МУНІЦИПАЛЬНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА

ГІМНАЗІЯ №6

на тему "Класичне визначення ймовірності".

Виконала учениця 8 «Б» класу

Клімантова Олександра.

Вчитель з математики: Віденькіна В. А.

Воронеж, 2008

У багатьох іграх використовують гральний кубик. У кубика 6 граней, на кожній грані відзначено різну кількість точок-від 1 до 6. Граючий кидає кубик і дивиться, скільки точок є на грані, що випала (на тій грані, яка розташовується зверху). Досить часто точки на межі кубика замінюють відповідним числом і тоді говорять про випадання 1, 2 або 6. Кидання кубика можна вважати досвідом, експериментом, випробуванням, а отриманий результат-виходом випробування або елементарною подією. Людям цікаво вгадувати настання тієї чи іншої події, передбачати його результат. Які передбачення можуть зробити, коли кидають гральний кубик? Наприклад, такі:

1) подія А-випадає цифра 1, 2, 3, 4, 5 або 6;

2) подія В-випадає цифра 7, 8 або 9;

3) подія С-випадає цифра 1.

Подія А, передбачена у першому випадку, обов'язково настане. Взагалі подію, яка в даному досвіді обов'язково настане, називають достовірною подією .

Подія, передбачена в другому випадку, ніколи не настане, це просто неможливо. Взагалі подію, яка в даному досвіді наступити не може, називають неможливою подією .

А подія С, передбачена у третьому випадку, настане чи не настане? На це питання ми з упевненістю відповісти не в змозі, оскільки 1 може випасти, а може і не випасти. Подія, яка в даному досвіді може як наступити, так і не наступити, називають випадковою подією .

Думаючи про настання достовірної події, ми слово «імовірно» використовувати, швидше за все, не будемо. Наприклад, якщо сьогодні середа, то завтра четвер, це достовірна подія. Ми в середу не говоритимемо: «Мабуть, завтра четвер», ми скажемо коротко і ясно: «Завтра четвер». Щоправда, якщо ми схильні до красивим фразам, то можемо сказати так: "Зі стовідсотковою ймовірністю стверджую, що завтра четвер". Навпаки, якщо сьогодні середа, то наступ назавтра п'ятниці – неможлива подія. Оцінюючи цю подію у середу, ми можемо сказати так: «Упевнений, що завтра не п'ятниця». Або так: "Неймовірно, що завтра п'ятниця". Ну а якщо ми схильні до красивих фраз, то можемо сказати так: «Вірогідність того, що завтра п'ятниця дорівнює нулю». Отже, достовірна подія-це подія, що настає за даних умов зі стовідсотковою ймовірністю(т. е. настає у 10 випадках із 10, у 100 випадках зі 100 і т. д.). Неможлива подія-це подія, що не настає за даних умов ніколи, подія з нульовою ймовірністю .

Але, на жаль (а можливо, і на щастя), не все в житті так чітко і ясно: це буде завжди (достовірна подія), цього не буде ніколи (неможлива подія). Найчастіше ми стикаємося саме з випадковими подіями, одні з яких вірогідніші, інші менш ймовірні. Зазвичай люди використовують слова «імовірніше» або «менш імовірно», як кажуть, по наїті, спираючись на те, що називають здоровим глуздом. Але дуже часто такі оцінки виявляються недостатніми, оскільки важливо знати, на скількивідсотків ймовірно випадкова подія або у скільки разіводна випадкова подія імовірніша за іншу. Іншими словами, потрібні точні кількісніПоказники, необхідно вміти охарактеризувати можливість числом.

Перші кроки у цьому напрямі ми вже зробили. Ми говорили, що ймовірність настання достовірної події характеризується як стовідсоткова, а ймовірність настання неможливої ​​події-як нульова. Враховуючи, що 100% одно 1, люди домовилися про таке:

1) ймовірність достовірної події вважається рівною 1;

2) ймовірність неможливої ​​події вважається рівною 0.

А як підрахувати можливість випадкової події? Адже воно сталося випадковоотже, не підпорядковується закономірностям, алгоритмам, формулам. Виявляється, і у світі випадкового діють певні закони, що дозволяють обчислювати ймовірність. Цим займається розділ математики, який так і називається - теорія імовірності .

Математика має справу з моделлюдеякого явища навколишньої дійсності. З усіх моделей, що використовуються в теорії ймовірностей, ми обмежимося найпростішим.

Класична імовірнісна схема

Для знаходження ймовірності події А під час проведення деякого досвіду слід:

1) знайти число N всіх можливих наслідків даного досвіду;

2) прийняти припущення про рівноймовірність (рівноможливість) всіх цих результатів;

3) визначити кількість N(А) тих результатів досвіду, у яких настає подія А;

4) знайти приватне ; воно і дорівнюватиме ймовірності події А.

Прийнято можливість події А позначати: Р(А). Пояснення такого позначення дуже просте: слово «імовірність» французькою мовою probabilite, по англійськи- probability.У позначенні використовується перша літера слова.

Використовуючи це позначення, ймовірність події класичній схеміможна знайти за допомогою формули

Р(А)=.

Часто всі пункти наведеної класичної схеми ймовірності висловлюють однією досить довгою фразою.

Класичне визначення ймовірності

Імовірністю події А під час проведення деякого випробування називають відношення числа результатів, у яких настає подія А, до загальному числувсіх рівноможливих між собою наслідків цього випробування.

Приклад 1. Знайти ймовірність того, що за одного кидання грального кубика випаде: а) 4; б) 5; в) парне число очок; г) число очок, більше 4; д) число очок, не кратне трьох.

Рішення. Усього є N=6 можливих результатів: випадання грані куба з числом очок, рівним 1, 2, 3, 4, 5 або 6. Ми вважаємо, що жоден з них не має жодних переваг перед іншими, тобто приймаємо припущення про рівноймовірність цих результатів.

а) Рівно в одному з наслідків відбудеться цікава для нас подія А-випадання числа 4. Значить, N(A)=1 і

P ( A )= =.

б) Рішення та відповідь такі самі, як і в попередньому пункті.

в) Подія, що цікавить нас, відбудеться рівно в трьох випадках, коли випадає число очок 2, 4 або 6. Значить,

N ( B )=3 і P ( B )==.

г) Подія, що цікавить нас, відбудеться рівно у двох випадках, коли випаде число очок 5 або 6. Значить,

N ( C ) =2 і Р(С)=.

д) З шести можливих чисел, що випали чотири (1, 2, 4 і 5) не кратні трьом, а решта два (3 і 6) діляться на три. Отже, подія, що цікавить нас, настає рівно в чотирьох з шести можливих і рівноймовірних між собою і рівноймовірних між собою результатах досвіду. Тому у відповіді виходить

. ; б); в); г); д).

Реальний гральний кубик цілком може відрізнятися від ідеального (модельного) кубика, тому для опису його поведінки потрібна точніша і детальніша модель, яка враховує переваги однієї грані перед іншою, можлива наявність магнітів тощо. Але «диявол криється в деталях», а велика точність веде, зазвичай, до більшої складності, і отримання відповіді стає проблемою. Ми ж обмежуємося розглядом найпростішої ймовірнісної моделі, де всі можливі результати є рівноймовірними.

Зауваження 1. Розглянемо ще приклад. Було поставлене запитання: "Яка ймовірність випадання трійки при одному киданні кубика?" Учень відповів так: «Вірогідність дорівнює 0, 5». І пояснив свою відповідь: «Трійка чи випаде, чи ні. Отже, всього є два результати і рівно в одному настає подія, що цікавить нас. За класичною схемою ймовірності отримуємо відповідь 0, 5 ». Чи є в цій міркуванні помилка? На перший погляд - ні. Однак вона все ж таки є, причому в принциповому моменті. Так, дійсно, трійка або випаде, чи ні, тобто при такому визначенні результату кидання N=2. Правда і те, що N(A) = 1 і вже, зрозуміло, вірно, що

=0, 5, т. е. три пункти ймовірнісної схеми враховані, тоді як виконання пункту 2) викликає сумніви. Звичайно, з суто юридичної точки зору, ми маємо право вважати, що випадання трійки рівноймовірне її невипадання. Але ось чи можемо ми так вважати, не порушуючи свої природні припущення про «однаковість» граней? Звичайно, ні! Тут ми маємо справу з правильним міркуванням усередині деякої моделі. Тільки ось сама ця модель «неправильна», яка не відповідає реальному явищу.

Зауваження 2. Розмірковуючи про ймовірність, не упускайте з уваги таку важливу обставину. Якщо ми говоримо, що при киданні кубика ймовірність випадання одного очка дорівнює

, Це зовсім не означає, що, кинувши кубик 6 разів, ви отримаєте одне очко рівно один раз, кинувши кубик 12 разів, ви отримаєте одне очко рівно два рази, кинувши кубик 18 разів, ви отримаєте одне очко рівно три рази і т.д Слово ймовірно носить імовірний характер. Ми припускаємо, що, швидше за все, може статися. Імовірно, якщо ми кинемо кубик 600 разів, одне очко випаде 100 разів або близько 100 разів.

Щоб кількісно порівнювати між собою події за рівнем їхньої можливості, очевидно, потрібно з кожною подією пов'язати певна кількість, яка тим більша, чим більш можлива подія. Таку кількість ми назвемо ймовірністю події. Таким чином, ймовірність подіїє чисельний захід ступеня об'єктивної можливості цієї події.

Першим за часом визначенням ймовірності слід вважати класичне, що виникло з аналізу азартних ігор і спочатку застосовувалося інтуїтивно.

Класичний спосіб визначення ймовірності заснований на понятті рівноможливих та несумісних подій, які є наслідками даного досвіду та утворюють повну групунесумісних подій.

Найбільш простим прикладом рівноможливих і несумісних подій, що утворюють повну групу, є поява тієї чи іншої кулі з урни, що містить кілька однакових за розміром, вагою та іншим відчутним ознаками куль, що відрізняються лише кольором, ретельно перемішаних перед вилученням.

Тому про випробування, результати якого утворюють повну групу несумісних і рівноможливих подій, говорять, що воно зводиться до схеми урн, або схеми випадків, або укладається в класичну схему.

Рівноможливі та несумісні події, що становлять повну групу, називатимемо просто випадками чи шансами. При цьому в кожному досвіді поряд з випадками можуть відбуватися складніші події.

Приклад : При підкиданні гральної кістки поряд з випадками А i - випадання i-окулярів на верхній грані можна розглядати такі події, як В - випадання парних очок, С - випадання числа очок, кратних трьом …

По відношенню до кожної події, яка може статися при здійсненні експерименту, випадки поділяються на сприятливі, у яких ця подія відбувається, і несприятливі, у яких подія немає. У попередньому прикладі, події В сприяють випадки А2, А4, А6; події С - випадки А3, А6.

Класичною ймовірністюПоява деякої події називається відношення числа випадків, що сприяють появі цієї події, до загального числа випадків рівноможливих, несумісних, що становлять повну групу в даному досвіді:

де Р(А)- ймовірність появи події А; m- Число випадків, що сприяють події А; n- загальна кількість випадків.

Приклади:

1) (дивись приклад вище) Р(В)= , Р(С) =.

2) У урні знаходяться 9 червоних та 6 синіх куль. Знайти ймовірність того, що вийняті навмання одна, дві кулі виявляться червоними.

А- Вийнята навмання куля червона:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- вийняті навмання дві кулі червоні:

З класичного визначення ймовірності випливають такі властивості (показати самостійно):

1) Імовірність неможливої ​​події дорівнює 0;

2) Імовірність достовірної події дорівнює 1;

3) Імовірність будь-якої події укладена між 0 та 1;

4) Імовірність події, протилежної події А,

Класичне визначення ймовірності передбачає, що кількість результатів випробування є звичайною. Насправді ж часто зустрічаються випробування, число можливих випадків яких нескінченно. Крім того, слабка сторона класичного визначення полягає в тому, що дуже часто неможливо уявити результат випробування як сукупність елементарних подій. Ще важче вказати підстави, що дозволяють вважати елементарні наслідки випробування рівноможливими. Зазвичай про рівноможливість елементарних результатів випробування укладають з міркувань симетрії. Проте такі завдання практично зустрічаються дуже рідко. З цих причин поруч із класичним визначенням ймовірності користуються та інші визначення ймовірності.

Статистичною ймовірністюподії А називається відносна частота появи цієї події у проведених випробуваннях:

де – ймовірність появи події А;

Відносна частота появи події А;

Число випробувань, у яких з'явилася подія А;

Загальна кількість випробувань.

На відміну від класичної ймовірності, статистична ймовірність є характеристикою досвідченої, експериментальної.

Приклад : Для контролю якості виробів з партії вибрано 100 виробів, серед яких 3 вироби виявилися бракованими. Визначити можливість шлюбу.

.

Статистичний спосіб визначення ймовірності застосуємо лише до тих подій, які мають такі властивості:

Події, що розглядаються, повинні бути результатами тільки тих випробувань, які можуть бути відтворені необмежену кількість разів при одному і тому ж комплексі умов.

Події повинні мати статистичну стійкість (або стійкість відносних частот). Це означає, що у різних серіях випробувань відносна частота події змінюється незначно.

Число випробувань, у яких з'являється подія А, має бути досить велике.

Легко перевірити, що властивості ймовірності, які з класичного визначення, зберігаються і за статистичному визначенні ймовірності.

Спочатку, будучи лише зібранням відомостей та емпіричних спостережень за грою в кістки, теорія ймовірності стала ґрунтовною наукою. Першими, хто надав їй математичний каркас, були Ферма та Паскаль.

Від роздумів про вічне до теорії ймовірностей

Дві особи, яким теорія ймовірностей завдячує багатьма фундаментальними формулами, Блез Паскаль і Томас Байєс, відомі як глибоко віруючі люди, останній був пресвітеріанським священиком. Мабуть, прагнення цих двох вчених довести помилковість думки про якусь Фортуну, що дарує успіх своїм улюбленцям, дало поштовх до досліджень у цій галузі. Адже насправді будь-яка азартна граз її виграшами і програшами — це лише симфонія математичних принципів.

Завдяки азарту кавалера де Мере, який однаково був гравцем і людиною небайдужою до науки, Паскаль змушений був знайти спосіб розрахунку ймовірності. Де Мере цікавило таке питання: "Скільки разів потрібно викидати попарно дві кістки, щоб ймовірність здобути 12 очок перевищувала 50%?". Друге питання, яке вкрай цікавило кавалера: "Як розділити ставку між учасниками незакінченої гри?" Зрозуміло, Паскаль успішно відповів на обидва питання де Мере, який став мимовільним основоположником розвитку теорії ймовірностей. Цікаво, що персона де Мере так і залишилася відома в цій галузі, а не в літературі.

Раніше жоден математик ще не робив спроб обчислювати ймовірності подій, оскільки вважалося, що це лише вороже рішення. Блез Паскаль дав перше визначення ймовірності події та показав, що це конкретна цифра, яку можна обґрунтувати математичним шляхом. Теорія ймовірностей стала основою статистики і широко застосовується у сучасній науці.

Що таке випадковість

Якщо розглядати випробування, яке можна повторити нескінченну кількість разів, можна дати визначення випадковому події. Це один із можливих результатів досвіду.

Досвідом є здійснення конкретних дій у постійних умовах.

Щоб можна було працювати з результатами досвіду, події зазвичай позначають літерами А, B, C, D, Е…

Імовірність випадкової події

Щоб можна було приступити до математичної частини ймовірності, потрібно дати визначення всім її складникам.

Імовірність події - це виражена в числовій формі міра можливості появи певної події (А або B) у результаті досвіду. Позначається ймовірність як P(A) або P(B).

Теоретично ймовірностей відрізняють:

• достовірнеподія гарантовано відбувається в результаті досвіду Р(?) = 1;
• неможливеподія будь-коли може статися Р(Ø) = 0;
• випадковеподія лежить між достовірною та неможливою, тобто ймовірність її появи можлива, але не гарантована (ймовірність випадкової події завжди в межах 0≤Р(А)≤ 1).

Відносини між подіями

Розглядають як одну, так і суму подій А + В, коли подія зараховується при здійсненні хоча б одного зі складових, А або В або обох - А і В.

Стосовно одна до одної події можуть бути:

• Рівноможливими.
• Сумісними.
• Несумісними.
• Протилежними (взаємовиключними).
• Залежними.

Якщо дві події можуть статися з рівною ймовірністю, вони рівноможливі.

Якщо поява події А не зводить до нуля вірогідність події B, то вони сумісні.

Якщо події А і В ніколи не відбуваються одночасно в тому самому досвіді, то їх називають несумісними. Кидання монети гарний приклад: поява решки - це автоматично непоява орла.

Імовірність для суми таких несумісних подій складається із суми ймовірностей кожної з подій:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Якщо наступ однієї події унеможливлює наступ іншого, їх називають протилежними. Тоді одне з них позначають як А, а інше - (читається як «не А»). Поява події А означає, що не відбулося. Ці дві події формують повну групу із сумою ймовірностей, що дорівнює 1.

Залежні події мають взаємний вплив, зменшуючи чи збільшуючи ймовірність одне одного.

Відносини між подіями. Приклади

На прикладах набагато простіше зрозуміти принципи теорії ймовірностей та комбінації подій.

Досвід, який буде проводитися, полягає у витягуванні кульок з ящика, а результат кожного досвіду - елементарний результат.

Подія - це один із можливих результатів досвіду - червона куля, синя куля, куля з номером шість і т.д.

Випробування №1. Беруть участь 6 куль, три з яких забарвлені у синій колір, на них нанесені непарні цифри, а три інших – червоні з парними цифрами.

Випробування №2. Беруть участь 6 куль синього кольоруіз цифрами від одного до шести.

Виходячи з цього прикладу, можна назвати комбінації:

• Достовірна подія.У вик. №2 подія «дістати синю кулю» достовірну, оскільки ймовірність її появи дорівнює 1, так як всі кулі сині і промахи бути не може. Тоді як подія «дістати кулю із цифрою 1» - випадкова.
• Неможлива подія.У вик. №1 з синіми та червоними кулями подія «дістати фіолетовий шар» неможлива, оскільки ймовірність його появи дорівнює 0.
• Рівні події.У вик. №1 події «дістати кулю з цифрою 2» і «дістати кулю з цифрою 3» рівноможливі, а події «дістати кулю з парним числом» та «дістати кулю з цифрою 2» мають різну ймовірність.
• Сумісні події.Двічі поспіль отримати шістку в процесі кидання гральної кістки – це сумісні події.
• Несумісні події.У тому ж вик. №1 події «дістати червону кулю» і «дістати кулю з непарним числом» не можуть бути поєднані в тому самому досвіді.
• Протилежні події.Найбільш яскравий прикладцього - підкидання монет, коли витягування орла рівносильне невитягуванню решки, а сума їх ймовірностей - це 1 (повна група).
• Залежні події. Так, у вик. №1 можна поставити за мету витягти двічі поспіль червону кулю. Його вилучення чи невитяг уперше впливає можливість вилучення вдруге.

Видно, що перша подія суттєво впливає на ймовірність другої (40% та 60%).

Формула ймовірності події

Перехід від ворожих роздумів до точних даних відбувається у вигляді перекладу теми в математичну площину. Тобто міркування про випадкову подію на зразок "велика ймовірність" або "мінімальна ймовірність" можна перекласти до конкретних числових даних. Такий матеріал вже припустимо оцінювати, порівнювати та вводити у складніші розрахунки.

З погляду розрахунку, визначення ймовірності події - це ставлення кількості елементарних позитивних наслідків до кількості всіх можливих наслідків досвіду щодо певної події. Позначається ймовірність через Р(А), де Р означає слово "probabilite", що з французької перекладається як "ймовірність".

Отже, формула ймовірності події:

Де m – кількість сприятливих результатів для події А, n – сума всіх результатів, можливих для цього досвіду. При цьому ймовірність події завжди лежить між 0 і 1:

0 ≤ Р(А)≤ 1.

Розрахунок ймовірності події. приклад

Візьмемо ісп. №1 з кулями, яке описано раніше: 3 сині кулі з цифрами 1/3/5 і 3 червоні з цифрами 2/4/6.

З цього випробування можна розглядати кілька різних завдань:

• A – випадання червоної кулі. Червоних куль 3, а лише варіантів 6. Це найпростіший приклад, У якому ймовірність події дорівнює Р(А)=3/6=0,5.
• B – випадання парного числа. Усього парних чисел 3 (2,4,6), а загальна кількість можливих числових варіантів - 6. Імовірність цієї події дорівнює Р(B) = 3/6 = 0,5.
• C - випадання числа, більшого, ніж 2. Усього таких варіантів 4 (3,4,5,6) із загальної кількості можливих результатів 6. Імовірність події З дорівнює Р(С)=4/6=0,67.

Як очевидно з розрахунків, подія має велику ймовірність, оскільки кількість можливих позитивних результатів вище, ніж у А і У.

Несумісні події

Такі події не можуть одночасно з'явитися в тому самому досвіді. Як у вик. №1 неможливо одночасно дістати синю і червону кулю. Тобто можна дістати або синю, або червону кулю. Так само в гральній кістці не можуть одночасно з'явитися парне і непарне число.

Імовірність двох подій сприймається як ймовірність їхньої суми чи твори. Сумою таких подій А+В вважається така подія, яка полягає у появі події А або В, а добуток їх АВ – у появі обох. Наприклад, поява двох шісток одразу на гранях двох кубиків в одному кидку.

Сума кількох подій являє собою подію, яка передбачає появу, Крайній міріодного з них. Твір кількох подій – це спільна поява їх усіх.

Теоретично ймовірності, зазвичай, вживання союзу " і " означає суму, союзу " чи " - множення. Формули з прикладами допоможуть зрозуміти логіку складання та множення теоретично ймовірностей.

Ймовірність суми несумісних подій

Якщо розглядається ймовірність несумісних подій, то ймовірність суми подій дорівнює додаванню їх ймовірностей:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Наприклад: обчислимо ймовірність того, що в ісп. №1 з синіми і червоними кулями випаде число між 1 і 4. Розрахуємо не одну дію, а сумою ймовірностей елементарних складових. Отже, у такому досвіді всього 6 куль або 6 всіх можливих наслідків. Цифри, які задовольняють умову, - 2 і 3. Імовірність випадання цифри 2 становить 1/6, ймовірність цифри 3 також 1/6. Імовірність того, що випаде цифра між 1 і 4 дорівнює:

Імовірність суми несумісних подій повної групи дорівнює 1.

Тож якщо у досвіді з кубиком скласти ймовірності випадання всіх цифр, то в результаті отримаємо одиницю.

Також це справедливо для протилежних подій, наприклад, у досвіді з монетою, де одна її сторона - це подія А, а інша - протилежна подія, як відомо,

Р(А) + Р(?) = 1

Імовірність твору несумісних подій

Примноження ймовірностей застосовують, коли розглядають появу двох і більше несумісних подій в одному спостереженні. Імовірність того, що в ньому з'являться події A і B одночасно, дорівнює добутку їх ймовірностей, або:

Р(А * В) = Р (А) * Р (В)

Наприклад, ймовірність того, що в ісп. №1 в результаті двох спроб двічі з'явиться синя куля, що дорівнює

Тобто ймовірність настання події, коли в результаті двох спроб із вилученням куль буде вилучено лише сині кулі, дорівнює 25%. Дуже легко зробити практичні експерименти цього завдання і побачити, чи це так насправді.

Спільні події

Події вважаються спільними, коли поява одного з них може збігтися з появою іншого. Незважаючи на те, що вони спільні, розглядається ймовірність незалежних подій. Наприклад, кидання двох гральних кісток може дати результат, коли на обох з них випадає цифра 6. Хоча події збіглися і з'явилися одночасно, вони незалежні одна від одної - могла випасти лише одна шістка, друга кістка на неї не має впливу.

Імовірність спільних подій розглядають як ймовірність їхньої суми.

Ймовірність суми подій. приклад

Імовірність суми подій А і В, які по відношенню до один одного спільні, дорівнює сумі ймовірностей події за вирахуванням ймовірності їх твору (тобто їх спільного здійснення):

Р сум. (А+В)=Р(А)+Р(В)- Р(АВ)

Припустимо, що можливість попадання на мету одним пострілом дорівнює 0,4. Тоді подія А - попадання в ціль у першій спробі, В - у другій. Ці події спільні, оскільки цілком можливо, що можна вразити мету і з першого, і з другого пострілу. Але події не є залежними. Якою є ймовірність настання події поразки мішені з двох пострілів (хоча б з одного)? Відповідно до формули:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Відповідь на запитання наступна: "Ймовірність потрапити в ціль із двох пострілів дорівнює 64%".

Ця формула ймовірності події може бути застосовна і до несумісних подій, де ймовірність спільної появи події Р(АВ) = 0. Це означає, що ймовірність суми несумісних подій можна вважати окремим випадком запропонованої формули.

Геометрія ймовірності для наочності

Цікаво, що ймовірність суми спільних подій може бути представлена ​​у вигляді двох областей А та В, які перетинаються між собою. Як видно з картинки, площа їхнього об'єднання дорівнює загальній площі за мінусом області їхнього перетину. Це геометричне пояснення роблять зрозумілішою нелогічну здавалося б формулу. Зазначимо, що геометричні рішення - не рідкість теорії ймовірностей.

Визначення ймовірності суми множини (більше двох) спільних подій досить громіздке. Щоб вирахувати її, потрібно скористатися формулами, які передбачені для цих випадків.

Залежні події

Залежними події називаються у разі, якщо наступ одного (А) їх впливає ймовірність наступу іншого (В). Причому враховується вплив як події А, і його непоява. Хоча події називаються залежними за визначенням, але залежно лише одне з них (В). Звичайна ймовірність позначалася як Р(В) чи ймовірність незалежних подій. У випадку із залежними вводиться нове поняття - умовна ймовірність Р A (В) , яка є ймовірністю залежної події У за умови події А (гіпотези), від якої воно залежить.

Але ж подія А теж випадкова, тому в неї також є ймовірність, яку потрібно і можна враховувати в розрахунках, що здійснюються. Далі на прикладі буде показано, як працювати із залежними подіями та гіпотезою.

Приклад розрахунку ймовірності залежних подій

Хорошим прикладом до розрахунку залежних подій може стати стандартна колода карт.

На прикладі колоди в 36 карток розглянемо залежні події. Потрібно визначити ймовірність того, що друга карта, витягнута з колоди, буде бубнової масті, якщо перша вилучена:

1. Бубнова.
2. Інший масті.

Очевидно, що ймовірність другої події залежить від першого А. Так, якщо справедливий перший варіант, що в колоді стало на 1 карту (35) і на 1 бубну (8) менше, ймовірність події В:

Р A (В) = 8/35 = 0,23

Якщо ж справедливий другий варіант, то в колоді стало 35 карт, і, як і раніше, збереглося повне числобубон (9), тоді ймовірність наступної події У:

Р A (В) = 9/35 = 0,26.

Видно, що якщо подія А умовлена ​​в тому, що перша карта - бубна, то ймовірність події зменшується, і навпаки.

Розмноження залежних подій

Керуючись попереднім розділом, ми приймаємо першу подію (А) як факт, але, якщо говорити по суті, вона має випадковий характер. Імовірність цієї події, а саме вилучення бубна з колоди карт, дорівнює:

Р(А) = 9/36=1/4

Оскільки теорія немає як така, а покликана служити у практичних цілях, то справедливо відзначити, що найчастіше потрібна ймовірність твори залежних подій.

Відповідно до теореми про добуток ймовірностей залежних подій, ймовірність появи спільно залежних подій А і В дорівнює ймовірності однієї події А, помножена на умовну ймовірність події В (залежної від А):

Р(АВ) = Р(А) *Р A(В)

Тоді в прикладі з колодою ймовірність вилучення двох карт з мастиною бубни дорівнює:

9/36*8/35=0,0571, чи 5,7%

І ймовірність вилучення спочатку не бубни, та був бубни, дорівнює:

27/36*9/35=0,19, чи 19%

Видно, що ймовірність появи події більша за умови, що першою витягується карта масті, відмінної від бубни. Такий результат цілком логічний та зрозумілий.

Повна ймовірність події

Коли завдання з умовними ймовірностями стає багатогранним, то звичайними методамиїї обчислити не можна. Коли гіпотез більше двох, саме А1,А2,…,А n , ..утворює повну групу подій за умови:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Отже, формула повної ймовірності для події при повній групі випадкових подій А1, А2, ..., А n дорівнює:

Погляд у майбутнє

Імовірність випадкової події вкрай необхідна у багатьох сферах науки: економетриці, статистиці, у фізиці тощо. буд. Деякі процеси неможливо описати детерміновано, оскільки вони мають ймовірнісний характер, необхідні особливі методи роботи. Теорія ймовірності події може бути використана у будь-якій технологічній сфері як спосіб визначити можливість помилки чи несправності.

Можна сміливо сказати, що, дізнаючись ймовірність, ми певним чином робимо теоретичний крок у майбутнє, розглядаючи його через призму формул.

Класичне та статистичне визначення ймовірності

Для практичної діяльності необхідно вміти порівнювати події за рівнем можливості їхнього наступу. Розглянемо класичний випадок. В урні знаходиться 10 куль, 8 із них білого кольору, 2 чорного. Очевидно, що подія «з урни буде витягнута куля білого кольору» і подія «з урни буде вилучена куля чорного кольору» мають різний ступінь можливості їх наступу. Тож порівняння подій потрібна певна кількісна міра.

Кількісним заходом можливості настання події є ймовірність . Найбільшого поширення набули два визначення ймовірності події: класичне і статистичне.

Класичне визначенняймовірності пов'язані з поняттям сприятливого результату. Зупинимося на цьому детальніше.

Нехай результати деякого випробування утворюють повну групу подій і рівноможливі, тобто. єдино можливі, несумісні та рівноможливі. Такі результати називають елементарними наслідками, або випадками. При цьому кажуть, що випробування зводиться до схемою випадківабо « схемою урн», т.к. будь-яке ймовірне завдання для подібного випробування можна замінити еквівалентним завданням з урнами і кулями різних кольорів.

Вихід називається сприятливимподії Аякщо поява цього випадку тягне за собою появу події А.

Згідно з класичним визначенням ймовірність події А дорівнює відношенню числа наслідків, що сприяють цій події, до загального числа наслідків, тобто.

,

(1.1)

де Р(А)- Імовірність події А; m– кількість випадків, що сприяють події А; n- Загальна кількість випадків.

приклад 1.1.При киданні гральної кістки можливі шість результатів - випадання 1, 2, 3, 4, 5, 6 очок. Якою є ймовірність появи парного числа очок?

Рішення. всі n= 6 наслідків утворюють повну групу подій і рівноможливі, тобто. єдино можливі, несумісні та рівноможливі. Події А – «поява парного числа очок» – сприяють 3 результати (випадки) – випадання 2, 4 чи 6 очок. За класичною формулою ймовірності події отримуємо

Р(А) = = . ◄

Виходячи з класичного визначення ймовірності події, відзначимо її властивості:

1. Імовірність будь-якої події укладено між нулем та одиницею, тобто.

0 ≤ Р(А) ≤ 1.

2. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

3. Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю.

Як було сказано раніше, класичне визначення ймовірності застосовується тільки для тих подій, які можуть виникнути в результаті випробувань, що мають симетрію можливих наслідків, тобто. що зводяться до схеми випадків. Однак існує великий клас подій, ймовірність яких не може бути обчислена за допомогою класичного визначення.

Наприклад, якщо припустити, що монета сплющена, очевидно, що події «поява герба» і «поява решки» не можна вважати рівноможливими. Тому формула визначення ймовірності за класичною схемою у разі неприменима.

Однак існує інший підхід при оцінці ймовірності подій, заснований на тому, наскільки часто буде з'являтися дана подія у випробуваннях. У цьому випадку використовується статистичне визначення ймовірності.

Статистичною ймовірністюподії А називається відносна частота (частина) появи цієї події у n вироблених випробуваннях, тобто.

,

(1.2)

де Р*(А)– статистична ймовірність події А; w(A)- Відносна частота події А; m- Число випробувань, в яких з'явилася подія А; n– загальна кількість випробувань.

На відміну від математичної ймовірності Р(А), що розглядається в класичному визначенні, статистична ймовірність Р*(А)є характеристикою досвідченої, експериментальної. Інакше кажучи, статистичною ймовірністюподії Аназивається число, щодо якого стабілізується (встановлюється) відносна частота w(А)при необмеженому збільшенні числа випробувань, які проводяться при тому самому комплексі умов.

Наприклад, коли про стрілка кажуть, що він потрапляє в ціль з ймовірністю 0,95, то це означає, що з сотні пострілів, зроблених ним за певних умов (одна й та сама ціль на тій самій відстані, та ж гвинтівка і т.д. .), у середньому буває приблизно 95 вдалих. Звичайно, не в кожній сотні буде 95 вдалих пострілів, іноді їх буде менше, іноді більше, але в середньому при багаторазовому повторенні стрілянини в тих же умовах цей відсоток попадань залишатиметься незмінним. Цифра 0,95, що слугує показником майстерності стрілка, зазвичай дуже стійка, тобто. відсоток попадань у більшості стрільб буде для даного стрільця майже один і той же, лише в окремих випадках відхиляючись скільки-небудь значно від свого середнього значення.

Ще одним недоліком класичного визначення ймовірності ( 1.1 ), що обмежує його застосування, і те, що воно передбачає кінцеве число можливих результатів випробування. У деяких випадках цей недолік можна здолати, використовуючи геометричне визначення ймовірності, тобто. знаходячи ймовірність влучення точки в деяку область (відрізок, частина площини тощо).

Нехай плоска фігура gстановить частину плоскої фігури G(Рис. 1.1). На фігуру Gнавмання кидається крапка. Це означає, що всі точки області G«рівноправні» щодо влучення на неї покинутої випадкової точки. Вважаючи, що ймовірність події А- Попадання кинутої точки на фігуру g- пропорційна площі цієї фігури і не залежить ні від її розташування щодо G, ні від форми g, знайдемо

Основи теорії ймовірності

План:

1. Випадкові події

2. Класичне визначення ймовірності

3. Обчислення ймовірностей подій та комбінаторика

4. Геометрична ймовірність

Теоретичні відомості

Випадкові події

Випадкове явище- Явлення, результат якого однозначно не визначено. Це поняття можна трактувати у досить широкому значенні. А саме: все в природі досить випадково, поява і народження будь-якого індивідуума є випадкове явище, вибір товару в магазині також випадкове явище, отримання оцінки на іспиті є випадкове явище, захворювання та одужання є випадкові явища і т.д.

Приклади випадкових явищ:

~ Виробляється стрілянина з гармати, встановленим під заданим кутомдо горизонту. Попадання його в ціль випадково, але влучення снаряда в деяку "вилку" є закономірністю. Можна вказати відстань, ближче за яку і далі за яку, снаряд не полетить. Вийде деяка "вилка розсіювання снарядів"

~ Одне і тіло зважується кілька разів. Строго кажучи, щоразу виходитимуть різні результати, що нехай відрізняються на мізерно малу величину, але відрізнятимуться.

~ Літак, літаючи по тому самому маршруту, має деякий політний коридор, в межах якого може лавірувати літак, але ніколи у нього не буде строго однакового маршруту

~ Спортсмен ніколи не зможе пробігти одну і ту ж дистанцію з однаковим часом. Його результати також будуть у межах деякого чисельного проміжку.

Досвід, експеримент, спостереження є випробуваннями

Випробування– спостереження чи виконання деякого комплексу умов, виконуваних неодноразово, причому регулярно повторюваних у ній і послідовності, тривалості, з дотриманням інших однакових параметрів.

Розглянемо виконання спортсменом пострілу з мішені. Щоб він був зроблений, необхідно виконати такі умови як виготовлення спортсмена, зарядка зброї, прицілювання тощо. "Потрапив" та "не потрапив" – події, як результат пострілу.

Подія- Якісний результат випробування.

Подія може відбутися або не відбутися Події позначаються великими латинськими літерами. Наприклад: D = "Стрілок потрапив у мішень". S="Вийнято білу кулю". K="Взятий навмання лотерейний квитокбез виграшу.".

Підкидання монети – випробування. Падіння її "гербом" - одна подія, падіння її "цифрою" - друга подія.

Будь-яке випробування передбачає настання кількох подій. Одні з них можуть бути необхідними в даний час дослідникові, інші - не потрібними.

Подія називається випадковою, якщо під час здійснення певної сукупності умов Sвоно може або статися, або статися. Надалі, замість того, щоб говорити "сукупність умов S здійснена", говоритимемо коротко: "Зроблено випробування". Таким чином, подія розглядатиметься як результат випробування.

~ Стрілець стріляє по мішені, розділеній на чотири області. Постріл – це випробування. Попадання у певну область мішені – подія.

~ У урні є кольорові кулі. З урни навмання беруть одну кулю. Вилучення кулі з урни є випробування. Поява кулі певного кольору – подія.

Види випадкових подій

1. Події називають несумісними,якщо поява одного з них виключає появу інших подій в тому самому випробуванні.

~ З ящика з деталями навмання витягнуто деталь. Поява стандартної деталі унеможливлює появу нестандартної деталі. Події € з'явилася "стандартна деталь" і з'явилася "нестандартна деталь" - несумісні.

~ Покинута монета. Поява "герба" ​​виключає появу напису. Події "з'явився герб" і "з'явився напис" - несумісні.

Декілька подій утворюють повну групу,якщо в результаті випробування з'явиться хоч одне з них. Іншими словами, поява хоча б однієї з подій повної групи є достовірною подією.

Зокрема, якщо події, що утворюють повну групу, попарно несумісні, то в результаті випробування з'явиться одна і тільки одна з цих подій. Цей окремий випадок представляє для нас найбільший інтерес, оскільки використовується далі.

~ Придбано два квитки грошово-речової лотереї. Обов'язково відбудеться одна і лише одна з наступних подій:

1. "виграш випав на перший квиток і не випав на другий",

2. "виграш не випав на перший квиток і випав на другий",

3. "виграш випав на обидва квитки",

4. "на обидва квитки виграш не випав".

Ці події утворюють повну групу попарно несумісних подій,

~ Стрілець зробив постріл по меті. Обов'язково відбудеться одна з наступних двох подій: попадання, промах. Ці дві несумісні події також утворюють повну групу.

2. Події називають рівноможливими,якщо є підстави вважати, що жодна з них не є більш можливою, ніж інша.

~ Поява "герба" ​​та поява напису при киданні монети - рівноможливі події. Справді, передбачається, що монета виготовлена ​​з однорідного матеріалу, має правильну циліндричну форму, і наявність карбування не впливає випадання тієї чи іншої боку монети.

~ Поява того чи іншого числа очок на кинутій гральній кістці – рівноможливі події. Справді, передбачається, що гральна кістка виготовлена ​​з однорідного матеріалу, має форму правильного багатогранника, і наявність очок не впливає випадання будь-якої грані.

3. Подія називається достовірним,якщо воно не може не статися

4. Подія називається не достовірнимякщо воно не може статися.

5. Подія називаються протилежнимдо певної події, якщо вона складається з появи цієї події. Протилежні події не сумісні, але одна з них має обов'язково відбутися. Протилежні події прийнято позначати як заперечення, тобто. над літерою пишеться рисочка. Події протилежні: А та Ā; U та Ū і т.д. .

Класичне визначення ймовірності

Імовірність – одне з основних понять теорії ймовірностей.

Існує кілька визначень цього поняття. Наведемо визначення, яке називають класичним. Далі вкажемо слабкі стороницього визначення та наведемо інші визначення, що дозволяють подолати недоліки класичного визначення.

Розглянемо ситуацію: У ящику міститься 6 однакових куль, причому 2 – червоні, 3 – сині та 1-білий. Очевидно, можливість вийняти навмання з кольорової урни (тобто червоний або синій) кулю більше, ніж можливість витягти білу кулю. Цю можливість можна охарактеризувати числом, яке називають ймовірністю події (появи - кольорової кулі).

Ймовірність- Число, що характеризує ступінь можливості появи події.

У ситуації позначимо:

Подія А = "Витягування кольорової кулі".

Кожен із можливих результатів випробування (випробування полягає у вилученні кулі з урни) назвемо елементарним (можливим) результатом та подією.Елементарні наслідки можна позначати літерами з індексами внизу, наприклад: k 1 , k 2 .

У нашому прикладі 6 куль, тому 6 можливих результатів: з'явилася біла куля; з'явилася червона куля; з'явилася синя куля і т.д. Легко бачити, що ці результати утворюють повну групу попарно несумісних подій (обов'язково з'явиться тільки одна куля) і вони рівноможливі (куля виймають навмання, кулі однакові і ретельно перемішані).

Елементарні результати, у яких цікава для нас подія настає, назвемо сприятливими наслідкамицій події. У нашому прикладі сприяють події А(Поява кольорової кулі) наступні 5 результатів:

Таким чином, подія Аспостерігається, якщо у випробуванні настає один, байдуже який, з елементарних результатів, що сприяють А.Це поява будь-якої кольорової кулі, яких у ящику 5 штук

У аналізованому прикладі елементарних результатів 6; з них 5 сприяють події А.Отже, Р(А)= 5/6. Це число дає ту кількісну оцінкуступеня можливості появи кольорової кулі.

Визначення ймовірності:

Імовірністю події Аназивається відношення числа сприятливих цій події наслідків до загального числа всіх рівноможливих несумісних елементарних наслідків, що утворюють повну групу.

Р(А)=m/n або Р(А)=m: n, де:

m - число елементарних результатів, що сприяють А;

п- Число всіх можливих елементарних результатів випробування.

Тут передбачається, що елементарні наслідки несумісні, рівноможливі та утворюють повну групу.

З визначення ймовірності випливають такі властивості:

1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Справді, якщо подія є достовірною, то кожен елементарний результат випробування сприяє події. В цьому випадку m = nотже, p=1

2. Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю.

Справді, якщо подія неможлива, то жоден з елементарних результатів випробування не сприяє події. І тут m=0, отже, p=0.

3.Імовірність випадкової події є позитивним числом, укладеним між нулем і одиницею. 0т< n.

У наступних темах будуть наведені теореми, які дозволяють за відомими ймовірностями одних подій знаходити ймовірність інших подій.

Промір. У групі студентів 6 дівчат та 4 юнаків. Яка ймовірність того, що навмання обраний студент буде дівчина? буде юнак?

p дів = 6 / 10 = 0,6 p юн = 4 / 10 = 0,4

Поняття "імовірність" у сучасні суворі курси теорії ймовірностей побудовано на теоретико-множинні основі. Розгляньмо деякі моменти такого підходу.

Нехай у результаті випробування настає одна і лише одна з подій: w i(i = 1, 2, .... п). Події w i,- називається елементарними подіями (елементарними наслідками). Прозвідси випливає, що елементарні події попарно несумісні. Безліч всіх елементарних подій, які можуть з'явитися у випробуванні, називають простором елементарних подійΩ (грецька буква омега велика), а самі елементарні події - точками цього простору..

Подія Аототожнюють з підмножиною (простору Ω), елементи якого є елементарними наслідками, що сприяють А;подія Ує підмножина Ω , елементи якого є результати, що сприяють В,і т, д. Таким чином, безлічі всіх подій, які можуть наступити у випробуванні, є безліч всіх підмножин Ω, Само Ω настає за будь-якого результату випробування, тому Ω - достовірна подія; порожнє підмножина простору Ω - неможлива подія (вона не настає ні при якому результаті випробування).

Елементарні події виділяються з усіх подій тим, "по кожну з них містить тільки один елемент Ω

Кожному елементарному результату w iставлять у відповідність позитивне число р i- ймовірність цього результату, причому сума всіх р iдорівнює 1 або зі знаком суми цей факт запишеться у вигляді виразу:

За визначенням, ймовірність Р(А)події Адорівнює сумі ймовірностей елементарних результатів, що сприяють А.Тому ймовірність події достовірного дорівнює одиниці, неможливого – нулю, довільного – укладена між нулем та одиницею.

Розглянемо важливий окремий випадок, коли всі результати рівноможливі, Число результатів дорівнює л, сума ймовірностей всіх результатів дорівнює одиниці; отже, ймовірність кожного результату дорівнює 1/п. Нехай події Асприяє m результатів.

Ймовірність події Адорівнює сумі ймовірностей наслідків, що сприяють А:

Р(А)=1/n + 1/n+…+1/n = n·1/n=1

Отримано класичне визначення ймовірності.

Існує ще аксіоматичнийпідхід до поняття "імовірність". У системі аксіом, запропонованої. Колмогоровим А. Н, невизначеними поняттями є елементарна подія та ймовірність. Побудова логічно повноцінної теорії ймовірностей ґрунтується на аксіоматичному визначенні випадкової події та її ймовірності.

Наведемо аксіоми, що визначають ймовірність:

1. Кожній події Апоставлене у відповідність невід'ємне дійсне число Р(А).Це число називається ймовірністю події А.

2. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці:

3. Імовірність настання хоча б однієї з попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Виходячи з цих аксіом, властивості ймовірностей до залежності між ними виводять як теорем.