ДОВІРНИЙ ІНТЕРВАЛ ДЛЯ МАТЕМАТИЧНОГО ОЧЕКАННЯ

1. Нехай відомо, що сл. величина x підкоряється нормальному законуз невідомим середнім μ та відомою σ 2: X~N(μ,σ 2), σ 2 поставлено, μ не відомо. Встановлено β. За вибіркою x 1, x 2, … , x n треба побудувати I β (θ) (зараз θ = μ), що задовольняє (13)

Вибіркове середнє (кажуть також вибіркова середня) підпорядковується нормальному закону з тим самим центром μ, але меншою дисперсією X~N (μ , D ), де дисперсією D = 2 = 2 /n.

Нам знадобиться число β , що визначається для ξ~N(0,1) умовою

Словами: між точками -К і К осі абсцис лежить площа під кривою щільності стандартного нормального закону, рівна β

Наприклад, До 0,90 =1,645 квантиль рівня 0,95 величини ξ

K 0,95 = 1,96. ; До 0,997 =3.

Зокрема, відклавши від центру будь-якого нормального закону 1,96 стандартних відхилень вправо і стільки ж вліво, ми захопимо площу під кривою щільності, рівну 0.95, внаслідок чого К 095 є квантиллю рівня 0,95 + 1/2 * 0,005 = 0,975 для цього закону.

Шуканий довірчий інтервалдля генерального середнього μ є IA (μ) = (х-σ, х+σ),

де δ = (15)

Дамо обґрунтування:

За сказаним, сл. величина інтервал J=μ±σ потрапляє з ймовірністю β (рис.9). У цьому випадку величина відхиляється від центру менше, ніж на δ , і випадковий інтервал ± δ (з випадковим центром і такою самою як у J ширини) накриє точку μ. Тобто Є J<=> μ Є I β ,тому Р(μЕІ β ) = Р( Є J )=β.

Отже, постійний за вибіркою інтервал I β містить середнє з ймовірністю β.

Зрозуміло, що більше n, то менше σ і вже інтервал, чим більше ми беремо гарантію β, тим довірчий інтервал ширше.

Приклад 21.

За вибіркою з n=16 для нормальної величини відомою дисперсієюσ 2 =64 знайдено х=200. Побудувати довірчий інтервал для генерального середнього (інакше кажучи, математичного очікування) μ, прийнявши β=0,95.

Рішення. I β (μ)= ± δ, де δ = К β σ/ -> До β σ/ =1.96*8/ = 4

I 0.95 (μ) = 200 4 = (196; 204).

Роблячи висновок, що з гарантією β=0,95 справжнє середнє належить інтервалу (196,204), ми розуміємо, що можлива помилка.

Зі 100 довірчих інтервалів I 0. 95 (μ) в середньому 5 не містять μ.

Приклад 22.

Яким за умов попереднього прикладу 21 слід взяти n, щоб удвічі звузити довірчий інтервал? Щоб мати 2δ=4, треба взяти

Насправді часто користуються односторонніми довірчими інтервалами. Так, якщо корисні або не страшні високі значення μ, але не приємні низькі, як у випадку з міцністю або надійністю, то резонно будувати односторонній інтервал. Для цього слід максимально підняти його верхню межу. Якщо ми збудуємо, як у прикладі 21, двосторонній довірчий інтервал для заданого β, а потім максимально розширимо його за рахунок однієї з кордонів, то отримаємо односторонній інтервал з більшою гарантією β" = β + (1-β) / 2 = (1+ β)/2, наприклад, якщо β = 0,90, то β = 0,90 + 0,10/2 = 0,95.

Наприклад, вважатимемо, що мова йдепро міцність виробу і піднімемо верхню межу інтервалу до . Тоді для у прикладі 21 отримаємо односторонній довірчий інтервал (196,°°) з нижньою межею 196 і довірчою ймовірністюβ"=0,95+0,05/2=0,975.

Практичним недоліком формули (15)_є те, що вона виведена в припущенні, що дисперсія = σ 2 (звідси і = σ 2 /n) відома; а це буває у житті рідко. Виняток становить випадок, коли обсяг вибірки великий, скажімо, n вимірюється сотнями або тисячами і тоді за 2 можна практично прийняти її оцінку s 2 або .

Приклад 23.

Припустимо, в деякому великому містів результаті вибіркового обстеження житлових умов мешканців отримано наступну таблицю даних (приклад із роботи).

Таблиця 8

Вихідні дані, наприклад

Природно припустити, що сл. величина X - загальна (корисна) площа (м2), що припадає на одну людину підпорядковується нормальному закону. Середня μ та дисперсія σ 2 не відомі. Для μ потрібно побудувати 95% довірчий інтервал. Щоб за групованими даними знайти вибіркові середні та дисперсію, складемо наступну таблицю викладок (табл.9).

Таблиця 9

Обчислення X та 5 за згрупованими даними

У цій допоміжній таблиці за формулою (2) підраховано перший та другий початкові статистичні моменти а 1і а 2

Хоча дисперсія σ 2 тут невідома, через великий обсяг вибірки можна практично застосувати формулу (15), поклавши у ній σ= =7.16.

Тоді δ=k 0.95 σ/ =1.96*7.16/ =0.46.

Довірчий інтервал для середнього генерального при β=0,95 дорівнює I 0.95 (μ) = ± δ = 19 ± 0.46 = (18.54; 19.46).

Отже, середнє значення площі на одну людину в даному містіз гарантією 0.95 лежить у проміжку (18.54; 19.46).

2. Довірчий інтервал для математичного очікування у разі невідомої дисперсії σ 2 нормальної величини. Цей інтервал для заданої гарантії β будується за формулою де ν = n-1 ,

(16)

Коефіцієнт t β,ν має той самий сенс для t – розподілу з ν ступенями свободи, що до β для розподілу N(0,1), а саме:

.

Інакше кажучи, сл. Величина tν потрапляє до інтервалу (-t β,ν ; +t β,ν) з ймовірністю β. Значення t β,ν дано в табл.10 для β=0.95 і β=0.99.

Таблиця 10

Значення t β,ν

Повертаючись до прикладу 23, бачимо, що в ньому довірчий інтервал був побудований за формулою (16) з коефіцієнтом t β,? = k 0..95 = 1.96, т. К.

Довірчий інтервал для математичного очікування - це такий обчислений за даними інтервал, який з певною ймовірністю містить математичне очікуваннягенеральної сукупності. Природною оцінкою для математичного очікування є середнє арифметичне її спостережених значень. Тому далі протягом уроку ми користуватимемося термінами "середнє", "середнє значення". У завданнях розрахунку довірчого інтервалу найчастіше потрібна відповідь типу "Довірчий інтервал середнього числа [величина у конкретній задачі] знаходиться від [менше значення] до [більше значення]". З допомогою довірчого інтервалу можна оцінювати як середні значення, а й питому вагу тієї чи іншої ознаки генеральної сукупності. Середні значення, дисперсія, стандартне відхиленняі похибка, через які ми будемо приходити до нових визначень та формул, розібрані на уроці Характеристики вибірки та генеральної сукупності .

Точкова та інтервальна оцінки середнього значення

Якщо середнє значення генеральної сукупності оцінюється числом (точкою), то оцінку невідомої середньої величиниГенеральної сукупності приймається конкретне середнє, яке розраховане на вибірку спостережень. У разі значення середнього вибірки - випадкової величини - не збігається із середнім значенням генеральної сукупності. Тому, вказуючи середнє значення вибірки, одночасно потрібно вказувати помилку вибірки. В якості міри помилки вибірки використовується стандартна помилка, яка виражена в тих самих одиницях виміру, що і середнє. Тому найчастіше використовується наступний запис: .

Якщо оцінку середнього потрібно пов'язати з певною ймовірністю, то параметр генеральної сукупності, що цікавить, потрібно оцінювати не одним числом, а інтервалом. Довірчим інтервалом називають інтервал, у якому з певною ймовірністю Pперебуває значення оцінюваного показника генеральної сукупності. Довірчий інтервал, у якому з ймовірністю P = 1 - α знаходиться випадкова величина , розраховується так:

,

α = 1 - P, який можна знайти у додатку до практично будь-якої книги зі статистики.

Насправді середнє значення генеральної сукупності і дисперсія невідомі, тому дисперсія генеральної сукупності замінюється дисперсією вибірки , а середнє генеральної сукупності - середнім значенням вибірки . Таким чином, довірчий інтервал у більшості випадків розраховується так:

.

Формулу довірчого інтервалу можна використовувати для оцінки середньої генеральної сукупності, якщо

• відоме стандартне відхилення генеральної сукупності;
• або стандартне відхилення генеральної сукупності невідоме, але обсяг вибірки – більше 30.

Середнє значення вибірки є незміщеною оцінкою середньої генеральної сукупності. У свою чергу, дисперсія вибірки не є незміщеною оцінкою дисперсії генеральної сукупності. Для отримання незміщеної оцінки дисперсії генеральної сукупності у формулі дисперсії вибірки обсяг вибірки nслід замінити на n-1.

приклад 1.Зібрано інформацію зі 100 випадково обраних кафе в деякому місті про те, що середня кількість працівників у них становить 10,5 зі стандартним відхиленням 4,6. Визначити довірчий інтервал 95% від числа працівників кафе.

де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,05 .

Таким чином, довірчий інтервал 95% середньої кількості працівників кафе становив від 9,6 до 11,4.

приклад 2.Для випадкової вибірки з генеральної сукупності з 64 спостережень обчислено такі сумарні величини:

сума значень у спостереженнях,

сума квадратів відхилення значень від середнього .

Обчислити довірчий інтервал 95% для математичного очікування.

обчислимо стандартне відхилення:

,

обчислимо середнє значення:

.

Підставляємо значення вираз для довірчого інтервалу:

де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,05 .

Отримуємо:

Таким чином, довірчий інтервал 95% для математичного очікування цієї вибірки становив від 7,484 до 11,266.

приклад 3.Для випадкової вибірки з генеральної сукупності зі 100 спостережень обчислено середнє значення 15,2 та стандартне відхилення 3,2. Обчислити довірчий інтервал 95% для математичного очікування, потім довірчий інтервал 99%. Якщо потужність вибірки та її варіація залишаються незмінними, а збільшується довірчий коефіцієнт, то довірчий інтервал звузиться чи розшириться?

Підставляємо дані значення вираз для довірчого інтервалу:

де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,05 .

Отримуємо:

.

Таким чином, довірчий інтервал 95% для середньої даної вибірки становив від 14,57 до 15,82.

Знову підставляємо дані значення вираз для довірчого інтервалу:

де - критичне значення стандартного нормального розподілу рівня значимості α = 0,01 .

Отримуємо:

.

Таким чином, довірчий інтервал 99% для середньої даної вибірки становив від 14,37 до 16,02.

Як бачимо, при збільшенні довірчого коефіцієнта збільшується також критичне значення стандартного нормального розподілу, а отже початкова і кінцева точки інтервалу розташовані далі від середнього, і таким чином довірчий інтервал для математичного очікування збільшується.

Точкова та інтервальна оцінки частки

Питому вагу деякої ознаки вибірки можна інтерпретувати як точкову оцінкупитомої ваги pцієї ж ознаки в генеральній сукупності. Якщо ж цю величину потрібно пов'язати з ймовірністю, слід розрахувати довірчий інтервал частки pознаки у генеральній сукупності з ймовірністю P = 1 - α :

.

приклад 4.У деякому місті два кандидати Aі Bпретендують на посаду мера Випадково було опитано 200 жителів міста, з яких 46% відповіли, що голосуватимуть за кандидата A, 26% - за кандидата Bта 28% не знають, за кого голосуватимуть. Визначити довірчий інтервал 95% для частки жителів міста, які підтримують кандидата A.

Нехай CB X утворюють генеральну сукупність і — невідомий параметр CB X. Якщо статистична оцінка в * є заможною, то чим більше обсяг вибірки, тим точніше отримуємо значення в. Однак на практиці ми маємо вибірки невеликого обсягу, тому не можемо гарантувати більшої точності.

Нехай * - статистична оцінка для ст. Розмір |в* - в| називається точністю оцінки. Зрозуміло, що точність є CB, тому що в * - випадкова величина. Задамо мале позитивне число 8 і вимагатимемо, щоб точність оцінки |в* - в| була менше 8, тобто | в* - у |< 8.

Надійністю g або довірчою ймовірністю оцінки по * називається ймовірність g, з якою здійснюється нерівність | в * - в |< 8, т. е.

Зазвичай надійність g задають наперед, причому за g беруть число, близьке до 1 (0,9; 0,95; 0,99; ...).

Оскільки нерівність |в * - в|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

Інтервал (* - 8, * 5) називається довірчим інтервалом, тобто довірчий інтервал покриває невідомий параметр з ймовірністю у. Зауважимо, що кінці довірчого інтервалу є випадковими і змінюються від вибірки до вибірки, тому точніше говорити, що інтервал (в * - 8, в * + 8) покриває невідомий параметр, а не належить цьому інтервалу.

Нехай Генеральна сукупністьзадана випадковою величиною X, розподіленою за нормальним законом, причому середнє квадратичне відхиленняа відомо. Невідомим є математичне очікування а = М(Х). Потрібно знайти довірчий інтервал для а при заданій надійності.

Вибіркова середня

є статистичною оцінкоюдля хг = а.

Теорема. Випадкова величинахВ має нормальний розподілякщо X має нормальний розподіл, і М (ХВ) = а,

А (XВ) = а де а = у/Б (X), а = М (X). л/і

Довірчий інтервал для а має вигляд:

Знаходимо 8.

Користуючись співвідношенням

де Ф(г) - функція Лапласа, маємо:

Р (|XВ - а |<8} = 2Ф

таблиці значень функції Лапласа знаходимо значення t.

Позначивши

T, отримаємо F(t) = g Так як g задана, то

З рівності Знаходимо-точність оцінки.

Значить, довірчий інтервал для має вигляд:

Якщо задана вибірка із генеральної сукупності X

n = U1 + ... + nm, то довірчий інтервал буде:

Приклад 6.35. Знайти довірчий інтервал для оцінки математичного очікування а нормального розподілу з надійністю 0,95, знаючи середню вибіркову Xb = 10,43, обсяг вибірки n = 100 і середнє квадратичне відхилення s = 5.

Скористаємося формулою

Нехай випадкова величина (можна говорити про генеральну сукупність) розподілена за нормальним законом, для якого відома дисперсія D = 2 (> 0). З генеральної сукупності (на багатьох об'єктів якої визначено випадкова величина) робиться вибірка обсягу n. Вибірка x 1 , x 2 ,..., x n сприймається як сукупність n незалежних випадкових величин, розподілених як і (підхід, якому дано пояснення вище з тексту).

Раніше також обговорювалися та доведені такі рівності:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

Досить просто довести (ми доказ опускаємо), що випадкова величина у разі також розподілена за нормальним законом.

Позначимо невідому величину M через a і підберемо за заданою надійністю число d > 0 так, щоб виконувалася умова:

P(- a< d) = (1)

Так як випадкова величина розподілена за нормальним законом з математичним очікуванням M = M = a і дисперсією D = D /n = 2 /n, отримуємо:

P(- a< d) =P(a - d < < a + d) =

Залишилося підібрати d таким, щоб виконувалася рівність

Для будь-якого можна по таблиці знайти таке число t, що (t) = / 2. Це число t іноді називають квантилем.

Тепер із рівності

визначимо значення d:

Остаточний результат отримаємо, подавши формулу (1) у вигляді:

Сенс останньої формули полягає в наступному: з надійністю довірчий інтервал

покриває невідомий параметр a = M генеральної сукупності. Можна сказати інакше: точкова оцінка визначає значення параметра M з точністю d = t / та надійністю.

Завдання. Нехай є генеральна сукупність з деякою характеристикою, розподіленою за нормальним законом із дисперсією, що дорівнює 6,25. Зроблено вибірку обсягу n = 27 та отримано середньовибіркове значення характеристики = 12. Знайти довірчий інтервал, що покриває невідоме математичне очікування досліджуваної характеристики генеральної сукупності з надійністю =0,99.

Рішення. Спочатку таблиці для функції Лапласа знайдемо значення t з рівності (t) = / 2 = 0,495. За отриманим значенням t = 2,58 визначимо точність оцінки (або половину довжини довірчого інтервалу) d: d = 2,52,58/1,24. Звідси одержуємо шуканий довірчий інтервал: (10,76; 13,24).

статистична гіпотеза генеральний варіаційний

Довірчий інтервал для математичного очікування нормального розподілу при невідомій дисперсії

Нехай - випадкова величина, розподілена за нормальним законом із невідомим математичним очікуванням M, яке позначимо буквою a . Зробимо вибірку обсягу n. Визначимо середню вибіркову та виправлену вибіркову дисперсію s 2 за відомими формулами.

Випадкова величина

розподілена згідно із законом Стьюдента з n - 1 ступенями свободи.

Завдання полягає в тому, щоб за заданою надійністю і за числом ступенів свободи n - 1 знайти таке число t щоб виконувалася рівність

або еквівалентна рівність

Тут у дужках написана умова того, що значення невідомого параметра належить деякому проміжку, який і є довірчим інтервалом. Його межі залежать від надійності, а також параметрів вибірки і s.

Щоб визначити значення t за величиною, рівність (2) перетворюємо на вигляд:

Тепер по таблиці для випадкової величини t, розподіленої згідно із законом Стьюдента, за ймовірністю 1 - і числом ступенів свободи n - 1 знаходимо t. Формула (3) відповідає поставленої задачі.

Завдання. На контрольних випробуваннях 20 електроламп середня тривалість їх роботи дорівнювала 2000 годин при середньому квадратичному відхиленні (розрахованому як корінь квадратний з виправленої вибіркової дисперсії), що дорівнює 11 годин. Відомо, що тривалість роботи лампи є нормально розподіленою випадковою величиною. Визначити з надійністю 0,95 довірчий інтервал для математичного очікування цієї випадкової величини.

Рішення. Розмір 1 - у разі дорівнює 0,05. По таблиці розподілу Стьюдента, за числі ступенів свободи, що дорівнює 19, знаходимо: t = 2,093. Обчислимо тепер точність оцінки: 2,093121/=56,6. Звідси одержуємо шуканий довірчий інтервал: (1943,4; 2056,6).

Нехай зроблена вибірка з генеральної сукупності, підпорядкованої закону нормальногорозподілу XN( m;  ). Це основне припущення математичної статистики ґрунтується на центральній граничній теоремі. Нехай відоме генеральне середнє квадратичне відхилення  , але невідомо математичне очікування теоретичного розподілу m(середнє значення ).

У такому разі середнє вибіркове , отримане в ході експерименту (п.3.4.2), також буде випадковою величиною m;
). Тоді «нормалізоване» відхилення
N(0;1) – є стандартною нормальною випадковою величиною.

Завдання полягає у пошуку інтервальної оцінки для m. Побудуємо двосторонній довірчий інтервал для m так, щоб справжнє математичне очікування належало йому із заданою ймовірністю (надійністю)  .

Встановити такий інтервал для величини
- Це означає знайти максимальне значення цієї величини
та мінімальне
, які є межами критичної області:
.

Т.к. така ймовірність дорівнює
, то корінь цього рівняння
можна знайти за допомогою таблиць функції Лапласа (Таблиця 3, додаток 1).

Тоді з ймовірністю  можна стверджувати, що випадкова величина
, тобто шукане генеральне середнє належить інтервалу
. (3.13)

Величину
(3.14)

називають точністюоцінки.

Число
– квантильнормального розподілу – можна як аргумент функції Лапласа (Таблиця 3, додаток 1), враховуючи співвідношення 2Ф( u)=, тобто. Ф( u)=
.

Назад, за заданим значенням відхилення  можна знайти, з якою ймовірністю, невідоме генеральне середнє належить інтервалу
. Для цього потрібно обчислити

. (3.15)

Нехай із генеральної сукупності вилучено випадкову вибірку методом повторного відбору. З рівняння
можна знайти мінімальнийобсяг повторної вибірки n, необхідний для того, щоб довірчий інтервал із заданою надійністю не перевищував наперед заданого значення  . Оцінку необхідного обсягу вибірки роблять за такою формулою:

. (3.16)

Досліджуємо точність оцінки
:

1) У разі зростання обсягу вибірки nвеличина  зменшується, і значить, точність оцінки збільшується.

2) З збільшеннямнадійності оцінки збільшується значення аргументу u(Т.к. Ф(u) монотонно зростає) і значить збільшується  . У такому разі збільшення надійності зменшуєточність її оцінки  .

Оцінку
(3.17)

називають класичною(де t- певний параметр, що залежить від і n), т.к. вона характеризує найпоширеніші закони розподілу.

3.5.3 Довірчі інтервали для оцінки математичного очікування нормального розподілу за невідомого середнього квадратичного відхилення 

Нехай відомо, що генеральна сукупність підпорядкована закону нормального розподілу XN( m; ), де величина середнього квадратичноговідхилення невідома.

Для побудови довірчого інтервалу оцінки генерального середнього у разі використовується статистика
, що має розподіл Ст'юдента з k= n-1 ступенями свободи. Це випливає з того, що N(0;1) (див. п.3.5.2), а
(див. п.3.5.3) та з визначення розподілу Ст'юдента (ч.1.п.2.11.2).

Знайдемо точність класичної оцінки розподілу Стьюдента: тобто. знайдемо tіз формули (3.17). Нехай ймовірність виконання нерівності
задана надійністю  :

. (3.18)

Оскільки TSt( n-1), очевидно, що tзалежить від  і nтому зазвичай пишуть
.

(3.19)

де
- функція розподілу Ст'юдента з n-1 ступенями свободи.

Вирішуючи це рівняння щодо m, отримаємо інтервал
який з надійністю  покриває невідомий параметр m.

Величина t  , n-1 , що служить для визначення довірчого інтервалу випадкової величини T(n-1), розподіленою за Ст'юдентом з n-1 ступенями свободи, називається коефіцієнтом Ст'юдента. Його слід знаходити за заданими значеннями nта  з таблиць «Критичні точки розподілу Стьюдента». (Таблиця 6, додаток 1), які є рішення рівняння (3.19).

У результаті отримуємо такий вираз точності довірчого інтервалу для оцінки математичного очікування (генерального середнього), якщо невідома дисперсія:

(3.20)

Т.ч. існує загальна формула побудови довірчих інтервалів для математичного очікування генеральної сукупності:

де точність довірчого інтервалу  залежно від відомої чи невідомої дисперсії знаходиться за формулами відповідно 3.16. та 3.20.

Завдання 10.Проведено деякі випробування, результати яких занесені до таблиці:

Відомо, що вони підпорядковуються закону нормального розподілу з
. Знайти оцінку m* для математичного очікування m, побудувати йому 90% довірчий інтервал.

Рішення:

Отже, m(2.53;5.47).

Завдання 11.Глибина моря вимірюється приладом, систематична помилка якого дорівнює 0, а випадкові помилки розподіляються за нормальним законом, із середнім квадратичним відхиленням  = 15м. Скільки треба зробити незалежних вимірів, щоб визначити глибину з помилками не більше 5м за довірчої ймовірності 90%?

Рішення:

За умовою завдання маємо XN( m;  ), де  = 15м,  = 5м,  =0.9. Знайдемо обсяг n.

1) Із заданою надійністю = 0.9 знайдемо за таблицями 3 (Додаток 1) аргумент функції Лапласа u  = 1.65.

2) Знаючи задану точність оцінки  =u  =5, знайдемо
. Маємо

. Тому кількість випробувань n25.

Завдання 12.Вибір температури tза перші 6 днів січня представлена ​​у таблиці:

Знайти довірчий інтервал для математичного очікування mгенеральної сукупності з довірчою ймовірністю
та оцінити генеральне стандартне відхилення s.

Рішення:

і
.

2) Незміщену оцінку знайдемо за формулою
:

;
;

.

3) Оскільки генеральна дисперсія невідома, але відома її оцінка, то оцінки математичного очікування mвикористовуємо розподіл Ст'юдента (Таблиця 6, додаток 1) та формулу (3.20).

Т.к. n 1 =n 2 = 6, то ,
, s 1 =6.85 маємо:
, звідси -29.2-4.1<m 1 < -29.2+4.1.

Тому -33.3<m 1 <-25.1.

Аналогічно маємо,
, s 2 = 4.8, тому

–34.9< m 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: m 1 (-33.3;-25.1) та m 2 (-34.9;-29.1).

У прикладних науках, наприклад, у будівельних дисциплінах, для оцінки точності об'єктів використовуються таблиці довірчих інтервалів, які наведені у довідковій літературі.