Одноканальна СМО із відмовами. Відносна пропускна здатність Відносна пропускна здатність – відносна середня кількість заявок
Дано: система має один канал обслуговування, який надходить найпростіший потік заявок з інтенсивністю . Потік обслуговування має інтенсивність. Заявка, що залишила систему зайнятою, відразу ж покидає її.
Знайти: абсолютну та відносну пропускну здатність СМО та ймовірність того, що заявка, що прийшла в момент часу t, отримає відмову.
Система за будь-якого t> 0 може бути у двох станах: S 0 – канал вільний; S 1 – канал зайнятий. Перехід із S 0 в S 1 пов'язаний з появою заявки та негайним початком її обслуговування. Перехід із S 1 в S 0 здійснюється, коли чергове обслуговування завершиться (рис.9).
Рис.9. Граф станів одноканальної СМО із відмовами
Вихідні характеристики (характеристики ефективності) цієї та інших СМО будуть надаватися без висновків та доказів.
(Середня кількість заявок, що обслуговуються в одиницю часу):
де – інтенсивність потоку заявок (величина, зворотна середньому проміжку часу між заявками, що надходять - ); - Інтенсивність потоку обслуговувань (величина, зворотна середньому часу обслуговування).
Відносна пропускна спроможність(Середня частка заявок, що обслуговуються системою):
Ймовірність відмови(ймовірність того, що заявка залишить СМО необслуженою):
Очевидні такі співвідношення: і .
N - канальна СМО з відмовами (завдання Ерланга). Це одне з перших завдань теорії масового обслуговування. Вона виникла з практичних потреб телефонії та була вирішена на початку 20 століття датським математиком Ерлангом.
Дано: у системі є n– каналів, куди надходить потік заявок з інтенсивністю . Потік обслуговування має інтенсивність. Заявка, що залишила систему зайнятою, відразу ж покидає її.
Знайти: абсолютну та відносну пропускну здатність СМО; ймовірність того, що заявка, що надійшла в момент часу t, Отримає відмову; середня кількість заявок, що обслуговуються одночасно (або, іншими словами, середня кількість зайнятих каналів).
Рішення. Стан системи S(СМО) нумерується за максимальним числом заявок, що знаходяться в системі (воно збігається з числом зайнятих каналів):
· S 0 – у СМО немає жодної заявки;
· S 1 - у СМО знаходиться одна заявка (один канал зайнятий, інші вільні);
· S 2 - в СМО знаходиться дві заявки (два канали зайняті, інші вільні);
· S n – у СМО знаходиться n- Заявок (усі n– каналів зайняті).
Граф станів СМО подано на рис. 10.
Рис.10. Граф станів для n - канальної СМО з відмовами
Чому граф станів розмічено саме так? Зі стану S 0 у стан S 1 систему переводить потік заявок з інтенсивністю (як тільки надходить заявка, система переходить з S 0 в S 1). Якщо система перебувала в стані S 1 і прийшла ще одна заявка, то вона переходить у стан S 2 і т.д.
Чому такі інтенсивності у нижніх стрілок (дуг графа)? Нехай система перебуває в стані S 1 (працює один канал). Він здійснює обслуговування в одиницю часу. Тому дуга переходу зі стану S 1 у стан S 0 навантажена інтенсивністю. Нехай тепер система перебуває в стані S 2 (працюють два канали). Щоб їй перейти до S 1 потрібно, щоб закінчив обслуговування перший канал, або другий. Сумарна інтенсивність їх потоків рівна і т.д.
Вихідні характеристики (характеристики ефективності) даної СМО визначаються в такий спосіб.
Абсолютна пропускна спроможність:
де n– кількість каналів СМО; – ймовірність знаходження СМО у початковому стані, коли всі канали вільні (фінальна ймовірність знаходження СМО у стані S 0);
А, щоб написати формулу визначення , розглянемо рис.11.
Рис.11. Граф станів для схеми «загибелі та розмноження»
Граф, представлений цьому малюнку, називають ще графом станів для схеми «загибелі і розмноження». Напишемо спочатку на загальну формулу (без підтвердження):
До речі, решта фінальних ймовірностей станів СМО запишуться наступним чином.
Імовірність того, що СМО перебуває в стані S 1 коли один канал зайнятий.
1) одноканальна СМО
У граничному (стаціонарному) режимі система рівнянь Колмогорова:
Враховуючи нормувальну умову p 0 + p 1 = 1, знайдемо:
які виражають середнє відносне час перебування системи може S 0 (коли канал вільний) і S 1 (коли канал зайнятий), тобто. визначають відповідно відносну пропускну здатність системи q і ймовірність відмови P отк:
Абсолютна пропускна здатність: .
Завдання 1.Відомо, що заявки в ательє надходять з інтенсивністю? = 90 (заявок на годину), а середня тривалість розмови телефоном t про = 2 хв. Визначити показники ефективності роботи СМО (телефонного зв'язку) за наявності одного номера.
Рішення.
Інтенсивність потоку обслуговування? = 1 / t про = 1 / 2 = 0,5 (1 / хв) = 30 (1 / год).
Відносна пропускна здатність СМО q = 30/(30+90) = 0,25, тобто. в середньому лише 25% заявок, що надходять, здійснять переговори по телефону. Відповідно ймовірність відмови в обслуговуванні складе P отк = 0,75. Абсолютна пропускна здатність СМО: Q = 90 * 0,25 = 22,5, тобто. в середньому за годину буде обслуговано 22,5 заявки.
Очевидно, що за наявності лише одного телефонного номера СМО погано справлятиметься з потоком заявок.
2) багатоканальна СМО
Система рівнянь Колмогорова має вигляд:
У стаціонарному режимі:
Дозволимо систему (1) щодо невідомих p 0 , p 1 ..., p m . З першого рівняння:
З другого з урахуванням (2):
Аналогічно з третього, з урахуванням (2) та (3):
і взагалі, для будь-якого k? m:
Введемо позначення:
Визначає середню кількість вимог, які у СМО за середній час обслуговування однієї заявки (наведена щільність потоку заявок).
Формула (6) виражає всі ймовірності p k через p 0 . Скористаємося умовою:
Підставляючи (7) (6), отримаємо, 0 ? k? m. (8)
Формули (7) та (8) називають формулами Ерланга. Вважаючи у формулі (8) k = m, отримаємо ймовірність відмови
Відносна пропускна спроможність (ймовірність того, що заявку буде обслуговано):
Формули Ерланга та їх наслідки (9), (10) виведені для випадку показового закону розподілу часу обслуговування. Але дослідження останніх роківпоказали, що ці формули залишаються справедливими за будь-якого закону розподілу часу обслуговування, аби вхідний потік був найпростішим. Також формулами Ерланга можна користуватися (з відомим наближенням) і у разі коли потік заявок відрізняється від найпростішого (наприклад, є стаціонарним потоком з обмеженою післядією). Нарешті, формулами Ерланга можна наближено користуватися і у разі, коли СМО допускає очікування заявки у черзі, але коли термін очікування малий порівняно із середнім часом обслуговування однієї заявки.
Абсолютна пропускна спроможність:
Середня кількість зайнятих каналів є математичне очікуваннячисла зайнятих каналів:
або або, враховуючи (11) та (5)
При великому числіканалів обслуговуваннязастосовують такі формули, які також називаються формулами Ерланга:
При більших значеннях i:
функція Лапласа.
Імовірність відмови: (9")
Відносна пропускна спроможність
Середня кількість зайнятих каналів:
Завдання 2.В умовах попереднього завдання визначити оптимальне число телефонних номерівв ательє, якщо умовою оптимальності вважати задоволення середньому з кожних 100 заявок щонайменше 90 заявок на переговори.
Рішення.Інтенсивність навантаження каналу за формулою (5)? = 90/30 = 3, тобто. за час середнього (за тривалістю) телефонної розмови t про = 2 хв. надходить у середньому 3 заявки на переговори.
Поступово збільшуватимемо число каналів (телефонних номерів) n = 2, 3, 4,... і визначимо за формулами (7), (10), (11) для одержуваної n-канальної СМО характеристики обслуговування. Наприклад, при n = 2
Значення характеристик СМО представимо в таблиці:
За умовою оптимальності q? 0,9, отже, в ательє необхідно встановити 5 телефонних номерів (у разі q = 0,9). При цьому за годину обслуговуватимуться в середньому 80 заявок (Q = 80,1), а середня кількість зайнятих телефонних номерів (каналів)
Завдання 3.Автоматична телефонна станція забезпечує не більше 120 переговорів одночасно. Середня тривалість розмови 60 секунд, а дзвінки надходять у середньому через 0,5 секунди. Розглядаючи таку станцію як багатоканальну систему обслуговування з відмовами та найпростішим вхідним потоком, визначити: а) середню кількість зайнятих каналів; б) відносну пропускну спроможність; в) середній час перебування виклику на станції з урахуванням того, що розмова може і не відбутися.
Рішення.Маємо: m = 120; ? = 1/0,5 = 2; ? = 1/60; ? =?/? = 120.
Використовуючи таблиці функції Лапласа, отримуємо:
так як? є інтенсивність вхідного потоку (число заявок за одиницю часу), то?t ср = і.
2 . СМО з очікуванням та обмеженим часом очікування.
Є m каналів обслуговування, вхідний потік – найпростіший з інтенсивністю?, час обслуговування та час очікування – СВ, розподілені за експоненційним законом із параметрами? і? відповідно.
Якщо зайнято i каналів та i ? m, то з незалежності їх функціонування інтенсивність обслуговування зростає в i раз: ? i,i-1 = i?. У разі черги кожен стан аналізованої СМО характеризується зайнятістю каналів обслуговування. Тому інтенсивність звільнення каналів стає постійною u = m?
Закон розподілення часу очікування визначається інтенсивністю? виходу з черги за наявності у ній однієї заявки. З огляду на незалежність надходження заявок (див. визначення найпростішого потоку) інтенсивність, з якою заявки відмовляються від обслуговування та йдуть з черги, дорівнює r? (Для черги довжини r ? 1). Т.ч., щільність ймовірності переходу системи зі стану Sm+r у стан Sm+r-1 дорівнює сумі інтенсивностей звільнення каналів обслуговування та відмови від обслуговування: ? m+r, m+r-1 = m? + r?.
Складемо рівняння Колмогорова:
i=1,..., m-1, r? 0.
Якщо на довжину черги не накладати обмежень, то система звичайних диференціальних рівнянь(1) є нескінченною.
Якщо в початковий момент часу t = 0 аналізована система знаходилася в одному зі своїх можливих станів S j , то початкові умови для неї мають такий вигляд.
Абсолютна пропускна спроможність- Середня кількість заявок, яка може бути обслуговується в одиницю часу. p 0 - ймовірність того, що канал вільний, Q - відносна пропускна здатністьІнтенсивність навантаження ρ=3 показує ступінь узгодженості вхідного та вихідного потоків заявок каналу обслуговування та визначає стійкість системи масового обслуговування.
2. Час обслуговування.
хв. 
Отже, 3% протягом години канал буде зайнятий, час простою дорівнює t пр = 1.7 хв.
зайнятий 1 канал:
p 1 = ρ 1/1! p 0 = 3 1/1! 0.0282 = 0.0845
зайняті 2 канали:
p 2 = ρ 2/2! p 0 = 3 2/2! 0.0282 = 0.13
зайняті 3 канали:
p 3 = ρ 3/3! p 0 = 3 3/3! 0.0282 = 0.13
.
Значить, 13% з числа заявок, що надійшли, не приймаються до обслуговування.
.
p отк + p обс = 1
p обс = 1 - p отк = 1 - 0.13 = 0.87
Отже, 87% з числа заявок, що надійшли, будуть обслужені. Прийнятний рівень обслуговування має бути вищим за 90%.
.
n з = p p обс = 3 0.87 = 2.6 каналів
.
n пр = n - n з = 3 - 2.6 = 0.4 каналів
.
Отже система на 90% зайнята обслуговуванням.
8. Абсолютна пропускна спроможність для багатоканальної СМО.
A = p обс λ = 0.87 6 = 5.2 заявок/хв.
9. Середній час простою СМО.
t пр = p отк ∙ t обс = 0.13 ∙ 0.5 = 0.06 хв.
.
од. 
хв.
.
L обс = ρ Q = 3 0.87 = 2.62 од.
.
L CMO = L оч + L обс = 1.9 + 2.62 = 4.52 од.
.
хв.
Число заявок, які отримали відмову протягом години: p 1 = 0.78 заявок у хв.
Номінальна продуктивність СМО: 3/0.5 = 6 заявок на хв.
Фактична продуктивність СМО: 5.2/6 = 87% від номінальної продуктивності.
Приклад №2. Універсам отримує ранні овочі та зелень із теплиць приміського радгоспу. Машини з товаром прибувають до універсам у невизначений час. У середньому прибуває λ автомашин на день. Підсобні приміщення та обладнання для підготовки овочів до продажу дозволяють обробити та зберігати товар об'ємом не більше m автомашин одночасно. В універсамі працюють n фасувальників, кожен з яких у середньому може обробити товар з однієї машини протягом t обсл дня. Визначити можливість обслуговування автомашини P обс. Якою має бути ємність підсобних приміщень m 1 , щоб ймовірність обслуговування була б більшою або рівною заданій величині, тобто. Pобс.> P * обс.
λ = 3; t обс = 0,5; n = 2; m = 2, P * обс = 0,92.
Рішення.
Обчислюємо показники обслуговування багатоканальної СМО:
Перекладаємо інтенсивність потоку заявок у години: λ = 3/24 = 0.13
Інтенсивність потоку обслуговування:
μ = 1/12 = 0.0833
1. Інтенсивність навантаження.
ρ = λ t обс = 0.13 12 = 1.56
Інтенсивність навантаження ρ=1.56 показує ступінь узгодженості вхідного та вихідного потоків заявок каналу обслуговування та визначає стійкість системи масового обслуговування.
Оскільки 1.56<2, то процесс обслуживания будет стабилен.
3. Імовірність, що канал вільний(частка простою каналів).
Отже, 18% протягом години канал буде зайнятий, час простою дорівнює t пр = 11 хв.
Імовірність того, що обслуговуванням:
зайнятий 1 канал:
p 1 = ρ 1/1! p 0 = 1.56 1/1! 0.18 = 0.29
зайняті 2 канали:
p 2 = ρ 2/2! p 0 = 1.56 2/2! 0.18 = 0.22
4. Частка заявок, які отримали відмову.
Отже, 14% з числа заявок, що надійшли, не приймаються до обслуговування.
5. Імовірність обслуговування заявок, що надходять.
У системах з відмовами події відмови та обслуговування становлять повну групу подій, тому:
p отк + p обс = 1
Відносна пропускна здатність: Q = p обс.
p обс = 1 - p отк = 1 - 0.14 = 0.86
Отже, 86% з числа заявок, що надійшли, будуть обслужені. Прийнятний рівень обслуговування має бути вищим за 90%.
6. Середня кількість каналів, зайнятих обслуговуванням.
n з = p p обс = 1.56 0.86 = 1.35 каналу.
Середня кількість каналів, що простоюють..
n пр = n – n з = 2 – 1.35 = 0.7 каналу.
7. Коефіцієнт зайнятості каналів обслуговуванням.
K 3 = n 3 /n = 1.35/2 = 0.7
Отже система на 70% зайнята обслуговуванням.
8. Знаходимо абсолютну пропускну спроможність.
A = p обс λ = 0.86 0.13 = 0.11 заявок/год.
9. Середній час простою СМО.
t пр = p отк t обс = 0.14 12 = 1.62 год.
Ймовірність утворення черги.
10. Середня кількість заявок, які перебувають у черзі.
од.
11. Середній час простою СМО(Середній час очікування обслуговування заявки в черзі).
T оч = L оч /A = 0.44/0.11 = 3.96 год.
12. Середня кількість заявок, що обслуговуються..
L обс = ρ Q = 1.56 0.86 = 1.35 од.
13. Середня кількість заявок у системі.
L CMO = L оч + L обс = 0.44 + 1.35 = 1.79 од.
13. Середній час перебування заявки до СМО.
T CMO = L CMO /A = 1.79/0.11 = 16.01 год.
Тепер відповімо питанням: яка має бути ємність підсобних приміщень m 1 , щоб ймовірність обслуговування було б більше чи дорівнює заданої величині, тобто. P обс. >0.92. Розрахунок робимо виходячи з умови: 
де 
Для наших даних: 
Далі необхідно підібрати таке k (див. п.3 "частка простою каналів"), при якому p отк 0.92.
наприклад, при k = m 1 = 4, p отк = 0.07 або p обс = 0.93.
Найпростіша одноканальна модель.Такою моделлю з ймовірнісними вхідним потоком та процедурою обслуговування є модель, що характеризується показовим розподілом як тривалостей інтервалів між надходженнями вимог, так і тривалостей обслуговування. У цьому щільність розподілу тривалостей інтервалів між надходженнями вимог має вигляд
(1)
де – інтенсивність надходження заявок до системи.
Щільність розподілу тривалостей обслуговування:
, (2)
де – інтенсивність обслуговування.
Потоки заявок та обслуговувань найпростіші.
Нехай система працює з відмовами.Необхідно визначити абсолютну та відносну пропускну здатність системи.
Представимо дану систему масового обслуговування у вигляді графа (рис.1), у якого є два стани:
S 0 -канал вільний (очікування);
S 1- канал зайнятий (йде обслуговування заявки).
Рис. 1.Граф станів одноканальної СМО із відмовами
Позначимо ймовірність станів:
P 0 (t) -ймовірність стану "канал вільний";
Р 1 (t)- ймовірність стану "канал зайнятий".
За розміченим графом станів (рис. 1) складемо систему диференціальних рівнянь Колмогорова для ймовірностей станів:
(3)
Система лінійних диференціальних рівнянь (3) має рішення з урахуванням нормувальної умови = 1. Рішення даної системи називається невстановленим, оскільки воно безпосередньо залежить від t і виглядає так:
(4)
(5)
Неважко переконатися, що для одноканальної СМО з відмовами ймовірність Р 0 (t)є не що інше, як відносна пропускна спроможність системи q.
Справді, Р 0- ймовірність того, що в момент t канал вільний і заявка, що прийшла на момент t , буде обслужена, а отже, для даного моменту часу t середнє відношення числа обслужених заявок до числа надійшли також одно , тобто.
q = . (6)
Після закінчення великого інтервалу часу () досягається стаціонарний (встановлений) режим:
Знаючи відносну пропускну здатність легко знайти абсолютну. Абсолютна пропускна спроможність (А)- середнє число, яке може обслужити система масового обслуговування за одиницю часу:
Імовірність відмови в обслуговуванні заявки дорівнюватиме ймовірності стану «канал зайнятий»:
Ця величина може бути інтерпретована як середня частка необслуговуваних заявок серед поданих.
приклад 1.Нехай одноканальна СМО з відмовами є одним постом щоденного обслуговування (ЕО) для миття автомобілів. Заявка - автомобіль, який прибув у момент, коли пост зайнятий - отримує відмову в обслуговуванні. Інтенсивність потоку автомобілів = 1,0 (автомобіль за годину). Середня тривалість обслуговування – 1,8 години. Потік автомобілів та потік обслуговування є найпростішими.
Потрібно визначити в режимі, що встановився, граничні значення:
відносної пропускної спроможності q;
абсолютної пропускної спроможності А;
ймовірності відмови.
Порівняйте фактичну пропускну спроможність СМО з номінальною, яка була б, якби кожен автомобіль обслуговувався точно 1,8 години та автомобілі прямували один за одним без перерви.
Рішення
1. Визначимо інтенсивність потоку обслуговування:
2. Обчислимо відносну пропускну здатність:
Величина qозначає, що в режимі, що встановився, система обслуговуватиме приблизно 35% автомобілів, що прибувають на пост ЕО.
3. Абсолютну пропускну здатність визначимо за формулою:
1 0,356 = 0,356.
Це означає, що система (пост ЕО) здатна здійснити в середньому 0,356 обслуговування автомобілів за годину.
3. Імовірність відмови:
Це означає, що близько 65% автомобілів, що прибули на посаду ЕО, отримають відмову в обслуговуванні.
4. Визначимо номінальну пропускну спроможність системи:
(автомобілів за годину).
Виявляється, що у 1,5 разу більше, ніж фактична пропускна спроможність, обчислена з урахуванням випадкового характеру потоку заявок та часу обслуговування.
Одноканальна СМО з очікуванням.Система масового обслуговування має один канал. Вхідний потік заявок на обслуговування - найпростіший потік з інтенсивністю. Інтенсивність потоку обслуговування дорівнює (тобто в середньому безперервно) зайнятий каналвидаватиме обслужених заявок). Тривалість обслуговування - випадкова величина, підпорядкована показовому закону розподілу. Потік обслуговування є найпростішим пуасонівським потоком подій. Заявка, що надійшла в момент, коли канал зайнятий, стає в чергу і чекає на обслуговування.
Припустимо, що незалежно від того, скільки вимог надходить на вхід обслуговуючої системи, дана система (черга + клієнти, що обслуговуються) не може вмістити більше N-вимог (заявок), тобто клієнти, які не потрапили в очікування, змушені обслуговуватися в іншому місці . Нарешті, джерело, що породжує заявки обслуговування, має необмежену (нескінченно велику) ємність.
Граф станів СМО у разі має вигляд, показаний на рис. 2.
Рис. 2.Граф станів одноканальної СМО з очікуванням
(схема загибелі та розмноження)
Стани СМО мають таку інтерпретацію:
S 0 - канал вільний;
S 1 - канал зайнятий (черги немає);
S 2 - канал зайнятий (одна заявка стоїть у черзі);
……………………
S n -канал зайнятий (n – 1 заявок стоїть у черзі);
…………………...
S N -канал зайнятий (N- 1 заявок стоїть у черзі).
Стаціонарний процес у цій системі описуватиметься наступною системою алгебраїчних рівнянь:
п- Номер стану.
Рішення наведеної вище системи рівнянь (10) для нашої моделі СМО має вигляд
(11)
Слід зазначити, що виконання умови стаціонарності для даної СМО необов'язкове, оскільки кількість заявок, що допускаються в обслуговувальну систему, контролюється шляхом введення обмеження на довжину черги (яка не може перевищувати N- 1), а чи не співвідношенням між інтенсивностями вхідного потоку, т. е. не ставленням
Визначимо характеристики одноканальної СМОз очікуванням та обмеженою довжиною черги, що дорівнює (N- 1):
ймовірність відмови в обслуговуванні заявки:
(13)
відносна пропускна здатність системи:
(14)
абсолютна пропускна спроможність:
А = q 𝝀; (15)
середня кількість заявок, що знаходяться в системі:
(16)
середній час перебування заявки у системі:
середня тривалість перебування клієнта (заявки) у черзі:
середня кількість заявок (клієнтів) у черзі (довжина черги):
L q= (1 - P N) W q.(19)
Розглянемо приклад одноканальної СМО з очікуванням.
приклад 2.Спеціалізований пост діагностики є одноканальною СМО. Число стоянок для автомобілів, що очікують проведення діагностики, обмежено і дорівнює 3 [ (N- 1) = 3]. Якщо всі стоянки зайняті, тобто в черзі вже перебувають три автомобілі, то черговий автомобіль, який прибув на діагностику, в чергу на обслуговування не стає. Потік автомобілів, що прибувають на діагностику, розподілений за законом Пуассона і має інтенсивність = 0,85 (автомобіля на годину). Час діагностики автомобіля розподілено за показовим законом і в середньому дорівнює 1,05 год.
Потрібно визначитиймовірнісні характеристики посту діагностики, що працює в стаціонарному режимі.
Рішення
1. Параметр потоку обслуговування автомобілів:
.
2. Наведена інтенсивність потоку автомобілів окреслюється відношення інтенсивностей 𝝀 і µ, тобто.
3. Обчислимо фінальні можливості системи:
4. Імовірність відмови в обслуговуванні автомобіля:
5. Відносна пропускна здатність посту діагностики:
6. Абсолютна пропускна здатність посту діагностики
А= 𝝀 q= 0,85 0,842 = 0,716 (автомобіля за годину).
7. Середня кількість автомобілів, що знаходяться на обслуговуванні та в черзі (тобто в системі масового обслуговування):
8. Середній час перебування автомобіля у системі:
9. Середня тривалість перебування заявки у черзі на обслуговування:
10. Середня кількість заявок у черзі (довжина черги):
L q= (1 - P N) W q= 0,85 (1 - 0,158) 1,423 = 1,02.
Роботу розглянутого поста діагностики можна вважати задовільною, оскільки пост діагностики не обслуговує автомобілі в середньому у 15,8% випадків. (Рвідк = 0,158).
Одноканальна СМО з очікуванням без обмеження на місткість блоку очікування(Тобто). Інші умови функціонування СМО залишаються без змін.
Стаціонарний режим функціонування даної СМО існує при будь-якому n = 0, 1, 2,... і коли 𝝀< µ. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при для любого п=0,1,2,…, має вигляд
Вирішення даної системи рівнянь має вигляд
Характеристики одноканальної СМО з очікуванням, без обмеження на довжину черги, такі:
середня кількість клієнтів (заявок) на обслуговування, що знаходяться в системі:
(22)
середня тривалість перебування клієнта у системі:
(23)
середня кількість клієнтів у черзі на обслуговуванні:
середня тривалість перебування клієнта у черзі:
приклад 3.Згадаймо про ситуацію, розглянуту у прикладі 2, де йдеться про функціонування посту діагностики. Нехай аналізований пост діагностики має в своєму розпорядженні необмежену кількість майданчиків для стоянки автомобілів, що прибувають на обслуговування, тобто довжина черги не обмежена.
Потрібно визначити фінальні значення наступних імовірнісних характеристик:
ймовірності станів системи (поста діагностики);
Середня кількість автомобілів, що знаходяться в системі (на обслуговуванні та в черзі);
Середню тривалість перебування автомобіля у системі (на обслуговуванні та в черзі);
Середня кількість автомобілів у черзі на обслуговуванні;
4. Середня тривалість перебування клієнта у системі:
5. Середня кількість автомобілів у черзі на обслуговування:
6. Середня тривалість перебування автомобіля у черзі:
7. Відносна пропускна спроможність системи:
т. е. кожну заявку, яка прийшла в систему, буде обслужена.
8 . Абсолютна пропускна спроможність:
A = q = 0,85 1 = 0,85.
Слід зазначити, що підприємство, яке здійснює діагностику автомобілів, насамперед цікавить кількість клієнтів, яка відвідає посаду діагностики при знятті обмеження на довжину черги.
Припустимо, в початковому варіантікількість місць для стоянки автомобілів, що прибувають, дорівнювала трьом (див. приклад 2). Частота твиникнення ситуацій, коли автомобіль, що прибуває на посаду діагностики, не має можливості приєднатися до черги:
т= λP N .
У прикладі при N=3 + 1= 4 і ρ = 0,893,
т = λ Р 0ρ 4 = 0,85 0,248 0,8934 = 0,134 автомобіля на годину.
При 12-годинному режимі роботи посту діагностики це еквівалентно тому, що пост діагностики в середньому за зміну (день) втрачатиме 12 0,134 = 1,6 автомобіля.
Зняття обмеження на довжину черги дозволяє збільшити кількість обслужених клієнтів у нашому прикладі в середньому на 1,6 автомобіля за зміну (12 год. роботи) посту діагностики. Зрозуміло, що рішення щодо розширення площі для стоянки автомобілів, що прибувають на посаду діагностики, має ґрунтуватися на оцінці економічної шкоди, яка обумовлена втратою клієнтів за наявності лише трьох місць для стоянки цих автомобілів.
Подібна інформація.
Коротка теорія
Нехай до n-канальної системи масового обслуговування (СМО) надходить з інтенсивністю найпростіший потік вимог. Тривалість обслуговування розподілена за показовим законом із середнім часом обслуговування. Якщо ж всі канали обслуговування зайняті, то вимога, що знову надійшла, стає в чергу за раніше надійшли не обслуженими вимогами. Канал, що звільнився, приступає до обслуговування чергової вимоги з черги. Визначимо основні характеристики роботи такої системи. Так як кількість вимог, що стоять у черзі, може бути нескінченно більшим, то й число станів системи також може бути нескінченно більшим.
Імовірність вільного стану системи:
Останній вираз отримано за умови, що є умовою стаціонарності СМО. У цьому випадку система не справляється з обслуговуванням, черга необмежено зростає. Відношення позначається через і називається рівнем завантаження системи:
Визначимо основні характеристики багатоканальної СМО з очікуванням. Імовірність отримання відмови дорівнює нулю. Відносна пропускна здатність - це величина, яка доповнює можливість відмови до одиниці: . Абсолютна пропускна спроможність. Визначимо середнє число зайнятих каналів: кожен зайнятий канал обслуговує в одиницю часу середньому заявок, а вся система - заявок. Тоді:
Коефіцієнт зайнятості каналів обслуговування:
Утворення черги можливе, коли знову пост пила вимога застане в системі не менше n вимог, тобто коли в системі перебуватиме , , вимог. Ці події незалежні, тому ймовірність того, що всі канали зайняті, дорівнює сумі ймовірностей, звідси ймовірність утворення черги:
Середню кількість заявок у черзі можна визначити як математичне очікування, складаючи твори можливої кількості заявок на ймовірність того, що кількість заявок буде в черзі:
Середня кількість заявок, пов'язаних із системою:
Визначимо середній час очікування заявки у черзі. Черга утворюється, якщо всі канали зайняті. Оскільки інтенсивність обслуговування, то потік звільнених каналів має інтенсивність. Якщо заявка надійшла в момент, коли зайняті всі канали і черги немає, то час очікування складе в середньому, а якщо застане одна вимога в черзі, то і так далі. Середній час очікування заявок у черзі знайдемо, підсумовуючи твори середнього часу очікування на відповідну ймовірність:
Середній час перебування заявок у системі:
Формули Літтла:
Середня кількість простоюючих каналів обслуговування:
Коефіцієнт простою каналів:
Приклад розв'язання задачі
Умова задачі
На будівельному складі працюють чотири комірники. Потік відвідувачів має з інтенсивністю 2 заявки на хвилину. Час обслуговування має показовий розподіл із середнім значенням 1,5 хвилини на заявку. Визначити показники роботи складу.
Якщо вам необхідна платна допомога у навчанні з вирішенням завдань, про це детально (як залишити заявку, ціни, терміни, способи оплати) можна почитати на сторінці Як замовити рішення задач за методами оптимальних рішень.
Рішення задачі
Звідси випливає, що ймовірність того, що всі чотири комірники простоюють, дорівнює 0,05. Визначимо інші показники роботи системи.
Абсолютна пропускна здатність складу, тобто кількість вимог, що обслуговуються в одиницю часу, (заявки в хвилину). Середня кількість зайнятих комірників. Імовірність утворення черги, тобто ймовірність того, що в момент звернення замовника всі чотири комірники зайняті:
Середня кількість заявок у черзі:
Середній час простоювання у черзі:
Середня кількість заявок у системі:
Середній час перебування заявки у системі:
Середня кількість простоюючих комірників:
Якщо терміни зі здаванням контрольної роботипіджимають, то тоді за гроші на сайті можна виконати вашу контрольну роботу за методами оптимальних рішень.
Середнявартість рішення контрольної роботи 700 – 1200 рублів (але не менше 300 руб. за все замовлення). На ціну сильно впливає терміновість рішення (від доби до кількох годин). Вартість онлайн-допомоги на іспиті/заліку - від 1000 руб. за рішення квитка.
Всі питання щодо вартості можете задати прямо в чат, попередньо скинувши умову завдань та повідомивши необхідні вам терміни вирішення. Час відповіді – кілька хвилин.
Приклади близьких на тему завдань
Багатоканальна СМО з відмовами
Наведено необхідні теоретичні відомості, зокрема формули Ерланга, а також зразок вирішення задачі на тему "Многоканальна система масового обслуговування з відмовими". Докладно розглянуті показники багатоканальної системи масового обслуговування (СМО) з відмовами - ймовірність відмови та ймовірність обслуговування, абсолютна пропускна спроможність системи та середня кількість каналів, зайнятих обслуговуванням заявки.
Мережеве планування - графік робіт
На прикладі розв'язання задачі розглянуто питання побудови мережевого графікаробіт, знаходження критичного шляхута критичного часу. Також показано обчислення параметрів та резервів подій та робіт - ранніх та пізніх термінів, загальних (повних) та приватних резервів.
Міжгалузева модель Леонтьєва
На прикладі розв'язання задачі розглянуто міжгалузеву модель Леонтьєва. Показано обчислення матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат, матриці «витрати-випуск», матриці коефіцієнтів непрямих витрат, векторів кінцевого споживання та валового випуску.
Завантаження...