Знайти медіану функції розподілу. Числові характеристики випадкових величин

Мода- значення у безлічі спостережень, яке зустрічається найчастіше

Мо = X Mо + h Мо * (f Мо - f Мо-1): ((f Мо - f Мо-1) + (f Мо - f Мо+1)),

тут X Mо – ліва межа модального інтервалу, h Мо – довжина модального інтервалу, f Мо-1 – частота премодального інтервалу, f Мо – частота модального інтервалу, f Мо+1 – частота післямодального інтервалу.

Модою абсолютно безперервного розподілуназивають будь-яку точку локального максимумугустини розподілу. Для дискретних розподілівмодою вважають будь-яке значення a i , ймовірність якого p i більша, ніж ймовірності сусідніх значень

Медіаноюбезперервної випадкової величини Хназивається таке її значення Ме, для якого однаково ймовірно, чи виявиться випадкова величина меншою або більшою Ме, тобто.

М е = (n + 1) / 2 Р(Х < Ме) = Р(X > Ме)

Поступово розподілена НСВ

Рівномірний розподіл.Безперервна випадкова величина називається рівномірно розподіленою на відрізку (), якщо її функція густини розподілу (рис. 1.6, а) має вигляд :

Позначення: - СВ розподілена рівномірно на .

Відповідно функція розподілу на відрізку (рис. 1.6, б):

Рис. 1.6. Функції випадкової величини, рівномірно розподіленої на [ a,b]: а- Щільність ймовірностей f(x); б- Розподілу F(x)

Математичне очікування та дисперсія даної СВ визначаються виразами:

Через симетрію функції щільності, збігається з медіаною. Моди рівномірний розподілне має

приклад 4. Час очікування відповіді телефонний дзвінок- Випадкова величина, що підпорядковується рівномірному закону розподілу в інтервалі від 0 до 2 хвилин. Знайти інтегральну та диференціальну функції розподілу цієї випадкової величини.

27.Нормальний законрозподілу ймовірностей

Безперервна випадкова величина x має нормальний розподіл з параметрами: m,s > 0, якщо щільність розподілу ймовірностей має вигляд:

де: m – математичне очікування, s – середньоквадратичне відхилення.

Нормальний розподіл називають ще гауссівським на ім'я німецького математика Гаусса. Той факт, що випадкова величина має нормальний розподіл з параметрами: m, позначають так: N (m,s), де: m=a=M[X];

Досить часто у формулах математичне очікування позначають через а . Якщо випадкова величина розподілена згідно із законом N(0,1), то вона називається нормованою або стандартизованою нормальною величиною. Функція розподілу для неї має вигляд:

Графік густини нормального розподілу, який називають нормальною кривою або кривою Гауса, зображений на рис.5.4.

Рис. 5.4. Щільність нормального розподілу

властивостівипадкової величини, що має нормальний закон розподілу.

1. Якщо , то знаходження ймовірності попадання цієї величини в заданий інтервал ( х 1; х 2) використовується формула:

2. Імовірність те, що відхилення випадкової величини від її математичного очікування не перевищить величину (за абсолютною величиною), дорівнює.

Серед числових показників випадкових величин необхідно, передусім, відзначити ті, які характеризують становище випадкової величини на числовій осі, тобто. вказують деяке середнє, орієнтовне значення, біля якого групуються всі можливі значення випадкової величини.

Середнє значення випадкової величини є деяке число, що є як би її «представником» і замінює її при грубо орієнтовних розрахунках. Коли ми говоримо: «середній час роботи лампи дорівнює 100 годин» або «середня точка влучення зміщена щодо мети на 2 м вправо», ми вказуємо певну числову характеристику випадкової величини, що описує її місце розташування на числовій осі, тобто. "Характеристику становища".

З характеристик становища теорії ймовірностей найважливішу роль грає математичне очікування випадкової величини, яке іноді називають просто середнім значенням випадкової величини.

Розглянемо дискретну випадкову величину, що має можливі значення з ймовірностями. Нам потрібно охарактеризувати якимось числом положення значень випадкової величини осі абсцис з урахуванням того, що ці значення мають різні ймовірності. Для цієї мети природно скористатися так званим «середнім зваженим» із значень, причому кожне значення при зосередженні має враховуватися з «вагою», пропорційною ймовірності цього значення. Таким чином, ми обчислимо середню випадкову величину, яку ми позначимо:

або, враховуючи, що ,

. (5.6.1)

Це середнє виважене значення і називається математичним очікуваннямдовільної величини. Отже, ми запровадили у розгляді одне з найважливіших понять теорії ймовірностей – поняття математичного очікування.

Математичним очікуванням випадкової величини називається сума творів усіх можливих значень випадкової величини на ймовірності цих значень.

Зауважимо, що у наведеному вище формулюванні визначення математичного очікування справедливе, строго кажучи, тільки для дискретних випадкових величин; нижче буде дано узагальнення цього поняття у разі безперервних величин.

Щоб зробити поняття математичного очікування наочнішим, звернемося до механічної інтерпретації розподілу дискретної випадкової величини. Нехай на осі абсцис розташовані точки з абсцисами, в яких зосереджені відповідно до маси, причому. Тоді, очевидно, математичне очікування , що визначається формулою (5.6.1), не що інше, як абсцис центру тяжкості даної системи матеріальних точок.

Математичне очікування випадкової величини пов'язане своєрідною залежністю із середнім арифметичним спостережених значень випадкової величини при великому числідослідів. Ця залежність того ж типу, як залежність між частотою та ймовірністю, а саме: при великій кількості дослідів середнє арифметичне спостережених значень випадкової величини наближається (збігається ймовірністю) до її математичного очікування. З наявності зв'язку між частотою та ймовірністю можна вивести як наслідок наявність подібного ж зв'язку між середнім арифметичним та математичним очікуванням.

Справді, розглянемо дискретну випадкову величину, що характеризується поряд розподілу:

де .

Нехай проводиться незалежних дослідів, у кожному з яких величина набуває певного значення. Припустимо, значення з'явилося раз, значення з'явилося раз, взагалі значення з'явилося раз. Очевидно,

Обчислимо середнє арифметичне спостережених значень величини, яке, на відміну від математичного очікування, ми позначимо:

Але є не що інше, як частота (або статистична ймовірність) події; цю частоту можна позначити. Тоді

,

тобто. середнє арифметичне спостережених значень випадкової величини дорівнює сумі творів усіх можливих значень випадкової величини на частоти цих значень.

При збільшенні кількості дослідів частоти наближатимуться (збігатимуться ймовірно) до відповідних ймовірностей . Отже, і середнє арифметичне спостережених значень випадкової величини зі збільшенням кількості дослідів наближається (збігається ймовірно) до її математичного очікування .

Сформульований вище зв'язок між середнім арифметичним та математичним очікуванням становить зміст однієї із форм закону великих чисел. Суворий доказ цього закону буде надано нами в розділі 13.

Ми вже знаємо, що всі форми закону великих чисел констатують факт стійкості деяких середніх за великої кількості дослідів. Тут йдеться про стійкість середнього арифметичного із низки спостережень однієї й тієї ж величини. При невеликій кількості дослідів середнє арифметичне їх результатів випадково; при достатньому збільшенні числа дослідів воно стає «майже випадковим» і, стабілізуючись, наближається до постійної величині – математичного очікування.

Властивість стійкості середніх за великої кількості дослідів легко перевірити експериментально. Наприклад, зважуючи якесь тіло в лабораторії на точних терезах, ми в результаті зважування отримуємо щоразу нове значення; Щоб зменшити помилку спостереження, ми зважуємо тіло кілька разів і користуємося середнім арифметичним отриманим значенням. Легко переконатися, що при подальшому збільшенні числа дослідів (зважувань) середнє арифметичне реагує на це збільшення дедалі менше і при досить великій кількості дослідів практично перестає змінюватися.

Формула (5.6.1) для математичного очікування відповідає випадку дискретної випадкової величини. Для безперервної величиниматематичне очікування, природно, виражається не сумою, а інтегралом:

, (5.6.2)

де - щільність розподілу величини.

Формула (5.6.2) виходить з формули (5.6.1), якщо в ній замінити окремі значення параметром х, що безперервно змінюється, відповідні ймовірності - елементом ймовірності , кінцеву суму - інтегралом. Надалі ми часто користуватимемося таким способом поширення формул, виведених для перервних величин, у разі безперервних величин.

У механічній інтерпретації математичне очікування безперервної випадкової величини зберігає той самий сенс - абсцис центру тяжкості у разі, коли маса розподілена по осі абсцис безперервно, з щільністю. Ця інтерпретація часто дозволяє знайти математичне очікування без обчислення інтеграла (5.6.2) з простих механічних міркувань.

Вище ми запровадили позначення для математичного очікування величини. У ряді випадків, коли величина входить до формул як певна кількість, її зручніше позначати однією літерою. У цих випадках ми будемо позначати математичне очікування величини через:

Позначення і для математичного очікування надалі застосовуватимуться паралельно залежно від зручності того чи іншого запису формул. Умовимося також у разі потреби скорочувати слова «математичне очікування» літерами м.о.

Слід зазначити, що найважливіша характеристика становища – математичне очікування – існує для всіх випадкових величин. Можна скласти приклади таких випадкових величин, котрим математичного очікування немає, оскільки відповідна сума чи інтеграл розходяться.

Розглянемо, наприклад, перервну випадкову величину з низкою розподілу:

Неважко переконається у цьому, що , тобто. ряд розподілу має сенс; проте сума у ​​разі розходиться і, отже, математичного очікування величини немає. Однак для практики такі випадки суттєвого інтересу не становлять. Зазвичай випадкові величини, з якими ми маємо справу, мають обмежену область можливих значень і, безумовно, мають математичне очікування.

Вище ми дали формули (5.6.1) та (5.6.2), що виражають математичне очікування відповідно для перервної та безперервної випадкової величини .

Якщо величина належить до величин змішаного типу, то її математичне очікування виражається формулою виду:

, (5.6.3)

де сума поширюється попри всі точки , у яких функція розподілу зазнає розрив, а інтеграл – попри всі ділянки, у яких функція розподілу безперервна.

Крім найважливішої з характеристик становища – математичного очікування, - практично іноді застосовуються й інші характеристики становища, зокрема, мода і медіана випадкової величини.

Модою випадкової величини називається її найімовірніше значення. Термін «найбільш ймовірне значення», строго кажучи, застосовується тільки до перервних величин; для безперервної величини модою є значення, в якому щільність ймовірності максимальна. Умовимося позначати моду буквою. На рис. 5.6.1 та 5.6.2 показано моду відповідно для перервної та безперервної випадкових величин.

Якщо багатокутник розподілу (крива розподілу) має більше одного максимуму, розподіл називається «полімодальним» (рис. 5.6.3 та 5.6.4).

Іноді зустрічаються розподіли, що мають посередині не максимум, а мінімум (рис. 5.6.5 і 5.6.6). Такі розподіли називають «антимодальними». Прикладом антимодального розподілу може бути розподіл, отриманий у прикладі 5, n° 5.1.

Загалом мода і математичне очікування випадкової величини не збігаються. У окремому випадку, коли розподіл є симетричним і модальним (тобто має моду) і існує математичне очікування, воно збігається з модою і центром симетрії розподілу.

Часто застосовується ще одне характеристика становища – так звана медіана випадкової величини. Цією характеристикою користуються зазвичай лише безперервних випадкових величин, хоча формально можна визначити й у перервної величини.

Медіаною випадкової величини називається таке її значення, для якого

тобто. однаково ймовірно, виявиться чи випадкова величина менше або більше. Геометрично медіана – це абсцис точки, в якій площа, обмежена кривою розподілу, ділиться навпіл (рис. 5.6.7).

Мода ()безперервної випадкової величини – це її значення, якому відповідає максимальне значення її щільності ймовірності.

Медіаною ()безперервної випадкової величини називається таке її значення, яке визначається рівністю:

В15. Біноміальний законрозподілу та його числові характеристики. Біноміальний розподіл описує незалежні досліди, що повторюються. Цей закон визначає появу події раз при незалежних випробуванняхякщо ймовірність появи події в кожному з цих дослідів не змінюється від досвіду до досвіду. Можливість:

,

де: - Відома ймовірність появи події в досвіді, що не змінюється від досвіду до досвіду;

- ймовірність не появи події в досвіді;

– задану кількість появи події у дослідах;

- Число поєднань з елементів по .

В15. Рівномірний закон розподілу, графіки функції та щільності розподілу, числові характеристики. Безперервна випадкова величина вважається рівномірно розподіленою, якщо її щільність ймовірності має вигляд:

Математичне очікуваннявипадкової величини, що має рівномірний розподіл:

Дисперсіяможе бути обчислена наступним чином:

Середнє квадратичне відхиленняматиме вигляд:

.

В17. Показовий закон розподілу, графіки функції та щільності розподілу, числові характеристики. Показовим розподіломбезперервної випадкової величини називається такий розподіл, який описується наступним виразом для щільності ймовірності:

,

де - Постійна позитивна величина.

Функція розподілу ймовірності у разі має вигляд:

Математичне очікування випадкової величини, що має експоненційний розподіл, отримуємо на підставі загальної формули з урахуванням того, що при :

.

Інтегруючи цей вислів частинами, знаходимо: .

Дисперсію для експоненційного розподілу можна отримати, використовуючи вираз:

.

Підставляючи вираз для густини ймовірності, знаходимо:

Обчислюючи інтеграл частинами, отримуємо: .

В16. Нормальний закон розподілу, графіки функції та щільності розподілу. Стандартний нормальний розподіл. Функція відображеного нормального розподілу. Нормальнимназивається такий розподіл випадкової величини, щільність ймовірності якого описується функцією Гауса:

де - Середнє квадратичне відхилення;

- Математичне очікування випадкової величини.

Графік густини нормального розподілу називають нормальною кривою Гауса.

В18. Нерівність Маркова. Узагальнена нерівність Чебишева. Якщо для випадкової величини Xіснує , то для кожного справедливо нерівність Маркова .

Воно випливає з узагальненої нерівності Чебишева: Нехай функція монотонно зростає та невід'ємна на . Якщо для випадкової величини Xіснує , то для будь - якого справедлива нерівність .

В19. Закон великих чисел у вигляді Чебишева. Його зміст. Наслідок закону великих чисел у формі Чебишева. Закон великих чисел у формі Бернуллі. Під законом великих чиселТеоретично ймовірностей розуміється ряд теорем, у кожній з яких встановлюється факт асимптотичного наближення середнього значення великої кількості досвідчених даних до математичного очікування випадкової величини. В основі доказів цих теорем лежить нерівність Чебишева. Цю нерівність можна отримати, розглядаючи дискретну випадкову величину, що має можливі значення .

Теорема. Нехай є кінцева послідовність незалежних випадкових величин, з тим самим математичним очікуванням і дисперсіями, обмеженими однієї й тієї ж постійної :

Тоді, хоч би яке було число , ймовірність події

прагне одиниці при .

Теорема Чебишева встановлює зв'язок між теорією ймовірностей, що розглядає середні характеристики всього безлічі значень випадкової величини, і математичної статистикою, оперує обмеженим безліччю значень цієї величини. Вона показує, що при досить великій кількості вимірів деякої випадкової величини середнє арифметичне значеньцих вимірів наближається до математичного очікування.

В20. Предмет та завдання математичної статистики. Генеральна та вибіркова сукупності. Спосіб відбору. Математична статистика– наука про математичних методівсистематизації та використання статистичних даних для наукових та практичних висновків, що спирається на теорію ймовірностей.

Об'єктами вивчення математичної статистики є випадкові події, величини та функції, які характеризують аналізоване випадкове явище. Випадковими є такі події: виграш на один квиток грошової лотереї, відповідність продукту, що контролюється, встановленим вимогам, безвідмовна робота автомобіля протягом першого місяця його експлуатації, виконання підрядником добового графіка робіт.

Вибірковою сукупністю називають сукупність випадково відібраних об'єктів.

Генеральною сукупністюназивають сукупність об'єктів, у тому числі виробляється вибірка.

В21. Методи відбору.

Способи відбору: 1 Відбір, що не вимагає розчленування генеральної сукупностіна шматки. Сюди відносяться: а) простий випадковий безповторний відбір і б) простий випадковий повторний відбір. 2) Відбір, у якому генеральна сукупність розбивається на частини. Сюди відносяться: а) типовий відбір; б) механічний відбір; і в) серійний відбір.

Простим випадковимназивають відбір, у якому об'єкти витягуються по одному з генеральної сукупності.

Типовимназивають відбір, у якому об'єкти відбираються не з усієї генеральної сукупності, та якщо з її «типовій» частини.

Механічнимназивають відбір, у якому генеральна сукупність механічно ділиться стільки груп, скільки об'єктів має увійти вибірку, та якщо з кожної групи вибирається один об'єкт.

Серійнимназивають відбір, у якому об'єкти відбирають із генеральної сукупності за одним, а «серіями», які піддаються суцільному обстеженню.

В22. Статистичний та варіаційний ряд. Емпірична функція розподілу та її властивості. Варіаційний ряддля дискретних та безперервних випадкових величин. Нехай із генеральної сукупності вилучено вибірку, причому значення досліджуваного параметра спостерігалося раз, - раз і т.д. У цьому обсяг вибірки. Значення, що спостерігаються, називають варіантами, А послідовність варіант, записаних у зростаючому порядку - варіаційним рядом . Числа спостережень називають частотами, а їхнє ставлення до обсягу вибірки - відносними частотами.Варіаційний рядможна уявити таблицею виду:

X			…..
n			….

Статистичним розподілом вибіркиназивають перелік варіантів і відповідних їм відносних частот. Статистичне розподіленняможна уявити як:

X			…..
w			….

де відносні частоти.

Емпіричною функцією розподілуназивають функцію , що визначає для кожного значення x відносну частоту події X

Мета уроку: сформувати в учнів уявлення про медіану набору чисел та вміння обчислювати її для нескладних числових наборів, закріплення поняття середнього арифметичного набору чисел.

Тип уроку: пояснення нового матеріалу.

Обладнання: дошка, підручник за ред. Ю.Н Тюріна "Теорія ймовірностей та статистика", комп'ютер з проектором.

Хід уроку

1. Організаційний момент.

Повідомити тему уроку та сформулювати його цілі.

2. Актуалізація колишніх знань.

Запитання учням:

• Що називається середнім арифметичним набором чисел?
• Де знаходиться середнє арифметичне всередині набору чисел?
• Що характеризує середнє арифметичне набору чисел?
• Де часто застосовується середнє арифметичне набір чисел?

Усні завдання:

Знайти середнє арифметичне набору чисел:

• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

Перевірка домашнього завдання за допомогою проектора ( Додаток 1):

Підручник: №12(б,г), №18(в,г)

3. Вивчення нового матеріалу.

На попередньому уроці ми познайомилися з такою статистичною характеристикою, як середнє арифметичне набору чисел. Сьогодні ми присвятимо урок ще одній статистичній характеристиці медіані.

Не тільки середнє арифметичне показує, де на числовій прямій розташовуються числа якогось набору та де їхній центр. Іншим показником є ​​медіана.

Медіаною набору чисел називається таке число, яке поділяє набір дві рівні за чисельністю частини. Замість "медіана" можна було б сказати "середина".

Спочатку на прикладах розберемо, як знайти медіану, а потім дамо суворе визначення.

Розглянемо наступний усний приклад із застосуванням проектора ( Додаток 2)

Наприкінці навчального року 11 учнів 7-го класу здали норматив із бігу на 100 метрів. Були зафіксовані такі результати:

Після того, як хлопці пробігли дистанцію, до викладача підійшов Петя і запитав, який у нього результат.

"Найсередній результат: 16,9 секунди", - відповів вчитель

"Чому?" - Здивувався Петя. – Адже середнє арифметичне всіх результатів – приблизно 18,3 секунди, а я пробіг на секунду з лишком краще. І взагалі, результат Каті (18,4) набагато ближчий до середнього, ніж мій”.

“Твій результат середній, тому що п'ять людей пробігли краще, ніж ти, і п'ять – гірше. Тобто ти якраз посередині”, – сказав учитель. [ 2 ]

Записати алгоритм знаходження медіани набору чисел:

1. Упорядкувати числовий набір (скласти ранжований ряд).
2. Одночасно закреслюємо "найбільше" і "найменше" числа даного набору чисел до тих пір, поки не залишиться одне число або два числа.
3. Якщо залишилося одне число, воно і є медіана.
4. Якщо залишилося два числа, то медіаною буде середнє арифметичне двох чисел, що залишилися.

Запропонувати учням самостійно сформулювати визначення медіани набору чисел, потім прочитати у підручнику два визначення медіани (стор. 50), далі розібрати приклади 4 та 5 підручника (стор.50-52)

Примітка:

Звернути увагу учнів на важливу обставину: медіана практично не є чутливою до значних відхилень окремих крайніх значень наборів чисел. У статистиці це властивість називається стійкістю. Стійкість статистичного показника – дуже важлива властивість, вона страхує нас від випадкових помилок та окремих недостовірних даних.

4. Закріплення вивченого матеріалу.

Рішення номерів із підручника до п.11 “Медіана”.

Набір чисел: 1,3,5,7,9

=(1+3+5+7+9):5=25:5=5

Набір чисел: 1,3,5,7,14.

=(1+3+5+7+14):5=30:5=6

а) Набір чисел: 3,4,11,17,21

б) Набір чисел: 17,18,19,25,28

в) Набір чисел: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

Висновок: медіана набору чисел, що складається з непарного числа членів дорівнює числу, що стоїть посередині.

а) Набір чисел:2, 4, 8 , 9.

Ме = (4 +8): 2 = 12: 2 = 6

б) Набір чисел:1,3, 5,7 ,8,9.

Ме = (5 +7): 2 = 12: 2 = 6

Медіана набору чисел, що містить парне число членів дорівнює напівсумі двох чисел, що стоять посередині.

Учень отримав протягом чверті такі оцінки з алгебри:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

Знайдіть середній бал та медіану цього набору. [3]

Упорядкуємо набір чисел: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

Усього 10 чисел, щоб знайти медіану треба взяти два середні числа і знайти їхню суму.

Ме = (5+5): 2 = 5

Питання до учнів: Якби ви були вчителем, яку ви поставили б оцінку за чверть цьому учневі? Відповідь обґрунтуйте.

Президент компанії отримує зарплату 300 000 руб. три його заступники одержують по 150000 руб., Сорок службовців - по 50000 руб. та зарплата прибиральниці становить 10000 руб. Знайдіть середнє арифметичне та медіану зарплат у компанії. Яку з цих характеристик вигідніше використати президенту з рекламною метою?

= (300000 +3 · 150000 +40 · 50000 +10000): (1 +3 +40 +1) = 2760000: 4561333,33 (руб.)

Завдання 3. (Запропонувати учням вирішити самостійно, завдання проектувати за допомогою проектора)

У таблиці показаний зразковий обсяг води найбільших озер та водосховищ Росії у куб. км. (Додаток 3) [ 4 ]

А) Знайдіть середній обсяг води в цих водоймах (середнє арифметичне);

Б) Знайдіть об'єм води в середньому за величиною водоймища (медіану даних);

В) На вашу думку, яка з цих характеристик - середня арифметична або медіана - краще описує обсяг типового великого водоймища Росії? Відповідь поясніть.

а) 2459 куб. км

б) 60 куб. км

в) Медіана, т.к. дані містять значення, що сильно відрізняються від усіх інших.

Завдання 4. Усно.

А) Скільки чисел у наборі, якщо його медіаною служить її дев'ятий член?

Б) Скільки чисел у наборі, якщо його медіаною служить середнє арифметичне 7-го та 8-го членів?

В) У наборі з семи чисел найбільше збільшили на 14. Чи зміниться при цьому і як середнє арифметичне і медіана?

Г) Кожне з чисел набору збільшили на 3. Що станеться із середнім арифметичним та медіаною?

Цукерки у магазині продають на вагу. Щоб дізнатися, скільки цукерок міститься в одному кілограмі, Маша вирішила знайти вагу однієї цукерки. Вона зважила кілька цукерок і отримала такі результати:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

Для оцінки ваги однієї цукерки придатні обидві показники, т.к. вони не дуже відрізняються один від одного.

Отже, для характеристики статистичної інформації використовують середнє арифметичне та медіану. У багатьох випадках якась із характеристик може не мати жодного змістовного сенсу (наприклад, маючи відомості про час дорожньо-транспортних пригод, навряд чи має сенс говорити про середнє арифметичне цих даних).

1. Домашнє завдання: пункт 11, № 3,4,9,11.
2. Підсумки уроку. Рефлексія.

Література:

1. Ю.М. Тюрін та ін. "Теорія ймовірностей та статистика", Видавництво МЦНМО, ВАТ "Московські підручники", Москва 2008.
2. Є.А. Бунімович, В.А. Буличов "Основи статистики та ймовірність", ДРОФА, Москва 2004.
3. Газета "Математика" №23, 2007 рік.
4. Демоверсія контрольної роботи з теорії ймовірностей та статистики для 7 класу, 2007/2008 навч. рік.

Математичне очікування. Математичним очікуваннямдискретної випадкової величини Х, що приймає кінцеве число значень хiз ймовірностями рi, називається сума:

Математичним очікуваннямбезперервної випадкової величини Хназивається інтеграл від добутку її значень хна щільність розподілу ймовірностей f(x):

(6б)

Невласний інтеграл (6 б) передбачається абсолютно схожим (інакше говорять, що математичне очікування М(Х) не існує). Математичне очікування характеризує середнє значеннявипадкової величини Х. Його розмірність збігається із розмірністю випадкової величини.

Властивості математичного очікування:

Дисперсія. Дисперсієювипадкової величини Хназивається число:

Дисперсія є характеристикою розсіюваннязначень випадкової величини Хщодо її середнього значення М(Х). Розмірність дисперсії дорівнює розмірності випадкової величини у квадраті. Виходячи з визначень дисперсії (8) та математичного очікування (5) для дискретної випадкової величини та (6) для безперервної випадкової величини отримаємо аналогічні вирази для дисперсії:

(9)

Тут m = М(Х).

Властивості дисперсії:

Середнє квадратичне відхилення:

(11)

Так як розмірність середнього квадратичного відхилення та ж, що й у випадкової величини, воно частіше, ніж дисперсія, використовується як міра розсіювання.

Моменти розподілу. Поняття математичного очікування та дисперсії є окремими випадками більш загального поняття для числових характеристик випадкових величин. моментів розподілу. Моменти розподілу випадкової величини вводяться як математичні очікування деяких найпростіших функцій випадкової величини. Так, моментом порядку kщодо точки х 0 називається математичне очікування М(Х–х 0 )k. Моменти щодо початку координат х= 0 називаються початковими моментамита позначаються:

(12)

Початковий момент першого порядку є центр розподілу випадкової величини, що розглядається:

(13)

Моменти щодо центру розподілу х= mназиваються центральними моментамита позначаються:

(14)

З (7) слід, що центральний момент першого порядку завжди дорівнює нулю:

Центральні моменти не залежать від початку відліку значень випадкової величини, тому що при зрушенні на постійне значення Зїї центр розподілу зрушується на те саме значення З, а відхилення від центру не змінюється: Х – m = (Х – З) – (m – З).
Тепер очевидно, що дисперсія– це центральний момент другого порядку:

Асиметрія. Центральний момент третього порядку:

(17)

служить для оцінки асиметрії розподілу. Якщо розподіл симетрично щодо точки х= m, то центральний момент третього порядку дорівнюватиме нулю (як і всі центральні моменти непарних порядків). Тому, якщо центральний момент третього порядку відмінний від нуля, то розподіл не може бути симетричним. Величину асиметрії оцінюють за допомогою безрозмірного коефіцієнта асиметрії:

(18)

Знак коефіцієнта асиметрії (18) свідчить про правосторонню чи лівосторонню асиметрію (рис. 2).

Рис. 2. Види асиметрії розподілів.

Ексцес. Центральний момент четвертого порядку:

(19)

служить для оцінки так званого ексцеса, Що визначає ступінь крутості (гостровершинності) кривої розподілу поблизу центру розподілу по відношенню до кривої нормального розподілу. Так як для нормального розподілу, то як ексцес приймається величина:

(20)

На рис. 3 наведено приклади кривих розподілу з різними значеннями ексцесу. Для нормального розподілу Е= 0. Криві, більш гостроверхі, ніж нормальна, мають позитивний ексцес, більш плосковершинні - негативний.

Рис. 3. Криві розподіли з різним ступенем крутості (ексцесом).

p align="justify"> Моменти більш високих порядків в інженерних додатках математичної статистики зазвичай не застосовуються.

Мода дискретнийвипадкової величини – це найбільш ймовірне значення. Модою безперервнийвипадкової величини називається її значення, у якому щільність ймовірності максимальна (рис. 2). Якщо крива розподілу має один максимум, то розподіл називається унімодальним. Якщо крива розподілу має більше одного максимуму, то розподіл називається полімодальним. Іноді зустрічаються розподіли, криві яких мають максимум, а мінімум. Такі розподіли називаються антимодальними. Загалом мода і математичне очікування випадкової величини не збігаються. В окремому випадку, для модального, тобто. що має моду, симетричного розподілу та за умови, що існує математичне очікування, останнє збігається з модою та центром симетрії розподілу.

Медіана випадкової величини Х– це її значення Ме, котрій має місце рівність: тобто. рівноймовірно, що випадкова величина Хвиявиться менше чи більше Ме. Геометрично медіана– це абсцис точки, в якій площа під кривою розподілу ділиться навпіл (рис. 2). У разі симетричного модального розподілу медіана, мода та математичне очікування збігаються.