Щільність ймовірності випадкової величини x задана функцією. Безперервна випадкова величина, функція розподілу та щільність ймовірності

Випадковою величиноюназивають змінну величину, яка в результаті кожного випробування набуває одного заздалегідь невідомого значення, що залежить від випадкових причин. Випадкові величини позначають великими латинськими літерами: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ За своїм типом випадкові величини можуть бути дискретнимиі безперервними.

Дискретна випадкова величина- це така випадкова величина, значення якої можуть бути не більш ніж лічильними, тобто або кінцевими, або лічильними. Під рахунком мається на увазі, що значення випадкової величини можна занумерувати.

Приклад 1 . Наведемо приклади дискретних випадкових величин:

а) число попадань у мішень при $n$ пострілах, тут можливі значення $0, 1, dots, n $.

б) число гербів, що випали при підкиданні монети, тут можливі значення $0,\ 1,\dots,\n$.

в) число кораблів, що прибули на борт (лічильна безліч значень).

г) кількість викликів, що надходять на АТС (численна кількість значень).

1. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини.

Дискретна випадкова величина $X$ може приймати значення $x_1,\dots,\x_n$ з ймовірностями $p\left(x_1\right),\dots,\p\left(x_n\right)$. Відповідність між цими значеннями та їх ймовірностями називається законом розподілу дискретної випадкової величини. Як правило, ця відповідність задається за допомогою таблиці, у першому рядку якої вказують значення $x_1, \ dots , \ x_n $, а в другому рядку відповідні цим значенням ймовірності $ p_1, \ dots , \ p_n $.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(array)$

Приклад 2 . Нехай випадкова величина $X$ - кількість очок, що випали при підкиданні грального кубика. Така випадкова величина $X$ може приймати наступні значення$ 1, 2, 3, 4, 5, 6 $. Імовірності всіх цих значень дорівнюють $1/6$. Тоді закон розподілу ймовірностей випадкової величини $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Зауваження. Оскільки в законі розподілу дискретної випадкової величини $X$ події $1,\2,\dots,6 утворюють повну групуподій, то сумі ймовірності повинні дорівнювати одиниці, тобто $\sum(p_i)=1$.

2. Математичне очікування дискретної випадкової величини.

Математичне очікування випадкової величинизадає її "центральне" значення. Для дискретної випадкової величини математичне очікуванняобчислюється як сума творів значень $x_1,\dots ,\ x_n$ на відповідні цим значенням імовірності $p_1,\dots ,\ p_n$, тобто: $M\left(X\right)=\sum^n_(i=1 ) (p_ix_i) $. В англомовній літературі використовують інше позначення $ E \ left (X \ right) $.

Властивості математичного очікування$M\left(X\right)$:

1. $M\left(X\right)$ укладено між найменшим і найбільшим значеннямивипадкової величини $ X $.
2. Математичне очікування від константи дорівнює самій константі, тобто. $M\left(Cright)=C$.
3. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування: $ M \ left (CX \ right) = CM \ left (X \ right) $.
4. Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань: $ M \ left (X + Y \ right) = M \ left (X \ right) + M \ left (Y \ right) $.
5. Математичне очікування твору незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань: $ M \ left (XY \ right) = M \ left (X \ right) M \ left (Y \ right) $.

Приклад 3 . Знайдемо математичне очікування випадкової величини $X$ із прикладу $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 ) \ over (6)) = 3,5. $ $

Можемо помітити, що $M\left(X\right)$ укладено між найменшим ($1$) і найбільшим ($6$) значеннями випадкової величини $X$.

Приклад 4 . Відомо, що математичне очікування випадкової величини $ X $ дорівнює $ M \ left (X \ right) = 2 $. Знайти математичне очікування випадкового розміру $3X+5$.

Використовуючи вищевказані властивості, отримуємо $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2 +5 = 11 $.

Приклад 5 . Відомо, що математичне очікування випадкової величини $ X $ дорівнює $ M \ left (X \ right) = 4 $. Знайти математичне очікування випадкової величини $2X-9$.

Використовуючи вищевказані властивості, отримуємо $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4 -9 = -1 $.

3. Дисперсія дискретної випадкової величини.

Можливі значення випадкових величин із рівними математичними очікуваннями можуть по-різному розсіюватися навколо своїх середніх значень. Наприклад, у двох студентських групах середній балза іспит з теорії ймовірностей виявився рівним 4, але в одній групі всі виявилися хорошистами, а в іншій групі - тільки трієчники та відмінники. Тому виникає потреба у такій числовій характеристиці випадкової величини, яка б показувала розкид значень випадкової величини навколо свого математичного очікування. Такою характеристикою є дисперсія.

Дисперсія дискретної випадкової величини$X$ дорівнює:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

В англомовній літературі використовуються позначення $ V \ left (X \ right), \ Var \ left (X \ right) $. Дуже часто дисперсію $D\left(X\right)$ обчислюють за формулою $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\left(X) \right)\right))^2$.

Властивості дисперсії$D\left(X\right)$:

1. Дисперсія завжди більша чи дорівнює нулю, тобто. $ D \ left (X \ right) \ ge 0 $.
2. Дисперсія від константи дорівнює нулю, тобто. $ D \ left (C \ right) = 0 $.
3. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії за умови зведення їх у квадрат, тобто. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій, тобто. $ D \ left (X + Y \ right) = D \ left (X \ right) + D \ left (Y \ right) $.
5. Дисперсія різниці незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій, тобто. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Приклад 6 . Обчислимо дисперсію випадкової величини $X$ із прикладу $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\approx 2,92.$$

Приклад 7 . Відомо, що дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює $ D left (X right) = 2 $. Знайти дисперсію випадкової величини $4X+1$.

Використовуючи вищезазначені властивості, знаходимо $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\ left (X right) = 16 cdot 2 = 32 $.

Приклад 8 . Відомо, що дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює $ D \ left (X \ right) = 3 $. Знайти дисперсію випадкової величини $3-2X$.

Використовуючи вищевказані властивості, знаходимо $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\ left (X \ right) = 4 \ cdot 3 = 12 $.

4. Функція розподілу дискретної випадкової величини.

Спосіб подання дискретної випадкової величини у вигляді ряду розподілу не єдиний, а головне він не є універсальним, оскільки безперервну випадкову величину не можна задати за допомогою ряду розподілу. Існує ще один спосіб подання випадкової величини – функція розподілу.

Функцією розподілувипадкової величини $X$ називається функція $F\left(x\right)$, яка визначає ймовірність того, що випадкова величина $X$ прийме значення, менше деякого фіксованого значення $x$, тобто $F\left(x\right )=P\left(X< x\right)$

Властивості функції розподілу:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Імовірність того, що випадкова величина $X$ прийме значення з інтервалу $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях цього інтервалу: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $ F \ left (x \ right) $ - Незменшується.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right) = 1 \) $.

Приклад 9 . Знайдемо функцію розподілу $F\left(xright)$ для закону розподілу дискретної випадкової величини $X$ з прикладу $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Якщо $x\le 1$, то, очевидно, $F\left(x\right)=0$ (у тому числі і при $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Якщо $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Якщо $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Якщо $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Якщо $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Якщо $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Якщо $ x > 6 $, то $ F \ left (x \ right) = P \ left (X = 1 \ right) + P \ left (X = 2 \ right) + P \ left (X = 3 \ right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Отже, $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6, при 1< x\le 2,\\
1/3, \ при 2< x\le 3,\\
1/2, при 3< x\le 4,\\
2/3,\ при 4< x\le 5,\\
5/6,\ при\ 4< x\le 5,\\
1, \ при x > 6.
\end(matrix)\right.$

9. Безперервна випадкова величина, її числові характеристики

Безперервну випадкову величину можна поставити за допомогою двох функцій. Інтегральною функцією розподілу ймовірностей випадкової величини Хназивається функція, визначена рівністю
.

Інтегральна функція дає загальний спосібзавдання як дискретних, і безперервних випадкових величин. У разі безперервної випадкової величини. Всі події: мають ту саму ймовірність, рівну збільшенню інтегральної функції на цьому проміжку, тобто. Наприклад, для дискретної випадкової величини, заданої в прикладі 26, маємо:

Таким чином, графік інтегральної функції аналізованої функції є об'єднання двох променів і трьох відрізків, паралельних осі Ох.

Приклад 27. Безперервна випадкова величина Х задана інтегральною функцією розподілу ймовірностей

.

Побудувати графік інтегральної функції та знайти ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина Х набуде значення в інтервалі (0,5; 1,5).

Рішення. На інтервалі
графіком є ​​пряма у = 0. На проміжку від 0 до 2 – парабола, задана рівнянням
. На інтервалі
графіком є ​​пряма у = 1.

Імовірність того, що випадкова величина Х в результаті випробування набуде значення в інтервалі (0,5; 1,5) знаходимо за формулою .

Таким чином, .

Властивості інтегральної функції розподілу ймовірностей:

Закон розподілу безперервної випадкової величини зручно ставити за допомогою іншої функції, а саме, функції щільності ймовірності
.

Імовірність того, що значення, прийняте випадковою величиною Х, потрапляє в інтервал
, визначається рівністю
.

Графік функції називається кривою розподілу. Геометрично ймовірність попадання випадкової величини Х у проміжок дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції, обмеженої кривої розподілу, віссю Ох та прямими
.

Властивості функції щільності ймовірності:

9.1. Числові характеристикибезперервних випадкових величин

Математичне очікування(Середнім значенням) безперервної випадкової величини Х визначається рівністю
.

М(Х) позначають через а. Математичне очікування безперервної випадкової величини має аналогічні, як і дискретна величина, властивостями:

Дисперсієюдискретної випадкової величини Х називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини її математичного очікування, тобто. . Для безперервної випадкової величини дисперсія визначається формулою
.

Дисперсія має властивості:

Остання властивість дуже зручно застосовувати для знаходження дисперсії безперервної випадкової величини.

Аналогічно вводиться поняття середнього квадратичного відхилення. Середнім квадратичним відхиленням безперервноївипадкової величини Х називається корінь квадратний дисперсії, тобто.
.

Приклад 28. Безперервнавипадкова величина Х задана функцією щільності ймовірностей
в інтервалі (10;12), поза цим проміжком значення функції дорівнює 0. Знайти 1) значення параметра а, 2) математичне очікування М(Х), дисперсію
, середня квадратичне відхилення 3) інтегральну функцію
та побудувати графіки інтегральної та диференціальної функцій.

1). Для знаходження параметра авикористовуємо формулу
. Отримаємо. Таким чином,
.

2). Для знаходження математичного очікування використовуємо формулу: , звідки випливає, що
.

Дисперсію знаходитимемо за формулою:
, тобто. .

Знайдемо середнє квадратичне відхилення за формулою: , звідки отримаємо, що
.

3). Інтегральна функція виражається через функцію щільності ймовірностей наступним чином:
. Отже,
при
, = 0 при
і = 1 при
.

Графіки цих функцій подано на рис. 4. та рис. 5.

рис.4 рис.5.

9.2. Рівномірний розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини

Розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини Х рівномірнона інтервалі , якщо її щільність ймовірності постійна цьому інтервалі і дорівнює нулю поза цим інтервалом, тобто. . Легко показати, що у цьому випадку
.

Якщо інтервал
міститься в інтервалі , то
.

Приклад 29.Подія, що складається з миттєвого сигналу, має відбутися між годиною дня та п'ятьма годинами. Час очікування сигналу є випадковою величиною Х. Знайти ймовірність того, що сигнал буде зафіксований між двома і трьома годинами дня.

Рішення. Випадкова величина Х має рівномірний розподіл, і за формулою знайдемо, що ймовірність того, що сигнал буде між 2 і 3 годинами дня, дорівнює
.

У навчальній та іншій літературі часто позначають у літературі через
.

9.3. Нормальний розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини

Розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини називається нормальним, якщо її закон розподілу ймовірностей визначається щільністю ймовірності
. Для таких величин а- математичне очікування,
- Середнє квадратичне відхилення.

Теорема. Імовірність влучення нормально розподіленої безперервної випадкової величини у заданий інтервал
визначається за формулою
, де
- Функція Лапласа.

Наслідком цієї теореми є правило трьох сигм, тобто. практично достовірно, що нормальна розподілена безперервна випадкова величина Х приймає свої значення в інтервалі
. Це правило виводиться з формули
, що є окремим випадком сформульованої теореми.

Приклад 30.Термін роботи телевізора є випадковою величиною Х, підпорядкованою нормальному законурозподілу, з гарантійним терміном 15 років та середнім квадратичним відхиленням, рівним 3 рокам. Знайти ймовірність того, що телевізор опрацює від 10 до 20 років.

Рішення. За умовою завдання математичне очікування а= 15, середнє квадратичне відхилення.

Знайдемо . Таким чином, можливість роботи телевізора від 10 до 20 років більше 0,9.

9.4.Нерівність Чебишева

Має місце лема Чебишева. Якщо випадкова величина Х набуває лише невід'ємних значень і має математичне очікування, то для будь-якого позитивного в
.

Враховуючи, що як сума ймовірностей протилежних подій, отримаємо, що
.

Теорема Чебишева. Якщо випадкова величина Х має кінцеву дисперсію
і математичне очікування М(Х), то для будь-якого позитивного справедлива нерівність
.

Звідки випливає, що
.

Приклад 31.Виготовлено партію деталей. Середнє значення довжини деталей дорівнює 100 см, а середнє квадратичне відхилення дорівнює 0,4см. Оцінити знизу ймовірність того, що довжина навмання взятої деталі виявиться не менше 99см. і трохи більше 101см.

Рішення. Дисперсія. Математичне очікування дорівнює 100. Отже, для оцінки знизу ймовірності події, що розглядається.
застосуємо нерівність Чебишева, у якому
тоді
.

10. Елементи математичної статистики

Статистичною сукупністюназивають безліч однорідних предметів чи явищ. Число пелементів цієї множини називається обсягом сукупності. Значення, що спостерігаються ознаки Х називають варіантами. Якщо варіанти розташовані у зростаючій послідовності, то отримано дискретний варіаційний ряд. У разі угруповання варіант за інтервалами виходить інтервальний варіаційний ряд. Під частотою тЗначення ознаки розуміють число членів сукупності з цим варіантом.

Ставлення частоти до обсягу статистичної сукупності називають відносною частотоюознаки:
.

Співвідношення між варіантами варіаційного рядута їх частотами називають статистичним розподілом вибірки. Графічним поданням статистичного розподілу може бути полігончастот.

Приклад 32.Шляхом опитування 25 студентів першого курсу отримано такі дані про їх вік:
. Скласти статистичний розподілстудентів за віком, знайти розмах варіювання, побудувати полігон частот і скласти низку розподілу відносних частот.

Рішення. Використовуючи дані, отримані під час опитування, складемо статистичний розподіл вибірки

Розмах вибірки варіювання дорівнює 23 – 17 = 6. Для побудови полігону частот будують точки з координатами
та послідовно їх з'єднують.

Ряд розподілу відносних частот має вигляд:

10.1.Числові характеристики варіаційного ряду

Нехай вибірка задана поряд розподілу частот ознаки Х:

Сума всіх частот дорівнює п.

Середнім арифметичним вибіркиназивають величину
.

Дисперсієюабо мірою розсіювання значень ознаки Х стосовно його середнього арифметичного називають величину
. Середнім квадратичним відхиленням називають корінь квадратний дисперсії, тобто. .

Відношення середнього квадратичного відхилення до середнього арифметичного вибірки, виражене у відсотках, називають коефіцієнтом варіації:
.

Емпіричною функцією розподілу відносних частотназивають функцію, що визначає для кожного значення відносну частоту події
, тобто.
, де - число варіантів, менших х, а п- Обсяг вибірки.

Приклад 33.У разі прикладу 32 знайти числові характеристики
.

Рішення. Знайдемо середнє арифметичне вибірки за формулою, тоді.

Дисперсія ознаки Х перебуває у формулі: , т. е. . Середнє квадратичне відхилення вибірки одно
. Коефіцієнт варіації дорівнює
.

10.2. Оцінка ймовірності щодо відносної частоти. Довірчий інтервал

Нехай проводиться п незалежних випробувань, у кожному з яких ймовірність появи події А постійна та рівна р. У цьому випадку ймовірність того, що відносна частота відрізнятиметься від ймовірності появи події А в кожному випробуванні по абсолютній величині не більше, ніж на , приблизно дорівнює подвоєному значенню інтегральної функції Лапласа:
.

Інтервальною оцінкоюназивають таку оцінку, яка визначається двома числами, що є кінцями інтервалу, що покриває оцінюваний параметр статистичної сукупності.

Довірчим інтерваломназивають інтервал, який із заданою довірчою ймовірністю покриває оцінюваний параметр статистичної сукупності. Розглядаючи формулу, в якій замінимо невідому величину рна її наближене значення , отримане за даними вибірки, отримаємо:
. Ця формула служить для оцінки ймовірності відносної частоти. Числа
і
називають нижньою і відповідно верхньою довірчими кордонами, - граничною похибкою для даної вірогідності
.

Приклад 34. Заводський цех випускає електричні лампочки. Під час перевірки 625 ламп виявилося 40 бракованих. Знайти з довірчою ймовірністю 0,95 кордону, у яких укладено відсоток шлюбу лампочок, що випускаються заводським цехом.

Рішення. За умовою завдання. Використовуємо формулу
. За таблицею 2 додатка знаходимо значення аргументу, під яким значення інтегральної функції Лапласа дорівнює 0,475. Отримаємо, що
. Таким чином, . Отже, можна сказати з ймовірністю 0,95, що частка шлюбу цехом висока, а саме, змінюється в межах від 6,2% до 6,6%.

10.3. Оцінка параметрів у статистиці

Нехай кількісна ознака Х всієї досліджуваної сукупності ( генеральної сукупності) має нормальний розподіл.

Якщо середнє квадратичне відхилення відоме, то довірчий інтервал, що покриває математичне очікування а

, де п- Обсяг вибірки, - вибіркова середня арифметична, t– аргумент інтегральної функції Лапласа, у якому
. При цьому число
називають точністю оцінки.

Якщо середнє квадратичне відхилення невідоме, то за даними вибірки можна побудувати випадкову величину, що має розподіл Стьюдента з п– 1 ступенями свободи, що визначається лише одним параметром пі не залежить від невідомих ата . Розподіл Стьюдента навіть для малих вибірок
дає цілком задовільні оцінки. Тоді довірчий інтервал, що покриває математичне очікування ацієї ознаки із заданою довірчою ймовірністю , що знаходиться з умови

, де S - виправлене середнє квадратичне, - Коефіцієнт Стьюдента, знаходиться за даними
з таблиці 3 додатка.

Довірчий інтервал, що покриває середнє квадратичне відхилення цієї ознаки з довірчою ймовірністю, знаходиться за формулами: і , де
знаходиться за таблицею значень q за даними .

10.4. Статистичні методививчення залежностей між випадковими величинами

Кореляційною залежністю від Х називають функціональну залежність умовної середньої від х.Рівняння
представляє рівняння регресії У на Х, а
- Рівняння регресії Х на У.

Кореляційна залежність може бути лінійною та криволінійною. У разі лінійної кореляційної залежності рівняння прямої лінії регресії має вигляд:
, де кутовий коефіцієнт апрямий лінії регресії У на Х називається вибірковим коефіцієнтом регресії У на Х і позначається
.

При малих вибірках дані не групуються, параметри
знаходяться за методом найменших квадратівіз системи нормальних рівнянь:

, де п- Число спостережень значень пар взаємопов'язаних величин.

Вибірковий лінійний коефіцієнткореляції показує тісноту зв'язку У та Х. Коефіцієнт кореляції знаходиться за формулою
, причому
, а саме:

Вибіркове рівняння прямої лінії регресії У на Х має вигляд:

.

При великому числіспостережень ознак Х і У складається кореляційна таблиця з двома входами, при цьому одне й те саме значення хспостерігається раз, одне й те саме значення успостерігається раз, одна й та сама пара
спостерігається разів.

Приклад 35.Дано таблицю спостережень ознак Х і У.

Знайти вибіркове рівняння прямої лінії регресії У Х.

Рішення. Зв'язок між ознаками, що вивчаються, може бути виражений рівнянням прямої лінії регресії У на Х: . Для обчислення коефіцієнтів рівняння складемо розрахункову таблицю:

№ спостереження

Розділ 6. Безперервні випадкові величини.

§ 1. Щільність та функція розподілу безперервної випадкової величини.

Безліч значень безперервної випадкової величини незліченна і зазвичай є деяким проміжком кінцевий або нескінченний.

Випадкова величина x(w), задана в імовірнісному просторі (W, S, P), називається безперервний(абсолютно безперервний) W, якщо існує невід'ємна функція така, що за будь-яких х функцію розподілу Fx(x) можна подати у вигляді інтегралу

Функція називається функцією густини розподілу ймовірностей.

З визначення випливають властивості функції щільності розподілу:

1..gif" width="97" height="51">

3. У точках безперервності щільність розподілу дорівнює похідній функції розподілу: .

4. Щільність розподілу визначає закон розподілу випадкової величини, тому що визначає ймовірність попадання випадкової величини на інтервал:

5.Вероятность те, що безперервна випадкова величина прийме конкретне значення дорівнює нулю: . Тому справедливі такі рівності:

Графік функції густини розподілу називається кривою розподілу, і площа, обмежена кривою розподілу та віссю абсцис, дорівнює одиниці. Тоді геометрично значення функції розподілу Fx(x) у точці х0 є площа, обмежена кривою розподілу і віссю абсцис і ліворуч, що лежить точки х0.

Завдання 1.Функція щільності безперервної випадкової величини має вигляд:

Визначити константу C, побудувати функцію розподілу Fx(x) і визначити ймовірність .

Рішення.Константа C знаходиться з умови Маємо:

звідки C=3/8.

Щоб побудувати функцію розподілу Fx(x), відзначимо, що інтервал ділить область значень аргументу x (числову вісь) на три частини: width="264" " height="49">

оскільки густина x на півосі дорівнює нулю. У другому випадку

Нарешті, у разі, коли x>2,

Так як щільність звертається в нуль на півосі. Отже, отримано функцію розподілу

Ймовірність обчислимо за формулою. Таким чином,

§ 2. Числові характеристики безперервної випадкової величини

Математичне очікуваннядля безперервно розподілених випадкових величин визначається за формулою width="205" height="56 src=">,

якщо інтеграл, що стоїть праворуч, абсолютно сходиться.

Дисперсія x може бути обчислена за формулою , а також, як і в дискретному випадку, за формулою.

Усі властивості математичного очікування і дисперсії, наведені у розділі 5 для дискретних випадкових величин, справедливі й у безперервних випадкових величин.

Завдання 2. Для випадкової величини x із завдання 1 обчислити математичне очікування та дисперсію .

Рішення.

Отже,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Графік густини рівномірного розподілудив. на рис. .

Рис.6.2. Функція розподілу та щільність розподілу. рівномірного закону

Функція розподілу Fx(x) рівномірно розподіленої випадкової величини дорівнює

Fx(x)=

Математичне очікування та дисперсія; .

Показовий (експоненеціальний) розподіл.Безперервна випадкова величина x, яка набуває невід'ємних значень, має показовий розподіл з параметром l>0, якщо щільність розподілу ймовірностей випадкової величини дорівнює

рx(x)=

Рис. 6.3. Функція розподілу та щільність розподілу показового закону.

Функція розподілу показового розподілу має вигляд

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> і якщо її щільність розподілу дорівнює

.

Через позначається безліч всіх випадкових величин, розподілених за нормальним законом із параметрами параметрами і .

Функція розподілу нормально розподіленої випадкової величини дорівнює

.

Рис. 6.4. Функція розподілу та щільність розподілу нормального закону

Параметри нормального розподілу суть математичне очікування width="64 height=24"

В окремому випадку, коли https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> нормальний розподіл називається стандартним, і клас таких розподілів позначається width="119" height="49">,

а функція розподілу

Такий інтеграл не обчислимо аналітично (не береться в «квадратурах»), і тому функції складені таблиці. Функція пов'язана із введеною в розділі 4 функцією Лапласа

,

наступним співвідношенням . У разі довільних значень параметрів https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" функція розподілу випадкової величини пов'язана з функцією Лапласа за допомогою співвідношення:

.

Тому можливість попадання нормально розподіленої випадкової величини на інтервал можна обчислювати за формулою

.

Невід'ємна випадкова величина x називається логарифмічно нормально розподіленою, якщо її логарифм h = lnx підпорядкований нормальному закону. Математичне очікування та дисперсія логарифмічно нормально розподіленої випадкової величини дорівнюють Мx= та Dx=.

Завдання 3.Нехай задана випадкова величина width="81".

Рішення.Тут і https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif"

Розподіл Лапласузадається функцією і ексцес дорівнює gx = 3.

Рис.6.5. Функція густини розподілу Лапласа.

Випадкова величина x розподілена по закону Вейбулла, якщо вона має функцію щільності розподілу, що дорівнює https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Розподіл Вейбулла підпорядковуються часи безвідмовної роботи багатьох технічних пристроїв. У задачах цього профілю важливою характеристикою є інтенсивність відмови (коефіцієнт смертності) l(t) досліджуваних елементів віку t, що визначається співвідношенням l(t)=. Якщо a=1, то розподіл Вейбулла перетворюється на експоненційний розподіл, а якщо a=2 - на так званий розподіл Релея.

Математичне очікування розподілу Вейбулла: де Г(а) - функція Ейлера.

У різних завданнях прикладної статистики часто зустрічаються звані «усічені» розподіли. Наприклад, податкові органи цікавляться розподілом доходів тих осіб, річний дохід яких перевищує певний поріг С0, встановлений законами про оподаткування. Ці розподіли виявляються приблизно збігаються з розподілом Парето. Розподіл Паретозадається функціями

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> випадкової величини x і монотонна функція, що диференціюється ..gif" width="200" height="51">

Тут https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Завдання 4.Випадкова величина рівномірно розподілена на відрізку. Знайти щільність випадкової величини.

Рішення.З умови завдання випливає, що

Далі, функція є монотонною та диференційованою функцією на відрізку та має зворотну функцію , похідна якої дорівнює Отже,

§ 5. Пара безперервних випадкових величин

Нехай задані дві безперервні випадкові величини x та h. Тоді пара (x, h) визначає "випадкову" точку на площині. Пару (x, h) називають випадковим векторомабо двовимірною випадковою величиною.

Спільною функцією розподілувипадкових величин x і h і називається функція F(x, y) = . Спільною щільністюрозподілу ймовірностей випадкових величин x і h називається функція така, що .

Сенс такого визначення спільної густини розподілу полягає в наступному. Імовірність того, що "випадкова точка" (x, h) потрапить в область на площині, обчислюється як об'єм тривимірної фігури - "криволинійного" циліндра, обмеженого поверхнею https://pandia.ru/text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

Найпростішим прикладом спільного розподілу двох випадкових величин є двовимірне рівномірний розподіл на множиніA. Нехай задано обмежену множину М з площею Воно визначається як розподіл пари (x, h), що задається за допомогою наступної спільної густини:

Завдання 5.Нехай випадковий двовимірний вектор (x, h) рівномірно розподілений всередині трикутника . Обчислити ймовірність нерівності x>h.

Рішення.Площа вказаного трикутника дорівнює (див. рис. №?). З огляду на визначення двомірного рівномірного розподілу спільна щільність випадкових величин x, h дорівнює

Подія відповідає безлічі на площині, тобто напівплощини. Тоді ймовірність

На півплощині B спільна щільність дорівнює нулю поза множиною. Таким чином, напівплощина B розбивається на дві множини. і , причому другий інтеграл дорівнює нулю, так як там спільна щільність дорівнює нулю. Тому

Якщо задана спільна густина розподілу для пари (x, h), то густини та складових x і h називаються приватними щільностямита обчислюються за формулами:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Для безперервно розподілених випадкових величин із щільностями рx(х), рh(у) незалежність означає, що

Завдання 6.В умовах попереднього завдання визначити, чи незалежні складові випадкового вектора x та h?

Рішення. Обчислимо приватні щільності та . Маємо:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Очевидно, що в нашому випадку - спільна щільність величин x і h, а j(х, у) - функція двох аргументів, тоді

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Завдання 7.У разі попередньої завдання обчислити .

Рішення.Відповідно до зазначеної вище формули маємо:

.

Представивши трикутник у вигляді

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Щільність суми двох безперервних випадкових величин

Нехай x і h - незалежні випадкові величини з щільностями. Щільність випадкової величини x + h обчислюється по формулі згортки

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Обчислити щільність суми.

Рішення.Оскільки x і h розподілені за показовим законом із параметром , їх щільності рівні

Отже,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Якщо x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">негативний, і тому . Тому, якщо ж я можу сказати, що це таке.

Таким чином, ми отримали відповідь:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> нормально розподілена з параметрами 0 і 1. Випадкові величини x1 і x2 незалежні і мають нормальні розподіли з параметрами а1, і а2, відповідно Довести, що x1 + x2 має нормальний розподіл Випадкові величини x1, x2, ... xn розподілені і незалежні і мають однакову функцію щільності розподілу

.

Знайти функцію розподілу та щільність розподілу величин:

а) h1 = min (x1, x2, ... xn); б) h(2) = max (x1, x2, ... xn)

Випадкові величини x1, x2, ... xn незалежні та рівномірно розподілені на відрізку [а, b]. Знайти функції розподілу та функції густини розподілу величин

x(1) = min (x1, x2, ... xn) і x (2) = max (x1, x2, ... xn).

Довести, що Мhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176".

Випадкова величина розподілена за законом Коші Знайти: а) коефіцієнт а; б) функцію розподілу; в) можливість потрапляння на інтервал (-1, 1). Показати, що математичне очікування x немає. Випадкова величина підпорядкована закону Лапласа з параметром l (l>0): Знайти коефіцієнт а; побудувати графіки щільності розподілу та функції розподілу; знайти Mx та Dx; знайти ймовірність подій (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Написати формулу для щільності розподілу, знайти Мx та Dx.

Обчислювальні завдання.

Випадкова точка А має у колі радіуса R рівномірний розподіл. Знайти математичне очікування та дисперсію відстані r точки до центру кола. Показати, що величина r2 рівномірно розподілена на відрізку .

Щільність розподілу випадкової величини має вигляд:

Обчислити константу C, функцію розподілу F(x), та ймовірність Щільність розподілу випадкової величини має вигляд:

Обчислити константу C, функцію розподілу F(x), та ймовірність Щільність розподілу випадкової величини має вигляд:
Обчислити константу C, функцію розподілу F(x), дисперсію та ймовірність Випадкова величина має функцію розподілу

Обчислити щільність випадкової величини, математичне очікування, дисперсію та ймовірність Перевірити, що функція =
може бути функцією розподілу випадкової величини. Знайти числові характеристики цієї величини: Mx та Dx. Випадкова величина рівномірно розподілена не відрізку. Виписати густину розподілу. Знайти функцію розподілу. Знайти ймовірність попадання випадкової величини на відрізок та на відрізок. Щільність розподілу x дорівнює

.

Знайти постійну с, щільність розподілу h = та ймовірність

Р (0,25

Час безвідмовної роботи ЕОМ розподілено за показовим законом із параметром l = 0,05 (відмови на годину), тобто має функцію щільності

р(х) = .

Вирішення певної задачі вимагає безвідмовної роботи машини протягом 15 хвилин. Якщо за час розв'язання завдання стався збій, то помилка виявляється лише після закінчення розв'язання, і завдання вирішується заново. Знайти: а) ймовірність того, що за час розв'язання задачі не станеться жодного збою; б) середній час, за який буде вирішено завдання.

Стрижень довжини 24 см ламають дві частини; будемо вважати, що точка зламу розподілена рівномірно по всій довжині стрижня. Чому дорівнює середня довжина більшої частини стрижня? Відрізок довжини 12 см випадково розрізається на дві частини. Крапка розрізу рівномірно розподілена по всій довжині відрізка. Чому дорівнює середня довжина малої частини відрізка? Випадкова величина рівномірно розподілена на відрізку. Знайти густину розподілу випадкової величини а) h1 = 2x + 1; б) h2 =-ln(1-x); в) h3 = .

Показати, що якщо x має безперервну функцію розподілу

F(x) = P(x

Знайти функцію щільності та функцію розподілу суми двох незалежних величин x та h c рівномірними законами розподілу на відрізках та відповідно. Випадкові величини x і h незалежні та рівномірно розподілені на відрізках та відповідно. Обчислити густину суми x+h. Випадкові величини x і h незалежні та рівномірно розподілені на відрізках та відповідно. Обчислити густину суми x+h. Випадкові величини x і h незалежні та рівномірно розподілені на відрізках та відповідно. Обчислити густину суми x+h. Випадкові величини незалежні і мають показовий розподіл із щільністю . Знайти густину розподілу їх суми. Знайти розподіл суми незалежних випадкових величин x і h де x має рівномірний на відрізку розподіл, а h має показовий розподіл з параметром l. Знайти Р якщо x має: а) нормальний розподіл з параметрами а і s2; б) показовий розподіл із параметром l; в) рівномірний розподіл на відрізку [-1; 1]. Спільний розподіл x, h є рівномірним у квадраті
К = (х, у): | х | +|у|£ 2). Знайти ймовірність . Чи є x та h незалежними? Пара випадкових величин x та h рівномірно розподілена всередині трикутника K=. Обчислити густину x і h. Чи ці випадкові величини є незалежними? Знайти ймовірність. Випадкові величини x і h незалежні та рівномірно розподілені на відрізках та [-1,1]. Знайти ймовірність. Двовимірна випадкова величина (x, h) рівномірно розподілена у квадраті з вершинами (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Знайти значення спільної функції розподілу у точці (1, -1). Випадковий вектор (x, h) рівномірно розподілено всередині кола радіусу 3 з центром на початку координат. Написати вираз для спільної густини розподілу. Визначити, чи залежать ці випадкові величини. Обчислити ймовірність. Пара випадкових величин x і h рівномірно розподілена всередині трапеції з вершинами у точках (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Знайти спільну щільність розподілу цієї пари випадкових величин і щільності складових. Чи залежать x і h? Випадкова пара (x, h) рівномірно розподілена всередині півкола. Знайти густини x і h, дослідити питання їх залежності. Спільна густина двох випадкових величин x і h дорівнює .
Знайти густину x, h. Дослідити питання залежності x і h. Випадкова пара (x, h) рівномірно розподілена на множині . Знайти густини x і h, дослідити питання їх залежності. Знайти М(xh). Випадкові величини x і h незалежні та розподілені за показовим законом із параметром Знайти

Щільністю розподілу ймовірностей Хназивають функцію f(x)- Першу похідну від функції розподілу F(x):

Поняття густини розподілу ймовірностей випадкової величини Хдля дискретної величини не застосовується.

Щільність розподілу ймовірностей f(x)– називають диференціальною функцією розподілу:

Властивість 1.Щільність розподілу – величина невід'ємна:

Властивість 2.Невласний інтеграл від щільності розподілу в межах від дорівнює одиниці:

приклад 1.25.Дано функцію розподілу безперервної випадкової величини Х:

f(x).

Рішення:Щільність розподілу дорівнює першій похідній від функції розподілу:

1. Дана функція розподілу безперервної випадкової величини Х:

Знайти густину розподілу.

2. Задано функцію розподілу безперервної випадкової величини Х:

Знайти густину розподілу f(x).

1.3. Числові характеристики безперервної випадкової

величини

Математичне очікуваннябезперервної випадкової величини Хможливі значення якої належать всій осі Ох, Визначається рівністю:

Передбачається, що інтеграл сходиться абсолютно.

a,b), то:

f(x)- Щільність розподілу випадкової величини.

Дисперсія безперервної випадкової величини Х, можливі значення якої належать всій осі, визначається рівністю:

Окремий випадок. Якщо значення випадкової величини належать до інтервалу ( a,b), то:

Імовірність того, що Хприйме значення, що належать інтервалу ( a,b), визначається рівністю:

.

приклад 1.26.Безперервна випадкова величина Х

Знайти математичне очікування, дисперсію та ймовірність попадання випадкової величини Хв інтервалі (0; 0,7).

Рішення:Випадкова величина розподілена на інтервалі (0,1). Визначимо густину розподілу безперервної випадкової величини Х:

а) Математичне очікування :

б) Дисперсія

в)

Завдання для самостійної роботи:

1. Випадкова величина Хзадана функцією розподілу:

M(x);

б) дисперсію D(x);

Хв інтервал (2,3).

2. Випадкова величина Х

Знайти: а) математичне очікування M(x);

б) дисперсію D(x);

в) визначити ймовірність влучення випадкової величини Хв інтервал (1; 1,5).

3. Випадкова величина Хзадана інтегральною функцією розподілу:

Знайти: а) математичне очікування M(x);

б) дисперсію D(x);

в) визначити ймовірність влучення випадкової величини Хв інтервал.

1.4. Закони розподілу безперервної випадкової величини

1.4.1. Рівномірний розподіл

Безперервна випадкова величина Хмає рівномірний розподіл на відрізку [ a,b], якщо на цьому відрізку щільність розподілу ймовірності випадкової величини постійна, а поза ним дорівнює нулю, тобто:

Рис. 4.

; ; .

приклад 1.27.Автобус деякого маршруту рухається поступово з інтервалом 5 хвилин. Знайти ймовірність того, що рівномірно розподілена випадкова величина Х- Час очікування автобуса складе менше 3 хвилин.

Рішення:Випадкова величина Х- Поступово розподілена на інтервалі.

Щільність ймовірності: .

Щоб час очікування не перевищив 3 хвилин, пасажир повинен з'явитися на зупинці в інтервалі від 2 до 5 хвилин після відходу попереднього автобуса, тобто. випадкова величина Хповинна потрапити до інтервалу (2;5). Т.о. ймовірність:

Завдання для самостійної роботи:

1. а) знайти математичне очікування випадкової величини Хрозподіленої рівномірно в інтервалі (2; 8);

б) знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х,розподіленої рівномірно в інтервалі (2; 8).

2. Хвилинна стрілка електричного годинника переміщається стрибком наприкінці кожної хвилини. Знайти ймовірність того, що в цю мить годинник покаже час, який відрізняється від істинного не більше ніж на 20 секунд.

1.4.2. Показовий (експоненційний) розподіл

Безперервна випадкова величина Хрозподілена за показовим законом, якщо її щільність ймовірності має вигляд:

де - Параметр показового розподілу.

Таким чином

Рис. 5.

Числові характеристики:

приклад 1.28.Випадкова величина Х- Час роботи електролампочки - має показовий розподіл. Визначити ймовірність того, що час роботи лампочки буде не менше 600 годин, якщо середній час роботи – 400 годин.

Рішення:За умовою завдання математичне очікування випадкової величини Хдорівнює 400 годин, отже:

;

Шукана ймовірність, де

Остаточно:

Завдання для самостійної роботи:

1. Написати щільність та функцію розподілу показового закону, якщо параметр .

2. Випадкова величина Х

Знайти математичне очікування та дисперсію величини Х.

3. Випадкова величина Хзадана функцією розподілу ймовірностей:

Знайти математичне очікування та середнє квадратичне відхилення випадкової величини.

1.4.3. Нормальний розподіл

Нормальнимназивають розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини Х, щільність якого має вигляд:

де а– математичне очікування, – середнє квадратичне відхилення Х.

Імовірність того, що Хприйме значення, що належить інтервалу:

, де

- Функція Лапласа.

Розподіл, у якого; , тобто. із щільністю ймовірності називається стандартним.

Рис. 6.

Імовірність того, що абсолютна величина відхилена менше позитивного числа:

.

Зокрема, при а= 0 справедлива рівність:

приклад 1.29.Випадкова величина Хрозподілено нормально. Середнє квадратичне відхилення. Знайти ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного очікування абсолютної величини буде менше 0,3.

Рішення: .

Завдання для самостійної роботи:

1. Написати щільність ймовірності нормального розподілу випадкової величини Хзнаючи, що M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Математичне очікування та середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини Хвідповідно дорівнюють 20 і 5. Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Хнабуде значення, укладене в інтервалі (15; 20).

3. Випадкові помилки вимірювання підпорядковані нормальному закону із середнім квадратичним відхиленням мм та математичним очікуванням а= 0. Знайти ймовірність того, що з 3 незалежних вимірів помилка хоча б одного не перевершить по абсолютній величині 4 мм.

4. Зважується деяка речовина без систематичних помилок. Випадкові помилки зважування підпорядковані нормальному закону із середнім квадратичним відхиленням р. Знайти ймовірність того, що зважування буде зроблено з помилкою, яка не перевищує абсолютної величини 10 г.

Випадковою величиною називається змінна, яка може приймати ті чи інші значення залежно від різних обставин, та випадкова величина називається безперервною , якщо вона може приймати будь-яке значення будь-якого обмеженого або необмеженого інтервалу. Для безперервної випадкової величини неможливо вказати всі можливі значення, тому позначають інтервали цих значень, пов'язані з певними ймовірностями.

Прикладами безперервних випадкових величин можуть бути: діаметр деталі, що обточується до заданого розміру, зростання людини, дальність польоту снаряда та ін.

Так як для безперервних випадкових величин функція F(x), на відміну від дискретних випадкових величин, ніде немає стрибків, то ймовірність будь-якого окремого значення безперервної випадкової величини дорівнює нулю.

Це означає, що з безперервної випадкової величини безглуздо говорити про розподілі ймовірностей між її значеннями: кожна їх має нульову ймовірність. Однак у певному сенсі серед значень безперервної випадкової величини є більш і менш ймовірні. Наприклад, навряд чи в когось виникне сумнів, що значення випадкової величини - зростання навмання зустрінутої людини - 170 см - більш ймовірно, ніж 220 см, хоча і одне, і інше значення можуть зустрітися на практиці.

Функція розподілу безперервної випадкової величини та щільність ймовірності

Як закон розподілу, що має сенс тільки для безперервних випадкових величин, вводиться поняття щільності розподілу або ймовірності. Підійдемо до нього шляхом порівняння сенсу функції розподілу для безперервної випадкової величини та дискретної випадкової величини.

Отже, функцією розподілу випадкової величини (як дискретної, так і безперервної) або інтегральною функцієюназивається функція , яка визначає ймовірність, що значення випадкової величини Xменше або дорівнює граничному значенню х.

Для дискретної випадкової величини у точках її значень x1 , x 2 , ..., x i ,...зосереджені маси ймовірностей p1 , p 2 , ..., p i ,..., причому сума всіх мас дорівнює 1. Перенесемо цю інтерпретацію у разі безперервної випадкової величини. Уявімо, що маса, що дорівнює 1, не зосереджена в окремих точках, а безперервно "розмазана" по осі абсцис Оxз якоюсь нерівномірною щільністю. Імовірність влучення випадкової величини на будь-яку ділянку Δ xінтерпретуватиметься як маса, що припадає на цю ділянку, а середня щільність на цій ділянці - як відношення маси до довжини. Щойно ми запровадили важливе поняття теорії ймовірностей: щільність розподілу.

Щільністю ймовірності f(x) безперервної випадкової величини називається похідна її функції розподілу:

.

Знаючи функцію щільності, можна знайти ймовірність того, що значення безперервної випадкової величини належить закритому інтервалу [ a; b]:

ймовірність того, що безперервна випадкова величина Xприйме якесь значення з інтервалу [ a; b], що дорівнює певному інтегралу від її щільності ймовірності в межах від aдо b:

.

При цьому загальна формула функції F(x) розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини, якою можна користуватися, якщо відома функція щільності f(x) :

.

Графік щільності ймовірності безперервної випадкової величини називається її кривою розподілу (мал. нижче).

Площа фігури (на малюнку заштрихована), обмеженою кривою, прямими, проведеними з крапок aі bперпендикулярно осі абсцис, і віссю Ох, графічно відображає ймовірність того, що значення безперервної випадкової величини Хзнаходиться в межах від aдо b.

Властивості функції густини ймовірності безперервної випадкової величини

1. Імовірність того, що випадкова величина набуде будь-якого значення з інтервалу (і площа фігури, яку обмежують графік функції) f(x) і вісь Ох) дорівнює одиниці:

2. Функція щільності ймовірності не може набувати негативних значень:

а поза існування розподілу її значення дорівнює нулю

Щільність розподілу f(x), як і функція розподілу F(x), одна із форм закону розподілу, але на відміну функції розподілу, вона універсальна: щільність розподілу існує лише безперервних випадкових величин.

Згадаємо про два найважливіших у практиці види розподілу безперервної випадкової величини.

Якщо функція щільності розподілу f(x) безперервної випадкової величини в деякому кінцевому інтервалі [ a; b] набуває постійного значення C, а за межами інтервалу набуває значення, що дорівнює нулю, таке розподіл називається рівномірним .

Якщо графік функції щільності розподілу симетричний щодо центру, середні значення зосереджені поблизу центру, а при віддаленні від центру збираються більш від середнього (графік функції нагадує розріз дзвона), то таке розподіл називається нормальним .

приклад 1.Відома функція розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини:

Знайти функцію f(x) густини ймовірності безперервної випадкової величини. Побудувати графіки обох функцій. Знайти ймовірність того, що безперервна випадкова величина набуде будь-якого значення в інтервалі від 4 до 8: .

Рішення. Функцію щільності ймовірності отримуємо, знаходячи похідну функції розподілу ймовірностей:

Графік функції F(x) - парабола:

Графік функції f(x) - пряма:

Знайдемо ймовірність того, що безперервна випадкова величина прийме якесь значення в інтервалі від 4 до 8:

приклад 2.Функція щільності ймовірності безперервної випадкової величини дана у вигляді:

Обчислити коефіцієнт C. Знайти функцію F(x) розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини. Побудувати графіки обох функцій. Знайти ймовірність того, що безперервна випадкова величина набуде будь-якого значення в інтервалі від 0 до 5: .

Рішення. Коефіцієнт Cзнайдемо, користуючись властивістю 1 функції щільності ймовірності:

Таким чином, функція щільності ймовірності безперервної випадкової величини:

Інтегруючи, знайдемо функцію F(x) розподілу ймовірностей. Якщо x < 0 , то F(x) = 0. Якщо 0< x < 10 , то

.

x> 10 , то F(x) = 1 .

Таким чином, повний запис функції розподілу ймовірностей:

Графік функції f(x) :

Графік функції F(x) :

Знайдемо ймовірність того, що безперервна випадкова величина прийме якесь значення в інтервалі від 0 до 5:

приклад 3.Щільність ймовірності безперервної випадкової величини Xзадана рівністю, при цьому. Знайти коефіцієнт Аймовірність того, що безперервна випадкова величина Xприйме якесь значення з інтервалу ]0, 5[, функцію розподілу безперервної випадкової величини X.

Рішення. За умовою приходимо до рівності

Отже, , звідки . Отже,

.

Тепер знаходимо ймовірність того, що безперервна випадкова величина Xприйме якесь значення з інтервалу ]0, 5[:

Тепер отримаємо функцію розподілу цієї випадкової величини:

приклад 4.Знайти густину ймовірності безперервної випадкової величини X, яка набуває лише невід'ємних значень, а її функція розподілу .