Оцінки математичного очікуваннята дисперсії.

З поняттям параметрів розподілу ми познайомилися теоретично ймовірностей. Наприклад, у нормальному законі розподілу, що задається функцією щільності ймовірності

параметрами служать а– математичне очікування та а- Середнє квадратичне відхилення. У розподілі Пуассона параметром є число а = ін.

Визначення. Статистичною оцінкою невідомого параметра теоретичного розподілу називають його наближене значення, що залежить від даних вибірки(х 1, х 2, х 3,..., х k; п 1 , п 2 , п 3..., п k), Т. е. деяку функцію цих величин.

Тут х 1, х 2, х 3,..., х k- Значення ознаки, п 1 , п 2 , п 3..., п k-Відповідні частоти. Статистична оцінка є випадковою величиною.

Позначимо через θ – оцінюваний параметр, а через θ * – його статистичну оцінку. Величину | θ *–θ | називають точністю оцінки.Що менше | θ *–θ |, краще, точніше визначено невідомий параметр.

Щоб оцінка θ * мала практичне значення, вона повинна містити систематичної помилки і водночас мати можливо меншу дисперсію. Крім того, при збільшенні обсягу вибірки ймовірність скільки завгодно малих відхилень | θ *–θ | має бути близька до 1.

Сформулюємо такі визначення.

1. Оцінка параметра називається незміщеною, якщо її математичне очікування М(θ *) рівно оцінюваному параметру θ, тобто.

М(θ *) = θ, (1)

та зміщеною, якщо

М(θ *) ≠ θ, (2)

2. Оцінка θ* називається заможною, якщо за будь-якого δ > 0

(3)

Рівність (3) читається так: оцінка θ * сходиться по ймовірності до θ .

3. Оцінка θ* називається ефективною, якщо за заданого п вона має найменшу дисперсію.

Теорема 1.Вибіркова середня Х В є незміщеною та заможною оцінкою математичного очікування.

Доведення. Нехай вибірка репрезентативна, тобто всі елементи генеральної сукупності мають однакову можливість потрапити у вибірку. Значення ознаки х 1, х 2, х 3, ..., х nможна прийняти за незалежні випадкові величини Х 1, Х 2, Х 3, ..., Х nз однаковими розподілами та числовими характеристиками, у тому числі з рівними математичними очікуваннями, рівними а,

Оскільки кожна з величин Х 1, Х 2, Х 3, …, Х пмає розподіл, що збігається з розподілом генеральної сукупності, то М(Х)= а.Тому

звідки слідує, що – заможна оцінка М(Х).

Використовуючи правило дослідження на екстремум, можна довести, що є ефективною оцінкою М(Х).

Математичне очікування – це розподіл ймовірностей випадкової величини

Математичне очікування, визначення, математичне очікування дискретної та безперервної випадкових величин, вибіркове, умовне маточування, розрахунок, властивості, завдання, оцінка маточіння, дисперсія, функція розподілу, формули, приклади розрахунку

Розгорнути зміст

Згорнути зміст

Математичне очікування - це визначення

Одне з найважливіших понять у математичної статистикиі теорії ймовірностей, що характеризує розподіл значень чи ймовірностей випадкової величини. Зазвичай виражається як середньозважене значенняможливих параметрів випадкової величини. Широко застосовується під час проведення технічного аналізу, дослідженні числових рядів, вивченні безперервних та тривалих процесів Має важливе значенняпри оцінці ризиків, прогнозуванні цінових показників при торгівлі на фінансових ринках, використовується для розробки стратегій та методів ігрової тактики в теорії азартних ігор.

Математичне очікування – цесереднє значення випадкової величини, розподіл ймовірностей випадкової величини у теорії ймовірностей.

Математичне очікування – цеміра середнього значення випадкової величини теоретично ймовірності. Математичне очікування випадкової величини xпозначається M(x).

Математичне очікування – це

Математичне очікування – цетеоретично ймовірності середньозважена величина всіх можливих значень, які може приймати ця випадкова величина.

Математичне очікування – цесума творів всіх можливих значень випадкової величини на ймовірність цих значень.

Математичне очікування – цесередня вигода від того чи іншого рішення за умови, що подібне рішення може бути розглянуте в рамках теорії великих чисел та тривалої дистанції.

Математичне очікування – цев теорії азартних ігор сума виграшу, яку може заробити або програти гравець, у середньому за кожною ставкою. На мові азартних гравців це іноді називається «перевагою гравця» (якщо воно є позитивним для гравця) або «перевагою казино» (якщо воно негативне для гравця).

Математичне очікування – цевідсоток прибутку на виграш, помножений на середній прибуток, мінус ймовірність збитку, помножена на середні збитки.

Математичне очікування випадкової величини у математичній теорії

Однією з найважливіших числових показників випадкової величини є математичне очікування. Введемо поняття системи випадкових величин. Розглянемо сукупність випадкових величин, які є результатами одного й того самого випадкового експерименту. Якщо - одне з можливих значень системи, то події відповідає певна ймовірність, що задовольняє аксіомам Колмогорова. Функція, визначена за будь-яких можливих значеннях випадкових величин, називається спільним законом розподілу. Ця функція дозволяє обчислювати ймовірності будь-яких подій. Зокрема, спільний закон розподілу випадкових величин і, які приймають значення з множини та, задається ймовірностями.

Термін «математичне очікування» введений П'єром Симоном маркізом де Лапласом (1795) і походить від поняття «очікуваного значення виграшу», що вперше з'явився в 17 столітті в теорії азартних ігор у працях Блеза Паскаля і Християна Гюйгенса. Однак перше повне теоретичне осмислення та оцінка цього поняття дано Пафнутієм Львовичем Чебишевим (середина 19 століття).

Закон розподілу випадкових числових величин (функція розподілу та ряд розподілу чи щільність ймовірності) повністю описують поведінку випадкової величини. Але в ряді завдань достатньо знати деякі числові характеристикидосліджуваної величини (наприклад, її середнє значення та можливе відхилення від нього), щоб відповісти на поставлене запитання. Основними числовими характеристиками випадкових величин є математичне очікування, дисперсія, мода та медіана.

Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається сума творів її можливих значень відповідні їм ймовірності. Іноді математичне очікування називають зваженим середнім, оскільки воно приблизно дорівнює середньому арифметичному спостерігаються значень випадкової величини при великому числідослідів. З визначення математичного очікування випливає, що його значення не менше від найменшого можливого значення випадкової величини і не більше від найбільшого. Математичне очікування випадкової величини є невипадковою (постійною) величиною.

Математичне очікування має простий фізичний зміст: якщо на прямій розмістити одиничну масу, помістивши в деякі точки деяку масу (для дискретного розподілу), або «розмазавши» її з певною щільністю (для абсолютно безперервного розподілу), то точка, що відповідає математичному очікуванню, буде координатою «центру тяжіння» прямою.

Середнє значення випадкової величини є деяке число, що є як би її «представником» і замінює її при грубо орієнтовних розрахунках. Коли ми говоримо: «середній час роботи лампи дорівнює 100 годин» або «середня точка влучення зміщена щодо мети на 2 м вправо», ми вказуємо певну числову характеристику випадкової величини, що описує її місце розташування на числовій осі, тобто. "Характеристику становища".

З характеристик становища теорії ймовірностей найважливішу роль грає математичне очікування випадкової величини, яке іноді називають просто середнім значенням випадкової величини.

Розглянемо випадкову величину Х, що має можливі значення х1, х2, …, хnз ймовірностями p1, p2, …, pn. Нам потрібно охарактеризувати якимось числом положення значень випадкової величини осі абсцис з урахуванням того, що ці значення мають різні ймовірності. Для цієї мети природно скористатися так званим «середнім виваженим» із значень xi, причому кожне значення xi при середовищі має враховуватися з «вагою», пропорційною ймовірності цього значення. Таким чином, ми обчислимо середню випадкову величину X, яке ми позначимо M | X |:

Це середнє зважене значення називається математичним очікуванням випадкової величини. Отже, ми запровадили у розгляді одне з найважливіших понять теорії ймовірностей – поняття математичного очікування. Математичним очікуванням випадкової величини називається сума творів усіх можливих значень випадкової величини на ймовірності цих значень.

Хпов'язано своєрідною залежністю із середнім арифметичним спостережених значень випадкової величини при великій кількості дослідів. Ця залежність того ж типу, як залежність між частотою та ймовірністю, а саме: при великій кількості дослідів середнє арифметичне спостережених значень випадкової величини наближається (збігається ймовірністю) до її математичного очікування. З наявності зв'язку між частотою та ймовірністю можна вивести як наслідок наявність подібного ж зв'язку між середнім арифметичним та математичним очікуванням. Справді, розглянемо випадкову величину Х, що характеризується рядом розподілу:

Нехай проводиться Nнезалежних дослідів, у кожному з яких величина Xнабуває певного значення. Припустимо, що значення x1з'явилося m1раз, значення x2з'явилося m2раз, взагалі значення xiз'явилося mi разів. Обчислимо середнє арифметичне спостерігання значень величини Х, яке, на відміну від математичного очікування М | X |ми позначимо M*|X|:

При збільшенні дослідів Nчастоти piбудуть наближатися (збігатися ймовірно) до відповідних ймовірностей. Отже, і середнє арифметичне спостереження значень випадкової величини M | X |зі збільшенням кількості дослідів наближатися (збігається ймовірно) до її математичного очікування. Сформульований вище зв'язок між середнім арифметичним та математичним очікуванням становить зміст однієї із форм закону великих чисел.

Ми вже знаємо, що всі форми закону великих чисел констатують факт стійкості деяких середніх за великої кількості дослідів. Тут йдеться про стійкість середнього арифметичного із низки спостережень однієї й тієї ж величини. При невеликій кількості дослідів середнє арифметичне їх результатів випадково; при достатньому збільшенні числа дослідів воно стає «майже випадковим» і, стабілізуючись, наближається до постійної величині – математичного очікування.

Властивість стійкості середніх за великої кількості дослідів легко перевірити експериментально. Наприклад, зважуючи якесь тіло в лабораторії на точних терезах, ми в результаті зважування отримуємо щоразу нове значення; Щоб зменшити помилку спостереження, ми зважуємо тіло кілька разів і користуємося середнім арифметичним отриманим значенням. Легко переконатися, що при подальшому збільшенні числа дослідів (зважувань) середнє арифметичне реагує на це збільшення дедалі менше і при досить великій кількості дослідів практично перестає змінюватися.

Слід зазначити, що найважливіша характеристика положення випадкової величини – математичне очікування – існує для всіх випадкових величин. Можна скласти приклади таких випадкових величин, котрим математичного очікування немає, оскільки відповідна сума чи інтеграл розходяться. Однак для практики такі випадки суттєвого інтересу не становлять. Зазвичай випадкові величини, з якими ми маємо справу, мають обмежену область можливих значень і, безумовно, мають математичне очікування.

Крім найважливішої з характеристик становища випадкової величини – математичного очікування, - практично іноді застосовуються й інші характеристики становища, зокрема, мода і медіана випадкової величини.

Модою випадкової величини називається її найімовірніше значення. Термін «найбільш ймовірне значення», строго кажучи, застосовується тільки до перервних величин; для безперервної величинимодою є значення, у якому щільність ймовірності максимальна. На малюнках показана мода відповідно для перервної та безперервної випадкових величин.

Якщо багатокутник розподілу (крива розподілу) має більше одного максимуму, розподіл називається полімодальним.

Іноді зустрічаються розподіли, що мають посередині не максимум, а мінімум. Такі розподіли називають «антимодальними».

У загальному випадкумода та математичне очікування випадкової величини не збігаються. У окремому випадку, коли розподіл є симетричним і модальним (тобто має моду) і існує математичне очікування, воно збігається з модою і центром симетрії розподілу.

Часто застосовується ще одне характеристика становища – так звана медіана випадкової величини. Цією характеристикою користуються зазвичай лише безперервних випадкових величин, хоча формально можна визначити й у перервної величини. Геометрично медіана – це абсцис точки, в якій площа, обмежена кривою розподілу, ділиться навпіл.

У разі симетричного модального розподілу медіана збігається з математичним очікуванням та модою.

Математичне очікування є середнє значення, випадкової величини - числова характеристика розподілу ймовірностей випадкової величини. Найзагальнішим чином математичне очікування випадкової величини Х(w)визначається як інтеграл Лебега по відношенню до імовірнісної міри Ру вихідному імовірнісному просторі:

Математичне очікування може бути обчислено і як інтеграл Лебега від хщодо розподілу ймовірностей рхвеличини X:

Звичайно можна визначити поняття випадкової величини з нескінченним математичним очікуванням. Типовим прикладом є часи повернення в деяких випадкових блуканнях.

За допомогою математичного очікування визначаються багато числових і функціональних характеристик розподілу (як математичне очікування відповідних функцій від випадкової величини), наприклад, функція, що виробляє, характеристична функція, моменти будь-якого порядку, зокрема дисперсія, коваріація.

Математичне очікування є характеристикою розташування значень випадкової величини (середнє значення її розподілу). У цьому ролі математичне очікування служить деяким " типовим " параметром розподілу та її роль аналогічна ролі статичного моменту - координати центру тяжкості розподілу маси - у механіці. Від інших характеристик розташування, за допомогою яких розподіл описується в загальних рисах, - медіан, мод, математичне очікування відрізняється тим більшим значенням, яке воно і відповідна характеристика розсіювання - дисперсія - мають в граничних теоремах теорії ймовірностей. З найбільшою повнотою зміст математичного очікування розкривається законом великих чисел (нерівність Чебишева) і посиленим законом великих чисел.

Математичне очікування дискретної випадкової величини

Нехай є деяка випадкова величина, яка може набути одного з кількох числових значень (припустимо, кількість очок при кидку кістки може бути 1, 2, 3, 4, 5 або 6). Часто на практиці для такої величини виникає питання: а яке значення вона набуває "в середньому" при великій кількості тестів? Яким буде наш середній прибуток (або збиток) від кожної з ризикованих операцій?

Скажімо, є якась лотерея. Ми хочемо зрозуміти, вигідно чи ні в ній взяти участь (або навіть брати участь неодноразово, регулярно). Допустимо, виграшний кожен четвертий квиток, приз складе 300 руб., А ціна будь-якого квитка - 100 руб. За нескінченно великої кількості участі виходить ось що. У трьох чвертях випадків ми програємо, кожні три програші коштуватимуть 300 руб. У кожному четвертому випадку ми виграємо 200 руб. (Приз мінус вартість), тобто за чотири участі ми в середньому втрачаємо 100 руб., За одну – у середньому 25 руб. Разом у середньому темпи нашого руйнування становитимуть 25 крб./квиток.

Кидаємо гральну кістку. Якщо вона не шахрайська (без усунення центру тяжкості тощо), то скільки ми в середньому матимемо очок за раз? Оскільки кожен варіант рівноймовірний, беремо тупо середнє арифметичне та отримуємо 3,5. Оскільки це СЕРЕДНІШЕ, то нема чого обурюватися, що 3,5 очок ніякий конкретний кидок не дасть - ну немає у цього куба грані з таким числом!

Тепер узагальним наші приклади:

Звернемося до щойно наведеної картинки. Зліва табличка розподілу випадкової величини. Величина X може набувати одного з n можливих значень (наведені у верхньому рядку). Жодних інших значень не може бути. Під кожним можливим значенням знизу підписано його можливість. Справа наведена формула, де M(X) і називається математичним очікуванням. Сенс цієї величини в тому, що при великій кількості випробувань (при великій вибірці) середнє значення буде прагнути цього математичного очікування.

Повернемося знову до того ж грального куба. Математичне очікування кількості очок при кидку дорівнює 3,5 (порахуйте самі за формулою, якщо не вірите). Скажімо, ви кинули його кілька разів. Випали 4 та 6. У середньому вийшло 5, тобто далеко від 3,5. Кинули ще раз, випало 3, тобто в середньому (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Якось далеко від математичного очікування. А тепер проведіть божевільний експеримент – киньте куб 1000 разів! І якщо в середньому не буде рівно 3,5, то буде близько до того.

Порахуємо математичне очікування вище описаної лотереї. Табличка виглядатиме ось так:

Тоді математичне очікування складе, як ми встановили вище.

Інша річ, що так само "на пальцях", без формули, було б важкувато, якби було більше варіантів. Ну скажімо, було б 75% програшних квитків, 20% виграшних квитків та 5% особливо виграшних.

Тепер є деякі властивості математичного очікування.

Довести це просто:

Постійний множник допускається виносити за знак математичного очікування, тобто:

Це окремий випадок якості лінійності математичного очікування.

Інший наслідок лінійності математичного очікування:

тобто математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань випадкових величин.

Нехай X, Y – незалежні випадкові величинитоді:

Це теж нескладно довести) Твір XYсамо є випадковою величиною, при цьому якщо вихідні величини могли приймати nі mзначень відповідно, то XYможе набувати nm значень. Імовірність кожного з значень обчислюється з огляду на те, що ймовірності незалежних подій перемножуються. У результаті отримуємо ось що:

Математичне очікування безперервної випадкової величини

Безперервні випадкові величини мають таку характеристику, як щільність розподілу (щільність ймовірності). Вона, по суті характеризує ситуацію, що деякі значення з множини дійсних чисел випадкова величина набуває частіше, деякі - рідше. Наприклад, розглянемо ось який графік:

Тут X- Власне випадкова величина, f(x)- Щільність розподілу. Судячи з даного графіку, при дослідах значення Xчасто буде числом, близьким до нуля. Шанси ж перевищити 3 або виявитися менше -3 скоріше чисто теоретичні.

Нехай, наприклад, є рівномірний розподіл:

Це цілком відповідає інтуїтивному розумінню. Скажімо, якщо ми отримуємо при рівномірному розподілі багато випадкових дійсних чисел, кожне із відрізків |0; 1| , то середнє арифметичне має бути близько 0,5.

Властивості математичного очікування - лінійність і т.д., застосовні для дискретних випадкових величин, застосовні і тут.

Взаємозв'язок математичного очікування з іншими статистичними показниками

У статистичному аналізі поряд із математичним очікуванням існує система взаємозалежних показників, що відображають однорідність явищ та стійкість процесів. Часто показники варіації немає самостійного сенсу і використовуються подальшого аналізу даних. Винятком є ​​коефіцієнт варіації, який характеризує однорідність даних, що цінної статистичної характеристикою.

Ступінь мінливості чи стійкості процесів у статистичній науці може вимірюватися за допомогою кількох показників.

Найбільш важливим показником, що характеризує мінливість випадкової величини, є Дисперсія, яка найтіснішим і безпосереднім чином пов'язана з математичним очікуванням. Цей параметр активно використовують у інших видах статистичного аналізу (перевірка гіпотез, аналіз причинно-наслідкових зв'язків та інших.). Як і середнє лінійне відхилення, дисперсія також відображає міру розкидання даних навколо середньої величини.

Мова знаків корисно перекласти мовою слів. Вийде, що дисперсія – це середній квадрат відхилень. Тобто спочатку розраховується середнє значення, потім береться різниця між кожним вихідним та середнім значенням, зводиться у квадрат, складається і потім ділиться на кількість значень у цій сукупності. Різниця між окремим значенням та середньою відображає міру відхилення. У квадрат зводиться для того, щоб усі відхилення стали виключно позитивними числами і щоб уникнути взаємознищення позитивних та негативних відхилень при їхньому сумуванні. Потім, маючи квадрати відхилень, ми просто розраховуємо середню арифметичну. Середній – квадрат – відхилень. Відхилення зводяться у квадрат, і вважається середня. Розгадка магічного слова «дисперсія» полягає лише у трьох словах.

Однак у чистому вигляді, як, наприклад, середня арифметична, або індекс, дисперсія не використовується. Це скоріше допоміжний та проміжний показник, який використовується для інших видів статистичного аналізу. У неї навіть одиниці вимірювання нормальної немає. Судячи з формули, це квадрат одиниці виміру вихідних даних.

Нехай ми вимірюємо випадкову величину Nразів, наприклад, десять разів вимірюємо швидкість вітру та хочемо знайти середнє значення. Як пов'язане середнє значення із функцією розподілу?

Або кидатимемо гральний кубик велику кількість разів. Кількість очок, що випаде на кубику при кожному кидку, є випадковою величиною і може набувати будь-яких натуральних значень від 1 до 6. Середнє арифметичне опал, що випали, підрахованих за всі кидки кубика, теж є випадковою величиною, проте при великих Nвоно прагне цілком конкретного числа – математичного очікування Mx. У разі Mx = 3,5.

Як вийшла ця величина? Нехай у Nвипробуваннях n1раз випало 1 очко, n2разів – 2 очки тощо. Тоді кількість наслідків, у яких випало одне очко:

Аналогічно для наслідків, коли випало 2, 3, 4, 5 та 6 очок.

Припустимо тепер, що ми знаємо закон розподілу випадкової величини x, тобто знаємо, що випадкова величина x може набувати значень x1, x2, ..., xk з ймовірностями p1, p2, ..., pk.

Математичне очікування Mx випадкової величини x дорівнює:

Математичне очікування який завжди є розумною оцінкою якоїсь випадкової величини. Так, для оцінки середньої заробітної плати розумніше використовувати поняття медіани, тобто такої величини, що кількість людей, які отримують меншу, ніж медіана, зарплату та більшу, збігаються.

Імовірність р1 того, що випадкова величина х виявиться меншою за х1/2, і ймовірність р2 того, що випадкова величина x виявиться більшою за х1/2, однакові й рівні 1/2. Медіана визначається однозначно задля всіх розподілів.

Стандартним або Середньоквадратичним відхиленняму статистиці називається ступінь відхилення даних спостережень чи множин від СЕРЕДНЬОГО значення. Позначається літерами s чи s. Невелике стандартне відхилення вказує на те, що дані групуються навколо середнього значення, а значне - що початкові дані розташовані далеко від нього. Стандартне відхиленнядорівнює квадратному кореню величини, яка називається дисперсією. Вона є середня кількість суми зведених у квадрат різниць початкових даних, що відхиляються від середнього значення. Середньоквадратичним відхиленням випадкової величини називається квадратний корінь з дисперсії:

приклад. В умовах випробувань при стрільбі по мішені обчислити дисперсію та середньоквадратичне відхилення випадкової величини:

Варіація- коливання, змінність величини ознаки в одиниць сукупності. Окремі числові значення ознаки, що зустрічаються в досліджуваній сукупності, називають варіантами значень. Недостатність середньої величини для повної характеристикисукупності змушує доповнювати середні величини показниками, що дозволяють оцінити типовість цих середніх шляхом вимірювання коливання (варіації) ознаки, що вивчається. Коефіцієнт варіації обчислюють за такою формулою:

Розмах варіації(R) являє собою різницю між максимальним і мінімальним значеннями ознаки в досліджуваній сукупності. Цей показник дає найзагальніше уявлення про коливання досліджуваного ознаки, оскільки показує різницю лише між граничними значеннями варіантів. Залежність крайніх значень ознаки надає розмаху варіації нестійкий, випадковий характер.

Середнє лінійне відхиленняє середнє арифметичне з абсолютних (за модулем) відхилень всіх значень аналізованої сукупності від їх середньої величини:

Математичне очікування теорії азартних ігор

Математичне очікування – цесередня кількість грошей, яку гравець у азартні ігриможе виграти чи програти на даній ставці. Це дуже важливе поняття для гравця, тому що воно є основним для оцінки більшості ігрових ситуацій. Математичне очікування – це також оптимальний інструмент аналізу основних карткових розкладів і ігрових ситуацій.

Припустимо, ви граєте з другом у монетку, щоразу роблячи ставку порівну по $1 незалежно від того, що випаде. Решка – ви виграли, орел – програли. Шанси на те, що випаде решка один до одного, і ви робите ставку $1 до $1. Таким чином, математичне очікування у вас рівне нулю, т.к. з точки зору математики ви не можете знати ви будете вести або програвати після двох кидків або після 200.

Ваш годинний виграш дорівнює нулю. Часовий виграш – це та кількість грошей, яку ви очікуєте виграти за годину. Ви можете кидати монету 500 разів протягом години, але ви не виграєте та не програєте, т.к. ваші шанси ні позитивні, ні негативні. Якщо дивитися, з погляду серйозного гравця, така система ставок непогана. Але це просто втрата часу.

Але припустимо, хтось хоче поставити $2 проти вашого $1 у цю гру. Тоді ви одразу ж маєте позитивне маточкування в 50 центів з кожної ставки. Чому 50 центів? У середньому одну ставку ви виграєте, другу програєте. Поставте перший долар – і втратите $1, ставите другий – виграєте $2. Ви двічі зробили ставку $1 і йдете попереду на $1. Таким чином кожна з ваших однодоларових ставок дала вам 50 центів.

Якщо за годину монета випаде 500 разів, ваш годинний виграш становитиме вже $250, т.к. в середньому ви втратили по одному долару 250 разів і виграли по два долари 250 разів. $500 мінус $250 і $250, що і становить сумарний виграш. Зверніть увагу, що матожидання є сумою, яку в середньому ви виграли на одній ставці, дорівнює 50 центам. Ви виграли $250, роблячи ставку по долару 500 разів, що дорівнює 50 центам зі ставки.

Математичне очікування немає нічого спільного з короткочасним результатом. Ваш опонент, який вирішив ставити проти вас $2 міг обіграти вас на перших десяти кидках поспіль, але ви, маючи перевагу ставок 2 до 1 за інших рівних, за будь-яких обставин заробляєте 50 центів з кожної ставки в $1. Немає різниці, ви виграєте або програєте одну ставку або кілька ставок, але тільки за умови, що у вас вистачить готівки, щоб спокійно компенсувати витрати. Якщо ви продовжуватимете ставити так само, то за тривалий період часу ваш виграш підійде до суми матожиданий в окремих кидках.

Щоразу, роблячи ставку з найкращим результатом (ставка, яка може виявитися вигідною на довгій дистанції), коли шанси на вашу користь, ви обов'язково щось виграєте на ній, і не важливо чи ви втрачаєте її чи ні в даній роздачі. І навпаки, якщо ви зробили ставку з найгіршим результатом (ставка, яка невигідна на довгій дистанції), коли шанси не на вашу користь, ви щось втрачаєте незалежно від того, ви виграли або програли в даній роздачі.

Ви робите ставку з найкращим результатом, якщо маточування у вас позитивне, а воно є позитивним, якщо шанси на вашому боці. Роблячи ставку з найгіршим наслідком, у вас негативне маточування, яке буває, коли шанси проти вас. Серйозні гравці роблять ставки тільки з найкращим результатом, за гіршого – вони пасують. Що означає шанси на вашу користь? Ви можете зрештою виграти більше, ніж приносять реальні шанси. Реальні шансина те, що випаде решка 1:1, але у вас виходить 2:1 за рахунок співвідношення ставок. У цьому випадку шанси на вашу користь. Ви точно отримуєте найкращий результат із позитивним очікуванням у 50 центів за одну ставку.

Ось більше складний прикладматематичного очікування. Приятель пише цифри від одного до п'яти і робить ставку $5 проти $1 на те, що ви не визначите загадану цифру. Чи погоджуватись вам на таке парі? Яке тут маточіння?

У середньому чотири рази ви помилитеся. Виходячи з цього, шанси проти того, що ви відгадаєте цифру, складуть 4 до 1. Шанси за те, що при одній спробі ви втратите долар. Тим не менш, ви виграє 5 до 1, при можливості програти 4 до 1. Тому шанси на вашу користь, ви можете приймати парі і сподіватися на найкращий результат. Якщо ви зробите таку ставку п'ять разів, в середньому ви програєте чотири рази $1 і один раз виграєте $5. Виходячи з цього, за всі п'ять спроб ви заробите $1 з позитивним математичним очікуванням 20 центів за одну ставку.

Гравець, який збирається виграти більше, ніж ставить, як у прикладі вище – ловить шанси. І навпаки, він губить шанси, коли передбачає виграти менше, ніж ставить. Гравець, який робить ставку може мати або позитивне, або негативне маточування, яке залежить від того, ловить він або губить шанси.

Якщо ви поставите $50 для того, щоб виграти $10 за ймовірності виграшу 4 до 1, то ви отримаєте негативне маточування $2, т.к. в середньому ви виграєте чотири рази $10 і один раз програєте $50, з чого видно, що втрата за одну ставку складе $10. Але якщо ви поставите $30 для того, щоб виграти $10, при тих же шансах виграшу 4 до 1, то в даному випадку ви маєте позитивне очікування $2, т.к. ви знову виграєте чотири рази по $10 і один раз програєте $30, що становитиме прибуток у $10. Дані приклади показують, перша ставка погана, а друга – хороша.

Математичне очікування є центром будь-якої ігрової ситуації. Коли букмекер закликає футбольних уболівальників ставити $11, щоб виграти $10, то він має позитивне чаклунство з кожних $10 у розмірі 50 центів. Якщо казино виплачує рівні гроші з пасової лінії в крепсі, то позитивне очікування казино становитиме приблизно $1.40 з $100, т.к. ця гра побудована так, що кожен, хто поставив на цю лінію, в середньому програє 50.7% та виграє 49.3% загального часу. Безперечно, саме це начебто мінімальне позитивне маточіння і приносить колосальні прибутки власникам казино по всьому світу. Як зауважив господар казино Vegas World Боб Ступак, «одна тисячна відсотка негативної ймовірності на досить довгій дистанції розорить найбагатшої людинив світі".

Математичне очікування при грі в Покер

Гра в Покер є найбільш показовим та наочним прикладом з точки зору використання теорії та властивостей математичного очікування.

Математичне очікування (англ. Expected Value) у Покері – середня вигода від того чи іншого рішення за умови, що подібне рішення може бути розглянуте в рамках теорії великих чисел та тривалої дистанції. Успішна гра в покер полягає в тому, щоб завжди приймати ходи лише з позитивним математичним очікуванням.

Математичний сенс математичного очікування при грі в покер полягає в тому, що ми часто стикаємося з випадковими величинами при прийнятті рішення (ми не знаємо, які карти на руках у опонента, які карти прийдуть на наступних колах торгівлі). Ми повинні розглядати кожне з рішень з погляду теорії великих чисел, що свідчить, що з досить великий вибірці середнє значення випадкової величини прагнутиме її математичного очікування.

Серед приватних формул для обчислення математичного очікування, в покері найбільше застосовується наступна:

Під час гри в покер математичне очікування можна розраховувати як для ставок, так і для колів. У першому випадку до уваги слід брати фолд-еквіті, у другому – власні шанси банку. Оцінюючи математичного очікування тієї чи іншої ходу слід пам'ятати, що фолд завжди має нульове матожидания. Таким чином, скидання карт буде завжди вигіднішим рішенням, ніж будь-який негативний хід.

Очікування говорить вам про те, що ви можете очікувати (прибуток або збиток) на кожен долар, що ризикує вами. Казино заробляють гроші, оскільки математичне очікування від усіх ігор, які практикуються в них, на користь казино. При досить довгій серії гри очікується, що клієнт втратить свої гроші, оскільки «ймовірність» на користь казино. Однак професійні гравці в казино обмежують свої ігри короткими проміжками часу, тим самим збільшуючи ймовірність своєї користі. Те саме стосується й інвестування. Якщо ваше очікування є позитивним, ви можете заробити більше грошей, Здійснюючи багато угод в короткий період часу. Очікування це ваш відсоток прибутку на виграш, помножений на середній прибуток, мінус ваша ймовірність збитку, помножена на середній збиток.

Покер також можна розглянути з погляду математичного очікування. Ви можете припустити, що певний хід вигідний, але в деяких випадках він може виявитися далеко не кращим, тому що вигідніший інший хід. Допустимо, ви зібрали фул-хаус у п'ятикартковому покері з обміном. Ваш суперник робить ставку. Ви знаєте, що, якщо підвищите ставку, він відповість. Тому підвищення виглядає найкращою тактикою. Але якщо ви все ж таки підніміть ставку, що залишилися двоє гравців, точно скинуть карти. Але якщо ви зрівняєте ставку, то повністю впевнені, що двоє інших гравців після вас надійдуть також. При підвищенні ставки ви отримуєте одну одиницю, а просто зрівнюючи дві. Таким чином, вирівнювання дає вам більш високе позитивне математичне очікування, і буде найкращою тактикою.

Математичне очікування також може дати поняття про те, яка тактика в покері менш вигідна, а яка – більше. Наприклад, граючи на певній руці, ви вважаєте, що втрати в середньому складуть 75 центів, включаючи анте, то таку руку слід грати, т.к. це краще, ніж скинутися, коли анте дорівнює $1.

Іншою важливою причиною для розуміння суті математичного очікування є те, що воно дає вам почуття спокою незалежно від того, чи ви виграли ставку чи ні: якщо ви зробили гарну ставкуабо вчасно рятували, ви знатимете, що ви заробили або зберегли певну кількість грошей, яку гравець слабше не зміг вберегти. Набагато складніше скинути карти, якщо ви засмучені тим, що суперник на обміні зібрав сильнішу комбінацію. При цьому гроші, які ви зберегли, не граючи, замість того, щоб ставити, додаються до вашого виграшу за ніч або за місяць.

Просто пам'ятайте, що якщо поміняти ваші руки, ваш суперник відповів би вам, і як ви побачите у статті «фундаментальна покерна теорема» це лише одна з ваших переваг. Ви повинні радіти, коли це станеться. Вам навіть можна навчитися отримувати задоволення від програної роздачі, тому що ви знаєте, що інші гравці на вашому місці програли б набагато більше.

Як говорилося в прикладі з грою в монетку на початку, часовий коефіцієнт прибутку взаємопов'язаний з математичним очікуванням, і це поняття особливо важливе для професійних гравців. Коли ви збираєтеся грати в покер, ви повинні подумки прикинути, скільки ви зможете виграти за годину гри. У більшості випадків вам необхідно буде ґрунтуватися на вашій інтуїції та досвіді, але ви також можете користуватись і деякими математичними викладками. Наприклад, ви граєте в лоуболл з обміном, і спостерігаєте, що три учасники роблять ставки по $10, а потім змінюють дві карти, що є дуже поганою тактикою, ви можете порахувати для себе, що кожного разу, коли вони ставлять $10, вони втрачають близько $2. Кожен з них робить це вісім разів на годину, а отже, всі троє втрачають за годину приблизно $48. Ви один з чотирьох гравців, що залишилися, приблизно рівні, відповідно ці чотири гравці (і ви серед них) повинні розділити $48, і прибуток кожного складе $12 на годину. Ваш часовий коефіцієнт у цьому випадку просто дорівнює вашій долі від суми грошей, програної трьома поганими гравцями за годину.

За великий проміжок часу сумарний виграш гравця становить суму його математичних очікувань окремих роздачах. Чим більше ви граєте з позитивним очікуванням, тим більше виграєте, і навпаки, чим більше роздач з негативним очікуванням ви зіграєте, тим більше ви програєте. Внаслідок цього слід віддавати перевагу грі, яка зможе максимально збільшити ваше позитивне очікування або зведе нанівець негативне, щоб ви змогли підняти до максимуму ваш годинний виграш.

Позитивне математичне очікування в ігрової стратегії

Якщо ви знаєте, як рахувати карти, у вас може бути перевага перед казино, якщо вони не помітять цього і не викинуть вас геть. Казино люблять п'яних гравців і не переносять карти, що рахують. Перевага дозволить вам згодом виграти більша кількістьраз, ніж програти. Хороше управління капіталом при використанні розрахунків математичного очікування може допомогти отримати більше прибутку з вашої переваги і скоротити втрати. Без переваги вам найкраще віддати гроші на благодійність. У грі на біржі перевагу дає система гри, що створює більший прибуток, ніж втрати, різниця цін та комісійні. Жодне управління капіталом не врятує погану ігрову систему.

Позитивне очікування визначається значенням, що перевищує нуль. Чим більше це число, тим сильніше статистичне очікування. Якщо значення менше нуля, то математичне очікування також буде негативним. Чим більший модуль від'ємного значення, тим гірша ситуація. Якщо результат дорівнює нулю, то очікування є беззбитковим. Ви можете виграти тільки тоді, коли у вас є позитивне математичне очікування, розумна система гри. Гра інтуїції призводить до катастрофи.

Математичне очікування та біржова торгівля

Математичне очікування – досить широко затребуваний та популярний статистичний показник під час здійснення біржових торгів на фінансових ринках. Насамперед цей параметр використовують для аналізу успішності торгівлі. Не складно здогадатися, що чим більше це значення, тим більше підстав вважати успішну торгівлю. Звичайно, аналіз роботи трейдера не може проводитися тільки за допомогою даного параметра. Тим не менш, обчислюване значення в сукупності з іншими способами оцінки якості роботи може істотно підвищити точність аналізу.

Математичне очікування часто обчислюється у сервісах моніторингів торгових рахунків, що дозволяє швидко оцінювати роботу, що здійснюється на депозиті. Як винятки можна навести стратегії, у яких використовується “пересиджування” збиткових угод. Трейдеру може деякий час супроводжувати успіх, а тому, в його роботі може не виявитися збитків взагалі. У такому разі, орієнтуватися тільки за мотаченням не вийде, адже не будуть враховані ризики, що використовуються в роботі.

У торгівлі над ринком математичне очікування найчастіше застосовують під час прогнозування прибутковості будь-якої торгової стратегії чи прогнозуванні доходів трейдера з урахуванням статистичних даних його попередніх торгів.

Щодо управління капіталом дуже важливо розуміти, що при здійсненні угод з негативним очікуванням немає схеми управління грошима, яка може однозначно принести високий прибуток. Якщо ви продовжуєте грати на біржі в цих умовах, то незалежно від способу управління грошима ви втратите весь ваш рахунок, хоч би яким великим він був на початку.

Ця аксіома вірна не тільки для гри або операцій з негативним очікуванням, вона дійсна також для гри з рівними шансами. Тому єдиний випадок, коли ви маєте шанс отримати вигоду в довгостроковій перспективі, - це укладання угод з позитивним математичним очікуванням.

Відмінність між негативним очікуванням і позитивним очікуванням - це різницю між життям і смертю. Немає значення, наскільки позитивне чи наскільки негативне очікування; важливо лише те, позитивне воно чи негативне. Тому до розгляду питань управління капіталом ви маєте знайти гру з позитивним очікуванням.

Якщо у вас такої гри немає, тоді жодне управління грошима у світі не врятує вас. З іншого боку, якщо у вас є позитивне очікування, то можна за допомогою правильного управління грошима перетворити його на функцію експоненційного зростання. Не має значення, як мало це позитивне очікування! Іншими словами, не має значення, наскільки прибутковою є торгова система на основі одного контракту. Якщо у вас є система, яка виграє 10 доларів на контракт в одній угоді (після відрахування комісійних та прослизання), можна використовувати методи управління капіталом таким чином, щоб зробити її більш прибутковою, ніж систему, яка показує середній прибуток 1000 доларів за угоду (після відрахування комісійних та прослизання).

Має значення не те, наскільки прибуткова система була, а те, наскільки точно можна сказати, що система покаже, Крайній мірі, мінімальний прибуток у майбутньому. Тому найбільш важливе приготування, яке може зробити трейдер, це переконатися в тому, що система покаже позитивне математичне очікування в майбутньому.

Щоб мати позитивне математичне очікування у майбутньому, дуже важливо не обмежувати ступеня свободи вашої системи. Це досягається не тільки скасуванням або зменшенням кількості параметрів, що підлягають оптимізації, але також шляхом скорочення як можна більшої кількостіправил системи Кожен параметр, який ви додаєте, кожне правило, яке ви вносите, кожна дрібна зміна, яку ви робите в системі, скорочує кількість ступенів свободи. В ідеалі, вам потрібно побудувати досить примітивну та просту систему, яка постійно приноситиме невеликий прибуток майже на будь-якому ринку. І знову важливо, щоб ви зрозуміли, - не має значення, наскільки прибутковою є система, поки вона прибуткова. Гроші, які ви заробите в торгівлі, будуть зароблені за допомогою ефективного управліннягрошима.

Торгова система - це просто засіб, який дає вам позитивне математичне очікування, щоб можна було керувати грошима. Системи, які працюють (показують принаймні мінімальний прибуток) тільки на одному або кількох ринках або мають різні правила або параметри для різних ринків, найімовірніше, не працюватимуть у режимі реального часу досить довго. Проблема більшості технічно орієнтованих трейдерів полягає в тому, що вони витрачають занадто багато часу та зусиль на оптимізацію різних правил та значень параметрів торгової системи. Це дає цілком протилежні результати. Замість того, щоб витрачати сили та комп'ютерний час на збільшення прибутків торгової системи, спрямуйте енергію на збільшення рівня надійності отримання мінімального прибутку.

Знаючи, що управління капіталом - це лише числова гра, яка потребує використання позитивних очікувань, трейдер може припинити пошуки "священного Грааля" біржової торгівлі. Натомість він може зайнятися перевіркою свого торговельного методу, з'ясувати, наскільки цей метод логічно обґрунтований, чи дає він позитивні очікування. Правильні методиуправління капіталом, що застосовуються стосовно будь-яких, навіть дуже посередніх методів ведення торгівлі, самі зроблять решту роботи.

Будь-якому трейдеру для успіху у своїй роботі необхідно вирішити три найважливіші завдання: . Домогтися, щоб кількість вдалих угод перевищувала неминучі помилки та прорахунки; Налаштувати свою систему торгівлі так, щоб можливість заробітку була якнайчастіше; Досягти стабільності позитивного результату своїх операцій.

І тут нам, працюючим трейдерам, непогану допомогу може надати математичне очікування. Цей термін теоретично ймовірності одна із ключових. З його допомогою можна дати усереднену оцінку деяким випадковим значенням. Математичне очікування випадкової величини подібно до центру тяжкості, якщо уявити всі можливі ймовірності точками з різною масою.

Що стосується торгової стратегії з метою оцінки її ефективності найчастіше використовують математичне очікування прибутку (чи збитку). Цей параметр визначають, як суму творів заданих рівнів прибутку та втрат та ймовірності їх появи. Наприклад, розроблена стратегія торгівлі передбачає, що 37% всіх операцій принесуть прибуток, а частина – 63% - буде збитковою. При цьому, середній дохід від вдалої угоди складе 7 доларів, а середній програш дорівнюватиме 1,4 долара. Розрахуємо математичне очікування торгівлі за такою системою:

Що означає це число? Воно говорить про те, що, дотримуючись правил цієї системи, в середньому ми отримуватимемо 1,708 долара від кожної закритої угоди. Оскільки отримана оцінка ефективності більша за нуль, то таку систему цілком можна використовувати для реальної роботи. Якщо ж у результаті розрахунку математичне очікування вийде негативним, це вже говорить про середній збиток і така торгівля призведе до руйнування.

Обсяг прибутку однією угоду то, можливо виражений ще й відносної величиною як %. Наприклад:

- Відсоток доходу на 1 угоду - 5%;

- Відсоток успішних торгових операцій - 62%;

- Відсоток збитку в розрахунку на 1 угоду - 3%;

- Відсоток невдалих угод - 38%;

Тобто середня угода принесе 1,96%.

Можна розробити систему, яка попри переважання збиткових угод даватиме позитивний результат, оскільки її МО>0.

Втім, одного очікування мало. Важко заробити, якщо система дає дуже мало торгових сигналів. У цьому випадку її прибутковість буде порівнянна з банківським відсотком. Нехай кожна операція дає в середньому лише 0,5 долара, але якщо система передбачає 1000 операцій на рік? Це буде дуже серйозна сума за порівняно короткий час. З цього логічно випливає, що ще однією відмітною ознакою хорошої торгової системи вважатимуться короткий термін утримання позицій.

Джерела та посилання

dic.academic.ru – академічний інтернет-словник

mathematics.ru – освітній сайт з математики

nsu.ru - освітній сайт Новосибірського державного університету

webmath.ru - освітній порталдля студентів, абітурієнтів та школярів.

exponenta.ru освітній математичний сайт

ru.tradimo.com – безкоштовна онлайн школа трейдингу

crypto.hut2.ru – багатопрофільний інформаційний ресурс

poker-wiki.ru – вільна енциклопедія покеру

sernam.ru - Наукова бібліотекавибраних природничо-наукових видань

reshim.su – інтернет сайт РЕШИМО задачі контрольні курсові

unfx.ru - Forex на UNFX: навчання, торгові сигнали, довірче управління

slovopedia.com - Великий Енциклопедичний словникСловопедія

pokermansion.3dn.ru - Ваш гід у світі покеру

statanaliz.info – інформаційний блог « Статистичний аналізданих»

форекс-трейдер.рф – портал Форекс-Трейдер

megafx.ru – актуальна аналітика Форекс

fx-by.com – все для трейдера

Розподіл випадкової величини (розподіл генеральної сукупності) характеризується зазвичай рядом числових характеристик:

• для нормального розподілу N(a, σ) - це математичне очікування a та середнє квадратичне відхилення σ;
• для рівномірного розподілу R(a,b) - це межі інтервалу, в якому спостерігаються значення цієї випадкової величини.

Такі числові характеристики, як правило, невідомі, називаються параметрами генеральної сукупності . Оцінка параметра - Відповідна числова характеристика, розрахована за вибіркою. Оцінки параметрів генеральної сукупності поділяються на два класи: точковіі інтервальні.

Коли оцінка визначається одним числом, вона називається точковою оцінкою. Точкова оцінкаяк функція від вибірки, є випадковою величиною і змінюється від вибірки до вибірки при повторному експерименті.
До точкових оцінок висувають вимоги, яким вони повинні задовольняти, щоб хоч у якомусь сенсі бути «доброякісними». Це незміщеність, ефективністьі спроможність.

Інтервальні оцінкивизначаються двома числами - кінцями інтервалу, який накриває параметр, що оцінюється. На відміну від точкових оцінок, які не дають уявлення про те, як далеко від них може знаходитися параметр, що оцінюється, інтервальні оцінкидозволяють встановити точність та надійність оцінок.

Як точкові оцінки математичного очікування, дисперсії та середнього квадратичного відхилення використовують вибіркові характеристики відповідно вибіркове середнє, вибіркова дисперсія та вибіркове середнє квадратичне відхилення.

Властивість незміщеності оцінки.
Бажаною вимогою до оцінки є систематична помилка, тобто. при багаторазовому використанні замість параметра його оцінки середнє значення помилки наближення дорівнює нулю - це властивість незміщеності оцінки.

Визначення. Оцінка називається несмещенной , якщо її математичне очікування дорівнює істинному значенню параметра, що оцінюється:

Вибіркове середнє арифметичне є незміщеною оцінкою математичного очікування, а вибіркова дисперсія - Зміщена оцінка генеральної дисперсії D. Незміщеною оцінкою генеральної дисперсії є оцінка

Властивість спроможності оцінки.
Друга вимога до оцінки – її спроможність – означає покращення оцінки зі збільшенням обсягу вибірки.

Визначення. Оцінка називається заможною , якщо вона сходиться ймовірно до оцінюваного параметра θ при n→∞.

Східність за ймовірністю означає, що з великому обсязі вибірки ймовірність великих відхилень оцінки від справжнього значення мала.

Властивість ефективної оцінки.
Третя вимога дозволяє вибрати найкращу оцінку з кількох оцінок того самого параметра.

Визначення. Незміщена оцінка є ефективною, якщо вона має найменшу серед незміщених оцінок дисперсію.

Це означає, що ефективна оцінка має мінімальне розсіювання щодо справжнього значення параметра. Зауважимо, що ефективна оцінка існує який завжди, але із двох оцінок зазвичай можна вибрати ефективнішу, тобто. з меншою дисперсією. Наприклад, для невідомого параметра нормальної генеральної сукупності N(a,σ) як незміщену оцінку можна взяти і вибіркове середнє арифметичне, і вибіркову медіану. Але дисперсія вибіркової медіани приблизно 1.6 разу більше, ніж дисперсія середнього арифметичного. Тому ефективнішою оцінкою є вибіркове середнє арифметичне.

Приклад №1. Знайдіть незміщену оцінку дисперсії вимірювань деякої випадкової величини одним приладом (без систематичних помилок), результати вимірювання якої (мм): 13,15,17.
Рішення. Таблиця до розрахунку показників.

x	| x - x порівн |	(x - x ср) 2
13	2	4
15	0	0
17	2	4
45	4	8

Проста середня арифметична(Незміщена оцінка математичного очікування)


Дисперсія- характеризує міру розкиду біля її середнього значення (захід розсіювання, тобто відхилення від середнього - зміщена оцінка).


Незміщена оцінка дисперсії- Заможна оцінка дисперсії (виправлена ​​дисперсія).

Приклад №2. Знайдіть незміщену оцінку математичного очікування вимірів деякої випадкової величини одним приладом (без систематичних помилок), результати виміру якої (мм): 4,5,8,9,11.
Рішення. m = (4+5+8+9+11)/5 = 7.4

Приклад №3. Знайдіть виправлену дисперсію S 2 для вибірки обсягу n=10, якщо вибіркова диспресія дорівнює D = 180.
Рішення. S 2 = n*D/(n-1) = 10*180/(10-1) = 200

Нехай є випадкова величина Хз математичним очікуванням mта дисперсією D, при цьому обидва ці параметри невідомі. Над величиною Хзроблено Nнезалежних експериментів, в результаті яких було отримано сукупність Nчисельних результатів x 1 , x 2 , …, x N. В якості оцінки математичного очікування природно запропонувати середнє арифметичне значень, що спостерігаються.

(1)

Тут як x iрозглядаються конкретні значення (числа), отримані в результаті Nекспериментів. Якщо взяти інші (незалежні від попередніх) Nекспериментів, то, очевидно, ми отримаємо інше значення. Якщо взяти ще Nекспериментів, ми отримаємо ще одне нове значення . Позначимо через X iвипадкову величину, що є результатом i-го експерименту, тоді реалізаціями X iбудуть числа, одержані в результаті цих експериментів. Очевидно, що випадкова величина X iматиме таку ж щільність розподілу ймовірності, як і вихідна випадкова величина Х. Також вважаємо, що випадкові величини X iі X jє незалежними при i, не рівному j(Різні незалежні один щодо одного експерименти). Тому формулу (1) перепишемо в іншому (статистичному) вигляді:

(2)

Покажемо, що оцінка є незміщеною:

Таким чином, математичне очікування вибіркового середнього дорівнює справжньому математичному очікуванню випадкової величини m. Це досить передбачуваний та зрозумілий факт. Отже, за оцінку математичного очікування випадкової величини можна прийняти середнє вибіркове (2). Тепер виникає питання: що відбувається з дисперсією оцінки математичного очікування зі збільшенням кількості експериментів? Аналітичні обчислення показують, що

де - дисперсія оцінки математичного очікування (2), а D- Справжня дисперсія випадкової величини X.

Зі сказаного вище, що зі зростанням N(кількості експериментів) дисперсія оцінки зменшується, тобто. що більше ми підсумовуємо незалежні реалізації, то ближче до математичного очікування ми отримаємо оцінку.

Оцінки математичної дисперсії

На перший погляд найбільш природною оцінкою є

(3)

де обчислюється за такою формулою (2). Перевіримо, чи є оцінка незміщеною. Формула (3) може бути записана наступним чином:

Підставимо у цю формулу вираз (2):

Знайдемо математичне очікування оцінки дисперсії:

(4)

Оскільки дисперсія випадкової величини залежить від цього, яке математичне очікування у випадкової величини, приймемо математичне очікування рівним 0, тобто. m = 0.

	(5)
при .	(6)

Нехай є випадкова величина X, та її параметри математичне очікування ата дисперсія невідомі. Над величиною X вироблено незалежних дослідів, що дали результати x 1, x 2, x n .

Не зменшуючи спільності міркувань, вважатимемо ці значення випадкової величини різними. Розглянемо значення x 1, x 2, x n як незалежні, однаково розподілені випадкові величини X 1, X 2, X n .

Найпростіший методстатистичного оцінювання - метод підстановки та аналогії - полягає в тому, що як оцінка тієї чи іншої числової характеристики (середньої, дисперсії та ін) генеральної сукупності беруть відповідну характеристику розподілу вибірки - вибіркову характеристику.

За методом підстановки як оцінка математичного очікування атреба взяти математичне очікування розподілу вибірки – вибіркове середнє. Таким чином, отримуємо

Щоб перевірити незміщеність та спроможність вибіркового середнього як оцінки аРозглянемо цю статистику як функцію вибраного вектора (X 1, X 2, X n). Взявши до уваги, що кожна з величин X 1, X 2, X n має той же закон розподілу, що і величина X, укладаємо, що числові характеристики цих величин і величини X однакові: M(X i) = M(X) = a, D(X i) = D(X) = , i = 1, 2, n , причому X i - незалежні разом випадкові величини.

Отже,

Звідси за визначенням отримуємо, що – незміщена оцінка а, і оскільки D()®0 при n®¥, то через теорему попереднього параграфа є заможною оцінкою математичного очікування агенеральної сукупності.

Ефективність або неефективність оцінки залежить від виду закону розподілу випадкової величини X. Можна довести, що якщо величина X розподілена за нормальним законом, то оцінка є ефективною. Для інших законів розподілу це може бути негаразд.

Незміщеною оцінкою генеральної дисперсіїслужить виправлена ​​вибіркова дисперсія

,

Так як , де – генеральна дисперсія. Справді,

Оцінка s - 2 для генеральної дисперсії є також і заможною, але не є ефективною. Однак у разі нормального розподілу вона є «асимптотично ефективною», тобто зі збільшенням n відношення її дисперсії до мінімально можливої ​​необмежено наближається до одиниці.

Отже, якщо дана вибірка із розподілу F( x) випадкової величини X з невідомим математичним очікуванням ата дисперсією, то для обчислення значень цих параметрів ми маємо право користуватися такими наближеними формулами:

a ,

.

Тут x-i - - варіанти вибірки, n- i - - частота варіанти x i , - - Обсяг вибірки.
Для обчислення виправленої вибіркової дисперсії зручніша формула

.

Для спрощення розрахунку доцільно перейти до умовних варіантів (як вигідно брати первісний варіант, розташовану в середині інтервального варіаційного ряду). Тоді

, .

Інтервальне оцінювання

Вище ми розглянули питання оцінки невідомого параметра аодним числом. Такі оцінки ми назвали точковими. Вони мають той недолік, що при малому обсязі вибірки можуть значно відрізнятися від параметрів, що оцінюються. Тому, щоб отримати уявлення про близькість між параметром та його оцінкою, в математичній статистиці вводяться так звані інтервальні оцінки.

Нехай у вибірці для параметра q виявлено точкову оцінку q * . Зазвичай дослідники заздалегідь задаються деякою досить великою ймовірністю g (наприклад, 0,95; 0,99 або 0,999) такою, що подію з ймовірністю g можна вважати практично достовірною, і порушують питання про відшукання такого значення e > 0, для якого

.

Видозмінивши цю рівність, отримаємо:

і будемо у разі говорити, що інтервал ]q * - e; q * + e [ покриває оцінюваний параметр q з ймовірністю g.

Інтервал] q * -e; q * +e [ називається довірчим інтервалом .

Імовірність g називається надійністю (довірчою ймовірністю) інтервальної оцінки.

Кінці довірчого інтервалу, тобто. точки q*-e та q*+e називаються довірчими кордонами .

Число e називається точністю оцінки .

Як приклад завдання визначення довірчих кордонів, розглянемо питання оцінці математичного очікування випадкової величини Х, має нормальний законрозподілу з параметрами ата s, тобто. Х = N ( a, s). Математичне очікування в цьому випадку одно а. За спостереженнями Х 1 Х 2 Х n обчислимо середнє та оцінку дисперсії s 2 .

Виявляється, що за даними вибірки можна побудувати випадкову величину

яка має розподіл Стьюдента (або t-розподіл) з n = n -1 ступенями свободи.

Скористаємося таблицею П.1.3 і знайдемо для заданих ймовірності g та числа n число t g таке, при якому ймовірність

P(|t(n)|< t g) = g,

.

Зробивши очевидні перетворення отримаємо,

Порядок застосування F-критерію наступний:

1. Приймається припущення щодо нормальності розподілу генеральних сукупностей. При заданому рівні значущості a формулюється нульова гіпотеза Н 0: s х 2 = s y 2 про рівність генеральних дисперсій нормальних сукупностей за конкуруючої гіпотези Н 1: s х 2 > s y 2 .

2. Отримують дві незалежні вибірки із сукупностей Х та Y обсягом n x і n y відповідно.

3. Розраховують значення виправлених вибіркових дисперсій s х 2 і s y 2 (методи розрахунку розглянуті у §13.4). Велику дисперсій (s х 2 або s y 2) позначають s 1 2 , меншу - s 2 2 .

4. Обчислюється значення F-критерію за формулою F набл = s12/s22.

5. За таблицею критичних точок розподілу Фішера - Снедекору, за заданим рівнем значимості a і числом ступенів свободи n 1 = n 1 - 1, n 2 = n 2 - 1 (n 1 - число ступенів свободи більшої виправленої дисперсії), знаходиться критична точка F кр (a, n 1, n 2).

Зазначимо, що у таблиці П.1.7 наведено критичні значення одностороннього F-критерію. Тому, якщо застосовується двосторонній критерій (Н 1: s х 2 ¹ s y 2), то правосторонню критичну точку F кр (a/2, n 1 , n 2) шукають за рівнем значущості a/2 (удвічі менше за задане) і числам ступенів свободи n 1 і n 2 (n 1 - число ступенів свободи більшої дисперсії). Лівосторонню критичну точку можна і шукати.

6. Робиться висновок: якщо обчислене значення F-критерію більше або дорівнює критичному (F набл ³ F кр), то дисперсії різняться значуще на заданому рівні значущості. В іншому випадку (F набл< F кр) нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве двух дисперсий.

Завдання 15.1. Витрата сировини на одиницю продукції за старою технологією склав:

За новою технологією:

Припустивши, що відповідні генеральні сукупності X та Y мають нормальні розподіли, перевірити, що з варіативності витрати сировини за новою і старою технологіями не відрізняються, якщо прийняти рівень значущості a = 0,1.

Рішення. Діємо у порядку, зазначеному вище.

1. Судитимемо про варіативність витрати сировини за новою та старою технологіями за величинами дисперсій. Таким чином, нульова гіпотеза має вигляд Н0: sх2=sy2. Як конкуруючу приймемо гіпотезу Н 1 : s х 2 ¹ s y 2 , оскільки заздалегідь не впевнені в тому, що якась із генеральних дисперсій більша за іншу.

2-3. Знайдемо вибіркові дисперсії. Для спрощення обчислень перейдемо до умовних варіантів:

u i = x i - 307, v i = y i - 304.

Усі обчислення оформимо у вигляді наступних таблиць:

u i	m i	m i u i	m i u i 2	m i (u i +1) 2		v i	n i	n i v i	n i v i 2	n i (vi +1) 2
-3		-3				-1		-2
å	-
						å	-

Контроль: m i u i 2 + 2 m i u i + m i = Контроль: n i v i 2 + 2 n i v i + ni = 13 + 2 + 9 = 24 = 34 + 20 + 13 = 67

Знайдемо виправлені вибіркові дисперсії:

4. Порівняємо дисперсії. Знайдемо відношення більшої виправленої дисперсії до меншої:

.

5. За умовою конкуруюча гіпотеза має вигляд s х 2 ¹ s y 2 , тому критична область двостороння і за знайденні критичної точки слід брати рівні значимості, удвічі менше заданого.

За таблицею П.1.7 за рівнем значущості a/2 = 0,1/2 = 0,05 та числам ступенів свободи n 1 = n 1 - 1 = 12, n 2 = n 2 - 1 = 8 знаходимо критичну точку F кр ( 0,05;12;8) = 3,28.

6. Оскільки F набл.< F кр то гипотезу о равенстве дисперсий расхода сырья при старой и новій технологіїприймаємо.

Вище під час перевірки гіпотез передбачалося нормальність розподілу досліджуваних випадкових величин. Однак спеціальні дослідження показали, що запропоновані алгоритми дуже стійкі (особливо при великих обсягах вибірок) стосовно відхилення від нормального розподілу.