняння на число дискримінант множиться на (§ 66, зауваження). Отже, дискримінант еліпса позитивний у системі координат. У разі гіперболи та у разі параболи доказ аналогічний.

Відповідно до цього розрізняють три типи ліній другого порядку (і рівнянь другого ступеня):

1. Еліптичний тип, що характеризується умовою

До нього відносяться, крім дійсного еліпса, також уявний еліпс (§ 58, приклад 5) і пара уявних прямих, що перетинаються в дійсній точці (§ 58, приклад 4).

2. Гіперболічний тип, що характеризується умовою

До нього відноситься, крім гіперболи, пара дійсних прямих, що перетинаються (§ 58, приклад 1).

3. Параболічний тип, що характеризується умовою

До нього відноситься, крім параболи, пара паралельних (дійсних або уявних) прямих (вони можуть збігатися).

Приклад 1. Рівняння

належить до параболічного типу, оскільки

Оскільки великий дискримінант

не дорівнює нулю, то рівняння (1) представляє лінію, що не розпадається, тобто параболу (пор. §§ 61-62, приклад 2).

Приклад 2. Рівняння

належить до гіперболічного типу, оскільки

оскільки

то рівняння (2) представляє пару прямих, що перетинаються. Їхні рівняння можна знайти за способом § 65.

Приклад 3. Рівняння

належить до еліптичного типу, оскільки

Оскільки

то лінія не розпадається і, отже, є еліпсом.

Зауваження. Однотипні лінії геометрично пов'язані так: пара пересічних уявних прямих (тобто одна дійсна точка) є граничний випадок еліпса, що «стягується в крапку» (рис. 88); пара дійсних прямих, що перетинаються, - граничний випадок гіперболи, що наближається до своїх асимптотів (рис. 89); пара паралельних прямих - граничний випадок параболи, у якої вісь і одна пара точок симетричних щодо осі (рис. 90), нерухомі, а вершина віддаляється в нескінченність.