Вступ

Математичне опис методу

1 Загальні відомостіпро системи масового обслуговування

2 Багатоканальні СМО з відмовами

Обґрунтування та вибір інструментального середовища для проведення розрахунків

Алгоритмічне забезпечення

1 Постановка задачі

2 Математична модель

3 Побудова моделей СМО з відмовами у Simulink

3.1 Для 3-х канальної СМО

3.2 Для 5-канальної СМО

4 Розрахунок показників ефективності

4.1 для 3-х канальної СМО

4.2 Для 5-канальної СМО

5 Аналіз результатів моделювання

Висновок

Список використаної літератури

ВСТУП

На сьогоднішній день метод імітаційного моделювання є одним з найбільш ефективних методівдослідження процесів та систем самої різної природи та ступеня складності. Сутність методу полягає у складанні моделі, що імітує процес функціонування системи, і розрахунку характеристик цієї моделі з метою отримання статистичних даних системи, що моделюється. Використовуючи результати імітаційного моделювання, можна описати поведінку системи, оцінити вплив різних параметрів системи на її характеристики, виявити переваги та недоліки запропонованих змін, прогнозувати поведінку системи.

Найкращою ілюстрацією галузі застосування імітаційного моделювання є системи масового обслуговування. У термінах СМО описуються багато реальних систем: обчислювальні системи, вузли мереж зв'язку, магазини, виробничі ділянки - будь-які системи, де можливі черги та відмови в обслуговуванні. Мета даної курсової роботи- створення блок-схеми в середовищі MatLab Simulink, що наочно ілюструє алгоритм розрахунку параметрів моделі багатоканальної СМО з відмовами та формування рекомендацій щодо вибору оптимальної кількості каналів обслуговування.

Для досягнення поставленої мети виділимо основні завдання:

-докладний опис багатоканальної СМО з відмовами;

вибір контрольного прикладу та постановка задачі;

визначення алгоритму розв'язання;

створення імітаційної моделі серед MATLAB (Simulink);

аналіз результатів та обґрунтування вибору оптимальної кількості каналів для досліджуваної СМО

1. МАТЕМАТИЧНИЙ ОПИС МЕТОДУ

.1 Загальні відомості про системи масового обслуговування

У житті часто зустрічаються системи, призначені для багаторазового використання під час вирішення однотипних завдань: черга в магазині, обслуговування автомобілів на автозаправках, квиткові касиі т.п. Виникають у своїй процеси отримали назву процесів обслуговування, а системи - систем масового обслуговування (СМО).

Процеси надходження та обслуговування заявок до СМО є випадковими, що зумовлено випадковим характером потоку заявок та тривалості їх обслуговування.

Розглянемо СМО з марківським випадковим процесом, коли ймовірність стану СМО в майбутньому залежить тільки від її справжнього стану і не залежить від минулого (процес без післядії або без пам'яті). Умова марковського випадкового процесу необхідно, щоб усі потоки подій, за яких система переходить з одного стану до іншого (потоки заявок, потоки обслуговування тощо), були пуасонівськими. Пуасонівський потік подій має низку властивостей, у тому числі властивостями відсутності післядії, ординарності, стаціонарності.

У найпростішому пуасонівському потоці подій випадкова величинарозподілено за показовим законом:

,(1.1)

де λ - інтенсивність потоку.

Метою теорії систем масового обслуговування є вироблення рекомендацій щодо раціонального їх побудови, організації роботи та регулювання потоку заявок. Звідси випливають завдання, пов'язані з теорією масового обслуговування: встановлення залежностей роботи СМО від організації, характеру потоку заявок, числа каналів та його продуктивності, правил роботи СМО.

Основою СМО є певна кількістьобслуговуючих пристроїв - каналів обслуговування.

Призначення СМО полягає в обслуговуванні потоку заявок ( вимогу), що представляють послідовність подій, що надходять нерегулярно та в заздалегідь невідомі та випадкові моменти часу. Саме обслуговуваннязаявок також має непостійний та випадковий характер. Випадковий характер потоку заявок та часу їх обслуговування обумовлює нерівномірність завантаження СМО: на вході можуть накопичуватися необслужені заявки (перевантаження СМО) або заявок немає або їх менше, ніж вільних каналів(Недовантаження СМО).

Таким чином, до СМО надходять заявки, частина з яких приймається на обслуговування каналами системи, частина стає на чергу на обслуговування, а частина залишає систему необслуженими.

Основними елементами СМО є:

1.вхідний потік заявок;

2.черга;

.канали обслуговування;

.вихідний потік заявок (обслуговування).

Ефективність функціонування СМО визначається її пропускною здатністю - відносним числомобслужених заявок.

За кількістю каналів n всі СМО поділяються на одноканальні (n = 1) та багатоканальні (n > 1). Багатоканальні СМО можуть бути як однорідними (каналами), так і різнорідними (за тривалістю обслуговування заявок).

За дисципліною обслуговування розрізняються три класи СМО:

1.СМО з відмовами(Нульове очікування або явні втрати). "Відмовна" заявка знову надходить у систему, щоб її обслужили (наприклад, виклик абонента через АТС).

2.СМО з очікуванням(Необмежене очікування або черга). При зайнятості системи заявка надходить у чергу і, зрештою, буде виконано (торгівля, сфера побутового та медичного обслуговування).

.СМО змішаного типу (обмежене очікування). Є обмеження на довжину черги (сервіс обслуговування автомобілів). Обмеження на час перебування заявки до СМО (ППО, особливі умовиобслуговування у банку) також може розглядатися.

Розрізняють відкриті(Потік заявок не обмежений), упорядковані(заявки обслуговуються в порядку їх надходження) та однофазні(однорідні канали виконують ту саму операцію) СМО.

Ефективність роботи систем масового обслуговування характеризують показники, які можна розбити на три групи:

1.Група показників ефективності використання СМО:

-абсолютна пропускна спроможність ( А) - середня кількість заявок, що обслуговуються в одиницю часу, або інтенсивність вихідного потоку обслужених заявок (це частина інтенсивності вхідного потоку заявок);

відносна пропускна здатність ( Q) - ставлення абсолютної пропускну здатністьдо середньої кількості заявок, що надійшли до системи за одиницю часу;

середня тривалість періоду зайнятості СМО ( );

інтенсивність навантаження ( ρ) показує ступінь узгодженості вхідного та вихідного потоків заявок каналу обслуговування та визначає стійкість СМО;

коефіцієнт використання СМО – середня частка часу, протягом якого система зайнята обслуговуванням заявок.

2.Показники якості обслуговування заявок:

середній час очікування заявки у черзі ( );

середній час перебування (обслуговування) заявки до СМО ( );

ймовірність відмови заявки в обслуговуванні без очікування ( );

ймовірність негайного прийому заявки ( );

закон розподілу часу очікування заявки у черзі до СМО;

середня кількість заявок у черзі ( );

середня кількість заявок, що знаходяться в СМО ( ).

.Показники ефективності функціонування пари "СМО - споживач" (вся сукупність заявок або їх джерело, наприклад, середній дохід в одиницю часу від СМО). Ця група корисна, коли дохід від СМО і витрати на її обслуговування вимірюються в тих самих одиницях, і відображає специфіку роботи СМО.

1.2 Багатоканальні СМО з відмовами

Система M/M/n/0 являє собою n-лінійну СМО з r місцями очікування (r=0), до якої надходить пуасонівський потік інтенсивності , а часи обслуговування заявок незалежні і при цьому час обслуговування кожної заявки на будь-якому приладі розподілено за експоненційним законом із параметром . У випадку, коли , заявка, що надійшла в переповнену систему (тобто коли зайняті всі прилади та всі місця очікування), втрачається і знову до неї не повертаються. Система M/M/n/r також відноситься до експоненційних СМО.

Рівняння, що описують розподіл заявок у системі

Випишемо систему диференціальних рівняньКолмогорова. Для цього розглянемо моменти t та . Припускаючи, що у момент t процес v(t) перебуває у стані i, визначимо, куди може потрапити у момент , і знайдемо ймовірності його переходів за час . Тут можливі три випадки.

А. i процес не вийде зі стану i дорівнює добутку ймовірності не надходження заявки за час на ймовірність того, що за цей час не обслужиться жодна із заявок, тобто. дорівнює . Ймовірність переходу за час у стан i+1 дорівнює - ймовірність надходження заявки до системи. Нарешті, оскільки кожен прилад закінчить за час обслуговування заявки, що знаходиться в ньому, з ймовірністю а таких приладів i, то ймовірність переходу в стан i-1 дорівнює . Інші переходи мають можливість .

Б. n≤i залишитися в стані і дорівнює перейти в стан i-1 за цей же час

Таким чином, ми фактично довели, що процес є процесом народження та загибелі з інтенсивностями при при і при . Позначаючи через , розподіл числа заявок у системі в момент t, отримуємо наступні вирази для у випадку, коли :

,

,

,

Якщо ж , Те, що очевидно останнього виразу не буде, а в передостанньому індекс i може приймати значення i = n, n + 1, ....

Віднімаючи тепер з обох частин рівності, поділяючи на і переходячи до межі

при , Отримуємо систему диференціальних рівнянь:

,

,

, (1.2)

.

Стаціонарний розподіл черги

У разі кінцевого r, наприклад, r=0, процес є ергодичним. Також він буде ергодичним у разі при виконанні умови, про яку буде сказано нижче. Тоді з (1) при отримуємо, що стаціонарні ймовірності станів pi задовольняють систему рівнянь:

,

,(1.3)

,

.

Пояснимо тепер висновок системи рівнянь (1.3), з принципу глобального балансу. Так, наприклад, згідно з діаграмою переходів для фіксованого стану i, , маємо, що сумарні потоки ймовірностей, що входить у стан i і що виходить з нього рівні, відповідно, і .

Рисунок 1 Діаграма переходів

Виходячи тепер із принципу локального балансу, що баланс потоків ймовірностей між станами i та i+1 відображається рівностями:

,

,(1.4)

які є рівняннями локального балансу даної СМО. Перевірка справедливості рівностей (1.4) проводиться безпосереднім підсумовуванням системи рівнянь (1.3) i при i=0,1,…,n+r-1.

Зі співвідношення (1.4), виражаючи рекурентно ймовірності через ,

де , а визначається за умови нормування , тобто.

.(1.6)

Зрозуміло, що формули можна отримати із загальних співвідношень для стаціонарних ймовірностей станів процесу народження та загибелі при зазначених вище значеннях і .

Якщо , то стаціонарний режим існує за будь-якого .

Випишемо тепер висловлювання для деяких характеристик черги.

Стаціонарна ймовірність негайного обслуговування заявки (обслуговування без очікування) збігається зі стаціонарною ймовірністю те, що у системі перебуває 0,1,…,n-1 заявок, тобто.

Розглянемо цікавий для нас окремий випадок, коли r=0. тоді в системі відсутні місця для очікування (система з втратами M/M/n/0) і така система зветься системи Ерланга. Система Ерланга описує процеси, що відбуваються в найпростіших телефонних мережах, і названа так на честь А. К. Ерланга, який її вперше досліджував. Для системи M/M/n/0 стаціонарні ймовірності визначаються формулою Ерланга

,.

Отже, стаціонарна ймовірність втрати заявки визначається формулою:

,

яку також називають формулою Ерланга.

Нарешті, коли , то ми маємо систему , для якої за будь-якого стаціонарні ймовірності існують і, як випливає з формул Ерланга при , мають вигляд

,.

Повернемося тепер до співвідношень (1.4). Підсумовуючи ці рівності по i=0,1,…,n+r-1, отримуємо

,

де - Середня кількість зайнятих приладів. Виписане співвідношення виражає рівність інтенсивностей прийнятого в систему та обслуговуваного нею потоків у стаціонарному режимі. Звідси ми можемо отримати вираз для пропускної спроможності системи , яка визначається як середня кількість заявок, обслуговуваних системою в одиницю часу, і званої іноді інтенсивністю виходу:

.

Вираз для стаціонарного числа N заявок у системі неважко отримати або безпосередньо з розподілу ймовірностей (4), або скориставшись очевидним співвідношенням .

Стаціонарний розподіл часу перебування заявки у системі

Стаціонарний розподіл W(x) часу очікування початку обслуговування прийнятої в систему M/M/n/r заявки обчислюється практично так само, як і для системи . Зауважимо, що заявка, що залишилася при надходженні інших заявок у системі, негайно починає обслуговуватися, якщо i часи.

Шляхом нескладних перетворень знаходимо, враховуючи незалежність часу обслуговування від часу очікування початку обслуговування, знаходимо, що стаціонарний розподіл V(x) часу перебування в системі прийнятої до обслуговування заявки має ПЛС

.

Стаціонарні середні часи очікування початку обслуговування та перебування заявки в системі задаються формулами:

,

.

Останній вираз можна отримати з формул Літтла.

Нестаціонарні характеристики

Нестаціонарний розподіл числа заявок у системі виходить інтегруванням системи (1) з урахуванням початкового розподілу .

Якщо система (1) являє собою лінійну однорідну систему звичайних диференціальних рівнянь першого порядку з постійними коефіцієнтами.

Потік, що виходить

В системі , в режимі потік заявок, що залишають систему, є пуассонівським. Те саме можна сказати і про вихід потіку з системи M/M/n/r, якщо розуміти під ним сумарний потік як обслужених, так і втрачених заявок. Доказ цього за допомогою методу поводження часу повністю збігається з доказом аналогічного факту для системи .

2. Обґрунтування та вибір інструментального середовища для проведення розрахунків

Моделювання систем є важливим інструментом, коли необхідно зрозуміти, пояснити незрозумілу проблему або вирішити поставлене завдання за допомогою комп'ютера. Серією комп'ютерних експериментів досліджують модель та отримують підтвердження чи спростування передекспериментальних гіпотез щодо поведінки моделі.

Результати поведінки моделі менеджер використовує для реального об'єкта, тобто приймає планове або прогнозоване рішення, отримане за допомогою дослідження моделі. Це комп'ютерна програмна система для моделювання систем управління. Simulink є складовим елементом Matlab та використовує для моделювання всі можливості. За допомогою Matlab Simulink моделюються лінійні, нелінійні, дискретні, стохастичні та гібридні системи.

При цьому, на відміну від класичних способів моделювання, користувачеві не потрібно досконально вивчати мову програмування та численні методи математики, а достатньо загальних знань, які потрібні для роботи з комп'ютером, та знань про ту предметну область, в якій він працює.

При роботі в Matlab Simulink можна моделювати динамічні системи, вибирати методи розв'язання диференціальних рівнянь, а також способи зміни модельного часу (з фіксованим або змінним кроком). У ході моделювання можна стежити за процесами, що відбуваються в системі. Для цього використовують спеціальні пристрої спостереження, що входять до складу бібліотеки Simulink. Результати моделювання можуть бути представлені у вигляді графіків та таблиць.

Перевага Simulink полягає в тому, що він дозволяє поповнювати бібліотеки блоків за допомогою програм, написаних мовою Matlab, так і мовами С++, Fortran і Ada.

Досліджувану модель системи становлять як блок-схеми. Кожен типовий блок є об'єктом з графічними кресленнями, графічними та математичними символами виконуваної програмою та числовими чи формульними параметрами. Блоки з'єднуються лініями, що відбивають рух матеріальних, фінансових та інформаційних потоків між об'єктами.

Отже, Matlab Simulink – це система імітаційного моделювання, яка дозволяє зручно та легко будувати та досліджувати моделі економічних процесів.

3. Алгоритмічне забезпечення

.1 Постановка задачі

Як багатоканальний СМО з відмовими розглянемо роботу обчислювального центру.

До обчислювального центру колективного користування з трьома ЕОМ надходять замовлення від підприємств на обчислювальні роботи. Якщо працюють всі три ЕОМ, то знову надходить замовлення не приймається, і підприємство змушене звернутися до іншого обчислювального центру. Середній час роботи з одним замовленням становить 3 години. Інтенсивність потоку заявок 0,25 (1/год).

Потрібно визначити основні характеристики ефективності цієї СМО, якщо інтенсивність, з якою кожна ЕОМ обслуговує замовлення, дорівнює 1/3 заявки на годину, а інтенсивність, з якою заявки надходять до обчислювального центру, дорівнює 0,25 одиниць на годину. Розглянути випадок збільшення кількості ЕОМ на 2 одиниці у центрі та простежити, як зміняться основні характеристики цієї системи. За результатами аналізу отриманих результатів дати рекомендації щодо оптимального числа каналів обслуговування.

Нехай СМО містить n каналів, інтенсивність вхідного потоку заявок дорівнює , а інтенсивність обслуговування заявки кожним каналом дорівнює . Розмічений граф станів системи зображено малюнку 2.

Малюнок 2 - Графік станів багатоканальної СМО з відмовами

Стан S 0означає, що всі канали вільні, стан S k (k = 1, n) означає, що обслуговування заявок зайняті k каналів. Перехід з одного стану до іншого сусіднього правого відбувається стрибкоподібно під впливом вхідного потоку заявок інтенсивністю незалежно від числа працюючих каналів (верхні стрілки). Для переходу системи з одного стану до сусіднього лівого неважливо, який саме канал звільниться. Величина характеризує інтенсивність обслуговування заявок під час роботи у СМО k каналів (нижні стрілки).

Легко побачити, що багатоканальна СМО з відмовами є окремим випадком системи народження та загибелі, якщо в останній прийняти і

(3.1)

При цьому для знаходження фінальних ймовірностей можна скористатися формулами (4) та (5). З урахуванням (16) отримаємо їх:

(3.2)

(3.3)

Формули (3.2) та (3.3) називаються формулами Ерланга – засновника теорії масового обслуговування.

Імовірність відмови у обслуговуванні заявки р_отк дорівнює ймовірність те, що це канали зайняті, тобто. система знаходиться в стані S n . Таким чином,

(3.4)

Відносну пропускну здатність СМО знайдемо з (3.4):

(3.5)

Абсолютну пропускну здатність знайдемо з (3,5):

Середню кількість зайнятих обслуговуванням каналів можна знайти таким чином: оскільки кожен зайнятий канал в одиницю часу обслуговує в середньому заявок, то можна знайти за формулою:

3.3 Побудова моделей СМО з відмовами у Simulink

.3.1 для 3-х канальної СМО

Малюнок 3 Модель СМО з трьома каналами обслуговування

Малюнок 3 (продовження) Модель СМО з трьома каналами обслуговування

У моделях, реалізованих у Simulink, є можливість вивести значення показників ефективності СМО. При зміні вхідних параметрів значення будуть перераховуватися автоматично.

Система масового обслуговування з трьома каналами може перебувати в чотирьох станах: S0 - всі канали вільні, S1 - 1 канал зайнятий, S2 - 2 канали зайнято, S3 - всі 3 канали зайняті. Імовірності цих станів представлені малюнку 4.

Малюнок 4 Можливості станів для СМО з трьома каналами

3.3.2 Для 5-канальної СМО

Малюнок 5 Модель СМО з 5 каналами

Малюнок 5 (продовження) Модель СМО з 5 каналами

Як і у випадку n=3 для СМО з n=5 реалізовано виведення значень показників ефективності самої моделі.

Система масового обслуговування з п'ятьма каналами може перебувати в шести станах: S0 - всі канали вільні, S1 - 1 канал зайняті, S2 - 2 канали зайняті, S3 -3 канали зайняті, S4 -4 канали зайняті, S5 - всі 5 каналів зайняті. Імовірності цих станів представлені малюнку 7

Малюнок 6 Імовірності станів для СМО з 5 каналами

3.4 Розрахунок показників ефективності

Розрахунок показників ефективності систем масового обслуговування з трьома та п'ятьма каналами було здійснено за допомогою пакета MS Excel за формулами, описаними у параграфі 3.2

.4.1 для 3-х канальної СМО

Таблиця 1 Розрахунок показників ефективності триканальної СМО

n (кількість каналів обслуговування)3ʎ (інтенсивність вхідного потоку заявок)0,25µ (інтенсивність потоку обслужених заявок, що виходять з одного каналу)0,33333 ρ ( наведена інтенсивність потоку заявок)0,75ймовірності станів P_00,47584P_10,35688P_20,13383P_30,03346сума ймовірностей1Q (відносна пропускна здатність СМО)0,96654A (абсолютна пропускна здатність С4, абсолютна пропускна здатність СМО4 ймовірність того, що заявка отримає відмову)0,03346n" (середня кількість зайнятих каналів)0,72491

3.4.2 Для 5-канальної СМО

Таблиця 2 Розрахунок показників ефективності п'ятиканальної СМО

n (кількість каналів обслуговування)5ʎ (інтенсивність вхідного потоку заявок)0,25µ (інтенсивність потоку обслужених заявок, що виходять з одного каналу)0,33333 ρ ( наведена інтенсивність потоку заявок)0,75ймовірності станів P_00,47243P_10,35432P_20,13287P_30,03322P_40,00623P_50,00093сума ймовірність1Q (відносна пропускна спроможність С9(відносна пропускна спроможність С9) 0,99907P_otk (імовірність того, що заявка отримає відмову)0,00093n" (середня кількість зайнятих каналів)0,7493

3.5 Аналіз результатів моделювання

Таблиця 3 Порівняння результатів моделювання з теоретичними розрахунками для триканальної СМО

ПараметрТеоретичне значенняЕмпіричне значення Відхилення (у частках)

Таблиця 4 Порівняння результатів моделювання з теоретичними розрахунками для п'ятиканальної СМО

ПараметрТеоретичне значенняЕмпіричне значенняВідхилення (у частках)P_00,472428230,48520,026P_otk0,0009342450,00099520,061Q0,966782390,9990,03270

З таблиць видно, що відхилення емпіричних значень від теоретичних не перевищує ε = 7%. Це означає, що побудовані нами моделі адекватно описують поведінку системи і застосовні для пошуку оптимальних співвідношень кількості каналів обслуговування.

Таблиця 5 Порівняння емпіричних показників СМО де n=3 та СМО де n=5

ПараметрПоказники СМО де n=3Показники СМО де n=5P_00,4870,4852P_otk0,031360,0009952Q0,96860,999A0,24220,2498n"0,72650,7493

Очевидно, що чим більша кількість каналів обслуговування, тим менша ймовірність відмови системи та вища ймовірність того, що заявка буде обслугована. Абсолютна пропускна здатність системи у разі функціонування 5 каналів хоч і трохи вище, ніж якби функціонувало всього 3 канали, проте це свідчить про те, що необхідно зробити вибір на користь збільшення числа каналів обслуговування.

Таким чином, проведений експеримент показав, наскільки можна довіряти результатам моделювання та висновків, зробленим з урахуванням інтерпретації цих результатів.

ВИСНОВОК

У ході виконання курсової роботи було вирішено всі поставлені завдання та досягнуто поставленої мети, а саме – було створено моделі, що описують економічний процес, розраховано показники цих моделей та сформовано рекомендації для практичного застосування.

Моделювання було виконано у системі Matlab Simulink у вигляді блок-схем, які у простій та зручній формі показують сутності економічних процесів. Також була проведена перевірка адекватності побудованих моделей шляхом розрахунку теоретичних показників ефективності обраних типів СМО, за результатами якої моделі були визнані з великою ймовірністю наближеними до реальності. З цього випливає, що при розгляді аналогічних процесів і для економії часу ми можемо скористатися моделями, розробленими в ході цієї роботи.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1.Рижиков Ю.І. Імітаційне моделювання. Теорія та технології. - СПб.: КОРОНА принт: М: Альтекс-А, 2004.

2.Варфоломєєв В.І. Алгоритмічний моделювання елементів економічних систем: Практикум. Навч. допомога. - М.: Фінанси та статистика, 2000.

.Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей та математична статистика. Навч. посібник для вузів. - М: Вища школа, 1998

ТЕОРІЯ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ

Вступ

Теорія масового обслуговування є важливим розділом системного аналізу та дослідження операцій. Вона багата різноманітними програмами: від завдань. пов'язаних з експлуатацією телефонних мереж до наукової організації виробництва. Ця теорія використовується там, де є виклики та клієнти, сигнали та вироби масового виробництва, а також там, де вироби обслуговуються, обробляються, передаються.

Ідеї ​​та методи теорії масового обслуговування (ТМО) набувають все більшого поширення. Багато завдань техніки, економіки, військової справи, природознавства можуть бути поставлені та вирішені у термінах ТМО.

Своїм виникненням ТМО зобов'язана, насамперед, прикладним питанням телефонії, у яких через велику кількість незалежних чи слабко залежних джерел (абонентів телефонних станцій) потоки заявок (дзвінків) мають чітко виражений випадковий характер. Випадкові коливання (флуктуації) у деякого середнього є у разі не результатом якогось відхилення від норми, а закономірністю, властивої всьому процесу. З іншого боку, стабільність роботи телефонних станцій, можливість отримання хороших статистичних даних створили передумови виявлення основних характеристик, властивих цьому процесу обслуговування.

Вперше на це звернув увагу та провів дослідження данець О.К. Ерланг. Основні його роботи у цій галузі ставляться до 1908 - 1921 років. Відтоді інтерес до проблем, висунутих Ерлангом, надзвичайно зріс. У 1927 – 1928 роках з'являються роботи Моліна та Фрайя, пізніше у 1930 – 1932 роках – цікаві роботи Поллачека, О.М. Колмогорова, А.Я. Хінчина.

Слід зазначити, що перші завдання ТМО були досить простими і допускали отримання остаточних аналітичних залежностей. О, розвиток йшло як по лінії збільшення сфери застосування ТМО, так і по лінії ускладнення завдань, що стоять перед нею. Виявилося, що завдання типу телефонних, виникають у найрізноманітніших напрямках досліджень: у природознавстві. у техніці, на транспорті, у військовій справі, в організації виробництва тощо.

23. Системи масового обслуговування

У багатьох галузях практичної діяльності ми стикаємося з необхідністю перебування у стані очікування. Подібні ситуації виникають у чергах у квиткових касах, у великих аеропортах, при очікуванні обслуговуючим персоналом літаків дозволу на зліт або посадку, на телефонних станціях в очікуванні звільнення лінії абонента, у ремонтних цехах в очікуванні ремонту верстатів та обладнання, на складах постачально-збутових. очікуванні розвантаження чи навантаження транспортних засобів. У всіх перерахованих випадках маємо справу з масовістю та обслуговуванням. Вивчення таких ситуацій займається теорія масового обслуговування.

Теорія масового обслуговування– область прикладної математики, що займається аналізом процесів у системах виробництва, обслуговування, управління, у яких однорідні події повторюються багаторазово, наприклад, на підприємствах побутового обслуговування; у системах прийому, переробки та передачі інформації; автоматичних лініях виробництва та ін.

Предметом теорії масового обслуговування є встановлення залежностей між характером потоку заявок, числом каналів обслуговування, продуктивністю окремого каналу та ефективним обслуговуванням з метою знаходження найкращих шляхів управління цими процесами.

23.1. Поняття смо

Теоретично систем масового обслуговування (СМО) об'єкт, що обслуговується, називають вимогою. У випадку під вимогою зазвичай розуміють запит задоволення деякої потреби, наприклад, розмова з абонентом, посадка літака, купівля квитка, отримання матеріалів складі.

Кошти, що обслуговують вимоги, називаються обслуговуючими пристроями або каналами обслуговування . Наприклад, до них відносяться канали телефонного зв'язку, посадкові смуги, майстри-ремонтники, квиткові касири, вантажно-розвантажувальні точки на базах та складах.

Сукупність однотипних обслуговуючих пристроїв називається системою масового обслуговування . Такими системами можуть бути телефонні станції, аеродроми, квиткові каси, ремонтні майстерні, склади та бази постачальницько-збутових організацій і т.д.

Основним завданням теорії СМО є вивчення режиму функціонування обслуговуючої системи та дослідження явищ, що виникають у процесі обслуговування. Так, однією з характеристик обслуговуючої системи є час перебування вимоги у черзі. Очевидно, що цей час можна скоротити за рахунок збільшення кількості обслуговуючих пристроїв. Однак, кожен додатковий пристрій вимагає певних матеріальних витрат, при цьому збільшується час бездіяльності обслуговуючого пристрою через відсутність вимог на обслуговування, що також є негативним явищем. Отже, теоретично СМО виникають завдання оптимізації: як досягти певного рівня обслуговування (максимального скорочення черги чи втрат вимог) при мінімальних витратах, що з простоєм обслуговуючих пристроїв.

Джерело.Джерело визначається як пристрій або безліч, з якого вимоги надходять до системи обслуговування. Джерело називають нескінченним чи кінцевим залежно від цього, нескінченне чи кінцеве число вимог міститься у ньому. Будемо завжди припускати, що джерело, що генерує вимоги, невичерпне. Наприклад, хоча абонентів деякого телефонного вузла кінцеве число, припускаємо, що вони утворюють нескінченне джерело.

Вхідний потік.Вимоги, що надходять із джерела обслуговування, утворюють вхідний потік. Сама вимога можна розглядати як запит задоволення якоїсь потреби. Прикладів вхідних потоків можна навести безліч. Це - потік інформації, що надходить на обробку ЕОМ; потік заявок на АТС; потік клієнтів, що приходять в ательє, та хворих у поліклініку, потік, що прибувають у порт суден; налітають на об'єкт удару літаки і ракети супротивника і т.д.

Обслуговуюча система.Під обслуговуючої системою розуміють безліч технічних засобів або виробничого персоналу (різного роду установки, прилади, пристрої, тунелі, злітно-посадкові смуги, лінії зв'язку, продавці, бригади робітників або службовців, касири тощо), що виконують функції обслуговування. Все перераховане вище, як говорилося, об'єднується однією назвою «канал обслуговування» (прилад). Склад системи визначається кількістю каналів (приладів, ліній). За кількістю каналів системи можна поділити на одноканальні та багатоканальні.

Потік, що виходить.Потік, що виходить - це потік вимог, що залишають систему після обслуговування. Сюди можуть входити і вимоги, що залишили систему, не пройшовши обслуговування.

Вхідний потік, функціонування обслуговуючої системи як результат обслуговування, потік, що виходить, підлягають кількісному опису. Щоб проводити математичні дослідження процесу масового обслуговування, необхідно повно визначити систему обслуговування. Зазвичай це означає:

- завдання вхідного потоку.Тут маються на увазі як середня інтенсивність надходження вимог, і статистична модель їх надходження (тобто. закон розподілу моментів надходження вимог у систему);

- Завдання механізму обслуговування.Це означає вказівку того, коли обслуговування припустимо, скільки вимог може обслуговуватись одночасно і як довго триває обслуговування. Остання властивість зазвичай характеризують статистичним розподілом тривалості обслуговування (закон розподілу часу обслуговування);

- Завдання дисципліни обслуговування.Це означає вказівку способу, яким відбувається відбір однієї вимоги з черги (якщо вона є) на обслуговування. У найпростішому варіанті дисципліна обслуговування полягає в обслуговуванні вимог у порядку їх надходження (справедливий принцип), проте існує багато інших можливостей.

Завдання системи передбачає також відомий опис взаємодії між її окремими частинами.

Коли система досить повно визначена, з'являється основа побудови математичної моделі. Якщо математична модель більш-менш адекватно відображає реальну систему, вона дозволяє отримати основні характеристики функціонування системи. Зрозуміло, модель значно полегшує практичну ситуацію, але це не применшує математичних методів теорії масового обслуговування і стан справ не відрізняється від стану справ в інших галузях прикладної математики.

Теорія СМО присвячена розробці методів аналізу, проектування та раціональної організації систем, що належать до різних галузей діяльності, таких як зв'язок, обчислювальна техніка, торгівля, транспорт, військова справа. Незважаючи на всю свою різноманітність, наведені системи мають ряд типових властивостей, а саме.

• СМО (системи масового обслуговування) – це моделі систем, в які у випадкові моменти часу ззовні чи зсередини надходять заявки (вимоги). Вони повинні тим чи іншим чином обслуговуватися системою. Тривалість обслуговування найчастіше випадкова.
• СМО є сукупністьобслуговуючого обладнанняі персоналуза відповідної організації процесу обслуговування.
• Задати СМО - це означає задати її структуру та статистичніхарактеристики послідовності надходження заявок та послідовності їх обслуговування.

Завдання аналізу СМОполягає у визначенні низки показників її ефективності, які можна поділити на такі групи:

• показники, що характеризують систему загалом:число nзайнятих каналів обслуговування, кількість обслужених (λ b), які чекають на обслуговування або отримали відмову заявок (λ c) в одиницю часу тощо;
• імовірнісні характеристики: ймовірність того, що заявку буде обслуговано ( Pобс) або отримає відмову в обслуговуванні ( Pвідк), що всі прилади вільні ( p 0) або певна кількість їх зайнята ( p k), ймовірність наявності черги тощо;
• економічні показники : вартість втрат, пов'язаних з відходом не обслуженої з тих чи інших причин заявки із системи, економічний ефект, отриманий внаслідок обслуговування заявки, тощо.

Частина технічних показників (перші дві групи) характеризують систему з погляду споживачів, інша частина – характеризує систему з погляду її експлуатаційних властивостей. Часто вибір перерахованих показників може покращувати експлуатаційні властивості системи, але погіршувати систему з погляду споживачів і навпаки. Використання економічних показників дозволяє вирішити зазначену суперечність та оптимізувати систему з урахуванням обох точок зору.
У процесі виконання домашньої контрольної роботи вивчаються найпростіші СМО. Це системи розімкнутого типу, нескінченне джерело заявок у систему не входить. Вхідний потік заявок, потоки обслуговування та очікування цих систем є найпростішими. Пріоритети відсутні. Системи однофазні.

Багатоканальна система з відмовами

Система складається з одного вузла обслуговування, що містить n каналів обслуговування, кожен з яких може обслуговувати лише одну заявку.
Усі канали обслуговування однакової продуктивності та моделі системи нерозрізняються. Якщо заявка надійшла до системи та застала хоча б один канал вільним, вона миттєво починає обслуговуватися. Якщо на момент надходження заявки у систему всі канали зайняті, то заявка залишає систему не обслуженной.

Змішані системи

1. Система з обмеженням на довжину черги .
   Складається з накопичувача (черги) та вузла обслуговування. Заявка залишає чергу і йде з системи, якщо в накопичувачі на момент її появи вже знаходяться m заявок (m – максимально можливе число місць у черзі). Якщо заявка надійшла в систему і застала хоча б один канал вільним, вона миттєво починає обслуговуватися. Якщо в момент надходження заявки до системи всі канали зайняті, то заявка не залишає систему, а посідає місце у черзі. Заявка залишає систему не обслуженою, якщо на момент її надходження до системи зайняті всі канали обслуговування та всі місця у черзі.
   Для кожної системи визначається дисципліна черги. Це система правил, визначальних порядок надходження заявок із черги у вузол обслуговування. Якщо всі заявки та канали обслуговування рівнозначні, то найчастіше діє правило «хто раніше прийшов, той раніше обслуговується».
2. Система з обмеженням на тривалість перебування заявки у черзі.
   Складається з накопичувача (черги) та вузла обслуговування. Від попередньої системи вона відрізняється тим, що заявка, що надійшла в накопичувач (чергу), може очікувати на початок обслуговування лише обмежений час. Теж(найчастіше це випадкова величина). Якщо її час Тежзакінчилося, то заявка залишає чергу і йде з системи не обслуженої.

Математичний опис СМО

СМО розглядаються як деякі фізичні системи з дискретними станами х 0, х 1, …, х n,функціонуючі при безперервному часі t. Кількість станів n може бути кінцевою або лічильною (n → ∞). Система може переходити з одного стану х i (i = 1, 2, …, n) в інший х j (j= 0, 1,… ,n)у довільний момент часу t. Щоб показати правила таких переходів, використовують схему, яка називається графом станів. Для типів перерахованих вище систем графи станів утворюють ланцюг, в якому кожен стан (крім крайніх) пов'язаний прямим та зворотним зв'язком з двома сусідніми станами. Це схема загибелі та розмноження .
Переходи зі стану до стану відбуваються у випадкові моменти часу. Зручно вважати, що ці переходи відбуваються внаслідок дії якихось потоків(Потоків вхідних заявок, відмов в обслуговуванні заявок, потоку відновлення приладів тощо). Якщо всі потоки найпростіші,те, що протікає в системі випадковий процес з дискретним станом та безперервним часом буде марківським .
Потік подій- це послідовність однотипних подій, які у випадкові моменти часу. Його можна розглядати як послідовність випадкових моментів часу t 1 , t 2 , … Поява подій.
Найпростішимназивають потік, що має наступні властивості:

• Ординарність. Події йдуть поодинці (протилежність потоку, де події йдуть групами).
• Стаціонарність. Імовірність влучення заданої кількості подій на інтервал часу Тзалежить тільки від довжини інтервалу та не залежить від того, де на осі часу знаходиться цей інтервал.
• Відсутність післядії. Для двох неперетинних інтервалів часу 1 і 2 число подій, що потрапляють на один з них, не залежить від того, скільки подій потрапило на інший інтервал.

У найпростішому потоці інтервали часу Т 1 , Т 2 ,… між моментами t 1 , t 2 , … Події подій випадкові, незалежні між собою і мають показовий розподіл ймовірностей f(t)=λe -λt , t≥0, λ=const, де λ - параметр показового розподілу, що є одночасно інтенсивністюпотоку і середнє число подій, що відбуваються в одиницю часу. Отже, t =M[T]=1/λ.
Марківські випадкові події описуються звичайними диференціальними рівняннями. Змінними в них є ймовірності станів р 0 (t), p 1 (t), ..., p n (t).
Для дуже великих моментів часу функціонування систем (теоретично при t → ∞) у найпростіших системах (системи, усі потоки у яких – найпростіші, а граф – схема загибелі та розмноження) спостерігається що встановився,або стаціонарнийрежим роботи. У цьому режимі система змінюватиме свій стан, але ймовірність цих станів ( фінальні ймовірності) р до, к = 1, 2, ..., n,не залежать від часу і можуть розглядатися як середній відносний часперебування системи у відповідному стані.

Застосування різних математичних методів до формалізації. Акцент на складну систему – непередбачувану. Носійневизначеності є людина.

Характерним прикладом стохастичних (випадкові, ймовірнісні) завдань є моделі систем масового обслуговування.

СМО мають поширення. Це телефонні мережі, автозаправні станції, підприємства побутового обслуговування, квиткові каси, торгові заходи тощо.

З позиції моделювання процесу масового обслуговування ситуації, коли утворюються черги заявок (вимог) обслуговування, виникають в такий спосіб. Вступивши в обслуговувальну систему, вимога приєднується до черги інших (раніше надійшли) вимог. Канал обслуговування вибирає вимогу з що у черзі, аби розпочати його обслуговування. Після завершення процедури обслуговування чергової вимоги канал обслуговування починає обслуговування наступної вимоги, якщо таке є в блоці очікування. Цикл функціонування СМО подібного роду повторюється багаторазово протягом усього періоду роботи обслуговуючої системи. При цьому передбачається, що перехід системи обслуговування чергової вимоги після завершення обслуговування попередньої вимоги відбувається миттєво, у випадкові моменти часу.

Прикладами СМО можуть бути:

посади технічного обслуговування автомобілів;

пости ремонту автомобілів;

аудиторські фірми, і т.д.

Основоположником теорії масового обслуговування, зокрема теорії черг, є відомий датський вчений А.К.Ерланг (1878-1929), який досліджував процеси обслуговування на телефонних станціях.

Системи, у яких відбуваються процеси обслуговування, називають системами масового обслуговування (СМО).

Щоб описати систему масового обслуговування, необхідно задати:

- Вхідний потік заявок;

- дисципліну обслуговування;

- Час обслуговування

- Кількість каналів обслуговування.

Вхідний потік вимог (заявок) описується шляхом виявлення як імовірнісного закону розподілумоментів надходження вимог до системи, а також кількості вимогу кожному надходженні.

При завданні дисципліни обслуговування(ДО) необхідно описати правила постановки вимог у чергу та обслуговування їх у системі. При цьому довжина черги може бути як обмеженою, так і необмеженою. У разі обмежень на довжину черги заявка, що надійшла на вхід СМО, отримує відмову. Найчастіше використовуються ДО, що визначаються такими правилами:

першим прийшов – першим обслуговуєшся;

прийшов останнім – обслуговуєшся першим; (коробочка для тенісних кульок, стек у техніці)

випадковий відбір заявок;

відбір заявок за критерієм пріоритетності

Час обслуговуваннязаявки до СМО є випадковою величиною. Найбільш поширеним законом розподілу є експоненційний закон.  - швидкість обслуговування. =кількість заявок обслуговування/од. часу.

Канали обслуговування, можуть бути розташовані паралельно та послідовно. При послідовному розташуванні каналів, кожна заявка проходить обслуговування на всіх каналах послідовно. При паралельному розташуванні каналів обслуговування проводиться на всіх каналах одночасно в міру їхнього звільнення.

Узагальнена структура СМО представлена ​​на рис.

Предметом теорії масового обслуговуванняє встановлення залежності між факторами, що визначають функціональні можливості СМО, та ефективністю її функціонування.

Проблеми проектування СМО.

До завдань визначення характеристик структури СМО відносяться завдання вибору кількості каналів обслуговування (базових елементів (Ф i)), завдання визначення способу з'єднання каналів (множини елементів зв'язків (Hj)), а також завдання визначення пропускної спроможності каналів.

1). Вибір структури. Якщо канали працюють паралельно, проблема вибору Str зводиться до визначення кількості каналів в обслуговуючій частині виходячи з умови забезпечення працездатності СМО. (Якщо черга не є нескінченно зростаючою).

Зазначимо, що при визначенні кількості каналів системи, у разі їхнього паралельного розташування, необхідно дотримуватися умова працездатності системи. Позначимо:  - середня кількість заявок, які у одиницю часу, тобто. інтенсивність вхідного потоку;  - середня кількість заявок, які задовольняються в одиницю часу, тобто. інтенсивність обслуговування; S - кількість каналів обслуговування. Тоді умова працездатності СМО запишеться

або
. Виконання цієї умови дозволяє обчислити нижню межу кількості каналів.

У разі якщо
, система не справляється із чергою. Черга при цьому росте безмежно.

2). Необхідно визначити критерій ефективності функціонуванняСМО з урахуванням витрат на втрати часу як з боку заявок, так і обслуговуючої частини.

Як показники ефективності функціонування СМО розглядаються такі три основні групи показників:

1. Показники ефективності використання СМО.

Абсолютна пропускна здатність СМО – середня кількість заявок, яка може обслужити СМО в одиницю часу.

Відносна пропускна здатність СМО - відношення середньої кількості заявок, що обслуговуються СМО в одиницю часу, до середньої кількості заявок, що надійшли за цей час.

Середня тривалість періоду зайнятості СМО.

Коефіцієнт використання СМО – середня частка часу, протягом якого СМО зайнята обслуговуванням заявок.

2. Показники якості обслуговування заявок.

Середній час очікування заявки у черзі.

Середній час перебування заявки до СМО.

Можливість відмови заявці в обслуговуванні без очікування.

Імовірність того, що заявка, що надійшла, негайно буде прийнята до обслуговування.

Закон розподілу часу очікування заявки у черзі.

Закон розподілу часу перебування заявки до СМО.

Середня кількість заявок, які перебувають у черзі.

Середня кількість заявок, які перебувають у СМО.

3. Показники ефективності функціонування пари «СМО – споживач».

При виборі критерію ефективності функціонування СМО необхідно врахувати подвійний підхід до систем масового обслуговування. Наприклад, роботу універсаму як СМО можна розглядати з протилежних сторін. З одного, традиційно прийнятої, сторони покупець, який чекає на свою чергу біля каси, є заявкою на обслуговування, а касир - канал обслуговування. З іншого боку, касир, який очікує покупців, можна розглядати як заявки обслуговування, а покупець - обслуговуючий пристрій, здатне задовольнити заявку, тобто. підійти до каси і припинити вимушений простий касира. (Традиційно - покупців ніж касирів, якщо касирів ніж покупців, вони чекають покупців).

З
враховуючи це доцільно мінімізувати обидві частини СМО одночасно.

Застосування такого двоїстого підходу передбачає необхідність обліку для формування критерію ефективності як перелічених вище показників окремо, а й одночасно кількох показників, що відбивають інтереси як обслуговуючої, і обслуговуваної підсистем СМО. Наприклад, показано, що найважливішим критерієм ефективності завдання масового обслуговування є сумарний час перебування клієнта у черзі, з одного боку, і простою каналів обслуговування - з іншого.

Класифікація систем масового обслуговування

1. За характером обслуговування виділяють такі види СМО:

1.1. Системи з очікуванням або системи з чергою. Вимоги, що надійшли до системи та не прийняті негайно до обслуговування, накопичуються у черзі. Якщо канали є вільними, то заявка обслуговується. Якщо всі канали зайняті в момент надходження заявки, то чергова заявка буде обслужена після завершення обслуговування попередньої. Така система називається повнодоступною (з необмеженою чергою).

Існують системи з автономним обслуговуванням, коли обслуговування починається у певні моменти часу;

Системи з обмеженою чергою. (ремонт у гаражі)

Системи з відмовами. Усі заявки, які прибули на момент обслуговування заявки, отримують відмову. (ГТС)

Системи з груповим вхідним потоком та груповим обслуговуванням. У таких системах заявки надходять групами на час, обслуговування також відбувається групами.

2. За кількістю каналів обслуговування СМО поділяються на такі групи.

Одноканальні СМО.

Багатоканальні СМО. Обслуговування чергової заявки може розпочатись до закінчення обслуговування попередньої заявки. Кожен канал діє як самостійний обслуговуючий пристрій.

3. По колу об'єктів, що обслуговуються, розрізняють два види.

Замкнені СМО.Замкнута система масового обслуговування - це система масового обслуговування, у якій обслужені вимоги можуть повертатися до системи і знову надходити обслуговування. Прикладами замкнутого СМО є ремонтні майстерні, ощадні банки.

Відкриті СМО.

4. За кількістю етапів обслуговування розрізняють однофазні та багатофазні СМО.

ОднофазніСМО - це однорідні системи, які виконують ту саму операцію обслуговування.

БагатофазніСМО - це системи, у яких канали обслуговування розташовані послідовно та виконують різні операції обслуговування. Прикладом багатофазного СМО є станції технічного обслуговування автомобілів.

Наведена класифікація СМО є умовною. Насправді найчастіше СМО виступають як змішаних систем. Наприклад, заявки очікують на початок обслуговування до певного моменту, після чого система починає працювати як система з відмовими.

ВСТУП

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАВДАНЬ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ

1.1 Загальні поняття теорії масового обслуговування

1.2 Моделювання систем масового обслуговування

1.3 Графи станів СМО

1.4 Випадкові процеси

Розділ II. РІВНЯННЯ, ОПИСУЮЧІ СИСТЕМИ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ

2.1 Рівняння Колмогорова

2.2 Процеси «народження – загибелі»

2.3 Економіко-математична постановка задач масового обслуговування

Розділ III. МОДЕЛІ СИСТЕМ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ

3.1 Одноканальна СМО з відмовами в обслуговуванні

3.2 Багатоканальна СМО з відмовами в обслуговуванні

3.3 Модель багатофазної системи обслуговування туристів

3.4 Одноканальна СМО з обмеженою довжиною черги

3.5 Одноканальна СМО з необмеженою чергою

3.6 Багатоканальна СМО з обмеженою довжиною черги

3.7 Багатоканальна СМО з необмеженою чергою

3.8 Аналіз системи масового обслуговування супермаркету

ВИСНОВОК

Вступ

В даний час з'явилася велика кількість літератури, присвяченої безпосередньо теорії масового обслуговування, розвитку її математичних аспектів, а також різних сфер її застосування – військової, медичної, транспортної, торгівлі, авіації та ін.

Теорія масового обслуговування спирається на теорію ймовірностей та математичну статистику. Початковий розвиток теорії масового обслуговування пов'язаний з ім'ям датського вченого А.К. Ерланга (1878-1929), з його працями в галузі проектування та експлуатації телефонних станцій.

Теорія масового обслуговування - область прикладної математики, що займається аналізом процесів у системах виробництва, обслуговування, управління, у яких однорідні події повторюються багаторазово, наприклад, на підприємствах побутового обслуговування; у системах прийому, переробки та передачі інформації; автоматичних лініях виробництва та ін. Великий внесок у розвиток цієї теорії зробили російські математики А.Я. Хінчін, Б.В. Гнєденко, О.М. Колмогоров, Є.С. Вентцель та ін.

Предметом теорії масового обслуговування є встановлення залежностей між характером потоку заявок, числом каналів обслуговування, продуктивністю окремого каналу та ефективним обслуговуванням з метою знаходження найкращих шляхів управління цими процесами. Завдання теорії масового обслуговування носять оптимізаційний характер і в кінцевому підсумку включають економічний аспект визначення такого варіанта системи, при якому буде забезпечений мінімум сумарних витрат від очікування обслуговування, втрат часу і ресурсів на обслуговування і від простоїв каналів обслуговування.

У комерційній діяльності застосування теорії масового обслуговування поки що не знайшло бажаного поширення.

Здебільшого це з труднощами постановки завдань, необхідністю глибокого розуміння змісту комерційної діяльності, і навіть надійного і точного інструментарію, що дозволяє прораховувати у комерційної діяльності різні варіанти наслідків управлінських рішень.

Глава I . Постановка завдань масового обслуговування

1.1 Загальні поняття теорії масового обслуговування

Природа масового обслуговування, у різних сферах, дуже тонка та складна. Комерційна діяльність пов'язані з виконанням безлічі операцій на етапах руху, наприклад товарної маси зі сфери виробництва, у сферу споживання. Такими операціями є навантаження товарів, перевезення, розвантаження, зберігання, обробка, фасування, реалізація. Крім таких основних операцій процес руху товарів супроводжується великою кількістю попередніх, підготовчих, супутніх, паралельних та наступних операцій із платіжними документами, тарою, грошима, автомашинами, клієнтами тощо.

Для перерахованих фрагментів комерційної діяльності характерні масовість надходження товарів, грошей, відвідувачів у випадкові моменти часу, потім їхнє послідовне обслуговування (задоволення вимог, запитів, заявок) шляхом виконання відповідних операцій, час виконання яких носить також випадковий характер. Все це створює нерівномірність у роботі, породжує недовантаження, простий та перевантаження у комерційних операціях. Багато неприємностей завдають черги, наприклад, відвідувачів у кафе, їдальнях, ресторанах, або водіїв автомобілів на товарних базах, які очікують на розвантаження, навантаження чи оформлення документів. У зв'язку з цим виникають завдання аналізу існуючих варіантів виконання всієї сукупності операцій, наприклад, торгового залу супермаркету, ресторану або в цехах виробництва власної продукції з метою оцінки їх роботи, виявлення слабких ланок та резервів для розробки в кінцевому підсумку рекомендацій, спрямованих на збільшення ефективності комерційної діяльності.

Крім того, виникають інші завдання, пов'язані зі створенням, організацією та плануванням нового економічного, раціонального варіанту виконання безлічі операцій у межах торгового залу, кондитерського цеху, всіх ланок обслуговування ресторану, кафе, їдальні, планового відділу, бухгалтерії, відділу кадрів та ін.

Завдання організації масового обслуговування виникають практично у всіх сферах людської діяльності, наприклад, обслуговування продавцями покупців у магазинах, обслуговування відвідувачів на підприємствах громадського харчування, обслуговування клієнтів на підприємствах побутового обслуговування, забезпечення телефонних розмов на телефонній станції, надання медичної допомоги хворим у поліклініці тощо. . У всіх наведених прикладах виникає потреба у задоволенні запитів великої кількості споживачів.

Перелічені завдання можна успішно вирішувати за допомогою методів та моделей спеціально створеної для цих цілей теорії масового обслуговування (ТМО). У цій теорії пояснюється, що обслуговувати необхідно будь-кого або що-небудь, що визначається поняттям «заявка (вимога) на обслуговування», а операції обслуговування виконуються будь-ким або чимось, званими каналами (вузлами) обслуговування. Роль заявок у комерційній діяльності виконують товари, відвідувачі, гроші, ревізори, документи, а роль каналів обслуговування - продавці, адміністратори, кухарі, кондитери, офіціанти, касири, товарознавці, вантажники, торгове обладнання та ін. наприклад, кухар у процесі приготування страв є каналом обслуговування, а в іншому - виступає в ролі заявки на обслуговування, наприклад, до завідувача виробництва за отриманням товару.

Заявки з масовості надходження обслуговування утворюють потоки, які до виконання операцій обслуговування називаються вхідними, а після можливого очікування початку обслуговування, тобто. простояючи в черзі, утворюють потоки обслуговування в каналах, а потім формується вихідний потік заявок. Загалом сукупність елементів вхідного потоку заявок, черги, каналів обслуговування і потоку заявок, що виходить, утворює найпростішу одноканальну систему масового обслуговування - СМО.

Під системою розуміється сукупність взаємозалежних та. цілеспрямовано взаємодіючих елементів (елементів). Прикладами таких найпростіших СМО в комерційній діяльності є місця прийому та обробки товарів, вузли розрахунку з покупцями в магазинах, кафе, їдалень, робочі місця економіста, бухгалтера, комерсанта, кухарі на роздачі тощо.

Процедура обслуговування вважається завершеною, коли заявка обслуговування залишає систему. Тривалість інтервалу часу, необхідного для реалізації процедури обслуговування, залежить в основному від характеру запиту заявки на обслуговування, стану обслуговуючої системи та каналу обслуговування.

Справді, тривалість перебування покупця у супермаркеті залежить, з одного боку, від особистісних якостей покупця, його запитів, від асортименту товарів, що він збирається придбати, з другого - від форми організації обслуговування та обслуговуючого персоналу, що може значно вплинути на час перебування покупця у супермаркеті та інтенсивність обслуговування. Наприклад, оволодіння касирами-контролерами роботи «сліпим» методом на касовому апараті дозволило збільшити пропускну спроможність вузлів розрахунку в 1,3 рази та заощадити час, що витрачається на розрахунки з покупцями по кожній касі більш ніж на 1,5 год на день. Впровадження єдиного вузла розрахунку у супермаркеті дає відчутні переваги покупцю. Так, якщо при традиційній формі розрахунків час обслуговування одного покупця становив у середньому 1,5 хв, то при введенні єдиного вузла розрахунку – 67 с. З них 44 с. йдуть на оформлення покупки в секції та 23 с. безпосередньо на розрахунки за покупки. Якщо покупець робить кілька покупок у різних секціях, то втрати часу скорочуються при придбанні двох покупок у 1,4 раза, трьох – у 1,9, п'яти – у 2,9 раза.

Під обслуговуванням заявок розумітимемо процес задоволення потреби. Обслуговування має різний характер за своєю природою. Однак, у всіх прикладах заявки, що надійшли, потребують обслуговування з боку будь-якого пристрою. У деяких випадках обслуговування здійснюється однією людиною (обслуговування покупця одним продавцем, у деяких - групою людей (обслуговування хворого на лікарську комісію в поліклініці), а в деяких випадках - технічними пристроями (продаж газованої води, бутербродів автоматами). Сукупність засобів, що здійснюють обслуговування заявок називається каналом обслуговування.

Якщо канали обслуговування здатні задовольнити однакові заявки, канали обслуговування називаються однорідними. Сукупність однорідних каналів обслуговування називається системою, що обслуговує.

У систему масового обслуговування надходить велика кількість заявок у випадкові моменти часу, тривалість обслуговування яких також є випадковою величиною. Послідовне надходження заявок у систему обслуговування називається вхідним потоком заявок, а послідовність заявок, що залишають систему обслуговування, - потоком, що виходить.

Випадковий характер розподілу тривалості виконання операцій обслуговування поряд з випадковим характером надходження вимог на обслуговування призводить до того, що в каналах обслуговування протікає випадковий процес, який може бути названий (за аналогією з вхідним потоком заявок) потоком обслуговування заявок або просто потоком обслуговування.

Зауважимо, що заявки, що надходять до системи обслуговування, можуть залишити її і не обслуговуючи. Наприклад, якщо покупець не знайде в магазині потрібний товар, він залишає магазин, будучи не обслуженим. Покупець може залишити магазин також, якщо потрібний товар є, але велика черга, а покупець не має часу.

Теорія масового обслуговування займається вивченням процесів, пов'язаних із масовим обслуговуванням, розробкою методів вирішення типових завдань масового обслуговування.

При дослідженні ефективності роботи системи обслуговування важливу роль відіграють різні способи розташування системи каналів обслуговування.

При паралельному розташуванні каналів обслуговування вимога може бути обслужена будь-яким вільним каналом. Прикладом такої системи обслуговування є розрахунковий вузол у магазинах самообслуговування, де кількість каналів обслуговування збігається з касирів-контролерів.

Насправді часто обслуговування однієї заявки здійснюється послідовно кількома каналами обслуговування. При цьому черговий канал обслуговування починає роботу з обслуговування заявки після того, як попередній канал закінчив свою роботу. У таких системах процес обслуговування має багатофазовий характер, обслуговування заявки одним каналом називається фазою обслуговування. Наприклад, якщо в магазині самообслуговування є відділи із продавцями, то покупці спочатку обслуговуються продавцями, а потім уже касирами-контролерами.

Організація системи обслуговування залежить від волі людини. Під якістю функціонування системи теорії масового обслуговування розуміють не те, наскільки добре виконано обслуговування, а те, наскільки повно завантажена система обслуговування, чи не простоюють канали обслуговування, не утворюється черга.

У комерційній діяльності заявки, що надходять до системи масового обслуговування, виступають з високими претензіями ще й на якість обслуговування в цілому, яке включає не тільки перелік характеристик, що історично склалися та розглядаються безпосередньо в теорії масового обслуговування, а й додаткові характерні для специфіки комерційної діяльності, зокрема окремих процедур обслуговування, вимоги, до рівня яких на сьогодні сильно зросли. У зв'язку із цим необхідно враховувати ще й показники комерційної діяльності.

Роботу системи обслуговування характеризують такі показники. Як час очікування початку обслуговування, довжина черги, можливість отримання відмови в обслуговуванні, можливість простою каналів обслуговування, вартість обслуговування та зрештою задоволення якістю обслуговування, яке ще включає показники комерційної діяльності. Щоб поліпшити якість функціонування системи обслуговування, необхідно визначити, яким чином розподілити заявки, що надходять між каналами обслуговування, яку кількість каналів обслуговування необхідно мати, як розмістити або згрупувати канали обслуговування або обслуговуючі апарати для поліпшення показників комерційної діяльності. Для вирішення перелічених завдань існує ефективний метод моделювання, що включає та поєднує досягнення різних наук, у тому числі математики.

1.2 Моделювання систем масового обслуговування

Переходи СМО з одного стану до іншого відбуваються під впливом цілком певних подій - надходження заявок та їх обслуговування. Послідовність появи подій, що йдуть одна за одною у випадкові моменти часу, формує так званий потік подій. Прикладами таких потоків у комерційній діяльності є потоки різної природи – товарів, грошей, документів, транспорту, клієнтів, покупців, телефонних дзвінків, переговорів. Поведінка системи зазвичай визначається одним, а одночасно кількома потоками подій. Наприклад, обслуговування покупців у магазині визначається потоком покупців та потоком обслуговування; у цих потоках випадковими є моменти появи покупців, час очікування у черзі та час, що витрачається обслуговування кожного покупця.

При цьому основною характерною рисою потоків є розподіл ймовірності часу між сусідніми подіями. Існують різні потоки, що відрізняються своїми характеристиками.

Потік подій називається регулярним, якщо в ньому події йдуть одна за одною через заздалегідь задані і певні проміжки часу. Такий потік є ідеальним і дуже рідко трапляється на практиці. Найчастіше зустрічаються нерегулярні потоки, що не володіють властивістю регулярності.

Потік подій називається стаціонарним, якщо ймовірність попадання будь-якого числа подій на проміжок часу залежить тільки від довжини цього проміжку і не залежить від того, як далеко розташований цей проміжок від початку часу. Стаціонарність потоку означає незалежність від часу його імовірнісних характеристик, зокрема інтенсивність такого потоку є середня кількість подій в одиницю часу і залишається величиною постійної. Насправді зазвичай потоки можуть вважатися стаціонарними лише з деякому обмеженому проміжку часу. Зазвичай потік покупців, наприклад, у магазині суттєво змінюється протягом робочого дня. Однак можна виділити певні часові інтервали, всередині яких цей потік можна розглядати як стаціонарний, що має постійну інтенсивність.

Потік подій називається потоком без наслідки, якщо кількість подій, що потрапляють на один із довільно вибраних проміжків часу, не залежить від кількості подій, що потрапили на інший, також довільно вибраний проміжок за умови, що ці проміжки не перетинаються між собою. У потоці без наслідку події виникають у послідовні моменти часу незалежно друг від друга. Наприклад, потік покупців, що входять до магазину, можна вважати потоком без наслідків тому, що причини, що зумовили прихід кожного з них, не пов'язані з аналогічними причинами для інших покупців.

Потік подій називається ординарним, якщо ймовірність попадання на дуже малий відрізок часу одразу двох або більше подій зневажливо мала порівняно з ймовірністю попадання лише однієї події. В простому потоці події відбуваються поодинці, а не по два або більше разів. Якщо потік одночасно має властивості стаціонарності, ординарності та відсутність наслідку, то такий потік називається найпростішим (або пуассонівським) потоком подій. Математичний опис впливу такого потоку на системи виявляється найпростішим. Тому, найпростіший потік грає серед інших існуючих потоків особливу роль.

Розглянемо на осі часу певний проміжок часу t. Припустимо, ймовірність попадання випадкової події на цей проміжок p, а повна кількість можливих подій - п. За наявності властивості ординарності потоку подій ймовірність р повинна бути досить малою величиною, а я - досить великою кількістю, оскільки розглядаються масові явища. У цих умовах для обчислення ймовірності попадання на проміжок часу t деякої кількості подій т можна скористатися формулою Пуассона:

P m, n = a m _e -a; (m=0,n),

де величина а = пр - середня кількість подій, що потрапляють на проміжок часу t, яке можна визначити через інтенсивність потоку подій Xнаступним чином: a = λ τ

Розмір інтенсивності потоку X є середнє число подій в одиницю часу. Між п і λ, р і τ є наступний зв'язок:

де t- весь проміжок часу, на якому розглядається дія потоку подій.

Необхідно визначити розподіл інтервалу часу Т між подіями у такому потоці. Оскільки це випадкова величина, то знайдемо її функцію розподілу. Як відомо з теорії ймовірностей, інтегральна функція розподілу F(t) є ймовірність того, що величина T буде меншою за час t.

За умовою протягом часу T не має відбутися жодної події, а на інтервалі часу t має з'явитися хоча б одна подія. Ця ймовірність обчислюється з допомогою ймовірності протилежної події на проміжку часу (0; t), куди потрапило жодної події, тобто. m= 0, тоді

F(t)=1-P 0 =1-(a 0 *e -a)0!=1-e -Xt ,t≥0

Для малих ∆tможна отримати наближену формулу, одержувану заміною функції e - Xt , тільки двома членами розкладання в ряд за ступенями ∆t, тоді ймовірність попадання на малий проміжок часу ∆t хоча б однієї події становить

P(T<∆t)=1-e - λ t ≈1- ≈ λΔt

Щільність розподілу проміжку часу між двома послідовними подіями отримаємо, продиференціювавши F(t) за часом,

f(t)= λe- λ t ,t≥0

Користуючись отриманою функцією щільності розподілу, можна одержати числові характеристики випадкової величини Т: математичне очікування М (Т), дисперсію D(T) та середнє відхилення квадратне σ(Т).

М(Т)= λ ∞ ∫ 0 t*e - λt *dt=1/λ; D(T)=1/ λ 2 ; σ(T)=1/ λ .

Звідси можна зробити наступний висновок: середній інтервал часу Т між будь-якими двома сусідніми подіями в найпростішому потоці в середньому дорівнює 1/λ, і його середнє квадратичне відхилення також дорівнює 1/λ, де, - інтенсивність потоку, тобто. середня кількість подій, що відбуваються в одиницю часу. Закон розподілу випадкової величини, що має такі властивості М(Т) = Т, називається показовим (або експоненціальним), а величина λ є параметром цього показового закону. Таким чином, для найпростішого потоку математичне очікування інтервалу часу між сусідніми подіями дорівнює його середньоквадратичному відхиленню. У цьому випадку ймовірність того, що кількість заявок, що надходять на обслуговування за проміжок часу t, дорівнює до визначається за законом Пуассона:

P k (t) = (λt) k / k! *e -λ t ,

де λ - інтенсивність надходження потоку заявок, середня кількість подій у СМО за одиницю часу, наприклад [чол/хв; руб./год; чеків/годину; докум./день; кг./година; т. / Рік].

Для такого потоку заявок час між двома сусідніми заявками Т розподілено експоненційно із щільністю ймовірності:

ƒ(t)= λe - λ t.

Випадковий час очікування в черзі початку обслуговування t оч також можна вважати розподіленим експоненційно:

ƒ (t оч) = V * e - v t оч,

де v - інтенсивність потоку проходу черги, що визначається середнім числом заявок, що проходять обслуговування в одиницю часу:

де Т оч – середній час очікування обслуговування у черзі.

Вихідний потік заявок пов'язаний з потоком обслуговування в каналі, де тривалість обслуговування t обс також випадковою величиною і підпорядковується в багатьох випадках показовому закону розподілу з щільністю ймовірності:

ƒ(t обс)=µ*е µ t обс,

де - інтенсивність потоку обслуговування, тобто. середня кількість заявок, що обслуговуються в одиницю часу:

µ=1/ t обс [чол/хв; руб./год; чеків/годину; докум./день; кг./година; т./рік] ,

де t обс – середній час обслуговування заявок.

Важливою характеристикою СМО, що поєднує показники λі µ є інтенсивність навантаження: ρ= λ/ µ, яка показує ступінь узгодження вхідного і вихідного потоків заявок каналу обслуговування і визначає стійкість системи масового обслуговування.

Крім поняття найпростішого потоку подій, часто доводиться користуватися поняттями потоків інших типів. Потік подій називається потоком Пальма, коли в цьому потоці проміжки часу між послідовними подіями T 1 , T 2 , ..., Т k ..., Т n є незалежними, однаково розподіленими, випадковими величинами, але на відміну від найпростішого потоку не обов'язково розподіленими за показовим законом. Найпростіший потік є окремим випадком потоку Пальма.

Важливим окремим випадком потоку Пальма є так званий потік Ерланга.

Цей потік виходить «проріджування» найпростішого потоку. Таке «проріджування» здійснюється шляхом відбору за певним правилом подій із найпростішого потоку.

Наприклад, умовившись враховувати тільки кожну другу подію з тих, що утворюють найпростіший потік, ми отримаємо потік Ерланга другого порядку. Якщо брати тільки кожну третю подію, утворюється потік Ерланга третього порядку і т.д.

Можна отримати потоки Ерланга будь-якого порядку. Очевидно, найпростішим потоком є ​​потік Ерланга першого порядку.

Будь-яке дослідження системи масового обслуговування починається з вивчення того, що необхідно обслуговувати, отже, з вивчення вхідного потоку заявок та його характеристик.

Оскільки моменти часу tі інтервали часу надходження заявок τ, потім тривалість операцій обслуговування t обс і час очікування в черзі t оч, а також довжина черги l оч - випадкові величини, то, отже, характеристики стану СМО мають ймовірнісний характер, а для їх опису слідує застосовувати методи та моделі теорії масового обслуговування.

Наведені вище характеристики до, τ, λ, L оч, Т оч, v, t обс, µ, р, Р k є найбільш загальними для СМО, які є зазвичай лише деякою частиною цільової функції, оскільки необхідно враховувати ще й показники комерційної діяльності.

1.3 Графи станів СМО

При аналізі випадкових процесів із дискретними станами та безперервним часом зручно користуватися варіантом схематичного зображення можливих станів СMO (рис. 6.2.1) у вигляді графа з розміткою його можливих фіксованих станів. Стан СМО зображуються зазвичай або прямокутниками, або кружками, а можливі напрямки переходів з одного стану в інший орієнтовані стрілками, що з'єднують ці стани. Наприклад, розмічений граф станів одноканальної системи випадкового процесу обслуговування у газетному кіоску наведено на рис. 1.3.

12

Рис. 1.3. Розмічений граф станів СМО

Система може бути в одному з трьох станів: S 0 -канал вільний, простоює, S 1 - канал зайнятий обслуговуванням, S 2 - канал зайнятий обслуговуванням і одна заявка в черзі. Перехід системи зі стану S 0 в S l відбувається під впливом найпростішого потоку заявок інтенсивністю 01 а зі стану S l в стан S 0 систему переводить потік обслуговування з інтенсивністю 01 . Граф станів системи обслуговування із проставленими інтенсивностями потоків у стрілок називається розміченим. Оскільки перебування системи в тому чи іншому стані носить імовірнісний характер, то ймовірність: p i (t) того, що система перебуватиме в стані S i в момент часу t, називається ймовірністю i-го стану СМО і визначається числом заявок, що надійшли k на обслуговування.

Випадковий процес, що відбувається в системі, полягає в тому, що у випадкові моменти часу t 0 , t 1 , t 2 ,..., t k ,..., t n система виявляється в тому чи іншому заздалегідь відомому дискретному стані послідовно. Така. випадкова послідовність подій називається Марківським ланцюгом, якщо для кожного кроку ймовірність переходу з одного стану S t в будь-який інший Sjне залежить від того, коли і як система перейшла в стан S t . Описується марківський ланцюг за допомогою ймовірності станів, причому вони утворюють повну групу подій, тому їхня сума дорівнює одиниці. Якщо ймовірність переходу не залежить від номера до, то марківський ланцюг називається однорідним. Знаючи початковий стан системи обслуговування, можна знайти ймовірності станів для будь-якого значення до числа заявок, що надійшли на обслуговування.

1.4 Випадкові процеси

Перехід СМО з одного стану в інший відбувається випадковим чином і є випадковим процесом. Робота СМО - випадковий процес із дискретними станами, оскільки його можливі стани у часі можна заздалегідь перерахувати. Причому перехід з одного стану в інший, відбувається стрибкоподібно, у випадкові моменти часу, тому він називається процесом з безперервним часом. Таким чином, робота СМО є випадковим процесом з дискретними станами і безперервним; часом. Наприклад, у процесі обслуговування оптових покупців на фірмі «Кристал» у Москві можна фіксувати наперед усі можливі стани найпростіших. СМО, що входять у весь цикл, комерційного обслуговування від моменту укладання договору на поставку лікеро-горілчаної продукції, її оплати, оформлення документів, відпустки та отримання продукції, довантаження та вивезення зі складу готової продукції.

З безлічі різновидів випадкових процесів найбільшого поширення у комерційної діяльності набули такі процеси, котрим будь-якої миті часу характеристики процесу у майбутньому залежать лише з його стану зараз і залежать від передісторії - від минулого. Наприклад, можливість отримання із заводу «Кристал» лікеро-горілчаної продукції залежить від наявності її складі готової продукції, тобто. його стану в даний момент, і не залежить від того, коли і як отримували та відвозили у минулому цю продукцію інші покупці.

Такі випадкові процеси називаються процесами без наслідку, або марківськими, у яких за фіксованого теперішнього майбутнього стану СМО не залежить від минулого. Випадковий процес, що протікає в системі, називається марковським випадковим процесом, або «процесом без наслідку», якщо він має наступну властивість: для кожного моменту часу t 0 ймовірність будь-якого стану t > t 0 системи S i - в майбутньому (t>t Q ) залежить тільки від її стану в теперішньому (при t = t 0) і не залежить від того, коли і яким чином система прийшла до цього стану, тобто. від того, як розвивався процес у минулому.

Марківські випадкові процеси поділяються на два класи: процеси з дискретними та безперервними станами. Процес з дискретними станами виникає в системах, що володіють лише деякими фіксованими станами, між якими можливі стрибкоподібні переходи в деякі заздалегідь не відомі моменти часу. Розглянемо приклад процесу із дискретними станами. В офісі фірми є два телефони. Можливі такі стани цієї системи обслуговування: S o -телефони вільні; S l - один із телефонів зайнятий; S 2 - обидва телефони зайняті.

Процес, що протікає в цій системі, полягає в тому, що система випадково переходить стрибком з одного дискретного стану в інший.

Процеси з безперервними станами відрізняються безперервним плавним переходом з одного стану до іншого. Ці процеси більш характерні для технічних пристроїв, ніж для економічних об'єктів, де зазвичай лише приблизно можна говорити про безперервність процесу (наприклад, безперервне витрачання запасу товару), тоді як фактично процес має дискретний характер. Тому далі ми розглядатимемо лише процеси з дискретними станами.

Марківські випадкові процеси з дискретними станами у свою чергу поділяються на процеси з дискретним часом та процеси з безперервним часом. У першому випадку переходи з одного стану до іншого відбуваються лише у певні, заздалегідь фіксовані моменти часу, тоді як у проміжки між цими моментами система зберігає свій стан. У другому випадку перехід системи зі стану в стан може відбуватися у будь-який довільний момент часу.

Насправді процеси з безперервним часом зустрічаються значно частіше, оскільки переходи системи з одного стану до іншого зазвичай відбуваються над якісь фіксовані моменти часу, а будь-які випадкові моменти часу.

Для опису процесів з безперервним часом використовується модель у вигляді так званого марківського ланцюга з дискретними станами системи або безперервним марківським ланцюгом.

Глава II . Рівняння, що описують системи масового обслуговування

2.1 Рівняння Колмогорова

Розглянемо математичний опис марковського випадкового процесу з дискретними станами системи S o , S l , S 2 (див. рис. 6.2.1) та безперервним часом. Вважаємо, що всі переходи системи масового обслуговування зі стану S i стан Sj відбуваються під впливом найпростіших потоків подій з інтенсивностями λ ij , а зворотний перехід під впливом іншого потоку λ ij ,. Введемо позначення p i як ймовірність того, що в момент часу t система знаходиться у стані S i . Для будь-якого моменту часу tсправедливо записати нормувальну умову-сума ймовірностей усіх станів дорівнює 1:

Σp i (t) = p 0 (t) + p 1 (t) + p 2 (t) = 1

Проведемо аналіз системи в момент часу t, задавши мале збільшення часу Δt, і знайдемо ймовірність р 1 (t+ Δt) того, що система в момент часу (t+ Δt) перебуватиме в стані S 1 яке досягається різними варіантами:

а) система в момент t з ймовірністю p 1 (t) перебувала в стані S 1 і за мале збільшення часу Δt так і не перейшла в інший сусідній стан - ні в S 0, ні bS 2 . Вивести систему зі стану S 1 можна сумарним найпростішим потоком з інтенсивністю (λ 10 +λ 12), оскільки суперпозиція найпростіших потоків також є найпростішим потоком. На цій підставі ймовірність виходу зі стану S 1 за малий проміжок часу Δt приблизно дорівнює (λ 10 +λ 12)* Δt. Тоді ймовірність невиходу з цього стану дорівнює. Відповідно до цього ймовірність того, що система залишиться в стані Siна підставі теореми множення ймовірностей, дорівнює:

p 1 (t);

б)система знаходилася в сусідньому стані S o і за малий час Δt перейшла в стан S o Перехід системи відбувається під впливом потоку λ 01 з ймовірністю, що приблизно дорівнює λ 01 Δt

Імовірність того, що система перебуватиме в стані S 1 у цьому варіанті дорівнює p o (t)λ 01 Δt;

в) система знаходилася в стані S 2 і за час Δt перейшла в стан S 1 під впливом потоку інтенсивністю 21 з ймовірністю, приблизно рівної 21 t. Імовірність того, що система перебуватиме в стані S 1 дорівнює p 2 (t) λ 21 Δt.

Застосовуючи теорему складання ймовірностей цих варіантів, отримаємо вираз:

p 2 (t+Δt)= p 1 (t) + po (t)λ 01 Δt+p 2 (t) λ 21 Δt ,

яке можна записати інакше:

p 2 (t+Δt)-p 1 (t)/ Δt= po (t)λ 01 + p 2 (t) λ 21 - p 1 (t) (λ 10 +λ 12) .

Переходячи до межі при Δt-> 0, наближені рівності перейдуть у точні, і тоді отримаємо похідну першого порядку

dp 2 /dt= p 0 λ 01 +p 2 λ 21 -p 1 (λ 10 +λ 12) ,

що є диференціальним рівнянням.

Проводячи міркування аналогічно всім інших станів системи, отримаємо систему диференціальних рівнянь, які називаються рівняннями А.Н. Колмогорова:

dp 0 /dt= p 1 λ 10 ,

dp 1 /dt= p 0 λ 01 +p 2 λ 21 -p 1 (λ 10 +λ 12) ,

dp 2 /dt= p 1 λ 12 +p 2 λ 21 .

Для складання рівнянь Колмогорова є загальні правила.

Рівняння Колмогорова дозволяють обчислити всі ймовірності станів СМО S i функції часу p i (t). Теоретично випадкових процесів показано, що й кількість станів системи звісно, ​​та якщо з них можна перейти у будь-який інший стан, то існують граничні (фінальні) ймовірності станів, які вказують на середню відносну величину часу перебування системи, у цьому стані. Якщо гранична ймовірність стану S 0 - дорівнює p 0 = 0,2, то, отже, в середньому 20% часу, або 1/5 робочого часу, система знаходиться в стані S o . Наприклад, за відсутності заявок обслуговування до = 0, р 0 = 0,2,; отже, в середньому 2 години на день система знаходиться в стані S o і простоює, якщо тривалість робочого дня становить 10 годин.

Оскільки граничні ймовірності системи постійні, то замінивши в рівняннях Колмогорова відповідні похідні нульовими значеннями, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, що описують стаціонарний режим СМО Таку систему рівнянь складають за розміченим графом станів СМО за наступним правилам: ліворуч від знака рівності в рівнянні стоїть гранична ймовірність р i аналізованого стану Siпомножена на сумарну інтенсивність всіх потоків, що виводять (виходять стрілки) виданого стану S i систему, а праворуч від знака рівності - сума творів інтенсивності всіх потоків, що входять (входять стрілки) в стан Siсистему, на ймовірність тих станів, у тому числі ці потоки виходять. Для вирішення подібної системи необхідно додати ще одне рівняння, що визначає нормувальну умову, оскільки сума ймовірностей усіх станів СМО дорівнює 1: n

Наприклад, для СМО, що має розмічений граф із трьох станів S o , S 1 , S 2 рис. 6.2.1, система рівнянь Колмогорова, складена на основі викладеного правила, має такий вигляд:

Для стану S o → p 0 λ 01 = p 1 λ 10

Для стану S 1 →p 1 (λ 10 +λ 12) = p 0 λ 01 +p 2 λ 21

Для стану S 2 → p 2 λ 21 = p 1 λ 12

p 0 +p 1 +p 2 =1

dp 4 (t)/dt=34 p 3 (t) - 43 p 4 (t) ,

p 1 (t) + p 2 (t) + p 3 (t) + p 4 (t) = 1 .

До цих рівнянь слід додати ще початкові умови. Наприклад, якщо при t = 0 система S перебуває у стані S 1, то початкові умови можна записати так:

p 1 (0) = 1, p 2 (0) = p 3 (0) = p 4 (0) = 0 .

Переходи між станами СМО відбувається під впливом надходження заявок та їх обслуговування. Імовірність переходу у разі, якщо потік подій найпростіший, визначається ймовірністю появи події протягом Δt часу, тобто. величиною елемента ймовірності переходу λ ij Δt, де λ ij - інтенсивність потоку подій, що переводять систему зі стану i стан і (за відповідною стрілкою на графі станів).

Якщо всі потоки подій, що переводять систему з одного стану в інший, найпростіші, то процес, що протікає в системі, буде випадковим марківським процесом, тобто. процесом без наслідків. У цьому випадку поведінка системи досить проста, визначається, якщо відомі інтенсивність усіх цих найпростіших потоків подій. Наприклад, якщо в системі протікає марківський випадковий процес з безперервним часом, то, записавши систему рівнянь Колмогорова для ймовірностей станів та проінтегрувавши цю систему за заданих початкових умов, отримаємо всі ймовірності станів як функції часу:

p i (t), p 2 (t), ..., p n (t) .

У багатьох випадках на практиці виявляється, що ймовірності станів як функції часу поводяться таким чином, що існує

lim pi (t) = pi (i = 1,2, ..., n); t→∞

незалежно від виду початкових умов. У цьому випадку кажуть, що існують граничні ймовірності станів системи при t->∞ і в системі встановлюється певний граничний стаціонарний режим. При цьому система випадковим чином змінює свої стани, але кожен з цих станів здійснюється з деякою постійною ймовірністю, що визначається середнім часом перебування системи в кожному стані.

Обчислити граничні ймовірності стану р i можна, якщо в системі покласти усі похідні рівними 0, оскільки в рівняннях Колмогорова при t-> ∞ залежність від часу зникає. Тоді система диференціальних рівнянь перетворюється на систему Звичайних лінійних рівнянь алгебри, яка спільно з нормувальною умовою дозволяє обчислити всі граничні ймовірності станів.

2.2 Процеси «народження – загибелі»

Серед однорідних марківських процесів є клас випадкових процесів, що мають широке застосування при побудові математичних моделейу галузях демографії, біології, медицини (епідеміології), економіки, комерційної діяльності. Це звані процеси «народження - загибелі», марківські процеси зі стохастичними графами станів наступного виду:

S 3

kjlS n

μ 0 μ 1 μ 3 μ 4 μ n-1

Рис. 2.1 Розмічений граф процесу «народження – загибелі»

Цей граф відтворює відому біологічну інтерпретацію: величина k відображає інтенсивність народження нового представника деякої популяції, наприклад, кроликів, причому поточний обсяг популяції дорівнює k; величина є інтенсивністю загибелі (продажу) одного представника цієї популяції, якщо поточний обсяг популяції дорівнює k. Зокрема, популяція може бути необмеженою (число n станів марківського процесу є нескінченним, але рахунковим), інтенсивність λ може дорівнювати нулю (популяція без можливості відродження), наприклад, при припиненні відтворення кроликів.

Для Марківського процесу «народження – загибелі», описаного стохастичним графом, наведеним на рис. 2.1, знайдемо фінальний розподіл. Користуючись правилами складання рівнянь для кінцевого числа n граничних ймовірностей стану системи S 1 , S 2 , S 3 ,… S k ,…, S n , складемо відповідні рівняння для кожного стану:

для стану S 0 -λ 0 p 0 = μ 0 p 1;

для стану S 1 -(λ 1 +μ 0)p 1 = λ 0 p 0 +μ 1 p 2 , яке з урахуванням попереднього рівняння для стану S 0 можна перетворити на вигляд λ 1 р 1 = μ 1 p 2 .

Аналогічно можна скласти рівняння для інших станів системи S 2 , S 3 ..., S k ..., S n . В результаті отримаємо наступну систему рівнянь:

Вирішуючи цю систему рівнянь, можна отримати вирази, що визначають фінальні стани системи масового обслуговування:

Слід зазначити, що формули визначення фінальних ймовірностей станів р 1 , р 2 , р 3 ,…, р n , входять доданки, що є складовоюсуми виразу, що визначає р0. У чисельниках цих доданків знаходяться твори всіх інтенсивностей, що стоять у стрілок графа станів, що ведуть ліворуч на право до стану S k , а знаменники являють собою твори всіх інтенсивностей, що стоять у стрілок, що ведуть праворуч на ліво до розглянутого стану S k , тобто . μ 0 , μ 1 , μ 2 , μ 3 , ... μ k . У зв'язку з цим запишемо ці моделі у більш компактному вигляді:

до=1,n

2.3 Економіко-математична постановка задач масового обслуговування

Правильна чи найбільш вдала економіко-математична постановка завдання значною мірою визначає корисність рекомендацій щодо вдосконалення систем масового обслуговування у комерційній діяльності.

У зв'язку з цим необхідно ретельно проводити спостереження за процесом у системі, пошуку та виявлення суттєвих зв'язків, формування проблеми, виділення мети, визначення показників та виділення економічних критеріївоцінки роботи СМО В цьому випадку як найбільш загальний, інтегральний показник можуть виступати витрати, з одного боку, СМО комерційної діяльності як обслуговуючої системи, а з іншого – витрати заявок, які можуть мати різну за своїм фізичним змістом природу.

Підвищення ефективності в будь-якій сфері діяльності К. Маркс зрештою розглядав як економію часу та вбачав у цьому один із найважливіших економічних законів. Він писав, що економія часу, так само як і планомірний розподіл робочого часу за різними галузями виробництва, залишається першим економічним законом на основі колективного виробництва. Цей закон проявляється у всіх сферах суспільної діяльності.

Для товарів, зокрема і коштів, що у комерційну сферу, критерій ефективності пов'язані з часом і швидкістю звернення товарів хороших і визначає інтенсивність надходження коштів у банк. Час та швидкість обігу, будучи економічними показниками комерційної діяльності, характеризує ефективність використання коштів, вкладених у товарні запаси. Товарообіг відбиває середню швидкість реалізації середнього товарного запасу. Показники товарообігу та рівня запасів тісно пов'язані відомими моделями. Таким чином, можна простежити та встановити взаємозв'язок цих та інших показників комерційної діяльності з тимчасовими характеристиками.

Отже, ефективність роботи комерційного підприємства або організації складається з сукупності часу виконання окремих операцій обслуговування, в той же час для населення витрати часу включають час на дорогу, відвідування магазину, їдальні, кафе, ресторану, очікування на початок обслуговування, ознайомлення з меню, вибір продукції, розрахунок і т.д. Проведені дослідження структури витрат часу населення свідчить, що значна його частина витрачається нераціонально. Зауважимо, що комерційна діяльністьзрештою спрямовано задоволення потреби людини. Тому зусилля моделювання СМО повинні включати аналіз витрат часу щодо кожної елементарної операції обслуговування. За допомогою відповідних методів слід створювати моделі зв'язку показників СМО. Це обумовлює необхідність найбільш загальні та відомі економічні показники, такі як товарообіг, прибуток, витрати обігу, рентабельність та інші, пов'язувати в економіко-математичних моделях з додатковою групою показників, що визначаються специфікою обслуговуючих систем і вносяться власне специфікою теорії масового обслуговування.

Наприклад, особливостями показників СМО з відмовами є: час очікування заявок у черзі Т оч =0, оскільки за своєю природою в таких системах існування черги неможливе, то L оч =0 і, отже, ймовірність її утворення Р оч =0. За кількістю заявок k визначаться режим роботи системи, її стан: при k=0 – простий каналів, при 1 n – обслуговування та відмова. Показниками таких СМО є можливість відмови в обслуговуванні Р отк, можливість обслуговування Р обс, середній час простою каналу t пр, середня кількість зайнятих n з і вільних каналів n св, середнє обслуговування t обс, абсолютна пропускна здатність А.

Для СМО з необмеженим очікуванням характерно, що можливість обслуговування заявки Р обс =1, оскільки довжина черги і час очікування початку обслуговування не обмежені, тобто. формально L оч →∞ і Т оч →∞. У системах можливі такі режими роботи: при k=0 спостерігається простий канал обслуговування, при 1 n – обслуговування та черга. Показниками таких ефективності таких СМО є середня кількість заявок у черзі L оч, середня кількість заявок у системі k, середній час перебування заявки у системі Т смо, абсолютна пропускна спроможність А.

У СМО з очікуванням з обмеженням на довжину черги, якщо кількість заявок у системі k=0, то спостерігається простий каналів, при 1 n+m- обслуговування, черга та відмова в очікуванні обслуговування. Показниками ефективності таких СМО є ймовірність відмови в обслуговуванні Р отк - ймовірність обслуговування Р обс, середня кількість заявок в черзі L оч, середня кількість заявок в системі L СМО середній час перебування заявки в системі Т СМО, абсолютна пропускна спроможність А.

Отже, перелік характеристик систем масового обслуговування можна наступним чином: середній час обслуговування – t обс; середній час очікування у черзі – Т оч; середнє перебування У СМО - Т смо; середня довжина черги – L оч; середня кількість заявок в СМО-L смо; кількість каналів обслуговування – n; інтенсивність вхідного потоку заявок – λ; інтенсивність обслуговування – μ; інтенсивність навантаження – ρ; коефіцієнт навантаження -?; відносна пропускна здатність – Q; абсолютна пропускна здатність – А; частка часу простою в СМО - Р 0; частка обслужених заявок – Р обс; частка втрачених заявок - Р отк, середня кількість зайнятих каналів - n з; середня кількість вільних каналів - n св; коефіцієнт завантаження каналів - К з; середній час простою каналів - t ін.

Слід зазначити, що іноді досить використовувати до десяти основних показників, щоб виявити слабкі місця та розробити рекомендації щодо вдосконалення СМО.

Це часто пов'язано з вирішенням питань узгодженої роботи ланцюжка або сукупностей СМО.

Наприклад, у комерційній діяльності необхідно враховувати ще й економічні показники СМО: загальні витрати – С; витрати звернення – С ио, витрати споживання – З ип, Витрати обслуговування однієї заявки – З 1 , збитки, пов'язані з відходом заявки, - З у1 , Витрати експлуатацію каналу – С к, витрати простою каналу – С пр, капітальні вкладення – С кап, наведені річні витрати - С пр, поточні витрати - С тек, дохід СМО в одиницю часу - Д 1

У процесі постановки завдань необхідно розкрити взаємозв'язки показників СМО, які за своєю базовою приналежністю можна розділити на дві групи: перша пов'язана з витратами обігу С іо, які визначаються кількістю зайнятих обслуговуванням каналів, витратами на зміст СМО, інтенсивністю обслуговування, ступенем завантаження каналів, ефективністю їх використання, пропускною здатністю СМО та ін; друга група показників визначається витратами власне заявок З іп, що надходять на обслуговування, які утворюють вхідний потік, відчувають ефективність обслуговування і пов'язані з такими показниками, як довжина черги, час очікування обслуговування, можливість відмови в обслуговуванні, час перебування заявки в СМО та ін.

Ці групи показників суперечливі тому, що поліпшення показників однієї групи, наприклад, скорочення довжини черги чи часу очікування у черзі шляхом захоплення числа каналів обслуговування (офіціантів, кухарів, вантажників, касирів), пов'язані з погіршенням показників групи, оскільки це може призвести до збільшення часу простоїв каналів обслуговування, витрат за їх утримання тощо. У зв'язку з цим формалізації завдань обслуговування цілком природним є прагнення побудувати СМО таким чином, щоб встановити розумний компроміс між показниками власне заявок та повнотою використання можливостей системи. З цією метою необхідно вибрати узагальнений, інтегральний показник ефективності СМО, що включає одночасно претензії та можливості обох груп. В якості такого показника може бути обраний критерій економічної ефективності, що включає як витрати звернення С іо, так і витрати заявок С іп, які будуть мати оптимальне значення при мінімумі загальних витрат С.

С= (З іо +З іп) →min

Оскільки витрати звернення включають витрати, пов'язані з експлуатацією СМО - С екс і простоєм каналів обслуговування - С пр, а витрати заявок включають втрати, пов'язані з відходом не обслужених заявок - С нз, і з перебуванням у черзі - С оч, тоді цільову функцію можна переписати з урахуванням цих показників таким чином:

С=((З пр n св +З екз n з)+С оч Р обс λ(Т оч +t обс)+С з Р отк λ)→min.

Залежно від поставленого завдання як варіювані, тобто керовані, показники можуть бути: кількість каналів обслуговування, організація каналів обслуговування (паралельно, послідовно, змішаним чином), дисципліна черги, пріоритетність обслуговування заявок, взаємодопомога між каналами та ін. Частина показників задачі фігурує як некеровані, які зазвичай є вихідними даними. В якості критерію ефективності цільової функції можуть бути так само товарообіг, прибуток, або дохід, наприклад, рентабельність, тоді оптимальні значення керованих показників СМО знаходяться очевидно, вже при максимізації, як у попередньому варіанті.

У деяких випадках слід користуватися іншим варіантом запису цільової функції:

С=(З екз n з +C пр (n-n з)+C відк *Р отк *λ+С сист * n з )→min

Як загальний критерій може бути обраний, наприклад, рівень культури обслуговування покупців на підприємствах, тоді цільова функція може бути представлена ​​наступною моделлю:

До об =[(З пу *К у)+(З пв *К в)+(З пд *К д)+(З пз *К з)+(З по *К 0)+(З кт *К кт )]*До мп,

де З пу - значимість показника стійкості асортименту товарів;

К у – коефіцієнт стійкості асортименту товарів;

З пв - значимість показника впровадження прогресивних методів продажу товарів;

К – коефіцієнт впровадження прогресивних методів продажу товарів;

З пд - значимість показника додаткового обслуговування;

К д - Коефіцієнт додаткового обслуговування;

З пз - значимість показника завершеності покупки;

К з - коефіцієнт завершеності покупки;

З по - значимість показника витрат часу очікування обслуговування;

К о – показник витрат часу очікування обслуговування;

З кт - значимість показника якості праці колективу;

К кт – коефіцієнт якості праці колективу;

К мп – показник культури обслуговування на думку покупців;

Для аналізу СМО можна обирати інші критерії оцінки ефективності роботи СМО. Наприклад, як такий критерій для систем з відмовими можна вибирати ймовірність відмови Р отк, значення якого не перевищувало б заздалегідь заданої величини. Наприклад, вимога Р відк<0,1 означает, что не менее чем в 90% случаев система должна справляться с обслуживанием потока заявок при заданной интенсивности λ. Можно ограничить среднее время пребывания заявки в очереди или в системе. В качестве показателей, подлежащих определению, могут выступать: либо число каналов n при заданной интенсивности обслуживания μ, либо интенсивность μ при заданном числе каналов.

Після побудови цільової функції необхідно визначити умови вирішення завдання, знайти обмеження, встановити вихідні значення показників, виділити некеровані показники, побудувати або підібрати сукупність моделей взаємозв'язку всіх показників для аналізованого типу СМО, щоб зрештою знайти оптимальні значення керованих показників, наприклад кількість кухарів, офіціантів , касирів, вантажників, обсяги складських приміщень та ін.

Глава III . Моделі систем масового обслуговування

3.1 Одноканальна СМО з відмовами в обслуговуванні

Проведемо аналіз простої одноканальної СМО з відмовими в обслуговуванні, на яку надходить пуасонівський потік заявок з інтенсивністю λ, а обслуговування відбувається під дією пуассонівського потоку з інтенсивністю μ.

Роботу одноканальної СМО n=1 можна подати у вигляді розміченого графа станів (3.1).

Переходи СМО з одного стану S 0 до іншого S 1 відбуваються під дією вхідного потоку заявок з інтенсивністю λ, а зворотний перехід - під дією потоку обслуговування з інтенсивністю μ.

S 0

S 1

S0 – канал обслуговування вільний; S 1 - канал зайнятий обслуговуванням;

Рис. 3.1 Розмічений граф станів одноканальної СМО

Запишемо систему диференціальних рівнянь Колмогорова для ймовірностей стану за викладеними вище правилами:

Звідки отримаємо диференціальне рівняння визначення ймовірності р 0 (t) стану S 0:

Це рівняння можна вирішити за початкових умов у припущенні, що система в момент t=0 перебувала у стані S 0 тоді р 0 (0)=1, р 1 (0)=0.

У цьому випадку рішення диференціального рівняння дозволяє визначити ймовірність того, що канал вільний і не зайнятий обслуговуванням:

Тоді неважко отримати вираз для ймовірності визначення ймовірності зайнятості каналу:

Імовірність р 0 (t) зменшується з плином часу і в межах при t→∞ прагне величини

а ймовірність р 1 (t) водночас збільшується від 0, прагнучи межі при t→∞ до величини

Ці межі ймовірностей можна отримати безпосередньо з рівнянь Колмогорова за умови

Функції р 0 (t) і р 1 (t) визначають перехідний процес в одноканальній СМО і описують процес експоненційного наближення СМО до свого граничного стану з постійною часу характерною для системи, що розглядається.

З достатньою для практики точністю вважатимуться, що перехідний процес у СМО закінчується протягом часу, що дорівнює 3τ.

Імовірність р 0 (t) визначає відносну пропускну здатність СМО, яка визначає частку заявок, що обслуговуються по відношенню до повного числа заявок, що надходять, в одиницю часу.

Дійсно, р 0 (t) є ймовірність того, що заявка, яка надійшла в момент t, буде прийнята до обслуговування. Усього в одиницю часу приходить у середньому λ заявок і з них обслуговується λр 0 заявок.

Тоді частка заявок, що обслуговуються, по відношенню до всього потоку заявок визначаться величиною

У межі при t→∞ практично вже при t>3τ значення відносної пропускної спроможності дорівнюватиме

Абсолютна пропускна здатність, що визначає кількість заявок, що обслуговуються в одиницю часу в межах при t→∞, дорівнює:

Відповідно частка заявок, які отримали відмову, становить у цих самих граничних умовах:

а загальна кількість необслуговуваних заявок дорівнює

Прикладами одноканальних СМО з відмовами в обслуговуванні є стіл замовлень у магазині, диспетчерська автотранспортного підприємства, контора складу, офіс управління комерційної фірми, з якими встановлюється зв'язок по телефону.

3.2 Багатоканальна СМО з відмовами в обслуговуванні

У комерційній діяльності прикладами багатоканальних СМО є офіси комерційних підприємств з кількома телефонними каналами, безкоштовна довідкова служба з наявності в автомобільних магазинах найдешевших автомобілів у Москві має 7 телефонних номерів, а додзвонитися та отримати довідку, як відомо, дуже важко.

Отже, авто магазини втрачають клієнтів, можливість збільшити кількість проданих автомобілів та виручку від продажів, товарообіг, прибуток.

Туристичні фірми з продажу путівок мають два, три, чотири та більше каналів, як, наприклад, фірма Express-Line.

Розглянемо багатоканальну СМО з відмовами в обслуговуванні на рис. 3.2 на вхід якої надходить пуасонівський потік заявок з інтенсивністю λ.

S 0

S 1

S k

S n

μ 2μkμ (k+1)μ nμ

Рис. 3.2. Розмічений граф станів багатоканальної СМО із відмовами

Потік обслуговування у кожному каналі має інтенсивність μ. За кількістю заявок СМО визначаються її стани S k представлені у вигляді розміченого графа:

S 0 - всі канали вільні k = 0,

S 1 – зайнятий лише один канал, k=1,

S 2 – зайняті лише два канали, k=2,

S k – зайняті до каналів,

S n – зайняті все n каналів, k = n.

Стани багатоканальної СМО змінюються стрибкоподібно у випадкові моменти часу. Перехід з одного стану, наприклад S 0 S 1 , відбувається під впливом вхідного потоку заявок з інтенсивністю λ, а назад - під впливом потоку обслуговування заявок з інтенсивністю μ. Для переходу системи зі стану S k в S k -1 байдуже, який саме з каналів звільнитися, тому потік подій, що переводить СМО, має інтенсивність kμ, отже, потік подій, що переводить систему з S n в S n -1 має інтенсивність nμ . Так формулюється класичне завдання Ерланга, названа на ім'я датського інженера - математика-засновника теорії масового обслуговування.

Випадковий процес, що протікає в СМО, є окремим випадком процесу «народження- загибелі» і описується системою диференціальних рівнянь Ерланга, які дозволяють отримати вирази для граничних ймовірностей стану аналізованої системи, звані формулами Ерланга:

.

Обчисливши всі ймовірності станів n – канальної СМО з відмовами р 0, р 1, р 2, …, р k, …, р n, можна визначити характеристики системи обслуговування.

Імовірність відмови в обслуговуванні визначається ймовірністю того, що заявка на обслуговування, що надійшла, знайде всі n каналів зайнятими, система перебуватиме в стані S n:

k=n.

У системах з відмовами події відмови та обслуговування становлять повну групу подій, тому

Р отк + Р обс = 1

На цій підставі відносна пропускна здатність визначається за формулою

Q = P обс = 1-Р отк = 1-Р n

Абсолютну пропускну здатність СМО можна визначити за формулою

Імовірність обслуговування, або частка обслужених заявок, визначає відносну пропускну здатність СМО, яка може бути визначена і за іншою формулою:

З цього виразу можна визначити середню кількість заявок, що знаходяться під обслуговуванням, або, що саме, середня кількість зайнятих обслуговуванням каналів

Коефіцієнт зайнятості каналів обслуговуванням визначаться відношенням середньої кількості зайнятих каналів до їх загального числа

Імовірність зайнятості каналів обслуговуванням, яка враховує середній час зайнятості t зан і простою t пр каналів, визначається так:

З цього виразу можна визначити середній час простою каналів

Середній час перебування заявки в системі в режимі, що встановився, визначаться формулою Літтла.

Т см = n з /λ.

3.3 Модель багатофазної системи обслуговування туристів

У реальному житті система обслуговування туристів виглядає значно складніше, тому необхідно деталізувати постановку завдання з огляду на запити, вимоги як з боку клієнтів, так і турфірми.

Для підвищення ефективності роботи турфірми необхідно змоделювати загалом поведінку потенційного клієнта від початку операції до її завершення. Структура взаємозв'язку основних систем масового обслуговування фактично складається із СМО різного виду (рис. 3.3).

Пошук Вибір Вибір Рішення

референт

пошук фірми туру по туру

Оплата Переліт Вихід

Рис. 3.3 Модель багатофазної системи обслуговування туристів

Проблема з позиції масового обслуговування туристів, які їдуть на відпочинок, полягає у визначенні точного місця відпочинку (туру), адекватного вимогам претендента, що відповідає його здоров'ю та фінансовим можливостям та уявленням про відпочинок загалом. У цьому йому можуть сприяти турфірми, пошук яких здійснюється зазвичай з рекламних повідомлень СМО, потім після вибору фірми відбувається отримання консультацій по телефону СМО т, після задовільної розмови приїзд в турфірму та отримання більш детальних консультацій особисто з референтом, потім оплата путівки та отримання обслуговування від авіакомпанії по перельоту СМО а та в кінцевому рахунку обслуговування в готелі СМ0 0 . Подальший розвиток рекомендацій щодо покращення роботи СМО фірми пов'язаний із зміною професійного змісту переговорів із клієнтами по телефону. Для цього необхідно поглибити аналіз, пов'язаний з деталізацією діалогу референта з клієнтами, оскільки далеко не кожен телефонний переговор призводить до укладення договору на придбання путівки. Проведення формалізації завдання обслуговування вказало необхідність формування повного (необхідного і достатнього) переліку характеристик та його точних значень предмета комерційної угоди. Потім проводять ранжування цих характеристик, наприклад методом парних порівнянь, і розташування в діалозі за ступенем їх значущості, наприклад: пора року (зима), місяць (січень), клімат (сухий), температура повітря (+25 ° С), вологість (40 %), географічне місце (ближче до екватора), час авіаперельоту (до 5 годин), трансферт, країна (Єгипет), місто (Хургада), море (Червоне), температура води в морі (+23 ° С), ранг готелю ( 4 зірки, працюючий кондиціонер, гарантія наявності шампуню в номері), віддаленість від моря (до 300 м), віддаленість від магазинів (поруч), віддаленість від дискотек та інших джерел шуму (далі, тиша протягом сну в готелі), харчування (шведський) стіл - сніданок, вечеря, частота зміни меню за тиждень), готелі (Princes, Marlin-In, Hour-Palace), екскурсії (Каїр, Луксор, коралові острови, підводне плавання), розважальні шоу, спортивні ігри, ціна путівки, форма оплати , утримання страховки, що брати з собою, що купити на місці, гарантії, штрафні санкції

Є ще один дуже суттєвий показник, вигідний клієнту, встановити який пропонується самостійно в'їдливому читачеві. Потім можна, використовуючи метод опарного порівняння перерахованих характеристик х i , сформувати матрицю п х п порівняння, елементи якої заповнюються послідовно за рядками за таким правилом:

0, якщо характеристика менш значуща,

а ij = 1, якщо характеристика рівнозначна,

2 якщо характеристика домінує.

Після цього визначаються значення сум оцінок за кожним показником рядка S i =∑a ij , вага кожної характеристики M i = S i /n 2 і відповідно інтегральний критерій, на основі якого можна провести вибір турфірми, туру або готелю, за формулою

F = ∑ M i * x i - max.

З метою виключення можливих помилок у цій процедурі вводять, наприклад, 5-бальну шкалу оцінок з градацією характеристик Б i (х i) за принципом гірше (Б i = 1 бал) – краще (Б i = 5 балів). Наприклад, чим дорожчий тур, тим гірше, чим він дешевший, тим краще. На цій підставі цільова функція матиме інший вигляд:

F b = ∑ M i * Б i * x i -> max.

Таким чином, можна на основі застосування математичних методів та моделей, використовуючи переваги формалізації, точніше і об'єктивніше сформулювати постановку завдань та значно покращити показники СМО у комерційній діяльності для досягнення поставлених цілей.

3.4 Одноканальна СМО з обмеженою довжиною черги

У комерційній діяльності найчастіше зустрічаються СМО з очікуванням (чергою).

Розглянемо просту одноканальну СМО з обмеженою чергою, у якій кількість місць у черзі т - фіксована величина. Отже, заявка, що надійшла в той момент, коли всі місця в черзі зайняті, не приймається до обслуговування, не встає в чергу і залишає систему.

Граф цієї СМО представлений на рис. 3.4 та збігається з графом рис. 2.1 описує процес «народження-загибелі», з тією відмінністю, що за наявності тільки одного каналу.

S m

S 3

S 2

S 1

S 0

λ λλλ... λ

μ μμμ... μ

Рис. 3.4. Розмічений граф процесу «народження – загибелі» обслуговування всі інтенсивності потоків обслуговування рівні

Стану СМО можна представити так:

S 0 - канал обслуговування вільний,

S, - канал обслуговування зайнятий, але черги немає,

S 2 - канал обслуговування зайнятий, у черзі стоїть одна заявка,

S 3 - канал обслуговування зайнятий, у черзі стоять дві заявки,

S m +1 - канал обслуговування зайнятий, у черзі всі місця зайняті, будь-яка наступна заявка отримує відмову.

Для опису випадкового процесу СМО можна скористатися викладеними раніше правилами та формулами. Напишемо вирази, що визначають граничні ймовірності станів:

p 1 = ρ * ρ про

p 2 = ρ 2 * ρ 0

p k = ρ k * ρ 0

P m+1 = p m=1 * ρ 0

p 0 = -1

Вираз для р 0 можна в іншому випадку записати простіше, користуючись тим, що в знаменнику стоїть геометрична прогресія щодо р, тоді після відповідних перетворень отримуємо:

ρ= (1- ρ )

Ця формула справедлива всім р, відмінних від 1, якщо р = 1, то р 0 = 1/(т + 2), проте інші ймовірності також дорівнюють 1/(т + 2). Якщо припустити т = 0, ми переходимо від розгляду одноканальної СМО з очікуванням до вже розглянутої одноканальної СМО з відмовами в обслуговуванні. Справді, вираз для граничної ймовірності р 0 у разі т = 0 має вигляд:

p про = μ / (λ + μ)

І у разі λ = μ має величину р 0 = 1/2.

Визначимо основні характеристики одноканальної СМО з очікуванням: відносну та абсолютну пропускну здатність, ймовірність відмови, а також середню довжину черги та середній час очікування заявки у черзі.

Заявка отримує відмову, якщо вона надходить у момент часу, коли СМО вже перебуває в стані S m +1 і, отже, всі місця в черзі так зайняті і один канал обслуговує.

Стан S m +1:

P отк = p m +1 = ρ m +1 * p 0

Відносна пропускна здатність, або частка заявок, що обслуговуються, що надходять в одиницю часу, визначається виразом

Q = 1 - p отк = 1 - ρ m+1 * p 0

абсолютна пропускна здатність дорівнює:

Середня кількість заявок L оч стоять у черзі на обслуговування, визначається математичним очікуванням випадкової величини до - числа заявок, що стоять у черзі

випадкова величина приймає такі лише цілочисельні значення:

1 - у черзі стоїть одна заявка,

2 - у черзі дві заявки,

т-в черзі всі місця зайняті

Імовірності цих значень визначаються відповідними ймовірностями станів, починаючи зі стану S2. Закон розподілу дискретної випадкової величини до зображується так:

k	1	2	m
p i	p 2	p 3	p m+1

Математичне очікування цієї випадкової величини дорівнює:

L оч = 1 * p 2 +2 * p 3 + ... + m * p m +1

Загалом при p ≠1 цю суму можна перетворити, користуючись моделями геометричної прогресії, до зручнішого вигляду:

L оч = p 2 * 1-pm* (m-m*p+1)* p 0

В окремому випадку при р = 1, коли всі ймовірності p k виявляються рівними, можна скористатися виразом для суми членів числового ряду

1+2+3+ m = m ( m +1)

Тоді отримаємо формулу

L' оч = m(m+1)* p 0 = m(m+1)(p = 1).

Застосовуючи аналогічні міркування та перетворення, можна показати, що середній час очікування обслуговування заявки а черги визначається формулами Літтла

Т оч = L оч /А (при р ≠ 1) і Т 1 оч = L' оч /А (при р = 1).

Такий результат, коли виявляється, що Т оч ~ 1/λ, може здатися дивним: зі збільшенням інтенсивності потоку заявок нібито має зростати довжина черги і зменшується середній час очікування. Однак слід мати на увазі, що, по-перше, величина L оч є функцією від λ і μ і, по-друге, СМО має обмежену довжину черги не більше mзаявок.

Заявка, що надійшла до СМО в момент часу, коли всі канали зайняті, отримує відмову, і, отже, час її «очікування» в СМО дорівнює нулю. Це призводить у загальному випадку (при р ≠ 1) до зменшення Т оч ростом λ, оскільки частка таких заявок із зростанням λ збільшується.

Якщо відмовитися від обмеження довжину черги, тобто. спрямувати m-> →∞, то випадки р< 1 и р ≥1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

p k = р k * (1 - р)

При досить великому ймовірність p k прагне нулю. Тому відносна пропускна здатність буде Q= 1, а абсолютна пропускна здатність стане рівною А - Q - λ отже, обслуговуються всі заявки, причому середня довжина черги виявиться рівною:

L оч = p 2 1-p

а середній час очікування за формулою Літтла

Т оч = L оч /А

У межі р<< 1 получаем Т оч = ρ / μт.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р ≥ 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t → ∞). Предельные вероятности состояний поэтому не могут быть определены: при Q= 1 они равны нулю. Фактически СМО не выполняет своих функций, поскольку она не в состоянии обслужить все поступающие заявки. Нетрудно определить, что доля обслуживаемых заявок и абсолютная пропускная способность соответственно составляют в среднем ρ и μ, однако неограниченное увеличение очереди, а следовательно, и времени ожидания в ней приводит к тому, что через некоторое время заявки начинают накапливаться в очереди на неограниченно долгое время.

Як одну з характеристик СМО використовують середній час Т СМО перебування заявки в СМО, що включає середній час перебування в черзі та середній час обслуговування. Ця величина обчислюється за формулами Літтла: якщо довжина черги обмежена - середня кількість заявок, що знаходяться в черзі, дорівнює:

L см= m +1 ;2

Т смо = L смо;при p ≠1

Тоді середній час перебування заявки в системі масового обслуговування (як у черзі, так і під обслуговуванням) дорівнює:

Т смо = m +1 при p ≠1 2μ

3.5 Одноканальна СМО з необмеженою чергою

У комерційній діяльності як одноканальна СМО з необмеженим очікуванням є, наприклад, комерційний директор, оскільки він, як правило, змушений виконувати обслуговування заявок різної природи: документи, телефонні переговори, зустрічі та бесіди з підлеглими, представниками податкової інспекції, міліції, товарознавцями, маркетологами, постачальниками продукції та вирішувати завдання у товарно-фінансовій сфері з високим ступенем фінансової відповідальності, що пов'язано з обов'язковим виконанням запитів, які очікують іноді нетерпляче виконання своїх вимог, а помилки неправильного обслуговування, як правило, є економічно вельми відчутними.

У той самий час товари, завезені на продаж (обслуговування), перебуваючи складі, утворюють чергу обслуговування (продаж).

Довжина черги становить кількість товарів, призначених для продажу. У цій ситуації продавці виступають у ролі каналів, які обслуговують товари. Якщо кількість товарів, призначених для продажу, велика, то в цьому випадку ми маємо справу з типовим випадком СМО з очікуванням.

Розглянемо найпростішу одноканальну СМО з очікуванням обслуговування, яку надходить пуасонівський потік заявок з інтенсивністю λ і інтенсивністю обслуговування µ.

Причому заявка, що надійшла в момент, коли канал зайнятий обслуговуванням, ставиться в чергу та чекає на обслуговування.

Розмічений граф станів такої системи наведено на рис. 3.5

Кількість можливих станів її нескінченно:

Канал вільний, черги немає, ;

Канал зайнятий обслуговуванням, черги немає, ;

Канал зайнятий, одна заявка у черзі, ;

Канал зайнятий, заявка у черзі.

Моделі оцінки ймовірності станів СМО з необмеженою чергою можна отримати з формул, виділених для СМО з необмеженою чергою шляхом переходу до межі при m→∞:

Рис. 3.5 Граф станів одноканальної СМО з необмеженою чергою.

Слід зауважити, що для СМО з обмеженою довжиною черги у формулі

має місце геометрична прогресія з першим членом 1 і знаменником. Така послідовність є сумою нескінченного числа членів при . Ця сума сходиться, якщо прогресія, що нескінченно зменшується при , що визначає режим роботи СМО, що з'явився, з при чергу при з часом може зростати до нескінченності.

Оскільки в аналізованої СМО обмеження на довжину черги відсутня, то будь-яка заявка може бути обслужена, тому , отже, відносна пропускна спроможність , відповідно , а абсолютна пропускна спроможність

Імовірність перебування у черзі k заявок дорівнює:

;

Середня кількість заявок у черзі –

Середня кількість заявок у системі –

;

Середній час перебування заявки у системі –

;

Середній час перебування заявки із системою –

.

Якщо в одноканальній СМО з очікуванням інтенсивність надходження заявок більша за інтенсивність обслуговування , то черга буде постійно збільшуватися. У зв'язку з цим найбільший інтерес представляє аналіз стійких СМО, які працюють у стаціонарному режимі при .

3.6 Багатоканальна СМО з обмеженою довжиною черги

Розглянемо багатоканальну СМО, на вхід якої надходить пуасонівський потік заявок з інтенсивністю, а інтенсивність обслуговування кожного каналу становить максимально можливе число місць у черзі обмежене величиною m. Дискретні стани СМО визначаються кількістю заявок, які надійшли до системи, які можна записати.

Всі канали вільні;

Зайнятий лише один канал (будь-який), ;

Зайняті лише два канали (будь-яких), ;

Зайняті всі канали, .

Поки СМО перебуває у будь-якому з цих станів, черги немає. Після того, як зайняті всі канали обслуговування, наступні заявки утворюють чергу, тим самим, визначаючи подальший стан системи:

Зайняті всі канали і одна заявка стоїть у черзі,

Зайняті всі канали і дві заявки стоять у черзі,

Зайняті всі канали і всі місця в черзі,

Граф станів n-канальної СМО із чергою, обмеженою m місцями на рис.3.6

Рис. 3.6 Граф станів n-канальної СМО з обмеженням на довжину черги m

Перехід СМО в стан з великими номерами визначається потоком заявок, що надходять з інтенсивністю , тоді як за умовою в обслуговуванні цих заявок беруть участь однакових каналів з інтенсивністю потоку обслуговування рівного для кожного каналу. При цьому повна інтенсивність потоку обслуговування зростає з підключенням нових каналів до такого стану , коли всі n каналів виявляться зайнятими. З появою черги інтенсивність обслуговування більше збільшується, оскільки вона досягла максимального значення, рівного .

Запишемо вирази для граничних ймовірностей станів:

Вираз можна перетворити, використовуючи формулу геометричної прогресії для суми членів зі знаменником :

Освіта черги можливе, коли заявка, що знову надійшла, застане в системі не менше вимог, тобто. коли у системі буде перебувати вимог. Ці події незалежні, тому ймовірність того, що всі канали зайняті, дорівнює сумі відповідних ймовірностей.

Імовірність відмови в обслуговуванні настає тоді, коли всі канали і всі місця в черзі зайняті:

Відносна пропускна здатність дорівнюватиме:

Абсолютна пропускна спроможність –

Середня кількість зайнятих каналів –

Середня кількість каналів, що простоюють

Коефіцієнт зайнятості (використання) каналів –

Коефіцієнт простою каналів –

Середня кількість заявок, що знаходяться у чергах –

Якщо , ця формула набуває іншого вигляду –

Середній час очікування у черзі визначається формулами Літтла –

Середній час перебування заявки в СМО, як і для одноканальної СМО, більший за середній час очікування в черзі на середній час обслуговування, що дорівнює , оскільки заявка завжди обслуговується тільки одним каналом:

3.7 Багатоканальна СМО з необмеженою чергою

Розглянемо багатоканальну СМО з очікуванням та необмеженою довжиною черги, на яку надходить потік заявок з інтенсивністю та яка має інтенсивність обслуговування кожного каналу. Розмічений граф станів представлений на рис 3.7. Він має нескінченну кількість станів:

S - всі канали вільні, k = 0;

S - зайнятий один канал, інші вільні, k = 1;

S - зайняті два канали, інші вільні, k = 2;

S - зайняті всі n каналів, k = n, черги немає;

S - зайняті всі n каналів, одна заявка у черзі, k=n+1,

S - зайняті всі n каналів, r заявок у черзі, k=n+r,

Ймовірність станів отримаємо з формул для багатоканальної СМО з обмеженою чергою при переході до межі при m. Слід зазначити, що сума геометричної прогресії у виразі для p розходиться при рівні завантаження p/n>1, черга нескінченно зростатиме, а при p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

Черги ні

…

…

Рис.3.7 Розмічений граф станів багатоканальної СМО

з необмеженою чергою

для якого і визначимо вирази для граничних ймовірностей станів:

Оскільки відмови в обслуговуванні в таких системах не може бути, то характеристики пропускної спроможності дорівнюють:

середня кількість заявок у черзі –

середній час очікування у черзі –

середня кількість заявок до СМО –

Імовірність того, що СМО перебуває в стані, коли немає заявок і не зайнято жодного каналу, визначається виразом

Ця ймовірність визначає середню частку простою каналу обслуговування. Імовірність зайнятості обслуговуванням заявок –

На цій підставі можна визначити ймовірність, або час зайнятості всіх каналів обслуговуванням

Якщо всі канали вже зайняті обслуговуванням, то ймовірність стану визначається виразом

Імовірність опинитися у черзі дорівнює ймовірності застати всі канали вже зайнятими обслуговуванням

Середня кількість заявок, що перебувають у черзі та чекають на обслуговування, дорівнює:

Середній час очікування заявки у черзі за формулою Літтла: і в системі

середня кількість зайнятих каналів обслуговуванням:

середня кількість вільних каналів:

коефіцієнт зайнятості каналів обслуговуванням:

Важливо зауважити, що параметр характеризує ступінь узгодження вхідного потоку, наприклад, покупців у магазині з інтенсивністю потоку обслуговування. Якщо ж в системі будуть зростати середня довжина черги і середній час очікування покупцями початку обслуговування і, отже, СМО працюватиме нестійко.

3.8 Аналіз системи масового обслуговування супермаркету

Одним із важливих завдань комерційної діяльності є раціональна організація торгово-технологічного процесу масового обслуговування, наприклад, в універсамі. Зокрема визначення потужності касового вузла торговельного підприємства є непростим завданням. Такі економіко-організаційні показники, як навантаження товарообігу на 1м 2 торгової площі, пропускна спроможність підприємства, час перебування покупців у магазині, а також показники рівня технологічного рішення торгового залу: співвідношення площ зон самообслуговування та розрахункового вузла, коефіцієнти настановної та виставкової площ багато в чому визначаються пропускною спроможністю касового вузла. В цьому випадку пропускну здатність двох зон (фаз) обслуговування: зони самообслуговування та зони розрахункового вузла (рис.4.1).

СМО

СМО

Інтенсивність вхідного потоку покупців;

Інтенсивність приходу покупців зони самообслуговування;

Інтенсивність приходу покупців у розрахунковий вузол;

Інтенсивність потоку обслуговування.

Рис.4.1. Модель двофазної СМО торгового залу універсаму

Основна функція розрахункового вузла полягає у забезпеченні високої пропускної спроможності покупців у торговому залі та створенні комфортного обслуговування покупців. Чинники, що впливають пропускну здатність розрахункового вузла, можна розділити на дві групи:

1) економіко-організаційні фактори: система матеріальної відповідальності в універсамі; середня вартість та структура однієї покупки;

2) організаційну структуру касового вузла;

3) техніко-технологічні фактори: застосовувані типи касових апаратів та касових кабін; технологія обслуговування покупців, що застосовується контролером-касиром; відповідність потужності касового вузла інтенсивності купівельних потоків.

З перелічених груп чинників найбільше впливають організаційне побудова касового вузла і відповідність потужності касового вузла інтенсивності купівельних потоків.

Розглянемо обидві фази системи обслуговування:

1) вибір покупцями товарів у зоні самообслуговування;

2) обслуговування покупців у зоні розрахункового вузла. Вхідний потік покупців потрапляє у фазу самообслуговування, і покупець самостійно відбирає необхідні йому товарні одиниці, формуючи в єдину покупку. Причому час цієї фази залежить від цього, як взаєморозміщені товарні зони, який фронт вони мають, скільки часу витрачає покупець вибір конкретного товару, яка структура купівлі тощо.

Потік покупців, що виходить, з зони самообслуговування одночасно є вхідним потоком в зону касового вузла, який послідовно включає очікування покупця в черзі і потім обслуговування його контролером-касиром. Касовий вузол можна розглядати як систему обслуговування із втратами або як систему обслуговування з очікуванням.

Однак ні перша, ні друга розглянуті системи не дозволяють реально описати процес обслуговування в касовому вузлі універсаму з наступних причин:

у першому варіанті касовий вузол, потужність якого буде розрахована на систему із втратами, вимагає значних як капітальних вкладень, так і поточних витрат на утримання контролерів-касирів;

у другому варіанті касовий вузол, потужність якого буде розрахована на систему з очікуваннями, призводить до великих витрат часу покупців в очікуванні обслуговування. При цьому в години пік зона розрахункового вузла переповнюється і черга покупців перетікає в зону самообслуговування, що порушує нормальні умови для вибору товару іншими покупцями.

У зв'язку з цим доцільно розглядати другу фазу обслуговування як систему з обмеженою чергою, проміжну між системою з очікуванням та системою з втратами. При цьому передбачається, що одночасно в системі можуть перебувати не більше L, причому L=n+m, де n-кількість клієнтів, що обслуговуються в касах, m-кількість покупців, що стоять у черзі, причому будь-яка m+1- заявка залишає систему необслуженою.

Ця умова дозволяє, з одного боку, обмежити площу зони розрахункового вузла з урахуванням максимально допустимої довжини черги, з другого – запровадити обмеження тимчасово очікування покупцями обслуговування у касовому вузлі, тобто. враховувати витрати споживання покупців.

Правомірність постановки завдання у такому вигляді підтверджується проведеними обстеженнями потоків покупців в універсамах, результати яких наведено в табл. 4.1, аналіз яких виявив тісний зв'язок між середньою довгою чергою в касовому вузлі та кількістю покупців, які не здійснили покупок.

Години роботи	День тижня
	п'ятниця			субота			неділя
	черга,	кількість покупців без покупок		черга,	кількість покупців без покупок		черга,	кількість покупців без покупок
		чол.	%		чол.	%		чол.	%
з 9 до 10	2	38	5	5	60	5,4	7	64	4,2
з 10 до 11	3	44	5,3	5	67	5	6	62	3,7
з 11 до 12	3	54	6,5	4	60	5,8	7	121	8,8
з 12 до 13	2	43	4,9	4	63	5,5	8	156	10
з 14 до 15	2	48	5,5	6	79	6,7	7	125	6,5
з 15 до 16	3	61	7,3	6	97	6,4	5	85	7,2
з 16 до 17	4	77	7,1	8	140	9,7	5	76	6
з 17 до 18	5	91	6,8	7	92	8,4	4	83	7,2
з 18 до 19	5	130	7,3	6	88	5,9	7	132	8
з 19 до 20	6	105	7,6	6	77	6
з 20 до 21	6	58	7	5	39	4,4
Разом	749	6,5	862	6,3	904	4,5

В організації роботи касового вузла універсаму є ще одна важлива особливість, яка значно впливає на його пропускну здатність: наявність експрес-кас (однієї-двох покупок). Вивчення структури потоку покупців в універсамах на кшталт касового обслуговування показує, що потік оборот становить 12,9% (табл. 4.2).

Дні тижня	Потоки покупців			Товарообіг
	всього	по експрес-касам	% до денного потоку	всього	по експрес-касам	% до денного товарообігу
Літній період
Понеділок	11182	3856	34,5	39669,2	3128,39	7,9
Вівторок	10207	1627	15,9	38526,6	1842,25	4,8
Середа	10175	2435	24	33945	2047,37	6
Четвер	10318	2202	21,3	36355,6	1778,9	4,9
П'ятниця	11377	2469	21,7	43250,9	5572,46	12,9
Субота	10962	1561	14,2	39873	1307,62	3,3
Неділя	10894	2043	18,8	35237,6	1883,38	5,1
Зимовий період
Понеділок	10269	1857	18,1	37121,6	2429,73	6,5
Вівторок	10784	1665	15,4	38460,9	1950,41	5,1
Середа	11167	3729	33,4	39440,3	4912,99	12,49,4
Четвер	11521	2451	21,3	40000,7	3764,58	9,4
П'ятниця	11485	1878	16,4	43669,5	2900,73	6,6
Субота	13689	2498	18,2	52336,9	4752,77	9,1
Неділя	13436	4471	33,3	47679,9	6051,93	12,7

Для остаточного побудова математичної моделі процесу обслуговування з урахуванням перелічених вище факторів необхідно визначити функції розподілу випадкових величин, а також випадкові процеси, що описують вхідні та вихідні потоки покупців:

1) функцію розподілу часу покупців на вибір товарів у зоні самообслуговування;

2) функцію розподілу часу роботи контролера-касира для звичайних кас та експрес-кас;

3) випадковий процес, що описує вхідний потік покупців у першу фазу обслуговування;

4) випадковий процес, що описує вхідний потік у другу фазу обслуговування для звичайних кас та експрес-кас.

Моделями для розрахунку характеристик системи масового обслуговування зручно користуватися в тому випадку, якщо вхідний потік вимог до системи обслуговування є найпростішим потоком пуасонів, а час обслуговування заявок розподілено за експоненційним законом.

Дослідження потоку покупців у зоні касового вузла показало, що йому може бути прийнятий пуасонівський потік.

Функція розподілу часу обслуговування покупців контролерами-касирами є експоненційною, таке припущення не призводить до великих помилок.

Безумовний інтерес представляє аналіз характеристик обслуговування потоку покупців у касовому вузлі універсаму, розрахованих для трьох систем: із втратами, з очікуванням та змішаного типу.

Розрахунки параметрів процесу обслуговування покупців у касовому вузлі проведені для комерційного підприємства торговою площею S = 650 на основі таких даних.

Цільова функція може бути записана у загальному вигляді зв'язку (критерію) виручки від реалізації від характеристик СМО:

де - касовий вузол складається з = 7 кас звичайного типу і = 2 експрес-кас,

Інтенсивність обслуговування покупців у зоні звичайних кас – 0,823 чол./хв;

Інтенсивність навантаження касових апаратів у зоні звичайних кас – 6,65,

Інтенсивність обслуговування покупців у зоні експрес-кас – 2,18 чол./хв;

Інтенсивність вхідного потоку до зони звичайних кас – 5,47 чол./хв.

Інтенсивність навантаження касових апаратів у зоні експрес-кас – 1,63,

Інтенсивність вхідного потоку до зони експрес-кас – 3,55 чол./хв;

Для моделі СМО з обмеженням на довжину черги відповідно до проектованої зони касового вузла максимально допустима кількість покупців, що стоять у черзі в одну касу, приймається рівним m=10 покупців.

Слід зауважити, що для отримання порівняно невеликих за абсолютною величиною значень ймовірності втрат заявок та часу очікування покупців у касовому вузлі необхідно дотримуватись наступних умов:

У табл.6.6.3 наведено результати характеристик якості функціонування СМО у зоні розрахункового вузла.

Розрахунки проведені найбільш напруженого періоду часу робочого дня з 17 до 21 години. Саме цей період, як показали результати обстежень, припадає близько 50% одноденного потоку покупців.

З наведених даних у табл. 4.3 слід, що якби для розрахунку було обрано:

1) модель з відмовими, то 22,6% потоку покупців, що обслуговуються звичайними касами, і відповідно 33,6% потоку покупців, що обслуговуються експрес-касами, мали б піти без покупок;

2) модель з очікуванням, то втрат заявок у розрахунковому вузлі не повинно бути;

Табл. 4.3 Характеристики системи масового обслуговування покупців у зоні розрахункового вузла

Тип каси	Кількість кас у вузлі	Тип СМО	Характеристики СМО
			Середня кількість зайнятих кас,	середній час очікування обслуговування,	Можливість втрати заявок,
Звичайні каси	7	з відмовами з очікуванням з обмеженням
Експрес-каси	2	з відмовами з очікуванням з обмеженням

3) модель з обмеженням на довжину черги, лише 0,12% потоку покупців, що обслуговуються звичайними касами, і 1,8% потоку покупців, що обслуговуються експрес-касами, залишать торговий зал без покупок. Отже, модель з обмеженням на довжину черги дозволяє точніше і реальніше описати процес обслуговування покупців у зоні касового вузла.

Інтерес є порівняльний розрахунок потужності касового вузла як з урахуванням експрес-кас, так і без них. У табл. 4.4 наведено характеристики системи обслуговування касового вузла трьох типорозмірів універсамів, розраховані за моделями СМО з обмеженням на довжину черги на найбільш напружений період робочого дня з 17 до 21 години.

Аналіз даних цієї таблиці показує, що не облік фактора «Структура потоку покупців на кшталт касового обслуговування» на стадії технологічного проектування може призвести до збільшення зони розрахункового вузла на 22-33%, а звідси відповідно і до зменшення настановних та виставкових площ торгово-технологічного обладнання та товарної маси, що розміщується у торговому залі.

Проблема визначення потужності касового вузла є ланцюжком взаємозалежних характеристик. Так, збільшення його потужності скорочує час покупців на очікування обслуговування, зменшує ймовірність втрати вимог та, отже, втрати товарообігу. Поруч із необхідно відповідно зменшити зону самообслуговування, фронт торгово-технологічного устаткування, товарну масу у торговому залі. Водночас збільшується витрати на заробітну плату контролерів-касирів та обладнання додаткових робочих місць. Тому

№ п/п	Характеристики СМО	Одиниця виміру	Позначення		Показники, розраховані на типи універсамів торгової площі, кв. м
					Без експрес-кас						З урахуванням експрес-кас
					650		1000		2000		650			1000			2000
											Звичайні каси		Експрес-каси	Звичайні каси		експрес-каси	Звичайні каси		експрес-каси
1	Кількість покупців	чол.	k		2310		3340		6680		1460		850	2040		1300	4080		2600
2	Інтенсивність вхідного потоку		λ		9,64		13,9		27,9		6,08		3,55	8,55		5,41	17,1		10,8
3	Інтенсивність обслуговування	чол./хв	μ		0,823		0,823		0,823		0,823		2,18	0,823		2,18	0,823		2,18
4	Інтенсивність навантаження	-	ρ		11,7		16,95		33,8		6,65		1,63	10,35		2,48	20,7		4,95
5	Кількість касових апаратів	шт.	n		12		17		34		7		2	11		3	21		5
6	Загальна кількість кас розрахункового вузла	шт.		∑n		12		17		34		9			14			26

необхідно проводити оптимізаційні розрахунки. Розглянемо характеристики системи обслуговування у касовому вузлі універсаму торгової площі 650м, розраховані за моделями СМО з обмеженою довжиною черги до різних потужностей його касового вузла в табл. 4.5.

За підсумками аналізу даних табл. 4.5 можна дійти невтішного висновку, що з збільшення кількості кас час очікування покупців у черзі зростає, та був після певного моменту різко падає. Характер зміни графіка часу очікування покупців зрозумілий, якщо паралельно розглядати зміну ймовірності втрати вимоги Цілком очевидно, що коли потужність касового вузла надмірно мала, то більше 85% покупців будуть йти необслуженими, а частина покупців, що залишилася, буде обслужена за дуже короткий час. Чим більша потужність касового вузла, тим ймовірніше втрати вимог чекатиме свого обслуговування, а отже, і час їх очікування у черзі відповідно зростатиме. Після того як очікування та ймовірність втрат різко зменшуватимуться.

Для універсаму торговою площею 650 ця межа для зони звичайних кас лежить між 6 та 7 касовими апаратами. За 7 касових апаратів відповідно середній час очікування – 2,66 хв, а ймовірність втрати заявок дуже мала – 0,1%. Таким чином, що дозволить одержати мінімальні сукупні витрати на масове обслуговування покупців.

Тип касового обслуговування	Кількість касових апаратів у вузлі n, прим.	Характеристики системи обслуговування		Середня виручка за 1 год. руб.	Середня втрата виручки за 1 год. руб	Число покупців у зоні розрахункового вузла	Площа зони розрахункового вузла, Sy, м	Питома вага площі зони вузла 650/ Sy
		Середній час очікування, Т, хв	Ймовірність втрати заявок
Зони Звичайних кас
Зони експрес-кас

Висновок

За підсумками аналізу даних табл. 4.5 можна дійти невтішного висновку, що з збільшенням кількість кас час очікування покупців у черзі зростає. А потім після певного моменту різко падає. Характер зміни графіка часу очікування покупців зрозумілий, якщо паралельно розглядати зміну ймовірності втрати вимог Цілком очевидно, що коли потужність касового вузла надмірно мала, то більше 85% покупців будуть йти необслуженими, а частина покупців, що залишилася, буде обслужена за дуже короткий час. Чим більша потужність касового вузла. Тим ймовірність втрати вимог зменшуватиметься і відповідно тим більше покупців чекатиме свого обслуговування, а отже, і час їх очікування у черзі відповідно зростатиме. Після того як розрахунковий вузол перевищить оптимальний потужність, час очікування та ймовірність втрат різко зменшуватимуться.

Для універсаму торговою площею 650 кв. метрів ця межа для зони звичайних кас лежить між 6-8 касовими апаратами. При 7 касових апаратах відповідно середній час очікування - 2,66 хв, а ймовірність втрати заявок дуже мало - 0,1%. Таким чином, завдання полягає у виборі такої потужності касового вузла, яка дозволить отримати мінімальні сукупні витрати на масове обслуговування покупців.

У зв'язку з цим наступним етапом вирішення поставленої задачі є оптимізація потужності касового вузла на базі застосування моделей СМО різних типів з урахуванням сукупних витрат та перерахованих вище факторів.