Математичні моделі найпростіших систем масового обслуговування. На практичному занятті розглянемо цей шлях та порівняємо результати моделювання з теоретичним рішенням
ВСТУП
ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАВДАНЬ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ
1.1 Загальні поняттятеорії масового обслуговування
1.2 Моделювання систем масового обслуговування
1.3 Графи станів СМО
1.4 Випадкові процеси
Розділ II. РІВНЯННЯ, ОПИСУЮЧІ СИСТЕМИ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ
2.1 Рівняння Колмогорова
2.2 Процеси «народження – загибелі»
2.3 Економіко-математична постановка задач масового обслуговування
Розділ III. МОДЕЛІ СИСТЕМ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ
3.1 Одноканальна СМО з відмовами в обслуговуванні
3.2 Багатоканальна СМО з відмовами в обслуговуванні
3.3 Модель багатофазної системи обслуговування туристів
3.4 Одноканальна СМО з обмеженою довжиною черги
3.5 Одноканальна СМО з необмеженою чергою
3.6 Багатоканальна СМО з обмеженою довжиною черги
3.7 Багатоканальна СМО з необмеженою чергою
3.8 Аналіз системи масового обслуговування супермаркету
ВИСНОВОК
Вступ
В даний час з'явилася велика кількість літератури, присвяченої безпосередньо теорії масового обслуговування, розвитку її математичних аспектів, а також різних сфер її застосування – військової, медичної, транспортної, торгівлі, авіації та ін.
Теорія масового обслуговування спирається на теорію ймовірностей і математичну статистику. Початковий розвиток теорії масового обслуговування пов'язаний з ім'ям датського вченого А.К. Ерланга (1878-1929), з його працями в галузі проектування та експлуатації телефонних станцій.
Теорія масового обслуговування - область прикладної математики, що займається аналізом процесів у системах виробництва, обслуговування, управління, у яких однорідні події повторюються багаторазово, наприклад, на підприємствах побутового обслуговування; у системах прийому, переробки та передачі інформації; автоматичних лініях виробництва та ін. Великий внесок у розвиток цієї теорії зробили російські математики А.Я. Хінчін, Б.В. Гнєденко, О.М. Колмогоров, Є.С. Вентцель та ін.
Предметом теорії масового обслуговування є встановлення залежностей між характером потоку заявок, числом каналів обслуговування, продуктивністю окремого каналу та ефективним обслуговуванням з метою знаходження найкращих шляхів управління цими процесами. Завдання теорії масового обслуговування носять оптимізаційний характер і в кінцевому підсумку включають економічний аспект визначення такого, варіанта системи, при якому буде забезпечений мінімум сумарних витрат від очікування обслуговування, втрат часу і ресурсів на обслуговування і від простоїв каналів обслуговування.
У комерційній діяльності застосування теорії масового обслуговування поки що не знайшло бажаного поширення.
Здебільшого це з труднощами постановки завдань, необхідністю глибокого розуміння змісту комерційної діяльності, і навіть надійного і точного інструментарію, що дозволяє прораховувати у комерційної діяльності різні варіанти наслідків управлінських рішень.
Глава I . Постановка завдань масового обслуговування
1.1 Загальні поняття теорії масового обслуговування
Природа масового обслуговування, у різних сферах, дуже тонка та складна. Комерційна діяльність пов'язані з виконанням безлічі операцій на етапах руху, наприклад товарної маси зі сфери виробництва, у сферу споживання. Такими операціями є навантаження товарів, перевезення, розвантаження, зберігання, обробка, фасування, реалізація. Окрім таких основних операцій процес руху товарів супроводжується великою кількістюпопередніх, підготовчих, супутніх, паралельних та наступних операцій із платіжними документами, тарою, грошима, автомашинами, клієнтами тощо.
Для перерахованих фрагментів комерційної діяльності характерні масовість надходження товарів, грошей, відвідувачів у випадкові моменти часу, потім їхнє послідовне обслуговування (задоволення вимог, запитів, заявок) шляхом виконання відповідних операцій, час виконання яких носить також випадковий характер. Все це створює нерівномірність у роботі, породжує недовантаження, простий та перевантаження у комерційних операціях. Багато неприємностей завдають черги, наприклад, відвідувачів у кафе, їдальнях, ресторанах, або водіїв автомобілів на товарних базах, які очікують на розвантаження, навантаження чи оформлення документів. У зв'язку з цим виникають завдання аналізу існуючих варіантіввиконання всієї сукупності операцій, наприклад, торгового залу супермаркету, ресторану чи цехах виробництва власної продукції з метою оцінки їхньої роботи, виявлення слабких ланок і резервів для розробки зрештою рекомендацій, вкладених у підвищення ефективності комерційної діяльності.
Крім того, виникають інші завдання, пов'язані зі створенням, організацією та плануванням нового економічного, раціонального варіанту виконання безлічі операцій у межах торгового залу, кондитерського цеху, всіх ланок обслуговування ресторану, кафе, їдальні, планового відділу, бухгалтерії, відділу кадрів та ін.
Завдання організації масового обслуговування виникають практично у всіх сферах людської діяльності, наприклад обслуговування продавцями покупців у магазинах, обслуговування відвідувачів на підприємствах громадського харчування, обслуговування клієнтів на підприємствах побутового обслуговування, забезпечення телефонних розмовна телефонній станції, надання медичної допомоги хворим на поліклініці тощо. У всіх наведених прикладах виникає потреба у задоволенні запитів великої кількості споживачів.
Перелічені завдання можна успішно вирішувати за допомогою методів та моделей спеціально створеної для цих цілей теорії масового обслуговування (ТМО). У цій теорії пояснюється, що обслуговувати необхідно будь-кого або що-небудь, що визначається поняттям «заявка (вимогу) на обслуговування», а операції обслуговування виконуються будь-ким, званими каналами (вузлами) обслуговування. Роль заявок у комерційній діяльності виконують товари, відвідувачі, гроші, ревізори, документи, а роль каналів обслуговування - продавці, адміністратори, кухарі, кондитери, офіціанти, касири, товарознавці, вантажники, торгове обладнання та ін. наприклад, кухар у процесі приготування страв є каналом обслуговування, а в іншому - виступає в ролі заявки на обслуговування, наприклад до завідувача виробництва за отриманням товару.
Заявки з масовості надходження обслуговування утворюють потоки, які до виконання операцій обслуговування називаються вхідними, а після можливого очікування початку обслуговування, тобто. простоячи в черзі, утворюють потоки обслуговування в каналах, а потім формується вихідний потік заявок. Загалом сукупність елементів вхідного потоку заявок, черги, каналів обслуговування і потоку заявок, що виходить, утворює найпростішу одноканальну систему масового обслуговування - СМО.
Під системою розуміється сукупність взаємозалежних та. цілеспрямовано взаємодіючих елементів (елементів). Прикладами таких найпростіших СМО в комерційній діяльності є місця прийому та обробки товарів, вузли розрахунку з покупцями в магазинах, кафе, їдалень, робочі місця економіста, бухгалтера, комерсанта, кухарі на роздачі і т.д.
Процедура обслуговування вважається завершеною, коли заявка обслуговування залишає систему. Тривалість інтервалу часу, необхідного для реалізації процедури обслуговування, залежить в основному від характеру запиту заявки на обслуговування, стану обслуговуючої системи та каналу обслуговування.
Дійсно, тривалість перебування покупця у супермаркеті залежить, з одного боку, від особистісних якостейпокупця, його запитів, від асортименту товарів, який він збирається придбати, а з іншого - від форми організації обслуговування та обслуговуючого персоналу, що може значно вплинути на час перебування покупця у супермаркеті та інтенсивність обслуговування. Наприклад, оволодіння касирами-контролерами роботи «сліпим» методом на касовому апараті дозволило збільшити пропускну спроможність вузлів розрахунку в 1,3 рази та заощадити час, що витрачається на розрахунки з покупцями по кожній касі більш ніж на 1,5 год на день. Впровадження єдиного вузла розрахунку у супермаркеті дає відчутні переваги покупцю. Так, якщо при традиційній формі розрахунків час обслуговування одного покупця становив у середньому 1,5 хв, то при введенні єдиного вузла розрахунку – 67 с. З них 44 с. йдуть на оформлення покупки в секції та 23 с. безпосередньо на розрахунки за покупки. Якщо покупець робить кілька покупок у різних секціях, то втрати часу скорочуються при придбанні двох покупок у 1,4 раза, трьох – у 1,9, п'яти – у 2,9 раза.
Під обслуговуванням заявок розумітимемо процес задоволення потреби. Обслуговування має різний характер за своєю природою. Однак, у всіх прикладах заявки, що надійшли, потребують обслуговування з боку будь-якого пристрою. У деяких випадках обслуговування здійснюється однією людиною (обслуговування покупця одним продавцем, у деяких - групою людей (обслуговування хворого на лікарську комісію в поліклініці), а в деяких випадках - технічними пристроями (продаж газованої води, бутербродів автоматами). Сукупність засобів, що здійснюють обслуговування заявок називається каналом обслуговування.
Якщо канали обслуговування здатні задовольнити однакові заявки, канали обслуговування називаються однорідними. Сукупність однорідних каналів обслуговування називається системою, що обслуговує.
У систему масового обслуговування надходить велика кількість заявок у випадкові моменти часу, тривалість обслуговування яких також є випадковою величиною. Послідовне надходження заявок у систему обслуговування називається вхідним потоком заявок, а послідовність заявок, що залишають систему обслуговування, - потоком, що виходить.
Випадковий характер розподілу тривалості виконання операцій обслуговування поряд з випадковим характером надходження вимог на обслуговування призводить до того, що в каналах обслуговування протікає випадковий процес, який може бути названий (за аналогією з вхідним потоком заявок) потоком обслуговування заявок або просто потоком обслуговування.
Зауважимо, що заявки, що надходять до системи обслуговування, можуть залишити її і не обслуговуючи. Наприклад, якщо покупець не знайде в магазині потрібний товар, він залишає магазин, будучи не обслуженим. Покупець може залишити магазин також, якщо потрібний товар є, але велика черга, а покупець не має часу.
Теорія масового обслуговування займається вивченням процесів, пов'язаних із масовим обслуговуванням, розробкою методів вирішення типових завдань масового обслуговування.
При дослідженні ефективності роботи системи обслуговування важливу роль відіграють різні способи розташування системи каналів обслуговування.
При паралельному розташуванні каналів обслуговування вимога може бути обслужена будь-яким вільним каналом. Прикладом такої системи обслуговування є розрахунковий вузол у магазинах самообслуговування, де кількість каналів обслуговування збігається з касирів-контролерів.
Насправді часто обслуговування однієї заявки здійснюється послідовно кількома каналами обслуговування. При цьому черговий канал обслуговування починає роботу з обслуговування заявки після того, як попередній канал закінчив свою роботу. У таких системах процес обслуговування має багатофазовий характер, обслуговування заявки одним каналом називається фазою обслуговування. Наприклад, якщо в магазині самообслуговування є відділи із продавцями, то покупці спочатку обслуговуються продавцями, а потім уже касирами-контролерами.
Організація системи обслуговування залежить від волі людини. Під якістю функціонування системи теорії масового обслуговування розуміють не те, наскільки добре виконано обслуговування, а те, наскільки повно завантажена система обслуговування, чи не простоюють канали обслуговування, чи не утворюється черга.
У комерційній діяльності заявки, що надходять до системи масового обслуговування, виступають з високими претензіями ще й на якість обслуговування в цілому, яке включає не тільки перелік характеристик, що історично склалися та розглядаються безпосередньо в теорії масового обслуговування, а й додаткові характерні для специфіки комерційної діяльності. зокрема окремих процедур обслуговування, вимоги, до рівня яких на сьогодні сильно зросли. У зв'язку із цим необхідно враховувати ще й показники комерційної діяльності.
Роботу системи обслуговування характеризують такі показники. Як час очікування початку обслуговування, довжина черги, можливість отримання відмови в обслуговуванні, можливість простою каналів обслуговування, вартість обслуговування та, зрештою, задоволення якістю обслуговування, яке ще включає показники комерційної діяльності. Щоб поліпшити якість функціонування системи обслуговування, необхідно визначити, яким чином розподілити заявки, що надходять між каналами обслуговування, яку кількість каналів обслуговування необхідно мати, як розташувати або згрупувати канали обслуговування або обслуговуючі апарати для поліпшення показників комерційної діяльності. Для вирішення перелічених завдань існує ефективний методмоделювання, що включає та поєднує досягнення різних наук, у тому числі математики.
1.2 Моделювання систем масового обслуговування
Переходи СМО з одного стану до іншого відбуваються під впливом цілком певних подій - надходження заявок та їх обслуговування. Послідовність появи подій, що йдуть одна за одною у випадкові моменти часу, формує так званий потік подій. Прикладами таких потоків у комерційній діяльності є потоки різної природи – товарів, грошей, документів, транспорту, клієнтів, покупців, телефонних дзвінків, переговорів. Поведінка системи зазвичай визначається одним, а одночасно кількома потоками подій. Наприклад, обслуговування покупців у магазині визначається потоком покупців та потоком обслуговування; у цих потоках випадковими є моменти появи покупців, час очікування у черзі та час, що витрачається обслуговування кожного покупця.
При цьому основною характерною рисою потоків є розподіл ймовірності часу між сусідніми подіями. Існують різні потоки, що відрізняються своїми характеристиками.
Потік подій називається регулярним, якщо в ньому події йдуть одна за одною через заздалегідь задані і певні проміжки часу. Такий потік є ідеальним і дуже рідко трапляється на практиці. Найчастіше зустрічаються нерегулярні потоки, що не володіють властивістю регулярності.
Потік подій називається стаціонарним, якщо ймовірність попадання будь-якої кількості подій на проміжок часу залежить тільки від довжини цього проміжку і не залежить від того, наскільки далеко розташований цей проміжок від початку відліку часу. Стаціонарність потоку означає незалежність від часу його ймовірнісних характеристик, зокрема інтенсивність такого потоку є середнє число подій в одиницю часу і залишається величиною постійної. Насправді зазвичай потоки можуть вважатися стаціонарними лише з деякому обмеженому проміжку часу. Зазвичай потік покупців, наприклад, у магазині суттєво змінюється протягом робочого дня. Однак можна виділити певні часові інтервали, всередині яких цей потік можна розглядати як стаціонарний, що має постійну інтенсивність.
Потік подій називається потоком без наслідки, якщо кількість подій, що потрапляють на один із довільно вибраних проміжків часу, не залежить від кількості подій, що потрапили на інший, також довільно вибраний проміжок за умови, що ці проміжки не перетинаються між собою. У потоці без наслідку події виникають у послідовні моменти часу незалежно друг від друга. Наприклад, потік покупців, що входять до магазину, можна вважати потоком без наслідків тому, що причини, що зумовили прихід кожного з них, не пов'язані з аналогічними причинами для інших покупців.
Потік подій називається ординарним, якщо ймовірність попадання на дуже малий відрізок часу одразу двох або більше подій зневажливо мала в порівнянні з ймовірністю попадання лише однієї події. В простому потоці події відбуваються поодинці, а не по два або більше разів. Якщо потік одночасно має властивості стаціонарності, ординарності та відсутність наслідку, то такий потік називається найпростішим (або пуассонівським) потоком подій. Математичний опис впливу такого потоку на системи виявляється найпростішим. Тому, найпростіший потік грає серед інших існуючих потоків особливу роль.
Розглянемо на осі часу певний проміжок часу t. Припустимо, можливість попадання випадкової події на цей проміжок p, а повне числоможливих подій - п. За наявності властивості ординарності потоку подій ймовірність р має бути досить малою величиною, а я - достатньо більшим числом, Оскільки розглядаються масові явища. У цих умовах для обчислення ймовірності попадання на проміжок часу t деякої кількості подій т можна скористатися формулою Пуассона:
P m, n = a m _e -a; (m=0,n),
де величина а = пр - середня кількість подій, що потрапляють на проміжок часу t, яке можна визначити через інтенсивність потоку подій Xнаступним чином: a = λ τ
Розмір інтенсивності потоку X є середнє число подій в одиницю часу. Між п і λ, р і τ є наступний зв'язок:
де t- весь проміжок часу, на якому розглядається дія потоку подій.
Необхідно визначити розподіл інтервалу часу Т між подіями у такому потоці. Оскільки це випадкова величина, то знайдемо її функцію розподілу. Як відомо з теорії ймовірностей, інтегральна функція розподілу F(t) є ймовірність того, що величина T буде меншою за час t.
За умовою протягом часу T не має відбутися жодної події, а на інтервалі часу t має з'явитися хоча б одна подія. Ця можливість обчислюється з допомогою ймовірності протилежного події на проміжку часу (0; t), куди потрапило жодної події, тобто. m= 0, тоді
F(t)=1-P 0 =1-(a 0 *e -a)0!=1-e -Xt ,t≥0
Для малих ∆tможна отримати наближену формулу, одержувану заміною функції e - Xt , тільки двома членами розкладання в ряд за ступенями ∆t, тоді ймовірність попадання на малий проміжок часу ∆t хоча б однієї події становить
P(T<∆t)=1-e - λ t ≈1- ≈ λΔt
Щільність розподілу проміжку часу між двома послідовними подіями отримаємо, продиференціювавши F(t) за часом,
f(t)= λe- λ t ,t≥0
Користуючись отриманою функцією густини розподілу, можна отримати числові характеристики випадкової величиниТ: математичне очікуванняМ (Т), дисперсію D(T) та середнє квадратичне відхиленняσ(Т).
М(Т)= λ ∞ ∫ 0 t*e - λt *dt=1/λ; D(T)=1/ λ 2 ; σ(T)=1/ λ .
Звідси можна зробити наступний висновок: середній інтервал часу Т між будь-якими двома сусідніми подіями в найпростішому потоці в середньому дорівнює 1/λ, і його середнє квадратичне відхилення також дорівнює 1/λ, де, - інтенсивність потоку, тобто. середня кількість подій, що відбуваються в одиницю часу. Закон розподілу випадкової величини, що має такі властивості М(Т) = Т, називається показовим (або експоненціальним), а величина λ є параметром цього показового закону. Таким чином, для найпростішого потоку математичне очікування інтервалу часу між сусідніми подіями дорівнює його середньоквадратичному відхиленню. У цьому випадку ймовірність того, що кількість заявок, що надходять на обслуговування за проміжок часу t, дорівнює до визначається за законом Пуассона:
P k (t) = (λt) k / k! *e -λ t ,
де λ - інтенсивність надходження потоку заявок, середня кількість подій у СМО за одиницю часу, наприклад [чол/хв; руб./год; чеків/годину; докум./день; кг./година; т. / Рік].
Для такого потоку заявок час між двома сусідніми заявками Т розподілено експоненційно із щільністю ймовірності:
ƒ(t)= λe - λ t.
Випадковий час очікування в черзі початку обслуговування t оч також можна вважати розподіленим експоненційно:
ƒ (t оч) = V * e - v t оч,
де v - інтенсивність потоку проходу черги, що визначається середнім числом заявок, що проходять обслуговування в одиницю часу:
де Т оч – середній час очікування обслуговування у черзі.
Вихідний потік заявок пов'язаний з потоком обслуговування в каналі, де тривалість обслуговування t обс також випадковою величиною і підпорядковується в багатьох випадках показовому закону розподілу з щільністю ймовірності:
ƒ(t обс)=µ*е µ t обс,
де - інтенсивність потоку обслуговування, тобто. середня кількість заявок, що обслуговуються в одиницю часу:
µ=1/ t обс [чол/хв; руб./год; чеків/годину; докум./день; кг./година; т./рік] ,
де t обс – середній час обслуговування заявок.
Важливою характеристикою СМО, що поєднує показники λі µ є інтенсивність навантаження: ρ= λ/ µ, яка показує ступінь узгодження вхідного і вихідного потоків заявок каналу обслуговування і визначає стійкість системи масового обслуговування.
Крім поняття найпростішого потоку подій, часто доводиться користуватися поняттями потоків інших типів. Потік подій називається потоком Пальма, коли в цьому потоці проміжки часу між послідовними подіями T 1 , T 2 , ..., Т k ..., Т n є незалежними, однаково розподіленими, випадковими величинами, але на відміну від найпростішого потоку не обов'язково розподіленими за показовим законом. Найпростіший потік є окремим випадком потоку Пальма.
Важливим окремим випадком потоку Пальма є так званий потік Ерланга.
Цей потік виходить «проріджування» найпростішого потоку. Таке «проріджування» здійснюється шляхом відбору за певним правилом подій із найпростішого потоку.
Наприклад, умовившись враховувати тільки кожну другу подію з тих, що утворюють найпростіший потік, ми отримаємо потік Ерланга другого порядку. Якщо брати лише кожну третю подію, то утворюється потік Ерланга третього порядку тощо.
Можна отримати потоки Ерланга будь-якого порядку. Очевидно, найпростішим потіком є потік Ерланга першого порядку.
Будь-яке дослідження системи масового обслуговування починається з вивчення того, що необхідно обслуговувати, отже, з вивчення вхідного потоку заявок та його характеристик.
Оскільки моменти часу tі інтервали часу надходження заявок τ, потім тривалість операцій обслуговування t обс і час очікування в черзі t оч, а також довжина черги l оч - випадкові величини, то, отже, характеристики стану СМО мають імовірнісний характер, а для їх опису слідує застосовувати методи та моделі теорії масового обслуговування.
Перераховані вище характеристики τ, λ, L оч, Т оч, v, t обс, µ, р, Р k є найбільш загальними для СМО, які є зазвичай лише деякою частиною цільової функції, оскільки необхідно враховувати ще й показники комерційної діяльності.
1.3 Графи станів СМО
При аналізі випадкових процесів із дискретними станами та безперервним часом зручно користуватися варіантом схематичного зображення можливих станів СMO (рис. 6.2.1) у вигляді графа з розміткою його можливих фіксованих станів. Стан СМО зображуються зазвичай або прямокутниками, або кружками, а можливі напрямки переходів з одного стану в інший орієнтовані стрілками, що з'єднують ці стани. Наприклад, розмічений граф станів одноканальної системи випадкового процесу обслуговування у газетному кіоску наведено на рис. 1.3.
Рис. 1.3. Розмічений граф станів СМО
Система може бути в одному з трьох станів: S 0 -канал вільний, простоює, S 1 - канал зайнятий обслуговуванням, S 2 - канал зайнятий обслуговуванням і одна заявка в черзі. Перехід системи зі стану S 0 в S l відбувається під впливом найпростішого потоку заявок інтенсивністю 01 а зі стану S l в стан S 0 систему переводить потік обслуговування з інтенсивністю 01 . Граф станів системи обслуговування із проставленими інтенсивностями потоків у стрілок називається розміченим. Оскільки перебування системи в тому чи іншому стані носить імовірнісний характер, то ймовірність: p i (t) того, що система перебуватиме в стані S i в момент часу t, називається ймовірністю i-го стану СМО і визначається числом заявок, що надійшли k на обслуговування.
Випадковий процес, що відбувається в системі, полягає в тому, що у випадкові моменти часу t 0 , t 1 , t 2 ,..., t k ,..., t n система виявляється в тому чи іншому заздалегідь відомому дискретному стані послідовно. Така. випадкова послідовність подій називається Марківським ланцюгом, якщо для кожного кроку ймовірність переходу з одного стану S t в будь-який інший Sjне залежить від того, коли і як система перейшла в стан S t . Описується марківський ланцюг за допомогою ймовірності станів, причому вони утворюють повну групу подій, тому їхня сума дорівнює одиниці. Якщо ймовірність переходу не залежить від номера до, то марківський ланцюг називається однорідним. Знаючи початковий стан системи обслуговування, можна знайти ймовірності станів для будь-якого значення до числа заявок, що надійшли на обслуговування.
1.4 Випадкові процеси
Перехід СМО з одного стану в інший відбувається випадковим чином і є випадковим процесом. Робота СМО - випадковий процес із дискретними станами, оскільки його можливі стани у часі можна заздалегідь перерахувати. Причому перехід з одного стану в інший, відбувається стрибкоподібно, у випадкові моменти часу, тому він називається процесом з безперервним часом. Таким чином, робота СМО є випадковим процесом з дискретними станами і безперервним; часом. Наприклад, у процесі обслуговування оптових покупців на фірмі «Кристал» у Москві можна фіксувати наперед усі можливі стани найпростіших. СМО, що входять у весь цикл, комерційного обслуговування від моменту укладання договору на поставку лікеро-горілчаної продукції, її оплати, оформлення документів, відпустки та отримання продукції, довантаження та вивезення зі складу готової продукції.
З безлічі різновидів випадкових процесів найбільшого поширення у комерційної діяльності набули такі процеси, котрим будь-якої миті часу характеристики процесу у майбутньому залежать лише з його стану зараз і залежать від передісторії - від минулого. Наприклад, можливість отримання із заводу «Кристал» лікеро-горілчаної продукції залежить від наявності її складі готової продукції, тобто. його стану в даний момент, і не залежить від того, коли і як отримували та відвозили у минулому цю продукцію інші покупці.
Такі випадкові процеси називаються процесами без наслідків, або марківськими, в яких при фіксованому теперішньому майбутній стан СМО не залежить від минулого. Випадковий процес, що протікає в системі, називається марковським випадковим процесом, або «процесом без наслідку», якщо він має таку властивість: для кожного моменту часу t 0 ймовірність будь-якого стану t > t 0 системи S i - в майбутньому (t>t Q ) залежить тільки від її стану в теперішньому (при t = t 0) і не залежить від того, коли і яким чином система прийшла до цього стану, тобто. від того, як розвивався процес у минулому.
Марківські випадкові процеси поділяються на два класи: процеси з дискретними та безперервними станами. Процес з дискретними станами виникає в системах, що володіють лише деякими фіксованими станами, між якими можливі стрибкоподібні переходи в деякі заздалегідь не відомі моменти часу. Розглянемо приклад процесу із дискретними станами. В офісі фірми є два телефони. Можливі такі стани цієї системи обслуговування: S o -телефони вільні; S l - один із телефонів зайнятий; S 2 - обидва телефони зайняті.
Процес, що протікає в цій системі, полягає в тому, що система випадково переходить стрибком з одного дискретного стану в інший.
Процеси з безперервними станами відрізняються безперервним плавним переходом з одного стану до іншого. Ці процеси більш характерні для технічних пристроїв, ніж для економічних об'єктів, де зазвичай лише приблизно можна говорити про безперервність процесу (наприклад, безперервне витрачання запасу товару), тоді як фактично процес має дискретний характер. Тому далі ми розглядатимемо лише процеси з дискретними станами.
Марківські випадкові процеси з дискретними станами у свою чергу поділяються на процеси з дискретним часом та процеси з безперервним часом. У першому випадку переходи з одного стану до іншого відбуваються лише у певні, заздалегідь фіксовані моменти часу, тоді як у проміжки між цими моментами система зберігає свій стан. У другому випадку перехід системи зі стану в стан може відбуватися у будь-який довільний момент часу.
Насправді процеси з безперервним часом зустрічаються значно частіше, оскільки переходи системи з одного стану до іншого зазвичай відбуваються над якісь фіксовані моменти часу, а будь-які випадкові моменти часу.
Для опису процесів з безперервним часом використовується модель у вигляді так званого марківського ланцюга з дискретними станами системи або безперервним марківським ланцюгом.
Глава II . Рівняння, що описують системи масового обслуговування
2.1 Рівняння Колмогорова
Розглянемо математичний опис марковського випадкового процесу з дискретними станами системи S o , S l , S 2 (див. рис. 6.2.1) та безперервним часом. Вважаємо, що всі переходи системи масового обслуговування зі стану S i стан Sj відбуваються під впливом найпростіших потоків подій з інтенсивностями λ ij , а зворотний перехід під впливом іншого потоку λ ij ,. Введемо позначення p i як ймовірність того, що в момент часу t система знаходиться у стані S i . Для будь-якого моменту часу tсправедливо записати нормувальну умову-сума ймовірностей усіх станів дорівнює 1:
Σp i (t) = p 0 (t) + p 1 (t) + p 2 (t) = 1
Проведемо аналіз системи в момент часу t, задавши мале збільшення часу Δt, і знайдемо ймовірність р 1 (t+ Δt) того, що система в момент часу (t+ Δt) перебуватиме в стані S 1 яке досягається різними варіантами:
а) система в момент t з ймовірністю p 1 (t) перебувала в стані S 1 і за мале збільшення часу Δt так і не перейшла в інший сусідній стан - ні в S 0, ні bS 2 . Вивести систему зі стану S 1 можна сумарним найпростішим потоком з інтенсивністю (λ 10 +λ 12), оскільки суперпозиція найпростіших потоків також є найпростішим потоком. На цій підставі ймовірність виходу зі стану S 1 за малий проміжок часу Δt приблизно дорівнює (λ 10 +λ 12)* Δt. Тоді ймовірність невиходу з цього стану дорівнює. Відповідно до цього ймовірність того, що система залишиться в стані Siна підставі теореми множення ймовірностей, дорівнює:
p 1 (t);
б)система знаходилася в сусідньому стані S o і за малий час Δt перейшла в стан S o Перехід системи відбувається під впливом потоку λ 01 з ймовірністю, що приблизно дорівнює λ 01 Δt
Імовірність того, що система перебуватиме в стані S 1 , у цьому варіанті дорівнює p o (t) 01 Δt;
в) система знаходилася в стані S 2 і за час Δt перейшла в стан S 1 під впливом потоку інтенсивністю 21 з ймовірністю, приблизно рівної 21 t. Імовірність того, що система перебуватиме в стані S 1 дорівнює p 2 (t) λ 21 Δt.
Застосовуючи теорему складання ймовірностей цих варіантів, отримаємо вираз:
p 2 (t+Δt) = p 1 (t) + po (t)λ 01 Δt+p 2 (t) λ 21 Δt ,
яке можна записати інакше:
p 2 (t+Δt)-p 1 (t)/ Δt= po (t)λ 01 + p 2 (t) λ 21 - p 1 (t) (λ 10 +λ 12) .
Переходячи до межі при Δt-> 0, наближені рівності перейдуть у точні, і тоді отримаємо похідну першого порядку
dp 2 /dt= p 0 λ 01 +p 2 λ 21 -p 1 (λ 10 +λ 12) ,
що є диференціальним рівнянням.
Проводячи міркування аналогічно для всіх інших станів системи, отримаємо систему диференціальних рівнянь, Які називаються рівняннями А.М. Колмогорова:
dp 0 /dt= p 1 λ 10 ,
dp 1 /dt= p 0 λ 01 +p 2 λ 21 -p 1 (λ 10 +λ 12) ,
dp 2 /dt= p 1 λ 12 +p 2 λ 21 .
Для складання рівнянь Колмогорова є загальні правила.
Рівняння Колмогорова дозволяють обчислити всі ймовірності станів СМО S i функції часу p i (t). Теоретично випадкових процесів показано, що й кількість станів системи звісно, та якщо з кожного можна перейти у будь-який інший стан, то існують граничні (фінальні) ймовірності станів, які вказують на середню відносну величину часу перебування системи, у цьому стані. Якщо гранична ймовірність стану S 0 - дорівнює p 0 = 0,2, то, отже, в середньому 20% часу, або 1/5 робочого часу, система знаходиться в стані S o . Наприклад, за відсутності заявок обслуговування до = 0, р 0 = 0,2,; отже, в середньому 2 години на день система знаходиться в стані S o і простоює, якщо тривалість робочого дня становить 10 годин.
Оскільки граничні ймовірності системи постійні, то замінивши в рівняннях Колмогорова відповідні похідні нульовими значеннями, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, що описують стаціонарний режим СМО Таку систему рівнянь складають за розміченим графом станів СМО за такими правилами: ліворуч від знака рівності в рівнянні стоїть гранична ймовірність р i розглянутого стану Si помножена на сумарну інтенсивність всіх потоків, що виводять (виходять стрілки) виданого стану S i систему, а праворуч від знака рівності - сума творів інтенсивності всіх потоків, що входять (входять стрілки) у стан Siсистему, на ймовірність тих станів, з яких ці потоки виходять. Для вирішення подібної системи необхідно додати ще одне рівняння, що визначає нормувальну умову, оскільки сума ймовірностей усіх станів СМО дорівнює 1: n
Наприклад, для СМО, що має розмічений граф із трьох станів S o , S 1 , S 2 рис. 6.2.1, система рівнянь Колмогорова, складена на основі викладеного правила, має такий вигляд:
Для стану S o → p 0 λ 01 = p 1 λ 10
Для стану S 1 →p 1 (λ 10 +λ 12) = p 0 λ 01 +p 2 λ 21
Для стану S 2 → p 2 λ 21 = p 1 λ 12
p 0 +p 1 +p 2 =1
dp 4 (t)/dt=34 p 3 (t) - 43 p 4 (t) ,
p 1 (t) + p 2 (t) + p 3 (t) + p 4 (t) = 1 .
До цих рівнянь слід додати ще початкові умови. Наприклад, якщо при t = 0 система S перебуває у стані S 1, то початкові умови можна записати так:
p 1 (0) = 1, p 2 (0) = p 3 (0) = p 4 (0) = 0 .
Переходи між станами СМО відбувається під впливом надходження заявок та їх обслуговування. Імовірність переходу у разі, якщо потік подій найпростіший, визначається ймовірністю появи події протягом Δt часу, тобто. величиною елемента ймовірності переходу λ ij Δt, де λ ij - інтенсивність потоку подій, що переводять систему зі стану i стан і (за відповідною стрілкою на графі станів).
Якщо всі потоки подій, що переводять систему з одного стану в інший, найпростіші, то процес, що протікає в системі, буде випадковим марківським процесом, тобто. процесом без наслідків. У цьому випадку поведінка системи досить проста, визначається, якщо відомі інтенсивність усіх цих найпростіших потоків подій. Наприклад, якщо в системі протікає марківський випадковий процес з безперервним часом, то, записавши систему рівнянь Колмогорова для ймовірностей станів та проінтегрувавши цю систему за заданих початкових умов, отримаємо всі ймовірності станів як функції часу:
p i (t), p 2 (t), ..., p n (t) .
У багатьох випадках на практиці виявляється, що ймовірності станів як функції часу поводяться таким чином, що існує
lim pi (t) = pi (i = 1,2, ..., n); t→∞
незалежно від виду початкових умов. У цьому випадку кажуть, що існують граничні ймовірності станів системи при t->∞ і в системі встановлюється певний граничний стаціонарний режим. При цьому система випадковим чином змінює свої стани, але кожен з цих станів здійснюється з деякою постійною ймовірністю, що визначається середнім часом перебування системи в кожному стані.
Обчислити граничні ймовірності стану р i можна, якщо в системі покласти усі похідні рівними 0, оскільки в рівняннях Колмогорова при t-> ∞ залежність від часу зникає. Тоді система диференціальних рівнянь перетворюється на систему Звичайних лінійних рівнянь алгебри, яка спільно з нормувальною умовою дозволяє обчислити всі граничні ймовірності станів.
2.2 Процеси «народження – загибелі»
Серед однорідних марківських процесів є клас випадкових процесів, що мають широке застосування при побудові математичних моделейу галузях демографії, біології, медицини (епідеміології), економіки, комерційної діяльності. Це звані процеси «народження - загибелі», марківські процеси зі стохастичними графами станів наступного виду:
| S 3 |
| kjlS n |
μ 0 μ 1 μ 3 μ 4 μ n-1
Рис. 2.1 Розмічений граф процесу «народження – загибелі»
Цей граф відтворює відому біологічну інтерпретацію: величина k відображає інтенсивність народження нового представника деякої популяції, наприклад, кроликів, причому поточний обсяг популяції дорівнює k; величина є інтенсивністю загибелі (продажу) одного представника цієї популяції, якщо поточний обсяг популяції дорівнює k. Зокрема, популяція може бути необмеженою (число n станів марківського процесу є нескінченним, але рахунковим), інтенсивність λ може дорівнювати нулю (популяція без можливості відродження), наприклад, при припиненні відтворення кроликів.
Для Марківського процесу «народження – загибелі», описаного стохастичним графом, наведеним на рис. 2.1, знайдемо фінальний розподіл. Користуючись правилами складання рівнянь для кінцевого числа n граничних ймовірностей стану системи S 1 , S 2 , S 3 ,… S k ,…, S n , складемо відповідні рівняння для кожного стану:
для стану S 0 -λ 0 p 0 = μ 0 p 1;
для стану S 1 -(λ 1 +μ 0)p 1 = λ 0 p 0 +μ 1 p 2 , яке з урахуванням попереднього рівняння для стану S 0 можна перетворити на вигляд λ 1 р 1 = μ 1 p 2 .
Аналогічно можна скласти рівняння для інших станів системи S 2 , S 3 ..., S k ..., S n . В результаті отримаємо наступну систему рівнянь:
Вирішуючи цю систему рівнянь, можна отримати вирази, що визначають фінальні стани системи масового обслуговування:
Слід зазначити, що формули визначення фінальних ймовірностей станів р 1 , р 2 , р 3 ,…, р n , входять доданки, що є складовоюсуми виразу, що визначає р0. У чисельниках цих доданків знаходяться твори всіх інтенсивностей, що стоять у стрілок графа станів, що ведуть ліворуч на право до стану S k , а знаменники являють собою твори всіх інтенсивностей, що стоять у стрілок, що ведуть праворуч на ліво до розглянутого стану S k , тобто . μ 0 , μ 1 , μ 2 , μ 3 , ... μ k . У зв'язку з цим запишемо ці моделі у більш компактному вигляді:
до=1,n
2.3 Економіко-математична постановка задач масового обслуговування
Правильна чи найбільш вдала економіко-математична постановка завдання значною мірою визначає корисність рекомендацій щодо вдосконалення систем масового обслуговування у комерційній діяльності.
У зв'язку з цим необхідно ретельно проводити спостереження за процесом у системі, пошуку та виявлення суттєвих зв'язків, формування проблеми, виділення мети, визначення показників та виділення економічних критеріїв оцінки роботи СМО. В цьому випадку як найбільш загальний, інтегральний показник можуть виступати витрати, з одного боку, СМО комерційної діяльності як обслуговуючої системи, а з іншого – витрати заявок, які можуть мати різну за своїм фізичним змістом природу.
Підвищення ефективності в будь-якій сфері діяльності К. Маркс зрештою розглядав як економію часу та вбачав у цьому один із найважливіших економічних законів. Він писав, що економія часу, так само як і планомірний розподіл робочого часу за різними галузями виробництва, залишається першим економічним законом на основі колективного виробництва. Цей закон проявляється у всіх сферах суспільної діяльності.
Для товарів, зокрема і коштів, що у комерційну сферу, критерій ефективності пов'язані з часом і швидкістю звернення товарів хороших і визначає інтенсивність надходження коштів у банк. Час та швидкість обігу, будучи економічними показниками комерційної діяльності, характеризує ефективність використання коштів, вкладених у товарні запаси. Товарообіг відбиває середню швидкість реалізації середнього товарного запасу. Показники товарообігу та рівня запасів тісно пов'язані відомими моделями. Таким чином, можна простежити та встановити взаємозв'язок цих та інших показників комерційної діяльності з тимчасовими характеристиками.
Отже, ефективність роботи комерційного підприємства чи організації складається із сукупності часу виконання окремих операцій обслуговування, водночас для населення витрати часу включають час на дорогу, відвідування магазину, їдальні, кафе, ресторану, очікування на початок обслуговування, ознайомлення з меню, вибір продукції, розрахунок і т.д. Проведені дослідження структури витрат часу населення свідчить, що значна його частина витрачається нераціонально. Зауважимо, що комерційна діяльністьзрештою спрямовано задоволення потреби людини. Тому зусилля моделювання СМО повинні включати аналіз витрат часу щодо кожної елементарної операції обслуговування. За допомогою відповідних методів слід створювати моделі зв'язку показників СМО. Це обумовлює необхідність найбільш загальні та відомі економічні показники, такі як товарообіг, прибуток, витрати обігу, рентабельність та інші, пов'язувати в економіко-математичних моделях з додатковою групою показників, що визначаються специфікою обслуговуючих систем і вносяться власне специфікою теорії масового обслуговування.
Наприклад, особливостями показників СМО з відмовами є: час очікування заявок у черзі Т оч =0, оскільки за своєю природою в таких системах існування черги неможливе, то L оч =0 і, отже, ймовірність її утворення Р оч =0. За кількістю заявок k визначаться режим роботи системи, її стан: при k=0 – простий каналів, при 1
Для СМО з необмеженим очікуванням характерно, що можливість обслуговування заявки Р обс =1, оскільки довжина черги і час очікування початку обслуговування не обмежені, тобто. формально L оч →∞ і Т оч →∞. У системах можливі такі режими роботи: при k=0 спостерігається простий канал обслуговування, при 1
У СМО з очікуванням з обмеженням на довжину черги, якщо кількість заявок у системі k=0, то спостерігається простий каналів, при 1
Отже, перелік характеристик систем масового обслуговування можна наступним чином: середній час обслуговування – t обс; середній час очікування у черзі – Т оч; середнє перебування У СМО - Т смо; середня довжина черги – L оч; середня кількість заявок в СМО-L смо; кількість каналів обслуговування – n; інтенсивність вхідного потоку заявок – λ; інтенсивність обслуговування – μ; інтенсивність навантаження – ρ; коефіцієнт навантаження -?; відносна пропускна здатність – Q; абсолютна пропускна здатність – А; частка часу простою в СМО - Р 0; частка обслужених заявок – Р обс; частка втрачених заявок - Р отк, середня кількість зайнятих каналів - n з; середня кількість вільних каналів - n св; коефіцієнт завантаження каналів - К з; середній час простою каналів - t ін.
Слід зазначити, що іноді достатньо використовувати до десяти основних показників, щоб виявити слабкі місця та розробити рекомендації щодо вдосконалення СМО.
Це часто пов'язано з вирішенням питань узгодженої роботи ланцюжка або сукупностей СМО.
Наприклад, у комерційній діяльності необхідно враховувати ще й економічні показники СМО: загальні витрати – С; витрати звернення – С ио, витрати споживання – З ип, Витрати обслуговування однієї заявки – З 1 , збитки, пов'язані з відходом заявки, - З у1 , Витрати експлуатацію каналу – С к, витрати простою каналу – С пр, капітальні вкладення – С кап, наведені річні витрати - С пр, поточні витрати - С тек, дохід СМО в одиницю часу - Д 1
У процесі постановки завдань необхідно розкрити взаємозв'язки показників СМО, які за своєю базовою приналежністю можна розділити на дві групи: перша пов'язана з витратами звернення С іо, які визначаються кількістю зайнятих обслуговуванням каналів, витратами на зміст СМО, інтенсивністю обслуговування, ступенем завантаження каналів, ефективністю їх використання, пропускною здатністю СМО та ін; друга група показників визначається витратами власне заявок З іп, що надходять на обслуговування, які утворюють вхідний потік, відчувають ефективність обслуговування і пов'язані з такими показниками, як довжина черги, час очікування обслуговування, можливість відмови в обслуговуванні, час перебування заявки в СМО та ін.
Ці групи показників суперечливі тому, що поліпшення показників однієї групи, наприклад, скорочення довжини черги чи часу очікування у черзі шляхом захоплення числа каналів обслуговування (офіціантів, кухарів, вантажників, касирів), пов'язані з погіршенням показників групи, оскільки це може призвести до збільшення часу простоїв каналів обслуговування, витрат за їх утримання тощо. У зв'язку з цим формалізації завдань обслуговування є цілком природним прагнення побудувати СМО таким чином, щоб встановити розумний компроміс між показниками власне заявок та повнотою використання можливостей системи. З цією метою необхідно вибрати узагальнений, інтегральний показник ефективності СМО, що включає одночасно претензії та можливості обох груп. В якості такого показника може бути обраний критерій економічної ефективності, що включає як витрати звернення С іо, так і витрати заявок С іп, які будуть мати оптимальне значення при мінімумі загальних витрат С.
С= (З іо +З іп) →min
Оскільки витрати звернення включають витрати, пов'язані з експлуатацією СМО - С екс і простоєм каналів обслуговування - С пр, а витрати заявок включають втрати, пов'язані з відходом не обслужених заявок - С нз, і з перебуванням у черзі - С оч, тоді цільову функцію можна переписати з урахуванням цих показників таким чином:
С=((З пр n св +З екз n з)+С оч Р обс λ(Т оч +t обс)+С з Р отк λ)→min.
Залежно від поставленого завдання як варіювані, тобто керовані, показники можуть бути: кількість каналів обслуговування, організація каналів обслуговування (паралельно, послідовно, змішаним чином), дисципліна черги, пріоритетність обслуговування заявок, взаємодопомога між каналами та ін. Частина показників задачі фігурує як некеровані, які зазвичай є вихідними даними. В якості критерію ефективності цільової функції можуть бути так само товарообіг, прибуток, або дохід, наприклад, рентабельність, тоді оптимальні значення керованих показників СМО знаходяться очевидно, вже при максимізації, як у попередньому варіанті.
У деяких випадках слід користуватися іншим варіантом запису цільової функції:
С=(З екз n з +C пр (n-n з)+C відк *Р отк *λ+С сист * n з )→min
Як загальний критерій може бути обраний, наприклад, рівень культури обслуговування покупців на підприємствах, тоді цільова функція може бути представлена наступною моделлю:
К про =[(З пу *К у)+(З пв *К в)+(З пд *К д)+(З пз *К з)+(З по *К 0)+(З кт *К кт )]*До мп,
де З пу - значимість показника стійкості асортименту товарів;
К у – коефіцієнт стійкості асортименту товарів;
З пв - значимість показника впровадження прогресивних методів продажу товарів;
К – коефіцієнт впровадження прогресивних методів продажу товарів;
З пд - значимість показника додаткового обслуговування;
К д - Коефіцієнт додаткового обслуговування;
З пз - значимість показника завершеності покупки;
К з - коефіцієнт завершеності покупки;
З по - значимість показника витрат часу очікування обслуговування;
К о – показник витрат часу очікування обслуговування;
З кт - значимість показника якості праці колективу;
К кт – коефіцієнт якості праці колективу;
К мп – показник культури обслуговування на думку покупців;
Для аналізу СМО можна обирати інші критерії оцінки ефективності роботи СМО. Наприклад, як такий критерій для систем з відмовими можна вибирати ймовірність відмови Р отк, значення якого не перевищувало б заздалегідь заданої величини. Наприклад, вимога Р відк<0,1 означает, что не менее чем в 90% случаев система должна справляться с обслуживанием потока заявок при заданной интенсивности λ. Можно ограничить среднее время пребывания заявки в очереди или в системе. В качестве показателей, подлежащих определению, могут выступать: либо число каналов n при заданной интенсивности обслуживания μ, либо интенсивность μ при заданном числе каналов.
Після побудови цільової функції необхідно визначити умови вирішення задачі, знайти обмеження, встановити вихідні значення показників, виділити некеровані показники, побудувати або підібрати сукупність моделей взаємозв'язку всіх показників для аналізованого типу СМО, щоб зрештою знайти оптимальні значення керованих показників, наприклад кількість кухарів, офіціантів , касирів, вантажників, обсяги складських приміщень та ін.
Глава III . Моделі систем масового обслуговування
3.1 Одноканальна СМО з відмовами в обслуговуванні
Проведемо аналіз простої одноканальної СМО з відмовими в обслуговуванні, на яку надходить пуасонівський потік заявок з інтенсивністю λ, а обслуговування відбувається під дією пуассонівського потоку з інтенсивністю μ.
Роботу одноканальної СМО n=1 можна подати у вигляді розміченого графа станів (3.1).
Переходи СМО з одного стану S 0 до іншого S 1 відбуваються під дією вхідного потоку заявок з інтенсивністю λ, а зворотний перехід - під дією потоку обслуговування з інтенсивністю μ.
| S 0 |
| S 1 |
S0 – канал обслуговування вільний; S 1 - канал зайнятий обслуговуванням;
Рис. 3.1 Розмічений граф станів одноканальної СМО
Запишемо систему диференціальних рівнянь Колмогорова для ймовірностей стану за викладеними вище правилами:
Звідки отримаємо диференціальне рівняння визначення ймовірності р 0 (t) стану S 0:
Це рівняння можна вирішити за початкових умов у припущенні, що система в момент t=0 перебувала у стані S 0 тоді р 0 (0)=1, р 1 (0)=0.
У цьому випадку рішення диференціального рівняння дозволяє визначити ймовірність того, що канал вільний і не зайнятий обслуговуванням:
Тоді неважко отримати вираз для ймовірності визначення ймовірності зайнятості каналу:
Імовірність р 0 (t) зменшується з плином часу і в межах при t→∞ прагне величини
а ймовірність р 1 (t) водночас збільшується від 0, прагнучи межі при t→∞ до величини
Ці межі ймовірностей можуть бути отримані безпосередньо з рівнянь Колмогорова за умови
Функції р 0 (t) і р 1 (t) визначають перехідний процес в одноканальній СМО і описують процес експоненційного наближення СМО до свого граничного стану з постійною часу характерною для системи, що розглядається.
З достатньою для практики точністю вважатимуться, що перехідний процес у СМО закінчується протягом часу, що дорівнює 3τ.
Імовірність р 0 (t) визначає відносну пропускну здатність СМО, яка визначає частку заявок, що обслуговуються по відношенню до повного числа заявок, що надходять, в одиницю часу.
Дійсно, р 0 (t) є ймовірність того, що заявка, яка надійшла в момент t, буде прийнята до обслуговування. Усього в одиницю часу приходить у середньому λ заявок і з них обслуговується λр 0 заявок.
Тоді частка заявок, що обслуговуються, по відношенню до всього потоку заявок визначаться величиною
У межі при t→∞ практично вже при t>3τ значення відносної пропускної спроможності дорівнюватиме
Абсолютна пропускна здатність, що визначає кількість заявок, що обслуговуються в одиницю часу в межах при t→∞, дорівнює:
Відповідно частка заявок, які отримали відмову, становить у цих самих граничних умовах:
а загальне числоне обслужених заявок одно
Прикладами одноканальних СМО з відмовами в обслуговуванні є стіл замовлень у магазині, диспетчерська автотранспортного підприємства, контора складу, офіс управління комерційної фірми, з якими встановлюється зв'язок по телефону.
3.2 Багатоканальна СМО з відмовами в обслуговуванні
У комерційній діяльності прикладами багатоканальних СМО є офіси комерційних підприємств з кількома телефонними каналами, безкоштовна довідкова служба з наявності в авто магазинах найдешевших автомобілів у Москві має 7 телефонних номерів, а додзвонитися та отримати довідку, як відомо, дуже важко.
Отже, авто магазини втрачають клієнтів, можливість збільшити кількість проданих автомобілів та виручку від продажів, товарообіг, прибуток.
Туристичні фірми з продажу путівок мають два, три, чотири та більше каналів, як, наприклад, фірма Express-Line.
Розглянемо багатоканальну СМО з відмовами в обслуговуванні на рис. 3.2 на вхід якої надходить пуасонівський потік заявок з інтенсивністю λ.
| S 0 |
| S 1 |
| S k |
| S n |
μ 2μkμ (k+1)μ nμ
Рис. 3.2. Розмічений граф станів багатоканальної СМО із відмовами
Потік обслуговування у кожному каналі має інтенсивність μ. За кількістю заявок СМО визначаються її стани S k представлені у вигляді розміченого графа:
S 0 - всі канали вільні k = 0,
S 1 – зайнятий лише один канал, k=1,
S 2 – зайняті лише два канали, k=2,
S k – зайняті до каналів,
S n – зайняті все n каналів, k = n.
Стани багатоканальної СМО змінюються стрибкоподібно у випадкові моменти часу. Перехід з одного стану, наприклад S 0 S 1 , відбувається під впливом вхідного потоку заявок з інтенсивністю λ, а назад - під впливом потоку обслуговування заявок з інтенсивністю μ. Для переходу системи зі стану S k S k -1 байдуже, який саме з каналів звільнитися, тому потік подій, що переводить СМО, має інтенсивність kμ, отже, потік подій, що переводить систему з S n в S n -1 має інтенсивність nμ . Так формулюється класичне завдання Ерланга, названа на ім'я датського інженера - математика-засновника теорії масового обслуговування.
Випадковий процес, що протікає в СМО, є окремим випадком процесу «народження- загибелі» і описується системою диференціальних рівнянь Ерланга, які дозволяють отримати вирази для граничних ймовірностей стану аналізованої системи, звані формулами Ерланга:
.
Обчисливши всі ймовірності станів n – канальної СМО з відмовами р 0, р 1, р 2, …, р k, …, р n, можна визначити характеристики системи обслуговування.
Імовірність відмови в обслуговуванні визначається ймовірністю того, що заявка на обслуговування, що надійшла, знайде всі n каналів зайнятими, система перебуватиме в стані S n:
k=n.
У системах з відмовами події відмови та обслуговування становлять повну групу подій, тому
Р отк + Р обс = 1
На цій підставі відносна пропускна здатність визначається за формулою
Q = P обс = 1-Р отк = 1-Р n
Абсолютну пропускну здатність СМО можна визначити за формулою
Імовірність обслуговування, або частка обслужених заявок, визначає відносну пропускну здатність СМО, яка може бути визначена і за іншою формулою:
З цього виразу можна визначити середню кількість заявок, що знаходяться під обслуговуванням, або, що саме, середня кількість зайнятих обслуговуванням каналів
Коефіцієнт зайнятості каналів обслуговуванням визначаться ставленням середньої кількості зайнятих каналів до їх загального числа
Імовірність зайнятості каналів обслуговуванням, яка враховує середній час зайнятості t зан і простою t пр каналів, визначається так:
З цього виразу можна визначити середній час простою каналів
Середній час перебування заявки в системі в режимі, що встановився, визначаться формулою Літтла.
Т см = n з /λ.
3.3 Модель багатофазної системи обслуговування туристів
У реальному житті система обслуговування туристів виглядає значно складніше, тому необхідно деталізувати постановку завдання з огляду на запити, вимоги як з боку клієнтів, так і турфірми.
Для підвищення ефективності роботи турфірми необхідно змоделювати загалом поведінку потенційного клієнта від початку операції до її завершення. Структура взаємозв'язку основних систем масового обслуговування фактично складається із СМО різного виду (рис. 3.3).
Пошук Вибір Вибір Рішення
|
референт |
Оплата Переліт Вихід
Рис. 3.3 Модель багатофазної системи обслуговування туристів
Проблема з позиції масового обслуговування туристів, які їдуть на відпочинок, полягає у визначенні точного місця відпочинку (туру), адекватного вимогам претендента, що відповідає його здоров'ю та фінансовим можливостям та уявленням про відпочинок загалом. У цьому йому можуть сприяти турфірми, пошук яких здійснюється зазвичай з рекламних повідомлень СМО, потім після вибору фірми відбувається отримання консультацій по телефону СМО т, після задовільної розмови приїзд в турфірму та отримання більш детальних консультацій особисто з референтом, потім оплата путівки та отримання обслуговування від авіакомпанії по перельоту СМО а та в кінцевому рахунку обслуговування в готелі СМ0 0 . Подальший розвиток рекомендацій щодо покращення роботи СМО фірми пов'язаний із зміною професійного змісту переговорів із клієнтами по телефону. Для цього необхідно поглибити аналіз, пов'язаний з деталізацією діалогу референта з клієнтами, оскільки далеко не кожен телефонний переговор призводить до укладення договору на придбання путівки. Проведення формалізації завдання обслуговування вказало необхідність формування повного (необхідного і достатнього) переліку характеристик та його точних значень предмета комерційної угоди. Потім проводяться ранжування цих характеристик, наприклад методом парних порівнянь, та розташування в діалозі за ступенем їх значущості, наприклад: пора року (зима), місяць (січень), клімат (сухий), температура повітря (+25 ° С), вологість (40 %), географічне місце (ближче до екватора), час авіаперельоту (до 5 годин), трансферт, країна (Єгипет), місто (Хургада), море (Червоне), температура води в морі (+23°С), ранг готелю ( 4 зірки, працюючий кондиціонер, гарантія наявності шампуню в номері), віддаленість від моря (до 300 м), віддаленість від магазинів (поруч), віддаленість від дискотек та інших джерел шуму (далі, тиша протягом сну в готелі), харчування (шведський) стіл - сніданок, вечеря, частота зміни меню за тиждень), готелі (Princes, Marlin-In, Hour-Palace), екскурсії (Каїр, Луксор, коралові острови, підводне плавання), розважальні шоу, спортивні ігри, ціна путівки, форма оплати , утримання страховки, що брати з собою, що купити на місці, гарантії, штрафні санкції
Є ще один дуже суттєвий показник, вигідний клієнту, встановити який пропонується самостійно в'їдливому читачеві. Потім можна, використовуючи метод опарного порівняння перерахованих характеристик х i , сформувати матрицю п х п порівняння, елементи якої заповнюються послідовно за рядками за наступним правилом:
0, якщо характеристика менш значуща,
а ij = 1, якщо характеристика рівнозначна,
2 якщо характеристика домінує.
Після цього визначаються значення сум оцінок за кожним показником рядка S i =∑a ij , вага кожної характеристики M i = S i /n 2 і відповідно інтегральний критерій, на основі якого можна провести вибір турфірми, туру або готелю, за формулою
F = ∑ M i * x i - max.
З метою виключення можливих помилок у цій процедурі вводять, наприклад, 5-бальну шкалу оцінок з градацією характеристик Б i (х i) за принципом гірше (Б i = 1 бал) – краще (Б i = 5 балів). Наприклад, чим дорожчий тур, тим гірше, чим він дешевший, тим краще. На цій підставі цільова функція матиме інший вигляд:
F b = ∑ M i * Б i * x i -> max.
Таким чином, можна на основі застосування математичних методів і моделей, використовуючи переваги формалізації, точніше і об'єктивніше сформулювати постановку завдань та значно покращити показники СМО у комерційній діяльності для досягнення поставлених цілей.
3.4 Одноканальна СМО з обмеженою довжиною черги
У комерційній діяльності найчастіше зустрічаються СМО з очікуванням (чергою).
Розглянемо просту одноканальну СМО з обмеженою чергою, у якій кількість місць у черзі т - фіксована величина. Отже, заявка, що надійшла в той момент, коли всі місця в черзі зайняті, не приймається до обслуговування, не встає в чергу і залишає систему.
Граф цієї СМО подано на рис. 3.4 та збігається з графом рис. 2.1 описує процес «народження-загибелі», з тією відмінністю, що за наявності тільки одного каналу.
|
|
|
|
|
μ μμμ... μ
Рис. 3.4. Розмічений граф процесу «народження – загибелі» обслуговування всі інтенсивності потоків обслуговування рівні
Стану СМО можна представити так:
S 0 - канал обслуговування вільний,
S, - канал обслуговування зайнятий, але черги немає,
S 2 - канал обслуговування зайнятий, у черзі стоїть одна заявка,
S 3 - канал обслуговування зайнятий, у черзі стоять дві заявки,
S m +1 - канал обслуговування зайнятий, у черзі всі місця зайняті, будь-яка наступна заявка отримує відмову.
Для опису випадкового процесу СМО можна скористатися викладеними раніше правилами та формулами. Напишемо вирази, що визначають граничні ймовірності станів:
p 1 = ρ * ρ про
p 2 = ρ 2 * ρ 0
p k = ρ k * ρ 0
P m+1 = p m=1 * ρ 0
p 0 = -1
Вираз для р 0 можна в іншому випадку записати простіше, користуючись тим, що в знаменнику стоїть геометрична прогресія щодо р, тоді після відповідних перетворень отримуємо:
ρ= (1- ρ )
Ця формула справедлива всім р, відмінних від 1, якщо р = 1, то р 0 = 1/(т + 2), проте інші ймовірності також дорівнюють 1/(т + 2). Якщо припустити т = 0, ми переходимо від розгляду одноканальної СМО з очікуванням до вже розглянутої одноканальної СМО з відмовами в обслуговуванні. Справді, вираз для граничної ймовірності р 0 у разі т = 0 має вигляд:
p про = μ / (λ + μ)
І у разі λ = μ має величину р 0 = 1/2.
Визначимо основні характеристики одноканальної СМО з очікуванням: відносну та абсолютну пропускну здатність, ймовірність відмови, а також середню довжину черги та середній час очікування заявки у черзі.
Заявка отримує відмову, якщо вона надходить у момент часу, коли СМО вже перебуває в стані S m +1 і, отже, всі місця в черзі так зайняті і один канал обслуговує.
Стан S m +1:
P отк = p m +1 = ρ m +1 * p 0
Відносна пропускна здатність, або частка заявок, що обслуговуються, що надходять в одиницю часу, визначається виразом
Q = 1 - p отк = 1 - ρ m+1 * p 0
абсолютна пропускна здатність дорівнює:
Середня кількість заявок L оч стоять у черзі на обслуговування, визначається математичним очікуванням випадкової величини до - числа заявок, що стоять у черзі
випадкова величина приймає такі лише цілочисельні значення:
1 - у черзі стоїть одна заявка,
2 - у черзі дві заявки,
т-в черзі всі місця зайняті
Імовірності цих значень визначаються відповідними ймовірностями станів, починаючи зі стану S2. Закон розподілу дискретної випадкової величини до зображується так:
| k | 1 | 2 | m |
| p i | p 2 | p 3 | p m+1 |
Математичне очікування цієї випадкової величини дорівнює:
L оч = 1 * p 2 +2 * p 3 + ... + m * p m +1
У загальному випадкупри p ≠1 цю суму можна перетворити, користуючись моделями геометричної прогресії, до зручнішого вигляду:
L оч = p 2 * 1-pm* (m-m*p+1)* p 0
В окремому випадку при р = 1, коли всі ймовірності p k виявляються рівними, можна скористатися виразом для суми членів числового ряду
1+2+3+ m = m ( m +1)
Тоді отримаємо формулу
L' оч = m(m+1)* p 0 = m(m+1)(p = 1).
Застосовуючи аналогічні міркування та перетворення, можна показати, що середній час очікування обслуговування заявки а черги визначається формулами Літтла
Т оч = L оч /А (при р ≠ 1) і Т 1 оч = L' оч /А (при р = 1).
Такий результат, коли виявляється, що Т оч ~ 1/λ, може здатися дивним: зі збільшенням інтенсивності потоку заявок нібито має зростати довжина черги і зменшується середній час очікування. Однак слід мати на увазі, що, по-перше, величина L оч є функцією від λ і μ і, по-друге, СМО має обмежену довжину черги не більше mзаявок.
Заявка, що надійшла до СМО в момент часу, коли всі канали зайняті, отримує відмову, і, отже, час її «очікування» в СМО дорівнює нулю. Це призводить у загальному випадку (при р ≠ 1) до зменшення Т оч ростом λ, оскільки частка таких заявок із зростанням λ збільшується.
Якщо відмовитися від обмеження довжину черги, тобто. спрямувати m-> →∞, то випадки р< 1 и р ≥1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду
p k = р k * (1 - р)
При досить великому ймовірність p k прагне нуля. Тому відносна пропускна здатність буде Q= 1, а абсолютна пропускна здатність стане рівною А - Q - λ отже, обслуговуються всі заявки, причому середня довжина черги виявиться рівною:
L оч = p 2 1-p
а середній час очікування за формулою Літтла
Т оч = L оч /А
У межі р<< 1 получаем Т оч = ρ / μт.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р ≥ 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t → ∞). Предельные вероятности состояний поэтому не могут быть определены: при Q= 1 они равны нулю. Фактически СМО не выполняет своих функций, поскольку она не в состоянии обслужить все поступающие заявки. Нетрудно определить, что доля обслуживаемых заявок и абсолютная пропускная способность соответственно составляют в среднем ρ и μ, однако неограниченное увеличение очереди, а следовательно, и времени ожидания в ней приводит к тому, что через некоторое время заявки начинают накапливаться в очереди на неограниченно долгое время.
Як одну з характеристик СМО використовують середній час Т СМО перебування заявки в СМО, що включає середній час перебування в черзі та середній час обслуговування. Ця величина обчислюється за формулами Літтла: якщо довжина черги обмежена - середня кількість заявок, що знаходяться в черзі, дорівнює:
L см= m +1 ;2
Т смо = L смо;при p ≠1
Тоді середній час перебування заявки в системі масового обслуговування (як у черзі, так і під обслуговуванням) дорівнює:
Т смо = m +1 при p ≠1 2μ
3.5 Одноканальна СМО з необмеженою чергою
У комерційній діяльності як одноканальна СМО з необмеженим очікуванням є, наприклад, комерційний директор, оскільки він, як правило, змушений виконувати обслуговування заявок різної природи: документи, телефонні переговори, зустрічі та бесіди з підлеглими, представниками податкової інспекції, міліції, товарознавцями, маркетологами, постачальниками продукції і на вирішення завдань у товарно-фінансовій сфері з високим ступенем фінансової відповідальності, що пов'язано з обов'язковим виконанням запитів, які очікують іноді нетерпляче виконання своїх вимог, а помилки неправильного обслуговування, як правило, є економічно дуже відчутними.
У той самий час товари, завезені на продаж (обслуговування), перебуваючи складі, утворюють чергу обслуговування (продаж).
Довжина черги становить кількість товарів, призначених для продажу. У цій ситуації продавці виступають у ролі каналів, які обслуговують товари. Якщо кількість товарів, призначених для продажу, велика, то в цьому випадку ми маємо справу з типовим випадком СМО з очікуванням.
Розглянемо найпростішу одноканальну СМО з очікуванням обслуговування, яку надходить пуасонівський потік заявок з інтенсивністю λ і інтенсивністю обслуговування µ.
Причому заявка, що надійшла в момент, коли канал зайнятий обслуговуванням, ставиться в чергу та чекає на обслуговування.
Розмічений граф станів такої системи наведено на рис. 3.5
Кількість можливих станів її нескінченно:
Канал вільний, черги немає, ;
Канал зайнятий обслуговуванням, черги немає, ;
Канал зайнятий, одна заявка у черзі, ;
Канал зайнятий, заявка у черзі.
Моделі оцінки ймовірності станів СМО з необмеженою чергою можна отримати з формул, виділених для СМО з необмеженою чергою шляхом переходу до межі при m→∞:
Рис. 3.5 Граф станів одноканальної СМО з необмеженою чергою.
Слід зауважити, що для СМО з обмеженою довжиною черги у формулі
має місце геометрична прогресія з першим членом 1 і знаменником. Така послідовність є сумою нескінченного числа членів при . Ця сума сходиться, якщо прогресія, що нескінченно зменшується при , що визначає режим роботи СМО, що з'явився, з при чергу при з часом може зростати до нескінченності.
Оскільки в аналізованій СМО обмеження на довжину черги відсутня, то будь-яка заявка може бути обслужена, тому , отже, відносна пропускна здатність , відповідно , а абсолютна пропускна здатність
Імовірність перебування у черзі k заявок дорівнює:
;
Середня кількість заявок у черзі –
Середня кількість заявок у системі –
;
Середній час перебування заявки у системі –
;
Середній час перебування заявки із системою –
.
Якщо в одноканальній СМО з очікуванням інтенсивність надходження заявок більша за інтенсивність обслуговування , то черга буде постійно збільшуватися. У зв'язку з цим найбільший інтерес представляє аналіз стійких СМО, що працюють у стаціонарному режимі.
3.6 Багатоканальна СМО з обмеженою довжиною черги
Розглянемо багатоканальну СМО, на вхід якої надходить пуасонівський потік заявок з інтенсивністю, а інтенсивність обслуговування кожного каналу становить максимально можливе число місць у черзі обмежене величиною m. Дискретні стани СМО визначаються кількістю заявок, які надійшли до системи, які можна записати.
Всі канали вільні;
Зайнятий лише один канал (будь-який), ;
Зайняті лише два канали (будь-яких), ;
Зайняті всі канали, .
Поки СМО перебуває у будь-якому з цих станів, черги немає. Після того, як зайняті всі канали обслуговування, наступні заявки утворюють чергу, тим самим, визначаючи подальший стан системи:
Зайняті всі канали і одна заявка стоїть у черзі,
Зайняті всі канали і дві заявки стоять у черзі,
Зайняті всі канали і всі місця в черзі,
Граф станів n-канальної СМО із чергою, обмеженою m місцями на рис.3.6
Рис. 3.6 Граф станів n-канальної СМО з обмеженням на довжину черги m
Перехід СМО в стан з великими номерами визначається потоком заявок, що надходять, з інтенсивністю , тоді як за умовою в обслуговуванні цих заявок беруть участь однакових каналів з інтенсивністю потоку обслуговування рівного для кожного каналу. При цьому повна інтенсивність потоку обслуговування зростає з підключенням нових каналів до такого стану , коли всі n каналів виявляться зайнятими. З появою черги інтенсивність обслуговування більше збільшується, оскільки вона досягла максимального значення, рівного .
Запишемо вирази для граничних ймовірностей станів:
Вираз можна перетворити, використовуючи формулу геометричної прогресії для суми членів зі знаменником :
Освіта черги можливе, коли заявка, що знову надійшла, застане в системі не менше вимог, тобто. коли у системі буде перебувати вимог. Ці події незалежні, тому ймовірність того, що всі канали зайняті, дорівнює сумі відповідних ймовірностей.
Імовірність відмови в обслуговуванні настає тоді, коли всі канали і всі місця в черзі зайняті:
Відносна пропускна здатність дорівнюватиме:
Абсолютна пропускна спроможність –
Середня кількість зайнятих каналів –
Середня кількість каналів, що простоюють
Коефіцієнт зайнятості (використання) каналів –
Коефіцієнт простою каналів –
Середня кількість заявок, що знаходяться у чергах –
Якщо , ця формула набуває іншого вигляду –
Середній час очікування у черзі визначається формулами Літтла –
Середній час перебування заявки в СМО, як і для одноканальної СМО, більший за середній час очікування в черзі на середній час обслуговування, що дорівнює , оскільки заявка завжди обслуговується тільки одним каналом:
3.7 Багатоканальна СМО з необмеженою чергою
Розглянемо багатоканальну СМО з очікуванням та необмеженою довжиною черги, на яку надходить потік заявок з інтенсивністю та яка має інтенсивність обслуговування кожного каналу. Розмічений граф станів представлений на рис 3.7. Він має нескінченну кількість станів:
S - всі канали вільні, k = 0;
S - зайнятий один канал, інші вільні, k = 1;
S - зайняті два канали, інші вільні, k = 2;
S - зайняті всі n каналів, k = n, черги немає;
S - зайняті всі n каналів, одна заявка у черзі, k=n+1,
S - зайняті всі n каналів, r заявок у черзі, k=n+r,
Ймовірність станів отримаємо з формул для багатоканальної СМО з обмеженою чергою при переході до межі при m. Слід зазначити, що сума геометричної прогресії у виразі для p розходиться при рівні завантаження p/n>1, черга нескінченно зростатиме, а при p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.
Черги ні
| … | … |
Рис.3.7 Розмічений граф станів багатоканальної СМО
з необмеженою чергою
для якого і визначимо вирази для граничних ймовірностей станів:
Оскільки відмови в обслуговуванні в таких системах не може бути, то характеристики пропускної спроможності дорівнюють:
середня кількість заявок у черзі –
середній час очікування у черзі –
середня кількість заявок до СМО –
Імовірність того, що СМО перебуває в стані, коли немає заявок і не зайнято жодного каналу, визначається виразом
Ця ймовірність визначає середню частку простою каналу обслуговування. Імовірність зайнятості обслуговуванням заявок –
На цій підставі можна визначити ймовірність, або час зайнятості всіх каналів обслуговуванням
Якщо всі канали вже зайняті обслуговуванням, то ймовірність стану визначається виразом
Імовірність опинитися у черзі дорівнює ймовірності застати всі канали вже зайнятими обслуговуванням
Середня кількість заявок, що перебувають у черзі та чекають на обслуговування, дорівнює:
Середній час очікування заявки у черзі за формулою Літтла: і в системі
середня кількість зайнятих каналів обслуговуванням:
середня кількість вільних каналів:
коефіцієнт зайнятості каналів обслуговуванням:
Важливо зауважити, що параметр характеризує ступінь узгодження вхідного потоку, наприклад, покупців у магазині з інтенсивністю потоку обслуговування. Якщо ж в системі будуть зростати середня довжина черги і середній час очікування покупцями початку обслуговування і, отже, СМО працюватиме нестійко.
3.8 Аналіз системи масового обслуговування супермаркету
Одним із важливих завдань комерційної діяльності є раціональна організація торгово-технологічного процесу масового обслуговування, наприклад, в універсамі. Зокрема визначення потужності касового вузла торговельного підприємства є непростим завданням. Такі економіко-організаційні показники, як навантаження товарообігу на 1м 2 торгової площі, пропускна спроможність підприємства, час перебування покупців у магазині, а також показники рівня технологічного рішення торгового залу: співвідношення площ зон самообслуговування та розрахункового вузла, коефіцієнти настановної та виставкової площ багато в чому визначаються пропускною спроможністю касового вузла. В цьому випадку пропускну здатність двох зон (фаз) обслуговування: зони самообслуговування та зони розрахункового вузла (рис.4.1).
| СМО | СМО |
Інтенсивність вхідного потоку покупців;
Інтенсивність приходу покупців зони самообслуговування;
Інтенсивність приходу покупців у розрахунковий вузол;
Інтенсивність потоку обслуговування.
Рис.4.1. Модель двофазної СМО торгового залу універсаму
Основна функція розрахункового вузла полягає у забезпеченні високої пропускної спроможності покупців у торговому залі та створенні комфортного обслуговування покупців. Чинники, що впливають пропускну здатність розрахункового вузла, можна розділити на дві групи:
1) економіко-організаційні фактори: система матеріальної відповідальності в універсамі; середня вартість та структура однієї покупки;
2) організаційну структуру касового вузла;
3) техніко-технологічні фактори: застосовувані типи касових апаратів та касових кабін; технологія обслуговування покупців, що застосовується контролером-касиром; відповідність потужності касового вузла інтенсивності купівельних потоків.
З перелічених груп чинників найбільше впливають організаційне побудова касового вузла і відповідність потужності касового вузла інтенсивності купівельних потоків.
Розглянемо обидві фази системи обслуговування:
1) вибір покупцями товарів у зоні самообслуговування;
2) обслуговування покупців у зоні розрахункового вузла. Вхідний потік покупців потрапляє у фазу самообслуговування, і покупець самостійно відбирає необхідні йому товарні одиниці, формуючи в єдину покупку. Причому час цієї фази залежить від цього, як взаєморозміщені товарні зони, який фронт вони мають, скільки часу витрачає покупець вибір конкретного товару, яка структура купівлі тощо.
Потік покупців, що виходить, з зони самообслуговування одночасно є вхідним потоком в зону касового вузла, який послідовно включає очікування покупця в черзі і потім обслуговування його контролером-касиром. Касовий вузол можна розглядати як систему обслуговування із втратами або як систему обслуговування з очікуванням.
Однак ні перша, ні друга розглянуті системи не дозволяють реально описати процес обслуговування в касовому вузлі універсаму з наступних причин:
у першому варіанті касовий вузол, потужність якого буде розрахована на систему із втратами, вимагає значних як капітальних вкладень, так і поточних витрат на утримання контролерів-касирів;
у другому варіанті касовий вузол, потужність якого буде розрахована на систему з очікуваннями, призводить до великих витрат часу покупців в очікуванні обслуговування. При цьому в години пік зона розрахункового вузла переповнюється і черга покупців перетікає в зону самообслуговування, що порушує нормальні умови для вибору товару іншими покупцями.
У зв'язку з цим доцільно розглядати другу фазу обслуговування як систему з обмеженою чергою, проміжну між системою з очікуванням та системою з втратами. При цьому передбачається, що одночасно в системі можуть перебувати не більше L, причому L=n+m, де n-кількість клієнтів, що обслуговуються в касах, m-кількість покупців, що стоять у черзі, причому будь-яка m+1- заявка залишає систему необслуженою.
Ця умова дозволяє, з одного боку, обмежити площу зони розрахункового вузла з урахуванням максимально допустимої довжини черги, з другого – запровадити обмеження тимчасово очікування покупцями обслуговування у касовому вузлі, тобто. враховувати витрати споживання покупців.
Правомірність постановки завдання у такому вигляді підтверджується проведеними обстеженнями потоків покупців в універсамах, результати яких наведено в табл. 4.1, аналіз яких виявив тісний зв'язок між середньою довгою чергою в касовому вузлі та кількістю покупців, які не здійснили покупок.
| Години роботи | День тижня | ||||||||
| п'ятниця | субота | неділя | |||||||
черга, |
кількість покупців без покупок |
черга, |
кількість покупців без покупок |
черга, |
кількість покупців без покупок |
||||
| чол. | % | чол. | % | чол. | % | ||||
| з 9 до 10 | 2 | 38 | 5 | 5 | 60 | 5,4 | 7 | 64 | 4,2 |
| з 10 до 11 | 3 | 44 | 5,3 | 5 | 67 | 5 | 6 | 62 | 3,7 |
| з 11 до 12 | 3 | 54 | 6,5 | 4 | 60 | 5,8 | 7 | 121 | 8,8 |
| з 12 до 13 | 2 | 43 | 4,9 | 4 | 63 | 5,5 | 8 | 156 | 10 |
| з 14 до 15 | 2 | 48 | 5,5 | 6 | 79 | 6,7 | 7 | 125 | 6,5 |
| з 15 до 16 | 3 | 61 | 7,3 | 6 | 97 | 6,4 | 5 | 85 | 7,2 |
| з 16 до 17 | 4 | 77 | 7,1 | 8 | 140 | 9,7 | 5 | 76 | 6 |
| з 17 до 18 | 5 | 91 | 6,8 | 7 | 92 | 8,4 | 4 | 83 | 7,2 |
| з 18 до 19 | 5 | 130 | 7,3 | 6 | 88 | 5,9 | 7 | 132 | 8 |
| з 19 до 20 | 6 | 105 | 7,6 | 6 | 77 | 6 | |||
| з 20 до 21 | 6 | 58 | 7 | 5 | 39 | 4,4 | |||
| Разом | 749 | 6,5 | 862 | 6,3 | 904 | 4,5 | |||
В організації роботи касового вузла універсаму є ще одна важлива особливість, яка значно впливає на його пропускну здатність: наявність експрес-кас (однієї-двох покупок). Вивчення структури потоку покупців в універсамах на кшталт касового обслуговування показує, що потік оборот становить 12,9% (табл. 4.2).
| Дні тижня | Потоки покупців | Товарообіг | ||||
| всього | по експрес-касам | % до денного потоку | всього | по експрес-касам | % до денного товарообігу | |
| Літній період | ||||||
| Понеділок | 11182 | 3856 | 34,5 | 39669,2 | 3128,39 | 7,9 |
| Вівторок | 10207 | 1627 | 15,9 | 38526,6 | 1842,25 | 4,8 |
| Середа | 10175 | 2435 | 24 | 33945 | 2047,37 | 6 |
| Четвер | 10318 | 2202 | 21,3 | 36355,6 | 1778,9 | 4,9 |
| П'ятниця | 11377 | 2469 | 21,7 | 43250,9 | 5572,46 | 12,9 |
| Субота | 10962 | 1561 | 14,2 | 39873 | 1307,62 | 3,3 |
| Неділя | 10894 | 2043 | 18,8 | 35237,6 | 1883,38 | 5,1 |
| Зимовий період | ||||||
| Понеділок | 10269 | 1857 | 18,1 | 37121,6 | 2429,73 | 6,5 |
| Вівторок | 10784 | 1665 | 15,4 | 38460,9 | 1950,41 | 5,1 |
| Середа | 11167 | 3729 | 33,4 | 39440,3 | 4912,99 | 12,49,4 |
| Четвер | 11521 | 2451 | 21,3 | 40000,7 | 3764,58 | 9,4 |
| П'ятниця | 11485 | 1878 | 16,4 | 43669,5 | 2900,73 | 6,6 |
| Субота | 13689 | 2498 | 18,2 | 52336,9 | 4752,77 | 9,1 |
| Неділя | 13436 | 4471 | 33,3 | 47679,9 | 6051,93 | 12,7 |
Для остаточного побудова математичної моделі процесу обслуговування з урахуванням перелічених вище факторів необхідно визначити функції розподілу випадкових величин, а також випадкові процеси, що описують вхідні та вихідні потоки покупців:
1) функцію розподілу часу покупців на вибір товарів у зоні самообслуговування;
2) функцію розподілу часу роботи контролера-касира для звичайних кас та експрес-кас;
3) випадковий процес, що описує вхідний потік покупців у першу фазу обслуговування;
4) випадковий процес, що описує вхідний потік у другу фазу обслуговування для звичайних кас та експрес-кас.
Моделями для розрахунку характеристик системи масового обслуговування зручно користуватися в тому випадку, якщо вхідний потік вимог до системи обслуговування є найпростішим потоком пуасонів, а час обслуговування заявок розподілено за експоненційним законом.
Дослідження потоку покупців у зоні касового вузла показало, що йому може бути прийнятий пуасонівський потік.
Функція розподілу часу обслуговування покупців контролерами-касирами є експоненційною, таке припущення не призводить до великих помилок.
Безумовний інтерес представляє аналіз характеристик обслуговування потоку покупців у касовому вузлі універсаму, розрахованих для трьох систем: із втратами, з очікуванням та змішаного типу.
Розрахунки параметрів процесу обслуговування покупців у касовому вузлі проведені для комерційного підприємства торговою площею S = 650 на основі таких даних.
Цільова функція може бути записана у загальному вигляді зв'язку (критерію) виручки від реалізації від характеристик СМО:
де - касовий вузол складається з = 7 кас звичайного типу і = 2 експрес-кас,
Інтенсивність обслуговування покупців у зоні звичайних кас – 0,823 чол./хв;
Інтенсивність навантаження касових апаратів у зоні звичайних кас – 6,65,
Інтенсивність обслуговування покупців у зоні експрес-кас – 2,18 чол./хв;
Інтенсивність вхідного потоку до зони звичайних кас – 5,47 чол./хв.
Інтенсивність навантаження касових апаратів у зоні експрес-кас – 1,63,
Інтенсивність вхідного потоку до зони експрес-кас – 3,55 чол./хв;
Для моделі СМО з обмеженням на довжину черги відповідно до проектованої зони касового вузла максимально допустима кількість покупців, що стоять у черзі в одну касу, приймається рівним m=10 покупців.
Слід зауважити, що для отримання порівняно невеликих за абсолютною величиною значень ймовірності втрат заявок та часу очікування покупців у касовому вузлі необхідно дотримуватись наступних умов: 
У табл.6.6.3 наведено результати характеристик якості функціонування СМО у зоні розрахункового вузла.
Розрахунки проведені найбільш напруженого періоду часу робочого дня з 17 до 21 години. Саме цей період, як показали результати обстежень, припадає близько 50% одноденного потоку покупців.
З наведених даних у табл. 4.3 слід, що якби для розрахунку було обрано:
1) модель з відмовими, то 22,6% потоку покупців, що обслуговуються звичайними касами, і відповідно 33,6% потоку покупців, що обслуговуються експрес-касами, мали б піти без покупок;
2) модель з очікуванням, то втрат заявок у розрахунковому вузлі не повинно бути;
Табл. 4.3 Характеристики системи масового обслуговування покупців у зоні розрахункового вузла
| Тип каси | Кількість кас у вузлі | Тип СМО | Характеристики СМО | ||
| Середня кількість зайнятих кас, | середній час очікування обслуговування, | Можливість втрати заявок, | |||
| Звичайні каси | 7 | з відмовами з очікуванням з обмеженням |
|||
| Експрес-каси | 2 | з відмовами з очікуванням з обмеженням |
|||
3) модель з обмеженням на довжину черги, лише 0,12% потоку покупців, що обслуговуються звичайними касами, і 1,8% потоку покупців, що обслуговуються експрес-касами, залишать торговий зал без покупок. Отже, модель з обмеженням на довжину черги дозволяє точніше і реальніше описати процес обслуговування покупців у зоні касового вузла.
Інтерес є порівняльний розрахунок потужності касового вузла як з урахуванням експрес-кас, так і без них. У табл. 4.4 наведено характеристики системи обслуговування касового вузла трьох типорозмірів універсамів, розраховані за моделями СМО з обмеженням на довжину черги на найбільш напружений період робочого дня з 17 до 21 години.
Аналіз даних цієї таблиці показує, що не облік фактора «Структура потоку покупців на кшталт касового обслуговування» на стадії технологічного проектування може призвести до збільшення зони розрахункового вузла на 22-33%, а звідси відповідно і зменшення настановних та виставкових площ торгово-технологічного обладнання та товарної маси, що розміщується у торговому залі.
Проблема визначення потужності касового вузла є ланцюжком взаємозалежних характеристик. Так, збільшення його потужності скорочує час покупців на очікування обслуговування, зменшує ймовірність втрати вимог та, отже, втрати товарообігу. Поруч із необхідно відповідно зменшити зону самообслуговування, фронт торгово-технологічного устаткування, товарну масу у торговому залі. Водночас збільшується витрати на заробітну плату контролерів-касирів та обладнання додаткових робочих місць. Тому
| № п/п | Характеристики СМО | Одиниця виміру | Позначення | Показники, розраховані на типи універсамів торгової площі, кв. м | ||||||||||||||||
| Без експрес-кас | З урахуванням експрес-кас | |||||||||||||||||||
| 650 | 1000 | 2000 | 650 | 1000 | 2000 | |||||||||||||||
| Звичайні каси | Експрес-каси | Звичайні каси | експрес-каси | Звичайні каси | експрес-каси | |||||||||||||||
| 1 | Кількість покупців | чол. | k | 2310 | 3340 | 6680 | 1460 | 850 | 2040 | 1300 | 4080 | 2600 | ||||||||
| 2 | Інтенсивність вхідного потоку | λ | 9,64 | 13,9 | 27,9 | 6,08 | 3,55 | 8,55 | 5,41 | 17,1 | 10,8 | |||||||||
| 3 | Інтенсивність обслуговування | чол./хв | μ | 0,823 | 0,823 | 0,823 | 0,823 | 2,18 | 0,823 | 2,18 | 0,823 | 2,18 | ||||||||
| 4 | Інтенсивність навантаження | - | ρ | 11,7 | 16,95 | 33,8 | 6,65 | 1,63 | 10,35 | 2,48 | 20,7 | 4,95 | ||||||||
| 5 | Кількість касових апаратів | шт. | n | 12 | 17 | 34 | 7 | 2 | 11 | 3 | 21 | 5 | ||||||||
| 6 | Загальна кількість кас розрахункового вузла | шт. | ∑n | 12 | 17 | 34 | 9 | 14 | 26 | |||||||||||
необхідно проводити оптимізаційні розрахунки. Розглянемо характеристики системи обслуговування у касовому вузлі універсаму торгової площі 650м, розраховані за моделями СМО з обмеженою довжиною черги до різних потужностей його касового вузла в табл. 4.5.
За підсумками аналізу даних табл. 4.5 можна дійти невтішного висновку, що з збільшення кількості кас час очікування покупців у черзі зростає, та був після певного моменту різко падає. Характер зміни графіка часу очікування покупців зрозумілий, якщо паралельно розглядати зміну ймовірності втрати вимоги Цілком очевидно, що коли потужність касового вузла надмірно мала, то більше 85% покупців будуть йти необслуженими, а частина покупців, що залишилася, буде обслужена за дуже короткий час. Чим більша потужність касового вузла, тим ймовірніше втрати вимог чекатиме свого обслуговування, а значить, і час їх очікування у черзі відповідно зростатиме. Після того як очікування та ймовірність втрат різко зменшуватимуться.
Для універсаму торговою площею 650 ця межа для зони звичайних кас лежить між 6 та 7 касовими апаратами. За 7 касових апаратів відповідно середній час очікування – 2,66 хв, а ймовірність втрати заявок дуже мала – 0,1%. Таким чином, що дозволить одержати мінімальні сукупні витрати на масове обслуговування покупців.
| Тип касового обслуговування | Кількість касових апаратів у вузлі n, прим. | Характеристики системи обслуговування | Середня виручка за 1 год. руб. | Середня втрата виручки за 1 год. руб | Число покупців у зоні розрахункового вузла | Площа зони розрахункового вузла, Sy, м | Питома вага площі зони вузла 650/ Sy | |
| Середній час очікування, Т, хв | Ймовірність втрати заявок | |||||||
| Зони Звичайних кас | ||||||||
| Зони експрес-кас | ||||||||
Висновок
За підсумками аналізу даних табл. 4.5 можна дійти невтішного висновку, що з збільшенням кількість кас час очікування покупців у черзі зростає. А потім після певного моменту різко падає. Характер зміни графіка часу очікування покупців зрозумілий, якщо паралельно розглядати зміну ймовірності втрати вимог Цілком очевидно, що коли потужність касового вузла надмірно мала, то більше 85% покупців будуть йти необслуженими, а частина покупців, що залишилася, буде обслужена за дуже короткий час. Чим більша потужність касового вузла. Тим ймовірність втрати вимог зменшуватиметься і відповідно тим більше покупців чекатиме свого обслуговування, а отже, і час їх очікування у черзі відповідно зростатиме. Після того як розрахунковий вузол перевищить оптимальний потужність, час очікування та ймовірність втрат різко зменшуватимуться.
Для універсаму торговою площею 650 кв. метрів ця межа для зони звичайних кас лежить між 6-8 касовими апаратами. При 7 касових апаратах відповідно середній час очікування - 2,66 хв, а ймовірність втрати заявок дуже мало - 0,1%. Таким чином, завдання полягає у виборі такої потужності касового вузла, яка дозволить отримати мінімальні сукупні витрати на масове обслуговування покупців.
У зв'язку з цим наступним етапом вирішення поставленої задачі є оптимізація потужності касового вузла на базі застосування моделей СМО різних типів з урахуванням сукупних витрат та перерахованих вище факторів.
Математичний (абстрактний) об'єкт, елементами якого є (рис. 2.1):
- вхідний (вхідний) потік заявок (вимог) обслуговування;
- прилади (канали) обслуговування;
- черга заявок, які чекають на обслуговування;
- вихідний (вихідний) потік обслужених заявок;
- потік заявок на дообслуговування після переривання обслуговування;
- потік необслужених заявок.
Заявка(Запит, вимога, виклик, клієнт, повідомлення, пакет) - об'єкт, що надходить до СМО та вимагає обслуговування в приладі. Сукупність послідовних заявок, розподілених у часі, утворюють вхідний потік заявок.
Рис. 2.1.
Обслуговуючий прилад(Прилад, пристрій, канал, лінія, знаряддя, автомобіль, маршрутизатор тощо) - елемент СМО, призначенням якого є обслуговування заявок.
Обслуговування- Затримка заявки в обслуговуючому приладі на деякий час.
Тривалість обслуговування- час затримки (обслуговування) заявки у приладі.
Накопичувач(Буфер, вхідний буфер, вихідний буфер) - сукупність місць для очікування заявок перед обслуговуючим приладом. Кількість місць для очікування - ємність накопичувача.
Заявка, що надійшла до СМО, може перебувати у двох станах:
- 1) обслуговування(У приладі);
- 2) очікування(у накопичувачі), якщо всі прилади зайняті обслуговуванням інших заявок.
Заявки, що знаходяться в накопичувачі та очікують на обслуговування, утворюють чергазаявок. Кількість заявок у накопичувачі, що очікують на обслуговування, - довжина черги.
Дисципліна буферизації(дисципліна постановки в чергу) - правило занесення заявок, що надходять, у накопичувач (буфер).
Дисципліна обслуговування- правило вибору заявок із черги для обслуговування у приладі.
Пріоритет- Переважне право (захоплення ресурсів) на занесення в накопичувач або вибір з черги для обслуговування в приладі заявок одного класу по відношенню до заявок інших класів.
Існує безліч систем масового обслуговування, що відрізняються структурною та функціональною організацією. У той самий час розробка аналітичних методів розрахунку показників функціонування СМО у часто передбачає наявність низки обмежень і припущень, звужують безліч досліджуваних СМО. Тому загальної аналітичної моделі для довільної СМО складної структури немає.
Аналітичною моделлю СМО є сукупність рівнянь або формул, що дозволяють визначати ймовірності станів системи у процесі її функціонування та показники ефективності за відомими параметрами вхідного потоку та каналів обслуговування, дисциплінами буферизації та обслуговування.
Аналітичне моделювання СМО суттєво полегшується, якщо процеси, що протікають у СМО, - марківські (потоки найпростіших заявок, часи обслуговування розподілені експоненційно). У цьому випадку всі процеси в СМО можна описати звичайними диференціальними рівняннями, а в граничному випадку - для стаціонарних станів - лінійними рівняннями алгебри і, вирішивши їх будь-якими методами, наявними в математичних програмних пакетах, визначити обрані показники ефективності.
У системах ІМ при реалізації СМО приймаються такі обмеження та припущення:
- заявка, що надійшла в систему миттєвопотрапляє на обслуговування, якщо в черзі немає заявок та прилад вільний;
- у приладі на обслуговуванні в кожний момент часу може перебувати лише одназаявка;
- після закінчення обслуговування будь-якої заявки у приладі чергова заявка вибирається із черги на обслуговування миттєво, тобто, прилад не простоює,якщо у черзі є хоча б одна заявка;
- надходження заявок до СМО та тривалості їх обслуговування не залежать від кількості заявок, що вже знаходяться в системі, або від будь-яких інших факторів;
- Тривалість обслуговування заявок залежить від інтенсивності надходження заявок у систему.
Зупинимося на деяких елементах СМО детальніше.
Вхідний (вхідний) потік заявок. Потоком подійназивається послідовність однорідних подій, що йдуть одна за одною і відбуваються в якісь, взагалі кажучи, випадковімоменти часу. Якщо подія полягає у появі заявок, маємо потік заявок.Для опису потоку заявок у випадку необхідно задати інтервали часу т = t k - t k-1між сусідніми моментами t k _ kі t kнадходження заявок із порядковими номерами до - 1 та довідповідно (до - 1, 2, ...; t 0 - 0 – початковий момент часу).
Основною характеристикою потоку заявок є його інтенсивність X- Середня кількість заявок, що надходять на вхід СМО за одиницю часу. Величина т = 1/Хвизначає середній інтервал між двома послідовними заявками.
Потік називається детермінованим,якщо інтервали часу т доміж сусідніми заявками набувають певних заздалегідь відомих значень. Якщо при цьому інтервали однакові (х до= т для всіх до = 1, 2, ...), то потік називається регулярним.Для повного опису регулярного потоку заявок достатньо встановити інтенсивність потоку Xабо значення інтервалу т = 1/Х.
Потік, у якому інтервали часу х доміж сусідніми заявками є випадкові величини, називається випадковим.Для повного опису випадкового потоку заявок у загальному випадку необхідно задати закони розподілу F fc (x fc) кожного з інтервалів часу х до, к = 1,2,....
Випадковий потік, у якому всі інтервали часу х ь х 2... між сусідніми послідовними заявками є незалежні випадкові величини, що описуються функціями розподілів FjCij), F 2 (x 2), ... відповідно, називається потоком з обмеженою післядією.
Випадковий потік називається рекурентним,якщо всі інтервали часу х ьт 2 ... між заявками розподілені за одним і тим самим законом F(t). Рекурентних потоків багато. Кожен закон розподілу породжує свій рекурентний потік. Рекурентні потоки інакше називають потоками Пальма.
Якщо інтенсивність Xі закон розподілу F(t) інтервалів між послідовними заявками не змінюються з часом, то потік заявок називається стаціонарний.В іншому випадку потік заявок є нестаціонарним.
Якщо у кожний момент часу t kна вході СМО може з'явитися лише одна заявка, то потік заявок називається ординарним.Якщо будь-якої миті часу може з'явитися більше однієї заявки, то потік заявок - неординарний,або груповий.
Потік заявок називається потоком без післядії,якщо заявки надходять незалежнодруг від друга, тобто. момент надходження чергової заявки не залежить від того, коли та скільки заявок надійшло до цього моменту.
Стаціонарний ординарний потік без післядії називається найпростішим.
Інтервали часу т між заявками в найпростішому потоці розподілені по експоненційному (показовому) закону:з функцією розподілу F(t) = 1 - е~ м;щільністю розподілу/(f) = Хе~" л,де X > 0 – параметр розподілу – інтенсивність потоку заявок.
Найпростіший потік часто називають пуассонівським.Назва походить від того, що для цього потоку ймовірність P fc (At) появи рівно дозаявок за деякий інтервал часу At визначається законом Пуассона:
Слід зауважити, що пуасонівський потік, на відміну від найпростішого, може бути:
- стаціонарним,якщо інтенсивність Xне змінюється з часом;
- нестаціонарним,якщо інтенсивність потоку залежить від часу: X= >.(t).
У той самий час найпростіший потік, за визначенням, завжди стаціонарним.
Аналітичні дослідження моделей масового обслуговування часто проводяться у припущенні про найпростіший потік заявок, що з рядом властивих йому чудових особливостей.
1. Підсумовування (об'єднання) потоків. Найпростіший потік у теорії СМО аналогічний нормальному законурозподілу в теорії ймовірностей: до найпростішого потоку наводить граничний перехід для потоку, що є сумою потоків з довільними характеристиками при нескінченному збільшенні числа доданків та зменшенні їх інтенсивності.
Сума Nнезалежних стаціонарних ординарних потоків з інтенсивностями Х ь Х 2 ,..., X Nутворює найпростіший потік з інтенсивністю
X=Y,^iза умови, що потоки, що складаються, надають більше або
менш однаково малий впливом геть сумарний потік. Насправді сумарний потік близький до найпростішого при N > 5. Значить, при сумуванні незалежних найпростіших потоків сумарний потік буде найпростішимза будь-якого значення N.
- 2. Імовірнісне розрідження потоку. Вірогідне(але не детерміноване) розрідження найпростішого потокузаявок, при якому будь-яка заявка випадково з деякою ймовірністю рвиключається із потоку незалежно від того, виключені інші заявки чи ні, призводить до освіти найпростішого потокуз інтенсивністю X* = рХ,де X- Інтенсивність вихідного потоку. Потік виключених заявок з інтенсивністю X** = (1 - р) Х- теж найпростішийпотік.
- 3. Ефективність. Якщо обслуговуючі канали (прилади) розраховані на найпростіший потік заявок з інтенсивністю X,то обслуговування інших типів потоків (з тією ж інтенсивністю) буде забезпечено не меншою ефективністю.
- 4. Простота. Припущення про найпростіший потік заявок дозволяє багатьом математичних моделей отримати у явному вигляді залежності показників СМО від параметрів. Найбільша кількість аналітичних результатівотримано для найпростішого потоку заявок.
Аналіз моделей із потоками заявок, відмінними від найпростіших, зазвичай ускладнює математичні викладки і не завжди дозволяє отримати аналітичне рішення у явному вигляді. Свою назву найпростіший потік отримав саме завдяки цій особливості.
Заявки можуть мати різні права початку обслуговування. У цьому випадку кажуть, що заявки неоднорідні.Переваги одних потоків заявок перед іншими початку обслуговування задаються пріоритетами.
Важливою характеристикою вхідного потоку є коефіцієнт варіації
де т інт – математичне очікування довжини інтервалу; о- Середнє квадратичне відхилення довжини інтервалу х інт (випадкової величини).
Для найпростішого потоку (а =-, т = -) маємо v = 1. Для більшості
реальних потоків 0
Канали (прилади) обслуговування. Основна характеристика каналу – тривалість обслуговування.
Тривалість обслуговування- час перебування заявки у приладі - у випадку величина випадкова. У разі неоднорідного навантаження СМО тривалість обслуговування заявок різних класів може відрізнятися законами розподілів або лише середніми значеннями. При цьому зазвичай передбачається незалежність тривалості обслуговування заявок кожного класу.
Часто практики вважають тривалість обслуговування заявок розподіленої по експонентному закону,що значно спрощує аналітичні викладки. Це пов'язано з тим, що процеси, які у системах з експоненційним розподілом інтервалів часу, є марківськимипроцесами:
де ц - інтенсивність обслуговування,тут р = _--; т 0 бсл - матема-
тичне очікування часу обслуговування.
Крім експоненційного розподілу зустрічаються /з-розподіл Ерланга, гіперекспоненціальний, трикутний і деякі інші. Це не повинно бентежити, оскільки показано, що значення критеріїв ефективності СМО мало залежить від виду закону розподілу часу обслуговування.
Під час дослідження СМО випадає з розгляду сутність обслуговування, якість обслуговування.
Канали можуть бути абсолютно надійними,тобто. не виходити з ладу. Точніше, може бути прийнято щодо. Канали можуть мати кінцевою надійністю.В цьому випадку модель СМО значно складніша.
Ефективність СМО залежить тільки від параметрів вхідних потоків і каналів обслуговування, але й від цього, як і послідовності обслуговуються що надходять заявки, тобто. від способів управління потоками заявок при їх вході в систему та направлення на обслуговування.
Способи керування потоками заявок визначаються дисциплінами:
- буферизації;
- обслуговування.
Дисципліни буферизації та обслуговування можуть бути класифіковані за такими ознаками:
- наявність пріоритетів між заявками різних класів;
- спосіб витіснення заявок із черги (для дисциплін буферизації) та призначення заявок на обслуговування (для дисциплін обслуговування);
- правило витіснення чи вибору заявок обслуговування;
- можливість зміни пріоритетів.
Варіант класифікації дисциплін буферизації (постановки у чергу) відповідно до перелічених ознак представлений на рис. 2.2.
Залежно від наявностіабо відсутності пріоритетівміж заявками різних класів усі дисципліни буферизації можуть бути розбиті на дві групи: безпріоритетні та пріоритетні.
за способу витіснення заявок із накопичувачаможна виділити такі класи дисциплін буферизації:
- без витіснення заявок - заявки, що надійшли до системи та застави накопичувач повністю заповненим, губляться;
- з витісненням заявки цього класу, тобто. такого ж класу, що і заявка, що надійшла;
- з витісненням заявки із класу найнижчого пріоритету;
- з витісненням заявки із групи класів низьких пріоритетів.
Рис. 2.2.
Дисципліни буферизації можуть використовувати такі правила витіснення заявок із накопичувача:
- випадкове витіснення;
- витіснення останньої заявки, тобто. що надійшла до системи пізніше за всіх;
- витіснення «довгої» заявки, тобто. що знаходиться в накопичувачі довше всіх заявок, що надійшли раніше.
На рис. 2.3 представлено класифікацію дисциплін обслуговування заявок відповідно до тих самих ознак, що й для дисциплін буферизації.
Іноді ємність накопичувача в моделях вважають необмеженою, хоча у реальній системі вона обмежена. Таке припущення виправдане, коли ймовірність втрати заявки у реальній системі через переповнення ємності накопичувача менше 10 _3 . У цьому випадку дисципліна практично не впливає на показники обслуговування заявок.
Залежно від наявностіабо відсутності пріоритетівміж заявками різних класів усі дисципліни обслуговування, як і дисципліни буферизації, можуть бути розбиті на дві групи: безпріоритетні та пріоритетні.
за способу призначення заявок на обслуговуваннядисципліни обслуговування можуть бути поділені на дисципліни:
- одиночного режиму;
- групового режиму;
- комбінованого режиму.
Рис. 2.3.
У дисциплінах обслуговування одиночного режимущоразу на обслуговування призначається лише одназаявка, навіщо черги проглядаються після закінчення обслуговування попередньої заявки.
У дисциплінах обслуговування групового режимущоразу на обслуговування призначається група заявокоднієї черги, навіщо перегляд черг виконується лише після обслуговування всіх заявок раніше призначеної групи. Новопризначена група заявок може включати всі заявки даної черги. Заявки призначеної на обслуговування групи послідовно вибираються із чергита обслуговуються приладом, після чого на обслуговування призначається наступна група заявок іншої черги відповідно до заданої дисципліни обслуговування.
Комбінований режим- комбінація одиночного та групового режимів, коли частина черг заявок обробляється в одиночному режимі, а інша частина – у груповому.
Дисципліни обслуговування можуть використовувати наступні правилавибору заявок обслуговування.
Безпріоритетні(заявки не мають привілеїв на дострокове обслуговування – захоплення ресурсів):
- обслуговування у порядку надходження FIFO (перший в -First out,перший увійшов – перший вийшов);
- обслуговування у зворотному порядку- заявка вибирається із черги в режимі LIFO (last in - first out,останній увійшов – перший вийшов);
- обслуговування у випадковому порядку- заявка вибирається із черги в режимі RAND (random- випадковим чином);
- обслуговування у циклічному порядку- заявки вибираються в процесі циклічного опитування накопичувачів у послідовності 1, 2, НЗ Н- кількість накопичувачів), після чого вказана послідовність повторюється;
Пріоритетні(Заявки мають привілеї на дострокове обслуговування – захоплення ресурсів):
- з відносними пріоритетами- якщо в процесі поточного обслуговування заявки до системи надходять заявки з вищими пріоритетами, то обслуговування поточної навіть безпріоритетної заявки не переривається, а заявки, що надійшли, направляються в чергу; відносні пріоритети відіграють роль лише в момент закінчення поточного обслуговування заявки при виборі з черги нової заявки на обслуговування.
- з абсолютними пріоритетами- при надходженні заявки з високим пріоритетом обслуговування заявки з низьким пріоритетом переривається і на обслуговування надсилається заявка, що надійшла; перервана заявка може бути повернена в чергу або видалена із системи; якщо заявку повернуто в чергу, то її подальше обслуговування може бути виконане з перерваного місця або заново;
- зі змішаними пріоритетами- суворі обмеження на час очікування у черзі обслуговування окремих заявок вимагають присвоєння їм абсолютних пріоритетів; внаслідок цього час очікування заявок із низькими пріоритетами може виявитися неприпустимо великим, хоча окремі заявки мають запас за часом очікування; для виконання обмежень за всіма видами заявок можна поряд з абсолютними пріоритетами деяким заявкам присвоїти відносні пріоритети, а решту обслуговувати у безпріоритетному режимі;
- з пріоритетами, що чергуються- аналогом відносних пріоритетів, пріоритет враховується лише у моменти завершення поточного обслуговування групи заявок однієї черги та призначення нової групиобслуговування;
- обслуговування за розкладом- заявки різних класів (що знаходяться в різних накопичувачах) вибираються на обслуговування згідно з деяким розкладом, що задає послідовність опитування черг заявок, наприклад, у разі трьох класів заявок (накопичувачів) розклад може мати вигляд (2, 1, 3, 3, 1, 2) або (1, 2, 3, 3, 2, 1).
У комп'ютерних системах ІМ, як правило, за умовчанням реалізується дисципліна FIFO.Однак вони мають інструментальні засоби, які надають користувачеві можливість організувати необхідні йому дисципліни обслуговування, у тому числі і за розкладом.
Заявки, які надходять до СМО, ділять на класи. У СМО, що є абстрактною математичною моделлю, заявки відносяться до різним класам у тому випадку, якщо вони в реальній системі, що моделюється, розрізняються хоча б однією з наступних ознак:
- тривалістю обслуговування;
- пріоритетами.
Якщо заявки не відрізняються тривалістю обслуговування та пріоритетами, вони можуть бути подані заявками одного класу, у тому числі і при вступі від різних джерел.
Для математичного опису дисциплін обслуговування зі змішаними пріоритетами використовується матриця пріоритетів,являє собою квадратну матрицю Q = (q, ;), i,j - 1,..., Я, Я - кількість класів заявок, що надходять до системи.
Елемент q (jматриці задає пріоритет заявок класу iстосовно заявок класу; і може приймати наступні значення:
- 0 – немає пріоритету;
- 1 – пріоритет відносний;
- 2 – пріоритет абсолютний.
Елементи матриці пріоритетів повинні відповідати наступним вимогам:
- q n= 0, оскільки між заявками одного й того класу неможливо знайти встановлені пріоритети;
- якщо q (j = 1 або 2, то q^ = 0, тому що якщо заявки класу iмають пріоритет до заявок класу j,то останні не можуть мати пріоритет до заявок класу i (i,j = 1, …, Я).
Залежно від можливості зміни пріоритетіву процесі функціонування системи пріоритетні дисципліни буферизації та обслуговування діляться на два класи:
- 1) зі статичними пріоритетами,які не змінюються з часом;
- 2) з динамічними пріоритетами,які можуть змінюватися в процесі функціонування системи в залежності від різних факторів, наприклад, при досягненні деякого критичного значення довжини черги заявок будь-якого класу, що не має пріоритету або має низький пріоритет, йому може бути надано більш високий пріоритет.
У комп'ютерних системах ІМ обов'язково є єдиний елемент (об'єкт), через який і тільки через нього вводяться заявки в модель. За замовчуванням всі заявки, що вводяться, безпріоритетні. Але є можливості присвоєння пріоритетів у послідовності 1, 2, ..., зокрема і під час виконання моделі, тобто. у динаміці.
Потік, що виходить- це потік обслужених заявок, що залишають СМО. У реальних системах заявки проходять через кілька СМО: транзитний зв'язок, виробничий конвеєр тощо. В цьому випадку вихідний потік є вхідним потоком для наступної СМО.
Вхідний потік першої СМО, пройшовши через наступні СМО, спотворюється, і це ускладнює аналітичне моделювання. Однак слід мати на увазі, що при найпростішому вхідному потоці та експоненційному обслуговуванні(Тобто. у марківських системах) вихідний потік теж найпростіший.Якщо час обслуговування має не експоненційний розподіл, то потік, що виходить, не тільки не найпростіший, а й не рекурентний.
Зауважимо, що інтервали часу між заявками вихідного потоку - це не те саме, що інтервали обслуговування. Адже може виявитися, що після закінчення чергового обслуговування СМО якийсь час простоює через відсутність заявок. У цьому випадку інтервал вихідного потоку складається з часу незайнятості СМО і інтервалу обслуговування першої заявки, що прийшла після простою.
У СМО, крім вихідного потоку обслужених заявок, може бути і потік необслужених заявок.Якщо таку СМО надходить рекурентний потік, а обслуговування - експоненційне, те й потік необслужених заявок - рекурентний.
Черги вільних каналів. У багатоканальних СМО можуть утворюватися черги вільних каналів. Кількість вільних каналів – величина випадкова. Дослідника можуть цікавити різні характеристики цієї випадкової величини. Зазвичай це середня кількість каналів, зайнятих обслуговуванням за інтервал дослідження, та його коефіцієнти завантаження.
Як ми вже зазначали раніше, у реальних об'єктах заявки послідовно проходять обслуговування у кількох СМО.
Кінцева безліч послідовно взаємопов'язаних СМО, що обробляють циркулюючі в них заявки, називається мережею масового обслуговування (СеМО) (рис. 2.4, а).
Рис. 2.4.
СеМО називають також багатофазними СМО.
Приклад побудови ІМ СеМО ми розглянемо пізніше.
Основними елементами СеМО є вузли (У) та джерела (генератори) заявок (Г).
Вузолмережі – це система масового обслуговування.
Джерело- генератор заявок, що надходять до мережі та потребують певних етапів обслуговування у вузлах мережі.
Для спрощеного зображення СЕМО використовується граф.
Граф СеМО- Орієнтований граф (орграф), вершини якого відповідають вузлам СеМО, а дуги відображають переходи заявок між вузлами (рис. 2.4, б).
Отже, ми розглянули основні поняття СМО. Проте за створенні комп'ютерних систем ІМ та його вдосконаленні також обов'язково використовується величезний творчий потенціал, що у час у аналітичному моделюванні СМО.
Для кращого сприйняття цього творчого потенціалу першому наближенні зупинимося на класифікації моделей СМО.
Моделі теорії масового обслуговування
Теорія масового обслуговування є область прикладної математики, що використовує методи теорії випадкових процесів і теорії ймовірностей для дослідження різної природи складних систем. Теорія масового обслуговування безпосередньо пов'язані з оптимізацією. Призначення її полягає в тому, щоб на основі результатів спостережень за «входом» у систему передбачити її можливості та організувати найкраще обслуговування для конкретної ситуації та зрозуміти, як останнє позначиться на вартості системи загалом.
Моделі теорії масового обслуговуванняописують процеси масового попиту обслуговування з урахуванням випадкового характеру надходження вимог і тривалості обслуговування.
Призначення моделей теорії масового обслуговування полягає в тому, щоб на основі інформації про вхідний випадковий потік вимог передбачити можливості системи обслуговування, організувати найкраще виконання вимог для конкретної ситуації та оцінити, як це позначиться на її вартості.
Система масового обслуговування (СМО) виникає тоді, коли відбувається масова поява заявок (вимог) на обслуговування та їхнє подальше задоволення.
Особливістю СМО є випадковий характер досліджуваних явищ. Типовий приклад СМО - телефонна мережа (зняттям трубки з важеля телефонного апарату абонент дає заявку обслуговування розмови однією з ліній телефонної мережі).
Основними елементами СМОє:
Вхідний потік заявок (вимог) обслуговування;
Черга заявок обслуговування;
Прилади (канали) обслуговування;
Потік обслужених заявок, що виходить (рисунок 8.5).
Такий елемент СМО як черга може бути відсутнім в деяких системах, але в той же час СМО може мати й інші елементи, наприклад, потік, що виходить, не обслужених заявок.
Для систем, що належать до систем масового обслуговування, існує певний клас завдань, вирішення яких дозволяє відповісти, наприклад, такі питання:
Малюнок 8.5 – Узагальнена схема СМО
З якою інтенсивністю має проходити обслуговування чи повинен виконуватися процес при заданій інтенсивності та інших параметрах вхідного потоку вимог, щоб мінімізувати чергу чи затримку у підготовці документа чи іншого виду інформації?
Які ймовірність появи затримки чи черги та її величина? Скільки часу вимога перебуває у черзі та яким чином мінімізувати її затримку?
Яка ймовірність втрати вимоги (клієнта)?
Яким має бути оптимальне завантаження обслуговуючих каналів? За яких параметрів системи досягаються мінімальні втрати прибутку?
До цього переліку можна додати ще низку завдань.
Як системи масового обслуговування можуть бути такі роботи і процеси: посадка літаків в аеропорту, обслуговування автомобілів на автозаправних станціях, розвантаження суден на причалах, обслуговування покупців у магазинах, прийом хворих у поліклініці, обслуговування клієнтів у ремонтній майстерні та ін.
Часто вхідний потік заявокпредставляється у вигляді найпростішого потоку, що має властивість стаціонарності, відсутності наслідку та ординарності.
Потік є стаціонарним, якщо можливий режим залежить від часу. Ординарність потоку настає, якщо можливість появи двох і більше заявок за проміжок часу τ є нескінченно малою величиною в порівнянні з τ. Потік має властивість відсутності наслідку, якщо надходження заявок не залежить від передісторії процесу.
Для найпростішого потоку надходження заявок до СМО описується законом розподілу Пуассона
Р к ( τ
) 
,
де Р до ( τ ) -ймовірність надходження до заявок за час τ ;
λ - Інтенсивність вхідного потоку.
Важлива для дослідження властивість, якою володіє пуасонівський потік, полягає в тому, що процедура поділу та об'єднання дає знову пуасонівські потоки. Тоді, якщо вхідний потік формується з Nнезалежних джерел, кожен із яких породжує пуасонівський потік інтенсивністю λ i (i = 1, 2, ..., N), то його інтенсивність визначатиметься за формулою
λ = λ l + λ 2 +...+ λ N.
У разі поділу пуассонівського потоку на N незалежних потоків отримаємо, що інтенсивність потоку λ i дорівнюватиме r i λ де r i - частка i-го потоку у вхідному потоці вимог.
Чергою є безліч заявок (вимог), які чекають на обслуговування.
Залежно від допустимості та характеру формування черги системи масового обслуговування поділяються:
1. СМО з відмовами - формування черги не дозволено, тому заявка, яка прийшла в момент, коли всі канали зайняті, отримує відмову та втрачається. Приклад: АТС (виконання замовлень до певного терміну), система ППО об'єкта (мета у зоні обстрілу перебуває мало часу).
2. СМО з необмеженим очікуванням - заявка, що надійшла, заставши всі обслуговуючі прилади зайнятими, стає в чергу і чекає обслуговування. Кількість місць для очікування (довжина черги) не обмежена. Не обмежується час очікування. Приклад: підприємства побутового обслуговування, такі як майстерні з ремонту годинників, взуття.
3. СМО змішаного типу. У цих системах є черга,
яку накладаються обмеження. Наприклад: на максимальну довжину черги (I тип – з обмеженою ДО) або на час очікування заявки у черзі (П тип – з обмеженим ВО). Прикладами СМО І типу є майстерні з ремонту радіоапаратури з обмеженими площами для її зберігання. Торгові точки з продажу фруктів, овочів, які можуть зберігатися обмежений час, є змішаними СМО II типу.
Порядок надходження заявок обслуговування називається дисципліною обслуговування.
У СМО з чергою можуть бути такі варіанти дисципліни обслуговування:
а) у порядку надходження заявок (першим прийшов – першим обслужився) - магазини, підприємства побутового обслуговування;
б) у порядку зворотному надходженню, тобто остання заявка обслуговується першою (останнім прийшов - першим обслужився) - вилучення заготовок з бункера;
в) відповідно до пріоритету (учасники ВВВ у поліклініці);
г) у випадковому порядку (у системі ППО об'єкта при відображенні повітряного нальоту супротивника).
Основним параметром процесу обслуговуваннявважається час обслуговування заявки каналом (приладом j) – t j (j=1,2,…,m).
Розмір t j у кожному даному випадку визначається низкою чинників: інтенсивністю надходження заявок, кваліфікацією виконавця, технологією робіт, довкіллям тощо. Закони розподілу випадкової величини t j можуть бути різними, але найбільшого поширення в практичних додатках отримав експоненційний закон розподілу. Функція розподілу випадкової величини t j має вигляд:
F(t) = l - e - μt,
де m – позитивний параметр, що визначає інтенсивність обслуговування вимог;
де Е(t) - математичне очікування випадкової величини обслуговування вимоги tj.
Найважливіша властивість експонентного розподілу полягає в наступному. За наявності кількох однотипних каналів обслуговування та рівної ймовірності їх вибору при надходженні заявки розподіл часу обслуговування всіма m каналами буде показовою функцією виду:
Якщо СМО складається з неоднорідних каналів, то якщо
а всі канали однорідні, то .
За кількістю обслуговуючих приладів (каналів) СМО поділяються на:
Одноканальні;
Багатоканальні.
Структура СМО та характеристика її елементів наведено на малюнку 8.6.
Дослідження СМО полягає у знаходженні показників, що характеризують якість та умови роботи обслуговуючої системи та показників, що відображають економічні наслідки прийнятих рішень.
Найважливішим поняттям у аналізі СМО є поняття стану системи. Стан є деяким описом системи, на підставі якого можна передбачити її майбутню поведінку.
Рисунок 8.6 – Структура та характеристика елементів СМО
Під час аналізу СМО визначають усереднені показники обслуговування. Залежно від розв'язуваного завдання ними можуть бути:
середня довжина черги,
середній час очікування у черзі,
середній відсотокобслуговуваних (або відмовлених) заявок, середня кількість зайнятих (або простоюючих) каналів,
середній час перебування у СМО та ін.
Як критерій оптимізації застосовують:
Максимум прибутку від експлуатації СМО;
Мінімум сумарних втрат, пов'язаних із простоєм каналів, простоєм заявок у черзі та відходом необслужених заявок;
Забезпечення заданої пропускної спроможності.
Варіюються параметрами зазвичай є: кількість каналів, їх продуктивність, довжина і дисципліна черги, пріоритетність обслуговування.
Запитання для самоперевірки
1. Поняття про математичні моделі та моделювання.
2. Що являє собою економіко-статистична модель та виробнича функція?
3. Застосування графічних та графоаналітичних моделей в управлінні.
4. Використання кореляційного аналізудля виявлення зв'язку між параметрами
5. Види та методи побудови регресійних моделей.
6. Статистичне дослідженняпричинно-наслідкових зв'язків.
7. Класифікація математичних моделей за чотирма аспектами деталізації (за В.А. Кардашем).
8. Класифікація моделей за застосовуваним математичним апаратом. Концепція балансових моделей.
9. Етапи моделювання. Перевіряє модель на адекватність.
10. Поняття про системи масового обслуговування (СМО). Складові СМО.
11. СМО з відмовами та з чергою. Різновиди черг.
12. Одноканальні та багатоканальні СМО. Дисципліни обслуговування
13. Моделювання СМО. Показники, одержувані під час експериментів на моделі СМО.
14. Критерії оптимізації систем масового обслуговування.
Нижче буде розглянуто приклади найпростіших систем масового обслуговування (СМО). Поняття "найпростіші" не означає "елементарні". Математичні моделі цих систем застосовні та успішно використовуються у практичних розрахунках.
Одноканальна смо з відмовами
Дано: система має один канал обслуговування, який надходить найпростіший потік заявок з інтенсивністю. Потік обслуговування має інтенсивність. Заявка, що залишила систему зайнятою, відразу ж покидає її.
Знайти: абсолютну та відносну пропускну здатність СМО та ймовірність того, що заявка, що прийшла в момент часу t, отримає відмову.
Система за будь-якого t> 0 може бути у двох станах: S 0 – канал вільний; S 1 – канал зайнятий. Перехід із S 0 в S 1 пов'язаний з появою заявки та негайним початком її обслуговування. Перехід із S 1 в S 0 здійснюється, коли чергове обслуговування завершиться (рис.4).
Рис.4. Граф станів одноканальної СМО із відмовами
Вихідні характеристики (характеристики ефективності) цієї та інших СМО будуть надаватися без висновків та доказів.
Абсолютна пропускна спроможність(Середня кількість заявок, що обслуговуються в одиницю часу):
де – інтенсивність потоку заявок (величина, зворотна середньому проміжку часу між заявками, що надходять -);
-інтенсивність потоку обслуговування (величина, зворотна середньому часу обслуговування)
Відносна пропускна спроможність(Середня частка заявок, що обслуговуються системою):
Ймовірність відмови(ймовірність того, що заявка залишить СМО необслуженою):
Очевидні такі співвідношення: і.
приклад. Технологічна система складається з одного верстата. На верстат надходять заявки виготовлення деталей загалом через 0,5 години. Середній час виготовлення однієї деталі дорівнює. Якщо при надходженні заявки виготовлення деталі верстат зайнятий, вона (деталь) прямує інший станок. Знайти абсолютну та відносну пропускну здатність системи та ймовірність відмови з виготовлення деталі.
Тобто. в середньому приблизно 46% деталей обробляються на цьому верстаті.
.
Тобто. в середньому приблизно 54% деталей прямують на обробку на інші верстати.
N - канальна смо з відмовами (завдання Ерланга)
Це з перших завдань теорії масового обслуговування. Вона виникла з практичних потреб телефонії та була вирішена на початку 20 століття датським математиком Ерлангом.
Дано: у системі є n– каналів, куди надходить потік заявок з інтенсивністю. Потік обслуговування має інтенсивність. Заявка, що залишила систему зайнятою, відразу ж покидає її.
Знайти: абсолютну та відносну пропускну здатність СМО; ймовірність того, що заявка, що надійшла в момент часу t, Отримає відмову; середня кількість заявок, що обслуговуються одночасно (або, іншими словами, середня кількість зайнятих каналів).
Рішення. Стан системи S(СМО) нумерується за максимальним числом заявок, що знаходяться в системі (воно збігається з числом зайнятих каналів):
S 0 – у СМО немає жодної заявки;
S 1 - у СМО знаходиться одна заявка (один канал зайнятий, інші вільні);
S 2 - у СМО знаходиться дві заявки (два канали зайняті, інші вільні);
S n – у СМО знаходиться n- Заявок (усі n– каналів зайняті).
Граф станів СМО подано на рис. 5
Рис.5 Граф станів для n - канальної СМО з відмовами
Чому граф станів розмічено саме так? Зі стану S 0 у стан S 1 систему переводить потік заявок з інтенсивністю (як тільки надходить заявка, система переходить з S 0 в S 1). Якщо система перебувала в стані S 1 і прийшла ще одна заявка, то вона переходить у стан S 2 і т.д.
Чому такі інтенсивності у нижніх стрілок (дуг графа)? Нехай система перебуває в стані S 1 (працює один канал). Він здійснює обслуговування в одиницю часу. Тому дуга переходу зі стану S 1 у стан S 0 навантажена інтенсивністю. Нехай тепер система перебуває в стані S 2 (працюють два канали). Щоб їй перейти до S 1 потрібно, щоб закінчив обслуговування перший канал, або другий. Сумарна інтенсивність їх потоків дорівнює і т.д.
Вихідні характеристики (характеристики ефективності) даної СМО визначаються в такий спосіб.
Абсолютнапропускназдатність:
де n– кількість каналів СМО;
-імовірність знаходження СМО в початковому стані, коли всі канали вільні (фінальна ймовірність знаходження СМО в стані S 0);
Рис.6. Граф станів для схеми «загибелі та розмноження»
Для того щоб написати формулу для визначення , розглянемо рис.6
Граф, представлений цьому малюнку, називають ще графом станів для схеми «загибелі і розмноження». Напишемо спочатку на загальну формулу (без підтвердження):
До речі, решта фінальних ймовірностей станів СМО запишуться наступним чином.
S 1 коли один канал зайнятий:
Імовірність того, що СМО перебуває в стані S 2, тобто. коли два канали зайняті:
Імовірність того, що СМО перебуває в стані S n, тобто. коли всі канали зайняті.
Тепер для n – канальної СМО із відмовами
Відносна пропускна спроможність:
Нагадаємо, що це середня частка заявок, які обслуговує система. При цьому
Ймовірністьвідмови:
Нагадаємо, що це ймовірність того, що заявка залишить СМО необслуговуваною. Очевидно, що .
Середня кількість зайнятих каналів (середня кількість заявок, що обслуговуються одночасно):
Досить часто під час аналізу економічних системдоводиться вирішувати звані завдання масового обслуговування, що виникають у наступній ситуації. Нехай аналізується система технічного обслуговування автомобілів, що складається із деякої кількості станцій різної потужності. На кожній зі станцій (елемента системи) можуть виникати, Крайній мірі, дві типові ситуації:
- кількість заявок занадто велика для цієї станції, виникають черги, і за затримки в обслуговуванні доводиться платити;
- на станцію надходить дуже мало заявок і тепер уже доводиться враховувати втрати, спричинені простоєм станції.
Зрозуміло, що мета системного аналізу у разі полягає у визначенні деякого співвідношення між втратами доходів через чергі втрат з причини просто ястанцій.
Теорія масового обслуговування- Спеціальний розділ теорії систем - це розділ теорії ймовірності, в якому вивчаються системи масового обслуговування за допомогою математичних моделей.
Система масового обслуговування (СМО)– це модель, що включає: 1) випадковий потік вимог, викликів або клієнтів, які потребують обслуговування; 2) алгоритм здійснення цього обслуговування; 3) канали (прилади) обслуговування.
Прикладами СМО є каси, АЗС, аеропорти, продавці, перукарі, лікарі, телефонні станції та інші об'єкти, де здійснюється обслуговування тих чи інших заявок.
Завдання теорії масового обслуговуванняполягає у виробленні рекомендацій щодо раціональної побудови СМО та раціональної організації їх роботи з метою забезпечення високої ефективності обслуговування за оптимальних витрат.
Головна особливість завдань даного класу – явна залежність результатів аналізу та одержуваних рекомендацій від двох зовнішніх факторів: частоти надходження та складності замовлень (а значить і часу їх виконання).
Предмет теорії масового обслуговування – це встановлення залежності між характером потоку заявок, продуктивністю окремого каналу обслуговування, числом каналів та ефективністю обслуговування.
В якості характеристик СМОрозглядаються:
- середній відсоток заявок, які отримують відмову та залишають систему не обслуженими;
- середній час «простою» окремих каналів та системи в цілому;
- середній час очікування у черзі;
- ймовірність того, що заявка, що надійшла, буде негайно обслужена;
- закон розподілу довжини черги та інші.
Додамо, що заявки (вимоги) надходять до СМО випадковим чином (у випадкові моменти часу), з точками згущення та розрідження. Час обслуговування кожної вимоги є випадковим, після чого канал обслуговування звільняється і готовий до виконання наступної вимоги. Кожна СМО, залежно від кількості каналів та їх продуктивності, має деяку пропускну здатність. Пропускна спроможністьСМОможе бути абсолютної(Середня кількість заявок, що обслуговуються в одиницю часу) та відносною(Середнє відношення числа обслужених заявок до поданих).
3.1. Моделі систем масового обслуговування.
Кожну СМО може характеризувати виразом: (a / b / c) : (d / e / f) , де
a - розподіл вхідного потоку заявок;
b - Розподіл вихідного потоку заявок;
c - Конфігурація обслуговуючого механізму;
d – дисципліна черги;
e – блок очікування;
f - Ємність джерела.
Тепер докладніше розглянемо кожну характеристику.
Вхідний потік заявок– кількість заявок, що надійшли в систему. Характеризується інтенсивністю вхідного потоку l.
Вихідний потік заявок– кількість обслуговуваних системою заявок. Характеризується інтенсивністю вихідного потоку m.
Конфігурація системипередбачає загальну кількість каналів та вузлів обслуговування. СМО може містити:
- один каналобслуговування (одна злітно-посадкова смуга, один продавець);
- один канал обслуговування, що включає кілька послідовних вузлів(їдальня, поліклініка, конвеєр);
- кілька однотипних каналівобслуговування, з'єднані паралельно (АЗС, довідкова служба, вокзал).
Таким чином, можна виділити одно-і багатоканальні СМО.
З іншого боку, якщо всі канали обслуговування в СМО зайняті, то заявка, що підійшла, може залишитися в черзі, а може залишити систему (наприклад, ощадбанк і телефонна станція). У цьому випадку ми говоримо про системи з чергою (очікуванням) та про системи з відмовами.
Черга- це сукупність заявок, що надійшли в систему для обслуговування та чекають на обслуговування. Черга характеризується довжиною черги та її дисципліною.
Дисципліна черги– це правило обслуговування заявок із черги. До основних типів черги можна віднести такі:
- ПЕРППО (першим прийшов – першим обслуговуєшся) – найпоширеніший тип;
- ПОСППО (останнім прийшов – першим обслуговуєшся);
- СОЗ (випадковий відбір заявок) – із банку даних.
- ПР – обслуговування із пріоритетом.
Довжина чергиможе бути
- необмежена – тоді говорять про систему із чистим очікуванням;
- дорівнює нулю - тоді говорять про систему з відмовами;
- обмежена за довжиною (система змішаного типу).
Блок очікування- «Місткість» системи - загальна кількість заявок, що знаходяться в системі (у черзі та на обслуговуванні). Таким чином, е=з+d.
Ємність джерела, що генерує заявки на обслуговування – це максимальна кількість заявок, які можуть надійти до СМО. Наприклад, у аеропорту ємність джерела обмежена кількістю всіх існуючих літаків, а ємність джерела телефонної станції дорівнює кількості жителів Землі, тобто. її можна вважати необмеженою.
Кількість моделей СМО відповідає числу всіляких поєднань цих компонентів.
3.2 Вхідний потік вимог.
З кожним відрізком часу [ a, a+ T ], зв'яжемо випадкову величину Х, що дорівнює кількості вимог, що надійшли в систему за час Т.
Потік вимог називається стаціонарнимякщо закон розподілу не залежить від початкової точки проміжку а, а залежить тільки від довжини цього проміжку Т. Наприклад, потік заявок на телефонну станцію протягом доби ( Т= 24 години) не можна вважати стаціонарним, а ось з 13 до 14 годин ( Т= 60 хвилин) – можна.
Потік називається без післядії, якщо передісторія потоку впливає надходження вимог у майбутньому, тобто. вимоги не залежать одна від одної.
Потік називається ординарнимякщо за дуже короткий проміжок часу в систему може надійти не більше однієї вимоги. Наприклад, потік у перукарню – ординарний, а в РАГС – ні. Але, якщо як випадкова величина Хрозглядати пари заявок, що надходять до РАГСу, такий потік буде ординарним (тобто іноді неординарний потік можна звести до ординарного).
Потік називається найпростішимякщо він стаціонарний, без післядії і ординарний.
Основна теорема.Якщо потік найпростіший, то с.в. Х [a. a + T] розподілено згідно із законом Пуассона, тобто. .
Наслідок 1. Найпростіший потік також називається пуассонівським.
Наслідок 2. M(X)= M(Х [ a , a + T ] )= lT, тобто. за час Т lTзаявок. Отже, за одну одиницю часу в систему надходить у середньому lзаявок. Ця величина і називається інтенсивністювхідного потоку.
Розглянемо ПРИКЛАД .
В ательє надходить у середньому 3 заявки на день. Вважаючи потік найпростішим, знайти ймовірність того, що протягом двох найближчих днів кількість заявок буде щонайменше 5.
Рішення.
За умовою завдання, l=3, Т=2 дні, вхідний потік пуасонівський, n
³5. при рішенні зручно запровадити протилежну подію, яка полягає в тому, що за час Тнадійде менше 5 заявок. Отже, за формулою Пуассона, отримаємо 
^
3.3 Стан системи. Матриця та графік переходів.
У випадковий момент часу СМО переходить з одного стану в інший: змінюється кількість зайнятих каналів, кількість заявок та черги тощо. Таким чином, СМО з nканалами та довжиною черги, що дорівнює m, може бути в одному з наступних станів:
Е 0 - Всі канали вільні;
Е 1 – зайнятий один канал;
Е n– зайняті всі канали;
Е n +1 – зайняті всі канали та одна заявка у черзі;
Е n + m– зайняті всі канали та всі місця в черзі.
Аналогічна система з відмовами може перебувати у станах E 0 – E n .
Для СМО з чистим очікуванням існує безліч станів. Таким чином, стан E n СМО на момент часу t – це кількість n заявок (вимог), що у системі на даний час, тобто. n= n(t) - випадкова величина, E n (t) – результати цієї випадкової величини, а P n (t) - Імовірність перебування системи в стані E n .
Зі станом системи ми вже знайомі. Зазначимо, що не всі стани системи є рівнозначними. Стан системи називається джереломякщо система може вийти з цього стану, але не може в нього повернутися. Стан системи називається ізольовані,якщо система не може вийти з цього стану або до нього увійти.
Для наочності зображення станів системи використовують схеми (так звані графи переходів), в яких стрілки вказують можливі переходи системи з одного стану до іншого, а також ймовірності таких переходів.
Малюнок 3.1 – граф переходів
| Упоряд. | Е 0 | Е 1 | Е 2 | |
| Е 0 | Р 0,0 | Р 0,1 | Р 0,2 | |
| Е 1 | Р 1,0 | Р 1,1 | Р 1,2 | |
| Е 2 | Р 2,0 | Р 2,2 | Р 2,2 |
Також іноді зручно скористатися матрицею переходів. При цьому перший стовпець означає вихідні стани системи (поточні), а далі наведені можливості переходу з цих станів в інші.
Оскільки система обов'язково перейде з одного
стану в інше, то сума ймовірностей у кожному рядку завжди дорівнює одиниці.
3.4 Одноканальні СМО.
3.4.1 Одноканальні СМО з відмовами.
Розглянемо системи, що задовольняють вимогам:
(Р/Е/1):(–/1/¥) . Припустимо також, що час обслуговування вимоги не залежить від кількості вимог, що надійшли до системи. Тут і далі «Р» означає, що вхідний потік розподілено згідно із законом Пуассона, тобто. Найпростіший «Е» означає, що вихідний потік розподілений за експоненційним законом. Також тут і надалі основні формули даються без доказів.
Для такої системи можливі два стани: Е 0 – система вільна та Е 1 - Система зайнята. Складемо матрицю переходів. Візьмемо Dt- Безмежно малий проміжок часу. Нехай подія А полягає в тому, що в систему за час Dtнадійшла одна вимога. Подія полягає в тому, що за час Dtобслуговано одну вимогу. Подія А i , k- за час Dtсистема перейде зі стану E iу стан E k. Так як l- Інтенсивність вхідного потоку, то за час Dtу систему в середньому надходить l*Dtвимог. Тобто, ймовірність надходження однієї вимоги Р(А)=l* Dt, а ймовірність протилежної події Р(?)=1-l*Dt.Р(В)=F(Dt)= P(b< D t)=1- e - m D t = m Dt– можливість обслуговування заявки за час Dt. Тоді А 00 – заявка не надійде чи надійде, але буде обслужена. А 00 = + А * Ст Р 00 =1 - l*Dt. (ми врахували, що (Dt) 2 – нескінченно мала величина)
А 01 – заявка надійде, але не буде обслуговано. А 01 = А *
. Р 01 =
l*Dt.
А 10 – заявку буде обслуговано і новою не буде. А 10 = * Ā. Р 10 = m*Dt.
А 11 – заявка не буде обслужена або надійде нова, яка ще не обслужена. А 11 = +У *
А. Р 01 = 1-
m*Dt.
Таким чином, отримаємо матрицю переходів:
| Упоряд. | Е 0 | Е 1 |
| Е 0 | 1-l * Dt | l * Dt |
| Е 1 | m * Dt | 1-m * Dt |
Імовірність простою та відмови системи.
Знайдемо тепер можливість знаходження системи в стані Е 0
у будь-який момент часу t(Тобто. р 0
(
t)
). Графік функції 
зображено малюнку 3.2.
Асимптотою графіка є пряма 
.
Очевидно, починаючи з певного моменту t, 
1
Малюнок 3.2
Остаточно отримаємо, що і 
, де р 1
(t)
- Імовірність того, що в момент часу t
система зайнята (тобто перебуває в стані Е 1
).
Очевидно, що на початку роботи СМО процес, що протікає, не буде стаціонарним: це буде «перехідний», нестаціонарний режим. Через деякий час (який залежить від інтенсивностей вхідного і вихідного потоку) цей процес загасне і система перейде в стаціонарний режим роботи, і ймовірнісні характеристики вже не залежатимуть від часу.
Стаціонарний режим роботи та коефіцієнт завантаження системи.
Якщо ймовірність знаходження системи може Е k, тобто. Р k (t),
не залежить від часу t, то кажуть, що в СМО встановився стаціонарний режимроботи. При цьому величина 
називається коефіцієнтом завантаження системи(або наведеною густиною потоку заявок). Тоді для ймовірностей р 0
(t)
і р 1
(t)
отримуємо такі формули: 
, 
. Можна також зробити висновок: чим більше коефіцієнтзавантаження системи, тим більше ймовірність відмови системи (тобто ймовірність того, що система зайнята).
На автомийці один блок обслуговування. Автомобілі прибувають за пуассонівським розподілом з інтенсивністю 5 авто/год. Середній час обслуговування однієї машини – 10 хвилин. Знайти ймовірність того, що автомобіль, що під'їхав, знайде систему зайнятої, якщо СМО працює в стаціонарному режимі.
Рішення.За умовою завдання, l=5, m y
=5/6. Потрібно знайти ймовірність р 1
- Імовірність відмови системи. 
.
3.4.2 Одноканальні СМО з необмеженою довжиною черги.
Розглянемо системи, що задовольняють вимогам: (Р/Е/1):(d/¥/¥). Система може бути в одному зі станів E 0 , …, E k, … Аналіз показує, що через деякий час така система починає працювати в стаціонарному режимі, якщо інтенсивність вихідного потоку перевищує інтенсивність вхідного потоку (тобто коефіцієнт завантаження системи менше одиниці). Враховуючи цю умову, отримаємо систему рівнянь
вирішуючи яку знайдемо, що . Таким чином, за умови, що y<1, получим 
Звісно, 
і 
- Імовірність знаходження СМО в стані Е kу випадковий час.
Середні показники системи.
За рахунок нерівномірного надходження вимог до системи та коливання часу обслуговування, у системі утворюється черга. Для такої системи можна досліджувати:
- n – кількість вимог, які перебувають у СМО (у черзі та на обслуговуванні);
- v - Довжину черги;
- w - Час очікування початку обслуговування;
- w 0 – загальний час перебування у системі.
Нас цікавитимуть середні характеристики(Тобто беремо математичне очікування від аналізованих випадкових величин, і пам'ятаємо, що y<1).
– середня кількість заявок у системі.
- Середня довжина черги.
– середній час очікування початку обслуговування, тобто. час очікування у черзі.
– середній час, який заявка проводить у системі – у черзі та на обслуговуванні.
На автомийці є один блок для обслуговування і є місце для черги. Автомобілі прибувають за пуассонівським розподілом з інтенсивністю 5 авто/год. Середній час обслуговування однієї машини – 10 хвилин. Знайти усі середні характеристики СМО.
Рішення. l=5, m= 60хв/10хв = 6. Коефіцієнт завантаження y
=5/6. Тоді середня кількість автомобілів у системі 
, середня довжина черги 
, середній час очікування початку обслуговування 
години = 50 хв, і, нарешті, середній час перебування у системі 
годину.
3.4.3 Одноканальні СМО змішаного типу.
Припустимо, що довжина черги становить mвимог. Тоді для будь-кого s£
m, ймовірність перебування СМО може Е 1+
s, обчислюється за формулою 
, тобто. одна заявка обслуговується та ще sзаявок – у черзі.
Імовірність простою системи дорівнює 
,
а ймовірність відмови системи - 
.
Дано три одноканальні системи, для кожної l=5, m =6. Але перша система – з відмовами, друга – з чистим очікуванням, а третя – з обмеженою довжиною черги, m=2. Знайти та порівняти ймовірності простою цих трьох систем.
Рішення.Для всіх систем коефіцієнт завантаження y=5/6. Для системи з відмовами 
. Для системи з чистим очікуванням 
. Для системи з обмеженою довжиною черги 
. Висновок очевидний: чим більше заявок перебуває в черзі, тим менша ймовірність простою системи.
3.5 Багатоканальні СМО.
3.5.1 Багатоканальні СМО з відмовами.
Розглянемо системи (Р/Е/s):(-/s/¥) у припущенні, що час обслуговування не залежить від вхідного потоку і всі лінії працюють незалежно. Багатоканальні системи, крім коефіцієнта завантаження, можна також характеризувати коефіцієнтом 
, де s- Число каналів обслуговування. Досліджуючи багатоканальні СМО, отримаємо такі формули (формули Ерланга) для ймовірності знаходження системи в стані Е kу випадковий момент часу:
, k = 0, 1, …
функція вартості.
Як і одноканальних систем, збільшення коефіцієнта завантаження веде до збільшення ймовірності відмови системи. З іншого боку, збільшення кількості ліній обслуговування веде до збільшення ймовірності простою системи чи окремих каналів. Таким чином, необхідно знайти оптимальну кількість каналів обслуговування цієї СМО. Середню кількість вільних ліній обслуговування можна знайти за формулою 
. Введемо С( s) – функцію вартостіСМО, що залежить від з 1
– вартості однієї відмови (штрафу за невиконану заявку) та від з 2
- Вартість простою однієї лінії за одиницю часу.
Для пошуку оптимального варіанта треба знайти (і це можна зробити) мінімальне значення функції вартості: С(s) = с 1*
l *
p s +с 2*
, графік якої представлений малюнку 3.3:
Малюнок 3.3
Пошук мінімального значення функції вартості полягає в тому, що ми знаходимо її значення спочатку для s =1, потім для s =2, потім для s =3, і т.д. до тих пір, поки на якомусь кроці значення функції С( s) не стане більше попереднього. Це означає, що функція досягла свого мінімуму і почала зростати. Відповіддю буде те число каналів обслуговування (значення s), для якого функція вартості мінімальна.
ПРИКЛАД .
Скільки ліній обслуговування має містити СМО з відмовами, якщо l= 2треб / год, m=1треб/час, штраф за кожну відмову становить 7 тис.руб., вартість простою однієї лінії – 2 тис.руб. в годину?
Рішення. y = 2/1=2. з 1 =7, з 2 =2.
Припустимо, що СМО має два канали обслуговування, тобто. s
=2. Тоді 
. Отже, С(2) = с 1
*l*p 2
+с 2
*(2-
y*(1-р 2
))
= =7*2*0.4+2*(2-2*0.6)=7.2.
Припустимо, що s
=3. Тоді 
, С(3) = с 1
*l*p 3
+с 2
*
=5.79.
Припустимо, що є чотири канали, тобто. s
=4. Тоді 
, 
, С(4) = с 1
*l*p 4
+с 2
*
=5.71.
Припустимо, що СМО має п'ять каналів обслуговування, тобто. s
=5. Тоді 
, С(5) = 6.7 – більше за попереднє значення. Отже, оптимальна кількість каналів обслуговування – чотири.
3.5.2 Багатоканальні СМО з чергою.
Розглянемо системи (Р/Е/s):(d/d+s/¥) у припущенні, що час обслуговування не залежить від вхідного потоку і всі лінії працюють незалежно. Говоритимемо, що в системі встановився стаціонарний режим роботи, Якщо середня кількість вимог, що надходять менше середнього числа вимог, обслужених на всіх лініях системи, тобто. l
P(w>0)
- Імовірність очікування початку обслуговування, 
.
Остання характеристика дозволяє вирішувати задачу про визначення оптимального числа каналів обслуговування з таким розрахунком, щоб ймовірність очікування початку обслуговування була меншою від заданого числа. Для цього достатньо прорахувати ймовірність очікування послідовно при s =1, s =2, s=3 тощо.
ПРИКЛАД .
СМО – станція швидкої допомоги невеликого мікрорайону. l=3 виклику на годину, а m= 4 виклики на годину для однієї бригади. Скільки бригад необхідно мати на станції, щоб ймовірність очікування виїзду була меншою за 0.01?
Рішення.Коефіцієнт завантаження системи y
=0.75. Припустимо, що є дві бригади. Знайдемо ймовірність очікування початку обслуговування при s =2. 
, 
.
Припустимо наявність трьох бригад, тобто. s=3. За формулами отримаємо, що р 0 =8/17, Р(w>0)=0.04>0.01 .
Припустимо, що у станції чотири бригади, тобто. s=4. Тоді отримаємо, що р 0 =416/881, Р(w>0)=0.0077<0.01 . Отже, на станції має бути чотири бригади.
3.6 Запитання для самоконтролю
- Предмет та завдання теорії масового обслуговування.
- СМО, їх моделі та позначення.
- Вхідний потік вимог. Інтенсивність вхідного потоку.
- Стан системи. Матриця та графік переходів.
- Одноканальні СМО з відмовами.
- Одноканальні СМО з чергою. Характеристики.
- Стаціонарний режим роботи. Коефіцієнт завантаження системи.
- Багатоканальні СМО з відмовами.
- Оптимізація функції вартості.
- Багатоканальні СМО із чергою. Характеристики.
3.7 Вправи для самостійної роботи
- Закусочна на АЗС має один прилавок. Автомобілі прибувають відповідно до пуассонівського розподілу, в середньому 2 автомобілі за 5 хвилин. Для виконання замовлення в середньому достатньо 1,5 хвилини, хоча тривалість обслуговування розподілена за експоненційним законом. Знайти: а) можливість простою прилавка; b) середні показники; c) ймовірність того, що кількість автомобілів, що прибули, буде не менше 10.
- Рентгенівський апарат дозволяє обстежити в середньому 7 осіб на годину. Інтенсивність відвідувачів складає 5 осіб на годину. Припускаючи стаціонарний режим роботи, визначити середні показники.
- Час обслуговування в СМО підпорядковується експоненційному закону,
m = 7вимог на годину. Знайти ймовірність того, що: а) час обслуговування знаходиться в інтервалі від 3 до 30 хвилин; b) вимога буде обслужена протягом однієї години. Скористайтеся таблицею значень функції е х . - У річковому порту один причал, інтенсивність вхідного потоку – 5 суден щодня. Інтенсивність вантажно-розвантажувальних робіт – 6 суден на день. Маючи на увазі стаціонарний режим роботи, визначити усі середні характеристики системи.
- l=3, m=2, штраф за кожну відмову дорівнює 5, а вартість простою однієї лінії дорівнює 2?
- Яка оптимальна кількість каналів обслуговування повинна мати СМО, якщо l=3, m =1, штраф за кожну відмову дорівнює 7, а вартість простою однієї лінії дорівнює 3?
- Яка оптимальна кількість каналів обслуговування повинна мати СМО, якщо l=4, m=2, штраф за кожну відмову дорівнює 5, а вартість простою однієї лінії дорівнює 1?
- Визначити кількість злітно-посадкових смуг для літаків з урахуванням вимоги, що ймовірність очікування має бути меншою, ніж 0.05. При цьому інтенсивність вхідного потоку 27 літаків на добу, а інтенсивність їхнього обслуговування – 30 літаків на добу.
- Скільки рівноцінних незалежних конвеєрних ліній повинен мати цех, щоб забезпечити ритм роботи, при якому ймовірність очікування обробки виробів повинна бути меншою за 0.03 (кожний виріб випускається однією лінією). Відомо, що інтенсивність надходження замовлень 30 виробів за годину, а інтенсивність обробки виробу однією лінією – 36 виробів за годину.
- Безперервна випадкова величина Х розподілена за показовим законом із параметром l=5. Знайти функцію розподілу, характеристики та ймовірність влучення с.в. Х інтервал від 0.17 до 0.28.
- Середня кількість викликів, що надходять на АТС за одну хвилину, дорівнює 3. Вважаючи потік пуассонівським, знайти ймовірність того, що за 2 хвилини надійде: а) два виклики; б) менше двох дзвінків; в) не менше двох дзвінків.
- У ящику 17 деталей, із яких 4 – браковані. Складальник навмання витягує 5 деталей. Знайти ймовірність того, що а) усі витягнуті деталі – якісні; б) серед вилучених деталей 3 браковані.
- Скільки каналів повинна мати СМО з відмовами, якщо l= 2треб / год, m=1треб/час, штраф за кожну відмову становить 8т.руб., вартість простою однієї лінії – 2т.руб. в годину?
Завантаження...