Випадкові величини. Багатокутник розподілу
5.2. Закон розподілу дискретної випадкової величини. Багатокутник розподілу
На перший погляд може здатися, що для завдання випадкової дискретної величини достатньо перерахувати всі її можливі значення. Насправді це негаразд: випадкові величини може мати однакові переліки можливих значень, а ймовірності їх – різні. Тому для завдання дискретної випадкової величини недостатньо перерахувати всі можливі її значення, потрібно вказати їх ймовірності.
Законом розподілу дискретної випадкової величининазивають відповідність між можливими значеннями та їх ймовірностями; його можна задати таблично, аналітично (у вигляді формули) та графічно.
Визначення.Будь-яке правило (таблиця, функція, графік), що дозволяє знаходити ймовірності довільних подій A S (S– -алгебра подій простору ), зокрема, що вказує на ймовірність окремих значень випадкової величини або безлічі цих значень, називається законом розподілу випадкової величини(або просто: розподілом). Про с.в. кажуть, що «вона підпорядковується цьому закону розподілу».
Нехай Х– д.с.в., яка набуває значення х 1 , х 2 , …, x n, ... (Більшість цих значень звичайно або рахунково) з деякою ймовірністю p i, де i = 1,2,…, n,… Закон розподілу д.с.в. зручно ставити за допомогою формули p i = P{X = x i)де i = 1,2,…, n, ..., Що визначає ймовірність того, що в результаті досвіду с.в. Хнабуде значення x i. Для д.с. Хзакон розподілу може бути заданий у вигляді таблиці розподілу:
|
x n | |||||
|
р n |
При табличному завданні закону розподілу дискретної випадкової величини перший рядок таблиці містить можливі значення, а другий їх ймовірності. таку таблицю називають поряд розподілу.
Взявши до уваги, що в одному випробуванні випадкова величина приймає одне і тільки одне можливе значення, укладаємо, що події X = x 1 , X = x 2 , ..., X = x nутворюють повну групу; отже, сума ймовірностей цих обставин, тобто. сума ймовірностей другого рядка таблиці дорівнює одиниці, тобто .
Якщо безліч можливих значень Xнескінченно (лічильна), то ряд р 1 + р 2 + ... сходиться та її сума дорівнює одиниці.
приклад.У грошовій лотереї випущено 100 білетів. Розігрується один виграш у 50 руб. та десять виграшів по 1 руб. Знайти закон розподілу випадкової величини X- Вартість можливого виграшу для власника одного лотерейного квитка.
Рішення.Напишемо можливі значення X: х 1 = 50, х 2 = 1, х 3 = 0. Імовірності цих можливих значень такі: р 1 = 0,01, р 2 = 0,01, р 3 = 1 – (р 1 + р 2)=0,89.
Напишемо шуканий закон розподілу:
Контроль: 0,01+0,1+0,89=1.
приклад.У урні 8 куль, у тому числі 5 білих, інші – чорні. З неї виймають навмання 3 кулі. Знайти закон розподілу числа білих кульок у вибірці.
Рішення.Можливі значення С.В. Х– числа білих куль у вибірці є х 1 = 0, х 2 = 1, х 3 = 2, х 4 = 3. Імовірності їх відповідно будуть
;
;
.
Закон розподілу запишемо як таблиці.
|
|
|
|
|
Контроль: 
.
Закон розподілу д.с. можна задати графічно, якщо осі абсцис відкласти можливі значення с.в., але в осі ординат – ймовірності цих значень. ламану, що з'єднує послідовно точки ( х 1 , р 1), (х 2 , р 2), ... називають багатокутником(або полігоном) розподілу(Див. рис. 5.1).
Рис. 5.1. Полігон розподілу
Тепер можна надати більш точне визначення д.с.в.
Визначення.Випадкова величина Х дискретнаякщо існує кінцева або лічильна безліч чисел х 1 , х 2 , … таких, що P{X = x i } = p i > 0 (i= 1,2, ...) та p 1 + p 2 + р 3 +… = 1.
Визначимо математичні операції над дискретними с.
Визначення.Сумою (різницею, твором) Д.С.В. Х, Що приймає значення x iз ймовірностями p i = P{X = x i }, i = 1, 2, …, n, та д.с.в. Y, Що приймає значення y j з ймовірностями p j = P{Y = y j }, j = 1, 2, …, m, Називається д.с.в. Z = X + Y (Z = X – Y, Z = X Y), що приймає значення z ij = x i + y j (z ij = x i – y j , z ij = x i y j) з ймовірностями p ij = P{X = x i , Y = y j) для всіх зазначених значень iі j. У разі збігу деяких сум x i + y j (Різностей x i – y j, творів x i y j) відповідні ймовірності складаються.
Визначення.твірд.с.в. на число зназивається д.с.в. сХ, Що приймає значення зx iз ймовірностями p i = P{X = x i }.
Визначення.Дві д.с. Хі Yназиваються незалежними, якщо події ( X = x i } = A iі ( Y = y j } = B jнезалежні для будь-яких i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m, тобто
В іншому випадку с.в. називають залежними. Декілька с.в. називають взаємно незалежними, якщо закон розподілу будь-який їх залежить від цього, які можливі значення прийняли інші величини.
Розглянемо кілька найчастіше вживаних законів розподілу.
Завдання 14.У грошовій лотереї розігрується 1 виграш у 1000000 руб., 10 виграшів по 100000 руб. та 100 виграшів по 1000 руб. при загальному числіквитків 10000. Знайти закон розподілу випадкового виграшу Хдля власника одного лотерейного білета.
Рішення. Можливі значення для Х: х 1 = 0; х 2 = 1000; х 3 = 100000;
х 4 = 1000000. Імовірності їх відповідно дорівнюють: р 2 = 0,01; р 3 = 0,001; р 4 = 0,0001; р 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.
Отже, закон розподілу виграшу Хможе бути заданий наступною таблицею:
Завдання 15. Дискретна випадкова величина Хзадана законом розподілу:
Побудувати багатокутник розподілу.
Рішення. Побудуємо прямокутну систему координат, причому по осі абсцис відкладатимемо можливі значення х i ,а по осі ординат – відповідні ймовірності р i. Побудуємо точки М 1 (1;0,2), М 2 (3;0,1), М 3 (6;0,4) та М 4 (8; 0,3). З'єднавши ці точки відрізками прямих, отримаємо багатокутник розподілу, що шукається.
§2. Числові характеристикивипадкових величин
Випадкова величина повністю характеризується своїм законом розподілу. Середній опис випадкової величини можна отримати при використанні її числових характеристик
2.1. Математичне очікування. Дисперсія.
Нехай випадкова величина може набувати значень з ймовірностями відповідно.
Визначення. Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається сума творів всіх її можливих значень на відповідні ймовірності:
Властивості математичного очікування.
Розсіяння випадкової величини близько середнього значення характеризують дисперсія та середньо квадратичне відхилення.
Дисперсією випадкової величини називають математичне очікуванняквадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування:
Для обчислень використовується така формула
Властивості дисперсії.
2. де взаємно незалежні випадкові величини.
3. Середньоквадратичне відхилення.
Завдання 16.Знайти математичне очікування випадкової величини Z = X+ 2Yякщо відомі математичні очікування випадкових величин Xі Y: М(Х) = 5, М(Y) = 3.
Рішення. Використовуємо властивості математичного очікування. Тоді отримуємо:
М(Х+ 2Y)= М(Х) + М(2Y) = М(Х) + 2М(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.
Завдання 17.Дисперсія випадкової величини Хдорівнює 3. Знайти дисперсію випадкових величин: а) -3 Х;б) 4 Х + 3.
Рішення. Застосуємо властивості 3, 4 та 2 дисперсії. Маємо:
а) D(–3Х) = (–3) 2 D(Х) = 9D(Х) = 9 . 3 = 27;
б) D(4Х+ 3) = D(4Х) + D(3) = 16D(Х) + 0 = 16 . 3 = 48.
Завдання 18.Дана незалежна випадкова величина Y- Число очок, що випали при киданні гральної кістки. Знайти закон розподілу, математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини Y.
Рішення.Таблиця розподілу випадкової величини Yмає вигляд:
Тоді М(Y) = 1 · 1/6 + 2 · 1/6 + 3 · 1/6+ 4 · 1/6+ 5 · 1/6+ 6 · 1/6 = 3,5;
D(Y) = (1 – 3,5) 2 · 1/6 + (2 – 3,5) 2 · /6 + (3 – 3,5) 2 · 1/6 + (4 – 3,5) 2 · / 6 + (5 - -3,5) 2 · 1/6 + (6 - 3,5) 2. · 1 / 6 = 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.
Випадковою величиноюназивається величина, яка в результаті досвіду може набути того чи іншого значення, не відоме заздалегідь. Випадкові величини бувають перервного (дискретного)і безперервноготипу. Можливі значення перервних величин наперед можуть бути перераховані. Можливі значення безперервних величин неможливо знайти заздалегідь перераховані і безперервно заповнюють певний проміжок.
Приклад дискретних випадкових величин:
1) Число появи герба при трьох кидання монети. (можливі значення 0; 1; 2; 3)
2) Частота появи герба у тому досвіді. (можливі значення )
3) Число елементів, що відмовили в приладі, що складається з п'яти елементів. (Можливі значення величин 0; 1; 2; 3; 4; 5)
Приклади безперервних випадкових величин:
1) Абсцисса (ордината) точки влучення при пострілі.
2) Відстань від точки влучення до центру мішені.
3) Час безвідмовної роботи приладу (радіолампи).
Випадкові величини позначаються великими літерами, які можливі значення – відповідними малими літерами. Наприклад, X - число попадань при трьох пострілах; Можливі значення: X 1 =0, Х 2 = 1, Х 3 = 2, Х 4 = 3.
Розглянемо перервну випадкову величину Х з можливими значеннями Х1, Х2, …, Хn. Кожне з цих значень можливо, але не достовірно, і величина Х може прийняти кожне з них певною ймовірністю. В результаті досвіду величина Х прийме одне з цих значень, тобто станеться одне з повної групи несумісних подій.
Позначимо ймовірність цих подій літерами p з відповідними індексами:
Оскільки несумісні події утворюють повну групу, то
тобто сума ймовірності всіх можливих значень випадкової величини дорівнює 1. Ця сумарна ймовірність якимось чином розподілена між окремими значеннями. Випадкова величина буде повністю описана з імовірнісної точки зору, якщо ми поставимо цей розподіл, тобто в точності вкажемо якою ймовірністю має кожну з подій. (Цим ми встановимо так званий закон розподілу випадкових величин.)
Законом розподілу випадкової величининазивається всяке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідної їм ймовірності. (Про випадкову величину ми говоритимемо, що вона підпорядкована цьому закону розподілу)
Найпростішою формою завдання закону розподілу випадкової величини є таблиця, у якій перераховані можливі значення випадкової величини та ймовірності, що їм відповідають.
Таблиця 1.
| X i | X 1 | X 2 | … | X n |
| P i | P 1 | P 2 | … | P n |
Таку таблицю називають поряд розподілувипадкових величин.
Щоб надати ряду розподілу більш наочний вигляд вдаються до його графічному зображенню: по осі абсцис відкладають можливі значення випадкової величини, а по осі ординат – ймовірність цих значень. (Для наочності отримані точки з'єднують відрізками прямих.)
Малюнок 1 – багатокутник розподілу
Така постать називається багатокутником розподілу. Багатокутник розподілу, як і ряд розподілу, повністю характеризує випадкову величину; він є однією із форм закону розподілу.
Приклад:
виробляється один досвід, в якому може з'явитися або не з'явитись подія А. Імовірність події А = 0,3. Розглядається випадкова величина Х – кількість появи події А цьому досвіді. Потрібно побудувати ряд і багатокутник розподілу величини Х.
Таблиця 2.
| X i | ||
| P i | 0,7 | 0,3 |
Рисунок 2 – Функція розподілу
Функція розподілує універсальною характеристикою випадкової величини. Вона існує всім випадкових величин: як перервних, і не перервних. Функція розподілу повністю характеризує випадкову величину з імовірнісної точки зору, тобто є однією із форм закону розподілу.
Для кількісної характеристики цього розподілу ймовірностей зручно скористатися не ймовірністю події X = x, а ймовірністю X Функцію розподілу F(x) іноді називають також інтегральною функцією розподілу або інтегральним законом розподілу. Властивості функції розподілу випадкової величини 1. Функція розподілу F(x) є незменшною функцією свого аргументу, тобто при ; 2. На мінус нескінченності: 3. На плюс нескінченності: Рисунок 3 – графік функції розподілу Графік функції розподілуу загальному випадку є графіком незнищуючої функції, значення якої починаються від 0 і доходять до 1. Знаючи низку розподілу випадкової величини, можна побудувати функцію розподілу випадкової величини. Приклад: для попереднього прикладу побудувати функцію розподілу випадкової величини. Побудуємо функцію розподілу X: Рисунок 4 – функція розподілу Х Функція розподілубудь-якої дискретної перервної випадкової величини завжди є розривна ступінчаста функція, стрибки якої відбуваються в точках, відповідних можливим значенням випадкової величини і рівні ймовірностям цих значень. Сума всіх стрибків функції розподілу дорівнює 1. У міру збільшення числа можливих значень випадкової величини та зменшення інтервалів між ними число стрибків стає більше, а самі стрибки – менше: Малюнок 5 Ступінчаста крива стає більш плавною: Малюнок 6 Випадкова величина поступово наближається до безперервної величини, та її функція розподілу до безперервної функції. Також є випадкові величини, можливі значення яких безперервно заповнюють деякий проміжок, але для яких функція розподілу не скрізь є безперервною. І в окремих точках зазнає розриву. Такі випадкові величини називаються змішаними. Малюнок 7 Концепція випадкової величини. Закон розподілу випадкової величини Випадкові величини (скорочено: с. в.) позначаються великими латинськими літерами Х, У, Z,...(або малими грецькими літерами ξ(кси), η(ця), θ
(Тета), ψ
(псі) і т. д.), а значення, що приймаються ними, відповідно малими літерами х 1 ,
х 2 ,…,
у 1 ,
у 2 ,
у 3 …
прикладамис. в. можуть служити: 1) X- Число очок, що з'являються при киданні гральної кістки; 2) У - число пострілів до першого влучення в ціль; 3) Z- час безвідмовної роботи приладу і т. п. (зростання людини, курс долара, кількість бракованих деталей у партії, температура повітря, виграш гравця, координата точки при випадковому виборі її на прибуток фірми, ...). Випадковою величиною XΏ w X(w), тобто. X= X(w), wÎ Ώ (або X = f(w)) (31)
Приклад1.
Досвід полягає у киданні монети 2 рази. На ПЕМ Ώ=( w 1 , w 2 , w 3 , w 4 ), де w 1 =
РР, w 2
= ГР, w 3 = РГ, w 4 =
РР, можна розглянути с. в. X- Число появи герба. С. ст. Xє функцією від елементарної події w i : X( w 1 )
= 2, X( w 2 ) =
1, X( w 3 ) =
1, X( w 4 )=
0; X- д. с. в. зі значеннями x 1 =
0, x 2 =1
, x3 = 2. X(w) S Р(А) = Р(Х< х).
X- д. с. в., x 1 , x 2 , x 3 ,...,x n ,... p i ,де i = 1,2,3, ..., n, ... . Закон розподілуд. с. в. p i = Р (Х = x i},
i=1,2,3,... ,n,..., с. в. X x i. : Оскільки події (X = x 1), (X = x 2),…, (X = x n), тобто. .
(x 1 ,
p 1 ),
(x 2 , p 2), ..., (x n , p n) називають багатокутником(або полігоном) розподілу(Див. рис. 17). Випадкова величина X дискретна,якщо існує кінцева чи лічильна множина чисел x 1 ,
x 2 ,
..., x n таких, що Р(Х = x i) = p i
> 0 (i = 1,2,...) p 1 +
p 2 +
p 3 +…=
1 (32)
Сумоюд. с. в. X, що приймає значення x i з ймовірностями p i = Р (Х = x i), i = 1,2,3, ..., n, і д. с. в. Y, що приймає значення y j з ймовірностями p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3, ..., m, називається д. с. в. Z = X + Y , що приймає значення z ij = x i + y j з ймовірностями p ij = Р(Х = x i ,Y = y j ), для всіх зазначених значень iта j. У разі збігу деяких сум x i + y j відповідні ймовірності складаються. Різницяд. с. в. X, що приймає значення x i з ймовірностями p i = Р (Х = x i), i = 1,2,3, ..., n, і д. с. в. Y, що приймає значення y j з ймовірностями p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3, ..., m, називається д. с. в. Z = X - Y, що приймає значення z ij = x i - y j з ймовірностями p ij = Р (Х = x i, Y = y j), для всіх зазначених значень iта j. У разі збігу деяких різниць x i - y j відповідні ймовірності складаються. Творомд. с. в. X, що приймає значення x i з ймовірностями p i = Р (Х = x i), i = 1,2,3, ..., n, і д. с. в. Y, що приймає значення y j з ймовірностями p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3, ..., m, називається д. с. в. Z = X ? iта j. У разі збігу деяких творів x i x y j відповідні ймовірності складаються. д. с. в. сХ, з x i р i = Р (Х = x i). X і Y події (X = x i ) = А i і (Y = y j ) = j незалежні для будь-яких i = 1,2, ..., n; j = l,2,...,m, тобто. P(X = x i ;Y = y j ) =P(X = x i ) ×P (Y = y j ) (33) приклад 2.У урні 8 куль, у тому числі 5 білих, інші - чорні. З неї виймають навмання 3 кулі. Знайти закон розподілу числа білих кульок у вибірці. Досвідом називається всяке здійснення певних умов і дій за яких спостерігається випадкове явище, що вивчається. Досліди можна характеризувати якісно та кількісно. Випадковою називається величина, яка в результаті досвіду може набувати того чи іншого значення, причому заздалегідь не відомо яке саме. Випадкові величини прийнято позначати (X, Y, Z), а відповідні значення (x, y, z) Дискретними називаються випадкові величини, що приймають окремі ізольовані один від одного значення, які можна переоцінити. Безперервними величиниможливі значення яких постійно заповнюють певний діапазон. Законом розподілу випадкової величини називається будь-яке співвідношення встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкових величин і ймовірності, що їм відповідають. Ряд та багатокутник розподілу. Найпростішою формою закону розподілу дискретної величиниє низка розподілу. Графічною інтерпретацієюРяд розподілу є багатокутник розподілу. Ви також можете знайти цікаву інформацію в науковому пошуковику Otvety.Online. Скористайтеся формою пошуку:
X x 1 x 2 ….
x n …
P p 1 p 2 ….
p n …
Ще на тему 13.Дискретна випадкова величина. Багатокутник розподілу. Операції з випадковими величинами, приклад.
Завантаження...