Рівномірний розподіл.Випадкова величина Xмає сенс координати точки, обраної навмання на відрізку

[а, Ь.Рівномірну густину розподілу випадкової величини X(Рис. 10.5, а)можна визначити як:

Рис. 10.5. Рівномірний розподіл випадкової величини: а- Щільність розподілу; б- функція розподілу

Функція розподілу випадкової величини Xмає вигляд:

Графік функції рівномірного розподілу показано на рис. 10.5, б.

Перетворення Лапласа рівномірного розподілу обчислимо (10.3):

Математичне очікування та дисперсія легко обчислюються безпосередньо з відповідних визначень:

Аналогічні формули для математичного очікування та дисперсії можна отримати з використанням перетворення Лапласа за формулами (10.8), (10.9).

Розглянемо приклад системи сервісу, яку можна описати рівномірним розподілом.

Рух транспорту на перехресті регулюється автоматичним світлофором, в якому 1 хв горить зелене світло та 0,5 хв – червоне. Водії під'їжджають до перехрестя у випадкові моменти часу з рівномірним розподілом, не пов'язаним із роботою світлофора. Знайдемо ймовірність того, що автомобіль проїде перехрестя, не зупиняючись.

Момент проїзду автомобіля через перехрестя розподілено рівномірно в інтервалі 1+0,5 = 1,5 хв. Автомобіль проїде через перехрестя, не зупиняючись, якщо момент проїзду перехрестя потрапляє в інтервал часу. Для рівномірно розподіленої випадкової величини інтервалі ймовірність потрапляння в інтервал дорівнює 1/1,5=2/3. Час очікування Гож є змішана випадкова величина. З ймовірністю 2/3 вона дорівнює нулю, а з ймовірністю 0,5/1,5 набуває будь-якого значення між 0 і 0,5 хв. Отже, середній час та дисперсія очікування біля перехрестя

Експонентний (показовий) розподіл.Для експоненційного розподілу густину розподілу випадкової величини можна записати як:

де А називають параметром розподілу.

Графік густини ймовірності експоненційного розподілу дано на рис. 10.6, а.

Функція розподілу випадкової величини з експоненційним розподілом має вигляд

Рис. 10.6. Експонентний розподіл випадкової величини: а- Щільність розподілу; б -функція розподілу

Графік функції експонентного розподілу показаний на рис. 10.6, 6.

Перетворення Лапласа експоненційного розподілу обчислимо (10.3):

Покажемо, що для випадкової величини X,має експоненційний розподіл, математичне очікуваннядорівнює середньоквадратичному відхилення а і назад параметру А:

Таким чином, для експоненційного розподілу маємо: Можна також показати, що

тобто. експоненціальний розподіл повністю характеризується середнім значенням чи параметром X .

Експоненційний розподіл має поряд корисних властивостей, які використовуються під час моделювання систем сервісу. Наприклад, воно немає пам'яті. Коли , то

Іншими словами, якщо випадкова величина відповідає часу, то розподіл тривалості, що залишилася, не залежить від часу, який вже пройшов. Ця властивість ілюструє рис. 10.7.

Рис. 10.7.

Розглянемо приклад системи, параметри функціонування якої можна описати експонентним розподілом.

Працюючи деякого приладу у випадкові моменти часу виникають несправності. Час роботи приладу Твід його включення до виникнення несправності розподілено за експоненційним законом із параметром X.При виявленні несправності прилад одразу надходить у ремонт, який триває час / 0 . Знайдемо щільність та функцію розподілу проміжку часу Г, між двома сусідніми несправностями, математичне очікування та дисперсію, а також ймовірність того, що час Т хбуде більше 2t 0 .

Так як

Нормальний розподіл.Нормальним називають розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини, що описується щільністю

З (10.48) випливає, що нормальний розподіл визначається двома параметрами – математичним очікуванням тта дисперсією а 2 . Графік щільності ймовірності випадкової величини з нормальним розподілом при т= 0, а 2 = 1 показаний на рис. 10.8, а.

Рис. 10.8. Нормальний закон розподілу випадкової величини при т= 0, ст 2 = 1: а- Щільність ймовірності; 6 - функція розподілу

Функція розподілу описується формулою

Графік функції розподілу ймовірності нормально розподіленої випадкової величини при т= 0, а 2 = 1 показано на рис. 10.8, б.

Визначимо ймовірність того, що Xнабуде значення, що належить інтервалу (а, р):

де - функція Лапласа, і ймовірність того,

що абсолютне значення відхилення менше позитивного числа 6:

Зокрема, при т = 0 справедлива рівність:

Як видно, випадкова величина з нормальним розподілом може приймати як позитивні значення, і негативні. Тому для обчислення моментів необхідно використовувати двостороннє перетворення Лапласа

Однак, цей інтеграл не обов'язково існує. Якщо він існує, замість (10.50) зазвичай використовують вираз

яке називають характеристичною функцієюабо функцією моментів.

Обчислимо за формулою (10.51) функцію, що виробляє моментів нормального розподілу:

Після перетворення чисельника підекспоненційного виразу до виду отримаємо

Інтеграл

оскільки є інтегралом нормальної густини ймовірності з параметрами т + so 2та а 2 . Отже,

Диференціюючи (10.52), отримаємо

З цих виразів можна знайти моменти:

Нормальний розподіл поширений практично, оскільки, відповідно до центральної граничної теоремі, якщо випадкова величина є дуже великої кількостівзаємно незалежних випадкових величин, вплив кожної з яких на всю суму мізерно мало, має розподіл, близький до нормального.

Розглянемо приклад системи, параметри якої можна описати нормальним розподілом.

Підприємство виготовляє деталь заданого розміру. Якість деталі оцінюється шляхом виміру її розміру. Випадкові помилки виміру підпорядковані нормальному законуіз середнім квадратичним відхиленням а -Юмкм. Знайдемо ймовірність того, що помилка виміру не перевищуватиме 15 мкм.

За (10.49) знаходимо

Для зручності використання розглянутих розподілів зведемо отримані формули у табл. 10.1 та 10.2.

Таблиця 10.1. Основні характеристики безперервних розподілів

Таблиця 10.2. Виконують функції безперервних розподілів

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

• 1. Які розподіли ймовірностей відносять до безперервних?
• 2. Що таке перетворення Лапласа-Стілтьєса? Навіщо воно використовується?
• 3. Як обчислити моменти випадкових величин з використанням перетворення Лапласа-Стілтьєса?
• 4. Чому дорівнює перетворення Лапласа суми незалежних випадкових величин?
• 5. Як обчислити середній час та дисперсію часу переходу системи з одного стану до іншого з використанням сигнальних графів?
• 6. Дайте основні характеристики рівномірного розподілу. Наведіть приклади його використання у завданнях сервісу.
• 7. Дайте основні характеристики експонентного розподілу. Наведіть приклади його використання у завданнях сервісу.
• 8. Дайте основні характеристики нормального розподілу. Наведіть приклади його використання у завданнях сервісу.

Рівномірним вважається розподіл, при якому всі значення випадкової величини (в області її існування, наприклад, в інтервалі) рівноймовірні. Функція розподілу для такої випадкової величини має вигляд:

Щільність розподілу:

1

Рис. Графіки функції розподілу (ліворуч) та щільності розподілу (праворуч).

Рівномірний розподіл - поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Рівномірний розподіл" 2017, 2018.

Насправді зустрічаються випадкові величини, про які заздалегідь відомо, що можуть прийняти якесь значення у суворо певних межах, причому у цих межах всі значення випадкової величини мають однакову ймовірність (мають однієї й тієї щільністю ймовірностей).

Наприклад, при поломці годинника хвилинна стрілка буде з однаковою ймовірністю (щільністю ймовірності) показувати час, що минув від початку цієї години до поломки годинника. Цей час є випадковою величиною, що приймає з однаковою густиною ймовірності значення, які не виходять за межі, визначені тривалістю однієї години. До подібних випадкових величин відноситься також і похибка округлення. Про такі величини говорять, що вони розподілені рівномірно, тобто мають рівномірний розподіл.

Визначення. Безперервна випадкова величина Х має рівномірний розподіл на відрізку[а, в], якщо цьому відрізку щільність розподілу ймовірності випадкової величини постійна, т. е. якщо диференціальна функція розподілу f(х) має такий вигляд:

Іноді цей розподіл називають законом рівномірної щільності. Про величину, яка має рівномірний розподіл на деякому відрізку, говоритимемо, що вона розподілена рівномірно на цьому відрізку.

Знайдемо значення постійної с. Так як площа, обмежена кривою розподілу та віссю Ох,дорівнює 1, то

звідки з=1/(b- a).

Тепер функцію f(x)можна уявити у вигляді

Побудуємо функцію розподілу F (x ), навіщо знайдемо вираз F (x ) на інтервалі [ a, b]:

Графіки функцій f(x) і F(x) мають вигляд:

Знайдемо числові показники.

Використовуючи формулу для обчислення математичного очікування НСВ, маємо:

Таким чином, математичне очікування випадкової величини, рівномірно розподіленої на відрізку [a, b] збігається із серединою цього відрізка.

Знайдемо дисперсію рівномірно розподіленої випадкової величини:

звідки відразу слідує, що середнє квадратичне відхилення:

Знайдемо тепер ймовірність попадання значення випадкової величини, що має рівномірний розподіл, на інтервал(a, b), що належить повністю відрізку [a, b ]:

Онлайн сервіс:

За допомогою якого моделюється багато реальних процесів. І найпоширеніший приклад – це графік руху громадського транспорту. Припустимо, що якийсь автобус (тролейбус/трамвай)ходить із інтервалом у 10 хвилин, і ви у випадковий момент часу підійшли до зупинки. Якою є ймовірність того, що автобус підійде протягом 1 хвилини? Очевидно, 1/10-та. А ймовірність того, що доведеться чекати 4-5 хвилин? Теж. А ймовірність того, що автобус доведеться чекати понад 9 хвилин? Одна десята!

Розглянемо деякий кінцевийпроміжок, нехай для певності це буде відрізок . Якщо випадкова величинамає постійною щільністю розподілу ймовірностейна даному відрізку і нульовою щільністю поза ним, то кажуть, що вона розподілена рівномірно. При цьому функція щільності буде чітко визначеною:

І справді, якщо довжина відрізка (Див. креслення)становить , то значення неминуче одно – щоб вийшла окрема площа прямокутника, і було дотримано відома властивість:


Перевіримо його формально:
, Ч.т.п. З імовірнісної точки зору це означає, що випадкова величина достовірноприйме одне із значень відрізка …, ех, стаю потихеньку занудним старим =)

Суть рівномірності полягає в тому, що який би внутрішній проміжок фіксованої довжиними не розглянули (Згадуємо «автобусні» хвилини)- Імовірність того, що випадкова величина прийме значення з цього проміжку буде однією і тією ж. На кресленні я заштрихував трієчку таких ймовірностей - ще раз загострюю увагу, що вони визначаються площами, а чи не значеннями функції !

Розглянемо типове завдання:

Приклад 1

Безперервна випадкова величина задана своєю щільністю розподілу:

Знайти константу , обчислити та скласти функцію розподілу. Побудувати графіки. Знайти

Іншими словами, все, про що тільки можна було мріяти:)

Рішення: тому що на інтервалі (кінцевому проміжку) , то випадкова величина має рівномірний розподіл, і значення «це» можна знайти за прямою формулою . Але краще загальним способом- За допомогою властивості:

…чому краще? Щоб не було зайвих питань;)

Таким чином, функція щільності:

Виконаємо креслення. Значення неможливі , і тому жирні крапки ставляться внизу:


Як експрес-перевірку обчислимо площу прямокутника:
, Ч.т.п.

Знайдемо математичне очікування, і, напевно, ви вже здогадуєтеся, чому воно рівне. Згадуємо «10-хвилинний» автобус: якщо випадковим чиномпідходити до зупинки багато днів боронь, то в середньомуйого доведеться чекати 5 хвилин.

Так, саме так - маточування має знаходитися рівно посередині «подійного» проміжку:
, Як і передбачалося.

Дисперсію обчислимо за формулі . І ось тут потрібне око та око при обчисленні інтеграла:

Таким чином, дисперсія:

Складемо функцію розподілу . Тут нічого нового:

1) якщо , то і ;

2) якщо , то і:

3) і, нарешті, при тому:

В результаті:

Виконаємо креслення:


На «живому» проміжку функція розподілу зростає лінійно, і це ще одна ознака, що маємо рівномірно розподілена випадкова величина. Ну, ще б пак, адже похідна лінійної функції- Є константа.

Необхідну ймовірність можна обчислити двома способами за допомогою знайденої функції розподілу:

або за допомогою певного інтегралувід щільності:

Кому як до вподоби.

І тут ще можна записати відповідь: ,
, графіки побудовані в процесі рішення.

…«можна», тому що за його відсутність зазвичай не карають. Зазвичай;)

Для обчислення та рівномірної випадкової величини існують спеціальні формули, які я пропоную вам вивести самостійно:

Приклад 2

Безперервна випадкова величина задана щільністю .

Обчислити математичне очікування та дисперсію. Результати максимально спростити (формули скороченого множенняв допомогу).

Отримані формули зручно використовувати для перевірки, зокрема, перевірте щойно вирішене завдання, підставивши в них конкретні значення "а" і "б". Коротке рішення унизу сторінки.

І на закінчення уроку ми розберемо кілька «текстових» завдань:

Приклад 3

Ціна поділу шкали вимірювального приладу дорівнює 0,2. Показання приладу округляються до цілого поділу. Вважаючи, що похибки округлень розподілені поступово, визначити можливість, що з черговому вимірі вона перевищить 0,04.

Для кращого розуміння рішенняуявімо, що це якийсь механічний прилад зі стрілкою, наприклад, ваги з ціною розподілу 0,2 кг, і нам належить зважити кота в мішку. Але не з метою з'ясувати його вгодованість – зараз буде важливо, ДЕ між двома сусідніми поділами зупиниться стрілка.

Розглянемо випадкову величину – відстаньстрілки від найближчоголівого поділу. Або від найближчого правого, це не є принциповим.

Складемо функцію щільності розподілу ймовірностей:

1) Оскільки відстань може бути негативним, то інтервалі . Логічно.

2) З умови випливає, що стрілка ваг з рівною ймовірністюможе зупинитися в будь-якому місці між поділками * , включаючи самі поділу, і тому на проміжку:

* Це суттєва умова. Так, наприклад, при зважуванні шматків вати або кілограмових пачок солі рівномірність буде дотримуватися на значно вужчих проміжках.

3) І оскільки відстань від НАЙБЛИЖЧОГО лівого поділу не може бути більше, ніж 0,2, то при теж дорівнює нулю.

Таким чином:

Слід зазначити, що про функцію щільності нас ніхто не питав, і її повну побудову я навів виключно в пізнавальних ланцюгах. При чистовому оформленні завдання достатньо записати лише 2 пункт.

Тепер дамо відповідь на запитання завдання. Коли похибка округлення до найближчого поділу не перевищить 0,04? Це станеться тоді, коли стрілка зупиниться не далі ніж на 0,04 від лівого поділу справа абоне далі ніж на 0,04 від правого поділу ліворуч. На кресленні я заштрихував відповідні площі:

Залишилось знайти ці площі за допомогою інтегралів. В принципі, їх можна вирахувати і «по-шкільному» (як площі прямокутників), але простота не завжди знаходить розуміння;)

за теореми складання ймовірностей несумісних подій:

- Імовірність того, що помилка округлення не перевищить 0,04 (40 грам для нашого прикладу)

Легко бачити, що максимально можлива похибка округлення становить 0,1 (100 г) і тому ймовірність того, що помилка округлення не перевищить 0,1дорівнює одиниці.

Відповідь: 0,4

В інших джерелах інформації зустрічаються альтернативні пояснення/оформлення цього завдання, і я вибрав варіант, який видався мені найбільш зрозумілим. Особливу увагуПотрібно звернути на те, що в умові може йтися про похибки не округлень, а про випадковихпохибки вимірювань, які, як правило (але не завжди), розподілені за нормальному закону. Таким чином, лише одне слово може докорінно змінити рішення!Будьте напоготові і вникайте у сенс.

І якщо все йде по колу, то ноги нас приносять на ту ж автобусну зупинку:

Приклад 4

Автобуси деякого маршруту йдуть строго за розкладом та інтервалом 7 хвилин. Скласти функцію щільності випадкової величини – часу чекання чергового автобуса пасажиром, який навмання підійшов до зупинки. Знайти ймовірність того, що він чекатиме на автобус не більше трьох хвилин. Знайти функцію розподілу та пояснити її змістовний зміст.

Розглянемо рівномірне безперервний розподіл. Обчислимо математичне очікування та дисперсію. Згенеруємо випадкові значення за допомогою функції MS EXCELСЛЧИС() та надбудови Пакет Аналізу, зробимо оцінку середнього значення та стандартного відхилення.

Поступово розподіленана відрізку випадкова величина має:

Згенеруємо масив із 50 чисел із діапазону )