Зрівняння знайдемо дискримінант 3025. Чи може дискримінант бути меншим за нуль

КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА XI

§ 253. Вилучення коренів квадратних із негативних чисел.
Розв'язання квадратних рівнянь із негативними дискримінантами

Як ми знаємо,

i 2 = - 1.

Разом з тим

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Таким чином, існують по Крайній мірідва значення кореня квадратного з - 1, а саме i і - i . Але, можливо, є ще якісь комплексні числа, Квадрати яких рівні - 1?

Щоб з'ясувати це питання, припустимо, що квадрат комплексного числа а + bi дорівнює - 1. Тоді

(а + bi ) 2 = - 1,

а 2 + 2абі - b 2 = - 1

Два комплексні числа рівні тоді й тільки тоді, коли рівні їх дійсні частини та коефіцієнти при уявних частинах. Тому

{	а 2 - b 2 = - 1 ab = 0 (1)

Згідно з другим рівнянням системи (1) хоча б одне з чисел а і b має дорівнювати нулю. Якщо b = 0, то з першого рівняння виходить а 2 = - 1. Число а дійсне, і тому а 2 > 0. Невід'ємне число а 2 не може дорівнювати негативному числу - 1. Тому рівність b = 0 у разі неможливо. Залишається визнати, що а = 0, але тоді з першого рівняння системи одержуємо: - b 2 = - 1, b = ±1.

Отже, комплексними числами, квадрати яких дорівнюють -1, є лише числа i і - i , умовно це записується у вигляді:

√-1 = ± i .

Аналогічними міркуваннями учні можуть переконатися у тому, що є рівно два числа, квадрати яких рівні негативному числу - а . Такими числами є √ a i і -√ a i . Умовно це записується так:

√- а = ± √ a i .

Під √ a тут мається на увазі арифметичний, тобто позитивний корінь. Наприклад, √4 = 2, √9 =.3; тому

√-4 = + 2i , √-9 = ± 3 i

Якщо раніше при розгляді квадратних рівнянь із негативними дискримінантами ми говорили, що такі рівняння не мають коріння, то тепер так уже не можна говорити. Квадратні рівняння з негативними дискримінантами мають комплексне коріння. Це коріння виходить за відомими нам формулами. Нехай, наприклад, дано рівняння x 2 + 2х + 5 = 0; тоді

х 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 i .

Отже, дане рівняння має два корені: х 1 = - 1 +2i , х 2 = - 1 - 2i . Це коріння є взаємно сполученим. Цікаво відзначити, що їх сума дорівнює - 2, а твір 5, отже виконується теорема Виета.

Вправи

2022. (У с т н о.) Розв'язати рівняння:

а) x 2 = - 16; б) x 2 = - 2; у 3 x 2 = - 5.

2023. Знайти усі комплексні числа, квадрати яких рівні:

а) i ; б) 1/2 - √3/2 i ;

2024. Розв'язати квадратні рівняння:

а) x 2 - 2x + 2 = 0; б) 4 x 2 + 4x + 5 = 0; в) x 2 - 14x + 74 = 0.

Розв'язати системи рівнянь (№ 2025, 2026):

{	x + y = 6 xy = 45

{	2x - 3y = 1 xy = 1

2027. Довести, що коріння квадратного рівняння з дійсними коефіцієнтами та негативним дискримінантом є взаємно поєднаним.

2028. Довести, що теорема Вієта вірна для будь-яких квадратних рівнянь, а не лише для рівнянь із невід'ємним дискримінантом.

2029. Скласти квадратне рівнянняз дійсними коефіцієнтами, корінням якого є:

a) х 1 = 5 - i , х 2 = 5 + i ; б) х 1 = 3i , х 2 = - 3i .

2030. Скласти квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами, один із коренів якого дорівнює (3 - i ) (2i - 4).

2031. Скласти квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами, один із коренів якого дорівнює 32 - i
1- 3i .

Більше простим способом. Для цього винесіть z за дужки. Ви отримаєте : z(аz + b) = 0. Множники можна розписати: z = 0 і аz + b = 0, тому що обидва можуть давати в результаті нуль. У записі аz + b = 0 перенесемо другий праворуч з іншим знаком. Звідси одержуємо z1 = 0 і z2 = -b/а. Це і є коріння вихідного.

Якщо ж є неповне рівняннявиду аz² + с = 0, в даному випадку перебувають простим перенесенням вільного члена в праву частинурівняння. Також поміняйте у своїй його знак. Вийде запис аz² = -с. Виразіть z² = -с/а. Візьміть корінь і запишіть два рішення - позитивне та негативне значеннякореня квадратного.

Зверніть увагу

За наявності в рівнянні дробових коефіцієнтів помножте все рівняння на відповідний множник так, щоб позбавитися дробів.

Знання про те, як розв'язувати квадратні рівняння, потрібне і школярам, ​​і студентам, іноді це може допомогти і дорослій людині у звичайному житті. Є кілька певних методів рішень.

Розв'язання квадратних рівнянь

Квадратне рівняння виду a*x^2+b*x+c=0. Коефіцієнт х є шуканою змінною, a, b, c - числові коефіцієнти. Пам'ятайте, що знак "+" може змінюватися на знак "-".

Для того, щоб вирішити дане рівняння, необхідно скористатися теоремою Вієта або знайти дискримінант. Найпоширенішим способом є знаходження дискримінанта, тому що при деяких значеннях a, b, c скористатися теоремою Вієта неможливо.

Щоб знайти дискримінант (D) необхідно записати формулу D=b^2 - 4*a*c. Значення D може бути більшим, меншим або дорівнює нулю. Якщо D більше або менше нуля, то кореня буде два, якщо D = 0, то залишається лише один корінь, більш точно можна сказати, що D у цьому випадку має два рівнозначні корені. Підставте відомі коефіцієнти a, b, c формулу і обчисліть значення.

Після того, як ви знайшли дискримінант, для знаходження х скористайтеся формулами: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, де sqrt - це функція, що означає вилучення квадратного кореняз цього числа. Порахувавши ці вирази, ви знайдете два корені вашого рівняння, після чого рівняння вважається вирішеним.

Якщо D менше нуля, він все одно має коріння. У школі цей розділ практично не вивчається. Студенти вузів повинні знати, що з'являється негативне число під коренем. Від нього позбавляються виділяючи уявну частину, тобто -1 під коренем завжди дорівнює уявному елементу «i», який множиться на корінь з таким самим позитивним числом. Наприклад, якщо D=sqrt(-20), після перетворення виходить D=sqrt(20)*i. Після цього перетворення рішення рівняння зводиться до такого ж знаходження коренів, як було описано вище.

Теорема Вієта полягає у підборі значень x(1) та x(2). Використовується два тотожні рівняння: x(1) + x(2)=-b; x(1)*x(2)=с. Причому дуже важливим моментом є знак перед коефіцієнтом b, пам'ятайте, що цей знак протилежний тому, що стоїть у рівнянні. З першого погляду здається, що порахувати x(1) і x(2) дуже просто, але при вирішенні ви зіткнетеся з тим, що числа доведеться саме підбирати.

Сподіваюся, вивчивши цю статтю, ви навчитеся знаходити коріння повного квадратного рівняння.

За допомогою дискримінанта вирішуються лише повні квадратні рівняння, для вирішення неповних квадратних рівнянь використовують інші методи, які ви знайдете у статті "Рішення неповних квадратних рівнянь".

Які квадратні рівняння називаються повними? Це рівняння виду ах 2 + b x + c = 0, Де коефіцієнти a, b і з не дорівнюють нулю. Отже, щоб розв'язати повне квадратне рівняння, треба обчислити дискримінант D.

D = b 2 - 4ас.

Залежно від того, яке значення має дискримінант, ми й запишемо відповідь.

Якщо дискримінант є негативним числом (D< 0),то корней нет.

Якщо ж дискримінант дорівнює нулю, то x = (-b)/2a. Коли дискримінант позитивне число (D > 0),

тоді х 1 = (-b - √D) / 2a, і х 2 = (-b + √D) / 2a.

Наприклад. Вирішити рівняння х 2- 4х + 4 = 0.

D = 4 2 - 4 · 4 = 0

x = (- (-4)) / 2 = 2

Відповідь: 2.

Розв'язати рівняння 2 х 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 - 4 · 2 · 3 = - 23

Відповідь: коріння немає.

Розв'язати рівняння 2 х 2 + 5х - 7 = 0.

D = 5 2 - 4 · 2 · (-7) = 81

х 1 = (-5 - √81) / (2 · 2) = (-5 - 9) / 4 = - 3,5

х 2 = (-5 + √81) / (2 · 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

Відповідь: - 3,5; 1.

Отже представимо розв'язок повних квадратних рівнянь схемою на рисунку1.

За цими формулами можна вирішувати будь-яке повне квадратне рівняння. Потрібно лише уважно стежити за тим, щоб рівняння було записано багаточленом стандартного вигляду

а х 2 + bx + c,інакше можна припуститися помилки. Наприклад, у записі рівняння х + 3 + 2х 2 = 0 помилково можна вирішити, що

а = 1, b = 3 та с = 2. Тоді

D = 3 2 - 4 · 1 · 2 = 1 і тоді рівняння має два корені. А це не так. (Дивись рішення прикладу 2 вище).

Тому, якщо рівняння записано не багаточленом стандартного виду, спочатку повне квадратне рівняння треба записати багаточленом стандартного виду (на першому місці має стояти одночлен з найбільшим показникомступеня, тобто а х 2 , потім з меншим – bx, а потім вільний член с.

При вирішенні наведеного квадратного рівняння і квадратного рівняння з парним коефіцієнтом при другому доданку можна використовувати інші формули. Давайте познайомимося з цими формулами. Якщо у повному квадратному рівнянні при другому доданку коефіцієнт буде парним (b = 2k), можна вирішувати рівняння за формулами наведеними на схемі малюнка 2.

Повне квадратне рівняння називається наведеним, якщо коефіцієнт при х 2 дорівнює одиниці і рівняння набуде вигляду х 2 + px + q = 0. Таке рівняння може бути дано на вирішення, або виходить розподілом всіх коефіцієнтів рівняння коефіцієнт а, що стоїть при х 2 .

На малюнку 3 наведено схему рішення наведених квадратних
рівнянь. Розглянемо з прикладу застосування розглянутих у цій статті формул.

приклад. Вирішити рівняння

3х 2 + 6х - 6 = 0.

Давайте розв'яжемо це рівняння застосовуючи формули наведені на схемі малюнка 1.

D = 6 2 - 4 · 3 · (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х 1 = (-6 - 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3

Можна зауважити, що коефіцієнт при х у цьому рівнянні парне число, тобто b = 6 або b = 2k, звідки k = 3. Тоді спробуємо вирішити рівняння за формулами, наведеними на схемі малюнка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Відповідь: -1 - √3; -1 + √3. Помітивши, що всі коефіцієнти у цьому квадратному рівнянні діляться на 3 і виконавши розподіл, отримаємо наведене квадратне рівняння x 2 + 2х – 2 = 0 Розв'яжемо це рівняння, використовуючи формули для наведеного квадратного рівняння
рівняння рисунок 3.

D 2 = 2 2 - 4 · (- 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Відповідь: –1 – √3; -1 + √3.

Як бачимо, при вирішенні цього рівняння за різними формулами ми отримали одну й ту саму відповідь. Тому добре засвоївши формули, наведені на схемі малюнка 1, ви завжди зможете вирішити будь-яке повне квадратне рівняння.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Дискримінант – багатозначний термін. У цій статті мова піде про дискримінанта багаточлена, який дозволяє визначити, чи має цей багаточлен дійсні рішення. Формула для квадратного багаточлена зустрічається у шкільному курсі алгебри та аналізу. Як знайти дискримінант? Що потрібне для вирішення рівняння?

Квадратним багаточленом або рівнянням другого ступеня називається i * w ^ 2 + j * w + k дорівнює 0, де "i" і "j" - перший і другий коефіцієнт відповідно, "k" - константа, яку іноді називають "вільним членом", а "w" - змінна. Його корінням виявляться всі значення змінної, у яких воно перетворюється на тотожність. Таку рівність допустимо переписати, як добуток i, (w - w1) і (w - w2) дорівнює 0. У цьому випадку очевидно, що якщо коефіцієнт "i" не звертається в нуль, то функція в лівій частині стане нульовою тільки у випадку, якщо x набуває значення w1 або w2. Ці значення є результатом прирівнювання багаточлену до нуля.

Для знаходження значення змінної, у якому квадратний многочлен перетворюється на нуль, використовується допоміжна конструкція, побудована з його коефіцієнтах і названа дискримінантом. Ця конструкція розраховується згідно з формулою D дорівнює j * j - 4 * i * k. Для чого вона використовується?

1. Вона каже, чи є дійсні результати.
2. Вона допомагає їх вирахувати.

Як це значення показує наявність речових коренів:

• Якщо воно позитивне, то можна знайти два корені в ділянці дійсних чисел.
• Якщо дискримінант дорівнює нулю, то обидва рішення збігаються. Можна сказати, що є лише одне рішення, і воно з області речових чисел.
• Якщо дискримінант менше нуля, то багаточлен відсутній речові корені.

Варіанти розрахунків для закріплення матеріалу

Для суми (7 * w ^ 2; 3 * w; 1) дорівнює 0розраховуємо D за формулою 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 отримуємо -19. Значення дискримінанта нижче за нуль говорить про відсутність результатів на дійсній прямій.

Якщо розглянути 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 еквівалентний 0, то D розраховується як (-3) у квадраті за вирахуванням добутку чисел (4; 2; 1) і дорівнює 9 - 8, тобто 1. Позитивне значенняговорить про два результати на речовій прямій.

Якщо взяти суму (w^2; 2*w; 1) і прирівняти до 0, D розрахується, як два в квадраті мінус добуток чисел (4; 1; 1). Цей вираз спроститься до 4-4 і звернеться в нуль. Виходить, що результати збігаються. Якщо уважно вдивитися у цю формулу, стане зрозуміло, що це «повний квадрат». Отже, рівність можна переписати у формі (w + 1) ^ 2 = 0. Стало очевидним, що результат у цьому завданні «-1». Якщо D дорівнює 0, ліву частину рівності завжди вдасться згорнути за формулою «квадрат суми».

Використання дискримінанта у обчисленні коренів

Ця допоміжна конструкція не лише показує кількість речових рішень, а й допомагає їх знаходити. Загальна формула розрахунку рівняння другого ступеня така:

w = (-j + / - d) / (2 * i), де d - дискримінант у ступені 1/2.

Припустимо, дискримінант нижче нульової позначки, тоді d - уявно і результати уявні.

D нульовий, тоді d, рівний D ступеня 1/2, теж нульовий. Рішення: -j/(2*i). Знову розглядаємо 1*w^2+2*w+1=0, знаходимо результати еквівалентні -2/(2*1)=-1.

Припустимо, D > 0, отже, d - речове число, і відповідь тут розпадається на дві частини: w1 = (-j + d) / (2 * i) і w2 = (-j - d) / (2 * i) . Обидва результати виявляться дійсними. Погляньмо на 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0. Тут дискримінант і d - одиниці. Виходить, w1 дорівнює (3 + 1) ділити (2 * 2) або 1, а w2 дорівнює (3 - 1) ділити на 2 * 2 або 1/2.

Результат прирівнювання квадратного виразудо нуля обчислюється згідно з алгоритмом:

1. Визначення кількості дійсних рішень.
2. Обчислення d = D^(1/2).
3. Знаходження результату відповідно до формули (-j+/-d)/(2*i).
4. Підстановка отриманого результату вихідну рівність для перевірки.

Деякі окремі випадки

Залежно від коефіцієнтів рішення може спрощуватися. Очевидно, що якщо коефіцієнт перед змінною в другому ступені дорівнює нулю, то виходить лінійна рівність. Коли коефіцієнт перед змінною в першому ступені нульовий, то можливі два варіанти:

1. многочлен розкладається у різницю квадратів при негативному вільному члені;
2. за позитивної константи дійсних рішень знайти не можна.

Якщо вільний член нульовий, то коріння буде (0; -j)

Але є й інші окремі випадки, що спрощують знаходження рішення.

Наведене рівняння другого ступеня

Наведеним називаютьтакий квадратний тричлен, де коефіцієнт перед старшим членом одиниця. Для цієї ситуації застосовна теорема Вієта, яка свідчить, що сума коренів дорівнює коефіцієнту при змінній у першому ступені, помноженому на -1, а твір відповідає константі «k».

Отже, w1 + w2 дорівнює -j і w1 * w2 дорівнює k, якщо перший коефіцієнт - одиниця. Щоб переконатися в правильності такого уявлення, можна виразити з першої формули w2 = -j - w1 і підставити його на другу рівність w1 * (-j - w1) = k. У результаті виходить вихідна рівність w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Важливо відмітити, Що i * w ^ 2 + j * w + k = 0 вдасться привести шляхом розподілу на "i". Результат буде: w^2+j1*w+k1=0, де j1 дорівнює j/i та k1 дорівнює k/i.

Погляньмо на вже вирішене 2 * w^2 - 3 * w + 1 = 0 з результатами w1 = 1 і w2 = 1/2. Треба поділити його навпіл, в результаті w^2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Перевіримо, що для знайдених результатів справедливі умови теореми: 1 + 1/2 = 3/2 і 1*1/2 = 1 /2.

Парний другий множник

Якщо множник при змінній першому ступені (j) ділиться на 2, то вдасться спростити формулу та шукати рішення через чверть дискримінанта D/4 = (j/2) ^ 2 - i*k. виходить w = (-j +/- d/2) / i, де d/2 = D/4 ступенем 1/2.

Якщо i = 1, а коефіцієнт j - парний, то рішенням буде добуток -1 і половини коефіцієнта при змінній w, плюс/мінус корінь із квадрата цієї половини за вирахуванням константи «k». Формула: w = -j / 2 + / - (j ^ 2 / 4 - k) ^ 1/2.

Вищий порядок дискримінанта

Розглянутий вище дискримінант тричлену другого ступеня - це найчастіший випадок. У загальному випадку дискримінант багаточлена є перемножені квадрати різниць коріння цього багаточлена. Отже дискримінант рівний нулю говорить про наявність як мінімум двох кратних рішень.

Розглянемо i*w^3+j*w^2+k*w+m=0.

D = j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Припустимо, дискримінант перевершує нуль. Це означає, що є три корені в ділянці дійсних чисел. За нульового є кратні рішення. Якщо D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Відео

Наше відео докладно розповість про обчислення дискримінанта.

Чи не отримали відповідь на своє запитання? Запропонуйте авторам тему.