Знаходження найменшого загального кратного: методи, приклади знаходження НОК. Найбільший спільний дільник та найменше загальне кратне

Найбільший спільний дільник

Визначення 2

Якщо натуральне число a ділиться на натуральне число $b$, $b$ називають дільником числа $a$, а число $a$ називають кратним числа $b$.

Нехай $a$ та $b$-натуральні числа. Число $c$ називають спільним дільником і для $a$ і $b$.

Безліч спільних дільників чисел $a$ і $b$ звичайно, оскільки жоден із цих дільників не може бути більшим, ніж $a$. Отже, серед цих дільників є найбільший, який називають найбільшим спільним дільником чисел $a$ і $b$ і для його позначення використовують записи:

$НОД \ (a; b) \ або \ D \ (a; b) $

Щоб знайти найбільший спільний дільник двох, чисел необхідно:

1. Знайти добуток чисел, знайдених на кроці 2. Отримане число і буде найбільшим шуканим спільним дільником.

Приклад 1

Знайти НОД чисел $121$ і $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Вибрати числа, які входять до розкладання цих чисел

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Знайти добуток чисел, знайдених на кроці 2. Отримане число і буде найбільшим шуканим спільним дільником.

$НОД=2\cdot 11=22$

Приклад 2

Знайти НОД одночленів $63$ і $81$.

Будемо знаходити згідно з представленим алгоритмом. Для цього:

Розкладемо числа на прості множники

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Вибираємо числа, що входять до розкладання цих чисел

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Знайдемо добуток чисел, знайдених на кроці 2. Отримане число і буде найбільшим шуканим спільним дільником.

$НОД=3\cdot 3=9$

Знайти НОД двох чисел можна і по-іншому, використовуючи безліч дільників чисел.

Приклад 3

Знайти НОД чисел $48$ та $60$.

Рішення:

Знайдемо безліч дільників числа $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Тепер знайдемо безліч дільників числа $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Знайдемо перетин цих множин: $ \ left \ (( \ rm 1,2,3,4,6,12) \ right \) $ - це безліч буде визначати безліч спільних дільників чисел $ 48 $ і $ 60 $. Найбільший елемент у даній множині буде число $12$. Значить, найбільший спільний дільник чисел $48$ і $60$ буде $12$.

Визначення НОК

Визначення 3

Загальним кратним натуральних чисел$a$ і $b$ називається натуральне число, яке кратне $a$ і $b$.

Загальними кратними чисел називаються числа які діляться на вихідні без залишку.

Найменше із загальних кратних буде називатися найменшим загальним кратним і позначається НОК$(a;b)$ або K$(a;b).$

Щоб знайти НОК двох чисел, необхідно:

1. Розкласти числа на прості множники
2. Виписати множники, що входять до складу першого числа та додати до них множники, які входять до складу другого та не ходять до складу першого

Приклад 4

Знайти НОК чисел $99$ та $77$.

Будемо знаходити згідно з представленим алгоритмом. Для цього

Розкласти числа на прості множники

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Виписати множники, що входять до складу першого

додати до них множники, які входять до складу другого та не ходять до складу першого

Знайти добуток чисел, знайдених на кроці 2.Отримане число і буде шуканим найменшим загальним кратним

$НОК=3cdot 3cdot 11cdot 7=693$

Упорядкування списків дільників чисел часто дуже трудомістке заняття. Існує спосіб знаходження НОД, який називається алгоритмом Евкліда.

Твердження, на яких заснований алгоритм Евкліда:

Якщо $a$ і $b$ --натуральні числа, причому $a\vdots b$, то $D(a;b)=b$

Якщо $a$ і $b$ --натуральні числа, такі що $b

Користуючись $D(a;b)= D(a-b;b)$, можна послідовно зменшувати ці цифри до тих пір, поки не дійдемо до такої пари чисел, що одне з них ділиться на інше. Тоді найменше з цих чисел і буде шуканим найбільшим спільним дільником для чисел $a$ і $b$.

Властивості НОД та НОК

1. Будь-яке загальне кратне чисел $a$ і $b$ ділиться на K$(a;b)$
2. Якщо $a\vdots b$ , то $(a;b)=a$

Якщо К$(a;b)=k$ і $m$-натуральне число, то К$(am;bm)=km$

Якщо $d$-загальний дільник для $a$ і $b$, то К($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) $

Якщо $a\vdots c$ і $b\vdots c$ , то $\frac(ab)(c)$ - загальне кратне чисел $a$ і $b$

Для будь-яких натуральних чисел $a$ і $b$ виконується рівність

$D(a;b)\cdot До(a;b)=ab$

Будь-який спільний дільник чисел $a$ і $b$ є дільником числа $D(a;b)$

Продовжимо розмову про найменше спільне кратне, яке ми розпочали у розділі «НОК – найменше загальне кратне, визначення, приклади». У цій темі ми розглянемо способи знаходження НОК для трьох чисел і більше, розберемо питання, як знайти НОК негативного числа.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Обчислення найменшого загального кратного (НОК) через НОД

Ми вже встановили зв'язок найменшого загального кратного із найбільшим спільним дільником. Тепер навчимося визначати НОК через НОД. Спочатку розберемося, як це робити для позитивних чисел.

Визначення 1

Знайти найменше загальне кратне через найбільший спільний дільник можна за формулою НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b).

Приклад 1

Необхідно знайти НОК чисел 126 та 70 .

Рішення

Приймемо a = 126, b = 70. Підставимо значення у формулу обчислення найменшого загального кратного через найбільший спільний дільник НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b).

Знайде НОД чисел 70 та 126 . Для цього нам знадобиться алгоритм Евкліда: 126 = 70 · 1 + 56, 70 = 56 · 1 + 14, 56 = 14 · 4, отже, НОД (126 , 70) = 14 .

Обчислимо НОК: НОК (126, 70) = 126 · 70: НОД (126, 70) = 126 · 70: 14 = 630.

Відповідь:НОК (126, 70) = 630 .

Приклад 2

Знайдіть число 68 і 34 .

Рішення

НОД у разі нейти нескладно, оскільки 68 ділиться на 34 . Обчислимо найменше загальне кратне за формулою: НОК (68, 34) = 68 · 34: НОД (68, 34) = 68 · 34: 34 = 68.

Відповідь:НОК (68, 34) = 68 .

У цьому прикладі ми використовували правило знаходження найменшого загального кратного для цілих позитивних чисел a і b: якщо перше число ділиться на друге, що НОК цих чисел дорівнюватиме першому числу.

Знаходження НОК за допомогою розкладання чисел на прості множники

Тепер давайте розглянемо спосіб знаходження НОК, який ґрунтується на розкладанні чисел на прості множники.

Визначення 2

Для знаходження найменшого загального кратного нам знадобиться виконати низку нескладних дій:

• складаємо добуток всіх простих множників чисел, для яких нам потрібно знайти НОК;
• виключаємо їх отриманих творів усі прості множники;
• отриманий після виключення загальних простих множників твір дорівнюватиме НОК даних чисел.

Цей спосіб знаходження найменшого загального кратного заснований на рівні НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Якщо подивитися на формулу, то стане зрозуміло: добуток чисел a та b дорівнює добутку всіх множників, які беруть участь у розкладанні цих двох чисел. При цьому НОД двох чисел дорівнює добутку всіх простих множників, які одночасно присутні в розкладах на множники цих двох чисел.

Приклад 3

У нас є два числа 75 та 210 . Ми можемо розкласти їх на множники так: 75 = 3 · 5 · 5і 210 = 2 · 3 · 5 · 7. Якщо скласти добуток всіх множників двох вихідних чисел, то вийде: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7.

Якщо виключити загальні для обох чисел множники 3 і 5 ми отримаємо твір наступного виду: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050. Цей твір буде нашим НОК для чисел 75 і 210 .

Приклад 4

Знайдіть НОК чисел 441 і 700 , розклавши обидва числа на прості множники

Рішення

Знайдемо всі прості множники чисел, даних за умови:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Отримуємо два ланцюжки чисел: 441 = 3 · 3 · 7 · 7 і 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .

Добуток усіх множників, які брали участь у розкладанні даних чисел, матиме вигляд: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7. Знайдемо спільні множники. Це число 7. Виключимо його з загального твору: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7. Виходить, що НОК (441, 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100.

Відповідь:НОК (441, 700) = 44 100 .

Дамо ще одне формулювання методу знаходження НОК шляхом розкладання чисел на прості множники.

Визначення 3

Раніше ми виключали з усієї кількості множників спільні для обох чисел. Тепер ми зробимо інакше:

• розкладемо обидва числа на прості множники:
• додамо до твору простих множників першого числа відсутні множники другого числа;
• отримаємо твір, який і буде шуканий НОК двох чисел.

Приклад 5

Повернемося до числа 75 і 210, для яких ми вже шукали НОК в одному з попередніх прикладів. Розкладемо їх на прості множники: 75 = 3 · 5 · 5і 210 = 2 · 3 · 5 · 7. До твору множників 3 , 5 5 числа 75 додамо відсутні множники 2 і 7 числа 210 . Отримуємо: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Це і є НОК чисел 75 та 210 .

Приклад 6

Необхідно обчислити НОК чисел 84 та 648 .

Рішення

Розкладемо числа із умови на прості множники: 84 = 2 · 2 · 3 · 7і 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3. Додамо до твору множників 2 , 2 , 3 7 числа 84 множники 2 , 3 , 3 і
3 числа 648 . Отримуємо твір 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 7 = 4536 .Це і є найменше загальне кратне чисел 84 і 648.

Відповідь:НОК (84, 648) = 4536.

Знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел

Незалежно від того, з якою кількістю чисел ми маємо справу, алгоритм наших дій завжди буде однаковим: ми будемо послідовно знаходити НОК двох чисел. На цей випадок є теорема.

Теорема 1

Припустимо, що ми маємо цілі числа a 1 , a 2 , … , a k. НОК m kцих чисел перебуває при послідовному обчисленні m 2 = НОК (a 1 , a 2) , m 3 = НОК (m 2 , a 3) , … , m k = НОК (m k − 1 , a k) .

Тепер розглянемо, як можна застосовувати теорему на вирішення конкретних завдань.

Приклад 7

Необхідно обчислити найменше загальне кратне чотирьох чисел 140, 9, 54 та 250 .

Рішення

Введемо позначення: a 1 = 140 , a 2 = 9 , a 3 = 54 , a 4 = 250 .

Почнемо з того, що обчислимо m 2 = НОК (a 1, a 2) = НОК (140, 9). Застосуємо алгоритм Евкліда для обчислення НОД чисел 140 і 9: 140 = 9 · 15 + 5, 9 = 5 · 1 + 4, 5 = 4 · 1 + 1, 4 = 1 · 4. Отримуємо: НОД (140, 9) = 1, НОК (140, 9) = 140 · 9: НОД (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1260. Отже, m 2 = 1260 .

Тепер обчислимо за тим алгоритмом m 3 = НОК (m 2 , a 3) = НОК (1 260 , 54) . У результаті обчислень отримуємо m 3 = 3 780 .

Нам залишилося обчислити m4 = НОК (m3, a4) = НОК (3780, 250). Діємо за тим самим алгоритмом. Отримуємо m 4 = 94500 .

НОК чотирьох чисел із умови прикладу дорівнює 94500 .

Відповідь:НОК (140, 9, 54, 250) = 94500.

Як бачите, обчислення виходять нескладними, але досить трудомісткими. Щоб заощадити час, можна йти іншим шляхом.

Визначення 4

Пропонуємо вам наступний алгоритм дій:

• розкладаємо всі числа на прості множники;
• до твору множників першого числа додаємо множники, що відсутні, з твору другого числа;
• до отриманого на попередньому етапі твору додаємо множники третього числа, що бракують, і т.д.;
• отриманий твір буде найменшим загальним кратним усіх чисел з умови.

Приклад 8

Необхідно знайти НОК п'яти чисел 84, 6, 48, 7, 143.

Рішення

Розкладемо всі п'ять чисел на прості множники: 84 = 2 · 2 · 3 · 7, 6 = 2 · 3, 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 7, 143 = 11 · 13 . Прості числа, Яким є число 7 на прості множники не розкладаються. Такі числа збігаються зі своїми розкладанням на прості множники.

Тепер візьмемо добуток простих множників 2 , 2 , 3 і 7 числа 84 і додамо до них множники другого числа. Ми розклали число 6 на 2 та 3 . Ці множники вже є у творі першого числа. Отже, їх опускаємо.

Продовжуємо додавати відсутні множники. Переходимо до 48 , з добутку простих множників якого беремо 2 і 2 . Потім додаємо простий множник 7 від четвертого числа та множники 11 і 13 п'ятого. Отримуємо: 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13 = 48 048 . Це і є найменша загальна кратність п'яти вихідних чисел.

Відповідь:НОК (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Знаходження найменшого загального кратного негативних чисел

Для того, щоб знайти найменше загальне кратне негативних чисел, ці числа необхідно спочатку замінити на числа з протилежним знаком, а потім провести обчислення за наведеними вище алгоритмами.

Приклад 9

НОК (54, -34) = НОК (54, 34), а НОК (-622, -46, -54, -888) = НОК (622, 46, 54, 888).

Такі дії допустимі у зв'язку з тим, що якщо прийняти, що aі − a- Протилежні числа,
то безліч кратних числа aзбігається з безліччю кратних числа − a.

Приклад 10

Необхідно обчислити НОК негативних чисел − 145 і − 45 .

Рішення

Зробимо заміну чисел − 145 і − 45 на протилежні їм числа 145 і 45 . Тепер за алгоритмом обчислимо НОК (145, 45) = 145 · 45: НОД (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1305, попередньо визначивши НОД за алгоритмом Евкліда.

Отримаємо, що НОК чисел – 145 та − 45 одно 1 305 .

Відповідь:НОК (− 145 , − 45) = 1 305 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Друге число: b=

Розділювач розрядівБез роздільника пробіл " ´

Результат:

Найбільший спільний дільник НОД( a,b)=6

Найменше загальне кратне НОК( a,b)=468

Найбільше натуральне число, яке діляться без залишку числа a і b, називається найбільшим спільним дільником(НД) цих чисел. Позначається НОД(a,b), (a,b), gcd(a,b) або hcf(a,b).

Найменше загальне кратне(НОК) двох цілих чисел a та b є найменше натуральне число, яке ділиться на a та b без залишку. Позначається НОК(a,b), або lcm(a,b).

Цілі числа a та b називаються взаємно простимиякщо вони не мають жодних спільних дільників крім +1 і −1.

Найбільший спільний дільник

Нехай дані два позитивні числа a 1 та a 2 1). Потрібно знайти спільний дільник цих чисел, тобто. знайти таке число λ , яке ділить числа a 1 та a 2 одночасно. Опишемо алгоритм.

1) У цій статті під словом число будемо розуміти ціле число.

Нехай a 1 ≥ a 2 , і нехай

де m 1 , a 3 деякі цілі числа, a 3 <a 2 (залишок від розподілу a 1 на a 2 має бути менше a 2).

Припустимо, що λ ділить a 1 та a 2 , тоді λ ділить m 1 a 2 та λ ділить a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Затвердження 2 статті "Дільність чисел. Ознака ділимості"). Звідси випливає, що кожен спільний дільник a 1 та a 2 є спільним дільником a 2 та a 3 . Справедливе і протилежне, якщо λ спільний дільник a 2 та a 3 , то m 1 a 2 та a 1 =m 1 a 2 +a 3 також поділяються на λ . Отже спільний дільник a 2 та a 3 є також спільний дільник a 1 та a 2 . Так як a 3 <a 2 ≤a 1 , то можна сказати, що розв'язання задачі знаходження загального дільника чисел a 1 та a 2 зведено до більш простого завдання знаходження загального дільника чисел a 2 та a 3 .

Якщо a 3 ≠0, то можна розділити a 2 на a 3 . Тоді

,

де m 1 та a 4 деякі цілі числа, ( a 4 залишок від розподілу a 2 на a 3 (a 4 <a 3)). Подібними міркуваннями ми приходимо до висновку, що спільні дільники чисел a 3 та a 4 збігаються із загальними дільниками чисел a 2 та a 3 , а також із спільними дільниками a 1 та a 2 . Так як a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... числа, що постійно убувають, і так як існує кінцева кількість цілих чисел між a 2 і 0, то на якомусь кроці n, остача від ділення a n на a n+1 дорівнюватиме нулю ( a n+2 = 0).

.

Кожен спільний дільник λ чисел a 1 та a 2 також дільник чисел a 2 та a 3 , a 3 та a 4 , .... a n та a n+1. Справедливо та зворотне, спільні дільники чисел a n та a n+1 є також дільниками чисел a n−1 та a n, ...., a 2 та a 3 , a 1 та a 2 . Але спільний дільник чисел a n та a n+1 є число a n+1, т.к. a n та a n+1 без залишку поділяються на a n+1 (згадаймо, що a n+2 = 0). Отже a n+1 є і дільником чисел a 1 та a 2 .

Зазначимо, що число a n+1 є найбільшим дільником чисел a n та a n+1 , оскільки найбільший дільник a n+1 є сам a n+1. Якщо a n+1 можна як твори цілих чисел, то ці числа також є загальними дільниками чисел a 1 та a 2 . Число a n+1 називають найбільшим спільним дільникомчисел a 1 та a 2 .

Числа a 1 та a 2 може бути як позитивними, і негативними числами. Якщо один із чисел дорівнює нулю, то найбільший загальний дільник цих чисел дорівнюватиме абсолютній величині іншого числа. Найбільшого загального дільника нульових чисел не визначено.

Вищевикладений алгоритм називається алгоритмом Евклідадля знаходження найбільшого спільного дільника двох цілих чисел.

Приклад знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел

Знайти найбільший спільний дільник двох чисел 630 та 434.

• Крок 1. Ділимо число 630 на 434. Залишок 196.
• Крок 2. Ділимо число 434 на 196. Залишок 42.
• Крок 3. Ділимо число 196 на 42. Залишок 28.
• Крок 4. Ділимо число 42 на 28. Залишок 14.
• Крок 5. Ділимо число 28 на 14. Залишок 0.

На кроці 5 залишок від розподілу дорівнює 0. Отже, найбільший загальний дільник чисел 630 і 434 дорівнює 14. Зауважимо, що числа 2 і 7 також є дільниками чисел 630 і 434.

Взаємно прості числа

Визначення 1. Нехай найбільший спільний дільник чисел a 1 та a 2 дорівнює одиниці. Тоді ці числа називаються взаємно простими числами, які не мають спільного дільника

Теорема 1. Якщо a 1 та a 2 взаємно прості числа, а λ якесь число, то будь-який спільний дільник чисел λa 1 та a 2 є також загальним дільником чисел λ і a 2 .

Доведення. Розглянемо алгоритм Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника чисел a 1 та a 2 (див. вище).

.

З умови теореми випливає, що найбільшим спільним дільником чисел a 1 та a 2 , і отже a n та a n+1 є 1. Тобто. a n+1 =1.

Помножимо всі ці рівності на λ тоді

.

Нехай спільний дільник a 1 λ і a 2 є δ . Тоді δ входить множником у a 1 λ , m 1 a 2 λ і в a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Див. "Дільність чисел",Твердження 2). Далі δ входить множником у a 2 λ і m 2 a 3 λ , і, отже, входить множником у a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Розмірковуючи так ми переконуємось, що δ входить множником у a n−1 λ і m n−1 a n λ , і, отже, в a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Так як a n+1 =1, то δ входить множником у λ . Отже число δ є спільним дільником чисел λ і a 2 .

Розглянемо окремі випадки теореми 1.

Слідство 1. Нехай aі cпрості числа щодо b. Тоді їхній твір acє простим числом щодо b.

Справді. З теореми 1 acі bмають тих же спільних дільників, що й cі b. Але числа cі bвзаємно прості, тобто. мають єдиний спільний дільник 1. acі bтакож мають єдиний спільний дільник 1. Отже acі bвзаємно прості.

Слідство 2. Нехай aі bвзаємно прості числа та нехай bділить ak. Тоді bділить і k.

Справді. З умови затвердження akі bмають спільний дільник b. У силу теореми 1, bмає бути спільним дільником bі k. Отже bділить k.

Наслідок 1 можна узагальнити.

Слідство 3. 1. Нехай числа a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m прості щодо числа b. Тоді a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , добуток цих чисел простий щодо числа b.

2. Нехай маємо два ряди чисел

таких, що кожне число першого ряду просте по відношенню до кожного числа другого ряду. Тоді твір

Потрібно знайти такі числа, які поділяються на кожне із цих чисел.

Якщо число ділиться на a 1 , то воно має вигляд sa 1 , де sякесь число. Якщо qє найбільший спільний дільник чисел a 1 та a 2 , то

де s 1 - деяке ціле число. Тоді

є найменшим загальним кратним чисел a 1 та a 2 .

a 1 та a 2 взаємно прості, то найменше загальне кратне чисел a 1 та a 2:

Потрібно знайти найменше загальне кратне цих чисел.

З вищевикладеного випливає, що будь-яке кратне чисел a 1 , a 2 , a 3 має бути кратним чисел ε і a 3 і назад. Нехай найменше загальне кратне чисел ε і a 3 є ε 1 . Далі, кратне чисел a 1 , a 2 , a 3 , a 4 має бути кратним чисел ε 1 та a 4 . Нехай найменше загальне кратне чисел ε 1 та a 4 є ε 2 . Таким чином з'ясували, що всі кратні чисел a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m збігаються з кратними деякого певного числа ε n, яке називають найменшим загальним кратним даних чисел.

В окремому випадку, коли числа a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m взаємно прості, то найменше загальне кратне чисел a 1 , a 2 як було показано вище має вигляд (3). Далі, оскільки a 3 просте по відношенню до чисел a 1 , a 2 , тоді a 3 просте стосовно числа a 1 · a 2 (Наслідок 1). Значить найменше загальне кратне чисел a 1 ,a 2 ,a 3 є число a 1 · a 2 · a 3 . Розмірковуючи аналогічним чином, ми приходимо до наступних тверджень.

Твердження 1. Найменше загальне кратне взаємно простих чисел a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m дорівнює їхньому твору a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Твердження 2. Будь-яке число, яке поділяється на кожне із взаємно простих чисел a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ділиться також на їх твір a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Онлайн калькулятор дозволяє швидко знаходити найбільший спільний дільник та найменше загальне кратне як для двох, так і для будь-якої іншої кількості чисел.

Калькулятор для знаходження НОД та НОК

Знайти НОД та НОК

Знайдено НІД та НОК: 5806

Як користуватися калькулятором

• Введіть цифри у полі для введення
• У разі введення некоректних символів, поле для введення буде підсвічене червоним.
• натисніть кнопку "Знайти НОД та НОК"

Як вводити числа

• Числа вводяться через прогалину, точку або кому
• Довжина чисел, що вводяться, не обмежена, так що знайти НОД і НОК довгих чисел не складе жодних труднощів

Що таке НОД та НОК?

Найбільший спільний дільниккількох чисел – це найбільше ціле число, на яке всі вихідні числа діляться без залишку. Найбільший спільний дільник скорочено записується як НІД.
Найменше загальне кратнекількох чисел – це найменше число, яке ділиться кожне з вихідних чисел без залишку. Найменше загальне кратне скорочено записується як НОК.

Як перевірити, чи число ділиться на інше число без залишку?

Щоб дізнатися, чи одне число ділиться на інше без залишку, можна скористатися деякими властивостями ділимості чисел. Тоді, комбінуючи їх, можна перевіряти подільність на деякі з них та їх комбінації.

Деякі ознаки ділимості чисел

1. Ознака ділимості числа на 2
Щоб визначити, чи ділиться число на два (чи є парним), достатньо подивитися на останню цифру цього числа: якщо вона дорівнює 0, 2, 4, 6 або 8, то число парне, а значить ділиться на 2.
Приклад:визначити, чи ділиться на 2 число 34 938 .
Рішення:дивимося останню цифру: 8 - отже число ділиться на два.

2. Ознака ділимості числа на 3
Число ділиться на три тоді, коли сума його цифр ділиться на три. Таким чином, щоб визначити, чи ділиться число на 3, потрібно порахувати суму цифр і перевірити, чи вона ділиться на 3. Навіть якщо сума цифр вийшла дуже великою, можна повторити цей же процес знову.
Приклад:визначити, чи ділиться число 34 938 на 3.
Рішення:рахуємо суму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 ділиться на 3, а значить і число ділиться на три.

3. Ознака ділимості числа на 5
Число ділиться на 5 тоді, коли його остання цифра дорівнює нулю чи п'яти.
Приклад:визначити, чи ділиться число 34 938 на 5.
Рішення:дивимося на останню цифру: 8 - означає число НЕ ділиться п'ять.

4. Ознака ділимості числа на 9
Ця ознака дуже схожа на ознаку ділимості на трійку: число ділиться на 9 тоді, коли його цифр ділиться на 9.
Приклад:визначити, чи ділиться число 34 938 на 9.
Рішення:вважаємо суму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 ділиться на 9, отже, і число ділиться на дев'ять.

Як знайти НОД та НОК двох чисел

Як знайти НОД двох чисел

Найбільш простим способом обчислення найбільшого загального дільника двох чисел є пошук усіх можливих дільників цих чисел та вибір найбільшого з них.

Розглянемо цей спосіб з прикладу перебування НОД(28, 36) :

1. Розкладаємо обидва числа на множники: 28 = 1 · 2 · 2 · 7, 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3
2. Знаходимо спільні множники, тобто ті, які є обох чисел: 1, 2 і 2.
3. Обчислюємо добуток цих множників: 1 · 2 · 2 = 4 - це і є найбільший загальний дільник чисел 28 і 36.

Як знайти НОК двох чисел

Найбільш поширені два способи знаходження найменшого кратного двох чисел. Перший спосіб полягає в тому, що можна виписати перші кратні двох чисел, а потім вибрати серед них таке число, яке буде загальним для обох чисел і при цьому найменшим. А другий полягає у знаходженні НОД цих чисел. Розглянемо лише його.

Для обчислення НОК потрібно обчислити добуток вихідних чисел і потім розділити його на попередньо знайдений НОД. Знайдемо НОК для тих же чисел 28 та 36:

1. Знаходимо добуток чисел 28 і 36: 28 · 36 = 1008
2. НОД(28, 36), як відомо, дорівнює 4
3. НОК(28, 36) = 1008/4 = 252 .

Знаходження НОД та НОК для кількох чисел

Найбільший спільний дільник можна знаходити і для кількох чисел, а не лише двох. Для цього числа, що підлягають пошуку найбільшого спільного дільника, розкладають на прості множники, потім знаходять добуток простих множників цих чисел. Також для знаходження НОД кількох чисел можна скористатися таким співвідношенням: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c).

Аналогічне співвідношення діє і найменшого загального кратного чисел: НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)

Приклад:знайти НОД та НОК для чисел 12, 32 та 36.

1. Спочатку розкладемо числа на множники: 12 = 1 · 2 · 2 · 3 , 32 = 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 , 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3 ?
2. Знайдемо множники: 1, 2 і 2 .
3. Їх твір дасть НОД: 1 · 2 · 2 = 4
4. Знайдемо тепер НОК: цього знайдемо спочатку НОК(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Щоб знайти НОК всіх трьох чисел, потрібно знайти НОД(96, 36): 96 = 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3 , НОД = 1 · 2 · 2 · 3 = 12 .
6. НОК (12, 32, 36) = 96 · 36 / 12 = 288 .

Поданий нижче матеріал є логічним продовженням теорії із статті під заголовком НОК – найменше загальне кратне, визначення, приклади, зв'язок між НОК та НОД. Тут ми поговоримо про знаходження найменшого загального кратного (НОК), та особливу увагу приділимо рішенню прикладів. Спочатку покажемо, як обчислюється НОК двох чисел через НОД цих чисел. Далі розглянемо знаходження найменшого загального кратного за допомогою розкладання чисел на звичайні множники. Після цього зупинимося на знаходженні НОК трьох та більшої кількостічисел, і навіть приділимо увагу обчисленню НОК негативних чисел.

Навігація на сторінці.

Обчислення найменшого загального кратного (НОК) через НОД

Один із способів знаходження найменшого загального кратного заснований на зв'язку між НОК та НОД. Існуючий зв'язок між НОК та НОД дозволяє обчислювати найменше загальне кратне двох цілих позитивних чисел через відомий найбільший спільний дільник. Відповідна формула має вигляд НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b) . Розглянемо приклади знаходження НОК за наведеною формулою.

приклад.

Знайдіть найменше загальне кратне двох чисел 126 та 70 .

Рішення.

У цьому прикладі a = 126, b = 70. Скористаємося зв'язком НОК з НОД, що виражається формулою НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Тобто спочатку нам належить знайти найбільший спільний дільник чисел 70 і 126 , після чого ми зможемо обчислити НОК цих чисел за записаною формулою.

Знайдемо НОД (126, 70), використовуючи алгоритм Евкліда: 126 = 70 · 1 +56, 70 = 56 · 1 +14, 56 = 14 · 4, отже, НОД (126, 70) = 14 .

Тепер знаходимо необхідне найменше загальне кратне: НОК(126, 70) = 126 · 70: НОД (126, 70) = 126 · 70: 14 = 630 .

Відповідь:

НОК (126, 70) = 630 .

приклад.

Чому дорівнює НОК(68, 34)?

Рішення.

Так як 68 ділиться націло на 34 , то НОД (68, 34) = 34 . Тепер обчислюємо найменше загальне кратне: НОК (68, 34) = 68 · 34: НОД (68, 34) = 68 · 34:34 = 68 .

Відповідь:

НОК(68, 34) = 68 .

Зауважимо, що попередній приклад підходить під наступне правило знаходження НОК для цілих позитивних чисел a і b: якщо число a ділиться на b, то найменше загальне кратне цих чисел дорівнює a.

Знаходження НОК за допомогою розкладання чисел на прості множники

Інший спосіб знаходження найменшого загального кратного базується на розкладанні чисел на прості множники. Якщо скласти твір з усіх простих множників даних чисел, після чого з цього твору виключити всі загальні прості множники, присутні в розкладах даних чисел, то отриманий добуток дорівнює найменшому загальному кратному даних чисел .

Озвучене правило знаходження НОК випливає з рівності НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Справді, добуток чисел a та b дорівнює добутку всіх множників, що беруть участь у розкладах чисел a та b . У свою чергу НОД(a, b) дорівнює добутку всіх простих множників, що одночасно присутні в розкладах чисел a і b (про що написано в розділі знаходження НОД за допомогою розкладання чисел на прості множники).

Наведемо приклад. Нехай ми знаємо, що 75 = 3 · 5 · 5 і 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . Складемо добуток із усіх множників даних розкладів: 2·3·3·5·5·5·7 . Тепер з цього твору виключимо всі множники, присутні і в розкладі числа 75 і в розкладі числа 210 (такими множниками є 3 і 5), тоді добуток набуде вигляду 2·3·5·5·7. Значення цього твору дорівнює найменшому загальному кратному чисел 75 і 210, тобто, НОК (75, 210) = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050.

приклад.

Розклавши числа 441 і 700 на прості множники, знайдіть найменше загальне кратне цих чисел.

Рішення.

Розкладемо числа 441 і 700 на прості множники:

Отримуємо 441 = 3 · 3 · 7 · 7 і 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .

Тепер складемо твір з усіх множників, що беруть участь у розкладах даних чисел: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7 . Виключимо з цього твору всі множники, одночасно присутні в обох розкладах (такий множник тільки один – це число 7): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким чином, НОК (441, 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100.

Відповідь:

НОК(441, 700) = 44100 .

Правило знаходження НОК з використанням розкладання чисел на прості множники можна сформулювати трохи інакше. Якщо до множників з розкладання числа a додати множники з розкладання числа b , то значення отриманого твору дорівнюватиме найменшому загальному кратному чисел a і b.

Наприклад візьмемо ті самі числа 75 і 210 , їх розкладання на прості множники такі: 75=3·5·5 і 210=2·3·5·7 . До множників 3, 5 і 5 з розкладання числа 75 додаємо відсутні множники 2 і 7 з розкладання числа 210, отримуємо добуток 2 · 3 · 5 · 5 · 7 , значення якого дорівнює НОК (75, 210) .

приклад.

Знайдіть найменше загальне кратне чисел 84 та 648 .

Рішення.

Отримуємо спочатку розкладання чисел 84 та 648 на прості множники. Вони мають вигляд 84 = 2 · 2 · 3 · 7 і 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 . До множників 2 , 2 , 3 і 7 з розкладання числа 84 додаємо множники 2 , 3 , 3 і 3 з розкладання числа 648 , що відсутні , отримуємо добуток 2·2·2·3·3·3·3·7 , який дорівнює 4 536 . Таким чином, шукане найменше загальне кратне чисел 84 і 648 дорівнює 4536 .

Відповідь:

НОК(84, 648) = 4536 .

Знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел

Найменше загальне кратне трьох чи більшої кількості чисел може бути знайдено через послідовне перебування НОК двох чисел. Нагадаємо відповідну теорему, що дає спосіб знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел.

Теорема.

Нехай дані цілі позитивні числа a 1 , a 2 , …, a k , найменше загальне кратне m k цих чисел знаходиться при послідовному обчисленні m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , … , m k =НОК(m k−1 , a k) .

Розглянемо застосування цієї теореми з прикладу знаходження найменшого загального кратного чотирьох чисел.

приклад.

Знайдіть НОК чотирьох чисел 140 , 9 , 54 та 250 .

Рішення.

У цьому прикладі a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Спочатку знаходимо m 2 =НОК(a 1 , a 2)=НОК(140, 9). Для цього за алгоритмом Евкліда визначаємо НОД(140, 9) , маємо 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , отже, НОД(140, 9) = 1, звідки НОК (140, 9) = 140 · 9: НОД (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1 260 . Тобто, m 2 = 1260 .

Тепер знаходимо m 3 =НОК(m 2 , a 3)=НОК(1 260, 54). Обчислимо його через НОД (1260, 54), який також визначимо за алгоритмом Евкліда: 1260 = 54 · 23 +18, 54 = 18 · 3 . Тоді НОД (1260, 54) = 18, звідки НОК (1260, 54) = 1260 · 54: НОД (1260, 54) = 1260 · 54:18 = 3780. Тобто, m3 = 3780 .

Залишилось знайти m 4 =НОК(m 3 , a 4)=НОК(3 780, 250). Для цього знаходимо НОД (3780, 250) за алгоритмом Евкліда: 3780 = 250 · 15 +30, 250 = 30 · 8 +10, 30 = 10 · 3. Отже, НОД (3780, 250) = 10, звідки НОК (3780, 250) = 3780 · 250: НОД (3780, 250) = 3 780 250:10 = 94 500 . Тобто, m 4 = 94500 .

Таким чином, найменше загальне кратне вихідних чотирьох чисел дорівнює 94500 .

Відповідь:

НОК(140, 9, 54, 250) = 94500.

У багатьох випадках найменша загальна кратність трьох і більшої кількості чисел зручно знаходити з використанням розкладів даних чисел на прості множники. При цьому слід дотримуватись наступного правила. Найменше загальне кратне кількох чисел дорівнює добутку, яке складається так: до всіх множників з розкладання першого числа додаються відсутні множники з розкладання другого числа, до отриманих множників додаються відсутні множники з розкладання третього числа і так далі.

Розглянемо приклад знаходження найменшого загального кратного із використанням розкладання чисел на прості множники.

приклад.

Знайдіть найменше загальне кратне п'ять чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Рішення.

Спочатку отримуємо розкладання даних чисел на прості множники: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 , 6 = 2 · 3 , 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 7 (7 - просте число , воно збігається зі своїм розкладанням на прості множники) і 143 = 11 · 13 .

Для знаходження НОК даних чисел до множників першого числа 84 (ними є 2, 2, 3 і 7) потрібно додати відсутні множники з розкладання другого числа 6. Розкладання числа 6 не містить множників, що відсутні, так як і 2 і 3 вже присутні в розкладанні першого числа 84 . Далі до множників 2 , 2 , 3 і 7 додаємо множники 2 і 2 , що відсутні , з розкладання третього числа 48 , отримуємо набір множників 2 , 2 , 2 , 2 , 3 і 7 . До цього набору на наступному кроці не доведеться додавати множників, тому що 7 міститься в ньому. Нарешті, до множників 2 , 2 , 2 , 2 , 3 і 7 додаємо множники 11 і 13 з розкладання числа 143 . Отримуємо добуток 2·2·2·2·3·7·11·13 , який дорівнює 48 048 .