Знайти об'єм тіла обертання. Обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням

Використання інтегралів для знаходження обсягів тіл обертання

Практична корисність математики обумовлена тим, що без

конкретних математичних знань утруднено розуміння принципів устрою та використання сучасної техніки. Кожній людині у житті доводиться виконувати досить складні розрахунки, користуватися загальновживаною технікою, знаходити в довідниках застосовувати потрібні формули, складати нескладні алгоритми на вирішення завдань. У сучасному суспільствівсе більше спеціальностей, які вимагають високого рівняосвіти, пов'язані з безпосереднім застосуванням математики. Отже, для школяра математика стає професійним значимим предметом. Провідна роль належить математиці у формуванні алгоритмічного мислення, виховує вміння діяти за заданим алгоритмом та конструювати нові алгоритми.

Вивчаючи тему застосування інтеграла для обчислення обсягів тіл обертання, я пропоную учням на факультативних заняттях розглянути тему: «Обсяги тіл обертання із застосуванням інтегралів». Нижче наводжу методичні рекомендації щодо розгляду цієї теми:

1.Площа плоскої фігури.

З курсу алгебри ми знаємо, що до поняття певного інтегралупривели завдання практичного характеру..gif" width="88"

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Для знаходження об'єму тіла обертання, освіченого обертаннямкриволінійної трапеції навколо осі Оx, обмеженою перервною лінією y=f(x), віссю Оx, прямими x=a та x=b обчислимо за формулою

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3.Об'єм циліндра.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Конус виходить шляхом обертання прямокутного трикутникаАВС(С=90) навколо осі Оx, на якому лежить катет АС.

Відрізок АВ лежить на прямий y, де https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Нехай а = 0, b = H (Н-висота конуса), тоді V.

5.Обсяг усіченого конуса.

Усічений конус можна отримати шляхом обертання прямокутною трапецієюАВСD (CDOx) навколо осі Оx.

Відрізок АВ лежить на прямій y=kx+c де c = r.

Оскільки пряма проходить через точку А (0; r).

Таким чином пряма має вигляд width="303"

Нехай а = 0, b = H (Н-висота зрізаного конуса), тоді http://www.pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" = .

6. Об'єм кулі.

Кулю можна отримати шляхом обертання кола із центром (0;0) навколо осі Оx. Півколо, розташована над віссю Оx, задається рівнянням

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

плоскої фігури навколо осі

Приклад 3

Дана плоска фігура, обмежена лініями , , .

1) Знайти площу плоскої фігури, обмеженої даними лініями.

2) Знайти об'єм тіла, отриманого обертанням плоскої фігури, обмеженою даними лініями навколо осі .

Увага!Навіть якщо ви хочете ознайомитися тільки з другим пунктом, спочатку обов'язковопрочитайте перший!

Рішення: Завдання складається з двох частин Почнемо із площі.

1) Виконаємо креслення:

Легко помітити, що функція визначає верхню гілку параболи, а функція – нижню гілку параболи. Перед нами тривіальна парабола, яка лежить на боці.

Потрібна фігура, площу якої належить знайти, заштрихована синім кольором.

Як знайти площу фігури? Її можна знайти «звичайним» способом. Причому площа фігури знаходиться як сума площ:

- На відрізку ;

- На відрізку.

Тому:

Є більш раціональний шлях рішення: він полягає в переході до зворотних функцій та інтегрування по осі.

Як перейти до зворотних функцій? Грубо кажучи, потрібно висловити "ікс" через "ігрок". Спочатку розберемося з параболою:

Цього достатньо, але переконаємося, що таку саму функцію можна вивести з нижньої гілки:

З прямою все простіше:

Тепер дивимося на вісь: будь ласка, періодично нахиляйте голову вправо на 90 градусів по ходу пояснень (це не прикол!). Потрібна нам постать лежить на відрізку, який позначений червоним пунктиром. При цьому на відрізку пряма розташована вище параболи, а значить, площу фігури слід знайти за вже знайомою вам формулою: . Що змінилося у формулі? Тільки літера, і не більше.

! Примітка : Межі інтегрування по осі слід розставлятистрого знизу нагору !

Знаходимо площу:

На відрізку , тому:

Зверніть увагу, як я здійснив інтегрування, це раціональний спосіб, і в наступному пункті завдання буде зрозуміло – чому.

Для читачів, які сумніваються у коректності інтегрування, знайду похідні:

Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже інтегрування виконано правильно.

Відповідь:

2) Обчислимо об'єм тіла, утвореного обертанням цієї фігури, навколо осі.

Перемалюю креслення трохи в іншому оформленні:

Отже, фігура, заштрихована синім кольором, обертається довкола осі. В результаті виходить «високий метелик», який крутиться навколо своєї осі.

Для знаходження об'єму тіла обертання інтегруватимемо по осі. Спочатку потрібно перейти до зворотних функцій. Це вже зроблено та детально розписано у попередньому пункті.

Тепер знову нахиляємо голову вправо та вивчаємо нашу фігуру. Очевидно, що об'єм тіла обертання слід знайти як різницю об'ємів.

Обертаємо фігуру, обведену червоним кольором, навколо осі, в результаті виходить зрізаний конус. Позначимо цей обсяг через .

Повертаємо фігуру, обведену зеленим кольоромнавколо осі і позначаємо через обсяг отриманого тіла обертання.

Обсяг нашого метелика дорівнює різниці обсягів.

Використовуємо формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

У чому на відміну від формули попереднього параграфа? Лише у букві.

А ось і перевага інтегрування, про яку я нещодавно говорив, набагато легше знайти ніж попередньо зводити підінтегральну функцію в 4-у ступінь.

Відповідь:

Зверніть увагу, що якщо цю ж плоску фігуру обертати навколо осі, то вийде зовсім інше тіло обертання, іншого, природно, об'єму.

Приклад 7

Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженою кривими та .

Рішення: Виконаємо креслення:

Принагідно знайомимося з графіками деяких інших функцій. Такий цікавий графік парної функції ….

Для мети знаходження об'єму тіла обертання достатньо використовувати праву половину фігури, яку я заштрихував синім кольором. Обидві функції є парними, їх графіки симетричні щодо осі, симетрична та наша фігура. Таким чином, заштрихована права частина, обертаючись навколо осі, неодмінно збігається з лівою нештрихованою частиною.

Об'єм тіла обертання можна обчислити за такою формулою:

У формулі перед інтегралом обов'язково є число . Так повелося – все, що у житті крутиться, пов'язане з цією константою.

Як розставити межі інтегрування «а» та «бе», гадаю, легко здогадатися з виконаного креслення.

Що це за функція? Давайте подивимося на креслення. Плоска фігура обмежена графіком параболи зверху. Це і є та функція, що мається на увазі у формулі.

У практичних завданнях плоска фігура іноді може розташовуватися нижче осі. Це нічого не змінює - функція у формулі зводиться в квадрат: таким чином об'єм тіла обертання завжди невід'ємнийщо дуже логічно.

Обчислимо об'єм тіла обертання, використовуючи цю формулу:

Як я вже зазначав, інтеграл майже завжди виходить простим, головне, бути уважним.

Відповідь:

У відповіді потрібно обов'язково вказати розмірність – кубічні одиниці. Тобто у нашому тілі обертання приблизно 3,35 «кубиків». Чому саме кубічні одиниці? Тому що найбільш універсальне формулювання. Можуть бути кубічні сантиметри, можуть бути кубічні метри, можуть бути кубічні кілометри і т.д., це вже, скільки зелених чоловічків вашу уяву помістить у тарілку, що літає.

Приклад 2

Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженою лініями , ,

Це приклад самостійного рішення. Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Розглянемо два складніші завдання, які теж часто зустрічаються на практиці.

Приклад 3

Обчислити об'єм тіла, отриманого при обертанні навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями , ,

Рішення:Зобразимо на кресленні плоску фігуру, обмежену лініями , , , не забуваючи при цьому, що рівняння задає вісь :

Шукана фігура заштрихована синім кольором. При її обертанні навколо осі виходить такий сюрреалістичний бублик із чотирма кутами.

Об'єм тіла обертання обчислимо як різницю обсягів тіл.

Спочатку розглянемо фігуру, обведену червоним кольором. При її обертанні навколо осі виходить усічений конус. Позначимо обсяг цього зрізаного конуса через .

Розглянемо фігуру, обведену зеленим кольором. Якщо обертати цю фігуру навколо осі, то вийде також усічений конус, тільки трохи менше. Позначимо його обсяг через .

І, очевидно, різниця обсягів – точно обсяг нашого «бублика».

Використовуємо стандартну формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

1) Фігура, обведена червоним кольором обмежена зверху прямою, тому:

2) Фігура, обведена зеленим кольором обмежена зверху прямою, тому:

3) Обсяг шуканого тіла обертання:

Відповідь:

Цікаво, що у разі рішення можна перевірити, використовуючи шкільну формулу для обчислення обсягу зрізаного конуса.

Саме рішення частіше оформляють коротше, приблизно так:

Тепер трохи відпочинемо, і розповім про геометричні ілюзії.

У людей часто виникають ілюзії, пов'язані з обсягами, які помітив ще Перельман (не той) у книзі Цікава геометрія. Подивіться на плоску фігуру у вирішеному завданні - вона начебто невелика за площею, а об'єм тіла обертання становить трохи більше 50 кубічних одиниць, що здається занадто великим. До речі, середньостатистична людина за все своє життя випиває рідину об'ємом із кімнату площею 18 квадратних метрівщо навпаки здається занадто маленьким обсягом.

Взагалі, система освіти в СРСР справді була найкращою. Та сама книга Перельмана, написана ним ще 1950 року, дуже добре розвиває, як сказав гуморист, міркування і вчить шукати оригінальні нестандартні вирішення проблем. Нещодавно з великим інтересом перечитав деякі розділи, рекомендую, доступні навіть для гуманітаріїв. Ні, не треба посміхатися, що я запропонував безпонтове проведення часу, ерудиція та широкий кругозір у спілкуванні – чудова штука.

Після ліричного відступуякраз доречно вирішити творче завдання:

Приклад 4

Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням щодо осі плоскої фігури, обмеженою лініями , , де .

Це приклад самостійного рішення. Зверніть увагу, що всі справи відбуваються в смузі, іншими словами, дано практично готові межі інтегрування. Також постарайтеся правильно накреслити графіки тригонометричних функцій, якщо аргумент поділяється на два: то графіки розтягуються по осі в два рази. Спробуйте знайти хоча б 3-4 точки за тригонометричними таблицямиі точніше виконати креслення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. До речі, завдання можна вирішити раціонально та не дуже раціонально.

Обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням
плоскої фігури навколо осі

Другий параграф буде ще цікавішим, ніж перший. Завдання на обчислення об'єму тіла обертання навколо осі ординат – теж досить частий гість контрольні роботи. Принагідно буде розглянута завдання про знаходження площі фігуриДругим способом - інтегруванням по осі, це дозволить вам не тільки покращити свої навички, але і навчить знаходити найбільш вигідний шлях рішення. У цьому є практичний життєвий сенс! Як з усмішкою згадувала мій викладач за методикою викладання математики, багато випускників дякували її словам: «Нам дуже допоміг Ваш предмет, тепер ми ефективні менеджери та оптимально керуємо персоналом». Користуючись нагодою, я теж висловлюю свою велику подяку, тим більше, що використовую отримані знання за прямим призначенням =).

Приклад 5

Дана плоска фігура, обмежена лініями , , .

1) Знайти площу плоскої фігури, обмеженої даними лініями.
2) Знайти об'єм тіла, отриманого обертанням плоскої фігури, обмеженою даними лініями навколо осі .

Увага!Навіть якщо ви хочете ознайомитися тільки з другим пунктом, спочатку обов'язковопрочитайте перший!

Рішення:Завдання і двох частин. Почнемо із площі.

1) Виконаємо креслення:

Потрібна фігура, площу якої належить знайти, заштрихована синім кольором.

Як знайти площу фігури? Її можна знайти «звичайним» способом, що розглядався на уроці Визначений інтеграл. Як обчислити площу фігури. Причому площа фігури знаходиться як сума площ:
- На відрізку ;
- На відрізку.

Тому:

Чим у разі поганий простий шлях рішення? По-перше, вийшло два інтеграли. По-друге, під інтегралами коріння, а коріння в інтегралах – не подарунок, до того ж можна заплутатися у підстановці меж інтегрування. Насправді, інтеграли, звичайно, не вбивчі, але на практиці все буває значно сумнішим, просто я підібрав для завдання функції «краще».

Є більш раціональний шлях рішення: він полягає в переході до зворотних функцій та інтегрування по осі.

Цього достатньо, але переконаємося, що таку саму функцію можна вивести з нижньої гілки:

З прямою все простіше:

! Примітка: Межі інтегрування по осі слід розставляти строго знизу нагору!

Знаходимо площу:

На відрізку , тому:

Для читачів, які сумніваються у коректності інтегрування, знайду похідні:

Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже інтегрування виконано правильно.

Відповідь:

2) Обчислимо об'єм тіла, утвореного обертанням цієї фігури, навколо осі.

Перемалюю креслення трохи в іншому оформленні:

Повертаємо фігуру, обведену зеленим кольором, навколо осі та позначаємо через об'єм отриманого тіла обертання.

Обсяг нашого метелика дорівнює різниці обсягів.

Використовуємо формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

У чому на відміну від формули попереднього параграфа? Лише у букві.

Відповідь:

Однак нехилий метелик.

Приклад 6

Дана плоска фігура, обмежена лініями, та віссю.

1) Перейти до зворотних функцій та знайти площу плоскої фігури, обмеженої даними лініями, інтегруванням по змінній .
2) Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням плоскої фігури, обмеженою даними лініями навколо осі .

Крім знаходження площі плоскої фігури за допомогою певного інтегралу (див. 7.2.3)найважливішим додатком теми є обчислення об'єму тіла обертання. Матеріал простий, але читач має бути підготовленим: необхідно вміти вирішувати невизначені інтегралисередньої складності та застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца в певному інтегралі, нвже впевнені навички побудови креслень. Взагалі в інтегральному численні багато цікавих додатків, за допомогою певного інтеграла можна обчислити площу фігури, об'єм тіла обертання, довжину дуги, площу поверхні тіла та багато іншого. Уявіть деяку плоску фігуру на координатної площини. Уявили? ... Тепер цю фігуру можна ще й обертати, причому обертати двома способами:

– навколо осі абсцис ;

– навколо осі ординат .

Розберемо обидва випадки. Особливо цікавий другий спосіб обертання, він викликає найбільші труднощі, але насправді рішення практично таке саме, як і в більш поширеному обертанні навколо осі абсцис. Почнемо з найбільш популярного різновиду обертання.

Обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням плоскої фігури навколо осі OX

Приклад 1

Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням фігури, обмеженою лініями навколо осі .

Рішення:Як і завдання на перебування площі, рішення починається з креслення плоскої фігури. Тобто, на площині XOYНеобхідно побудувати фігуру, обмежену лініями, при цьому не забуваємо, що рівняння задає вісь. Креслення тут досить простий:

Плоска фігура, що шукається, заштрихована синім кольором, саме вона і обертається навколо осі. В результаті обертання виходить така трохи яйцеподібна літаюча тарілка з двома гострими вершинами на осі OXсиметрична щодо осі OX. Насправді у тіла є математична назва, подивіться у довіднику.

Як визначити обсяг тіла обертання? Якщо тіло утворено внаслідок обертання навколо осіOX, його подумки поділяють на паралельні шари малої товщини. dx, які перпендикулярні до осі OX. Обсяг всього тіла дорівнює, очевидно, сумі обсягів таких елементарних шарів. Кожен шар, як кругла часточка лимона, – низенький циліндр висотою dxі з радіусом основи f(x). Тоді обсяг одного шару є добуток площі основи π f 2 на висоту циліндра ( dx), або π∙ f 2 (x)∙dx. А площа всього тіла обертання є сумою елементарних обсягів, або відповідним певним інтегралом. Об'єм тіла обертання можна обчислити за такою формулою:

Як розставити межі інтегрування «а» та «бе», легко здогадатися із виконаного креслення. Що це за функція? Давайте подивимося на креслення. Плоска фігура обмежена графіком параболи зверху. Це і є та функція, що мається на увазі у формулі. У практичних завданнях плоска фігура іноді може розташовуватися нижче осі OX. Це нічого не змінює – функція у формулі зводиться у квадрат: f 2 (x), таким чином, об'єм тіла обертання завжди невід'ємнийщо дуже логічно. Обчислимо об'єм тіла обертання, використовуючи цю формулу:

Як ми вже зазначали, інтеграл майже завжди виходить простим, головне, бути уважним.

Відповідь:

У відповіді потрібно обов'язково вказати розмірність – кубічні одиниці. Тобто у нашому тілі обертання приблизно 3,35 «кубиків». Чому саме кубічні одиниці? Тому що це найбільш універсальне формулювання. Можуть бути кубічні сантиметри, можуть бути кубічні метри, можуть бути кубічні кілометри і т.д., це вже скільки зелених чоловічків вашу уяву помістить в тарілку, що літає.

Приклад 2

Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі OXфігури, обмеженої лініями , , .

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Приклад 3

Обчислити об'єм тіла, отриманого при обертанні навколо осі абсцис фігури, обмеженою лініями , , та .

Рішення:Зобразимо на кресленні плоску фігуру, обмежену лініями , , , , не забуваючи при цьому, що рівняння x= 0 задає вісь OY:

Шукана фігура заштрихована синім кольором. При її обертанні навколо осі OXвиходить плоский незграбний бублик (шайба з двома конічними поверхнями).

Об'єм тіла обертання обчислимо як різницю обсягів тіл. Спочатку розглянемо фігуру, обведену червоним кольором. При її обертанні навколо осі OXвиходить зрізаний конус. Позначимо обсяг цього усіченого конуса через V 1 .

Розглянемо фігуру, обведену зеленим кольором. Якщо обертати цю фігуру навколо осі OX, то вийде теж усічений конус, тільки трохи менше. Позначимо його обсяг через V 2 .

Очевидно, що різниця обсягів, V = V 1 - V 2, - це обсяг нашого «бублика».

Використовуємо стандартну формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

1) Фігура, обведена червоним кольором обмежена зверху прямою, тому:

2) Фігура, обведена зеленим кольором обмежена зверху прямою, тому:

3) Обсяг шуканого тіла обертання:

Відповідь:

Саме рішення частіше оформляють коротше, приблизно так:

Тема: "Обчислення обсягів тіл обертання за допомогою певного інтеграла"

Тип уроку:комбінований.

Мета уроку:навчитися обчислювати обсяги тіл обертання з допомогою інтегралів.

Завдання:

закріпити вміння виділяти криволінійні трапеції з ряду геометричних фігурта відпрацювати навичку обчислень площ криволінійних трапецій;

познайомитись із поняттям об'ємної фігури;

навчитися обчислювати обсяги тіл обертання;

сприяти розвитку логічного мислення, грамотної математичної мови, акуратності при побудові креслень;

виховувати інтерес до предмета, до оперування математичними поняттями та образами, виховати волю, самостійність, наполегливість при досягненні кінцевого результату.

Хід уроку

I. Організаційний момент.

Вітання групи. Повідомлення учням цілей уроку.

Сьогоднішній урок мені хотілося б почати з притчі. “Жив мудрець, котрий знав усе. Одна людина захотіла довести, що мудрець не все знає. Затиснувши в долонях метелика, він запитав: "Скажи, мудрецю, який метелик у мене в руках: мертвий чи живий?" А сам думає: "Скаже жива - я її у мертвлю, скаже мертва - випущу". Мудрець, подумавши, відповів: "Усі в твоїх руках".

Тому давайте сьогодні плідно попрацюємо, придбаємо новий багаж знань, і отримані вміння та навички будемо застосовувати у подальшому житті та у практичній діяльності. “Все у Ваших руках”.

ІІ. Повторення раніше вивченого матеріалу.

Згадаймо основні моменти раніше вивченого матеріалу. Для цього виконаємо завдання "Виключіть зайве слово".

(Студенти кажуть зайве слово.)

Правильно "Диференціал".Спробуйте слова назвати одним загальним словом. (Інтегральне числення.)

Давайте пригадаємо основні етапи та поняття пов'язані з інтегральним обчисленням.

Завдання.Відновіть перепустки. (Студент виходить та вписує маркером необхідні слова.)

Робота у зошитах.

Формулу Ньютона-Лейбніца вивели англійський фізик Ісаака Ньютона (1643-1727) та німецький філософ Готфріда Лейбніца (1646-1716). І це не дивно, адже математика - мова, якою говорить сама природа.

Розглянемо, як із вирішенні практичних завдань використовується ця формула.

Приклад 1: Обчислити площу фігури, обмеженою лініями

Рішення:Побудуємо на координатній площині графіки функцій . Виділимо площу фігури, яку треба знайти.

ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

Зверніть увагу на екран. Що зображено першому малюнку? (На малюнку представлена плоска фігура.)

Що зображено на другому малюнку? Чи ця фігура є плоскою? (На малюнку представлена об'ємна фігура.)

У космосі, на землі та в повсякденному життіми зустрічаємося не лише з плоскими фігурами, а й об'ємними, а як же обчислити обсяг таких тіл? Наприклад: обсяг планети, комети, метеорита і т.д.

Про обсяг замислюються і будування будинку, і переливаючи воду з однієї судини в іншу. Правила та прийоми обчислення обсягів мали виникати, інша справа, наскільки вони були точні та обґрунтовані.

1612 був для жителів австрійського міста Лінц, де жив тоді відомий астроном Йоганн Кеплер дуже врожайним, особливо на виноград. Люди заготовляли бочки винні і хотіли знати, як практично визначити їх обсяги.

Таким чином, розглянуті роботи Кеплера започаткували цілий поток досліджень, що увінчалися в останній чверті XVII ст. оформленням у працях І. Ньютона та Г.В. Лейбниця диференціального та інтегрального обчислення. Математика змінних велич зайняла відтоді чільне місце у системі математичних знань.

Ось сьогодні ми з вами і займемося такою практичною діяльністю, отже,

Тема нашого уроку: "Обчислення обсягів тіл обертання за допомогою певного інтегралу".

Визначення тіла обертання ви дізнаєтесь, виконавши таке завдання.

"Лабіринт".

Завдання.Знайдіть вихід із заплутаного положення та запишіть визначення.

IVОбчислення обсягів.

За допомогою певного інтеграла можна обчислити обсяг того чи іншого тіла, зокрема тіла обертання.

Тілом обертання називається тіло, отримане обертанням криволінійної трапеції навколо її основи (рис. 1, 2)

Обсяг тіла обертання обчислюється по одній із формул:

1. довкола осі ОХ.

2. , якщо обертання криволінійної трапеції довкола осі ОУ.

Студенти записують основні формули в зошит.

Викладач пояснює рішення прикладів на дошці.

1. Знайти об'єм тіла, що отримується обертанням навколо осі ординат криволінійної трапеції, обмеженої лініями: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Рішення.

Відповідь: 1163 cm3.

2. Знайти об'єм тіла, що отримується обертанням параболічної трапеції, навколо осі абсцис y = , x = 4, y = 0.

Рішення.

V. Математичний тренажер.

2. Сукупність всіх первісних від цієї функції називається

а) невизначеним інтегралом,

Б) функцією,

в) диференціацією.

7. Знайти об'єм тіла, що отримується обертанням навколо осі абсцис криволінійної трапеції, обмеженої лініями:

Д/З. Закріплення нового матеріалу

Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням пелюстки, навколо осі абсцис y = x2, y2 = x.

Побудуємо графіки функції. y = x2, y2 = x. Графік y2 = x перетворимо на вид y = .

Маємо V = V1 - V2 Обчислимо обсяг кожної функції:

Висновок:

Певний інтеграл - це певний фундамент вивчення математики, яка робить незамінний внесок у вирішення завдань практичного змісту.

Тема "Інтеграл" яскраво демонструє зв'язок математики з фізикою, біологією, економікою та технікою.

Розвиток сучасної наукинемислимо без використання інтегралу. У зв'язку з цим, починати його вивчення необхідно в рамках середнього спеціальної освіти!

VI. Виставлення оцінок.(З коментуванням.)

Великий Омар Хайям – математик, поет, філософ. Він закликає бути господарями своєї долі. Слухаємо уривок із його твору:

Ти скажеш, це життя – одну мить.
Її цінуй, у ній черпай натхнення.
Як проведеш її, так і пройде.
Не забувай: вона – твоє творіння.