Аналітичне дослідження систем масового обслуговування(СМО) є підходом, альтернативним імітаційному моделюванню, і полягає в отриманні формул для розрахунку вихідних параметрів СМО з наступною підстановкою значень аргументів ці формули в кожному окремому експерименті.

У моделях СМО розглядають такі об'єкти:

1) заявки на обслуговування (транзакти);

2) обслуговуючі апарати (ОА), чи прилади.

Практичне завданняТеорія масового обслуговування пов'язана з дослідженням операцій цими об'єктами і складається з окремих елементів, на які впливають випадкові фактори.

Як приклад завдань, що розглядаються в теорії масового обслуговування, можна навести: узгодження пропускної спроможності джерела сполучення з каналом передачі даних, аналіз оптимального потоку міського транспорту, розрахунок ємності залу очікування для пасажирів в аеропорту та ін.

Заявка може бути або у стані обслуговування, або у стані очікування обслуговування.

Обслуговуючий прилад може бути зайнятий обслуговуванням, або вільний.

Стан СМО характеризується сукупністю станів обслуговуючих приладів та заявок. Зміна станів у СМО називається – подія.

Моделі СМО використовуються для дослідження процесів, що відбуваються в системі, при подачі на входи потоків заявок. Ці процеси є послідовністю подій.

Найважливіші вихідні параметри СМО

Продуктивність

Пропускна спроможність

Ймовірність відмови в обслуговуванні

Середній час обслуговування;

Коефіцієнт завантаження обладнання (ОА).

Заявками може бути замовлення виробництва виробів, завдання, розв'язувані в обчислювальної системі, клієнти у банках, вантажі, що надходять транспортування та інших. Вочевидь, що параметри заявок, що у систему, є випадковими величинами і під час дослідження чи проектуванні може бути відомі лише їх закони розподілу.

У зв'язку з цим аналіз функціонування на системному рівні, як правило, має статистичний характер. Як математичний апарат моделювання зручно прийняти теорію масового обслуговування, а як моделі систем на цьому рівні використовувати системи масового обслуговування.

Найпростіші моделі СМО

У найпростішому випадку СМО є деяким пристроєм, званим обслуговуючим апаратом (ОА), з чергами заявок на входах.

М о д о л о б с л у ж і в а н і я с т к а з а м і (рис.5.1)

Рис. 5.1. Модель СМО з відмовами:

0 – джерело заявок;

1 – обслуговуючий прилад;

а- Вхідний потік заявок на обслуговування;

в- Вихідний потік обслужених заявок;

з- Вихідний потік необслужених заявок.

У цій моделі відсутній накопичувач заявок на вході ОА. Якщо заявка приходить від джерела 0 в момент часу, коли ОА зайнятий обслуговуванням попередньої заявки, то заявка, що знову прийшла, виходить із системи (оскільки їй відмовлено в обслуговуванні) і втрачається (потік з).

М о д о л о б с л у ж і в а н і я с о ж д а н ня м (рис. 5.2)

Рис. 5.2. Модель СМО з очікуванням

(N- 1) – кількість заявок, яка може поміститися у накопичувачі

У цій моделі є накопичувач заявок на вході ОА. Якщо заявка приходить від джерела 0 в момент часу, коли ОА зайнятий обслуговуванням попередньої заявки, то заявка, що знову прийшла, потрапляє в накопичувач, де необмежено довго чекає, поки звільниться ОА.

М о д о л о б л о в і в а н і я з о г р а н і ч е н ним у часі

про жи д а ння (рис. 5.3)

Рис. 5.4. Багатоканальна модель СМО з відмовами:

n– кількість однакових обслуговуючих апаратів (приладів)

У цій моделі є не один ОА, а кілька. Заявки, якщо це спеціально не обумовлено, можуть надходити до будь-якого вільного обслуговування ОА. Накопичувача немає, тому ця модель включає властивості моделі, показаної на рис. 5.1: відмова в обслуговуванні заявки означає її безповоротну втрату (це відбувається лише в тому випадку, якщо у момент приходу цієї заявки всіОА зайняті).

час життєда ння (рис. 5.5)

Рис. 5.6. Багатоканальна модель СМО з очікуванням та відновленням ОА:

e- Обслуговуючі апарати, що вийшли з ладу;

f– відновлені обслуговуючі апарати

Ця модель має властивості моделей, представлених на рис. 5.2 і 5.4, а також властивостями, що дозволяють враховувати можливі випадкові відмови ОА, які в цьому випадку надходять у ремонтний блок 2, де перебувають протягом випадкових проміжків часу, що витрачаються на їх відновлення, а потім знову повертаються в обслуговуючий блок 1.

М н о го к а н а ль н я м о д е л ь ь ь С зг р а н і ч е н ним

в часи м ож д е н ня і восстання в л е н ня м ОА (рис. 5.7)

Рис. 5.7. Багатоканальна модель СМО з обмеженим часом очікування та відновленням ОА

Ця модель є досить складною, оскільки одночасно враховує властивості двох не найпростіших моделей (рис. 5.5 та 5.6).

23 жовтня 2013 о 14:22

Squeak: Моделювання систем масового обслуговування

• Програмування,
• ООП,
• Паралельне програмування

На Хабре вкрай мало інформації про таку мову програмування як Squeak. Я спробую розповісти про нього у контексті моделювання систем масового обслуговування. Покажу як написати простий клас, розповім його структуру та використовую його у програмі, яка обслуговуватиме заявки за допомогою кількох каналів.

Пару слів про Squeak

Squeak це відкрита, крос-платформна реалізація мови програмування Smalltalk-80 з динамічною типізацією та збирачем сміття. Інтерфейс досить специфічний, але цілком зручний для налагодження та аналізу. Squeak повністю відповідає концепції ОВП. Все складається з об'єктів, навіть конструкції if-then-else, for, whileреалізовані з допомогою. Весь синтаксис зводиться до надсилання об'єкту повідомлення у вигляді:

<объект> <сообщение>

Будь-який метод завжди повертає об'єкт, і йому можна направити нове повідомлення.
Squeak часто використовується для моделювання процесів, але може використовуватися як засіб для створення мультимедійних додатків і різноманітних освітніх платформ.

Системи масового обслуговування

Системи масового обслуговування (СМО) містять один або кілька каналів, які обробляють заявки, що надходять від декількох джерел. Час обслуговування кожної заявки може бути фіксованим або довільним, як і інтервали між їх надходженням. Це може бути телефонна станція, пральня, касири в магазині, машинописне бюро тощо. Виглядає це приблизно так:

СМО включає кілька джерел, які надходять у загальну чергу і направляються на обслуговування в міру звільнення каналів обробки. Залежно від конкретних особливостей реальних систем, модель може містити різну кількість джерел заявок і каналів обслуговування і мати різні обмеження на довжину черги і пов'язану з нею можливість втрати заявок (відмов).

При моделюванні СМО зазвичай вирішуються завдання оцінки середньої та максимальної довжини черги, частоти відмов у обслуговуванні, середнього завантаження каналів, визначення їх числа. Залежно від завдання, модель включають програмні блоки збору, накопичення та обробки необхідних статистичних даних про поведінку процесів. Найчастіше використовуваними моделями потоків подій при аналізі СМО є регулярні і пуассонівські. Регулярні характеризуються однаковим часом між настаннями подій, а пуасонівські – випадковим.

Трохи математики

Для пуасонівського потоку кількість подій X, що потрапляють в інтервал довжини τ (тау), що примикає до точки t, розподілено згідно із законом Пуассона:
де a (t, τ)- середня кількість подій, що настають на інтервалі часу τ .
Середня кількість подій, що наступають в одиницю часу, дорівнює λ(t). Отже, середня кількість подій на інтервалі часу τ , що примикає до моменту часу t, буде одно:

Час Tміж двома подіями при λ(t) = const = λрозподілено згідно із законом:
Щільність розподілу випадкової величини Tмає вигляд:
Для отримання псевдовипадкових пуассонівських послідовностей інтервалів часу t iвирішують рівняння:
де r i- рівномірно розподілене на інтервалі випадкове число.
У нашому випадку це дає вираз:

По генерації випадкових чисел можна писати цілі томи. Тут же для генерації рівномірно розподілених на інтервалі цілих чисел використовуємо наступний алгоритм:
де R i- чергове випадкове ціле число;
Р- деяке велике просте число (наприклад, 2311);
Q- ціле число - верхня межа інтервалу, наприклад, 221 = 2097152;
rem- Операція отримання залишку від поділу цілих чисел.

Початкове значення R 0зазвичай задають довільно, наприклад, використовуючи показання таймера:
Time totalSeconds
Для отримання рівномірно розподілених на інтервалі чисел скористаємося оператором мови:

Клас Rand

Для отримання рівномірно розподілених на інтервалі випадкових чисел створюємо клас - генератор дійсних чисел:

Float variableWordSubclass: #Rand "ім'я класу" instanceVariableNames: "" "змінні екземпляри" classVariableNames: "R" "змінні класу" poolDictionaries: "" " спільні словники category: "Sample" "ім'я категорії"
Методи:

"Ініціалізація" init R:= Time totalSeconds.next "Наступне псевдовипадкове число" next R:= (R * 2311 + 1) rem: 2097152. ^(R/2097152) asFloat
Для встановлення початкового стану датчика надсилаємо повідомлення Rand init.
Для отримання чергового випадкового числа надсилаємо Rand next.

Програма обробки заявок

Отже, як простенький приклад зробимо таке. Нехай нам необхідно промоделювати обслуговування регулярного потоку заявок від одного джерела з інтервалом випадкового часу між заявками. Є два канали різної продуктивності, що дозволяють обслуговувати заявки за 2 та 7 одиниць часу відповідно. Необхідно зареєструвати кількість заявок, що обслуговуються кожним каналом на інтервалі 100 одиниць часу.

Код на Squeak

"Оголошення тимчасових змінних" | proc1 proc2 t1 t2 s1 s2 sysPriority queue continue r | "Початкові установки змінних" Rand init. SysTime:= 0. s1:= 0. s2:= 0. t1:= -1. t2: = -1. continue: = true. sysPriority:= Processor activeProcess priority. "Поточний пріоритет" queue:= Semaphore new. "Модель черги заявок" "Створення процесу - моделі каналу 1" (Process forContext: [ proc1:= Processor activeProcess. whileTrue: "Цикл обслуговування" [ queue wait. "Чекати на заявку" t1:= SysTime + 2. "Наступний час активізації" s1:= s1 + 1. proc1 suspend. "Зупинити процес в очікуванні закінчення обслуговування" ]. proc1:= nil. "Видалити посилання на процес 1" ] priority: (sysPriority + 1)) resume. "Новий пріоритет більше фонового" "Створення процесу - моделі каналу 2" (Process forContext: [ proc2:= Processor activeProcess.. whileTrue: [ queue wait. t2:= SysTime + 7. s2:= s2 + 1. proc2 suspend. ] .proc2:= nil.] priority: (sysPriority + 1)) resume. "Продовження опису головного процесу і моделі джерела" при цьомуправоруч: [ r:= (Rand next * 10) rounded. (r = 0) якщоТруе: . ((SysTime rem: r) = 0) ifTrue: . "Надіслати заявку" "Коммутатор процесів обслуговування" (t1 = SysTime) ifTrue: . (t2 = SysTime) ifTrue: . SysTime:= SysTime + 1. "Тикає модельний час"]. "Показати стан лічильника заявок" PopUpMenu inform: "proc1: ",(s1 printString),", proc2: ",(s2 printString). continue: = false.

При запуску бачимо, що процес 1 встиг обробити 31 заявку, а процес 2 лише 11:

Четверіков С. Ю., Попов М.А.

Росія, Інститут економіки та підприємництва (м. Москва)

Теорія систем масового обслуговування є прикладною математичною дисципліною, що досліджує числові характеристикиявищ, які у економіці. До них можна віднести функціонування телефонного вузла, центрів побутового обслуговування, касових апаратів у супермаркеті тощо.

Математичними моделями таких об'єктів служать системи масового обслуговування (СМО), що описуються наступним чином: в систему надходять вимоги (заявки на обслуговування), кожне з яких обслуговується деякий час і потім залишає систему. Проте в силу обмежень на ресурси (кількість обслуговуючих касових апаратів, швидкості обслуговування тощо) система здатна обслуговувати одночасно лише певну кількість вимог. Математичні моделі у разі покликані вирішувати завдання обчислення числових показників якості функціонування СМО.

При побудові моделей СМО важливо виділяють дві системи: детерміновану і стохастичну, які визначають тип математичної моделі.

Розглянемо найпростішу детерміновану систему, що складається з поднакових приладів, до яких вимоги надходять через детерміновані (постійні) проміжки часу, а час обслуговування кожної вимоги також постійно. Очевидно, якщо вимоги надходять через проміжки

а час обслуговування кожної вимоги повно

то необхідне та достатня умованормального функціонування системи полягає у виконанні нерівності

В іншому випадку з часом вимоги будуть накопичуватися в системі.

Параметри Xі ц мають простий фізичний зміст:

X- середня кількість вимог, що надходять за одиницю часу, або інтенсивність вхідного потоку;

ц - середня кількість вимог, яка здатна обслужити за одиницю часу кожен прилад, або інтенсивність обслуговування вимог одним приладом;

/7ц - середня кількість вимог, які здатні обслужити пприладів, або інтенсивність обслуговування вимог всією системою.

Таким чином, умова (1) означає, що інтенсивність вхідного потоку не повинна перевищувати інтенсивності обслуговування вимог усією системою. Розглянемо величину

Так зване завантаження системи.

Тоді нерівність (1) можна переписати у вигляді:

В цьому випадку завантаження можна інтерпретувати як середню частку часу, протягом якого прилади зайняті обслуговуванням вимог, а величину 1 - р - як середню частку часу протягом якого прилади простоюють.

Зрештою, ще одне зауваження до функціонування системи з детермінованими характеристиками:

якщо в початковий момент часу система вільна і виконана умова (2), то кожна вимога, що надходить до системи, відразу ж стає на обслуговуючий прилад;

у разі р

нарешті, якщо р > 1, то за одиницю часу черга в середньому збільшується на Мр-1).

У реальних системах масового обслуговування істотну роль відіграють елементи випадковості:

по-перше, часи між надходженнями вимог не є детермінованими;

по-друге, не є детермінованими часи обслуговування вимог.

Крім того, елементи випадковості можуть з'являтися з інших причин, наприклад, відмов елементів систем масового обслуговування.

Виявляється, елементи випадковості суттєво впливають на якість функціонування систем обслуговування. Тож якщо завантаження р = 1, то, на відміну детермінованих систем, в стохастичних системах черга з часом у середньому прагне нескінченності. Черги у стохастичних системах утворюються навіть у разі р

Розглянемо формалізоване опис СМО. Основними параметрами СМО є:

вхідний потік вимог;

структура системи;

тимчасові характеристики обслуговування вимог;

дисципліна обслуговування.

Розглянемо ці параметри.

Вхідний потікхарактеризується випадковими моментами надходження вимог до просту систему, а складних систем - і типами які у ці моменти вимог.

При заданні випадкового потоку зазвичай передбачається, що вхідний потік є рекурентним і найчастіше пуассонівським.

Зробимо кілька зауважень про коректність опису потоків вимог, що надходять у реальні системи, пуасонівським і рекурентним. Очевидно, що вже властивість відсутності післядії в реальних системах виконується вкрай рідко, оскільки у потоку, що володіє таким властивістю, за будь-який скільки завгодно малий проміжок часу може надійти скільки завгодно велика кількість вимог з відмінною від нуля (хоча і надзвичайно малою) ймовірністю. Однак практика показує, що опис вхідного пуассонівського потоку в більшості випадків з достатнім ступенем точності правомірно. Додатковим математичним підтвердженням цього факту є теорема Хінчина, яка каже, що об'єднання великої кількості"Рідкісних" потоків при дуже слабких обмеженнях дає пуасонівський потік.

Друга властивість пуассонівського потоку – стаціонарність – також не висмикує критики. Справді, інтенсивність вхідного потоку, зазвичай, залежить від часу доби, року тощо. Якщо зберегти властивості відсутності післядії та ординарності, то виходить нестаціонарний пуассонівський потік. У ряді випадків вдається розробити математичні моделі розрахунку економічних системз таким вхідним потоком, проте одержувані при цьому формули дуже громіздкі і важкі для практичного застосування. З цієї причини в розрахунках обмежуються деяким інтервалом часу, на якому інтенсивність вхідного потоку мало змінюється.

Якщо відмовитися тільки від властивості ординарності, то виходить неординарний пуассонівський потік, у якого моменти надходження вимог утворюють звичайний потік пуассонівський, але в кожен такий момент приходить випадкове число вимог. Більшість результатів, справедливих для систем з пуассонівським потоком практично без змін переноситься на системи з неординарним пуассонівським потоком.

Для завдання структури СМОнеобхідно перерахувати всі елементи, що у системі, і вказати, вимоги яких типів і навіть яких фазах обслуговування може обслуговувати кожен елемент. При цьому окремий елементможе обслуговувати вимоги кількох типів і, навпаки, вимоги одного типу можуть обслуговуватися кількома елементами. Надалі будемо припускати, що СМО є один або кілька однакових елементів і кожна вимога може обслуговуватися на будь-якому з них. Системи такого типу називаються однолінійними(один елемент) або багатолінійними(кілька елементів).

У системах обслуговування можуть бути елементи очікування вимогами початку обслуговування. Якщо таких елементів нескінченно багато, то говорять про системи з очікуванням, якщо їхня кількість звичайно - про системи з кінцевим числом місць очікування, якщо ж вони взагалі відсутні (вимога, що залишила в момент надходження в систему всі елементи зайнятими, втрачається; приклад - звичайні телефонні системи) - про системи із втратами.

Тимчасові характеристикиобслуговування вимог також є складним об'єктом для формалізованого опису. Зазвичай передбачається, що часи обслуговування всіх вимог є незалежними між собою і є однаково розподіленими випадковими величинами. Якщо СМО надходять вимоги декількох типів, розподіл часу обслуговування може залежати від типу вимоги.

Дисципліна обслуговуванняполягає у правилі постановки вимог у чергу та порядку вибору їх з черги на обслуговування, розподілі елементів між вимогами, а в багатофазних системах – та між фазами обслуговування. Припускатимемо, що в системі реалізована найпростіша дисципліна - обслуговування вимоги в порядку надходження (FIFO). У багатолінійних системах утворюється загальна чергадо всіх елементів, і перший в черзі вимога надходить на будь-який елемент, що звільнився.

Тим не менш, у СМО використовуються і складніші дисципліни обслуговування. Найпростішими прикладами таких дисциплін є інверсійний (зворотний) порядок обслуговування (LIFO), при якому обслуговується вимога, яка надійшла до системи останнім.

Дисципліна рівномірного поділу елементів системи, при якій кожне з пвимог, що знаходяться в системі, обслуговується з однаковою швидкістю 1/п.Іноді в момент надходження вимоги до системи стає відомий час його обслуговування (робота, яку належить здійснити). Тоді можна використовувати дисципліни, які залежать від залишкових часів обслуговування вимог. Зокрема, дисципліна обслуговування першої вимоги з мінімальним залишковим часом обслуговування дозволяє отримати мінімальну довжину черги у будь-який момент часу. Застосування складних дисциплін обслуговування часто дозволяє без будь-яких додаткових витрат істотно поліпшити якість функціонування СМО.

Особливий клас СМО є пріоритетні системи, які надходять потоки вимог кількох пріоритетів, і вимоги вищих пріоритетів мають перевагу перед вимогами нижчих пріоритетів, тобто. обслуговуються раніше. Пріоритети можуть бути відносними, коли вимоги вищого пріоритету не переривають обслуговування вимог нижчих пріоритетів, що знаходяться на елементах, і абсолютні, коли таке переривання відбувається.

У разі абсолютних пріоритетів також можливі різні модифікації: недообслужені вимоги з перерваним обслуговуванням залишають системи (системи з вибуттям), продовжують обслуговуватись після того, як усі вимоги вищих пріоритетів покинуть систему (системи з дообслуговуванням), обслуговуються заново.

До дисциплін обслуговування слід віднести і такі фактори, як підготовчий етап перед початком обслуговування чергової вимоги або після того, як у вільну систему надійшла вимога, етап перемикання елемента обслуговування вимог іншого типу, обслуговування вимог ненадійними елементами системи тощо. Нарешті, може бути обмежений час перебування вимоги у системі або час очікування початку обслуговування.

Опишемо тепер ті характеристики СМО, які становлять інтерес для користувача. Іноді практично їх називають вероятностно-временными характеристиками. Найбільш важливими з них є довжина черги(тобто кількість очікуваних початку обслуговування вимог) та час очікування на початок обслуговування вимоги.Оскільки і довжина черги, і час очікування початку обслуговування – випадкові величини, то, звісно, ​​вони описуються своїми розподілами. Крім того, розподіл довжини черги та часу очікування залежить від поточного моменту часу.

У системах із втратами або кінцевим числом місць очікування до найважливіших характеристик відноситься також ймовірність втрати вимоги.Іноді поряд із довжиною черги розглядають загальне числовимог у системі,а поряд з часом очікування початку обслуговування - час перебування вимоги у системі.

У системах з втратами або кінцевим числом місць очікування, а також у системах з очікуванням та завантаженням р

Знаходженню стаціонарних показників присвячено більшість робіт з теорії масового обслуговування, хоча й нестаціонарні показники вивчені досить докладно.

Література

• 1. Гнєденко Б.В.Курс теорії ймовірностей. М.: Фізматгіз, 1961.
• 2. Феллер Ст.Введення в теорію ймовірностей та її застосування.T.I. М: Світ,
• 1984.
• 3. Гніденко Б.В., Коваленко І.М.Введення у теорію масового обслуговування. М: Наука, 1966.
• 4. Сааті Т.Л.Елементи теорії масового обслуговування та її застосування. М: Рад. радіо, 1965.

У багатьох галузях економіки, фінансів, виробництва та побуту важливу роль відіграють системи, що реалізують багаторазове виконання однотипних завдань. Такі системи називаються системами масового обслуговування (СМО ). Прикладами СМО є: банки різних типів, страхові організації, податкові інспекції, аудиторські служби, різні системи зв'язку, вантажно-розвантажувальні комплекси, автозаправні станції, різноманітні підприємства та організації сфери обслуговування.

3.1.1 Загальні відомості про системи масового обслуговування

Кожна СМО призначена для обслуговування (виконання) деякого потоку заявок (вимог), що надходять на вхід системи переважно не регулярно, а у випадкові моменти часу. Обслуговування заявок також триває не постійний, наперед відомий час, а випадковий, який залежить від багатьох випадкових, часом невідомих нам причин. Після обслуговування заявки канал звільняється та готовий до прийому наступної заявки. Випадковий характер потоку заявок та часу їх обслуговування призводить до нерівномірної завантаженості СМО. У деякі проміжки часу на вході СМО можуть накопичуватися заявки, що призводить до перевантаження СМО, деякі інші інтервали часу при вільних каналах (пристроях обслуговування) на вході СМО заявок не буде, що призводить до недовантаження СМО, тобто. до простоювання її каналів. Заявки, що накопичуються на вході СМО, або «стають» у чергу, або з якоїсь причини неможливості подальшого перебування у черзі залишають СМО необслуговуваними.

На рис 3.1 зображено схему СМО.

Основними елементами (ознаками) систем масового обслуговування є:

Обслуговуючий вузол (блок),

Потік заявок

Чергав очікуванні обслуговування (дисципліна черги).

Обслуговуючий блокпризначений для здійснення дій відповідно до вимог вступників до системи заявок.

Рис. 3.1. Схема системи масового обслуговування

Друга складова систем масового обслуговування – вхідний потік заявок.Заявки надходять до системи випадковим чином. Зазвичай припускають, що вхідний потік підпорядковується деякому закону ймовірності для тривалості інтервалів між двома послідовно надходять заявками, причому закон розподілу вважається не змінним протягом деякого досить тривалого часу. Джерело заявок – необмежене.

Третя складова - дисципліна черги. Ця характеристика визначає порядок обслуговування заявок, що надходять вход системи. Оскільки обслуговуючий блок, як правило, має обмежену пропускну спроможність, А заявки надходять нерегулярно, то періодично створюється черга заявок в очікуванні обслуговування, а іноді обслуговуюча система простоює в очікуванні заявок.

Головна особливість процесів масового обслуговування – випадковість. При цьому є дві взаємодіючі сторони: обслуговується та обслуговуюча. Випадкова поведінка хоча б однієї зі сторін призводить до випадкового характеру перебігу процесу обслуговування загалом. Джерелами випадковості взаємодії цих сторін є випадкові події двох типів.

1. Поява заявки (вимоги) обслуговування. Причиною випадковості цієї події часто є масовий характер потреби в обслуговуванні.

2. Закінчення обслуговування чергової заявки. Причинами випадковості цієї події є як випадковість початку обслуговування, і випадкова тривалість самого обслуговування.

Зазначені випадкові події становлять систему двох потоків СМО: вхідного потоку заявок на обслуговування та вихідного потоку обслужених заявок.

Результатом взаємодії зазначених потоків випадкових подій є кількість заявок, що знаходяться в СМО в даний момент, яке прийнято називати станом системи.

Кожна СМО в залежності від своїх параметрів характеру потоку заявок, числа каналів обслуговування та їх продуктивності, від правил організації роботи, має певну ефективність функціонування (пропускну здатність), що дозволяє їй успішно справлятися з потоком заявок.

Спеціальна область прикладної математики теорія масовогообслуговування (ТМО)– займається аналізом процесів у системах масового обслуговування. Предметом вивчення теорії масового обслуговування є СМО.

Мета теорії масового обслуговування - вироблення рекомендацій щодо раціональної побудови СМО, раціональної організації їх роботи та регулювання потоку заявок для забезпечення високої ефективності функціонування СМО. Досягнення цієї мети ставляться завдання теорії масового обслуговування, які перебувають у встановленні залежностей ефективності функціонування СМО від її організації.

Завдання теорії масового обслуговування носять оптимізаційний характері й у кінцевому підсумку спрямовані визначення такого варіанта системи, у якому буде забезпечений мінімум сумарних витрат від очікування обслуговування, втрат часу й ресурсів обслуговування і від простою обслуговуючого блока. Знання таких показників дає менеджеру інформацію для вироблення спрямованого на ці показники для управління ефективністю процесів масового обслуговування.

Як характеристики ефективності функціонування СМО зазвичай вибираються три такі основні групи (зазвичай середніх) показників:

Показники ефективності використання СМО:

Абсолютна пропускна здатність СМО – середня кількість заявок, яка зможе обслужити СМО в одиницю часу.

Відносна пропускна здатність СМО - відношення середньої кількості заявок, що обслуговуються СМО в одиницю часу, до середньої кількості заявок, що надійшли за цей же час.

Середня тривалість періоду зайнятості СМО.

Коефіцієнт використання СМО - середня частка часу, протягом якого СМО зайнята обслуговуванням заявок, тощо.

Показники якості обслуговування заявок:

Середній час очікування заявки у черзі.

Середній час перебування заявки до СМО.

Можливість відмови заявці в обслуговуванні без очікування.

Імовірність того, що заявка, що надійшла, негайно буде прийнята до обслуговування.

Закон розподілу часу перебування заявки у черзі.

Закон розподілу часу перебування заявки до СМО.

Середня кількість заявок, які перебувають у черзі.

Середня кількість заявок, що перебувають у СМО, тощо.

Показники ефективності функціонування пари «СМО – споживач», де під «споживачем» розуміють всю сукупність заявок чи їхній

У практиці людської діяльностівелике місце займають процеси масового обслуговування, що виникають у системах, призначених для багаторазового використання під час вирішення однотипних завдань. Такі системи одержали назву систем масового обслуговування (СМО). Прикладами таких систем є телефонні системи, обчислювальні комплекси, системи автотранспортного, авіаційного, ремонтного обслуговування, магазини, квиткові касиі т.п.

Кожна система складається з певної кількостіобслуговуючих одиниць (приладів, апаратів, пристроїв" пунктів, станцій), які називаються каналами обслуговування. За кількістю каналів СМО поділяють на одноканальні та багатоканальні. Схема одноканальної системи масового обслуговування представлена ​​на рис. 6.2.

Заявки до системи надходять зазвичай не регулярно, а випадково, утворюючи випадковий потік заявок (вимог). Саме обслуговування кожної вимоги може тривати певний час, або, що буває частіше, невизначений час. Випадковий характер призводить до того, що СМО виявляється завантаженою нерівномірно: у якісь періоди часу накопичується дуже велика кількість заявок (вони або стають у чергу, або залишають СМО не обслуженими), в інші періоди СМО працює з недовантаженням або простоює.

Рис. 6.2.

Метою дослідження систем масового обслуговування є аналіз якості їхнього функціонування та виявлення можливостей його поліпшення. При цьому поняття "якість функціонування" у кожному окремому випадку матиме свій конкретний зміст та виражатиметься різними кількісними показниками. Наприклад, такими кількісними показниками, як величина черги на обслуговування, середній час обслуговування, очікування обслуговування або знаходження вимоги в обслуговуючій системі, час простою обслуговуючих апаратів; впевненість, що всі вимоги, що надійшли в систему, будуть обслужені.

Таким чином, під якістю функціонування системи масового обслуговування розуміють не якість виконання тієї чи іншої роботи, запит на яку надійшов, а ступінь задоволення потреби в обслуговуванні.

Предметом теорії масового обслуговування є побудова математичних моделей, що пов'язують задані умови роботи СМО (кількість каналів, їх продуктивність, характер потоку заявок тощо) з показниками ефективності СМО, що описують її здатність справлятися з потоком заявок.

Класифікація систем масового обслуговування

Першою ознакою, що дозволяє класифікувати завдання масового обслуговування, є поведінка вимог, що надійшли в обслуговувальну систему у той момент, коли всі апарати зайняті.

У деяких випадках вимога, що потрапила в систему в той момент, коли всі апарати зайняті, не може чекати на їх звільнення і залишає систему не обслуженим, тобто. вимога губиться для даної обслуговуючої системи. Такі обслуговуючі системи називаються системами із втратами, а сформульовані за ними завдання – завданнями обслуговування для систем із втратами.

Якщо ж вимога, потрапивши в систему, стає в чергу і чекає на звільнення апарату, то такі системи називаються системами з очікуванням, а відповідні завдання називаються завданнями обслуговування в системах з очікуванням. СМО з очікуванням поділяється на різні видизалежно від того, як організовано чергу: з обмеженою або необмеженою довжиною черги, з обмеженим часом очікування тощо.

СМО розрізняються і за кількістю вимог, які одночасно можуть перебувати в обслуговуючій системі. Виділяють:

• 1) системи з обмеженим потоком вимог;
• 2) системи з необмеженим потоком вимог.

Залежно від форм внутрішньої організаціїобслуговування у системі виділяють:

• 1) системи із упорядкованим обслуговуванням;
• 2) системи із невпорядкованим обслуговуванням.

Важливим етапом дослідження СМО є вибір критеріїв, що характеризують процес, що вивчається. Вибір залежить від типу досліджуваних завдань, мети, яка переслідується рішенням.

Найчастіше практично зустрічаються системи, у яких потік вимог близький до найпростішого, а час обслуговування підпорядковується показовому закону розподілу. Ці системи найповніше розроблені теорії масового обслуговування.

У разі підприємства типовими є завдання з очікуванням, з кінцевим числом обслуговуючих апаратів, з обмеженим потоком вимог і з неупорядкованим обслуговуванням.