Дсв x задана законом розподілу. Дискретні випадкові величини

Приклади розв'язання задач на тему «Випадкові величини».

Завдання 1 . У лотереї випущено 100 квитків. Розігрувався один виграш у 50 у.о. та десять виграшів по 10 у.о. Знайти закон розподілу величини X – вартості можливого виграшу.

Рішення. Можливі значення величини X: x 1 = 0; x 2 = 10 та x 3 = 50. Так як "порожніх" квитків - 89, то p 1 = 0,89, ймовірність виграшу 10 у. (10 квитків) – p 2 = 0,10 та для виграшу 50 у.о. - p 3 = 0,01. Таким чином:

	0,89	0,10	0,01

Легко проконтролювати: .

Завдання 2. Імовірність те, що покупець ознайомився заздалегідь з рекламою товару дорівнює 0,6 (р=0,6 ). Здійснюється вибірковий контроль якості реклами шляхом опитування покупців до першого, який вивчив рекламу заздалегідь. Скласти низку розподілу кількості опитаних покупців.

Рішення. Відповідно до умови задачі р = 0,6. Звідки: q=1 -p = 0,4. Підставивши дані значення, отримаємо:і побудуємо низку розподілу:

p i		0,24

Завдання 3. Комп'ютер складається із трьох незалежно працюючих елементів: системного блоку, монітора та клавіатури. При одноразовому різкому підвищенні напруги можливість відмови кожного елемента дорівнює 0,1. Виходячи з розподілу Бернуллі скласти закон розподілу числа елементів, що відмовили при стрибку напруги в мережі.

Рішення. Розглянемо розподіл Бернуллі(або біномне): ймовірність того, що в n випробуваннях подія А з'явиться рівно k разів: , або:

	q n					p n

У ернемося до завдання.

Можливі значення величини X (кількість відмов):

x 0 =0 – жоден із елементів не відмовив;

x 1 =1 - відмова одного елемента;

x 2 =2 - відмова двох елементів;

x 3 =3 - відмова всіх елементів.

Оскільки, за умовою, p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9. Використовуючи формулу Бернуллі, отримаємо

, ,

, .

Контроль: .

Отже, шуканий закон розподілу:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Завдання 4. Виготовлено 5000 набоїв. Імовірність того, що один патрон бракований . Яка ймовірність того, що у всій партії буде рівно 3 браковані патрони?

Рішення. Застосуємо розподіл Пуассона: цей розподіл використовується для визначення ймовірності того, що за дуже великого

кількості випробувань (масові випробування), у кожному з яких ймовірність події A дуже мала, подія A настане раз: де .

Тут n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Знаходимо, тоді шукана ймовірність: .

Завдання 5. При стрільбі до першого влучення з ймовірністю влучення p = 0,6 під час пострілу треба знайти ймовірність того, що попадання відбудеться при третьому пострілі.

Рішення. Застосуємо геометричний розподіл: нехай виробляються незалежні випробування, у кожному у тому числі подія A має можливість появи p (і непояви q = 1 – p). Випробування закінчуються, щойно станеться подія A.

За таких умов ймовірність того, що подія A відбудеться на k-му випробуванні, визначається за такою формулою: . Тут p = 0,6; q = 1 - 0,6 = 0,4; k = 3. Отже, .

Завдання 6. Нехай заданий закон розподілу випадкової величини X:

Знайти математичне очікування.

Рішення. .

Зауважимо, що імовірнісний зміст математичного очікування – це середнє значення випадкової величини.

Завдання 7. Знайти дисперсію випадкової величини X з наступним законом розподілу:

Рішення. Тут .

Закон розподілу квадрата величини X 2 :

X 2

Шукана дисперсія: .

Дисперсія характеризує міру відхилення (розсіювання) випадкової величини від її математичного очікування.

Завдання 8. Нехай випадкова величиназадається розподілом:

			10м

Знайти її числові характеристики.

Рішення: м, м 2 ,

М 2 , М.

Про випадкову величину X можна сказати або її математичне очікування 6,4 м з дисперсією 13,04 м 2 , або – її математичне очікування 6,4 м з відхиленням м. Друге формулювання, зрозуміло, наочніше.

Завдання 9. Випадкова величина X задана функцією розподілу:
.

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування величина X набуде значення, укладеного в інтервалі .

Рішення. Ймовірність те, що X прийме значення із заданого інтервалу, дорівнює збільшенню інтегральної функції цьому інтервалі, тобто. . У нашому випадку і тому

.

Завдання 10. Дискретна випадкова величина X задана законом розподілу:

Знайти функцію розподілу F (x ) та побудувати її графік.

Рішення. Так як функція розподілу,

для , то

при;

при;

при;

при;

Відповідний графік:

Завдання 11.Безперервна випадкова величина X задана диференціальною функцією розподілу: .

Знайти ймовірність влучення X в інтервал

Рішення. Зауважимо, що це окремий випадок показового закону розподілу.

Скористаємося формулою: .

Завдання 12. Знайти числові характеристики дискретної випадкової величини X, заданої законом розподілу:

	–5
	X 2 : X 2 . , де - Функція Лапласа. Значення цієї функції перебувають за допомогою таблиці. У нашому випадку: . За таблицею знаходимо: , отже:

Випадковою величиноюназивають змінну величину, яка в результаті кожного випробування набуває одного заздалегідь невідомого значення, що залежить від випадкових причин. Випадкові величини позначають великими латинськими літерами: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ За своїм типом випадкові величини можуть бути дискретнимиі безперервними.

Дискретна випадкова величина- це така випадкова величина, значення якої можуть бути не більш ніж лічильними, тобто або кінцевими, або лічильними. Під рахунковістю мається на увазі, що значення випадкової величини можна занумерувати.

Приклад 1 . Наведемо приклади дискретних випадкових величин:

а) число попадань у мішень при $n$ пострілах, тут можливі значення $0, 1, dots, n $.

б) число гербів, що випали при підкиданні монети, тут можливі значення $0, 1, dots, n $.

в) число кораблів, що прибули на борт (лічильна безліч значень).

г) кількість викликів, що надходять на АТС (численна кількість значень).

1. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини.

Дискретна випадкова величина $X$ може приймати значення $x_1,\dots,\x_n$ з ймовірностями $p\left(x_1\right),\dots,\p\left(x_n\right)$. Відповідність між цими значеннями та їх ймовірностями називається законом розподілу дискретної випадкової величини. Як правило, ця відповідність задається за допомогою таблиці, у першому рядку якої вказують значення $x_1, \ dots , \ x_n $, а в другому рядку відповідні цим значенням ймовірності $ p_1, \ dots , \ p_n $.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(array)$

Приклад 2 . Нехай випадкова величина $X$ - кількість очок, що випали при підкиданні грального кубика. Така випадкова величина $X$ може приймати наступні значення$ 1, 2, 3, 4, 5, 6 $. Імовірності всіх цих значень дорівнюють $1/6$. Тоді закон розподілу ймовірностей випадкової величини $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Зауваження. Оскільки в законі розподілу дискретної випадкової величини $X$ події $1,\2,\dots,6 утворюють повну групуподій, то сумі ймовірності повинні дорівнювати одиниці, тобто $\sum(p_i)=1$.

2. Математичне очікування дискретної випадкової величини.

Математичне очікування випадкової величинизадає її "центральне" значення. Для дискретної випадкової величини математичне очікування обчислюється як сума творів значень $x_1,\dots,\x_n$ на відповідні цим значенням ймовірності $p_1,\dots,\p_n$, тобто: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. В англомовній літературі використовують інше позначення $ E \ left (X \ right) $.

Властивості математичного очікування$M\left(X\right)$:

1. $M\left(X\right)$ укладено між найменшим і найбільшим значеннямивипадкової величини $ X $.
2. Математичне очікування від константи дорівнює самій константі, тобто. $M\left(Cright)=C$.
3. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування: $ M \ left (CX \ right) = CM \ left (X \ right) $.
4. Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань: $ M \ left (X + Y \ right) = M \ left (X \ right) + M \ left (Y \ right) $.
5. Математичне очікування твору незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань: $ M \ left (XY \ right) = M \ left (X \ right) M \ left (Y \ right) $.

Приклад 3 . Знайдемо математичне очікування випадкової величини $X$ із прикладу $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 ) \ over (6)) = 3,5. $ $

Можемо помітити, що $M\left(X\right)$ укладено між найменшим ($1$) і найбільшим ($6$) значеннями випадкової величини $X$.

Приклад 4 . Відомо, що математичне очікування випадкової величини $ X $ дорівнює $ M \ left (X \ right) = 2 $. Знайти математичне очікування випадкового розміру $3X+5$.

Використовуючи вищезазначені властивості, отримуємо $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2 +5 = 11 $.

Приклад 5 . Відомо, що математичне очікування випадкової величини $ X $ дорівнює $ M \ left (X \ right) = 4 $. Знайти математичне очікування випадкової величини $2X-9$.

Використовуючи вищезазначені властивості, отримуємо $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4 -9 = -1 $.

3. Дисперсія дискретної випадкової величини.

Можливі значення випадкових величин із рівними математичними очікуваннями можуть по-різному розсіюватися навколо своїх середніх значень. Наприклад, у двох студентських групах середній балза іспит з теорії ймовірностей виявився рівним 4, але в одній групі всі виявилися хорошистами, а в іншій групі - тільки трієчники та відмінники. Тому виникає потреба у такій числовій характеристиці випадкової величини, яка б показувала розкид значень випадкової величини навколо свого математичного очікування. Такою характеристикою є дисперсія.

Дисперсія дискретної випадкової величини$X$ дорівнює:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

В англомовній літературі використовуються позначення $ V \ left (X \ right), \ Var \ left (X \ right) $. Дуже часто дисперсію $D\left(X\right)$ обчислюють за формулою $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\left(X) \right)\right))^2$.

Властивості дисперсії$D\left(X\right)$:

1. Дисперсія завжди більша чи дорівнює нулю, тобто. $ D \ left (X \ right) \ ge 0 $.
2. Дисперсія від константи дорівнює нулю, тобто. $ D \ left (C \ right) = 0 $.
3. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії за умови зведення їх у квадрат, тобто. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій, тобто. $ D \ left (X + Y \ right) = D \ left (X \ right) + D \ left (Y \ right) $.
5. Дисперсія різниці незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій, тобто. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Приклад 6 . Обчислимо дисперсію випадкової величини $X$ із прикладу $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\approx 2,92.$$

Приклад 7 . Відомо, що дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює $ D left (X right) = 2 $. Знайти дисперсію випадкової величини $4X+1$.

Використовуючи вищезазначені властивості, знаходимо $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\ left (X right) = 16 cdot 2 = 32 $.

Приклад 8 . Відомо, що дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює $ D \ left (X \ right) = 3 $. Знайти дисперсію випадкової величини $3-2X$.

Використовуючи вищевказані властивості, знаходимо $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\ left (X \ right) = 4 \ cdot 3 = 12 $.

4. Функція розподілу дискретної випадкової величини.

Спосіб подання дискретної випадкової величини у вигляді ряду розподілу не єдиний, а головне він не є універсальним, оскільки безперервну випадкову величину не можна задати за допомогою ряду розподілу. Існує ще один спосіб подання випадкової величини – функція розподілу.

Функцією розподілувипадкової величини $X$ називається функція $F\left(x\right)$, яка визначає ймовірність того, що випадкова величина $X$ прийме значення, менше деякого фіксованого значення $x$, тобто $F\left(x\right )=P\left(X< x\right)$

Властивості функції розподілу:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Імовірність того, що випадкова величина $X$ прийме значення з інтервалу $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях цього інтервалу: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $ F \ left (x \ right) $ - Незменшується.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right) = 1 \) $.

Приклад 9 . Знайдемо функцію розподілу $F\left(xright)$ для закону розподілу дискретної випадкової величини $X$ з прикладу $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Якщо $x\le 1$, то, очевидно, $F\left(x\right)=0$ (у тому числі і при $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Якщо $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Якщо $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Якщо $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Якщо $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Якщо $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Якщо $ x > 6 $, то $ F \ left (x \ right) = P \ left (X = 1 \ right) + P \ left (X = 2 \ right) + P \ left (X = 3 \ right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Отже, $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6, при 1< x\le 2,\\
1/3, \ при 2< x\le 3,\\
1/2, при 3< x\le 4,\\
2/3,\ при 4< x\le 5,\\
5/6,\ при\ 4< x\le 5,\\
1, \ при x > 6.
\end(matrix)\right.$

Як відомо, випадковою величиною називається змінна величинаяка може набувати тих чи інших значень залежно від випадку. Випадкові величини позначають великими літерамилатинського алфавіту (X, Y, Z), які значення – відповідними малими літерами (x, y, z). Випадкові величини поділяються на перервні (дискретні) та безперервні.

Дискретною випадковою величиною називається випадкова величина, що приймає лише кінцеву або нескінченну (лічильна) безліч значень з певними ненульовими ймовірностями.

Законом розподілу дискретної випадкової величини називається функція, що зв'язує значення випадкової величини з відповідними ймовірностями. Закон розподілу може бути заданий одним із таких способів.

1 . Закон розподілу може бути заданий таблицею:

де λ>0, k = 0, 1, 2, … .

в)за допомогою функції розподілу F(x) , Що визначає кожного значення x ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення, менше x, тобто. F(x) = P(X< x).

Властивості функції F(x)

3 . Закон розподілу може бути заданий графічно – багатокутником (полігоном) розподілу (дивись задачу 3).

Зазначимо, що з вирішення деяких завдань необов'язково знати закон розподілу. У деяких випадках достатньо знати одне або кілька чисел, що відображають найважливіші особливості закону розподілу. Це може бути число, що має сенс «середнього значення» випадкової величини, або число, що показує середній розмір відхилення випадкової величини від свого середнього значення. Числа такого роду називають числовими характеристиками випадкової величини.

Основні числові характеристики дискретної випадкової величини :

• Математичне очікування (Середнє значення) дискретної випадкової величини M(X)=Σ x i p i.
  Для біномного розподілу M(X)=np, для розподілу Пуассона M(X)=λ
• Дисперсія дискретної випадкової величини D(X)= M 2або D(X) = M(X 2)− 2. Різниця X-M(X) називають відхиленням випадкової величини від її математичного очікування.
  Для біномного розподілу D(X)=npq, для розподілу Пуассона D(X)=λ
• Середнє квадратичне відхилення (стандартне відхилення) σ(X)=√D(X).

Приклади розв'язання задач на тему «Закон розподілу дискретної випадкової величини»

Завдання 1.

Випущено 1000 лотерейних квитків: на 5 з них випадає виграш у сумі 500 рублів, на 10 – виграш у 100 рублів, на 20 – виграш у 50 рублів, на 50 – виграш у 10 рублів. Визначити закон розподілу ймовірностей випадкової величини X – виграшу однією квиток.

Рішення. За умовою завдання можливі наступні значення випадкової величини X: 0, 10, 50, 100 та 500.

Число квитків без виграшу дорівнює 1000 - (5 +10 +20 +50) = 915, тоді P (X = 0) = 915/1000 = 0,915.

Аналогічно знаходимо решту ймовірностей: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X=500) = 5/1000=0,005. Отриманий закон подаємо у вигляді таблиці:

Знайдемо математичне очікування величини Х: М(Х) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Завдання 3.

Пристрій складається із трьох незалежно працюючих елементів. Імовірність відмови кожного елемента одному досвіді дорівнює 0,1. Скласти закон розподілу числа елементів, що відмовили в одному досвіді, побудувати багатокутник розподілу. Знайти функцію розподілу F(x) та побудувати її графік. Знайти математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини.

Рішення. 1. Дискретна випадкова величина X=(кількість елементів, що відмовили в одному досвіді) має такі можливі значення: х 1 =0 (жоден з елементів пристрою не відмовив), х 2 =1 (відмовив один елемент), х 3 =2 (відмовило два елементи ) і х 4 = 3 (відмовили три елементи).

Відмовлення елементів незалежні один від одного, ймовірності відмови кожного елемента рівні між собою, тому застосовна формула Бернуллі . Враховуючи, що, за умовою, n=3, р=0,1, q=1-р=0,9, визначимо ймовірність значень:
P 3 (0) = 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = 3 2 p 2 q 3-2 = 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = 3 3 p 3 q 3-3 = р 3 =0,1 3 = 0,001;
Перевірка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Таким чином, шуканий біноміальний законрозподілу Х має вигляд:

По осі абсцис відкладаємо можливі значення х i , а осі ординат – відповідні їм ймовірності р i . Побудуємо точки М1 (0; 0,729), М2 (1; 0,243), М3 (2; 0,027), М4 (3; 0,001). З'єднавши ці точки відрізками прямих, отримуємо багатокутник розподілу, що шукається.

3. Знайдемо функцію розподілу F(x) = Р(Х

Для x ≤ 0 маємо F(x) = Р(Х<0) = 0;
для 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
для 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
для 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
для x > 3 буде F(x) = 1, т.к. подія достовірна.

Графік функції F(x)

4. Для біномного розподілу Х:
- Математичне очікування М(X) = np = 3 * 0,1 = 0,3;
- дисперсія D(X) = npq = 3 * 0,1 * 0,9 = 0,27;
- середнє квадратичне відхиленняσ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Визначення 2.3. Випадкова величина, що позначається X, називається дискретною, якщо вона приймає кінцеве чи лічильне безліч значень, тобто. безліч – кінцеве чи лічильне безліч.

Розглянемо приклади дискретних випадкових величин.

1. Одноразово кидають дві монети. Число випадень гербів у цьому експерименті – випадкова величина Х. Її можливі значення 0,1,2, тобто. - Кінцева безліч.

2. Реєструється кількість дзвінків "Швидкої допомоги" протягом певного проміжку часу. Випадкова величина Х– кількість дзвінків. Її можливі значення 0, 1, 2, 3, ..., тобто. =(0,1,2,3,...)– лічильна множина.

3. У групі 25 студентів. Якогось дня реєструється кількість студентів, які прийшли на заняття – випадкова величина Х. Її можливі значення: 0, 1, 2, 3, ..., 25 тобто. = (0, 1, 2, 3, ..., 25).

Хоча всі 25 осіб у прикладі 3 пропустити заняття не можуть, але випадкова величина Хприймати це значення може. Це означає, що значення випадкової величини мають різну ймовірність.

Розглянемо математичну модель дискретної випадкової величини.

Нехай проводиться випадковий експеримент, якому відповідає кінцевий чи лічильний простір елементарних подій. Розглянемо відображення цього простору на безліч дійсних чисел, тобто кожній елементарній події поставимо у відповідність деяке дійсне число , . Безліч чисел у своїй може бути кінцевим чи рахунковим, тобто. або

Система підмножин, до якої входить будь-яке підмножина, у тому числі одноточкове, утворює алгебру числової множини (- звичайно або лічильно).

Оскільки будь-якій елементарній події поставлені у відповідність певні ймовірності р i(у разі кінцевого все), причому, то і кожному значенню випадкової величини можемо поставити у відповідність певну ймовірність р i, Таку, що .

Нехай х- Довільне дійсне число. Позначимо Р Х (х)ймовірність того, що випадкова величина Хприйняла значення, що дорівнює х, тобто. Р Х (х) = Р (Х = х). Тоді функція Р Х (х)може приймати позитивні значення лише за тих значеннях х, які належать кінцевому чи лічильному множині , а за всіх інших значеннях ймовірність цього значення Р Х (х) = 0.

Отже, ми визначили безліч значень -алгебру як систему будь-яких підмножин і кожній події ( X = х) зіставили ймовірність дпя будь-яких, тобто. побудували ймовірнісний простір.

Наприклад, простір елементарних подій експерименту, що складається в дворазовому підкиданні симетричної монети, складається з чотирьох елементарних подій: , де

При дворазовому підкиданні монети випали дві ґрати; при дворазовому підкиданні монети випали два герби;

При першому підкиданні монети випали грати, а при другому – герб;

При першому підкиданні монети випав герб, а при другому – грати.

Нехай випадкова величина Х- Число випадінь решітки. Вона визначена і безліч її значень . Усі можливі підмножини , зокрема і одноточкові, утворюють - алгебру, тобто. =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

Імовірність події ( Х = х i}, і = 1,2,3, визначимо як ймовірність появи події, що є його прообразом:

Таким чином, на елементарних подіях ( X = х i) задали числову функцію Р Х, так що .

Визначення 2.4. Законом розподілу дискретної випадкової величини називається сукупність пар чисел (х i , р i), де х i – можливі значення випадкової величини, а р i – ймовірності, з якими вона набуває цих значень, причому .

Найпростішою формою завдання закону розподілу дискретної випадкової величини є таблиця, в якій перераховані можливі значення випадкової величини та відповідні ймовірності:

			…		…
			…		…

Така таблиця називається рядом розподілу. Щоб надати ряду розподілу наочнішого вигляду, його зображують графічно: на осі Охнаносять крапки х iі проводять із них перпендикуляри завдовжки р i. Отримані точки з'єднують і одержують багатокутник, який є однією з форм закону розподілу (рис. 2.1).

Таким чином, для завдання випадкової дискретної величини потрібно задати її значення і відповідні їм ймовірності.

приклад 2.2.Грошовий приймач автомата спрацьовує при кожному опусканні монети з ймовірністю р. Щойно він спрацював, монети не опускають. Нехай Х- Число монет, які треба опустити до спрацювання грошового приймача автомата. Побудувати низку розподілу дискретної випадкової величини Х.

Рішення.Можливі значення випадкової величини Х: х 1 = 1, х 2 = 2, ..., х до = до, …Знайдемо ймовірність цих значень: р 1- Імовірність того, що грошовий приймач спрацює при першому опусканні, і р 1 = р; р 2 -ймовірність того, що будуть зроблені дві спроби. Для цього потрібно, щоб: 1) за першої спроби грошовий приймач не спрацював; 2) при другій спробі – спрацював. Імовірність цієї події дорівнює (1-р)р. Аналогічно і так далі, . Ряд розподілу Хнабуде вигляду

	1	2	3	…	до	…
	р	qp	q 2 p		q r -1 p

Зауважимо, що ймовірності р доутворюють геометричну прогресію зі знаменником: 1-p=q, q<1, тому такий розподіл ймовірностей називається геометричним.

ІІ припустимо далі, що побудовано математичну модель експерименту, що описується дискретною випадковою величиною Хі розглянемо обчислення ймовірностей настання довільних подій.

Нехай довільна подія містить кінцеве чи лічильне безліч значень х i: A= {х 1, х 2, ..., х i, ...) .Подія Аможна у вигляді об'єднання несумісних подій виду: . Тоді, застосовуючи аксіому Колмогорова 3 , отримуємо

тому що ймовірності настання подій ми визначили рівними ймовірностям появи подій, що є прообразами. Це означає, що і можливість будь-якої події , , можна обчислити за формулою , так як ця подія уявна у вигляді, об'єднання подій , де .

Тоді й функція розподілу F(х) = Р(–<Х<х) знаходиться за формулою. Звідси випливає, що функція розподілу дискретної випадкової величини Хрозривна та зростає стрибками, тобто є ступінчастою функцією (рис. 2.2):

Якщо безліч звичайно, то кількість доданків у формулі звичайно, якщо ж лічильна, то й кількість доданків рахункова.

приклад 2.3.Технічний пристрій складається із двох елементів, що працюють незалежно один від одного. Імовірність виходу з ладу першого елемента за час Т дорівнює 0,2, а ймовірність виходу другого елемента - 0,1. Випадкова величина Х- Число елементів, що відмовили за час Т. Знайти функцію розподілу випадковоївеличини і побудувати її графік.

Рішення.Простір елементарних подій експерименту, що полягає у дослідженні надійності двох елементів технічного пристрою, визначається чотирма елементарними подіями , , , : обидва елементи справні; - Перший елемент справний, другий несправний; - Перший елемент несправний, другий справний; - Обидва елементи несправні. Кожну з елементарних подій можна виразити через елементарні події просторів і , де - Перший елемент справний; - Перший елемент вийшов з ладу; - Другий елемент справний; - Другий елемент вийшов з ладу. Тоді , і так як елементи технічного пристрою працюють незалежно один від одного, то

8. Чому дорівнює можливість, що значення дискретної випадкової величини належать проміжку ?

Дискретними випадковимивеличинами називаються випадкові величини, які приймають лише віддалені друг від друга значення, які можна заздалегідь перерахувати.
Закон розподілу
Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними ймовірностями.
Поруч розподілу дискретної випадкової величини називають перелік її можливих значень та відповідних їм ймовірностей.
Функцією розподілу дискретної випадкової величини називають функцію:
,
визначальну для кожного значення аргументу x ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення менше цього x.

Математичне очікування дискретної випадкової величини
,
де – значення дискретної випадкової величини; - Імовірності прийняття випадковою величиною X значень.
Якщо випадкова величина набуває лічильна безліч можливих значень, то:
.
Математичне очікування числа настань події у n незалежних випробуваннях:
,

Дисперсія та середньоквадратичне відхилення дискретної випадкової величини
Дисперсія дискретної випадкової величини:
або .
Дисперсія числа настань події у n незалежних випробуваннях
,
де p – ймовірність настання події.
Середньоквадратичне відхилення дискретної випадкової величини:
.

Приклад 1
Складіть закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини (д.с.в.) X – числа k випадень хоча б однієї «шістки» у n = 8 киданнях пари гральних кубиків. Побудуйте багатокутник розподілу. Знайдіть числові характеристики розподілу (моду розподілу, математичне очікування M(X), дисперсію D(X), середнє відхилення квадратне s(X)). Рішення:Введемо позначення: подія A – «при киданні пари гральних кубиків шістка з'явилася хоча б один раз». Для знаходження ймовірності P(A) = p події A зручніше спочатку знайти ймовірність P(Ā) = q протилежної події - «при киданні пари гральних кубиків шістка не з'явилася жодного разу».
Оскільки ймовірність непояви «шістки» при киданні одного кубика дорівнює 5/6, то теорема множення ймовірностей
P(?) = q = = .
Відповідно,
P(A) = p = 1 – P(A) = .
Випробування завдання проходять за схемою Бернуллі, тому д.с.в. величина X- Число kвипадень хоча б однієї шістки при киданні двох кубиків підпорядковується біноміальному закону розподілу ймовірностей:

де = - Число поєднань з nпо k.

Проведені для цього завдання розрахунки зручно оформити у вигляді таблиці:
Розподіл імовірностей д.с. X º k (n = 8; p = ; q = )

k
Pn(k)

Полігон (багатокутник) розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Xпредставлений на рис.

Рис. Полігон розподілу ймовірностей д.р. X=k.
Вертикальною лінією показано математичне очікування розподілу M(X).

Знайдемо числові показники розподілу ймовірностей д.с.в. X. Мода розподілу дорівнює 2 (тут P 8 (2) = 0,2932 максимально). Математичне очікування за визначенням дорівнює:
M(X) = = 2,4444,
де xk = k- Значення, що приймається д.с.в. X. Дисперсію D(X) розподілу знайдемо за формулою:
D(X) = = 4,8097.
Середнє квадратичне відхилення (СКО):
s( X) = = 2,1931.

Приклад2
Дискретна випадкова величина Xзадана законом розподілу

Знайти функцію розподілу F(x) та побудувати її графік.

Рішення.Якщо , то (третя властивість).
Якщо то . Справді, Xможе прийняти значення 1 із ймовірністю 0,3.
Якщо то . Справді, якщо задовольняє нерівність
, то дорівнює ймовірності події , яка може бути здійснена, коли Xприйме значення 1 (імовірність цієї події дорівнює 0,3) або значення 4 (імовірність цієї події дорівнює 0,1). Оскільки ці дві події несумісні, то теорема складання ймовірність події дорівнює сумі ймовірностей 0,3 + 0,1 = 0,4. Якщо то . Справді, подія достовірно, отже, її ймовірність дорівнює одиниці. Отже, функція розподілу може бути аналітично записана так:

Графік цієї функції:
Знайдемо ймовірності, що відповідають цим значенням. За умови, ймовірності виходу з ладу приладів рівні: тоді ймовірність того, що прилади будуть робітниками протягом гарантійного терміну рівні:




Закон розподілу має вигляд: