Нехай CB X утворюють генеральну сукупність і — невідомий параметр CB X. Якщо статистична оцінка в * є заможною, то чим більше обсяг вибірки, тим точніше отримуємо значення в. Однак на практиці ми маємо вибірки невеликого обсягу, тому не можемо гарантувати більшої точності.

Нехай * - статистична оцінка для ст. Розмір |в* - в| називається точністю оцінки. Зрозуміло, що точність є CB, тому що в * - випадкова величина. Задамо мале позитивне число 8 і вимагатимемо, щоб точність оцінки |в* - в| була менше 8, тобто | в* - у |< 8.

Надійністю g або довірчою ймовірністюоцінки в по * називається ймовірність g, з якої здійснюється нерівність | в * - в |< 8, т. е.

Зазвичай надійність g задають наперед, причому за g беруть число, близьке до 1 (0,9; 0,95; 0,99; ...).

Оскільки нерівність |в * - в|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

Інтервал (* - 8, * 5) називається довірчим інтервалом, тобто. довірчий інтервалпокриває невідомий параметр з ймовірністю у. Зауважимо, що кінці довірчого інтервалу є випадковими і змінюються від вибірки до вибірки, тому точніше говорити, що інтервал (в * - 8, в * + 8) покриває невідомий параметр, а не належить цьому інтервалу.

Нехай Генеральна сукупністьзадана випадковою величиною X, розподіленою по нормальному закону, причому, середнє квадратичне відхиленняа відомо. Невідомим є математичне очікуванняа = М(X). Потрібно знайти довірчий інтервал для а при заданій надійності.

Вибіркова середня

є статистичною оцінкоюдля хг = а.

Теорема. Випадкова величинахВ має нормальний розподілякщо X має нормальний розподіл, і М (ХВ) = а,

А (XВ) = а де а = у/Б (X), а = М (X). л/і

Довірчий інтервал для а має вигляд:

Знаходимо 8.

Користуючись співвідношенням

де Ф(г) - функція Лапласа, маємо:

Р (|XВ - а |<8} = 2Ф

таблиці значень функції Лапласа знаходимо значення t.

Позначивши

T, отримаємо F(t) = g Так як g задана, то

З рівності Знаходимо-точність оцінки.

Значить, довірчий інтервал для має вигляд:

Якщо задана вибірка із генеральної сукупності X

нГ	до"	X2	Xm
n.	n1	n2	nm

n = U1 + ... + nm, то довірчий інтервал буде:

Приклад 6.35. Знайти довірчий інтервал для оцінки математичного очікування а нормального розподілу з надійністю 0,95, знаючи середню вибіркову Xb = 10,43, обсяг вибірки n = 100 і середнє квадратичне відхилення s = 5.

Скористаємося формулою

Довірчий інтервал– граничні значення статистичної величини, яка із заданою довірчою ймовірністю γ буде у цьому інтервалі при вибірці більшого обсягу. Позначається як P(θ - ε. На практиці вибирають довірчу ймовірність γ з досить близьких до одиниці значень γ = 0.9, γ = 0.95, γ = 0.99.

Призначення сервісу. За допомогою цього сервісу визначаються:

• довірчий інтервал для генерального середнього; довірчий інтервал для дисперсії;
• довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення; довірчий інтервал для генеральної частки;

Отримане рішення зберігається у файлі Word (див. приклад). Нижче наведено відеоінструкцію, як заповнювати вихідні дані.

Приклад №1. У колгоспі із загального стада у 1000 голів овець вибірковій контрольній стрижці зазнали 100 овець. В результаті було встановлено середній настриг вовни 4,2 кг на одну вівцю. Визначити з ймовірністю 0,99 середню квадратичну помилку вибірки щодо середнього настригу вовни однією вівцю і межі, у яких укладена величина настрига, якщо дисперсія дорівнює 2,5 . Вибірка неповторна.
Приклад №2. З партії імпортованої продукції посаді Московської Північної митниці було взято як випадкової повторної вибірки 20 проб продукту «А». В результаті перевірки встановлено середню вологість продукту «А» у вибірці, яка дорівнювала 6 % при середньому квадратичному відхиленні 1 %.
Визначте з ймовірністю 0,683 межі середньої вологості продукту в усій партії імпортованої продукції.
Приклад №3. Опитування 36 студентів показало, що середня кількість підручників, прочитаних ними за навчальний рік, дорівнювала 6. Вважаючи, що кількість підручників, прочитаних студентом за семестр, має нормальний закон розподілу із середнім квадратичним відхиленням, рівним 6, знайти: А) з надійністю 0 ,99 інтервальну оцінку для математичного очікування цієї випадкової величини; Б) з якою ймовірністю можна стверджувати, що середня кількість підручників, прочитаних студентом за семестр, обчислена за даною вибіркою, відхилиться від математичного очікування абсолютної величини не більше, ніж на 2.

Класифікація довірчих інтервалів

По виду оцінюваного параметра:

За типом вибірки:

1. Довірчий інтервал для безкінечної вибірки;
2. Довірчий інтервал для кінцевої вибірки;

Вибірка називається повторноюякщо відібраний об'єкт перед вибором наступного повертається в генеральну сукупність. Вибірка називається безповторноюякщо відібраний об'єкт у генеральну сукупність не повертається. Насправді зазвичай мають справу з безповторними вибірками.

Розрахунок середньої помилки вибірки при випадковому відборі

Розбіжність між значеннями показників, отриманих за вибіркою, та відповідними параметрами генеральної сукупності називається помилкою репрезентативності.
Позначення основних параметрів генеральної та вибіркової сукупності.

Формули середньої помилки вибірки
повторний відбір		безповторний відбір
для середньої	для частки	для середньої	для частки

Співвідношення між межею помилки вибірки (Δ), що гарантується з деякою ймовірністю Р(t),та середньою помилкою вибірки має вигляд: або Δ = t·μ, де t- Коефіцієнт довіри, що визначається залежно від рівня ймовірності Р(t) по таблиці інтегральної функції Лапласа.

Формули розрахунку чисельності вибірки при власне-випадковому способі відбору

ДОВІРНИЙ ІНТЕРВАЛ ДЛЯ МАТЕМАТИЧНОГО ОЧЕКАННЯ

1. Нехай відомо, що сл. величина x підкоряється нормальному закону з невідомим середнім μ і відомою σ 2: X~N(μ,σ 2), σ 2 поставлено, μ не відомо. Встановлено β. За вибіркою x 1, x 2, … , x n треба побудувати I β (θ) (зараз θ = μ), що задовольняє (13)

Вибіркове середнє (кажуть також вибіркова середня) підпорядковується нормальному закону з тим самим центром μ, але меншою дисперсією X~N (μ , D ), де дисперсією D = 2 = 2 /n.

Нам знадобиться число β , що визначається для ξ~N(0,1) умовою

Словами: між точками -К і К осі абсцис лежить площа під кривою щільності стандартного нормального закону, рівна β

Наприклад, До 0,90 =1,645 квантиль рівня 0,95 величини ξ

K 0,95 = 1,96. ; До 0,997 =3.

Зокрема, відклавши від центру будь-якого нормального закону 1,96 стандартних відхилень вправо і стільки ж вліво, ми захопимо площу під кривою щільності, рівну 0.95, внаслідок чого К 095 є квантиллю рівня 0,95 + 1/2 * 0,005 = 0,975 для цього закону.

Шуканий довірчий інтервал для генерального середнього μ є IA (μ) = (х-σ, х+σ),

де δ = (15)

Дамо обґрунтування:

За сказаним, сл. величина інтервал J=μ±σ потрапляє з ймовірністю β (рис.9). У цьому випадку величина відхиляється від центру менше, ніж на δ , і випадковий інтервал ± δ (з випадковим центром і такою самою як у J ширини) накриє точку μ. Тобто Є J<=> μ Є I β ,тому Р(μЕІ β ) = Р( Є J )=β.

Отже, постійний за вибіркою інтервал I β містить середнє з ймовірністю β.

Зрозуміло, що більше n, то менше σ і вже інтервал, чим більше ми беремо гарантію β, тим довірчий інтервал ширше.

Приклад 21.

За вибіркою з n=16 для нормальної величини з відомою дисперсією 2 =64 знайдено х=200. Побудувати довірчий інтервал для генерального середнього (інакше кажучи, математичного очікування) μ, прийнявши β=0,95.

Рішення. I β (μ)= ± δ, де δ = К β σ/ -> До β σ/ =1.96*8/ = 4

I 0.95 (μ) = 200 4 = (196; 204).

Роблячи висновок, що з гарантією β=0,95 справжнє середнє належить інтервалу (196,204), ми розуміємо, що можлива помилка.

Зі 100 довірчих інтервалів I 0. 95 (μ) в середньому 5 не містять μ.

Приклад 22.

Яким за умов попереднього прикладу 21 слід взяти n, щоб удвічі звузити довірчий інтервал? Щоб мати 2δ=4, треба взяти

Насправді часто користуються односторонніми довірчими інтервалами. Так, якщо корисні або не страшні високі значення μ, але не приємні низькі, як у випадку з міцністю або надійністю, то резонно будувати односторонній інтервал. Для цього слід максимально підняти його верхню межу. Якщо ми збудуємо, як у прикладі 21, двосторонній довірчий інтервал для заданого β, а потім максимально розширимо його за рахунок однієї з кордонів, то отримаємо односторонній інтервал з більшою гарантією β" = β + (1-β) / 2 = (1+ β)/2, наприклад, якщо β = 0,90, то β = 0,90 + 0,10/2 = 0,95.

Наприклад, вважатимемо, що йдеться про міцність виробу і піднімемо верхню межу інтервалу до . Тоді для у прикладі 21 отримаємо односторонній довірчий інтервал (196,°°) з нижньою межею 196 і довірчою ймовірністю β"=0,95+0,05/2=0,975.

Практичним недоліком формули (15)_є те, що вона виведена в припущенні, що дисперсія = σ 2 (звідси і = σ 2 /n) відома; а це буває у житті рідко. Виняток становить випадок, коли обсяг вибірки великий, скажімо, n вимірюється сотнями або тисячами і тоді за 2 можна практично прийняти її оцінку s 2 або .

Приклад 23.

Припустимо, у деякому великому місті внаслідок вибіркового обстеження житлових умов мешканців отримано наступну таблицю даних (приклад із роботи).

Таблиця 8

Вихідні дані, наприклад

Природно припустити, що сл. величина X - загальна (корисна) площа (м2), що припадає на одну людину підпорядковується нормальному закону. Середня μ та дисперсія σ 2 не відомі. Для μ потрібно побудувати 95% довірчий інтервал. Щоб за групованими даними знайти вибіркові середні та дисперсію, складемо наступну таблицю викладок (табл.9).

Таблиця 9

Обчислення X та 5 за згрупованими даними

N групи з	Загальна площа у розрахунку на 1 особу, м 2	Число мешканців групи г j	Середина інтервалу x j	r j x j	rjxj 2
	До 5.0		2.5	20.0	50.0
	5.0-10.0		7.5	712.5	5343.75
	10.0-15.0		12.5	2550.0	31875.0
	15.0-20.0		17.5	4725.0	82687.5
	20.0-25.0		22.5	4725.0	106312.5
	25.0-30.0		27.5	3575.0	98312.5
	понад 30.0		32.5 *	2697.5	87668.75
			-	19005.0	412250.0

У цій допоміжній таблиці за формулою (2) підраховано перший та другий початкові статистичні моменти а 1і а 2

Хоча дисперсія σ 2 тут невідома, через великий обсяг вибірки можна практично застосувати формулу (15), поклавши у ній σ= =7.16.

Тоді δ=k 0.95 σ/ =1.96*7.16/ =0.46.

Довірчий інтервал для середнього генерального при β=0,95 дорівнює I 0.95 (μ) = ± δ = 19 ± 0.46 = (18.54; 19.46).

Отже, середнє значення площі одну людину у цьому місті з гарантією 0.95 лежить у проміжку (18.54; 19.46).

2. Довірчий інтервал для математичного очікування у разі невідомої дисперсії σ 2 нормальної величини. Цей інтервал для заданої гарантії β будується за формулою де ν = n-1 ,

(16)

Коефіцієнт t β,ν має той самий сенс для t – розподілу з ν ступенями свободи, що до β для розподілу N(0,1), а саме:

.

Інакше кажучи, сл. Величина tν потрапляє до інтервалу (-t β,ν ; +t β,ν) з ймовірністю β. Значення t β,ν дано в табл.10 для β=0.95 і β=0.99.

Таблиця 10

Значення t β,ν

Повертаючись до прикладу 23, бачимо, що в ньому довірчий інтервал був побудований за формулою (16) з коефіцієнтом t β,? = k 0..95 = 1.96, т. К.

Ви можете використовувати цю форму пошуку, щоб знайти потрібне завдання. Введіть слово, фразу із завдання чи її номер, якщо він вам відомий.

Шукати тільки у цьому розділі

Довірчі інтервали: список розв'язків задач

Довірчі інтервали: теорія та завдання

Загальні відомості про довірчі інтервали

Введемо коротко поняття довірчого інтервалу, який
1) оцінює деякий параметр числової вибірки безпосередньо за даними самої вибірки,
2) накриває значення цього параметра із ймовірністю γ.

Довірчим інтерваломдля параметра X(при ймовірності γ) називається інтервал виду , такий що , а значення обчислюються деяким чином на вибірці .

Зазвичай у прикладних задачах довірчу ймовірність беруть рівною γ = 0,9; 0,95; 0,99.

Розглянемо деяку вибірку обсягу n, зроблену з генеральної сукупності, розподіленої, імовірно, за нормальним законом розподілу. Покажемо, за якими формулами є довірчі інтервали для параметрів розподілу- математичного очікування та дисперсії (середнього квадратичного відхилення).

Довірчий інтервал для математичного очікування

Випадок 1.Дисперсія розподілу відома і дорівнює. Тоді довірчий інтервал для параметра aмає вигляд:
tвизначається з таблиці розподілу Лапласа за співвідношенням

Випадок 2Дисперсія розподілу невідома, за вибіркою обчислено точкову оцінку дисперсії. Тоді довірчий інтервал для параметра aмає вигляд:
де - вибіркове середнє, обчислене за вибіркою, параметр tвизначається з таблиці розподілу Стьюдента

приклад.За даними 7 вимірювань деякої величини знайдені середня результатів вимірювань, що дорівнює 30 і вибіркова дисперсія, що дорівнює 36. Знайдіть межі, в яких з надійністю 0,99 укладено справжнє значення вимірюваної величини.

Рішення.Знайдемо . Тоді довірчі межі для інтервалу, що містить справжнє значення вимірюваної величини, можна знайти за формулою:
, де – вибіркове середнє, – вибіркова дисперсія. Підставляємо всі величини та отримуємо:

Довірчий інтервал для дисперсії

Вважаємо, що взагалі кажучи, математичне очікування невідоме, а відома лише точкова незміщена оцінка дисперсії. Тоді довірчий інтервал має вигляд:
, де - Квантилі розподілу, що визначаються з таблиць.

приклад.За даними 7 випробувань знайдено значення оцінки для середньоквадратичного відхилення s=12. Знайти із ймовірністю 0,9 ширину довірчого інтервалу, побудованого для оцінки дисперсії.

Рішення.Довірчий інтервал для невідомої дисперсії генеральної сукупності можна знайти за такою формулою:

Підставляємо та отримуємо:


Тоді ширина довірчого інтервалу дорівнює 465,589-71,708 = 393,881.

Довірчий інтервал для ймовірності (частки)

Випадок 1.Нехай у задачі відомий обсяг вибірки та вибіркова частка (відносна частота) . Тоді довірчий інтервал для генеральної частки (істинної ймовірності) має вигляд:
, де параметр tвизначається з таблиці розподілу Лапласа за співвідношенням.

Випадок 2Якщо в задачі додатково відомий загальний обсяг сукупності , з якої було зроблено вибірку, довірчий інтервал для генеральної частки (істинної ймовірності) можна знайти за скоригованою формулою:
.

приклад.Відомо, що знайти межі, в яких з ймовірністю укладено генеральну частку.

Рішення.Використовуємо формулу:

Знайдемо параметр із умови , отримаємо Підставляємо у формулу:

Інші приклади завдань математичної статистики ви знайдете на сторінці

Для початку нагадаємо таке визначення:

Розглянемо наступну ситуацію. Нехай варіанти генеральної сукупності має нормальний розподіл із математичним очікуванням $a$ і середнім квадратичним відхиленням $\sigma$. Вибіркове середнє у разі розглядатиметься як випадкова величина. Коли величина $X$ розподілена нормально, вибіркове середнє також матиме нормальний розподіл з параметрами

Знайдемо довірчий інтервал, який покриває величину $a$ з надійністю $gamma $.

Для цього нам необхідно, щоб виконувалась рівність

З неї отримаємо

Звідси ми можемо легко знайти $t$ за таблицею значень функції $Ф\left(t\right)$ і, як наслідок, знайти $delta$.

Нагадаємо таблицю значень функції $Ф\left(t\right)$:

Малюнок 1. Таблиця значень функції $Ф\left(t\right).$

Довірчий інтеграл для оцінки математичного очікування за невідомого $(\mathbf \sigma )$

У цьому випадку ми користуватимемося значенням виправленої дисперсії $S^2$. Замінюючи у вище виведеній формулі $sigma $ на $S$, отримаємо:

Приклад завдань перебування довірчого інтервалу

Приклад 1

Нехай величина $X$ має нормальний розподіл із дисперсією $\sigma =4$. Нехай обсяг вибірки $ n = 64 $, а надійність дорівнює $ Gamma = 0,95 $. Знайти довірчий інтервал для оцінки математичного очікування цього розподілу.

Нам необхідно знайти інтервал ($\overline(x)-\delta ,\overline(x)+\delta)$.

Як ми бачили вище

\[\delta =\frac(\sigma t)(\sqrt(n))=\frac(4t)(\sqrt(64))=\frac(\ t)(2)\]

Параметр $t$ знайдемо з формули

\[Ф\left(t\right)=\frac(\gamma )(2)=\frac(0,95)(2)=0,475\]

З таблиці 1 отримуємо, що $t=1,96$.