Закон розподілу випадкової величини x. Дискретна випадкова величина: приклади розв'язування задач
Х; значення F(5); ймовірність того, що випадкова величина Хприйме значення з відрізка. Побудувати багатокутник розподілу.
- Відома функція розподілу F(x) дискретної випадкової величини Х:
Поставити закон розподілу випадкової величини Хяк таблиці.
- Дано закон розподілу випадкової величини Х:
| Х | –28 | –20 | –12 | –4 | |
| p | 0,22 | 0,44 | 0,17 | 0,1 | 0,07 |
- Імовірність того, що в магазині є сертифікати якості для повного асортименту товарів, дорівнює 0,7. Комісія перевірила наявність сертифікатів у чотирьох магазинах району. Скласти закон розподілу, обчислити математичне очікуваннята дисперсію числа магазинів, у яких під час перевірки не виявлено сертифікатів якості.
- Для визначення середньої тривалості горіння електроламп у партії з 350 однакових ящиків було взято на перевірку по одній електролампі з кожної скриньки. Оцінити знизу ймовірність того, що середня тривалість горіння відібраних електроламп відрізняється від середньої тривалості горіння всієї партії за абсолютною величиною менше ніж на 7 годин, якщо відомо, що середнє квадратичне відхилення тривалості горіння електроламп у кожній ящику менше 9 годин.
- На телефонній станції неправильне з'єднання відбувається із ймовірністю 0,002. Знайти ймовірність того, що серед 500 з'єднань відбудеться:
Знайти функцію розподілу випадкової величини Х. Побудувати графіки функцій та . Обчислити математичне очікування, дисперсію, моду та медіану випадкової величини Х.
- Верстат-автомат виготовляє валики. Вважається, що їхній діаметр – нормально розподілена випадкова величина із середнім значенням 10мм. Чому дорівнює середнє квадратичне відхилення, якщо з ймовірністю 0,99 діаметр ув'язнений в інтервалі від 9,7 мм до 10,3 мм.
Вибірка А: 6 9 7 6 4 4
Вибірка В: 55 72 54 53 64 53 59 48
42 46 50 63 71 56 54 59
54 44 50 43 51 52 60 43
50 70 68 59 53 58 62 49
59 51 52 47 57 71 60 46
55 58 72 47 60 65 63 63
58 56 55 51 64 54 54 63
56 44 73 41 68 54 48 52
52 50 55 49 71 67 58 46
50 51 72 63 64 48 47 55
Варіант 17.
- Серед 35 деталей 7 нестандартних. Знайти ймовірність того, що дві навмання взяті деталі виявляться стандартними.
- Кидають три гральні кістки. Знайти ймовірність того, що сума очок на гранях, що випали, кратна 9.
- Слово «ПРИЄМСТВО» складено з карток, на кожній з яких написана одна літера. Картки перемішують і виймають без повернення по одній. Знайти ймовірність того, що літери, що виймаються, в порядку появи утворюють слово: а) ПРИГОД; б) ПЛЕН.
- У урні міститься 6 чорних та 5 білих куль. Випадковим чином виймають 5 кульок. Знайти ймовірність того, що серед них є:
- 2 білі кулі;
- менше ніж 2 білі кулі;
- хоча б одна чорна куля.
- Ав одному випробуванні дорівнює 0,4. Знайти ймовірність наступних подій:
- подія Аз'явиться 3 рази у серії з 7 незалежних випробувань;
- подія Аз'явиться не менше 220 і не більше 235 разів у серії із 400 випробувань.
- Завод надіслав на базу 5000 доброякісних виробів. Імовірність пошкодження кожного виробу на шляху дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що у дорозі буде пошкоджено не більше трьох виробів.
- У першій урні 4 білих та 9 чорних куль, а в другій урні 7 білих та 3 чорних кулі. З першої скриньки випадковим чином виймають 3 кулі, а з другої скриньки – 4. Знайти ймовірність того, що всі вийняті кулі одного кольору.
- Дано закон розподілу випадкової величини Х:
Обчислити її математичне очікування та дисперсію.
- У коробці лежать 10 олівців. Навмання витягується 4 олівці. Випадкова величина Х- Число синіх олівців серед відібраних. Знайти закон її розподілу, початковий та центральні моменти 2-го та 3-го порядків.
- Відділ технічного контролю перевіряє 475 виробів на шлюб. Імовірність того, що бракований виріб дорівнює 0,05. Знайти з ймовірністю 0,95 кордону, у яких буде укладено кількість бракованих виробів серед перевірених.
- На телефонній станції неправильне з'єднання відбувається із ймовірністю 0,003. Знайти ймовірність того, що серед 1000 з'єднань відбудеться:
- хоча б 4 неправильні сполуки;
- більше двох неправильних з'єднань.
- Випадкова величина задана функцією щільності розподілу:
Знайти функцію розподілу випадкової величини Х. Побудувати графіки функцій та . Обчислити математичне очікування, дисперсію, моду та медіану випадкової величини Х.
- Випадкова величина задана функцією розподілу:
- За вибіркою Авирішити такі завдання:
- скласти варіаційний ряд;
· Вибіркове середнє;
· Вибіркову дисперсію;
Моду та медіану;
Вибірка А: 0 0 2 2 1 4
- обчислити числові характеристики варіаційного ряду:
· Вибіркове середнє;
· Вибіркову дисперсію;
· Стандартне вибіркове відхилення;
· Моду та медіану;
Вибірка В: 166 154 168 169 178 182 169 159
161 150 149 173 173 156 164 169
157 148 169 149 157 171 154 152
164 157 177 155 167 169 175 166
167 150 156 162 170 167 161 158
168 164 170 172 173 157 157 162
156 150 154 163 143 170 170 168
151 174 155 163 166 173 162 182
166 163 170 173 159 149 172 176
Варіант 18.
- Серед 10 лотерейних квитків 2 є виграшними. Знайти ймовірність того, що з взятих навмання п'яти квитків один виявиться виграшним.
- Кидають три гральні кістки. Знайти ймовірність того, що сума очок, що випали, більше 15.
- Слово «ПЕРИМЕТР» складено з карток, на кожній з яких написано одну літеру. Картки перемішують і виймають без повернення по одній. Знайти ймовірність того, що літери, що виймаються, утворюють слово: а) ПЕРИМЕТР; б) МЕТР.
- У урні міститься 5 чорних та 7 білих куль. Випадковим чином виймають 5 кульок. Знайти ймовірність того, що серед них є:
- 4 білі кулі;
- менше ніж 2 білі кулі;
- хоча б одна чорна куля.
- Ймовірність настання події Ав одному випробуванні дорівнює 0,55. Знайти ймовірність наступних подій:
- подія Аз'явиться 3 рази на серії з 5 випробувань;
- подія Аз'явиться не менше 130 та не більше 200 разів у серії з 300 випробувань.
- Імовірність порушення герметичності банки консервів дорівнює 0,0005. Знайти ймовірність того, що серед 2000 банок дві виявляться з порушенням герметичності.
- У першій урні 4 білих та 8 чорних куль, а в другій урні 7 білих та 4 чорних кулі. З першої урни випадковим чином виймають 2 кулі та з другої урни випадковим чином виймають по три кулі. Знайти ймовірність того, що всі вийняті кулі одного кольору.
- Серед деталей, що надходять на складання, з першого верстата 0,1% бракованих, з другого – 0,2%, з третього – 0,25%, з четвертого – 0,5%. Продуктивності верстатів відносяться відповідно до 4:3:2:1. Взята навмання деталь виявилася стандартною. Знайти ймовірність того, що деталь виготовлена на першому верстаті.
- Дано закон розподілу випадкової величини Х:
Обчислити її математичне очікування та дисперсію.
- У електромонтера три лампочки, кожна з яких має дефект з ймовірністю 0,1. Лампочки вкручуються в патрон і включається струм. При включенні струму дефектна лампочка відразу ж перегорає та замінюється іншою. Знайти закон розподілу, математичне очікування та дисперсію числа випробуваних лампочок.
- Імовірність ураження мети дорівнює 0,3 при кожному з 900 незалежних пострілів. Користуючись нерівністю Чебишева, оцінити ймовірність того, що ціль буде вражена не менше 240 разів і не більше 300 разів.
- На телефонній станції неправильне з'єднання відбувається із ймовірністю 0,002. Знайти ймовірність того, що серед 800 з'єднань відбудеться:
- хоча б три неправильні сполуки;
- більш ніж чотири неправильних з'єднань.
- Випадкова величина задана функцією щільності розподілу:
Знайти функцію розподілу випадкової величини Х. Побудувати графіки функцій та . Обчислити математичне очікування, дисперсію, моду та медіану випадкової величини Х.
- Випадкова величина задана функцією розподілу:
- За вибіркою Авирішити такі завдання:
- скласти варіаційний ряд;
- обчислити відносні та накопичені частоти;
- скласти емпіричну функцію розподілу та побудувати її графік;
- обчислити числові характеристики варіаційного ряду:
· Вибіркове середнє;
· Вибіркову дисперсію;
· Стандартне вибіркове відхилення;
· Моду та медіану;
Вибірка А: 4 7 6 3 3 4
- За вибіркою вирішити наступні завдання:
- скласти групований варіаційний ряд;
- побудувати гістограму та полігон частот;
- обчислити числові характеристики варіаційного ряду:
· Вибіркове середнє;
· Вибіркову дисперсію;
· Стандартне вибіркове відхилення;
· Моду та медіану;
Вибірка В: 152 161 141 155 171 160 150 157
154 164 138 172 155 152 177 160
168 157 115 128 154 149 150 141
172 154 144 177 151 128 150 147
143 164 156 145 156 170 171 142
148 153 152 170 142 153 162 128
150 146 155 154 163 142 171 138
128 158 140 160 144 150 162 151
163 157 177 127 141 160 160 142
159 147 142 122 155 144 170 177
Варіант 19.
1. На ділянці працюють 16 жінок та 5 чоловіків. За табельними номерами відібрано навмання 3 особи. Знайти ймовірність того, що всі відібрані люди будуть чоловіками.
2. Кидають чотири монети. Знайти ймовірність, що тільки на двох монетах з'явиться «герб».
3. Слово "ПСИХОЛОГІЯ" складено з карток, на кожній з яких написана одна літера. Картки перемішують і виймають без повернення по одній. Знайти ймовірність того, що літери, що виймаються, утворюють слово: а) ПСИХОЛОГІЯ; б) ПОСОХ.
4. У урні міститься 6 чорних та 7 білих куль. Випадковим чином виймають 5 кульок. Знайти ймовірність того, що серед них є:
a. 3 білі кулі;
b. менше ніж 3 білі кулі;
c. хоча б одна біла куля.
5. Імовірність настання події Ав одному випробуванні дорівнює 0,5. Знайти ймовірність наступних подій:
a. подія Аз'явиться 3 рази на серії з 5 незалежних випробувань;
b. подія Аз'явиться не менше 30 і не більше 40 разів у серії із 50 випробувань.
6. Є 100 верстатів однакової потужності, які працюють незалежно один від одного в однаковому режимі, при якому їхній привід виявляється включеним протягом 0,8 робочого часу. Яка ймовірність того, що в довільний момент часу виявляться включеними від 70 до 86 верстатів?
7. У першій урні 4 білих та 7 чорних куль, а у другій урні 8 білих та 3 чорних кулі. З першої урни випадковим чином виймають 4 кулі, та якщо з другої – 1 кулю. Знайти ймовірність того, що серед вийнятих куль лише 4 чорні кулі.
8. До салону продажу автомобілів щодня надходять автомобілі трьох марок в об'ємах: «Москвич» – 40%; "Ока" - 20%; "Волга" - 40% від усіх привезених машин. Серед машин марки "Москвич" 0,5% мають протиугінний пристрій, "Ока" - 0,01%, "Волга" - 0,1%. Знайти ймовірність того, що взята для перевірки машина має протиугінний пристрій.
9. На відрізку навмання обрані числа та . Знайти ймовірність того, що ці числа задовольняють нерівності.
10. Даний закон розподілу випадкової величини Х:
| Х | ||||
| p | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
Знайти функцію розподілу випадкової величини Х; значення F(2); ймовірність того, що випадкова величина Хприйме значення з інтервалу. Побудувати багатокутник розподілу.
ЗАКОН РОЗПОДІЛУ ТА ХАРАКТЕРИСТИКИ
ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН
Випадкові величини, їх класифікація та способи опису.
Випадковою називається величина, яка в результаті досвіду може набувати того чи іншого значення, але яке саме заздалегідь не відомо. Для випадкової величини, таким чином, можна вказати лише значення, одне з яких вона обов'язково прийме в результаті досвіду. Ці значення надалі називатимемо можливими значеннями випадкової величини. Оскільки випадкова величина кількісно характеризує випадковий результат досвіду, може розглядатися як кількісна характеристика випадкового події.
Випадкові величини зазвичай позначаються великими літерамилатинського алфавіту, наприклад, X..Y..Z, які можливі значення- відповідними малими буквами.
Розрізняють три типи випадкових величин:
Дискретні; Безперервні; Змішані.
Дискретноюназивається така випадкова величина, число можливих значень якої утворює лічильну множину. У свою чергу, лічильним називається безліч, елементи якого можна пронумерувати. Слово «дискретний» походить від латинського discretus, що означає «переривчастий, що складається з окремих частин».
Приклад 1. Дискретною випадковою величиною є число бракованих деталей Х партії з nтук. Справді, можливими значеннями цієї випадкової величини є цілих чисел від 0 до n.
Приклад 2. Дискретною випадковою величиною є число пострілів до першого влучення в ціль. Тут, як і в прикладі 1, можливі значення можна пронумерувати, хоча в граничному випадку можливе значення нескінченно великим числом.
Безперервнийназивається випадкова величина, можливі значення якої безперервно заповнюють деякий інтервал числової осі, іноді званий інтервалом існування цієї випадкової величини. Таким чином, на будь-якому кінцевому інтервалі існування число можливих значень безперервної випадкової величини нескінченно велике.
Приклад 3. Безперервною випадковою величиною є витрата електроенергії для підприємства протягом місяця.
Приклад 4. Безперервною випадковою величиною є помилка виміру висоти за допомогою висотоміру. Нехай із принципу роботи висотоміра відомо, що помилка лежить у межах від 0 до 2 м. Тому інтервалом існування цієї випадкової величини є інтервал від 0 до 2 м.
Закон розподілу випадкових величин.
Випадкова величина вважається повністю заданою, якщо на числовій осі вказано її можливі значення та встановлено закон розподілу.
Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними ймовірностями.
Про випадкову величину говорять, що вона розподілена за цим законом, чи підпорядкована цьому закону розподілу. Як закони розподілу використовуються ряд ймовірностей, функція розподілу, щільність ймовірності, характеристична функція.
Закон розподілу дає повний ймовірний опис випадкової величини. За законом розподілу можна судити до досвіду про те, які можливі значення випадкової величини з'являтимуться частіше, а які – рідше.
Для дискретної випадкової величини закон розподілу може бути заданий у вигляді таблиці, аналітично (як формули) і графічно.
Найпростішою формою завдання закону розподілу дискретної випадкової величини є таблиця (матриця), у якій перелічені порядку зростання всі можливі значення випадкової величини і відповідні їх ймовірності, тобто.
Така таблиця називається рядом розподілу дискретної випадкової величини. 1
Події Х 1 , Х 2 ,..., Х n , які в тому, що в результаті випробування випадкова величина X прийме відповідно значення х 1 , x 2 ,... х n є несумісними і єдино можливими (бо в таблиці перераховані всі можливі значення випадкової величини), тобто. утворюють повну групу. Отже, сума їх ймовірностей дорівнює 1. Таким чином, для будь-якої дискретної випадкової величини
(Ця одиниця якось розподілена між значеннями випадкової величини, звідси термін «розподіл»).
Ряд розподілу може бути зображений графічно, якщо осі абсцис відкладати значення випадкової величини, а по осі ординат - відповідні їх ймовірності. З'єднання отриманих точок утворює ламану, яка називається багатокутником або полігоном розподілу ймовірностей (рис. 1).
прикладУ лотереї розігрується: автомобіль вартістю 5000 грош. од., 4 телевізори вартістю 250 ден. од., 5 відеомагнітофонів вартістю 200 ден. од. Усього продається 1000 квитків по 7 ден. од. Скласти закон розподілу чистого виграшу, отриманого учасником лотереї, який купив один квиток.
Рішення. Можливі значення випадкової величини X - чистого виграшу однією квиток - рівні 0-7 = -7 ден. од. (якщо квиток не виграв), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. од. (якщо на квиток випав виграш відповідно до відеомагнітофона, телевізора або автомобіля). Враховуючи, що з 1000 квитків кількість тих, хто не виграв, становить 990, а вказаних виграшів відповідно 5, 4 і 1, і використовуючи класичне визначенняймовірності, отримаємо.
Установа освіти «Білоруська державна
сільськогосподарська академія»
Кафедра вищої математики
Методичні вказівки
з вивчення теми «Випадкові величини» студентами бухгалтерського факультету заочної форми здобуття освіти (НДСПО)
Гірки, 2013
Випадкові величини
Дискретні та безперервні випадкові величини
Одним із основних понять у теорії ймовірностей є поняття випадкової величини . Випадковою величиною називається величина, яка в результаті випробування з безлічі можливих своїх значень набуває лише одного, причому заздалегідь невідомо, яке саме.
Випадкові величини бувають дискретними та безперервними . Дискретною випадковою величиною (ДСВ) називається випадкова величина, яка може набувати кінцевого числа ізольованих один про одного значень, тобто. якщо можливі значення цієї величини можна перерахувати. Безперервною випадковою величиною (НСВ) називається випадкова величина, всі можливі значення якої часто заповнюють деякий проміжок числової прямої.
Випадкові величини позначаються великими літерами латинського алфавіту X, Y, Z тощо. Можливі значення випадкових величин позначаються відповідними літерами.
Запис 
означає «імовірність того, що випадкова величина Хнабуде значення, що дорівнює 5, дорівнює 0.28».
Приклад 1 . Одного разу кидають гральний кубик. При цьому можуть випасти цифри від 1 до 6, що позначають кількість очок. Позначимо випадкову величину Х=(число очок, що випали). Ця випадкова величина в результаті випробування може прийняти лише одне із шести значень: 1, 2, 3, 4, 5 або 6. Отже, випадкова величина Хє ДСВ.
Приклад 2 . При киданні каменю він пролітає певну відстань. Позначимо випадкову величину X= (Відстань польоту каменю). Ця випадкова величина може прийняти будь-яке, але тільки одне значення з деякого проміжку. Отже, випадкова величина Хє НСВ.
Закон розподілу дискретної випадкової величини
Дискретна випадкова величина характеризується значеннями, які вона може набувати, і ймовірностями, з якими ці значення набувають. Відповідність між можливими значеннями дискретної випадкової величини та відповідними їм ймовірностями називається законом розподілу дискретної випадкової величини .
Якщо відомі всі можливі значення 
випадкової величини Хта ймовірності 
появи цих значень, то вважають, що закон розподілу ДСВХвідомий і він може бути записаний у вигляді таблиці:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Закон розподілу ДСВ можна зобразити графічно, якщо у прямокутній системі координат зобразити точки 
,
,
…,
та з'єднати їх відрізками прямих ліній. Отримана постать називається багатокутником розподілу.
Приклад 3 . У зерні, призначеному для очищення, міститься 10% бур'янів. Навмання відібрано 4 зерна. Позначимо випадкову величину X=(кількість бур'янів серед чотирьох відібраних). Побудувати закон розподілу ДСВ Хта багатокутник розподілу.
Рішення . За умовою прикладу. Тоді:
Запишемо закон розподілу ДСВ Х у вигляді таблиці та побудуємо багатокутник розподілу:
|
|
Математичне очікування дискретної випадкової величини
Найважливіші властивості дискретної випадкової величини описуються її характеристиками. Однією з таких характеристик є математичне очікування довільної величини.
Нехай відомий закон розподілу ДСВ Х:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Математичним очікуванням
ДСВ Хназивається сума творів кожного значення цієї величини на відповідну ймовірність: 
.
Математичне очікування випадкової величини приблизно дорівнює середньому арифметичному всіх її значень. Тому в практичних завданнях часто за математичне очікування набувають середнього значення цієї випадкової величини.
приклад 8 . Стрілець вибиває 4, 8, 9 та 10 очок з ймовірностями 0.1, 0.45, 0.3 та 0.15. Знайти математичне очікування числа очок за одного пострілу.
Рішення . Позначимо випадкову величину X= (кількість вибитих очок). Тоді. Таким чином, очікуване середнє значення числа вибитих очок при одному пострілі дорівнює 8.2, а при 10 пострілах - 82.
Основними властивостями математичного очікування є:
.
.
, де 
,
.
.
, де Хі Y- Незалежні випадкові величини.
Різниця 
називається відхиленням
випадкової величини Хвід її математичного очікування. Ця різниця є випадковою величиною та її математичне очікування дорівнює нулю, тобто. 
.
Дисперсія дискретної випадкової величини
Для характеристики випадкової величини, крім математичного очікування, використовується і дисперсія , що дозволяє оцінити розсіювання (розкид) значень випадкової величини в її математичного очікування. При порівнянні двох однорідних випадкових величин із рівними математичними очікуваннями «кращою» вважається та величина, що має менший розкид, тобто. меншу дисперсію.
Дисперсією випадкової величини Хназивається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування: .
У практичних завданнях для обчислення дисперсії використовують рівносильну формулу.
Основними властивостями дисперсії є:
.
Xзадана законом розподілу ймовірностей: Тоді її середнє квадратичне відхиленняодно … 0,80
Рішення:
Середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х визначається як 
де дисперсію дискретної випадкової величини можна обчислити за формулою .Тоді , а 
Рішення:
A(вийнятий навмання куля - чорний) застосуємо формулу повної ймовірності: .Тут ймовірність того, що з першої урни переклали в другу урну білу кулю; - Імовірність того, що з першої урни переклали в другу урну чорну кулю; - умовна ймовірність того, що вийнята чорна куля, якщо з першої урни в другу була перекладена біла куля; - умовна ймовірність того, що вийнята чорна куля, якщо з першої урни в другу була перекладена чорна куля.
Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу ймовірностей: Тоді ймовірність 
дорівнює …
Рішення:
Дисперсію дискретної випадкової величини можна обчислити за такою формулою. Тоді
Або. Вирішивши останнє рівняння, отримуємо два корені та
Тема: Визначення ймовірності
У партії із 12 деталей є 5 бракованих. Навмання відібрано три деталі. Тоді ймовірність того, що серед відібраних деталей немає придатних, дорівнює…
Рішення:
Для обчислення події А (серед відібраних деталей немає придатних) скористаємося формулою де n m- Число елементарних результатів, сприяють появі події А. нашому випадку загальне числоможливих елементарних результатів дорівнює числу способів, якими можна витягти три деталі з 12, що мають, тобто .
А загальна кількість сприятливих наслідків дорівнює числу способів, якими можна отримати три браковані деталі з п'яти, тобто . 
Банк видає 44% усіх кредитів юридичних осіб, а 56% – фізичних осіб. Імовірність того, що юридична особане погасить у строк кредит, що дорівнює 0,2; а для фізичної особи ця можливість становить 0,1. Тоді ймовірність того, що черговий кредит буде погашено у строк, дорівнює…
| 0,856 |
Рішення:
Для обчислення ймовірності події A(Виданий кредит буде погашено вчасно) застосуємо формулу повної ймовірності: . Тут – ймовірність того, що кредит було видано юридичній особі; - Імовірність того, що кредит був виданий фізичній особі; – умовна ймовірність того, що кредит буде погашено у строк, якщо він був виданий юридичній особі; – умовна ймовірність того, що кредит буде погашено у строк, якщо він був виданий фізичній особі. Тоді 
Тема: Закони розподілу ймовірностей дискретних випадкових величин
Для дискретної випадкової величини Х 
| 0,655 |
Тема: Визначення ймовірності
Гральна кістка кидається двічі. Тоді ймовірність того, що сума очок, що випали, не менше дев'яти, дорівнює …
Рішення:
Для обчислення події (сума очок, що випали, буде не менше дев'яти) скористаємося формулою , де – загальна кількість можливих елементарних результатів випробування, а m– число елементарних результатів, які сприяють появі події A. У нашому випадку можливі 
елементарних результатів випробування, у тому числі сприятливими є результати виду , , , , , , , і , тобто . Отже, 
Тема: Закони розподілу ймовірностей дискретних випадкових величин
функція розподілу ймовірностей має вигляд: 
Тоді значення параметра може дорівнювати …
| 0,7 | |||
| 0,85 | |||
| 0,6 |
Рішення:
За визначенням 
. Отже, і . Цим умовам задовольняє, наприклад, значення
Тема: Числові характеристики випадкових величин
Безперервна випадкова величина задана функцією розподілу ймовірностей: 
Тоді її дисперсія дорівнює …
Рішення:
Ця випадкова величина розподілена рівномірно в інтервалі. Тоді її дисперсію можна вирахувати за формулою 
. Тобто 
Тема: Повна імовірність. Формули Байєса
У першій урні 6 чорних куль і 4 білих кулі. У другій урні 2 білих та 8 чорних куль. З навмання взятої урни вийняли одну кулю, яка виявилася білою. Тоді ймовірність того, що цю кулю вийняли з першої урни, дорівнює…
Рішення:
A(Вийнята навмання куля - білий) за формулою повної ймовірності: . Тут - ймовірність того, що кулю вилучено з першої урни; - Імовірність того, що кулю витягнуто з другої урни; - умовна ймовірність того, що вийнята куля біла, якщо вона витягнута з першої урни; - умовна ймовірність того, що вийнята біла куля, якщо вона витягнута з другої урни.
Тоді 
.
Тепер обчислимо умовну ймовірність того, що ця куля була витягнута з першої урни, за формулою Байєса: 
Тема: Числові характеристики випадкових величин
Дискретна випадкова величина Xзадана законом розподілу ймовірностей: 
Тоді її дисперсія дорівнює …
| 7,56 | |||
| 3,2 | |||
| 3,36 | |||
| 6,0 |
Рішення:
Дисперсію дискретної випадкової величини можна обчислити за формулою
Тема: Закони розподілу ймовірностей дискретних випадкових величин
Рішення:
За визначенням . Тоді
а) при , ,
б) при , ,
у При , ,
г) при , ,
д) при , .
Отже,
Тема: Визначення ймовірності
Всередину кола радіуса 4 навмання кинута крапка. Тоді ймовірність того, що точка виявиться поза вписаним у коло квадратом, дорівнює …
Тема: Визначення ймовірності
У партії із 12 деталей є 5 бракованих. Навмання відібрано три деталі. Тоді ймовірність того, що серед відібраних деталей немає бракованих, дорівнює…
Рішення:
Для обчислення події (серед відібраних деталей немає бракованих) скористаємося формулою , де n- загальна кількість можливих елементарних результатів випробування, а m- Число елементарних результатів, що сприяють появі події . У нашому випадку загальна кількість можливих елементарних результатів дорівнює числу способів, якими можна отримати три деталі з 12, що мають, тобто . А загальна кількість сприятливих результатів дорівнює кількості способів, якими можна витягти три небраковані деталі з семи, тобто . Отже, 
Тема: Повна імовірність. Формули Байєса
| 0,57 | |||
| 0,43 | |||
| 0,55 | |||
| 0,53 |
Рішення:
Для обчислення ймовірності події A
Тоді 
Тема: Закони розподілу ймовірностей дискретних випадкових величин
Дискретна випадкова величина задана законом розподілу ймовірностей:
Тоді ймовірність 
дорівнює …
Рішення:
Скористаємося формулою 
. Тоді 
Тема: Повна імовірність. Формули Байєса
| 0,875 | |||
| 0,125 | |||
| 0,105 | |||
| 0,375 |
Рішення:
Попередньо обчислимо ймовірність події A 
.
.
Тема: Числові характеристики випадкових величин
Тоді її математичне очікування дорівнює …
Рішення:
Скористаємося формулою . Тоді .
Тема: Визначення ймовірності
Рішення:
Тема: Числові характеристики випадкових величин
Безперервна випадкова величина задана щільністю розподілу ймовірностей 
. Тоді математичне очікування aі середнє квадратичне відхилення цієї випадкової величини дорівнюють …
 |
|||
 |
|||
 |
|||
 |
Рішення:
Щільність розподілу ймовірностей нормально розподіленої випадкової величини має вигляд 
де , . Тому .
Тема: Закони розподілу ймовірностей дискретних випадкових величин
Дискретна випадкова величина задана законом розподілу ймовірностей:
Тоді значення aі bможуть бути рівні …
 |
|||
 |
|||
 |
|||
 |
Рішення:
Оскільки сума ймовірностей можливих значень дорівнює 1, то . Цій умові задовольняє відповідь: .
Тема: Визначення ймовірності
У коло радіуса 8 вміщено менший коло радіуса 5. Тоді ймовірність того, що точка, навмання кинута в більший круг, потрапить також і в менший круг, що дорівнює ...
Рішення:
Для обчислення ймовірності шуканої події скористаємося формулою , де площа меншого кола, а площа більшого кола. Отже, .
Тема: Повна імовірність. Формули Байєса
У першій урні 3 чорні кулі та 7 білих куль. У другій урні 4 білих кулі та 5 чорних куль. З першої скриньки переклали одну кулю в другу скриньку. Тоді ймовірність того, що куля, вийнята навмання з другої урни, буде білою, дорівнює …
| 0,47 | |||
| 0,55 | |||
| 0,35 | |||
| 0,50 |
Рішення:
Для обчислення ймовірності події A(Вийнятий навмання куля - білий) застосуємо формулу повної ймовірності: . Тут – ймовірність того, що з першої урни переклали у другу урну білу кулю; - Імовірність того, що з першої урни переклали в другу урну чорну кулю; - умовна ймовірність того, що вийнята біла куля, якщо з першої урни в другу була перекладена біла куля; - умовна ймовірність того, що вийнята біла куля, якщо з першої урни в другу була перекладена чорна куля.
Тоді 
Тема: Закони розподілу ймовірностей дискретних випадкових величин
Для дискретної випадкової величини:
функція розподілу ймовірностей має вигляд:
Тоді значення параметра може дорівнювати …
| 0,7 | |||
| 0,85 | |||
| 0,6 |
ЗАВДАННЯ N 10 повідомити про помилку
Тема: Повна імовірність. Формули Байєса
Банк видає 70% усіх кредитів юридичних осіб, а 30% – фізичних осіб. Імовірність того, що юридична особа не погасить у строк кредит, дорівнює 0,15; а для фізичної особи ця можливість становить 0,05. Отримано повідомлення про неповернення кредиту. Тоді ймовірність того, що цей кредит не погасила юридична особа, дорівнює…
| 0,875 | |||
| 0,125 | |||
| 0,105 | |||
| 0,375 |
Рішення:
Попередньо обчислимо ймовірність події A(Виданий кредит нічого очікувати погашено вчасно) за такою формулою повної вероятности: . Тут – ймовірність того, що кредит було видано юридичній особі; - Імовірність того, що кредит був виданий фізичній особі; - умовна ймовірність того, що кредит не буде погашений у строк, якщо він був виданий юридичній особі; - умовна ймовірність того, що кредит не буде погашений у строк, якщо він був виданий фізичній особі. Тоді .
Тепер обчислимо умовну ймовірність того, що цей кредит не погасила юридична особа за формулою Байєса: .
ЗАВДАННЯ N 11 повідомити про помилку
Тема: Визначення ймовірності
У партії із 12 деталей є 5 бракованих. Навмання відібрано три деталі. Тоді ймовірність того, що серед відібраних деталей немає придатних, дорівнює…
Рішення:
Для обчислення події (серед відібраних деталей немає придатних) скористаємося формулою , де n- загальна кількість можливих елементарних результатів випробування, а m- Число елементарних результатів, що сприяють появі події . У нашому випадку загальна кількість можливих елементарних результатів дорівнює числу способів, якими можна отримати три деталі з 12, що мають, тобто . А загальна кількість сприятливих наслідків дорівнює числу способів, якими можна отримати три браковані деталі з п'яти, тобто . Отже,
ЗАВДАННЯ N 12 повідомити про помилку
Тема: Числові характеристики випадкових величин
Безперервна випадкова величина задана щільністю розподілу ймовірностей: 
Тоді її дисперсія дорівнює …
Рішення:
Дисперсію безперервної випадкової величини можна обчислити за формулою
Тоді 
Тема: Закони розподілу ймовірностей дискретних випадкових величин
Дискретна випадкова величина задана законом розподілу ймовірностей:
Тоді її функція розподілу ймовірностей має вигляд …
| |
|||
 |
|||
 |
|||
 |
Рішення:
За визначенням . Тоді
а) при , ,
б) при , ,
у При , ,
г) при , ,
д) при , .
Отже, 
Тема: Повна імовірність. Формули Байєса
Є три урни, що містять по 5 білих і 5 чорних куль, і сім урн, що містять по 6 білих і 4 чорні кулі. З удачу взятої урни витягується одна куля. Тоді ймовірність того, що ця куля біла, дорівнює …
| 0,57 | |||
| 0,43 | |||
| 0,55 | |||
| 0,53 |
Рішення:
Для обчислення ймовірності події A(Вийнятий навмання куля - білий) застосуємо формулу повної ймовірності: . Тут - ймовірність того, що кулю вилучено з першої серії урн; - Імовірність того, що кулю витягнуто з другої серії урн; - умовна ймовірність того, що вийнята куля біла, якщо з неї витягнуто з першої серії урн; – умовна ймовірність того, що вийнята куля біла, якщо з неї витягнуто з другої серії урн.
Тоді .
Тема: Закони розподілу ймовірностей дискретних випадкових величин
Дискретна випадкова величина задана законом розподілу ймовірностей:
Тоді ймовірність дорівнює …
Тема: Визначення ймовірності
Гральна кістка кидається двічі. Тоді ймовірність того, що сума очок, що випали - десять, дорівнює ...
Можна виділити закони розподілу дискретних випадкових величин, що найчастіше зустрічаються:
- Біноміальний закон розподілу
- Пуасонівський закон розподілу
- Геометричний закон розподілу
- Гіпергеометричний закон розподілу
Для даних розподілів дискретних випадкових величин розрахунок ймовірностей їх значень, а також числових характеристик (математичне очікування, дисперсія тощо) здійснюється за певними формулами. Тому дуже важливо знати ці типи розподілів та їх основні властивості.
1. Біноміальний закон розподілу.
Дискретна випадкова величина $X$ підпорядкована біноміальному законурозподілу ймовірностей, якщо вона приймає значення $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ з ймовірностями $P\left(X=k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left( 1-p\right))^(n-k)$. Фактично, випадкова величина $X$ - це кількість появи події $A$ у $n$ незалежних випробувань. Закон розподілу ймовірностей випадкової величини $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(array)$
Для такої випадкової величини математичне очікування $ M \ left (X \ right) = np $, дисперсія $ D \ left (X \ right) = np \ left (1-p \ right) $.
приклад . У сім'ї двоє дітей. Вважаючи ймовірність народження хлопчика і дівчинки рівними $0,5$, знайти закон розподілу випадкової величини $xi $ - числа хлопчиків у сім'ї.
Нехай випадкова величина $ xi $ - число хлопчиків у сім'ї. Значення, які може приймати $ xi: 0, 1, 2 $. Імовірності цих значень можна знайти за формулою $P\left(\xi =k\right) = C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$, де $n =2$ - кількість незалежних випробувань, $p=0,5$ - ймовірність появи події у серії з $n$ випробувань. Отримуємо:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5) ^ 2 = 0,25;
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5 = 0,5;
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5) ^ 2 = 0,25.
Тоді закон розподілу випадкової величини $\xi$ є відповідністю між значеннями $0,\1,\2$ та їх ймовірностями, тобто:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(array)$
Сума ймовірностей у законі розподілу має дорівнювати $1$, тобто $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((rm i)))=0,25+0,5+0, 25 = 1 $.
Математичне очікування $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, дисперсія $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0,5\cdot 0,5=0,5$, середнє квадратичне відхилення $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5 ) \ approx 0,707 $.
2. Закон розподілу Пуассона.
Якщо дискретна випадкова величина $X$ може приймати тільки цілі невід'ємні значення $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ з ймовірностями $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
Зауваження. Особливість цього розподілу полягає в тому, що ми на підставі досвідчених даних знаходимо оцінки $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, якщо отримані оцінки близькі між собою, то у нас є підстава стверджувати, що випадкова величина підпорядкована закону розподілу Пуассона.
приклад . Прикладами випадкових величин, підпорядкованих закону розподілу Пуассона, може бути: кількість автомашин, які будуть обслужені завтра автозаправною станцією; число бракованих виробів у виробленій продукції.
приклад . Завод відправив на базу $500 $ виробів. Імовірність пошкодження виробу на шляху дорівнює $0,002$. Знайти закон розподілу випадкової величини $X$, що дорівнює кількості пошкоджених виробів; чому дорівнює $ M \ left (X \ right), \ D \ left (X \ right) $.
Нехай дискретна випадкова величина $X$ – кількість пошкоджених виробів. Така випадкова величина підпорядкована закону розподілу Пуассона з параметром $ lambda = np = 500 cdot 0,002 = 1 $. Імовірності значень дорівнюють $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
Закон розподілу випадкової величини $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(array)$
Для такої випадкової величини математичне очікування і дисперсія рівним між собою і рівні параметру $ lambda $, тобто $ M left (X right) = D left (X right) = lambda = 1 $.
3. Геометричний закон розподілу.
Якщо дискретна випадкова величина $X$ може приймати тільки натуральні значення $1,\2,\dots,\n$ з ймовірностями $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\right)) ^ (k-1), k = 1, 2, 3, dots $, то кажуть, що така випадкова величина $ X $ підпорядкована геометричному закону розподілу ймовірностей. Фактично, геометричне розподілу є випробування Бернуллі до першого успіху.
приклад . Прикладами випадкових величин, що мають геометричний розподіл, можуть бути: число пострілів до першого влучення в ціль; кількість випробувань приладу до першої відмови; число кидань монети до першого випадання орла тощо.
Математичне очікування та дисперсія випадкової величини, підпорядкованої геометричному розподілу, відповідно рівні $ M \ left (X \ right) = 1 / p $, $ D \ left (X \ right) = \ left (1-p \ right) / p ^ 2 $.
приклад . На шляху руху риби до місця нересту знаходиться $4$ шлюзу. Можливість проходу риби через кожен шлюз $p=3/5$. Побудувати низку розподілу випадкової величини $X$ - число шлюзів, пройдених рибою до першого затримання біля шлюзу. Знайти $ M \ left (X \ right), \ D \ left (X \ right), \ \ sigma \ left (X \ right) $.
Нехай випадкова величина $X$ - кількість шлюзів, пройдених рибою до першого затримання біля шлюзу. Така випадкова величина підпорядкована геометричному закону розподілу ймовірностей. Значення, які може набувати випадкова величина $X:$ 1, 2, 3, 4. Імовірності цих значень обчислюються за формулою: $P\left(X=k\right)=pq^(k-1)$, де: $ p=2/5$ - можливість затримання риби через шлюз, $q=1-p=3/5$ - можливість проходу риби через шлюз, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.
$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ over (5)) = 0,4;
$ P \ left (X = 2 \ right) = ((2) \ over (5)) \ cdot ((3) \ over (5)) = ((6) \ over (25)) = 0,24; $
$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ over (5)) \ cdot ((9) \ over (25)) = ((18) \ over (125)) = 0,144;
$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3) \ over (5)) \ right)) ^ 4 = ((27) \ over (125)) = 0,216.
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(array)$
Математичне очікування:
$M\left(Xright)=sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1cdot 0,4+2cdot 0,24+3cdot 0,144+4cdot 0,216=2,176.$
Дисперсія:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ left(1-2,176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$
$ + \ 0,216 \ cdot ( \ left (4-2,176 \ right)) ^ 2 \ approx 1,377. $
Середнє квадратичне відхилення:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\approx 1,173.$
4. Гіпергеометричний закон розподілу.
Якщо $N$ об'єктів, серед яких $m$ об'єктів мають задану властивість. Випадковим чином без повернення витягують $n$ об'єктів, серед яких виявилося $k$ об'єктів, що мають задану властивість. Гіпергеометричний розподіл дає можливість оцінити ймовірність того, що рівно $k$ об'єктів у вибірці мають задану властивість. Нехай випадкова величина $X$ - кількість об'єктів у вибірці, що мають задану властивість. Тоді ймовірність значень випадкової величини $X$:
$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$
Зауваження. Статистична функція Гіпергеомет майстра функцій $f_x$ пакета Excel дає можливість визначити ймовірність того, що певна кількість випробувань буде успішною.
$f_x\to $ статистичні$\to $ ГІПЕРГЕОМЕТ$\to $ ОК. Відобразиться діалогове вікно, яке потрібно заповнити. В графі Число_успіхів_у_вибірцівказуємо значення $k$. Розмір_вибіркидорівнює $n$. В графі Число_успіхів_в_сукупностівказуємо значення $m$. Розмір_сукупностідорівнює $N$.
Математичне очікування і дисперсія дискретної випадкової величини $X$, підпорядкованої геометричному закону розподілу, відповідно дорівнюють $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left(1) -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.
приклад . У кредитному відділі банку працюють 5 спеціалістів з вищою фінансовою освітою та 3 спеціалісти з вищою юридичною освітою. Керівництво банку вирішило направити трьох фахівців Для підвищення кваліфікації, відбираючи їх у випадковому порядку.
а) Складіть ряд розподілу числа фахівців із вищою фінансовою освітою, які можуть бути спрямовані на підвищення кваліфікації;
б) Знайдіть числові показники цього розподілу.
Нехай випадкова величина $X$ - кількість фахівців із вищою фінансовою освітою серед трьох відібраних. Значення, які може набувати $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$. Дана випадкова величина $X$ розподілена за гіпергеометричним розподілом з параметрами: $N=8$ - розмір сукупності, $m=5$ - кількість успіхів у сукупності, $n=3$ - розмір вибірки, $k=0,\ 1, \ 2, \ 3 $ - кількість успіхів у вибірці. Тоді ймовірності $P\left(X=k\right)$ можна розрахувати за формулою: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \over C_( N) ^ (n)) $. Маємо:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\approx 0,018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\approx 0,268;$
$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\approx 0,536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\approx 0,179.$
Тоді ряд розподілу випадкової величини $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(array)$
Розрахуємо числові характеристики випадкової величини $X$ за загальними формулами гіпергеометричного розподілу.
$M\left(Xright)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$
$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\right))\over (8-1))=((225)\over (448))\approx 0,502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\approx 0,7085.$
Завантаження...