Директриса параболи. Парабола

Розглянемо на площині пряму і точку, що не лежить на цій прямій. І еліпс, і гіперболаможуть бути визначені єдиним чином як геометричне місце точок, для яких відношення відстані до даної точки до відстані до даної прямої є постійна

чину ε. При 01 - гіпербола. Параметр ε є ексцентриситетом як еліпса, так і гіперболи. З можливих позитивних значеньпараметра ε одне, а саме ε = 1, виявляється незадіяним. Цьому значенню відповідає геометричне місце точок, рівновіддалених від цієї точки і від цієї прямої.

Визначення 8.1.Геометричне місце точок площини, рівновіддалених від фіксованої точки та від фіксованої прямої, називають параболою.

Фіксовану точку називають фокусом параболи, А пряму - директрисою параболи. При цьому вважають, що ексцентриситет параболидорівнює одиниці.

З геометричних міркувань випливає, що парабола симетрична щодо прямої, перпендикулярної директрисі і параболи, що проходить через фокус. Цю пряму називають віссю симетрії параболи або просто віссю параболи. Парабола перетинається зі своєю віссю симетрії у єдиній точці. Цю точку називають вершиною параболи. Вона розташована всередині відрізка, що з'єднує фокус параболи з точкою перетину її осі з директрисою (рис. 8.3).

Рівняння параболи.Для виведення рівняння параболи виберемо на площині початок координату вершині параболи, як осі абсцис- вісь параболи, позитивний напрямок якої задається положенням фокуса (див. рис. 8.3). Цю систему координат називають канонічноїдля аналізованої параболи, а відповідні змінні - канонічними.

Позначимо відстань від фокусу до директорки через p. Його називають фокальним параметром параболи.

Тоді фокус має координати F(p/2; 0), а директриса d описується рівнянням x = p/2. Геометричне місце точок M(x; y), рівновіддалених від точки F і від прямої d, визначається рівнянням

Зведемо рівняння (8.2) у квадрат і наведемо такі. Отримаємо рівняння

яке називають канонічним рівнянням параболи.

Зазначимо, що зведення у квадрат у разі - еквівалентне перетворення рівняння (8.2), оскільки обидві частини рівняння неотрицательны, як і вираз під радикалом.

Перегляд параболи.Якщо параболу у 2 = x, вид якої вважаємо відомим, стиснути з коефіцієнтом 1/(2р) уздовж осі абсцис, то вийде парабола загального вигляду, Яка описується рівнянням (8.3).

Приклад 8.2.Знайдемо координати фокусу та рівняння директриси параболи, якщо вона проходить через точку, канонічні координати якої (25; 10).

У канонічних координатах рівняння параболи має вигляд 2 = 2px. Оскільки точка (25; 10) знаходиться на параболі, то 100 = 50p і тому p = 2. Отже, у 2 = 4x є канонічним рівнянням параболи, x = - 1 – рівнянням її директриси, а фокус знаходиться у точці (1; 0 ).

Оптична властивість параболи.Парабола має таке оптична властивість. Якщо у фокус параболи помістити джерело світла, всі світлові промені після відбиття від параболи будуть паралельні осі параболи (рис. 8.4). Оптична властивість означає, що у будь-якій точці M параболи нормальний вектор дотичної становить з фокальним радіусом MF і віссю абсцис однакові кути.

Лекції з алгебри та геометрії. Семестр 1

Лекція 17. Парабола.

Розділ 17. Парабола.

п.1. Основні визначення.

Визначення. Параболою називається ГМТ площини рівновіддалених від однієї фіксованої точки площини, яка називається фокусом, і однією фіксованою прямою, званою директрисою.

Визначення. Відстань від довільної точки М площині до фокусу параболи називається фокальним радіусом точки М.

Позначення: F– фокус параболи, r– фокальний радіус точки М, d- Відстань від точки М до директриси D.

За визначенням параболи, точка М є точкою параболи тоді і лише тоді, коли
.

За визначенням параболи, його фокус і директриса є фіксовані об'єкти, тому відстань від фокусу до директриси є постійна величина для даної параболи.

Визначення. Відстань від фокусу параболи до її директриси називається фокальним параметром параболи.

Позначення:
.

Введемо на цій площині систему координат, яку ми називатимемо канонічною для параболи.

Визначення. Вісь, проведена через фокус параболи перпендикулярно директрисі, називається фокальною віссю параболи.

Побудуємо канонічну для параболи ПДСК, див. рис.2.

Як осі абсцис вибираємо фокальну вісь, напрямок на якій вибираємо від директорки до фокусу.

Вісь ординат проводимо через середину відрізка FNперпендикулярно до фокальної осі. Тоді фокус має координати
.

п.2. Канонічне рівняння параболи.

Теорема. У канонічній для параболи системі координат рівняння параболи має вигляд:

. (1)

Доведення. Доказ проведемо у два етапи. На першому етапі ми доведемо, що координати будь-якої точки, що лежить на параболі, задовольняють рівнянню (1). На другому етапі ми доведемо, що будь-яке рішення рівняння (1) дає координати точки, що лежить на параболі. Звідси випливатиме, що рівнянню (1) задовольняють координати тих і лише тих точок координатної площини, що лежать на параболі.

Звідси і визначення рівняння кривої слідувати, що рівняння (1) є рівнянням параболи.

1) Нехай точка М(х, у) є точкою параболи, тобто.

.

Скористаємося формулою відстані між двома точками на координатній площині та знайдемо за цією формулою фокальний радіус даної точки М:

.

З малюнка 2 бачимо, що точка параболи неспроможна мати негативної абсциси, т.к. в цьому випадку
. Тому
і
. Звідси отримуємо рівність

.

Зведемо обидві частини рівності квадрат:

і після скорочення отримуємо:

.

2) Нехай тепер пара чисел (х, у) задовольняє рівняння (1) і нехай М(х, у) – відповідна точка на координатній площині Оху.

Тоді підставляємо рівність (1) для фокального радіуса точки М:

, Звідки, за визначенням параболи, випливає, що точка М (х, у) лежить на параболі.

Тут ми скористалися тим, що з рівності (1) випливає, що
і, отже,
.

Теорему доведено.

Визначення. Рівняння (1) називається канонічним рівнянням параболи.

Визначення. Початок канонічної для параболи системи координат називається вершиною параболи.

п.3. Властивості параболи.

Теорема. (Властивості параболи.)

1. У канонічній для параболи системі координат, у смузі

немає точок параболи.

2. У канонічній для параболи системі координат вершина параболи О(0; 0) лежить на параболі.

3. Парабола є кривою, симетричною щодо фокальної осі.

Доведення. 1, 2) Відразу ж випливає з канонічного рівняння параболи.

3) Нехай М(х, у) – довільна точка параболи. Тоді її координати задовольняють рівняння (1). Але тоді координати точки
також задовольняють рівняння (1), і, отже, ця точка також є точкою параболи, звідки слід затвердження теореми.

Теорему доведено.

п.4. Побудова параболи.

У силу симетрії достатньо побудувати параболу у першій чверті, де вона є графіком функції

,

а потім відобразити отриманий графік симетрично щодо осі абсцис.

Будуємо графік цієї функції, враховуючи, що ця функція є зростаючою на проміжку
.

п.5. Фокальний параметр гіпербол.

Теорема. Фокальний параметр параболи дорівнює довжині перпендикуляра до осі симетрії, відновленого у фокусі параболи до перетину з параболою.

Доведення. Бо точка
є точкою перетину параболи
з перпендикуляром
(див. рис.3), то її координати задовольняють рівняння параболи:

.

Звідси знаходимо
, звідки і слідує затвердження теореми.

Теорему доведено.

п.6. Єдине визначення еліпса, гіперболи та параболи.

Використовуючи доведені властивості еліпса та гіперболи, і визначення параболи можна дати єдине для всіх трьох кривих визначення.

Визначення. ГМТ площини, для яких відношення відстані до однієї фіксованої точки площини, званої фокусом, до відстані до однієї фіксованої прямої, званої директрисою, є постійна величина, називається:

а) еліпсом, якщо ця стала величина менше 1;

б) гіперболою, якщо ця постійна величина більша за 1;

в) параболою, якщо ця стала величина дорівнює 1.

Ця постійна величина, про яку йдеться у визначенні, називається ексцентриситетом і позначається , відстань від цієї точки до фокусу є її фокальний радіус, відстань від цієї точки до директриси позначається через d.

З визначення випливає, що ті точки площини, для яких відношення є постійна величина утворюють еліпс, гіперболу або параболу, залежно від величини цього відношення.

Якщо
, то ми отримуємо еліпс, якщо
, то ми отримуємо гіперболу, якщо
, то ми отримуємо параболу.

п.7. Дотична до параболи.

Теорема. Нехай
- Довільна точка параболи

.

Тоді рівняння щодо цієї параболи

у точці
має вигляд:

. (2)

Доведення. Достатньо розглянути випадок, коли точка торкання лежить у першій чверті. Тоді рівняння параболи має вигляд:

і її можна розглядати як графік функції
.

Скористаємося рівнянням щодо графіку функції
у точці
:

де
– значення похідної цієї функції у точці
.

Знайдемо похідну функції
та її значення у точці торкання:

,
.

Тут ми скористалися тим, що точка торкання
є точкою параболи і тому її координати задовольняють рівняння параболи, тобто.

.

Підставляємо знайдене значення похідної рівняння дотичної:

,

звідки отримуємо:

.

Бо точка
належить параболі, її координати задовольняють її рівнянню, тобто.
, звідки отримуємо

або
.

звідси випливає

.

Теорему доведено.

п.8. Дзеркальна властивість параболи.

Теорема. Дотична до параболи утворює рівні кути з її віссю симетрії та з фокальним радіусом точки дотику.

Доведення. Нехай
- точка торкання, – її фокальний радіус. Позначимо через N точку перетину дотичної з віссю абсцис. Ордината точки N дорівнює нулю і точка N лежить на дотичній, отже, її координати задовольняють рівняння дотичної. Підставляючи координати точки Nв рівняння дотичної, отримуємо:

,

звідки абсцис точки N дорівнює
.

Розглянемо трикутник
. Доведемо, що він рівнобедрений.

Справді,
. Тут ми скористалися рівністю, отриманою під час виведення канонічного рівняння параболи:

.

У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні. Звідси

, Ч.т.д.

Теорему доведено.

Зауваження. Доведену теорему можна сформулювати у вигляді дзеркальної властивості параболи.

Промінь світла, випущений з фокусу параболи, після відбиття від дзеркала параболи йде паралельно осі симетрії параболи.

Дійсно, оскільки кут падіння променя на дотичну дорівнює куту відбиття від неї, то кут між дотичною і відбитим променем дорівнює куту між дотичною і віссю абсцис, звідки випливає, що відбитий промінь паралельний осі абсцис.

Зауваження. Ця властивість параболи набула широкого застосування в техніці. Якщо параболу обертати навколо осі симетрії, то отримаємо поверхню, яка називається параболоїдом обертання. Якщо виконати поверхню, що відбиває, у формі параболоїда обертання і у фокусі помістити джерело світла, то відбиті промені йдуть паралельно осі симетрії параболоїда. Так влаштовані прожектори та автомобільні фари. Якщо ж у фокусі помістити пристрій, що приймає електромагнітні коливання (хвилі), то вони відбиваючись від поверхні параболоїда потрапляють в цей пристрій. За таким принципом працюють супутникові тарілки.

Існує легенда, що в давнину один полководець збудував своїх воїнів уздовж берега, надавши їхньому строю форму параболи. Сонячне світло, відбиваючись від начищених до блиску щитів воїнів, збиралося в пучок (у фокусі побудованої параболи). Таким чином було спалено кораблі ворога. Деякі джерела приписують це Архімед. Так чи інакше, але араби називали параболоїд обертання "запальним дзеркалом".

До речі, слово "focus" латинське та в перекладі означає вогонь, вогнище. За допомогою "запального дзеркала" можна в сонячний день розпалити багаття і закип'ятити воду. Тож стає зрозумілим походження цього терміна.

Слово "фокус" означає також деякий трюк чи хитрий прийом. Раніше цирк називався балаганом. Так ще балагані артисти використовували дзеркальну властивість еліпса і запалюючи світло в одному фокусі еліпса вони розпалювали щось займисте, поміщене в іншому його фокусі. Це видовище стали називати фокусом. (Читайте чудову книжку Віленкіна Н.Я. "За сторінками підручника математики")

п.9. Полярне рівняння еліпса, гіперболи та параболи.

Нехай на площині дана точка F, яку ми назвемо фокусом і пряма D, яку ми назвемо директрисою. Проведемо через фокус пряму перпендикулярну директрису (фокальна вісь) та введемо полярну систему координат. Полюс помістимо у фокус, а як полярний промінь візьмемо ту частину прямої, яка не перетинає директрису (див. рис.5).

Нехай точка М лежить на еліпсі, гіперболі чи параболі. Надалі називатимемо зліпс гіперболу або параболу просто кривою.

Теорема. Нехай
– полярні координати точки кривої (еліпса, гіперболи чи параболи). Тоді

, (3)

де р - Фокальний параметр кривої, – ексцентриситет кривий (для параболи вважаємо
).

Доведення. Нехай Q-проекція точки М на фокальну вісь кривою, В - на директрису кривої. Нехай полярний кут точки М є тупим, як у малюнку 5. Тоді

,

де за побудовою,
- Відстань від точки М до директриси,і

. (4)

З іншого боку, за єдиним визначенням еліпса, гіперболи та параболи відношення

(5)

одно ексцентриситету відповідної кривої для будь-якої точки М на даній кривій. Нехай крапка
– точка перетину кривої з перпендикуляром до фокальної осі, відновленого у фокусі Fі А – її проекція на директрису. Тоді

, звідки
. Але
, звідки

і, підставляючи у рівність (4), отримуємо

або, враховуючи рівність (5),

звідки і випливає рівність, що доводиться (3).

Зауважимо, що рівність (4) залишається вірною і у випадку, коли полярний кут точки М є гострим, т.к. у цьому випадку точка Q знаходиться праворуч фокусу Fі

Теорему доведено.

Визначення. Рівняння (3) називається полярним рівнянням еліпса, гіперболи та параболи.

Решта ж читачам пропоную суттєво поповнити свої шкільні знання про параболу та гіперболу. Гіперболу та параболу – це просто? …Не дочекаєтеся =)

Гіперболу та її канонічне рівняння

Загальна структура викладу матеріалу нагадуватиме попередній параграф. Почнемо з загального поняттягіперболи та завдання на її побудову.

Канонічне рівняння гіперболи має вигляд , де - Позитивні дійсні числа. Зверніть увагу, що на відміну від еліпса, тут не накладається умова , тобто, значення «а» може бути і менше значення"Бе".

Слід сказати, досить несподівано… рівняння «шкільної» гіперболи і близько не нагадує канонічну запис. Але ця загадка нас ще зачекає, а поки почуймо потилицю і пригадаємо, якими характерними особливостямимає крива, що розглядається? Розкинемо на екрані своєї уяви графік функції ….

У гіперболи дві симетричні гілки.

Непоганий прогрес! Ці властивості має будь-яка гіпербола, і зараз ми з непідробним захопленням заглянемо в декольте цієї лінії:

Приклад 4

Побудувати гіперболу, задану рівнянням

Рішення: на першому кроці наведемо дане рівняння до канонічного вигляду . Будь ласка, запам'ятайте типовий порядок дій. Праворуч необхідно отримати «одиницю», тому обидві частини вихідного рівняння ділимо на 20:

Тут можна скоротити обидва дроби, але оптимальніше зробити кожен з них триповерховий:

І лише після цього провести скорочення:

Виділяємо квадрати у знаменниках:

Чому перетворення краще проводити саме так? Адже дроби лівої частини можна відразу скоротити та отримати. Справа в тому, що в цьому прикладі трохи пощастило: число 20 ділиться і на 4 і на 5. загальному випадкутакий номер не проходить. Розглянемо, наприклад, рівняння . Тут з ділимістю все сумніше і без триповерхових дробіввже не обійтися:

Отже, скористаємося плодом наших праць – канонічним рівнянням:

Як побудувати гіперболу?

Існує два підходи до побудови гіперболи – геометричний та алгебраїчний.
З практичної точки зору викреслення за допомогою циркуля... я навіть сказав би утопічно, тому набагато вигідніше знову залучити на допомогу нехитрі розрахунки.

Доцільно дотримуватися наступного алгоритму, спочатку готове креслення, потім коментарі:

Насправді часто зустрічається комбінація повороту на довільний кут і паралельного перенесення гіперболи. Ця ситуація розглядається на уроці Приведення рівняння лінії 2-го порядку до канонічного вигляду.

Парабола та її канонічне рівняння

Здійснилося! Вона сама. Готова розкрити чимало таємниць. Канонічне рівняння параболи має вигляд , де – дійсне число. Неважко помітити, що у своєму стандартному положенні парабола «лежать на боці» та її вершина знаходиться на початку координат. У цьому функція задає верхню гілка цієї лінії, а функція – нижню гілка. Вочевидь, що парабола симетрична щодо осі . Власне, чого паритися:

Приклад 6

Побудувати параболу

Рішення: вершина відома, знайдемо додаткові точки. Рівняння визначає верхню дугу параболи, рівняння нижню дугу.

З метою скоротити запис обчислення проведемо «під одним гребінцем»:

Для компактного запису результати можна було звести до таблиці.

Перед тим, як виконати елементарний поточковий креслення, сформулюємо суворе

визначення параболи:

Параболою називається безліч всіх точок площини, рівновіддалених від даної точки і даної прямої, що не проходить через точку.

Крапка називається фокусомпараболи, пряма – директрисою (Пишеться з однієї «ес»)параболи. Константа «Пе» канонічного рівнянняназивається фокальним параметром, що дорівнює відстані від фокусу до директорки. В даному випадку . При цьому фокус має координати, а директриса задається рівнянням.
У нашому прикладі:

Визначення параболи розуміється ще простіше, ніж визначення еліпса та гіперболи. Для будь-якої точки параболи довжина відрізка (відстань від фокуса до точки) дорівнює довжині перпендикуляра (відстань від точки до директриси):

Вітаю! Багато хто з вас сьогодні зробив справжнісіньке відкриття. Виявляється, гіпербола та парабола зовсім не є графіками «рядових» функцій, а мають яскраво виражене геометричне походження.

Очевидно, що при збільшенні фокального параметра гілки графіка будуть "лунати" вгору і вниз, нескінченно близько наближаючись до осі. При зменшенні значення «пе» вони почнуть стискатися і витягуватися вздовж осі

Ексцентриситет будь-якої параболи дорівнює одиниці:

Поворот та паралельне перенесення параболи

Парабола - одна з найпоширеніших ліній в математиці, і будувати її доведеться дійсно часто. Тому, будь ласка, особливо уважно поставитися до заключного параграфа уроку, де я розберу типові варіантирозташування даної кривої.

! Примітка : як і у випадках з попередніми кривими, коректніше говорити про поворот і паралельне перенесення координатних осей, але автор обмежиться спрощеним варіантом викладу, щоб у читача склалися елементарні уявлення про дані перетворення.

Парабола є безліч точок площини, рівновіддалених від цієї точки(фокус)і від цієї прямої, що не проходить через дану точку (директриси), розташованих у тій же площині(Рис.5).

При цьому система координат обрана так, що вісь
проходить перпендикулярно директрисі через фокус, її позитивний напрямок обрано від директриси у бік фокусу. Вісь ординат проходить паралельно директрисі, посередині між директрисою та фокусом, звідки рівняння директриси
координати фокусу
. Початок координат є вершиною параболи, а вісь абсцис – її віссю симетрії. Ексцентриситет параболи
.

У ряді випадків розглядаються параболи, задані рівняннями

а)

б)
(для всіх випадків
)

в)
.

У разі а) парабола симетрична щодо осі
і спрямовано її негативну сторону (рис.6).

У випадках б) та в) віссю симетрії є вісь
(Рис.6). Координати фокусів для таких випадків:

а)
б)
в)
.

Рівняння директрис:

а)
б)
в)
.

приклад 4.Парабола з вершиною на початку координат проходить через точку
і симетрична щодо осі
. Написати її рівняння.

Рішення:

Оскільки парабола симетрична щодо осі
і проходить через точку з позитивною абсцисою, вона має вигляд, представлений на рис.5.

Підставляючи координати точки у рівняння такої параболи
, отримаємо
, тобто.
.

Отже, шукане рівняння

,

фокус цієї параболи
, рівняння директриси
.

4. Перетворення рівняння лінії другого порядку до канонічного виду.

Загальне рівняння другого ступеня має вигляд

де коефіцієнти
одночасно на нуль не звертаються.

Будь-яка лінія, що визначається рівнянням (6), називається лінією другого порядку. За допомогою перетворення системи координат рівняння лінії другого порядку може бути наведено до найпростішого (канонічного) вигляду.

1. У рівнянні (6)
. У цьому випадку рівняння (6) має вигляд

Воно перетворюється на найпростіший вид за допомогою паралельного перенесення осей координат за формулами

(8)

де
– координати нового початку
(У старій системі координат). Нові осі
і
паралельні старим. Крапка
є центром еліпса або гіперболи та вершиною у разі параболи.

Приведення рівняння (7) до найпростішого вигляду зручно робити методом виділення повних квадратів аналогічно до того, як це робилося для кола.

Приклад 5.Зрівняння лінії другого порядку призвести до найпростішого вигляду. Визначити вигляд та розташування цієї лінії. Знайти координати фокусів. Зробити креслення.

Рішення:

Групуємо члени, що містять тільки і тільки , виносячи коефіцієнти при і за дужку:

Доповнюємо вирази у дужках до повних квадратів:

Таким чином, дане рівняння перетворено на вигляд

Позначаємо

або

Порівнюючи з рівняннями (8), бачимо, що ці формули визначають паралельне перенесення осей координат у точку
. У новій системі координат рівняння запишеться так:

Переносячи вільний член праворуч і розділивши нею, отримаємо:

.

Отже, дана лінія другого порядку є еліпс із півосями
,
. Центр еліпса знаходиться на новому початку координат
, а його фокальна вісь є вісь
. Відстань фокусів від центру, тому нові координати правого фокусу
. Старі координати цього ж фокусу знаходяться з формул паралельного перенесення:

Аналогічно нові координати лівого фокусу
,
. Його старі координати:
,
.

Зауваження. Для уточнення креслення корисно знайти точки перетину цієї лінії (7) із старими координатними осями. Для цього треба у формулі (7) покласти спочатку
, а потім
і вирішити рівняння, що виходять.

Поява комплексного коріння означатиме, що лінія (7) відповідну координатну вісь не перетинає.

Наприклад, для еліпса щойно розібраної задачі виходять такі рівняння:

Друге з цих рівнянь має комплексне коріння, тому еліпс вісь
не перетинає. Коріння першого рівняння:

У точках
і
еліпс перетинає вісь
(Мал.7).

Приклад 6.Привести до найпростішого вигляду рівняння лінії другого порядку. Визначити вигляд та розташування лінії, знайти координати фокусу.

Рішення:

Оскільки член з відсутня, то треба виділити повний квадрат тільки по :

Виносимо також за дужку коефіцієнт при

.

Позначаємо

або

Тим самим проводиться паралельне перенесення системи координат у точку
. Після перенесення рівняння набуде вигляду

.

Тому фокус має нові координати

.

Його старі координати

Якщо у цьому рівнянні покласти
або
, то виявимо, що парабола перетинає вісь
у точці
, а вісь
вона не перетинає.

2. У рівнянні (1)
. Загальне рівняння (1) другого ступеня перетворюється на вид (2), тобто. до розглянутого у п.1. випадку, за допомогою повороту координатних осей на кут
за формулами

(9)

де
- Нові координати. Кут
знаходиться з рівняння

Осі координат повертаються при цьому так, щоб нові осі
і
були паралельні осям симетрії лінії другого порядку.

Знаючи
, можна знайти
і
за формулами тригонометрії

,
.

Якщо кут повороту
умовитися вважати гострим, то в цих формулах треба брати знак плюс, і для
треба також взяти позитивне рішення рівняння (5).

Зокрема, при
систему координат потрібно повернути на кут
. Формули повороту на вгамують вигляд:

(11)

Приклад 7.Зрівняння лінії другого порядку призвести до найпростішого вигляду. Встановити вигляд та розташування цієї лінії.

Рішення:

В даному випадку
, 1
,
тому кут повороту
знаходиться з рівняння

.

Вирішення цього рівняння
і
. Обмежуючись гострим кутом
беремо перше з них. Тоді

,

,
.

Підставляючи ці значення і на це рівняння

Розкриваючи дужки та наводячи подібні, отримаємо

.

Нарешті, розділивши на вільний член, прийдемо до рівняння еліпса

.

Звідси слідує що
,
, причому велика вісь еліпса спрямована по осі
, а мала – по осі
.

Вийде точка
радіус якої
нахилений до осі
під кутом
, для котрого
. Отже, через цю точку
і пройде нова вісь абсцис. Потім відзначаємо на осях
і
вершини еліпса і креслимо еліпс (рис.9).

Зауважимо, що цей еліпс перетинає старі координатні осі в точках, що знаходяться з квадратних рівнянь (якщо в даному рівнянні покласти
або
):

і
.

Як побудувати параболу? Існує кілька способів побудови графіка квадратичні функції. Кожен із них має свої плюси та мінуси. Розглянемо два способи.

Почнемо з побудови графіка квадратичної функції виду y=x²+bx+c та y=-x²+bx+c.

приклад.

Побудувати графік функції y=x2+2x-3.

Рішення:

y=x²+2x-3 – квадратична функція. Графік - парабола гілками вгору. Координати вершини параболи

Від вершини (-1;-4) будуємо графік параболи y=x²(як від початку координат. Замість (0;0) — вершина (-1;-4). Від (-1;-4) йдемо вправо на 1 одиницю і вгору на 1 одиницю, потім ліворуч на 1 і вгору на 1; цих 7 точок недостатньо, далі - 4 вправо, 16 - вгору і т. д.).

Графік квадратичної функції y = -x² + bx + c парабола, гілки якої спрямовані вниз. Для побудови графіка шукаємо координати вершини та від неї будуємо параболу y = -x².

приклад.

Побудувати графік функції y=-x²+2x+8.

Рішення:

y=-x²+2x+8 – квадратична функція. Графік - парабола гілками вниз. Координати вершини параболи

Від вершини будуємо параболу y = -x² (1 - вправо, 1 вниз; 1 - вліво, 1 - вниз; 2 - вправо, 4 - вниз; 2 - вліво, 4 - вниз і т. Д.):

Цей спосіб дозволяє побудувати параболу швидко і не викликає труднощів, якщо ви вмієте будувати графіки функцій y=x² та y=-x². Недолік: якщо координати вершини – дробові числа, будувати графік не дуже зручно. Якщо потрібно знати точні значенняточок перетину графіка з віссю Ох, доведеться додатково вирішити рівняння x²+bx+c=0 (або -x²+bx+c=0), навіть якщо ці точки безпосередньо можна визначити за малюнком.

Інший спосіб побудови параболи - по точках, тобто можна знайти кілька точок графіка і через них провести параболу (з урахуванням того, що пряма x = хₒ є її віссю симетрії). Зазвичай беруть вершину параболи, точки перетину графіка з осями координат і 1-2 додаткові точки.

Побудувати графік функції y=x2+5x+4.

Рішення:

y=x²+5x+4 – квадратична функція. Графік - парабола гілками вгору. Координати вершини параболи

тобто вершина параболи - точка (-2,5; -2,25).

Шукаємо. У точці перетину із віссю Ох y=0: x²+5x+4=0. Коріння квадратного рівняннях1=-1, х2=-4, тобто отримали дві точки графіці (-1; 0) та (-4; 0).

У точці перетину графіка із віссю Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Отримали точку (0; 4).

Для уточнення графіка можна знайти додаткову точку. Візьмемо х=1, тоді y=1²+5∙1+4=10, тобто ще одна точка графіка – (1; 10). Зазначаємо ці точки на координатній площині. З урахуванням симетрії параболи щодо прямої, що проходить через її вершину, відзначимо ще дві точки: (-5; 6) і (-6; 10) і проведемо через них параболу:

Побудувати графік функції y=-x²-3x.

Рішення:

y=-x²-3x – квадратична функція. Графік - парабола гілками вниз. Координати вершини параболи

Вершина (-1,5; 2,25) - перша точка параболи.

У точках перетину графіка з віссю абсцис y=0, тобто розв'язуємо рівняння -x²-3x=0. Його коріння - х = 0 і х = -3, тобто (0; 0) і (-3; 0) - ще дві точки графіка. Точка (о; 0) є також точкою перетину параболи з віссю ординат.

При х=1 y=-1²-3∙1=-4, тобто (1; -4) — додаткова точка для побудови графіка.

Побудова параболи за точками — більш трудомісткий у порівнянні з першим спосіб. Якщо парабола не перетинає вісь Oх, додаткових точок потрібно більше.

Перш ніж продовжити побудову графіків квадратичних функцій виду y=ax²+bx+c, розглянемо побудову графіків функцій з допомогою геометричних перетворень. Графіки функцій виду y=x²+c також найзручніше будувати, використовуючи одне з таких перетворень — паралельне перенесення.