Поступово розподілений момент. Перевірка гіпотези про рівномірний розподіл
Рівномірним вважається розподіл, при якому всі значення випадкової величини (в області її існування, наприклад, в інтервалі) рівноймовірні. Функція розподілу для такої випадкової величини має вигляд:
Щільність розподілу: 
1
Рис. Графіки функції розподілу (ліворуч) та щільності розподілу (праворуч).
Рівномірний розподіл- Поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Рівномірний розподіл" 2017, 2018.
Основні дискретні розподіли випадкових величин Визначення 1. Випадкова величина Х, що набуває значення 1, 2, …, n, має рівномірний розподіл, якщо Pm = P(Х = m) = 1/n, m = 1, …, n. Очевидно, що. Розглянемо таку задачу.В урні є N куль, їх M куль білого... .
Закони розподілу безперервних випадкових величин Визначення 5. Безперервна випадкова величинаХ, що приймає значення на відрізку має рівномірний розподіл, якщо щільність розподілу має вигляд. (1) Неважко переконатися, що . Якщо випадкова величина... .
Рівномірним вважається розподіл, при якому всі значення випадкової величини (в області її існування, наприклад, в інтервалі) рівноймовірні. Функція розподілу для такої випадкової величини має вигляд: Щільність розподілу: F(x) f(x) 1 0 a b x 0 a b x ... .
Нормальний закони розподілу Рівномірний, показовий та Функція щільності ймовірності рівномірного закону така: (10.17) де a та b – дані числа, a< b; a и b – это параметры равномерного закона. Найдем функцию распределения F(x)... .
Поступово розподіл ймовірностей є найпростішим і може бути як дискретним, так і безперервним. Дискретний рівномірний розподіл - це такий розподіл, для якого ймовірність кожного зі значень СВ одна і та ж, тобто де N - кількість ... .
Визначення 16. Безперервна випадкова величина має рівномірний розподіл на відрізку , якщо на цьому відрізку щільність розподілу даної випадкової величини постійна, а поза ним дорівнює нулю, тобто (45) Графік щільності для рівномірного розподілу зображений...
Як приклад безперервної випадкової величини розглянемо випадкову величину X, рівномірно розподілену на інтервалі (a; b). Говорять, що випадкова величина X рівномірно розподілено на проміжку (a; b), якщо її щільність розподілу непостійна на цьому проміжку:
З умови нормування визначимо значення константи c. Площа під кривою щільності розподілу повинна дорівнювати одиниці, але в нашому випадку - це площа прямокутника з основою (b - α) і висотою c (рис. 1). 
Рис. 1 Щільність рівномірного розподілу
Звідси знаходимо значення постійної з: 
Отже, щільність рівномірно розподіленої випадкової величини дорівнює 
Знайдемо тепер функцію розподілу за такою формулою:
1) для 
2) для
3) для 0+1+0=1.
Таким чином, 
Функція розподілу безперервна і зменшується (рис. 2). 
Рис. 2 Функція розподілу рівномірно розподіленої випадкової величини
Знайдемо математичне очікуваннярівномірно розподіленої випадкової величиниза формулою:
Дисперсія рівномірного розподілурозраховується за формулою і дорівнює
Приклад №1. Ціна поділу шкали вимірювального приладу дорівнює 0.2. Показання приладу округляють до найближчого поділу. Знайти ймовірність того, що при відліку буде зроблено помилку: а) менша 0.04; б) велика 0.02
Рішення. Помилка округлення є випадковою величиною, рівномірно розподіленою на проміжку між сусідніми цілими поділами. Розглянемо як такий поділ інтервал (0; 0,2) (рис. а). Округлення може проводитися як у бік лівої межі - 0, так і у бік правої - 0,2, отже, помилка, менша чи рівна 0,04, може бути зроблена двічі, що необхідно врахувати при підрахунку ймовірності: 
P = 0,2 + 0,2 = 0,4
Для другого випадку величина помилки може перевищувати 0,02 також з обох меж поділу, тобто вона може бути більшою за 0,02, або меншою за 0,18. 
Тоді ймовірність появи такої помилки:
Приклад №2. Передбачалося, що про стабільність економічної обстановки в країні (відсутність воєн, стихійних лих тощо) за останні 50 років можна судити за характером розподілу населення за віком: при спокійній обстановці воно має бути рівномірним. В результаті проведеного дослідження для однієї з країн були отримані такі дані.
Чи є підстави вважати, що у країні була нестабільна обстановка?Рішення проводимо за допомогою калькулятора Перевірка гіпотез. Таблиця до розрахунку показників.
| Групи | Середина інтервалу, x i | Кількість, f i | x i * f i | Накопичена частота, S | | x - x ср | * f | (x - x ср) 2 * f | Частота, f i /n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
Середня виважена
Показники варіації.
Абсолютні показники варіації.
Розмах варіації - різниця між максимальним та мінімальним значеннями ознаки первинного ряду.
R = X max - X min
R = 70 - 0 = 70
Дисперсія- характеризує міру розкиду біля її середнього значення (заходи розсіювання, тобто відхилення від середнього).
Середнє квадратичне відхилення.
Кожне значення ряду відрізняється від середнього значення 43 трохи більше, ніж 23.92
Перевірка гіпотез про вид розподілу.
4. Перевірка гіпотези про рівномірному розподілігенеральної сукупності.
Щоб перевірити гіпотезу про рівномірному розподілі X, тобто. згідно із законом: f(x) = 1/(b-a) в інтервалі (a,b)
треба:
1. Оцінити параметри a та b - кінці інтервалу, в якому спостерігалися можливі значення X, за формулами (через знак * позначені оцінки параметрів):
2. Знайти густину ймовірності передбачуваного розподілу f(x) = 1/(b * - a *)
3. Знайти теоретичні частоти:
n 1 = nP 1 = n = n*1/(b * - a *)*(x 1 - a *)
n 2 = n 3 = ... = n s-1 = n*1/(b * - a *)*(xi - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. Порівняти емпіричні та теоретичні частоти за допомогою критерію Пірсона, прийнявши число ступенів свободи k = s-3, де s – число початкових інтервалів вибірки; якщо ж було здійснено об'єднання нечисленних частот, отже, і самих інтервалів, то s - кількість інтервалів, що залишилися після об'єднання.
Рішення:
1. Знайдемо оцінки параметрів a* та b* рівномірного розподілу за формулами:
2. Знайдемо щільність передбачуваного рівномірного розподілу:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84.42 - 1.58) = 0.0121
3. Знайдемо теоретичні частоти:
n 1 = n * f (x) (x 1 - a *) = 1 * 0.0121 (10-1.58) = 0.1
n 8 = n * f (x) (b * - x 7) = 1 * 0.0121 (84.42-70) = 0.17
Інші n s дорівнюватимуть:
n s = n * f (x) (xi - xi-1)
| i | n i | n*i | n i - n * i | (n i - n * i) 2 | (n i - n * i) 2 / n * i |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6E-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5E-5 | 0.000199 |
| Разом | 1 | 0.0532 |
Тому критична область для цієї статистики завжди є правосторонньою: )
Завантаження...