Довірчий інтервал для оцінки дисперсії у MS EXCEL. Довірчий інтервал для дисперсії за відомого середнього

Тут середнє вважається відомим фіксованим числом, а дисперсія виступає у ролі невідомого параметра. Покладемо

Так як --, має стандартний нормальний розподіл. Тим самим, функція має-розподіл ступенями свободи, аж ніяк не залежить від невідомого параметра. Позначаючи через квантили цього розподілу і фіксуючи деякі такі, що , приходимо до нерівності

яке виконано з ймовірністю. Звідки отримуємо-довірчий інтервал для:

Довірчий інтервал для дисперсії при невідомому середньому

Зауважимо, що функція визначена в такий спосіб, що з заданої вибірці її значення залежить лише від параметра. Щодо розподілу випадкової величини , то по теоремі Фішера (див.8.3) воно є розподілом ступенями свободи і, отже, не залежить від невідомих параметрів. Фіксуючи, такі, що , і міркуючи як (47), приходимо до наступного -довірчого інтервалу для:

який, використовуючи позначення (30), можна переписати так

Довірчий інтервал для середнього при невідомій дисперсії

Як і в попередньому пункті, обидва параметри вважаються невідомими, при цьому є параметром, що заважає. За теоремою Фішера

і

незалежні і мають розподіл і-розподіл ступенем свободи відповідно. Отже, відношення

має розподіл Стьюдента зі ступенем свободи. Виберемо функцію рівної правої частини (48):

де - Вибіркова дисперсія, визначена формулою (30). Функція не залежить явно від параметра, що заважає. Позначаючи через квантиль розподілу Стьюдента ступенем свободи, отримаємо, що нерівність

виконано з ймовірністю. Звідси отримуємо-довірчий інтервал для:

Оскільки розподіл Стьюдента симетричний, то за Пропозицією 3.3

Тому довірчий інтервал можна записати у вигляді

Таким чином, середнє вибіркове є серединою цього інтервалу.

Приклад 8.2

Звернемося до прикладу 6.4. Припустимо, що кожна з вибірок квитка з нормальногорозподілу з невідомимипараметрами -відповідно. (Про те, на підставі чого можна зробити таке припущення, ми поговоримо пізніше о 9.5.)

Наша мета - знайти довірчі інтервали для та, теоретичних значень вмісту вуглецю та міцності на розрив сталі GS50. Нагадаємо, що обсяг кожної із вибірок. Зафіксуємо довірчу ймовірність, близьку до одиниці, скажімо. По таблиці розподілу Стьюдента на стр. визначимо приблизно, що. Згадуючи значення, знайдені в Прикладі6.5на стор., обчислюємо

і, користуючись формулою (49), отримуємо -довірчий інтервал для процентного вмісту вуглецю

і -довірчий інтервал для значення міцності на розрив

Лабораторна робота №12 Основи теорії оцінювання

Статистик має справу з даними, схильними до випадкової мінливості. Їхня поведінка характеризується деяким законом розподілу ймовірностей. Такий закон, як правило, містить невідомі величини, які вважають параметрами закону. У силу випадкової мінливості даних, що спостерігаються, не можна, ґрунтуючись на них, вказати абсолютно точне значення параметрів. Доводиться задовольнятися лише наближеними значеннями. Отже, математичний статистик працює з такими величинами: - випадковою величиною, яку він ніколи не спостерігає, але яку вважає "душою" даних, що вивчаються ним, причиною, що їх породила. Ця величина визначається деякими параметрами; - даними, що вивчаються, які отримані, як реалізація випадкової величини. Наприклад, випадковою величиною є точний час. Її реалізаціями - показання годинника, доступного для статистика. Завдання статистика - за показаннями n годин t 1,...,t n максимально точно встановити час. З іншого боку він має охарактеризувати точність встановленого значення. Він виконує оцінювання шуканої величини у вигляді t = t 0 + ξ(a,σ), де t 0 - дійсний час у момент дослідження, ξ(a,σ) - випадкова величина, що характеризує відхилення від істинного значення, t 0 , a, σ - параметри, величина ξ характеризується законом розподілу, імовірностями того, що вона набуває різних значень. Оцінюванням у статистиці називають правило обчислення наближеного значення параметра на основі даних, що спостерігаються. Оцінка - це наближене значення параметра, знайдене за даними, що спостерігаються. При побудові оцінок для практичного застосування, до оцінок висуваються три основні вимоги:

точність, тобто близькість до істинного значення параметра, у прикладі ξ(a,σ) має бути мало;

несмещенность, тобто вимога, щоб математичне очікування оцінки дорівнювало істинному значенню параметра, у прикладі ξ(a,σ) має бути в середньому дорівнює нулю;

спроможність, тобто вимога, щоб зі збільшенням числа спостережень оцінка сходилася ймовірно до справжнього значення параметра. У прикладі при великому числігодин n значення ξ(a,σ) має прагнути до нуля з ймовірністю, що прагне одиниці.

Найкращих в усіх відношеннях оцінок немає. Наприклад, середнє арифметичне, поширена оцінка середнього значення випадкової величини, має властивість оптимальності для нормально розподілених даних. Однак воно призводить до помилок, якщо серед даних є викиди, тобто значення, що різко виділяються. Такі викиди в економіці породжені грубими помилкамиу вимірах або друкарськими помилками, при яких може зникнути точка між рублями і копійками і зарплата зросте в сотню разів. Розглянемо випадковий процес, пов'язаний з історією нанесення на карту Великої Британії уточнених меж її володінь, розкиданих по всіх частинах світу. Відомо, що кожна точка Землі характеризується двома координатами - широтою і довготою. Сьогодні будь-який школяр чув про супутникові прилади, що задають будь-яку точку на Землі з точністю до метра. Однак у ті часи навіть подібний прилад не допоміг би морякам, оскільки він не виявив би на небі жодного "опорного" супутника. Широта визначалася безпосередньо за висотою світил над горизонтом за допомогою приладу "секстан", аналогічного сучасному теодоліту (підзорна труба плюс вимірювач кута). Довгота є кутом повороту земної кулі, при якому поєднуються місцевий меридіан і обраний за умовний нуль грінвічський. Земля робить оборот в 360 ° майже за добу, тобто за годину вона повертається на 15 °, за 4 хвилини - на 1 °. Для визначення довготи треба точно знати місцевий та грінвічський час. Якщо штурман каже капітанові: "Місцевий полудень, Сер", а капітан знає час у цей момент у Грінвічі, то різниця часу, поділена на 4 хвилини, і визначає довготу місцевості в градусах. Сьогодні все було б просто - зателефонувати до Грінвіча і дізнатися про їхній час. Але тоді радіо ще не вигадали. Якби на кораблі був кварцовий годинник, який йде на частку хвилини за рік, проблеми теж би не було, але найкращі хронометри, що тоді існували, не забезпечували необхідної для вимірювання довготи точності. Вони за кілька місяців плавання уникали точного часу на десятки хвилин. І коли в 1831 в кругосвітнє плавання для складання карт вирушав корабель "Бігль", капітан корабля Фіц Рой, людина освічений і вчений, взяв з собою 24 (!) морських хронометра. Кожен хронометр показував свій "грінвічський час". У даному дослідженнівипадкова величина - момент, коли штурман визначав точний місцевий час якимось небесним світилом. "Душа" вимірюваної випадкової величини - справжній час у Грінвічі в цей момент. Таку величину позначимо ξ. Значення цієї величини ніколи не відоме. Значення випадкової величини, що спостерігаються, це показання (різні) хронометрів. Кожен із них дещо помилявся, але загалом вони йшли за загальною "душею", накладаючи на неї свою випадкову похибку. Оцінка випадкової величини - це той грінвічський час, який передбачав за даними капітан. Нехай випадкові величини x i , i = 1,...,n, є реалізаціями однієї випадкової величини ξ, тобто мають однаковий розподіл (одну "душу"), причому для будь-якого i середнє значення показань дорівнює одному й тому ж числу: Е( x i) = Е(ξ). Сенс цього твердження такий: весь годинник не може дружно відставати чи поспішати через конструктивні неполадки. У середньому рівноймовірно, що вони поспішають або відстають. Крім того, хай вони незалежні. Іншими словами, у них немає чогось спільного у групах. Так, матрос, що записує показання годинника, міг його реєструвати в одній послідовності. Тоді останні свідчення реєструвалися б на хвилину пізніше за перші. Або кілька годин могли висіти у теплому місці та від нагріву дружно поспішати. Припущення, що такого явища немає, відповідає умові незалежності показань у різних випробуваннях. Найпростіше завдання оцінювання - це визначення ймовірності деякої події, наприклад, те, що реальна (не обов'язково правильна) монета випаде гербом нагору. Визначити ймовірність події майже ніколи не можна безпосередньо. Універсального методу, який дозволяв би для довільної події вказати його ймовірність, немає. Можна оцінити ймовірність події А, якщо допустимо проводити незалежні повторні випробування, у ході яких ця подія настає з постійною ймовірністю. Нехай у кожному з випробувань ймовірність р = Р(А) події А залишається незмінною і результат кожного випробування незалежний від інших. Позначимо через m випадкове числотих випробувань з загальної кількості n, у яких сталася подія А. Кажуть, що m – число "успіхів" у n випробуваннях Бернуллі. Згідно зі статистичним визначенням ймовірності, при великому n відносна частота m/n події А приблизно дорівнює ймовірності події настання події А, тобто m/n ~ р, де р = Р(А). Доведемо, що це випливає з аксіоматики Колмогорова. У математичному аналізі використовується суворе поняття межі послідовності: при достатньо великому номерічлена послідовності, його значення може бути зроблено як завгодно близьким до граничного значення. Таке визначення не відповідає реального життя, де вкрай рідко відбуваються зовсім неймовірні події. Наприклад, з первинного хаотичного бульйону виникає бактерія, здатна відтворювати себе. Або риба створює щось, яке спочатку мільйони років їй не треба (але розвивається), а потім стає крилом. Або затоплюється ціле місто (чи країна). Теоретично ймовірностей поняття межі тлумачиться у сенсі, відмінному від цього, що вкладається у нього математичному аналізі. Визначення теорії ймовірностей ближче до життя. Воно не забороняє того, що в якийсь момент у послідовності буде число, що різко відрізняється від інших. Послідовність випадкових величин u n сходиться за ймовірністю р, якщо для будь-якого числа ε > 0 ймовірність того, що модуль різниці | u n - р | при n → ∞ менше, ніж ε, прагне одиниці:

Теоретично ймовірностей ніяка подія перестав бути достовірним, але подія: |u n - р| ≤ ε практично достовірно за досить великих n. Доведемо нерівність Чебишева. Нехай ξ - випадкова величина, що має математичне очікування Е(ξ) = а дисперсію D(ξ) = σ², ε - позитивне число. Тоді ймовірність події, що полягає в тому, що центрована (Е(ξ) - а) і нормована випадкова величина перевищує меншу, ніж ε -2:

Справді, σ² = Е(ξ - а)². При обчисленні середнього у правій частині виділимо дві області значень ξ. Для ξ, у яких |ξ - а|< εσ, сумма (или интеграл) соответствующих произведений неотрицателен. Для тех ξ, у которых |ξ - а| >εσ, сума (або інтеграл):

Цікавий окремий випадок: σ = 0. У цьому ясно, що |ξ - а| = 0, тобто ξ = а. Доведемо теорему Чебишева. Нехай х 1,...,х n - незалежні однаково розподілені випадкові величини, що мають математичне очікування та дисперсію. Тобто кожен x i є реалізація випадкової величини ξ, причому Е(ξ) = Е(x i) = а, D(ξ) = D(x i) = σ². Тоді для будь-якого ε > 0:

Доведення. Дисперсія середнього арифметичного:

Розглянемо випадкову величину n , що являє собою середнє арифметичне n спостережень. Її середня та дисперсія . Спостережуваними реалізаціями n є . Відповідно до нерівністю Чебишева для випадкової величини n , ймовірність її відхилення від середнього значення на величину, більшу ніж прагне до нуля:

Ймовірність протилежної події прагне за великих n до 1: P(|η n - a|) → 1. Отже, послідовність випадкових величин n сходить за ймовірністю до a. Повернемося до виміру часу на "Біглі". Показ кожного хронометра x i , i = 1,...,n - це вимір, незалежне від інших приладів. Мається на увазі, що конструкція хронометра така, що його відсутня систематична помилка. Це означає, що одні екземпляри хронометрів можуть йти вперед, інші відставати, але ці помилки випадкові, пов'язані з виготовленням даного зразка. Математично це означає, що середній час – справжній. Якість конструкції та технології виготовлення хронометрів характеризується тим, наскільки однорідна за точністю ходу вся продукція в цілому. Математично виражається розкидом показань окремих приладів, тобто. дисперсією випадкових величин x i. Дисперсія середнього n = 24 разів менше, ніж дисперсія окремого хронометра. Тому "середній час", визначений за 24 хронометрами в середньому ближче до справжнього часу майже в 5 разів, ніж час будь-якого окремого хронометра.

Побудуємо довірчий інтервал для оцінки дисперсії випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, вMSEXCEL.

Побудова довірчого інтервалудля оцінки наведено у статті. Процедура побудови довірчого інтервалудля оцінки має багато спільного з процедурою для оцінки середньоготому у цій статті вона викладена менш докладно, ніж у зазначеній статті.

Формулювання задачі.Припустимо, що з генеральної сукупності має з невідомим середнім значеннямμ та невідомої дисперсієюσ 2 взята вибіркарозміру n. Необхідно на підставі цієї вибіркиоцінити дисперсію розподілута побудувати довірчий інтервал.

Примітка: Побудова відносно нечутлива до відхилення. генеральної сукупностівід . А ось при побудові довірчого інтервалу для оцінкивимога нормальностіє суворим.

ПОРАДА: Для побудови Довірчого інтервалунам знадобиться знання наступних понять:

В якості точковою оцінкою дисперсії розподілу,з якого взято вибірка, використовують Дисперсію вибіркиs 2 .

Також, перед процедурою перевірки гіпотези, дослідник встановлює необхідний - це допустима для цієї задачі помилка першого роду, тобто. можливість відхилити нульову гіпотезу, коли вона вірна ( рівень значущостіпозначають буквою (альфа) і найчастіше вибирають рівним 0,1; 0,05 або 0,01)

У статті про ХІ2-розподілпоказано, що y=(n-1) s 2 /σ 2 має ХІ2-розподілз n-1 ступенем свободи.

Скористаємося цією властивістю та побудуємо двосторонній довірчий інтервалдля оцінки дисперсії.

Щоб знайти межі довірчого інтервалу для середнього значення генеральної сукупності, необхідно виконати такі дії:

1) за отриманою вибіркою обсягу nобчислити середнє арифметичне та стандартну помилку середнього арифметичного за формулою:

;

2) задати довірчу можливість 1 – α , Виходячи з мети дослідження;

3) за таблицею t-розподіл Стьюдента (Додаток 4) знайти граничне значення t α залежно від рівня значимості α та числа ступенів свободи k = n – 1;

4) знайти межі довірчого інтервалу за такою формулою:

.

Примітка: У практиці наукових досліджень, коли закон розподілу малої вибіркової сукупності (n < 30) неизвестен или отличен от нормального, пользуются вышеприведенной формулой для наближеноюоцінки довірчих інтервалів

Довірчий інтервал при n≥ 30 знаходиться за такою формулою:

,

де u – процентні точки нормованого нормального розподілу, що знаходяться за таблицею 5.1.

8. Порядок роботи на V етапі

1. Перевірити на нормальність розподілу малу (n< 30) выборку, составленную из разностей парных значений результатов измерений исходного показателя скоростных качеств у «спортсменов» (эти результаты обозначены индексом В) и показателя, достигнутого после двухмесячных тренировок (эти результаты обозначены индексом Г).

2. Вибрати критерій та оцінити ефективність методу тренування, який використовується для прискореного розвитку швидкісних якостей у «спортсменів».

Звіт про роботу на V етапі гри (зразок)

Тема:Оцінка ефективності методики тренування.

Цілі:

Ознайомитись з особливостями нормального законурозподіл результатів тестування.

Набути навичок з перевірки вибіркового розподілу на нормальність.

Набути навички оцінки ефективності методики тренування.

Навчитися розраховувати та будувати довірчі інтервали для генеральних середніх арифметичних малих вибірок.

Запитання:

Сутність методу оцінки ефективності методики тренування.

Нормальний закон розподілу. Сутність, значення.

Основні властивості кривої нормального розподілу.

Правило трьох сигм та його практичне застосування.

Оцінка нормальності розподілу малої вибірки.

Які критерії та у яких випадках використовуються для порівняння середніх попарно залежних вибірок?

Що характеризує довірчий інтервал? Методика визначення.

Варіант 1: критерій параметричний

Примітка: Як приклад візьмемо наведені в таблиці 5.2 результати вимірювання показника швидкісних якостей у спортсменів до початку тренувань (вони позначені індексом, були отримані в результаті вимірювань наIетапі ділової гри) та після двох місяців тренувань (вони позначені індексом Г).

Від вибірок В і Г перейдемо до вибірки, складеної з різниці парних значень d i = N i Г – N i Ута визначимо квадрати цих різниць. Дані занесемо до розрахункової таблиці 5.2.

Таблиця 5.2 - Розрахунок квадратів парних різниць значень d i 2

Користуючись таблицею 5.2, знайдемо середню арифметичну парну різницю:

уд.

Далі розрахуємо суму квадратів відхилень d iвід за формулою:

Визначимо дисперсію для вибірки d i :

уд. 2

Висуваємо гіпотези:

- нульову - H 0: про те, що генеральна сукупність парних різниць d iмає нормальний розподіл;

– конкуруючу – H 1: у тому, що розподіл генеральної сукупності парних різниць d iна відміну від нормального.

Перевірку проводимо лише на рівні значимості  = 0,05.

Для цього складемо розрахункову таблицю 5.3.

Таблиця 5.3 – Дані розрахунку критерію Шапіро та Вілка W наблдля вибірки, складеної з різниці парних значень d i

Порядок заповнення таблиці 5.3:

У перший стовпець записуємо номери по порядку.

У другій – різниці парних значень d iу незменшному порядку.

По-третє – номери по порядку kпарних різниць. Бо в нашому випадку n= 10, то kзмінюється від 1 до n/2 = 5.

4. У четвертий – різниці  k, які знаходимо таким чином:

- З самого великого значення d 10 віднімемо щонайменше d 1 k = 1,

- З d 9 віднімемо d 2 і отримане значення запишемо в рядку для k= 2 і т.д.

У п'ятий – записуємо значення коефіцієнтів a nk, взяті з таблиці, що використовується в статистиці для розрахунку критерію Шапіро та Вілка ( W) перевірки нормальності розподілу (Додаток 2) для n= 10.

У шостій – твір  k × a nkі знаходимо суму цих творів:

.

Спостережуване значення критерію W наблзнаходимо за формулою:

.

Перевіримо правильність виконання розрахунків критерію Шапіро та Вілка ( W набл) його розрахунком на комп'ютері за програмою "Статистика".

Розрахунок критерію Шапіро та Вілка ( W набл) на комп'ютері дозволив встановити, що:

.

Далі по таблиці критичних значень критерію Шапіро та Вілка (Додаток 3) шукаємо W критдля n= 10. Знаходимо, що W крит= 0,842. Порівняємо величини W криті W набл .

Робимо висновок: так як W набл (0,874) > W крит(0,842), має бути прийнята нульова гіпотеза про нормальний розподіл генеральної сукупності d i. Отже, для оцінки ефективності методики розвитку швидкісних якостей, що застосовувалася, слід використовувати параметричний t-Критерій Стьюдента.

У статистиці існує два види оцінок: точкові та інтервальні. Точкова оцінкає окремою вибірковою статистикою, яка використовується для оцінки параметра генеральної сукупності. Наприклад, вибіркове середнє - це точкова оцінка математичного очікуваннягенеральної сукупності, а вибіркова дисперсія S 2- точкова оцінка дисперсії генеральної сукупності σ 2. було показано, що середнє вибіркове є незміщеною оцінкою математичного очікування генеральної сукупності. Вибіркове середнє називається незміщеним, оскільки середнє значення всіх вибіркових середніх (при тому самому обсязі вибірки n) дорівнює математичному очікуванню генеральної сукупності.

Для того щоб вибіркова дисперсія S 2стала незміщеною оцінкою дисперсії генеральної сукупності σ 2, знаменник вибіркової дисперсії слід покласти рівним n – 1 , а не n. Інакше висловлюючись, дисперсія генеральної сукупності є середнім значенням різноманітних вибіркових дисперсій.

Оцінюючи параметрів генеральної сукупності слід пам'ятати, що вибіркові статистики, такі як , залежить від конкретних вибірок. Щоб врахувати цей факт, для отримання інтервальної оцінкиматематичного очікування генеральної сукупності аналізують розподіл вибіркових середніх (докладніше див.). Побудований інтервал характеризується певним довірчим рівнем, який є ймовірністю того, що справжній параметр генеральної сукупності оцінений правильно. Аналогічні довірчі інтервали можна застосовувати для оцінки частки ознаки рта основної розподіленої маси генеральної сукупності.

Завантажити нотатку у форматі або , приклади у форматі

Побудова довірчого інтервалу для математичного очікування генеральної сукупності за відомого стандартного відхилення

Побудова довірчого інтервалу для частки ознаки у генеральній сукупності

У цьому розділі поняття довірчого інтервалу поширюється на дані категорій. Це дозволяє оцінити частку ознаки у генеральній сукупності рза допомогою вибіркової частки рS= Х/n. Як вказувалося, якщо величини nрі n(1 – р)перевищують число 5, біномний розподілможна апроксимувати нормальним. Отже, для оцінки частки ознаки у генеральній сукупності рможна побудувати інтервал, довірчий рівень якого дорівнює (1 – α)х100%.

де pS- вибіркова частка ознаки, рівна Х/n, тобто. кількості успіхів, поділеному на обсяг вибірки, р- частка ознаки у генеральній сукупності, Z- критичне значення стандартизованого нормального розподілу, n- Обсяг вибірки.

приклад 3.Припустимо, що з інформаційної системивилучено вибірку, що складається зі 100 накладних, заповнених протягом останнього місяця. Припустимо, що 10 із цих накладних складено з помилками. Таким чином, р= 10/100 = 0,1. Довірчого рівня 95% відповідає критичне значення Z = 1,96.

Таким чином, ймовірність того, що від 4,12% до 15,88% накладних містять помилки, дорівнює 95%.

Для заданого обсягу вибірки довірчий інтервал, що містить частку ознаки в генеральній сукупності, здається ширшим, ніж безперервної випадкової величини. Це тим, що вимірювання безперервної випадкової величини містять більше інформації, ніж вимірювання категорійних даних. Інакше висловлюючись, категорійні дані, які набувають лише два значення, містять недостатньо інформації з метою оцінки параметрів їх розподілу.

Уобчислення оцінок, вилучених із кінцевої генеральної сукупності

Оцінка математичного очікування.Поправочний коефіцієнт кінцевої генеральної сукупності ( fpc) використовувався зменшення стандартної помилки в раз. При обчисленні довірчих інтервалів для оцінок параметрів генеральної сукупності поправний коефіцієнт застосовується у ситуаціях, коли вибірки отримують без повернення. Таким чином, довірчий інтервал для математичного очікування, що має довірчий рівень, рівний (1 – α)х100%, обчислюється за такою формулою:

приклад 4.Щоб проілюструвати застосування поправочного коефіцієнта для кінцевої генеральної сукупності, повернемося до завдання про обчислення довірчого інтервалу для середньої суми накладних, розглянутої вище в прикладі 3. Припустимо, що за місяць у компанії виписуються 5000 накладних, причому X̅= 110,27 дол., S= 28,95 дол., N = 5000, n = 100, α = 0,05, t 99 = 1,9842. За формулою (6) отримуємо:

Оцінка частки ознаки.При виборі без повернення довірчий інтервал для частки ознаки, що має довірчий рівень, рівний (1 – α)х100%, обчислюється за такою формулою:

Довірчі інтервали та етичні проблеми

При вибірковому дослідженні генеральної сукупності та формулюванні статистичних висновків часто виникають етичні проблеми. Основна з них - як узгоджуються довірчі інтервали та точкові оцінки вибіркових статистик. Публікація точкових оцінокбез зазначення відповідних довірчих інтервалів (як правило, що мають 95%-вий довірчий рівень) та обсягу вибірки, на основі яких вони отримані, може породити непорозуміння. Це може створити в користувача враження, що точкова оцінка - саме те, що йому необхідно, щоб передбачити властивості всієї генеральної сукупності. Таким чином, необхідно розуміти, що в будь-яких дослідженнях в основу повинні бути поставлені не точкові, а інтервальні оцінки. Крім того, особливу увагу слід приділяти правильному виборуобсягів вибірки

Найчастіше об'єктами статистичних маніпуляцій стають результати соціологічних опитувань населення з тих чи інших політичних проблем. При цьому результати опитування виносять на перші сторінки газет, а помилку вибіркового дослідження та методологію статистичного аналізудрукують десь у середині. Щоб довести обґрунтованість одержаних точкових оцінок, необхідно вказувати обсяг вибірки, на основі якої вони отримані, межі довірчого інтервалу та його рівень значущості.

Наступна замітка

Використовуються матеріали книги Левін та ін. Статистика менеджерів. - М.: Вільямс, 2004. - с. 448–462

Центральна гранична теоремастверджує, що за досить великого обсягу вибірок вибірковий розподіл середніх можна апроксимувати нормальним розподілом. Це властивість залежить від виду розподілу генеральної сукупності.