Четверіков С. Ю., Попов М.А.

Росія, Інститут економіки та підприємництва (м. Москва)

Теорія систем масового обслуговуванняє прикладною математичною дисципліною, що досліджує числові характеристикиявищ, які у економіці. До них можна віднести функціонування телефонного вузла, центрів побутового обслуговування, касових апаратів у супермаркеті тощо.

Математичними моделями таких об'єктів служать системи масового обслуговування (СМО), що описуються наступним чином: в систему надходять вимоги (заявки на обслуговування), кожне з яких обслуговується деякий час і потім залишає систему. Проте в силу обмежень на ресурси (кількість обслуговуючих касових апаратів, швидкості обслуговування тощо) система здатна обслуговувати одночасно лише певну кількість вимог. Математичні моделі у разі покликані вирішувати завдання обчислення числових показників якості функціонування СМО.

При побудові моделей СМО важливо виділяють дві системи: детерміновану і стохастичну, які визначають тип математичної моделі.

Розглянемо найпростішу детерміновану систему, що складається з поднакових приладів, до яких вимоги надходять через детерміновані (постійні) проміжки часу, а час обслуговування кожної вимоги також постійно. Очевидно, якщо вимоги надходять через проміжки

а час обслуговування кожної вимоги повно

то необхідне та достатня умованормального функціонування системи полягає у виконанні нерівності

В іншому випадку з часом вимоги будуть накопичуватися в системі.

Параметри Xі ц мають простий фізичний зміст:

X- середня кількість вимог, що надходять за одиницю часу, або інтенсивність вхідного потоку;

ц - середня кількість вимог, яка здатна обслужити за одиницю часу кожен прилад, або інтенсивність обслуговування вимог одним приладом;

/7ц - середня кількість вимог, які здатні обслужити пприладів, або інтенсивність обслуговування вимог всією системою.

Таким чином, умова (1) означає, що інтенсивність вхідного потоку не повинна перевищувати інтенсивності обслуговування вимог усією системою. Розглянемо величину

Так зване завантаження системи.

Тоді нерівність (1) можна переписати у вигляді:

У цьому випадку завантаження можна інтерпретувати як середню частку часу, протягом якого прилади зайняті обслуговуванням вимог, а величину 1 - р - як середню частку часу протягом якого прилади простоюють.

Зрештою, ще одне зауваження до функціонування системи з детермінованими характеристиками:

якщо в початковий момент часу система вільна і виконана умова (2), то кожна вимога, що надходить до системи, відразу ж стає на обслуговуючий прилад;

у разі р

нарешті, якщо р > 1, то за одиницю часу черга в середньому збільшується на Мр-1).

У реальних системах масового обслуговування істотну роль відіграють елементи випадковості:

по-перше, часи між надходженнями вимог не є детермінованими;

по-друге, не є детермінованими часи обслуговування вимог.

Крім того, елементи випадковості можуть з'являтися з інших причин, наприклад, відмов елементів систем масового обслуговування.

Виявляється, елементи випадковості суттєво впливають на якість функціонування систем обслуговування. Тож якщо завантаження р = 1, то, на відміну детермінованих систем, в стохастичних системах черга з часом у середньому прагне нескінченності. Черги у стохастичних системах утворюються навіть у разі р

Розглянемо формалізоване опис СМО. Основними параметрами СМО є:

вхідний потік вимог;

структура системи;

тимчасові характеристики обслуговування вимог;

дисципліна обслуговування.

Розглянемо ці параметри.

Вхідний потікхарактеризується випадковими моментами надходження вимог у просту систему, а складних систем - і типами які у ці моменти вимог.

При заданні випадкового потоку зазвичай передбачається, що вхідний потік є рекурентним і найчастіше пуассонівським.

Зробимо кілька зауважень про коректність опису потоків вимог, що надходять у реальні системи, пуасонівським і рекурентним. Очевидно, що вже властивість відсутності післядії в реальних системах виконується вкрай рідко, оскільки у потоку, що володіє такою властивістю, за будь-який скільки завгодно малий проміжок часу може надійти скільки завгодно велика кількість вимог з відмінною від нуля (хоча і надзвичайно малою) ймовірністю. Однак практика показує, що опис вхідного пуассонівського потоку в більшості випадків з достатнім ступенем точності правомірно. Додатковим математичним підтвердженням цього факту є теорема Хінчина, яка каже, що об'єднання великої кількості"Рідкісних" потоків при дуже слабких обмеженнях дає пуасонівський потік.

Друга властивість пуассонівського потоку – стаціонарність – також не висмикує критики. Справді, інтенсивність вхідного потоку, зазвичай, залежить від часу доби, року тощо. Якщо зберегти властивості відсутності післядії та ординарності, то виходить нестаціонарний пуассонівський потік. У ряді випадків вдається розробити математичні моделі розрахунку економічних системз таким вхідним потоком, проте одержувані при цьому формули дуже громіздкі і важкі для практичного застосування. З цієї причини в розрахунках обмежуються деяким інтервалом часу, на якому інтенсивність вхідного потоку мало змінюється.

Якщо відмовитися тільки від властивості ординарності, то виходить неординарний потік пуасонів, у якого моменти надходження вимог утворюють звичайний потік пуасонів, але в кожен такий момент приходить випадкове число вимог. Більшість результатів, справедливих для систем з пуассонівським потоком практично без змін переноситься на системи з неординарним пуассонівським потоком.

Для завдання структури СМОнеобхідно перерахувати всі елементи, що у системі, і вказати, вимоги яких типів і навіть яких фазах обслуговування може обслуговувати кожен елемент. При цьому окремий елементможе обслуговувати вимоги кількох типів і, навпаки, вимоги одного типу можуть обслуговуватися кількома елементами. Надалі будемо припускати, що СМО є один або кілька однакових елементів і кожна вимога може обслуговуватися на будь-якому з них. Системи такого типу називаються однолінійними(один елемент) або багатолінійними(кілька елементів).

У системах обслуговування можуть бути елементи очікування вимогами початку обслуговування. Якщо таких елементів нескінченно багато, то говорять про системи з очікуванням, якщо їхня кількість звичайно - про системи з кінцевим числом місць очікування, якщо ж вони взагалі відсутні (вимога, яка залишила в момент надходження в систему всі елементи зайнятими, втрачається; приклад - звичайні телефонні системи) - про системи із втратами.

Тимчасові характеристикиобслуговування вимог також є складним об'єктом для формалізованого опису. Зазвичай передбачається, що часи обслуговування всіх вимог є незалежними між собою і є однаково розподіленими випадковими величинами. Якщо СМО надходять вимоги декількох типів, розподіл часу обслуговування може залежати від типу вимоги.

Дисципліна обслуговуванняполягає у правилі постановки вимог у чергу та порядку вибору їх з черги на обслуговування, розподілі елементів між вимогами, а в багатофазних системах – та між фазами обслуговування. Припускатимемо, що в системі реалізована найпростіша дисципліна - обслуговування вимоги в порядку надходження (FIFO). У багатолінійних системах утворюється загальна черга до всіх елементів, і перший в черзі вимога надходить на будь-який елемент, що звільнився.

Тим не менш, у СМО використовуються і складніші дисципліни обслуговування. Найпростішими прикладами таких дисциплін є інверсійний (зворотний) порядок обслуговування (LIFO), при якому обслуговується вимога, яка надійшла до системи останнім.

Дисципліна рівномірного поділу елементів системи, при якій кожне з пвимог, що знаходяться в системі, обслуговується з однаковою швидкістю 1/п.Іноді в момент надходження вимоги до системи стає відомий час його обслуговування (робота, яку належить здійснити). Тоді можна використовувати дисципліни, які залежать від залишкових часів обслуговування вимог. Зокрема, дисципліна обслуговування першої вимоги з мінімальним залишковим часом обслуговування дозволяє отримати мінімальну довжину черги у будь-який момент часу. Застосування складних дисциплін обслуговування часто дозволяє без будь-яких додаткових витрат істотно поліпшити якість функціонування СМО.

Особливий клас СМО є пріоритетні системи, які надходять потоки вимог кількох пріоритетів, і вимоги вищих пріоритетів мають перевагу перед вимогами нижчих пріоритетів, тобто. обслуговуються раніше. Пріоритети можуть бути відносними, коли вимоги вищого пріоритету не переривають обслуговування елементів нижчих пріоритетів, що знаходяться на елементах, і абсолютні, коли таке переривання відбувається.

У разі абсолютних пріоритетів також можливі різні модифікації: недообслужені вимоги з перерваним обслуговуванням залишають системи (системи з вибуттям), продовжують обслуговуватись після того, як усі вимоги більш високих пріоритетів залишать систему (системи з дообслуговуванням), обслуговуються заново.

До дисциплін обслуговування слід віднести і такі фактори, як підготовчий етап перед початком обслуговування чергової вимоги або після того, як у вільну систему надійшла вимога, етап перемикання елемента обслуговування вимог іншого типу, обслуговування вимог ненадійними елементами системи тощо. Нарешті, може бути обмежений час перебування вимоги у системі або час очікування початку обслуговування.

Опишемо тепер ті характеристики СМО, які становлять інтерес для користувача. Іноді практично їх називають вероятностно-временными характеристиками. Найбільш важливими з них є довжина черги(тобто кількість очікуваних початку обслуговування вимог) та час очікування на початок обслуговування вимоги.Оскільки і довжина черги і час очікування початку обслуговування - випадкові величини, то, природно, вони описуються своїми розподілами. Крім того, розподіл довжини черги та часу очікування залежить від поточного моменту часу.

У системах із втратами або кінцевим числом місць очікування до найважливіших характеристик відноситься також ймовірність втрати вимоги.Іноді поряд із довжиною черги розглядають загальне числовимог у системі,а поряд з часом очікування початку обслуговування - час перебування вимоги у системі.

У системах з втратами або кінцевим числом місць очікування, а також у системах з очікуванням та завантаженням р

Знаходженню стаціонарних показників присвячено більшість робіт з теорії масового обслуговування, хоча й нестаціонарні показники вивчені досить докладно.

Література

• 1. Гнєденко Б.В.Курс теорії ймовірностей. М.: Фізматгіз, 1961.
• 2. Феллер Ст.Введення в теорію ймовірностей та її застосування.T.I. М: Світ,
• 1984.
• 3. Гніденко Б.В., Коваленко І.М.Введення у теорію масового обслуговування. М: Наука, 1966.
• 4. Сааті Т.Л.Елементи теорії масового обслуговування та її застосування. М: Рад. радіо, 1965.

У практиці людської діяльностівелике місце займають процеси масового обслуговування, що виникають у системах, призначених для багаторазового використання під час вирішення однотипних завдань. Такі системи одержали назву систем масового обслуговування (СМО). Прикладами таких систем є телефонні системи, обчислювальні комплекси, системи автотранспортного, авіаційного, ремонтного обслуговування, магазини, квиткові касиі т.п.

Кожна система складається з певної кількостіобслуговуючих одиниць (приладів, апаратів, пристроїв" пунктів, станцій), які називаються каналами обслуговування. За кількістю каналів СМО поділяють на одноканальні та багатоканальні. Схема одноканальної системи масового обслуговування представлена ​​на рис. 6.2.

Заявки до системи надходять зазвичай не регулярно, а випадково, утворюючи випадковий потік заявок (вимог). Саме обслуговування кожної вимоги може тривати певний час, або, що буває частіше, невизначений час. Випадковий характер призводить до того, що СМО виявляється завантаженою нерівномірно: у якісь періоди часу накопичується дуже велика кількість заявок (вони або стають у чергу, або залишають СМО не обслуженими), в інші періоди СМО працює з недовантаженням або простоює.

Рис. 6.2.

Метою дослідження систем масового обслуговування є аналіз якості їхнього функціонування та виявлення можливостей його поліпшення. При цьому поняття "якість функціонування" у кожному окремому випадку матиме свій конкретний зміст та виражатиметься різними кількісними показниками. Наприклад, такими кількісними показниками, як величина черги на обслуговування, середній час обслуговування, очікування обслуговування або знаходження вимоги в обслуговуючій системі, час простою обслуговуючих апаратів; впевненість, що всі вимоги, що надійшли в систему, будуть обслужені.

Таким чином, під якістю функціонування системи масового обслуговування розуміють не якість виконання тієї чи іншої роботи, запит на яку надійшов, а ступінь задоволення потреби в обслуговуванні.

Предметом теорії масового обслуговування є побудова математичних моделей, що пов'язують задані умови роботи СМО (кількість каналів, їх продуктивність, характер потоку заявок тощо) з показниками ефективності СМО, що описують її здатність справлятися з потоком заявок.

Класифікація систем масового обслуговування

Першою ознакою, що дозволяє класифікувати завдання масового обслуговування, є поведінка вимог, що надійшли в обслуговувальну систему у той момент, коли всі апарати зайняті.

У деяких випадках вимога, що потрапила в систему в той момент, коли всі апарати зайняті, не може чекати на їх звільнення і залишає систему не обслуженим, тобто. вимога губиться для даної обслуговуючої системи. Такі обслуговуючі системи називаються системами із втратами, а сформульовані за ними завдання – завданнями обслуговування для систем із втратами.

Якщо ж вимога, потрапивши в систему, стає в чергу і чекає на звільнення апарату, то такі системи називаються системами з очікуванням, а відповідні завдання називаються завданнями обслуговування в системах з очікуванням. СМО з очікуванням поділяється на різні видизалежно від того, як організовано чергу: з обмеженою або необмеженою довжиною черги, з обмеженим часом очікування тощо.

СМО розрізняються і за кількістю вимог, які одночасно можуть перебувати в обслуговуючій системі. Виділяють:

• 1) системи з обмеженим потоком вимог;
• 2) системи з необмеженим потоком вимог.

Залежно від форм внутрішньої організаціїобслуговування у системі виділяють:

• 1) системи із упорядкованим обслуговуванням;
• 2) системи із невпорядкованим обслуговуванням.

Важливим етапом дослідження СМО є вибір критеріїв, що характеризують процес, що вивчається. Вибір залежить від типу досліджуваних завдань, мети, яка переслідується рішенням.

Найчастіше практично зустрічаються системи, у яких потік вимог близький до найпростішого, а час обслуговування підпорядковується показовому закону розподілу. Ці системи найповніше розроблені теорії масового обслуговування.

У разі підприємства типовими є завдання з очікуванням, з кінцевим числом обслуговуючих апаратів, з обмеженим потоком вимог і з неупорядкованим обслуговуванням.

23 жовтня 2013 о 14:22

Squeak: Моделювання систем масового обслуговування

• Програмування,
• ООП,
• Паралельне програмування

На Хабре вкрай мало інформації про таку мову програмування як Squeak. Я спробую розповісти про нього у контексті моделювання систем масового обслуговування. Покажу як написати простий клас, розповім його структуру та використовую його у програмі, яка обслуговуватиме заявки за допомогою кількох каналів.

Пару слів про Squeak

Squeak це відкрита, крос-платформна реалізація мови програмування Smalltalk-80 з динамічною типізацією та збирачем сміття. Інтерфейс досить специфічний, але цілком зручний для налагодження та аналізу. Squeak повністю відповідає концепції ОВП. Все складається з об'єктів, навіть конструкції if-then-else, for, whileреалізовані за їх допомогою. Весь синтаксис зводиться до надсилання об'єкту повідомлення у вигляді:

<объект> <сообщение>

Будь-який метод завжди повертає об'єкт, і йому можна направити нове повідомлення.
Squeak часто використовується для моделювання процесів, але може використовуватися як засіб для створення мультимедійних додатків і різноманітних освітніх платформ.

Системи масового обслуговування

Системи масового обслуговування (СМО) містять один або кілька каналів, які обробляють заявки, що надходять від декількох джерел. Час обслуговування кожної заявки може бути фіксованим або довільним, як і інтервали між їх надходженням. Це може бути телефонна станція, пральня, касири в магазині, машинописне бюро тощо. Виглядає це приблизно так:

СМО включає кілька джерел які надходять у загальну чергуі направляються обслуговування у міру звільнення каналів обробки. Залежно від конкретних особливостей реальних систем, модель може містити різну кількість джерел заявок і каналів обслуговування і мати різні обмеження на довжину черги і пов'язану з нею можливість втрати заявок (відмов).

При моделюванні СМО зазвичай вирішуються завдання оцінки середньої та максимальної довжини черги, частоти відмов у обслуговуванні, середнього завантаження каналів, визначення їх числа. Залежно від завдання, модель включають програмні блоки збору, накопичення та обробки необхідних статистичних даних про поведінку процесів. Найчастіше використовуваними моделями потоків подій при аналізі СМО є регулярні і пуассонівські. Регулярні характеризуються однаковим часом між настаннями подій, а пуасонівські – випадковим.

Трохи математики

Для пуасонівського потоку кількість подій X, що потрапляють в інтервал довжини τ (тау), що примикає до точки t, розподілено згідно із законом Пуассона:
де a (t, τ)- середня кількість подій, що настають на інтервалі часу τ .
Середня кількість подій, що наступають в одиницю часу, дорівнює λ(t). Отже, середня кількість подій на інтервалі часу τ , що примикає до моменту часу t, буде одно:

Час Tміж двома подіями при λ(t) = const = λрозподілено згідно із законом:
Щільність розподілу випадкової величини Tмає вигляд:
Для отримання псевдовипадкових пуассонівських послідовностей інтервалів часу t iвирішують рівняння:
де r i- Поступово розподілене на інтервалі випадкове число.
У нашому випадку це дає вираз:

По генерації випадкових чисел можна писати цілі томи. Тут же для генерації рівномірно розподілених на інтервалі цілих чисел використовуємо наступний алгоритм:
де R i- чергове випадкове ціле число;
Р- деяке велике просте число (наприклад, 2311);
Q- ціле число - верхня межа інтервалу, наприклад, 221 = 2097152;
rem- Операція отримання залишку від поділу цілих чисел.

Початкове значення R 0зазвичай задають довільно, наприклад, використовуючи показання таймера:
Time totalSeconds
Для отримання рівномірно розподілених на інтервалі чисел скористаємося оператором мови:

Клас Rand

Для отримання рівномірно розподілених на інтервалі випадкових чисел створюємо клас - генератор дійсних чисел:

Float variableWordSubclass: #Rand "ім'я класу" instanceVariableNames: "" "змінні екземпляри" classVariableNames: "R" "змінні класу" poolDictionaries: "" " спільні словники category: "Sample" "ім'я категорії"
Методи:

"Ініціалізація" init R:= Time totalSeconds.next "Наступне псевдовипадкове число" next R:= (R * 2311 + 1) rem: 2097152. ^(R/2097152) asFloat
Для встановлення початкового стану датчика надсилаємо повідомлення Rand init.
Для отримання чергового випадкового числапосилаємо Rand next.

Програма обробки заявок

Отже, як простенький приклад зробимо таке. Нехай нам необхідно промоделювати обслуговування регулярного потоку заявок від одного джерела з інтервалом випадкового часу між заявками. Є два канали різної продуктивності, що дозволяють обслуговувати заявки за 2 та 7 одиниць часу відповідно. Необхідно зареєструвати кількість заявок, що обслуговуються кожним каналом на інтервалі 100 одиниць часу.

Код на Squeak

"Оголошення тимчасових змінних" | proc1 proc2 t1 t2 s1 s2 sysPriority queue continue r | "Початкові установки змінних" Rand init. SysTime:= 0. s1:= 0. s2:= 0. t1:= -1. t2: = -1. continue: = true. sysPriority:= Processor activeProcess priority. "Поточний пріоритет" queue:= Semaphore new. "Модель черги заявок" "Створення процесу - моделі каналу 1" (Process forContext: [ proc1:= Processor activeProcess. whileTrue: "Цикл обслуговування" [ queue wait. "Чекати на заявку" t1:= SysTime + 2. "Наступний час активізації" s1:= s1 + 1. proc1 suspend. "Зупинити процес в очікуванні закінчення обслуговування" ]. proc1:= nil. "Видалити посилання на процес 1" ] priority: (sysPriority + 1)) resume. "Новий пріоритет більше фонового" "Створення процесу - моделі каналу 2" (Process forContext: [ proc2:= Processor activeProcess.. whileTrue: [ queue wait. t2:= SysTime + 7. s2:= s2 + 1. proc2 suspend. ] .proc2:= nil.] priority: (sysPriority + 1)) resume. "Продовження опису головного процесу і моделі джерела" при цьомуправоруч: [ r:= (Rand next * 10) rounded. (r = 0) якщоТруе: . ((SysTime rem: r) = 0) ifTrue: . "Надіслати заявку" "Коммутатор процесів обслуговування" (t1 = SysTime) ifTrue: . (t2 = SysTime) ifTrue: . SysTime:= SysTime + 1. "Тикає модельний час"]. "Показати стан лічильника заявок" PopUpMenu inform: "proc1: ",(s1 printString),", proc2: ",(s2 printString). continue: = false.

При запуску бачимо, що процес 1 встиг обробити 31 заявку, а процес 2 лише 11:

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

гарну роботуна сайт">

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://allbest.ru

ВСТУП

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

1.1 Системи масового обслуговування з відмовами

1.2 Моделювання систем масового обслуговування

1.3 Найпростіша СМО з відмовами

1.4 Одноканальна СМО з відмовами

1.5 Багатоканальна СМО з відмовами

1.6 Одноканальна СМО з обмеженою довжиною черги

1.7 Одноканальна СМО з необмеженою чергою

1.8 Багатоканальна СМО з обмеженою довжиною черги

1.9 Багатоканальна СМО з необмеженою чергою

1.10 Алгоритм моделювання СМО

РОЗДІЛ 2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

ГЛАВА 3. ПРАВИЛА ТЕХНІКИ БЕЗПЕКИ

ВИСНОВОК

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

ВСТУП

За Останнім часому самих різних областяхпрактики виникла потреба у вирішенні різних ймовірнісних завдань, що з роботою про систем масового обслуговування (СМО).

Прикладами таких систем можуть бути: телефонні станції, ремонтні майстерні, квиткові каси, стоянки таксі, перукарні тощо.

Темою даного курсового проекту якраз і є вирішення такого завдання.

Однак, у запропонованій задачі буде досліджено СМО, в якій розглядаються 2 потоки заявок, один з яких має пріоритет.

Також аналізовані процеси є немарківськими, т.к. важливий чинник часу.

Тому вирішення цього завдання побудовано не так на аналітичному описі системи, але в статистичному моделюванні.

Метою курсової роботиє моделювання виробничого процесу з урахуванням уявлення основного устаткування, як системи масового обслуговування.

Для досягнення мети було поставлено такі завдання: - проаналізувати особливості управління виробничим процесом; - розглянути організацію виробничого процесу у часі; - навести основні варіанти скорочення тривалості виробничого циклу;

Провести аналіз методів управління виробничим процесом для підприємства;

Розглянути особливості моделювання виробничого процесу з використанням теорії СМО;

Розробити модель виробничого процесу та оцінити основні характеристики СМО, навести перспективи її подальшої програмної реалізації.

Закріплення теоретичних знань та здобуття навичок їх практичного застосування;

Звіт містить вступ, три розділи, висновок, список використаної літератури, додатки.

У другому розділі розглядаються теоретичні матеріали системи масового обслуговування. А в третій обчислюємо завдання систем масового обслуговування.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

1.1 Системи масового обслуговуванняcвідмовами

Системою масового обслуговування (СМО) називається будь-яка система, призначена обслуговування будь-яких заявок (вимог), які у неї у випадкові моменти часу. Будь-який пристрій, який безпосередньо займається обслуговуванням заявок, називається каналом обслуговування (або приладом). СМО бувають як одно-, і багатоканальними.

Розрізняють СМО з відмовами та СМО з чергою. У СМО з відмовами заявка, яка прийшла в момент, коли всі канали зайняті, отримує відмову, залишає СМО, а надалі в процесі роботи не бере участі. У СМО із чергою заявка, яка прийшла в момент зайнятості всіх каналів, не залишає СМО, а стає в чергу і чекає, доки не звільниться якийсь канал. Число місць у черзі т може бути як обмеженим, так і необмеженим. При т=0 СМО з чергою перетворюється на СМО з відмовами. Черга може мати обмеження не лише за кількістю заявок, що стоять у ній (довжині черги), а й за часом очікування (такі СМО називаються “системами з нетерплячими клієнтами”).

Аналітичне дослідження СМО є найпростішим, якщо всі потоки подій, що переводять її зі стану в стан, - найпростіші (стаціонарні пуассонівські). Це означає, що інтервали часу між подіями потоків мають показовий розподіл з параметром, рівним інтенсивності відповідного потоку. Для СМО це припущення означає, що як потік заявок, і потік обслуговування - найпростіші. Під потоком обслуговування розуміється потік заявок, що обслуговуються одна за одною безперервно зайнятим каналом. Цей потік виявляється найпростішим, тільки якщо час обслуговування заявки tобсл є випадковою величиною, що має показовий розподіл. Параметр цього розподілу м є величина, обернена до середнього часу обслуговування:

Замість фрази "потік обслуговування - найпростіший" часто говорять "час обслуговування - показовий". Будь-яка СМО, в якій всі потоки найпростіші, називається найпростішою СМО.

Якщо всі потоки подій найпростіші, то процес, що протікає в СМО, являє собою випадковий марківський процес з дискретними станами і безперервним часом. За виконання деяких умов цього процесу існує фінальний стаціонарний режим, у якому як ймовірності станів, і інші характеристики процесу залежить від часу.

Моделі СМО зручні для опису окремих підсистем сучасних обчислювальних систем, таких як підсистема процесор - основна пам'ять, канал введення-виводу тощо.

Обчислювальна система загалом є сукупність взаємозалежних підсистем, взаємодія яких має імовірнісний характер. Заявка на вирішення деякої задачі, що надходить в обчислювальну систему, проходить послідовність етапів рахунку, звернення до зовнішніх пристроїв і пристроїв введення-виведення.

Після виконання деякої послідовності таких етапів, число та тривалість яких залежить від трудомісткості програми, заявка вважається обслуженою та залишає обчислювальну систему.

Таким чином, обчислювальну систему в цілому можна представляти сукупністю СМО, кожна з яких відображає функціонування окремого пристрою або групи однотипних пристроїв, що входять до складу системи.

Завдання теорії масового обслуговування - це знаходження вірогідностей різних станів СМО, а також встановлення залежності між заданими параметрами (числом каналів п, інтенсивністю потоку заявок л, розподілом часу обслуговування і т. д.) і характеристиками ефективності роботи СМО. Як такі характеристики можуть розглядатися, наприклад, такі:

Середня кількість заявок А, що обслуговується СМО в одиницю часу, або абсолютна пропускна спроможністьСМО;

ймовірність обслуговування заявки Q, що надійшла, або відносна пропускна здатність СМО; Q = А/л;

Можливість відмови Ротк, тобто. ймовірність того, що заявка, що надійшла, не буде обслужена і отримає відмову; Ротк = 1 - Q;

Середня кількість заявок до СМО (обслуговуються або чекають у черзі);

Середня кількість заявок у черзі;

Середній час перебування заявки до СМО (у черзі чи під обслуговуванням);

Середній час перебування заявки у черзі;

Середня кількість зайнятих каналів.

У загальному випадкувсі ці показники залежать від часу. Але багато СМО працюють у незмінних умовах досить довгий час, і тому для них встигає встановити режим, близький до стаціонарного.

Ми тут усюди, не обговорюючи цього щоразу спеціально, обчислюватимемо фінальні ймовірності станів та фінальні характеристики ефективності СМО, які стосуються граничного стаціонарного режиму її роботи.

СМО називається відкритою, якщо інтенсивність потоку заявок, що надходить на неї, не залежить від стану самої СМО.

Для будь-якої відкритої СМО у граничному стаціонарному режимі середній час перебування заявки в системі виражається через середню кількість заявок у системі за допомогою формули Літтла:

де л – інтенсивність потоку заявок.

Аналогічна формула (названа також формулою Літтла) пов'язує середній час перебування заявки у черзі та середня кількість заявок у черзі:

Формули Літтла дуже корисні, тому що дозволяють обчислювати не обидві характеристики ефективності (середній час перебування та середня кількість заявок), а лише якусь одну з них.

Спеціально підкреслимо, що формули (1) та (2) справедливі для будь-якої відкритої СМО (одноканальної, багатоканальної, за будь-яких видів потоків заявок та потоків обслуговування); єдина вимога до потоків заявок та обслуговування – щоб вони були стаціонарними.

Аналогічно універсальне значеннядля відкритих СМО має формула, що виражає середню кількість зайнятих каналів через абсолютну пропускну здатність А:

де – інтенсивність потоку обслуговування.

Дуже багато завдань теорії масового обслуговування, що стосуються найпростіших СМО, вирішуються за допомогою схеми загибелі та розмноження.

Фінальні ймовірності станів виражаються формулами:

Список характеристик систем масового обслуговування можна так:

· середній час обслуговування;

· Середній час очікування в черзі;

· Середній час перебування в СМО;

· Середня довжина черги;

· Середня кількість заявок у СМО;

· Кількість каналів обслуговування;

· Інтенсивність вхідного потоку заявок;

· Інтенсивність обслуговування;

· Інтенсивність навантаження;

· Коефіцієнт навантаження;

· Відносна пропускна здатність;

· Абсолютна пропускна здатність;

· Частка часу простою СМО;

· Частка обслужених заявок;

· Частина втрачених заявок;

· Середня кількість зайнятих каналів;

· Середня кількість вільних каналів;

· Коефіцієнт завантаження каналів;

· Середній час простою каналів.

1 . 2 Моделювання систем масового обслуговування

Переходи СМО з одного стану до іншого відбуваються під впливом цілком певних подій - надходження заявок та їх обслуговування. Послідовність появи подій, що йдуть одна за одною у випадкові моменти часу, формує так званий потік подій. Прикладами таких потоків у комерційної діяльностіє потоки різної природи - товарів, грошей, документів, транспорту, клієнтів, покупців, телефонних дзвінків, переговорів. Поведінка системи зазвичай визначається одним, а одночасно кількома потоками подій. Наприклад, обслуговування покупців у магазині визначається потоком покупців та потоком обслуговування; у цих потоках випадковими є моменти появи покупців, час очікування у черзі та час, що витрачається обслуговування кожного покупця.

При цьому основною характерною рисою потоків є розподіл ймовірності часу між сусідніми подіями. Існують різні потоки, що відрізняються своїми характеристиками.

Потік подій називається регулярним, якщо в ньому події йдуть одна за одною через заздалегідь задані і певні проміжки часу. Такий потік є ідеальним і дуже рідко трапляється на практиці. Найчастіше зустрічаються нерегулярні потоки, що не володіють властивістю регулярності.

Потік подій називається стаціонарним, якщо ймовірність попадання будь-якого числа подій на проміжок часу залежить тільки від довжини цього проміжку і не залежить від того, як далеко розташований цей проміжок від початку часу. Стаціонарність потоку означає незалежність від часу його імовірнісних характеристик, зокрема інтенсивність такого потоку є середнє число подій в одиницю часу і залишається величиною постійної. Насправді зазвичай потоки можуть вважатися стаціонарними лише з деякому обмеженому проміжку часу. Зазвичай потік покупців, наприклад, у магазині суттєво змінюється протягом робочого дня. Однак можна виділити певні часові інтервали, всередині яких цей потік можна розглядати як стаціонарний, що має постійну інтенсивність.

Потік подій називається потоком без наслідки, якщо кількість подій, що потрапляють на один із довільно вибраних проміжків часу, не залежить від кількості подій, що потрапили на інший, також довільно вибраний проміжок за умови, що ці проміжки не перетинаються між собою. У потоці без наслідку події виникають у послідовні моменти часу незалежно друг від друга. Наприклад, потік покупців, що входять до магазину, можна вважати потоком без наслідків тому, що причини, що зумовили прихід кожного з них, не пов'язані з аналогічними причинами для інших покупців.

Потік подій називається ординарним, якщо ймовірність попадання на дуже малий відрізок часу одразу двох або більше подій нехтує в порівнянні з ймовірністю попадання тільки однієї події. В простому потоці події відбуваються поодинці, а не по два або більше разів. Якщо потік одночасно має властивості стаціонарності, ординарності та відсутність наслідку, то такий потік називається найпростішим (або пуассонівським) потоком подій. Математичний опис впливу такого потоку на системи виявляється найпростішим. Тому, найпростіший потік грає серед інших існуючих потоків особливу роль.

Розглянемо на осі часу певний проміжок часу t. Припустимо, ймовірність попадання випадкової події на цей проміжок p, а повна кількість можливих подій - п. За наявності властивості ординарності потоку подій ймовірність р повинна бути досить малою величиною, а я - досить великою кількістю, оскільки розглядаються масові явища.

У цих умовах для обчислення ймовірності попадання на проміжок часу t деякої кількості подій т можна скористатися формулою Пуассона:

Pm, n= am_e-a; (m=0,n),

де величина а = пр - середня кількість подій, що потрапляють на проміжок часу t, яке можна визначити через інтенсивність потоку подій X наступним чином: a = л ф

Розмір інтенсивності потоку X є середнє число подій в одиницю часу. Між п і л, р і ф є наступний зв'язок:

n = л t; p= ф/t

де t- весь проміжок часу, на якому розглядається дія потоку подій.

Необхідно визначити розподіл інтервалу часу Т між подіями у такому потоці. Оскільки це випадкова величина, то знайдемо її функцію розподілу. Як відомо з теорії ймовірностей, інтегральна функція розподілу F(t) є ймовірність того, що величина T буде меншою за час t.

F(t)=P(T

За умовою протягом часу T не має відбутися жодної події, а на інтервалі часу t має з'явитися хоча б одна подія. Ця можливість обчислюється з допомогою ймовірності протилежного події на проміжку часу (0; t), куди потрапило жодної події, тобто. m = 0, тоді

F(t)=1-P0=1-(a0*e-a)0!=1-e-Xt,t?0

Для малих?t можна отримати наближену формулу, що отримується заміною функції e-Xt, тільки двома членами розкладання в ряд за ступенями?t, тоді ймовірність попадання на малий проміжок часу?t хоча б однієї події становить

P(T

Щільність розподілу проміжку часу між двома послідовними подіями отримаємо, продиференціювавши F(t) за часом,

f(t)= л e-л t, t?0

Користуючись отриманою функцією щільності розподілу, можна одержати числові характеристики випадкової величини Т: математичне очікування М(Т), дисперсію D(T) та середнє відхилення у(Т).

М(Т) = л??0 t * e-лt * dt = 1 / л; D(T)=1/ л2; у (T) = 1 / л.

Звідси можна зробити такий висновок: середній інтервал часу Т між будь-якими двома сусідніми подіями в найпростішому потоці в середньому дорівнює 1/л, та його середнє квадратичне відхилення також дорівнює 1/л, л де - інтенсивність потоку, тобто. середня кількість подій, що відбуваються в одиницю часу. Закон розподілу випадкової величини, що має такі властивості М(Т) = Т, називається показовим (або експоненціальним), а величина л є параметром цього показового закону. Таким чином, для найпростішого потоку математичне очікування інтервалу часу між сусідніми подіями дорівнює його середньоквадратичному відхиленню. У цьому випадку ймовірність того, що кількість заявок, що надходять на обслуговування за проміжок часу t, дорівнює до визначається за законом Пуассона:

Pk(t)=(лt)k/k! *e-л t,

де л - інтенсивність надходження потоку заявок, середня кількість подій у СМО за одиницю часу, наприклад [чол/хв; руб./год; чеків/годину; докум./день; кг./година; т. / Рік].

Для такого потоку заявок час між двома сусідніми заявками Т розподілено експоненційно із щільністю ймовірності:

ѓ(t)= л e-л t.

Випадковий час очікування у черзі початку обслуговування t теж можна вважати розподіленим експоненційно:

? (tоч) = V * e-v tоч,

де v - інтенсивність потоку проходу черги, що визначається середнім числом заявок, що проходять обслуговування в одиницю часу:

v=1/Точ,

де Точ середній час очікування обслуговування у черзі.

Вихідний потік заявок пов'язаний з потоком обслуговування в каналі, де тривалість обслуговування tобс теж випадковою величиною і підпорядковується в багатьох випадках показовому закону розподілу з щільністю ймовірності:

?(t обс)=µ*е µ t обс,

де - інтенсивність потоку обслуговування, тобто. середня кількість заявок, що обслуговуються в одиницю часу:

µ=1/ t обс[чол/хв; руб./год; чеків/годину; докум./день; кг./година; т./рік] ,

де t обс – середній час обслуговування заявок.

Важливою характеристикою СМО, що поєднує показники л і µ є інтенсивність навантаження: с= л/ µ, яка показує ступінь узгодження вхідного і вихідного потоків заявок каналу обслуговування і визначає стійкість системи масового обслуговування.

Крім поняття найпростішого потоку подій, часто доводиться користуватися поняттями потоків інших типів. Потік подій називається потоком Пальма, коли в цьому потоці проміжки часу між послідовними подіями T1, T2, ..., Тk ..., Тn є незалежними, однаково розподіленими, випадковими величинами, але на відміну від найпростішого потоку не обов'язково розподіленими за показовим законом. Найпростіший потік є окремим випадком потоку Пальма.

Важливим окремим випадком потоку Пальма є так званий потік Ерланга.

Цей потік виходить «проріджування» найпростішого потоку. Таке «проріджування» здійснюється шляхом відбору за певним правилом подій із найпростішого потоку.

Наприклад, умовившись враховувати тільки кожну другу подію з тих, що утворюють найпростіший потік, ми отримаємо потік Ерланга другого порядку. Якщо брати лише кожну третю подію, то утворюється потік Ерланга третього порядку тощо.

Можна отримати потоки Ерланга будь-якого порядку. Очевидно, найпростішим потіком є ​​потік Ерланга першого порядку.

Будь-яке дослідження системи масового обслуговування починається з вивчення того, що необхідно обслуговувати, отже, з вивчення вхідного потоку заявок та його характеристик.

Оскільки моменти часу t і інтервали часу надходження заявок ф, потім тривалість операцій обслуговування t обс і час очікування в черзі tоч, а також довжина черги lоч - випадкові величини, то, отже, характеристики стану СМО мають імовірнісний характер, а для їх опису слід застосовувати методи та моделі теорії масового обслуговування.

Перераховані вище характеристики до, ф, л, Lоч, Точ, v, tобс, µ, р, Рk є найбільш загальними для СМО, які зазвичай лише деякою частиною цільової функції, оскільки необхідно враховувати ще й показники комерційної діяльності.

1 . 3 Найпростіша СМО з відмовами

На n-канальну СМО з відмовами надходить найпростіший потік заявок з інтенсивністю л; час обслуговування – показовий з параметром. Стани СМО нумеруються за кількістю заявок, що перебувають у СМО (через відсутність черги воно збігається з кількістю зайнятих каналів):

S0 - СМО вільна;

S1 - зайнятий один канал, інші вільні;

...;

S k- зайнято kканалів, інші вільні (1 kn);

…;

S n- зайняті всі nканалів.

Фінальні ймовірності станів виражаються формулами Ерланга:

де с = л/м.

Характеристики ефективності:

A=(1-p n); Q = 1-p n; Pотк = p n; =(1-p n).

При великих значеннях пймовірності станів (1*) зручно обчислювати через табульовані функції:

(розподіл Пуассона) та

,

з яких першу можна виразити через другу:

Користуючись цими функціями, формули Ерланга (1*) можна переписати як

.

1.4 Одноканальна СМО з відмовами

Проведемо аналіз простої одноканальної СМО з відмовими в обслуговуванні, на яку надходить пуасонівський потік заявок з інтенсивністю л, а обслуговування відбувається під дією пуассонівського потоку з інтенсивністю м.м.

Роботу одноканальної СМО n=1 можна подати у вигляді розміченого графа станів (3.1).

Переходи СМО з одного стану S0 до іншого S1 відбуваються під дією вхідного потоку заявок з інтенсивністю л, а зворотний перехід - під дією потоку обслуговування з інтенсивністю м.

Запишемо систему диференціальних рівнянь Колмогорова для ймовірностей стану за викладеними вище правилами:

Звідки отримаємо диференціальне рівняння визначення ймовірності р0(t) стану S0:

Це рівняння можна вирішити за початкових умов у припущенні, що система у момент t=0 перебувала у стані S0, тоді р0(0)=1, р1(0)=0.

У цьому випадку рішення диференціального рівняння дозволяє визначити ймовірність того, що канал вільний і не зайнятий обслуговуванням:

Тоді неважко отримати вираз для ймовірності визначення ймовірності зайнятості каналу:

Імовірність р0(t) зменшується з плином часу та в межі при t>? прагне величини

а ймовірність р1(t) у той самий час збільшується від 0, прагнучи межі при t>? до величини

Ці межі ймовірностей можуть бути отримані безпосередньо з рівнянь Колмогорова за умови

Функції р0(t) і р1(t) визначають перехідний процес в одноканальній СМО і описують процес експоненційного наближення СМО до свого граничного стану з постійною часу характерною для системи, що розглядається.

З достатньої практики точністю вважатимуться, що перехідний процес у СМО закінчується протягом часу, одно 3ф.

Імовірність р0(t) визначає відносну пропускну здатність СМО, яка визначає частку обслуговуваних заявок по відношенню до повного числа заявок, що надходять, в одиницю часу.

Дійсно, р0(t) є ймовірність того, що заявка, яка прийшла в момент t, буде прийнята до обслуговування. Усього в одиницю часу приходить у середньому л заявок і їх обслуговується лр0 заявок.

Тоді частка заявок, що обслуговуються, по відношенню до всього потоку заявок визначаться величиною

У межі при t>? практично вже при t>3ф значення відносної пропускної здатності дорівнюватиме

Абсолютна пропускна здатність, що визначає кількість заявок, що обслуговуються в одиницю часу в межі при t>?, дорівнює:

Відповідно частка заявок, які отримали відмову, становить у цих самих граничних умовах:

а загальна кількість необслуговуваних заявок дорівнює

Прикладами одноканальних СМО з відмовами в обслуговуванні є стіл замовлень у магазині, диспетчерська автотранспортного підприємства, контора складу, офіс управління комерційної фірми, з якими встановлюється зв'язок по телефону.

1.5 Багатоканальна СМО з відмовами

У комерційній діяльності прикладами багатоканальних СМО є офіси комерційних підприємств з кількома телефонними каналами, безкоштовна довідкова служба з наявності в автомобільних магазинах найдешевших автомобілів у Москві має 7 телефонних номерів, а додзвонитися та отримати довідку, як відомо, дуже важко.

Отже, авто магазини втрачають клієнтів, можливість збільшити кількість проданих автомобілів та виручку від продажів, товарообіг, прибуток.

Туристичні фірми з продажу путівок мають два, три, чотири та більше каналів, як, наприклад, фірма Express-Line.

Розглянемо багатоканальну СМО з відмовами в обслуговуванні на вхід якої надходить пуасонівський потік заявок з інтенсивністю л.

Потік обслуговування в кожному каналі має інтенсивність м. За кількістю заявок СМО визначаються її стани Sk, представлені у вигляді розміченого графа:

S0 - всі канали вільні k = 0,

S1 - зайнятий лише один канал, k=1,

S2 - зайняті лише два канали, k=2,

Sk - зайняті до каналів,

Sn - зайняті всі n каналів, k = n.

Стани багатоканальної СМО змінюються стрибкоподібно у випадкові моменти часу. Перехід з одного стану, наприклад S0 S1, відбувається під впливом вхідного потоку заявок з інтенсивністю л, а назад - під впливом потоку обслуговування заявок з інтенсивністю м.

Для переходу системи зі стану Skв Sk-1 байдуже, який саме з каналів звільнитися, тому потік подій, що переводить СМО, має інтенсивність kм, отже, потік подій, що переводить систему з Snв Sn-1, має інтенсивність nм.

Так формулюється класичне завдання Ерланга, названа на ім'я датського інженера - математика-засновника теорії масового обслуговування.

Випадковий процес, що протікає в СМО, є окремим випадком процесу «народження- загибелі» і описується системою диференціальних рівнянь Ерланга, які дозволяють отримати вирази для граничних ймовірностей стану аналізованої системи, звані формулами Ерланга:

.

Обчисливши всі можливості станів n - канальної СМО з відмовами р0 , р1, р2, …, рk, …, рn, можна визначити властивості системи обслуговування.

Імовірність відмови в обслуговуванні визначається ймовірністю того, що заявка на обслуговування, що надійшла, знайде всі n каналів зайнятими, система перебуватиме в стані Sn:

k=n.

У системах з відмовами події відмови та обслуговування становлять повну групу подій, тому:

Ротк+Робс=1

На цій підставі відносна пропускна здатність визначається за формулою

Q = Pобс = 1-Ротк = 1-Рn

Абсолютну пропускну здатність СМО можна визначити за формулою

А = л * Робс

Імовірність обслуговування, або частка обслужених заявок, визначає відносну пропускну здатність СМО, яка може бути визначена і за іншою формулою:

З цього виразу можна визначити середню кількість заявок, що знаходяться під обслуговуванням, або, що саме, середня кількість зайнятих обслуговуванням каналів

Коефіцієнт зайнятості каналів обслуговуванням визначаться ставленням середньої кількості зайнятих каналів до їх загального числа

Імовірність зайнятості каналів обслуговуванням, яка враховує середній час зайнятості tзан і простою tпр каналів, визначається так:

З цього виразу можна визначити середній час простою каналів

Середній час перебування заявки в системі в режимі, що встановився, визначаться формулою Літтла.

Тсмо = nз/л.

1.6 Одноканальна СМО з обмеженою довжиною черги

У комерційній діяльності найчастіше зустрічаються СМО з очікуванням (чергою).

Розглянемо просту одноканальну СМО з обмеженою чергою, у якій кількість місць у черзі т - фіксована величина. Отже, заявка, що надійшла в той момент, коли всі місця в черзі зайняті, не приймається до обслуговування, не встає в чергу і залишає систему.

Граф цієї СМО подано на рис. 3.4 та збігається з графом рис. 2.1 описує процес «народження - загибелі», з тією відмінністю, що за наявності тільки одного каналу.

Розмічений граф процесу «народження – загибелі» обслуговування всі інтенсивності потоків обслуговування рівні

Стану СМО можна представити так:

S0 - канал обслуговування вільний,

S, - канал обслуговування зайнятий, але черги немає,

S2-канал обслуговування зайнятий, у черзі стоїть одна заявка,

S3-канал обслуговування зайнятий, у черзі стоять дві заявки,

Sm+1 - канал обслуговування зайнятий, у черзі всі місця зайняті, будь-яка наступна заявка отримує відмову.

Для опису випадкового процесу СМО можна скористатися викладеними раніше правилами та формулами. Напишемо вирази, що визначають граничні ймовірності станів:

Вираз для р0 можна в даному випадку записати простіше, користуючись тим, що у знаменнику стоїть геометрична прогресія щодо р, тоді після відповідних перетворень отримуємо:

с= (1- з)

Ця формула справедлива всім р, відмінних від 1, якщо р = 1, то р0 = 1/(т + 2), проте інші ймовірності також дорівнюють 1/(т + 2).

Якщо припустити т = 0, ми переходимо від розгляду одноканальної СМО з очікуванням до вже розглянутої одноканальної СМО з відмовами в обслуговуванні.

Справді, вираз для граничної ймовірності р0 у разі т = 0 має вигляд:

pо = м/(л+м)

І у разі л = м має величину р0 = 1/2.

Визначимо основні характеристики одноканальної СМО з очікуванням: відносну та абсолютну пропускну здатність, ймовірність відмови, а також середню довжину черги та середній час очікування заявки у черзі.

Заявка отримує відмову, якщо вона надходить у момент часу, коли СМО вже перебуває в стані Sm+1 і, отже, всі місця в черзі та зайняті та один канал обслуговує

Тому ймовірність відмови визначається ймовірністю появою

Стан Sm+1:

Pотк = pm+1 = сm+1 * p0

Відносна пропускна здатність, або частка заявок, що обслуговуються, що надходять в одиницю часу, визначається виразом

Q = 1 - pотк = 1 - см + 1 * p0

абсолютна пропускна здатність дорівнює:

Середня кількість заявок, що знаходяться в черзі на обслуговування, визначається математичним очікуванням випадкової величини до - числа заявок, що стоять у черзі.

випадкова величинадо приймає такі цілочислові значення:

1 - у черзі стоїть одна заявка,

2 - у черзі дві заявки,

т-в черзі всі місця зайняті

Імовірності цих значень визначаються відповідними ймовірностями станів, починаючи зі стану S2. Закон розподілу дискретної випадкової величини до зображується так:

Таблиця 1. Закон розподілу дискретної випадкової величини

Математичне очікування цієї випадкової величини дорівнює:

Lоч = 1 * p2 +2 * p3 + ... + m * pm +1

У випадку при p ?1 цю суму можна перетворити, користуючись моделями геометричної прогресії, до зручнішого виду:

Lоч = p2* 1-pm * (m-m*p+1)* p0

В окремому випадку при р = 1, коли всі ймовірності pk виявляються рівними, можна скористатися виразом для суми членів числового ряду

1+2+3+ m = m(m+1)

Тоді отримаємо формулу

L"оч= m(m+1)* p0 = m(m+1)(p = 1).

Застосовуючи аналогічні міркування та перетворення, можна показати, що середній час очікування обслуговування заявки а черги визначається формулами Літтла

Точ = Lоч / А (при р? 1) і Т1оч = L"оч / А (при р = 1).

Такий результат, коли виявляється, що Точ ~ 1/ л, може здатися дивним: зі збільшенням інтенсивності потоку заявок начебто має зростати довжина черги та зменшується середній час очікування. Однак слід мати на увазі, що, по-перше, величина Lоч є функцією від л і м і, по-друге, розглянута СМО має обмежену довжину черги не більше mзаявок.

Заявка, що надійшла до СМО в момент часу, коли всі канали зайняті, отримує відмову, і, отже, час її «очікування» в СМО дорівнює нулю. Це призводить у загальному випадку (при р? 1) до зменшення Точростом л, оскільки частка таких заявок із зростанням л збільшується.

Якщо відмовитися від обмеження довжину черги, тобто. спрямувати m->>?, то випадки р< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду

При досить великому до ймовірності pk прагне до нуля. Тому відносна пропускна здатність буде Q = 1, а абсолютна пропускна здатність стане рівною А - л Q - л отже, обслуговуються всі заявки, причому середня довжина черги виявиться рівною:

Lоч = p2 1-p

а середній час очікування за формулою Літтла

Точ = Lоч/А

У межі р<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t >?). Граничні ймовірності станів тому неможливо визначити: при Q= 1 вони дорівнюють нулю. Фактично СМО не виконує своїх функцій, оскільки вона не в змозі обслужити всі заявки, що надходять.

Неважко визначити, що частка заявок, що обслуговуються, і абсолютна пропускна здатність відповідно становлять в середньому з ним, проте необмежене збільшення черги, а отже, і часу очікування в ній призводить до того, що через деякий час заявки починають накопичуватися в черзі на необмежено довгий час.

Як одну з характеристик СМО використовують середній час Тсмо перебування заявки СМО, що включає середній час перебування в черзі і середній час обслуговування. Ця величина обчислюється за формулами Літтла: якщо довжина черги обмежена - середня кількість заявок, що знаходяться в черзі, дорівнює:

Lсмо= m+1 ;2

Тсмо = Lсмо;при p?1

А тоді середній час перебування заявки в системі масового обслуговування (як у черзі, так і під обслуговуванням) дорівнює:

Тсмо = m+1 при p? 1 2м

1.7 Одноканальна СМО з необмеженою чергою

У комерційній діяльності як одноканальна СМО з необмеженим очікуванням є, наприклад, комерційний директор, оскільки він, як правило, змушений виконувати обслуговування заявок різної природи: документи, телефонні переговори, зустрічі та бесіди з підлеглими, представниками податкової інспекції, міліції, товарознавцями, маркетологами, постачальниками продукції та вирішувати завдання у товарно-фінансовій сфері з високим ступенем фінансової відповідальності, що пов'язано з обов'язковим виконанням запитів, які очікують іноді нетерпляче виконання своїх вимог, а помилки неправильного обслуговування, як правило, є економічно вельми відчутними. марківська відмова обслуговування модель

У той самий час товари, завезені на продаж (обслуговування), перебуваючи складі, утворюють чергу обслуговування (продаж).

Довжина черги становить кількість товарів, призначених для продажу. У цій ситуації продавці виступають у ролі каналів, які обслуговують товари.

Якщо кількість товарів, призначених для продажу, велика, то в цьому випадку ми маємо справу з типовим випадком СМО з очікуванням.

Розглянемо найпростішу одноканальну СМО з очікуванням обслуговування, на яку надходить пуасонівський потік заявок з інтенсивністю л та інтенсивністю обслуговування?

Причому заявка, що надійшла в момент, коли канал зайнятий обслуговуванням, ставиться в чергу та чекає на обслуговування.

Розмічений граф станів такої системи наведено на рис. 3.5

Кількість можливих станів її нескінченно:

Канал вільний, черги немає, ;

Канал зайнятий обслуговуванням, черги немає, ;

Канал зайнятий, одна заявка у черзі, ;

Канал зайнятий, заявка у черзі.

Моделі оцінки ймовірності станів СМО з необмеженою чергою можна отримати з формул, виділених для СМО з необмеженою чергою, шляхом переходу до межі при m>?:

Слід зауважити, що для СМО з обмеженою довжиною черги у формулі

має місце геометрична прогресія з першим членом 1 та знаменником.

Така послідовність є сумою нескінченного числа членів при.

Ця сума сходиться, якщо прогресія, що нескінченно зменшується при, що визначає режим роботи СМО, що з'явився, з при чергу при з часом може зростати до нескінченності.

Оскільки в аналізованій СМО обмеження на довжину черги відсутня, то будь-яка заявка може бути обслужена, тому, отже, відносна пропускна здатність, відповідно, а абсолютна пропускна здатність

Імовірність перебування у черзі k заявок дорівнює:

Середня кількість заявок у черзі -

Середня кількість заявок у системі -

Середній час перебування заявки у системі -

Середній час перебування заявки з системою -

Якщо в одноканальній СМО з очікуванням інтенсивність надходження заявок більша за інтенсивність обслуговування, то черга буде постійно збільшуватися. У зв'язку з цим найбільший інтерес представляє аналіз стійких СМО, що працюють у стаціонарному режимі.

1.8 Багатоканальна СМО з обмеженою довжиною черги

Розглянемо багатоканальну СМО, на вхід якої надходить пуасонівський потік заявок з інтенсивністю, а інтенсивність обслуговування кожного каналу становить максимально можливе число місць у черзі обмежене величиною m. Дискретні стани СМО визначаються кількістю заявок, які надійшли до системи, які можна записати.

Всі канали вільні;

Зайнятий лише один канал (будь-який), ;

Зайняті лише два канали (будь-яких), ;

Зайняті всі канали, .

Поки СМО перебуває у будь-якому з цих станів, черги немає. Після того, як зайняті всі канали обслуговування, наступні заявки утворюють чергу, тим самим, визначаючи подальший стан системи:

Зайняті всі канали і одна заявка стоїть у черзі,

Зайняті всі канали і дві заявки стоять у черзі,

Зайняті всі канали і всі місця в черзі,

Перехід СМО в стан з великими номерами визначається потоком заявок, що надходять, з інтенсивністю, тоді як за умовою в обслуговуванні цих заявок беруть участь однакових каналів з інтенсивністю потоку обслуговування рівного для кожного каналу. При цьому повна інтенсивність потоку обслуговування зростає із підключенням нових каналів аж до такого стану, коли всі n каналів виявляться зайнятими. З появою черги інтенсивність обслуговування більше збільшується, оскільки вона досягла максимального значення, рівного.

Запишемо вирази для граничних ймовірностей станів:

Вираз можна перетворити, використовуючи формулу геометричної прогресії для суми членів зі знаменником:

Освіта черги можливе, коли заявка, що знову надійшла, застане в системі не менше вимог, тобто. коли у системі буде перебувати вимог.

Ці події незалежні, тому ймовірність того, що всі канали зайняті, дорівнює сумі відповідних ймовірностей

Тому ймовірність утворення черги дорівнює:

Імовірність відмови в обслуговуванні настає тоді, коли всі канали і всі місця в черзі зайняті:

Відносна пропускна здатність дорівнюватиме:

Абсолютна пропускна спроможність -

Середня кількість зайнятих каналів -

Середня кількість каналів, що простоюють -

Коефіцієнт зайнятості (використання) каналів -

Коефіцієнт простою каналів -

Середня кількість заявок, що знаходяться у чергах -

Якщо ця формула набуває іншого вигляду -

Середній час очікування у черзі визначається формулами Літтла -

Середній час перебування заявки в СМО, як і для одноканальної СМО, більший за середній час очікування в черзі на середній час обслуговування, рівний, оскільки заявка завжди обслуговується тільки одним каналом:

1.9 Багатоканальна СМО з необмеженою чергою

Розглянемо багатоканальну СМО з очікуванням та необмеженою довжиною черги, на яку надходить потік заявок з інтенсивністю та яка має інтенсивність обслуговування кожного каналу.

Розмічений граф станів представлений на рис 3.7. Він має нескінченну кількість станів:

S - всі канали вільні, k = 0;

S - зайнятий один канал, інші вільні, k = 1;

S - зайняті два канали, інші вільні, k = 2;

S - зайняті всі n каналів, k = n, черги немає;

S - зайняті всі n каналів, одна заявка у черзі, k=n+1,

S - зайняті всі n каналів, r заявок у черзі, k=n+r,

Ймовірність станів отримаємо з формул для багатоканальної СМО з обмеженою чергою при переході до межі при m.

Слід зазначити, що сума геометричної прогресії у виразі для p розходиться при рівні завантаження p/n>1, черга нескінченно зростатиме, а при p/n<1 ряд сходится, что определяет установившийся стационарный режим работы СМО.

Черги ні

Оскільки відмови в обслуговуванні в таких системах не може бути, то характеристики пропускної спроможності дорівнюють:

середня кількість заявок у черзі -

середній час очікування у черзі -

середня кількість заявок до СМО -

Імовірність того, що СМО перебуває в стані, коли немає заявок і не зайнято жодного каналу, визначається виразом

Ця ймовірність визначає середню частку простою каналу обслуговування. Імовірність зайнятості обслуговуванням заявок -

На цій підставі можна визначити ймовірність, або час зайнятості всіх каналів обслуговуванням

Якщо всі канали вже зайняті обслуговуванням, то ймовірність стану визначається виразом

Імовірність опинитися у черзі дорівнює ймовірності застати всі канали вже зайнятими обслуговуванням

Середня кількість заявок, що перебувають у черзі та чекають на обслуговування, дорівнює:

Середній час очікування заявки у черзі за формулою Літтла:

та в системі

середня кількість зайнятих каналів обслуговуванням:

середнє число вільних каналів:

коефіцієнт зайнятості каналів обслуговуванням:

Важливо зауважити, що параметр характеризує ступінь узгодження вхідного потоку, наприклад, покупців у магазині з інтенсивністю потоку обслуговування. Якщо ж в системі будуть зростати середня довжина черги і середній час очікування покупцями початку обслуговування і, отже, СМО працюватиме нестійко.

1.10 Алгоритм моделювання СМО

Розглянута в задачі СМО є СМО з:

Двоканальне обслуговування;

Двоканальний вхідний поток (має 2 входи, на один з яких надходять випадковий потік Заявок I, на інший вхід - потік Заявок II).

Визначення часів надходження та обслуговування заявок:

· Часи надходження та обслуговування заявок генеруються випадково із заданим показовим законом розподілу;

· Інтенсивності надходження та обслуговування заявок задані;

Функціонування аналізованої СМО:

Кожен канал обслуговує у кожний момент часу одну заявку;

Якщо в момент надходження нової заявки вільний хоча б один канал, то заявка надходить на обслуговування;

Якщо відсутні Заявки, то система простоює.

Дисципліна обслуговування:

Пріоритет Заявок I: якщо система зайнята (обидва канали обслуговують заявки), причому один із каналів зайнятий Заявкою II, Заявка I витісняють Заявку II; Заявка II залишає систему необслуженої;

Якщо на момент надходження Заявки II обидва канали зайняті, Заявка II не обслуговується;

Якщо на момент надходження Заявки I обидва канали обслуговують Заявки I, Заявка I, що надійшла, залишає систему необслуженою;

Завдання моделювання: знаючи параметри вхідних потоків заявок промоделювати поведінку системи та обчислити її основні характеристики її ефективності. Змінюючи величину Т від менших значень до більших (інтервал часу, протягом якого відбувається випадковий процес надходження заявок 1-го та 2-го потоку в СМО на обслуговування), можна знайти зміни критерію ефективності функціонування та вибрати оптимальний.

Критерії ефективності функціонування СМО:

· ймовірність відмови;

· Відносна пропускна здатність;

· Абсолютна пропускна здатність;

Принцип моделювання:

Вводимо початкові умови: загальний час роботи системи, значення інтенсивності потоків заявок; кількість реалізацій роботи системи;

Генеруємо моменти часу, в які прибувають заявки, послідовність приходу Заявок I Заявок II, час обслуговування кожної заявки, що прийшла;

Вважаємо, скільки заявок було обслужено, а скільки одержало відмову;

Розраховуємо критерій ефективності СМО;

РОЗДІЛ2 . ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

Малюнок 1. Залежність ОПСС від часу

PROGRAM CAN_SMO;

CHANNAL = (FREE, CLAIM1, CLAIM2);

INTENSITY = слово;

STATISTICS = слово;

CHANNAL1, CHANNAL2: CHANNAL; (Канали)

T_, t, tc1, tc2: TIME; (Час)

l1, l2, n1, n2: INTENSITY; (Інтенсивності)

served1, not_served1,

served2, not_served2,

S: STATISTICS; (Статистика)

M,N:INTEGER;(число реалізацій)

FUNCTION W(t: TIME; l: INTENSITY) : boolean;(Визначає чи з'явилася заявка)

Begin (за інтенсивністю потоку l)

if random< l/60 then W:= TRUE else W:= FALSE;

FUNCTION F(t: TIME; n: INTENSITY) : TIME;(Визначає скільки оброблятиметься заявка)

Begin (за інтенсивністю обслуговування заявок n)

F:= t +round(60/(n));

Рисунок 2. Залежність ОППС від часу

WRITELN("ВВЕДІТЬ ЧИСЛО РЕАЛІЗАЦІЙ РОБОТИ СМО");

writeln(M, "-а реалізація");

CHANNAL1: = FREE; CHANNAL2: = FREE;

l1: = 3; l2: = 1; n1: = 2; n2: = 1;

served1:= 0; not_served1: = 0;

served2: = 0; not_served2: = 0;

write("Введіть час дослідження СМО - Т: "); readln(_T_);

if CHANNAL1 = CLAIM1 the inc (served1) else inc (served2);

CHANNAL1: = FREE;

writeln("Канал1 виконав заявку");

if CHANNAL2 = CLAIM1 the inc (served1) else inc (served2);

CHANNAL2: = FREE;

writeln("Канал2 виконав заявку");

Рисунок 3. Графік залежності ймовірності відмови у системі від часу

writeln("Надійшла заявка1");

якщо CHANNAL1 = FREE then

begin CHANNAL1: = CLAIM1; tc1:= F(t,n1); writeln("Канал1 прийняв заявку1"); end

else if CHANNAL2 = FREE then

begin CHANNAL2: = CLAIM1; tc2:= F(t,n1); writeln("Канал2 прийняв заявку1"); end

else if CHANNAL1 = CLAIM2 then

begin CHANNAL1: = CLAIM1; tc1:= F(t,n1); inc(not_served2); writeln("Канал1 прийняв заявку1 замість заявки2"); end

else if CHANNAL2 = CLAIM2 then

begin CHANNAL2: = CLAIM1; tc2:= F(t,n1); inc(not_served2); writeln("Канал2 прийняв заявку1 замість заявки2"); end

else begin inc(not_served1); writeln("заявка1 не обслужена"); end;

Рисунок 4. Залежність кількості заявок від часу

writeln("Надійшла заявка2");

якщо CHANNAL1 = FREE then

begin CHANNAL1: = CLAIM2; tc1:= F(t,n2); writeln("Канал1 прийняв заявку2");end

else if CHANNAL2 = FREE then

begin CHANNAL2: = CLAIM2; tc2:= F(t,n2); writeln("Канал2 прийняв заявку2");end

else begin inc(not_served2); writeln("заявка2 не обслужена"); end;

S: = served1 + not_served1 + served2 + not_served2;

writeln("час роботи СМО",_T_);

writeln("обслужено каналом1: ",served1);

writeln("обслужено каналом2:",served2);

writeln("Поступило заявок: ",S);

writeln("Обслужено заявок: ",served1+served2);

writeln("Не обслужено заявок: ",not_served1+not_served2);

(writeln("Інтенсивність надходження заявок до системи: ",(served1+served2)/_T_:2:3);)

writeln("Абсолютна пропускна здатність системи: ",(served1+served2)/T:2:3);

writeln("Вірогідність відмови: ",(not_served1+not_served2)/S*100:2:1,"%");

writeln("Відносна пропускна здатність системи: ",(served1+served2)/S:2:3);

writeln("моделювання закінчено");

Таблиця 2. Результати роботи СМО

Характеристики роботи СМО

Час роботи СМО

Надійшло заявок

Обслужено заявок

Чи не обслужено заявок

Абсолютна пропускна спроможність системи

Відносна пропускна спроможність системи

РОЗДІЛ 3.ПРАВИЛА ТЕХНІКИ БЕЗПЕКИ

Загальне положення

· До роботи в комп'ютерному класі допускаються особи, ознайомлені з інструкцією з техніки безпеки та правил поведінки.

· У разі порушення інструкції студент усувається від роботи та допускається до заняття лише за письмовим дозволом викладача.

· Робота студентів у комп'ютерному класі дозволяється лише у присутності викладача (інженера, лаборанта).

· Пам'ятайте, що кожен студент відповідає за стан свого робочого місця та збереження розміщеного на ньому обладнання.

Перед початком роботи:

· Перед початком роботи слід переконатися у відсутності видимих ​​пошкоджень апаратури та проводів. Комп'ютери та периферійні пристрої повинні знаходитись на столах у стійкому положенні.

· Учням категорично забороняється проникати всередину пристроїв. Вмикати пристрої можна лише за дозволом викладача.

Під час роботи в комп'ютерному класі забороняється:

1. Входити та виходити з класу без дозволу вчителя.

2. Запізнюватися на урок.

3. Входити в клас у брудному та мокрому взутті, курному одязі, в холодну пору року у верхньому одязі.

4. Працювати на комп'ютері вологими руками.

5. Класти робоче місце сторонні предмети.

6. Вставати під час роботи, повертатися на всі боки, розмовляти з сусідом.

7. Вмикати та вимикати апаратуру без дозволу вчителя.

8. Порушувати порядок включення та вимкнення апаратури.

9. Торкатися клавіатури та миші при вимкненому комп'ютері, пересувати меблі та апаратуру.

10. Торкатися екрану дисплея, кабелів, з'єднувальних проводів, роз'ємів, штепселів та розеток.

11. Підходити до робочого місця вчителя без дозволу

Головна загроза здоров'ю людини під час роботи з ПК - це загроза ураження електричним струмом. Тому забороняється:

1. Працювати на апаратурі, яка має видимі дефекти. Відкривати системний блок.

2. Приєднувати або від'єднувати кабелі, торкатися роз'ємів з'єднувальних кабелів, проводів і розеток, пристроїв заземлення.

3. Торкатися екрана та тильного боку монітора, клавіатури.

4. Намагатися самостійно усувати несправності у роботі апаратури.

5. Працювати у вологому одязі та вологими руками

6. Виконувати вимоги викладача та лаборанта; Дотримуватися тиші та порядку;

7. Перебуваючи у мережі працювати лише під своїм ім'ям та паролем;

8. Дотримуватися режиму роботи (згідно з Санітарними правилами і нормами);

9. Початок та закінчення роботи проводити лише за дозволом викладача.

10. При різкому погіршенні самопочуття (появі різі в очах, різкому погіршенні видимості, неможливості сфокусувати погляд або навести його на різкість, поява болю в пальцях і кистях рук, посилення серцебиття) негайно залишити робоче місце, повідомити про викладача, що відбувся, і звернутися до лікаря;

11. Дотримуватись чистоти робочого місця.

12. Закінчення роботи провести з дозволу викладача.

13. Здати виконану роботу.

14. Завершити всі активні програми та коректно вимкнути комп'ютер.

15. Упорядкувати робоче місце.

16. Черговому перевірити готовність кабінету до наступного заняття.

При експлуатації обладнання необхідно остерігатися: - ураження електричним струмом;

- механічних ушкоджень, травм

У разі виникнення аварійних ситуацій:

1. При виявленні іскріння, появі запаху гару або виявлення інших несправностей слід негайно припинити роботу та повідомити про це вчителя.

2. При ураженні когось електрострумом необхідно: припинити роботу та відійти на безпечну відстань; відключити напругу (на розподільчому щитку кабінету); повідомити вчителя; приступити до надання першої допомоги та викликати лікаря.

3. Під час пожежі необхідно: припинити роботу та розпочати евакуацію; повідомити вчителя та викликати пожежну охорону (за тел. 01); відключити напругу (на розподільчому щитку кабінету); розпочати гасіння пожежі вогнегасником (водою гасити забороняється).

Подібні документи

Математична теорія масового обслуговування як розділ теорії випадкових процесів. Системи масового обслуговування заявок, що надходять через час. Відкрита марківська мережа, її немарківський випадок, знаходження стаціонарних імовірностей.

курсова робота , доданий 07.09.2009


Поняття системи масового обслуговування, її сутність та особливості. Теорія масового обслуговування як один із розділів теорії ймовірностей, що розглядаються питання. Поняття та характеристика випадкового процесу, його види та моделі. Обслуговування з очікуванням.

курсова робота , доданий 15.02.2009


Оптимізація керування потоком заявок у мережах масового обслуговування. Методи встановлення залежностей між характером вимог, числом каналів обслуговування, їх продуктивністю та ефективністю. Теорія графів; рівняння Колмогoрова, потоки подій.

контрольна робота , доданий 01.07.2015


Теорія масового обслуговування – область прикладної математики, що аналізує процеси у системах виробництва, у яких однорідні події повторюються багаторазово. Визначення властивостей системи масового обслуговування при постійних параметрах.

курсова робота , доданий 08.01.2009


Визначення випадкового процесу та його характеристики. Основні поняття теорії масового обслуговування. Концепція марковського випадкового процесу. Потоки подій. Рівняння Колмогорова. Граничні можливості станів. Процеси загибелі та розмноження.

реферат, доданий 08.01.2013


Стаціонарний розподіл імовірностей. Побудова математичних моделей, графів переходів. Отримання рівняння рівноваги систем масового обслуговування з різною кількістю приладів, вимогами різних типів та обмеженими чергами на приладах.

дипломна робота , доданий 23.12.2012


Аналіз ефективності найпростіших систем масового обслуговування, розрахунок їх технічних та економічних показників. Порівняння ефективності системи з відмовами із відповідною змішаною системою. Переваги початку системи зі змішаними властивостями.

курсова робота , доданий 25.02.2012


Складання імітаційної моделі та розрахунок показників ефективності системи масового обслуговування за заданими параметрами. Порівняння показників ефективності з одержаними шляхом чисельного розв'язання рівнянь Колмогорова для ймовірностей станів системи.

курсова робота , доданий 17.12.2009


Приклади процесів розмноження та загибелі у разі найпростіших систем масового обслуговування. Математичне очікування системи масового обслуговування. Додатковий потік та нескінченна кількість приладів. Система з обмеженням на час перебування заявки.

курсова робота , доданий 26.01.2014


Деякі математичні питання теорії обслуговування складних систем. Організація обслуговування за обмеженої інформації про надійність системи. Алгоритми безвідмовної роботи системи та перебування часу планової запобіжної профілактики систем.

операції чи ефективності системи масового обслуговування є такі.

Для СМО з відмовами:

Для СМО з необмеженим очікуваннямяк абсолютна, так і відносна пропускна здібності втрачають сенс, тому що кожна заявка, що надійшла, рано чи пізно буде обслужена. Для таких СМО важливими показниками є:

Для СМО змішаного типувикористовуються обидві групи показників: як відносна та абсолютна пропускна здатність, і характеристики очікування.

Залежно від мети операції масового обслуговування будь-який із наведених показників (або сукупність показників) може бути обраний як критерій ефективності.

Аналітичною моделлюСМО є сукупність рівнянь або формул, що дозволяють визначати ймовірності станів системи у процесі її функціонування та розраховувати показники ефективності за відомими характеристиками вхідного потоку та каналів обслуговування.

Загальної аналітичної моделі для довільної СМО немає. Аналітичні моделі розроблені для обмеженої кількості окремих випадків СМО. Аналітичні моделі, що більш-менш точно відображають реальні системи, як правило, складні та важкооглядні.

Аналітичне моделювання СМО суттєво полегшується, якщо процеси, що протікають у СМО, марківські (потоки найпростіших заявок, часи обслуговування розподілені експоненційно). В цьому випадку всі процеси в СМО можна описати звичайними диференціальними рівняннями, а в граничному випадку, для стаціонарних станів - лінійними рівняннями алгебри і, вирішивши їх, визначити обрані показники ефективності.

Розглянемо приклади деяких СМО.

2.5.1. Багатоканальна СМО з відмовами

Приклад 2.5. Три автоінспектори перевіряють дорожні листи у водіїв вантажних автомобілів. Якщо хоча б один інспектор вільний, вантажівку, що проїжджає, зупиняють. Якщо всі інспектори зайняті, вантажівка, не затримуючись, проїжджає повз. Потік вантажівок найпростіший, час перевірки випадковий з експонентним розподілом.

Таку ситуацію можна моделювати триканальним СМО з відмовами (без черги). Система розімкнена, з однорідними заявками, однофазна, з абсолютно надійними каналами.

Опис станів:

Усі інспектори вільні;

Зайнятий один інспектор;

Зайняті два інспектори;

Зайнято трьох інспекторів.

Граф станів системи наведено на рис. 2.11.

Рис. 2.11.

На графі: - Інтенсивність потоку вантажних автомобілів; - Інтенсивність перевірок документів одним автоінспектором.

Моделювання проводиться з метою визначення частини автомобілів, які не будуть перевірені.

Рішення

Шукана частина ймовірності – ймовірності зайнятості всіх трьох інспекторів. Оскільки граф станів представляє типову схему " загибелі та розмноження " , то знайдемо , використовуючи залежності (2.2).

Пропускну здатність цієї посади автоінспекторів можна характеризувати відносною пропускною здатністю:

Приклад 2.6. Для прийому та обробки донесень від розвідгрупи у розвідвідділі об'єднання призначено групу у складі трьох офіцерів. Очікувана інтенсивність потоку донесень - 15 донесень на годину. Середній час обробки одного повідомлення одним офіцером - . Кожен офіцер може приймати повідомлення від будь-якої розвідгрупи. Офіцер, що звільнився, обробляє останнє з донесень, що надійшли. Донесення, що надходять, повинні оброблятися з ймовірністю не менше 95%.

Визначити, чи достатньо призначеної групи із трьох офіцерів для виконання поставленого завдання.

Рішення

Група офіцерів працює як СМО з відмовами, що складається із трьох каналів.

Потік донесень з інтенсивністю можна вважати найпростішим, тому що він сумарний від кількох розвідгруп. Інтенсивність обслуговування . Закон розподілу невідомий, але це несуттєво, оскільки показано, що з систем з відмовими може бути довільним.

Опис станів та граф станів СМО будуть аналогічні наведеним у прикладі 2.5.

Оскільки граф станів - це схема "загибелі та розмноження", то для неї є готові вирази для граничних ймовірностей стану:

Ставлення називають наведеною інтенсивністю потоку заявок. Фізичний зміст її наступний: величина є середнім числом заявок, які приходять до СМО за середній час обслуговування однієї заявки.

У прикладі .

У аналізованої СМО відмова настає при зайнятості всіх трьох каналів, тобто . Тоді:

Так як ймовірність відмовиу обробці донесень становить понад 34 % (), необхідно збільшити особовий склад групи. Збільшимо склад групи вдвічі, тобто СМО матиме тепер шість каналів, і розрахуємо:

Таким чином, тільки група з шести офіцерів зможе обробляти донесення, що надходять, з ймовірністю 95 %.

2.5.2. Багатоканальна СМО з очікуванням

Приклад 2.7. На ділянці форсування річки є 15 однотипних переправних засобів. Потік надходження техніки на переправу в середньому становить 1 од./хв, середній час переправи однієї одиниці техніки – 10 хв (з урахуванням повернення назад переправного засобу).

Оцінити основні характеристики переправи, зокрема можливість у негайній переправі відразу після прибуття одиниці техніки.

Рішення

Абсолютна пропускна спроможність, тобто все, що підходить до переправи, відразу практично переправляється.

Середня кількість працюючих переправних засобів:

Коефіцієнти використання та простою переправи:

Для вирішення прикладу було також розроблено програму. Інтервали часу надходження техніки на переправу, час переправи прийнято розподіленими за експонентним законом.

Коефіцієнти використання переправи після 50 прогонів практично збігаються: .