Геометричні додатки певного інтегралу. Фізичні додатки певного інтегралу
Міністерство освіти та науки Російської Федерації
федеральна державна автономна освітня установа
вищої професійної освіти
«Північний (Арктичний) федеральний університетімені М.В. Ломоносова»
Кафедра математики
КУРСОВА РОБОТА
З дисципліни Математика
П'ятишева Анастасія Андріївна
Керівник
ст. викладач
Бородкіна Т. А.
Архангельськ 2014
ЗАВДАННЯ НА КУРСОВУ РОБОТУ
Програми певного інтегралу
ПОЧАТКОВІ ДАНІ:
21. y = x 3, y =; 22.
ВСТУП
У цій роботі, переді мною поставлені такі завдання: обчислити площі фігур, обмежених графіками функцій, обмежених лініями, заданими рівняннями, також обмежених лініями, заданими рівняннями в полярних координатах, обчислити довжини дуг кривих, заданих рівняннями в прямокутній системі координат, заданих параметричними рівняннями , заданих рівняннями в полярних координатах, а також обчислити обсяги тіл, обмежених поверхнями, обмежених графіками функцій, та утворених обертанням фігур, обмежених графіками функцій навколо полярної осі. Мною було обрано курсову роботу на тему «Певний інтеграл. У зв'язку з цим я вирішила дізнатися, як легко і швидко можна використовувати інтегральні обчислення, і наскільки точно можна обчислити поставлені переді мною завдання.
ІНТЕГРАЛ одне з найважливіших понять математики, що виникло у зв'язку з потребою, з одного боку відшукувати функції за їх похідними (наприклад, знаходити функцію, що виражає шлях, пройдений точкою, що рухається, за швидкістю цієї точки), а з іншого - вимірювати площі, обсяги, довжини дуг, роботу зусиль за певний проміжок часу тощо.
Розкриття теми курсової роботия провела за таким планом: визначення певного інтеграла та його властивості; довжина дуги кривої; площа криволінійної трапеції; площа поверхні обертання.
Для будь-якої функції f(x), безперервної на відрізку , існує на цьому відрізку первісна, отже, існує невизначений інтеграл.
Якщо функція F(x) - якась первісна від безперервної функції f(x), то цей вираз відомий під назвою формули Ньютона-Лейбніца:
Основні властивості певного інтегралу:
Якщо нижня і верхня межі інтегрування рівні (a=b), то інтеграл дорівнює нулю:
Якщо f(x)=1, то:
При перестановці меж інтегрування певний інтеграл змінює знак протилежний:
Постійний множник можна виносити за знак певного інтегралу:
Якщо функції інтегруються на, тоді інтегрована на їх суму та інтеграл від суми дорівнює суміінтегралів:
Існують також основні методи інтегрування, наприклад заміна змінної:
Виправлення диференціала:
Формула інтегрування частинами дає можливість звести обчислення інтеграла до обчислення інтеграла, який може виявитися більш простим:
Геометричний змістпевного інтеграла у тому, що з безперервної і неотрицательной функції є у геометричному сенсі площа відповідної криволінійної трапеції.
Крім того, за допомогою певного інтегралу можна знайти площу області, обмеженої кривими, прямими і, де
Якщо криволінійна трапеція обмежена кривою, заданою параметрично прямими x = a і x = b та віссю Ox, то площа її знаходиться за формулою, де визначаються з рівності:
. (12)
Основна область, площу якої знаходять за допомогою певного інтеграла - криволінійний сектор. Це область, обмежена двома променями та кривою, де r і - полярні координати:
Якщо крива є графіком функції де, а функція її похідна безперервна на цьому відрізку, то площу поверхні фігури, утвореної обертанням кривої навколо осі Ox, можна обчислити за формулою:
. (14)
Якщо функція та її похідна безперервні на відрізку, то крива має довжину, рівну:
Якщо рівняння кривої встановлено в параметричній формі
де x(t) та y(t) - безперервні функції з безперервними похідними і то довжина кривої знаходиться за формулою:
Якщо крива задана рівнянням у полярних координатах, де й безперервні на відрізку, тоді довжину дуги можна вважати наступним чином:
Якщо навколо осі Ox обертається криволінійна трапеція, обмежена безперервною лінією відрізком і прямими x = a та x = b, то об'єм тіла, освіченого обертаннямцієї трапеції навколо осі Ox, дорівнюватиме:
Якщо криволінійна трапеція обмежена графіком безперервної функції та прямими x = 0, y = c, y = d (c< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Oy, будет равен:
Якщо фігура обмежена кривими і (перебуває «вище», ніж і прямими x = a, x = b, то об'єм тіла обертання навколо осі Ox дорівнюватиме:
а навколо осі Oy (:
Якщо криволінійний сектор обертатиме навколо полярної осі, то площу отриманого тіла можна знайти за формулою:
2. РІШЕННЯ ЗАВДАНЬ
Завдання 14: Обчислити площі фігур, обмежених графіками функцій:
1) Рішення:
Малюнок 1 - Графік функцій
X змінюється від 0 до
x 1 = -1 і x 2 = 2 – межі інтегрування (це видно на Малюнку 1).
3) Порахуємо площу фігури, використовуючи формулу (10).
Відповідь: S = .
Завдання 15: Обчислити площі фігур, обмежених лініями, заданими рівняннями:
1) Рішення:
Малюнок 2 - Графік функцій
Розглянемо функцію на інтервалі.
Рисунок 3 - Таблиця змінних для функції
Так як, то на цьому періоді поміститися 1 дуга. Ця дуга складається з центральної частини (S 1) та бічних частин. Центральна частина складається з шуканої частини і прямокутника (S пр):. Порахуємо площу однієї центральної частини дуги.
2) Знайдемо межі інтегрування.
і y = 6, отже
Для інтервалу – межі інтегрування.
3) Знайдемо площу фігури, використовуючи формулу (12).
інтеграл криволінійний трапеція
Завдання 16: Обчислити площі фігур, обмежених лініями, заданими рівняннями полярних координатах:
1) Рішення:
Малюнок 4 - Графік функцій,
Малюнок 5 - Таблиця змінних функцій,
2) Знайдемо межі інтегрування.
отже -
3) Знайдемо площу фігури, використовуючи формулу (13).
Відповідь: S =.
Завдання 17: Обчислити довжини дуг кривих, заданих рівняннями прямокутної системі координат:
1) Рішення:
Малюнок 6- Графік функції
Малюнок 7 -Таблиця змінних функцій
2) Знайдемо межі інтегрування.
змінюється від ln до ln, очевидно з умови.
3) Знайдемо довжину дуги, використовуючи формулу (15).
Відповідь: l =
Завдання 18: Обчислити довжину дуг кривих, заданих параметричними рівняннями: 1)
1) Рішення:
Малюнок 8- Графік функції
Малюнок 11- Таблиця змінних функції
2) Знайдемо межі інтегрування.
ц змінюється, це очевидно з умови.
Знайдемо довжину дуги, використовуючи формулу (17).
Завдання 20: Обчислити обсяги тіл, обмежених поверхнями:
1) Рішення:
Малюнок 12 - Графік функцій:
2) Знайдемо межі інтегрування.
Z змінюється від 0 до 3.
3) Знайдемо обсяг фігури, використовуючи формулу (18)
Завдання 21: Обчислити обсяги тіл, обмежених графіками функцій, вісь обертання Ох: 1)
1) Рішення:
Малюнок 13 - Графік функцій
Малюнок 15- Таблиця графіка функції
2) Знайдемо межі інтегрування.
Точки (0;0) і (1;1) є загальними обох графіків, отже і є межі інтегрування, що очевидно малюнку.
3) Знайдемо обсяг фігури, використовуючи формулу (20).
Завдання 22: Обчислити площу тіл, утворених обертанням фігур, обмежених графіками функцій навколо полярної осі:
1) Рішення:
Малюнок 16 - Графік функції
Малюнок 17- Таблиця змінних для графіка функції
2) Знайдемо межі інтегрування.
ц змінюється від
3) Знайдемо площу фігури, використовуючи формулу (22).
Відповідь: 3,68
ВИСНОВОК
У процесі виконання курсової роботи на тему «Певний інтеграл» я навчилася обчислювати площі різних тіл, знаходити довжини різних дуг кривих, а також обчислювати обсяги. Дане уявлення про роботу з інтегралами допоможе мені в майбутньому професійної діяльності, як швидко та оперативно виконувати різні дії. Адже сам інтеграл - одне з найважливіших понять математики, що виникло у зв'язку з потребою, з одного боку відшукувати функції за їх похідними (наприклад, знаходити функцію, що виражає шлях, пройдений точкою, що рухається, за швидкістю цієї точки), а з іншого - вимірювати площі, обсяги, довжини дуг, роботу сил за певний проміжок часу тощо.
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Письмовий, Д.Т. Конспект лекцій з вищої математики: Ч.1 – 9-е вид. – М.: Айріс-прес, 2008. – 288 с.
2. Бугров, Я.С., Микільський, С.М. Вища математика. Диференціальне та інтегральне обчислення: Т.2 – М.: Дрофа, 2004. – 512 с.
3. Зорич В. А. Математичний аналіз. Частина I. - Вид. 4-е - М.: МЦНМО, 2002. -664 с.
4. Кузнєцов Д.А. «Збірник завдань із вищої математики» Москва, 1983 р.
5. Микільський С. Н. «Елементи математичного аналізу». - М: Наука, 1981р.
Подібні документи
Обчислення площ плоских фігур. Знаходження певного інтегралу функції. Визначення площі під кривою площі фігури, укладеної між кривими. Обчислення обсягів тіл обертання. Межа інтегральної суми функції. Визначення об'єму циліндра.
презентація , додано 18.09.2013
Особливості обчислення обсягів тіл, обмежених поверхнями, із застосуванням геометричного сенсу подвійного інтеграла. Визначення площ плоских постатей, обмежених лініями, з використанням методу інтегрування в курсі математичного аналізу.
презентація , доданий 17.09.2013
Похідна певного інтеграла за змінною верхньою межею. Обчислення певного інтеграла як межі інтегральної суми за формулою Ньютона-Лейбніца, заміна змінної та інтегрування частинами. Довжина дуги у полярній системі координат.
контрольна робота , доданий 22.08.2009
Моменти та центри мас плоских кривих. Теорема Гульден. Площа поверхні, утвореної обертанням дуги плоскою кривою навколо осі, що лежить у площині дуги та її не перетинає, дорівнює добутку довжини дуги на довжину кола.
лекція, доданий 04.09.2003
Методика та основні етапи знаходження параметрів: площі криволінійної трапеції та сектора, довжини дуги кривої, об'єму тіл, площі поверхні тіл обертання, роботи змінної сили. Порядок та механізм обчислення інтегралів за допомогою пакету MathCAD.
контрольна робота , доданий 21.11.2010
Необхідне та достатня умоваіснування певного інтегралу. Рівність певного інтеграла від суми алгебри (різниці) двох функцій. Теорема про середнє – слідство та доказ. Геометричний зміст певного інтегралу.
презентація , додано 18.09.2013
Завдання чисельного інтегруванняфункцій. Обчислення наближеного значення певного інтегралу. Знаходження певного інтеграла методами прямокутників, середніх прямокутників, трапецій. Похибка формул і порівняння методів точності.
методичка, доданий 01.07.2009
Способи обчислення інтегралів. Формули та перевірка невизначеного інтеграла. Площа криволінійної трапеції. Невизначений, певний та складний інтеграл. Основні застосування інтегралів. Геометричний зміст певного та невизначеного інтегралів.
презентація , доданий 15.01.2014
Обчислення площі фігури, обмеженої заданими лініями за допомогою подвійного інтеграла. Розрахунок подвійного інтеграла, перейшовши до полярних координат. Методика визначення криволінійного інтеграла другого роду вздовж заданої лінії та потоку векторного поля.
контрольна робота , доданий 14.12.2012
Поняття певного інтеграла, розрахунок площі, об'єму тіла та довжини дуги, статичного моменту та центру тяжкості кривої. Обчислення площі у разі прямокутної криволінійної області. Застосування криволінійного, поверхневого та потрійного інтегралів.
Наведемо деякі додатки певного інтегралу.
Обчислення площі плоскої фігури
Площа криволінійної трапеції, обмеженої кривої (де 
), прямими 
,
та відрізком 
осі 
, обчислюється за формулою
.
Площа фігури, обмеженої кривими 
і 
(де 
) Прямими 
і 
обчислюється за формулою
|
|
.Якщо крива задана параметричними рівняннями 
, то площа криволінійної трапеції, обмеженої цією кривою, прямими 
,
та відрізком 
осі 
, обчислюється за формулою
,
де 
і 
визначаються з рівнянь 
,
, а 
при 
.
Площа криволінійного сектора, обмеженого кривою, заданою в полярних координатах рівнянням 
та двома полярними радіусами 
,
(
), знаходиться за формулою
.
приклад 1.27.Обчислити площу фігури, обмеженою параболою 
і прямий 
(Рис 1.1).
|
|
Рішення.Знайдемо точки перетину прямої та параболи. Для цього вирішимо рівняння
Звідки
|
,
.
,
. Тоді за формулою (1.6) маємо
.Обчислення довжини дуги плоскої кривої
Якщо крива 
на відрізку 
- Гладка (тобто похідна 
безперервна), то довжина відповідної дуги цієї кривої знаходиться за формулою
.
При параметричному завданні кривої 
(
- безперервно диференційовані функції) довжина дуги кривої, що відповідає монотонній зміні параметра 
від 
до 
, обчислюється за формулою
приклад 1.28.Обчислити довжину дуги кривої 
,
,
.
Рішення.Знайдемо похідні за параметром 
:
,
. Тоді за формулою (1.7) отримуємо
.
2. Диференціальне обчислення функцій кількох змінних
Нехай кожній упорядкованій парі чисел 
з деякої області 
відповідає певній кількість 
. Тоді 
називається функцією двох змінних
і 
,
-незалежними змінними
або аргументами
,
-областю визначення
функції, а безліч 
всіх значень функції - областю її значень
і позначають 
.
Геометрично область визначення функції зазвичай є деякою частиною площини 
, обмежену лініями, які можуть належати чи не належати цій галузі.
приклад 2.1.Знайти область визначення 
функції 
.
|
|
Рішення.Ця функція визначена у тих точках площині |
, в яких 
, або 
. Точки площини, для яких 
, утворюють кордон області 
. Рівняння 
задає параболу (рис. 2.1; оскільки парабола не належить до області 
, То вона зображена пунктирною лінією). Далі, легко перевірити безпосередньо, що точки, для яких 
розташовані вище параболи. Область 
є відкритою і її можна поставити за допомогою системи нерівностей:Якщо змінною 
дати деяке приріст 
, а 
залишити постійною, то функція 
отримає приріст 
зване приватним збільшенням функції 
по змінній 
:
Аналогічно, якщо змінна 
отримує приріст 
, а
залишається постійною, то функція 
отримає приріст 
зване приватним збільшенням функції 
по змінній
:
Якщо існують межі:
,
,
вони називаються приватними похідними функції 
за змінними 
і 
відповідно.
Зауваження 2.1. Аналогічно визначаються приватні похідні функцій будь-якої кількості незалежних змінних.
Зауваження 2.2. Оскільки приватна похідна за будь-якою змінною є похідною за цією змінною за умови, що інші змінні – постійні, всі правила диференціювання функцій однієї змінної застосовні перебування приватних похідних функцій будь-якого числа змінних.
приклад 2.2.
.
Рішення. Знаходимо:
,
.
приклад 2.3.Знайти приватні похідні функції 
.
Рішення. Знаходимо:
,
,
.
Повним збільшенням функції
називається різниця
Головна частина повного збільшення функції
, що лінійно залежить від прирощень незалежних змінних 
і 
,називається повним диференціалом функції
і позначається 
. Якщо функція має безперервні похідні приватні, то повний диференціал існує і дорівнює
,
де 
,
- довільні збільшення незалежних змінних, звані їх диференціалами.
Аналогічно для функції трьох змінних 
повний диференціал визначається виразом
.
Нехай функція 
має в точці 
приватні похідні першого порядку за всіма змінними. Тоді векторназивається градієнтом
функції 
у точці 
і позначається 
або 
.
Зауваження 2.3.
Символ 
називається оператором Гамільтона і вимовляється "намбла".
Приклад 2.4.Знайти градієнт функції у точці 
.
Рішення. Знайдемо приватні похідні:
,
,
і обчислимо їх значення у точці 
:
,
,
.
Отже, 
.
Похідний
функції
у точці 
за напрямом вектора
називають межу відношення 
при 
:
, де 
.
Якщо функція
диференційована, то похідна у цьому напрямі обчислюється за такою формулою:
,
де 
,
- кути, який вектор 
утворює з осями 
і 
відповідно.
У разі функції трьох змінних 
похідна за напрямом визначається аналогічно. Відповідна формула має вигляд
|
|
,
де 
- напрямні косинуси вектора 
.
приклад 2.5.Знайти похідну функції 
у точці 
у напрямку вектора 
, де 
.
Рішення. Знайдемо вектор 
та його напрямні косинуси:
,
,
,
.
Обчислимо значення приватних похідних у точці 
:
,
,
;
,
,
.
Підставляючи (2.1), отримуємо
.
Приватними похідними другого порядку називають приватні похідні, взяті від приватних похідних першого порядку:
,
,
,
Приватні похідні 
,
називаються змішаними
. Значення змішаних похідних рівні тих точках, у яких ці похідні безперервні.
приклад 2.6.Знайти приватні похідні другого порядку функції 
.
Рішення. Обчислимо попередньо приватні похідні першого порядку:
,
.
Продиференціювавши їх ще раз, отримаємо:
,
,
,
.
Порівнюючи останні вирази, бачимо, що 
.
приклад 2.7.Довести, що функція 
задовольняє рівняння Лапласа
.
Рішення. Знаходимо:
,
.
,
.
.
Крапка 
називається точкою локального максимуму
(мінімуму
) функції 
якщо для всіх точок 
, відмінних від 
і тих, що належать досить малому її околиці, виконується нерівність
(
).
Максимум або мінімум функції називається її екстремумом . Крапка, в якій досягається екстремум функції, називається точкою екстремуму функції .
Теорема 2.1
(Необхідні умови екстремуму
).
Якщо точка 
є точкою екстремум функції 
, Тої чи хоча б одна з цих похідних не існує.
Крапки, для яких ці умови виконані, називаються стаціонарними або критичними . Точки екстремуму завжди є стаціонарними, але стаціонарна точка може не бути точкою екстремуму. Щоб стаціонарна точка була точкою екстремуму, повинні виконуватись достатні умови екстремуму.
Введемо попередньо такі позначення :
,
,
,
.
Теорема 2.2
(Достатні умови екстремуму
).
Нехай функція 
двічі диференційована на околиці точки 
і крапка 
є стаціонарною для функції 
. Тоді:
1.Якщо 
, то крапка 
є екстремумом функції, причому 
буде точкою максимуму при 
(
)і точкою мінімуму при 
(
).
2.Якщо 
, то в точці 
екстремуму немає.
3.Якщо 
то екстремум може бути, а може і не бути.
приклад 2.8.Дослідити на екстремум функцію 
.
Рішення. Так як в даному випадку приватні похідні першого порядку завжди існують, то для знаходження стаціонарних (критичних) точок вирішимо систему:
,
,
звідки 
,
,
,
. Таким чином, отримали дві стаціонарні точки: 
,
.
,
,
.
Для точки 
отримуємо: тобто в цій точці екстремуму немає. Для точки 
отримуємо: 
, отже
у цій точці дана функціядосягає локального мінімуму: .
Лекції 8. Програми певного інтеграла.
Додаток інтеграла до фізичних завдань ґрунтується на властивості адитивності інтеграла за безліччю. Тому за допомогою інтегралу можуть обчислюватися такі величини, які самі адитивні по множині. Наприклад, площа фігури дорівнює сумі площ її частин Довжина дуги, площа поверхні, об'єм тіла, маса тіла мають ту ж властивість. Тому ці величини можна обчислювати з допомогою певного інтеграла.
Можна використовувати два методи розв'язання задач: метод інтегральних сум та метод диференціалів.
Метод інтегральних сум повторює конструкцію певного інтеграла: будується розбиття, відзначаються точки, у яких обчислюється функція, обчислюється інтегральна сума, виробляється граничний перехід. У цьому вся методі основна складність – довести, що у межі вийде саме те, що потрібно завдання.
Метод диференціалів використовує невизначений інтеграл та формулу Ньютона – Лейбніца. Обчислюють диференціал величини, яку треба визначити, та був, інтегруючи цей диференціал, за формулою Ньютона – Лейбніца отримують необхідну величину. У цьому вся методі основна складність – довести, що обчислено саме диференціал потрібної величини, а чи не що інше.
Обчислення площ плоских фігур.
1. Фігура обмежена графіком функції, заданої декартової системі координат.
Ми дійшли поняття певного інтеграла від завдання площі криволінійної трапеції (фактично, використовуючи метод інтегральних сум). Якщо функція набуває лише невід'ємних значень, то площа під графіком функції на відрізку може бути обчислена за допомогою певного інтеграла . Зауважимо, що 
тому тут можна побачити метод диференціалів.
Але функція може на деякому відрізку приймати і негативні значення, тоді інтеграл цього відрізку даватиме негативну площу, що суперечить визначенню площі.
Можна обчислювати площу за формулоюS=. Це рівнозначно зміні знака функції у тих областях, у яких вона набуває негативних значень.
Якщо треба обчислити площу фігури, обмеженою зверху графіком функції, а знизу графіком функції, то можна користуватися формулоюS=
, так як .
приклад. Обчислити площу фігури, обмеженої прямими x=0, x=2 та графіками функцій y=x 2 , y=x 3 .
Зауважимо, що у інтервалі (0,1) виконано нерівність x 2 > x 3 , а при x >1 виконано нерівність x 3 > x 2 . Тому
2. Фігура обмежена графіком функції, заданої в системі полярної координат.
Нехай графік функції заданий у полярній системі координат і хочемо обчислити площу криволінійного сектора, обмеженого двома променями і графіком функції у полярної системі координат.
Тут можна використовувати метод інтегральних сум, обчислюючи площу криволінійного сектора як межу суми площ елементарних секторів, у яких графік функції замінено дугою кола 
.
Можна використовувати метод диференціалів: 
.
Міркувати можна так. Замінюючи елементарний криволінійний сектор, який відповідає центральному куту круговим сектором, маємо пропорцію . Звідси 
. Інтегруючи та використовуючи формулу Ньютона – Лейбніца, отримуємо 
.
приклад. Обчислимо площу кола (перевіримо формулу). Вважаємо. Площа кола дорівнює 
.
приклад. Обчислимо площу, обмежену кардіоїдою 
.
3 Фігура обмежена графіком функції, заданої параметрами.
Функція може бути задана параметрично як . Використовуємо формулу S=
, підставляючи у ній межі інтегрування за нової змінної . 
. Зазвичай при обчисленні інтеграла виділяють ті області, де підінтегральна функція має певний знак і враховують відповідну площу з тим чи іншим знаком.
приклад. Обчислити площу, обмежену еліпсом.
Використовуємо симетрію еліпса, обчислимо площу чверті еліпса, що у першому квадранті. У цьому квадранті. Тому.
Обчислення обсягів тел.
1. Обчислення обсягів тіл за площами паралельних перерізів.
Нехай потрібно обчислити об'єм деякого тіла V по відомим площамперерізів цього тіла площинами, перпендикулярними до прямої OX, проведеними через будь-яку точку x відрізка прямої OX.
Застосуємо метод диференціалів. Вважаючи елементарний об'єм, над відрізком об'ємом прямого кругового циліндра з площею основи та висотою, отримаємо 
. Інтегруючи та застосовуючи формулу Ньютона – Лейбніца, отримаємо
2. Обчислення обсягів тіл обертання.
Нехай потрібно вирахувати OX.
Тоді 
.
Аналогічно, об'єм тіла обертання навколо осіOYякщо функція задана у вигляді, можна обчислити за формулою.
Якщо функція задана у вигляді та потрібно визначити об'єм тіла обертання навколо осіOYформулу для обчислення обсягу можна отримати наступним чином.
Переходячи до диференціала та нехтуючи квадратичними членами, маємо 
. Інтегруючи та застосовуючи формулу Ньютона – Лейбніца, маємо .
приклад. Обчислити обсяг кулі.
приклад. Обчислити об'єм прямого кругового конуса, обмеженого поверхнею та площиною .
Обчислимо об'єм, як об'єм тіла обертання, утвореного обертанням навколо осі OZ прямокутного трикутника в площині OXZ, катети якого лежать на осі OZ і прямої z = H, а гіпотенуза лежить на прямій.
Виражаючи x через z, отримаємо 
.
Обчислення довжини дуги.
Щоб отримати формули для обчислення довжини дуги, згадаємо виведені в 1 семестрі формули для диференціала довжини дуги.
Якщо дуга є графіком безперервно диференційованої функції, диференціал довжини дуги можна обчислити за формулою
. Тому 
Якщо гладка дуга задана параметрично, то
. Тому 
.
Якщо дуга задана у полярній системі координат, то
. Тому 
.
приклад. Розрахувати довжину дуги графіка функції, . 
.
Лекція 21 Додатки певного інтегралу (2год)
Геометричні додатки
а) Площа фігури
Як уже зазначалося у лекції 19, чисельно дорівнює площікриволінійної трапеції, обмеженою кривою у = f(x) , прямими х = а, х = bта відрізком [ a, b] осі ОХ. При цьому якщо f(x) £ 0 на [ a, b], то інтеграл слід взяти зі знаком мінус.
Якщо ж на заданому відрізку функція у = f(x) змінює знак, то для обчислення площі фігури, укладеної між графіком цієї функції та віссю ОХ, слід розбити відрізок на частини, на кожній з яких функція зберігає знак, і знайти площу кожної частини фігури. Шукана площа в цьому випадку є сума алгебри інтегралів за цими відрізками, причому інтеграли, відповідні негативним значенняфункції, взяті у цій сумі зі знаком «мінус».
Якщо фігура обмежена двома кривими у = f 1 (x) та у = f 2 (x), f 1 (x)£ f 2 (x), то, як випливає з рис.9, її площа дорівнює різниці площ криволінійних трапецій аНД bі аАD b, Кожна з яких чисельно дорівнює інтегралу. Значить,
 |
Зауважимо, що площа фігури, яка зображена на малюнку 10,а знаходяться за такою ж формулою: S = 
(Доведіть це!). Подумайте, як обчислити площу фігури, яка зображена на малюнку 10,б?
Ми вели мову лише про криволінійні трапеції, що належать до осі ОХ. Але аналогічні формули справедливі й у фігур, які належать до осі ОУ. Наприклад, площа фігури, зображеної на малюнку 11, знаходиться за формулою
Нехай лінія y=f(x), що обмежує криволінійну трапецію, може бути задана параметричними рівняннями , tÎ , причому j(a)= а j(b) = b, тобто. у=. Тоді площа цієї криволінійної трапеції дорівнює
.
б) Довжина дуги кривої
Нехай дана крива у = f(x). Розглянемо дугу цієї кривої, що відповідає зміні хна відрізку [ a, b]. Знайдемо довжину цієї дуги. Для цього розіб'ємо дугу АВ на пчастин точками А = М 0, М 1, М 2, ..., М п= В (рис.14), відповідними точками х 1 , х 2 , ..., х п Î [ a, b].
 |
Позначимо D l iдовжину дуги, тоді l=. Якщо довжина дуг D l iдосить малі, їх можна вважати приблизно рівними довжинам відповідних відрізків , що з'єднують точки М i-1, M i. Ці точки мають координати М i -1 (х i -1, f (x i-1)), M i(х i, f(x i)). Тоді довжини відрізків рівні відповідно
Тут використано формулу Лагранжа. Покладемо х i – x i-1 = D х i, отримаємо
Тоді l = 
, звідки
l = 
.
Таким чином, довжина дуги кривої у = f(x), що відповідає зміні хна відрізку [ a, b], знаходиться за формулою
l = 
, (1)
Якщо крива задана параметрично, tÎ, тобто. y(t) = f(x(t)), то з формули (1) отримаємо:
l= 
.
Значить, якщо крива задана параметрично, то довжина дуги цієї кривої, що відповідає зміні tÎ, знаходиться за формулою
в) Об'єм тіла обертання.
|
Розглянемо криволінійну трапецію аАВ b, обмежену лінією у = f(x), прямими х = а, х = bта відрізком [ a,b] осі ОХ (рис.15). Нехай ця трапеція обертається навколо осі ОХ, в результаті вийде тіло обертання. Можна довести, що об'єм цього тіла дорівнюватиме 
Аналогічно можна вивести формулу об'єму тіла, отриманого обертанням навколо осі ОУ криволінійної трапеції, обмеженою графіком функції. х= j( у), прямими y = c , y = dта відрізком [ c,d] осі ОУ (рис.15):
Фізичні додатки певного інтегралу
У лекції 19 ми довели, що з фізичного погляду інтеграл чисельно дорівнює масі прямолінійного тонкого неоднорідного стрижня довжини. l= b – a, Зі змінною лінійною щільністю r = f(x), f(x) ³ 0, де х- Відстань від точки стрижня до його лівого кінця.
Розглянемо інші фізичні програми певного інтеграла.
Завдання 1. Знайти роботу, необхідну для викачування олії з вертикального циліндричного резервуару заввишки Н і радіусом основи R. Щільність олії дорівнює r.
Рішення.Побудуємо математичну модельданої задачі. Нехай вісь ОХ проходить вздовж осі симетрії циліндра висоти Н і радіуса R, початок – у центрі верхньої основициліндра (рис.17). Розіб'ємо циліндр на пмалих горизонтальних елементів. Тоді, де A і- робота з викачування i-го шару. Це розбиття циліндра відповідає розбиття відрізка зміни висоти шару на пчастин. Розглянемо один із таких шарів, розташований на відстані х iвід поверхні, шириною D х(або відразу dx). Викачування цього шару можна як «підняття» шару на висоту х i.
Тоді робота з викачування цього шару дорівнює
A і»Р i x i, 
,
де Р i=rgV i= rgpR 2 dx, Р i- Вага, V i- Об'єм шару. Тоді A і» Р i x i= rgpR 2 dx.х i, звідки
, і, отже, 
.
Завдання 2. Знайти момент інерції
а) порожнистого тонкостінного циліндра щодо осі, що проходить через вісь його симетрії;
б) суцільного циліндра щодо осі, що проходить через вісь його симетрії;
в) тонкого стрижня довжини lщодо осі, що проходить через його середину;
г) тонкого стрижня довжини lщодо осі, що проходить через його лівий кінець.
Рішення.Як відомо, момент інерції точки щодо осі дорівнює J=mr 2, а системи точок.
а) Циліндр тонкостінний, отже, товщиною стінок можна знехтувати. Нехай радіус основи циліндра R, висота Н, щільність мас на стінках дорівнює r.
Розіб'ємо циліндр на пчастин і знайдемо , де J i- момент інерції i-го елемента розбиття
Розглянемо i-й елемент розбиття (нескінченно малий циліндрик) Усі його точки знаходяться на відстані R від осі l. Нехай маса цього циліндрика т iтоді т i= rV i» rS бік= 2prR dx i, де х iÎ. Тоді J i» R 2 prR dx i, звідки
.
Якщо r – постійна, то J= 2prR 3 Н, оскільки при цьому маса циліндра дорівнює М = 2prRН, то J= МR2.
б) Якщо циліндр суцільний (заповнений), то розіб'ємо його на пволженних один одного тонких циліндрів. Якщо пвелике, кожен із цих циліндрів вважатимуться тонкостінним. Це розбиття відповідає розбиття відрізка на пчастин точками R i. Знайдемо масу i-го тонкостінного циліндра: т i= rV i, де
V i= pR i 2 Н - pR i - 1 2 Н = pН(R i 2-R i -1 2) =
РН(R i-R i-1) (R i+R i -1).
Зважаючи на те, що стінки циліндра тонкі, то можна вважати, що R i+R i-1 » 2R i, а R i-R i-1 = DR iтоді V i» pН2R i DR i, звідки т i» rpН×2R i DR i,
Тоді остаточно 
в) Розглянемо стрижень довжини l, Щільність мас якого дорівнює r. Нехай вісь обертання проходить крізь його середину.
Моделюємо стрижень як відрізок осі ОХ, тоді вісь обертання стрижня - вісь ОУ. Розглянемо елементарний відрізок, маса його, відстань до осі вважатимуться приблизно рівним r i= х i. Тоді момент інерції цієї ділянки дорівнює , звідки момент інерції всього стрижня дорівнює 
. Враховуючи, що маса стрижня дорівнює , то
г) Нехай тепер вісь обертання проходить крізь лівий кінець стрижня, тобто. моделлю стрижня є відрізок осі ОХ. Тоді аналогічно, r i= х i, , звідки 
, а оскільки , то .
Завдання 3.Знайти силу тиску рідини із щільністю r на прямокутний трикутникз катетами аі b, занурений вертикально в рідину так, що катет азнаходиться на поверхні рідини.
Рішення.
Побудуємо модель завдання. Нехай вершина прямого кутатрикутника знаходиться на початку координат, катет азбігається з відрізком осі ОУ (вісь ОУ визначає поверхню рідини), вісь ОХ спрямована вниз, катет bзбігається з відрізком цієї осі. Гіпотенуза цього трикутника має рівняння або .
Відомо, що якщо на горизонтальну область площі S, занурену в рідину щільності r, тисне стовп рідини заввишки hто сила тиску дорівнює (закон Паскаля). Скористаємося цим законом.
Головна > ЛекціяЛекція 18. Програми певного інтеграла.
18.1. Обчислення площ плоских фігур.
Відомо, що певний інтеграл на відрізку є площею криволінійної трапеції, обмеженою графіком функції f(x). Якщо графік розташований нижче за осю Ох, тобто. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, площа має знак “+”.
Для знаходження сумарної площі використовується формула.
Площа фігури, обмеженою деякими лініями може бути знайдена за допомогою певних інтегралів, якщо відомі рівняння цих ліній.
приклад.Знайти площу фігури, обмеженої лініями y = x, y = x 2, x = 2.
Потрібна площа (заштрихована на малюнку) може бути знайдена за формулою:
18.2. Знаходження площі криволінійного сектора.
Для знаходження площі криволінійного сектора введемо полярну систему координат. Рівняння кривої, що обмежує сектор у цій системі координат, має вигляд = f(), де – довжина радіус – вектора, що з'єднує полюс із довільною точкою кривої, а – кут нахилу цього радіус – вектора до полярної осі.
Площа криволінійного сектора може бути знайдена за формулою
18.3. Обчислення довжини дуги кривої.
y y = f(x)
S i y i
Довжина ламаної лінії, яка відповідає дузі, може бути знайдена як 
.
Тоді довжина дуги дорівнює 
.
З геометричних міркувань:
В той же час 
Тоді можна показати, що
Тобто. 
Якщо рівняння кривої встановлено параметрично, то з урахуванням правил обчислення похідної параметрично заданої, отримуємо
,
де х = (t) та у = (t).
Якщо задана просторова крива, і х = (t), у = (t) та z = Z(t), то
Якщо крива задана в полярних координатах, то
, = f().
Приклад:Знайти довжину кола, заданого рівнянням x 2 + y 2 = r 2 .
1 спосіб.Виразимо з рівняння змінну у.
Знайдемо похідну 
Тоді S = 2r. Отримали загальновідому формулу довжини кола.
2 спосіб.Якщо уявити задане рівняння у полярній системі координат, то отримаємо: r 2 cos 2 + r 2 sin 2 = r 2 , тобто. функція = f() = r, 
тоді
18.4. Обчислення обсягів тел.
Обчислення об'єму тіла за відомими площами його паралельних перерізів.
Нехай є тіло об'єму V. Площа будь-якого поперечного перерізу тіла Q відома як безперервна функція Q = Q(x). Розіб'ємо тіло на "шари" поперечними перерізами, що проходять через точки х i розбиття відрізка . Т.к. на якомусь проміжному відрізку розбиття функція Q(x) безперервна, то приймає на ньому найбільше і найменше значення. Позначимо їх відповідно M i та m i .
Якщо на цих найбільшому та найменшому перерізах побудувати циліндри з утворюючими, паралельними осі х, то об'єми цих циліндрів будуть відповідно дорівнювати M i x i і mi x i тут x i = x i - x i -1 .
Зробивши такі побудови для всіх відрізків розбиття, отримаємо циліндри, об'єми яких рівні відповідно 
і 
.
При прагненні до нуля кроку розбиття ці суми мають спільну межу:
Таким чином, об'єм тіла може бути знайдений за формулою:
Недоліком цієї формули і те, що знаходження обсягу необхідно знати функцію Q(x), що дуже проблематично для складних тіл.
Приклад:Знайти об'єм кулі радіусу R.
У поперечних перерізах кулі виходять кола змінного радіусу у. Залежно від поточної координати х цей радіус виражається за формулою 
.
Тоді функція площ перерізів має вигляд: Q(x) = 
.
Отримуємо об'єм кулі:
Приклад:Знайти обсяг довільної піраміди з висотою Н та площею основи S.
При перетині піраміди площинами, перпендикулярними висоті, у перерізі отримуємо фігури, подібні до основи. p align="justify"> Коефіцієнт подібності цих фігур дорівнює відношенню x/H, де х - відстань від площини перерізу до вершини піраміди.
З геометрії відомо, що відношення площ подібних фігур дорівнює коефіцієнту подібності квадраті, тобто.
Звідси отримуємо функцію площ перерізів: 
Знаходимо об'єм піраміди:
18.5. Об'єм тіл обертання.
Розглянемо криву, задану рівнянням y = f(x). Припустимо, що функція f(x) безперервна на відрізку . Якщо відповідну їй криволінійну трапецію з основами а та b обертати навколо осі Ох, то отримаємо так зване тіло обертання.
y = f(x)
Т.к. кожне переріз тіла площиною x = const є коло радіусу 
, то об'єм тіла обертання може бути легко знайдений за формулою:
18.6. Площа поверхні тіла обертання.
М i B
Визначення: Площею поверхні обертаннякривою АВ навколо цієї осі називають межу, якого прагнуть площі поверхонь обертання ламаних, вписаних у криву АВ, при прагненні до нуля найбільших із довжин ланок цих ламаних.
Розіб'ємо дугу АВ на n частин точками M0, M1, M2, …, Mn. Координати вершин отриманої ломаної мають координати xi і y . При обертанні ламаної навколо осі отримаємо поверхню, що складається з бічних поверхонь зрізаних конусів, площа яких дорівнює P i . Ця площа може бути знайдена за формулою:
Тут S i – довжина кожної хорди.
Застосовуємо теорему Лагранжа (див. Теорема Лагранжа) до відношення 
.
Завантаження...