Об'єм тіла обертання можна обчислити за такою формулою:

У формулі перед інтегралом обов'язково є число . Так повелося – все, що у житті крутиться, пов'язане з цією константою.

Як розставити межі інтегрування «а» та «бе», гадаю, легко здогадатися з виконаного креслення.

Що це за функція? Давайте подивимося на креслення. Плоска фігура обмежена графіком параболи зверху. Це і є та функція, що мається на увазі у формулі.

У практичних завданнях плоска фігура іноді може розташовуватися нижче осі. Це нічого не змінює - функція у формулі зводиться в квадрат: таким чином об'єм тіла обертання завжди невід'ємнийщо дуже логічно.

Обчислимо об'єм тіла обертання, використовуючи цю формулу:

Як я вже зазначав, інтеграл майже завжди виходить простим, головне, бути уважним.

Відповідь:

У відповіді потрібно обов'язково вказати розмірність – кубічні одиниці. Тобто у нашому тілі обертання приблизно 3,35 «кубиків». Чому саме кубічні одиниці? Тому що найбільш універсальне формулювання. Можуть бути кубічні сантиметри, можуть бути кубічні метри, можуть бути кубічні кілометри і т.д., це вже, скільки зелених чоловічків вашу уяву помістить у тарілку, що літає.

Приклад 2

Знайти об'єм тіла, освіченого обертаннямнавколо осі фігури, обмеженої лініями , ,

Це приклад самостійного рішення. Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Розглянемо два складніші завдання, які теж часто зустрічаються на практиці.

Приклад 3

Обчислити об'єм тіла, отриманого при обертанні навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями , ,

Рішення:Зобразимо на кресленні плоску фігуру, обмежену лініями , , , не забуваючи при цьому, що рівняння задає вісь :

Шукана фігура заштрихована синім кольором. При її обертанні навколо осі виходить такий сюрреалістичний бублик із чотирма кутами.

Об'єм тіла обертання обчислимо як різницю обсягів тіл.

Спочатку розглянемо фігуру, обведену червоним кольором. При її обертанні навколо осі виходить усічений конус. Позначимо обсяг цього зрізаного конуса через .

Розглянемо фігуру, яка обведена зеленим кольором. Якщо обертати цю фігуру навколо осі, то вийде також усічений конус, тільки трохи менше. Позначимо його обсяг через .

І, очевидно, різниця обсягів – точно обсяг нашого «бублика».

Використовуємо стандартну формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

1) Фігура, обведена червоним кольором обмежена зверху прямою, тому:

2) Фігура, обведена зеленим кольором обмежена зверху прямою, тому:

3) Обсяг шуканого тіла обертання:

Відповідь:

Цікаво, що у разі рішення можна перевірити, використовуючи шкільну формулу для обчислення обсягу зрізаного конуса.

Саме рішення частіше оформляють коротше, приблизно так:

Тепер трохи відпочинемо, і розповім про геометричні ілюзії.

У людей часто виникають ілюзії, пов'язані з обсягами, які помітив ще Перельман (не той) у книзі Цікава геометрія. Подивіться на плоску фігуру у вирішеному завданні - вона начебто невелика за площею, а об'єм тіла обертання становить трохи більше 50 кубічних одиниць, що здається занадто великим. До речі, середньостатистична людина за все своє життя випиває рідину об'ємом із кімнату площею 18 квадратних метрівщо навпаки здається занадто маленьким обсягом.

Взагалі, система освіти в СРСР справді була найкращою. Та ж книга Перельмана, написана ним ще у 1950 році, дуже добре розвиває, як сказав гуморист, міркування та вчить шукати оригінальні нестандартні вирішення проблем. Нещодавно з великим інтересом перечитав деякі розділи, рекомендую, доступні навіть для гуманітаріїв. Ні, не треба посміхатися, що я запропонував безпонтове проведення часу, ерудиція та широкий кругозір у спілкуванні – чудова штука.

Після ліричного відступуякраз доречно вирішити творче завдання:

Приклад 4

Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням щодо осі плоскої фігури, обмеженою лініями , , де .

Це приклад самостійного рішення. Зверніть увагу, що всі справи відбуваються в смузі, іншими словами, дано практично готові межі інтегрування. Також постарайтеся правильно накреслити графіки тригонометричних функцій, якщо аргумент ділиться на два: то графіки розтягуються по осі в два рази. Спробуйте знайти хоча б 3-4 точки за тригонометричними таблицямиі точніше виконати креслення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. До речі, завдання можна вирішити раціонально та не дуже раціонально.

Обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням
плоскої фігури навколо осі

Другий параграф буде ще цікавішим, ніж перший. Завдання на обчислення об'єму тіла обертання навколо осі ординат – теж досить частий гість контрольні роботи. Принагідно буде розглянута завдання про знаходження площі фігуриДругим способом - інтегруванням по осі, це дозволить вам не тільки покращити свої навички, але і навчить знаходити найбільш вигідний шлях рішення. У цьому є практичний життєвий сенс! Як з усмішкою згадувала мій викладач за методикою викладання математики, багато випускників дякували її словам: «Нам дуже допоміг Ваш предмет, тепер ми ефективні менеджери та оптимально керуємо персоналом». Користуючись нагодою, я теж висловлюю свою велику подяку, тим більше, що використовую отримані знання за прямим призначенням =).

Приклад 5

Дана плоска фігура, обмежена лініями , , .

1) Знайти площу плоскої фігури, обмеженої даними лініями.
2) Знайти об'єм тіла, отриманого обертанням плоскої фігури, обмеженою даними лініями навколо осі .

Увага!Навіть якщо ви хочете ознайомитися тільки з другим пунктом, спочатку обов'язковопрочитайте перший!

Рішення:Завдання і двох частин. Почнемо із площі.

1) Виконаємо креслення:

Легко помітити, що функція визначає верхню гілку параболи, а функція – нижню гілку параболи. Перед нами тривіальна парабола, яка лежить на боці.

Потрібна фігура, площу якої належить знайти, заштрихована синім кольором.

Як знайти площу фігури? Її можна знайти «звичайним» способом, що розглядався на уроці Визначений інтеграл. Як обчислити площу фігури. Причому площа фігури знаходиться як сума площ:
- На відрізку ;
- На відрізку.

Тому:

Чим у разі поганий простий шлях рішення? По-перше, вийшло два інтеграли. По-друге, під інтегралами коріння, а коріння в інтегралах – не подарунок, до того ж можна заплутатися у підстановці меж інтегрування. Насправді, інтеграли, звичайно, не вбивчі, але на практиці все буває значно сумнішим, просто я підібрав для завдання функції «краще».

Є більш раціональний шлях рішення: він полягає в переході до зворотних функцій та інтеграції по осі.

Як перейти до зворотних функцій? Грубо кажучи, треба висловити "ікс" через "ігрок". Спочатку розберемося з параболою:

Цього достатньо, але переконаємося, що таку саму функцію можна вивести з нижньої гілки:

З прямою все простіше:

Тепер дивимося на вісь: будь ласка, періодично нахиляйте голову вправо на 90 градусів по ходу пояснень (це не прикол!). Потрібна нам постать лежить на відрізку, який позначений червоним пунктиром. При цьому на відрізку пряма розташована вище параболи, а значить, площу фігури слід знайти за вже знайомою вам формулою: . Що змінилося у формулі? Тільки літера, і не більше.

! Примітка: Межі інтегрування по осі слід розставляти строго знизу нагору!

Знаходимо площу:

На відрізку , тому:

Зверніть увагу, як я здійснив інтегрування, це раціональний спосіб, і в наступному пункті завдання буде зрозуміло – чому.

Для читачів, які сумніваються у коректності інтегрування, знайду похідні:

Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже інтегрування виконано правильно.

Відповідь:

2) Обчислимо об'єм тіла, утвореного обертанням цієї фігури, навколо осі.

Перемалюю креслення трохи в іншому оформленні:

Отже, фігура, заштрихована синім кольором, обертається довкола осі. В результаті виходить «високий метелик», який крутиться навколо своєї осі.

Для знаходження об'єму тіла обертання інтегруватимемо по осі. Спочатку потрібно перейти до зворотних функцій. Це вже зроблено та детально розписано у попередньому пункті.

Тепер знову нахиляємо голову вправо та вивчаємо нашу фігуру. Очевидно, що об'єм тіла обертання слід знайти як різницю об'ємів.

Обертаємо фігуру, обведену червоним кольором, навколо осі, в результаті виходить зрізаний конус. Позначимо цей обсяг через .

Повертаємо фігуру, обведену зеленим кольором, навколо осі та позначаємо через об'єм отриманого тіла обертання.

Обсяг нашого метелика дорівнює різниці обсягів.

Використовуємо формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

У чому на відміну від формули попереднього параграфа? Лише у букві.

А ось і перевага інтегрування, про яку я нещодавно говорив, набагато легше знайти ніж попередньо зводити підінтегральну функцію в 4-у ступінь.

Відповідь:

Однак нехилий метелик.

Зверніть увагу, що якщо цю ж плоску фігуру обертати навколо осі, то вийде зовсім інше тіло обертання, іншого, природно, об'єму.

Приклад 6

Дана плоска фігура, обмежена лініями, та віссю.

1) Перейти до зворотних функцій та знайти площу плоскої фігури, обмеженої даними лініями, інтегруванням по змінній .
2) Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням плоскої фігури, обмеженою даними лініями навколо осі .

Як обчислити об'єм тіла обертання
за допомогою певного інтегралу?

Взагалі в інтегральному численні дуже багато цікавих додатків, за допомогою певного інтеграла можна обчислити площу фігури, об'єм тіла обертання, довжину дуги, площу поверхні обертання та багато іншого. Тому буде весело, будь ласка, налаштуйтеся на оптимістичний лад!

Уявіть деяку плоску фігуру на координатної площини. Уявили? ... Цікаво, хто що представив... =))) Її площу ми вже знаходили. Але, крім того, цю фігуру можна ще й крутити, причому крутити двома способами:

- навколо осі абсцис;
- Навколо осі ординат.

У цій статті буде розібрано обидва випадки. Особливо цікавий другий спосіб обертання, він викликає найбільші труднощі, але насправді рішення практично таке ж, як і в поширеному обертанні навколо осі абсцис. Як бонус я повернуся до задачі знаходження площі фігури, і розповім вам, як знаходити площу другим способом - по осі. Навіть не так бонус, скільки матеріал успішно вписується в тему.

Почнемо з найбільш популярного різновиду обертання.

плоскої фігури навколо осі

Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням фігури, обмеженою лініями навколо осі .

Рішення: Як і в задачі на перебування площі, рішення починається з креслення плоскої фігури. Тобто, на площині необхідно побудувати фігуру, обмежену лініями, при цьому не забуваємо, що рівняння задає вісь. Як раціональніше і швидше виконати креслення, можна дізнатися на сторінках Графіки та властивості Елементарних функційта . Це китайське нагадування, і зараз я більше не зупиняюся.

Креслення тут досить простий:

В результаті обертання виходить така трохи яйцевидна літаюча тарілка, яка симетрична щодо осі. Насправді у тіла є математична назва, але за довідником щось ліньки уточнювати, тому їдемо далі.

Як визначити обсяг тіла обертання?

Об'єм тіла обертання можна обчислити за формулою:

У формулі перед інтегралом обов'язково є число . Так повелося – все, що у житті крутиться, пов'язане з цією константою.

Як розставити межі інтегрування «а» та «бе», гадаю, легко здогадатися з виконаного креслення.

Що це за функція? Давайте подивимося на креслення. Плоска фігура обмежена графіком параболи зверху. Це і є та функція, що мається на увазі у формулі.

У практичних завданнях плоска фігура іноді може розташовуватися нижче осі. Це нічого не змінює - підінтегральна функція у формулі зводиться у квадрат: таким чином інтеграл завжди невід'ємнийщо дуже логічно.

Обчислимо об'єм тіла обертання, використовуючи цю формулу:

Як я вже зазначав, інтеграл майже завжди виходить простим, головне, бути уважним.

Відповідь:

У відповіді потрібно обов'язково вказати розмірність - кубічні одиниці. Тобто у нашому тілі обертання приблизно 3,35 «кубиків». Чому саме кубічні одиниці? Тому що найбільш універсальне формулювання. Можуть бути кубічні сантиметри, можуть бути кубічні метри, можуть бути кубічні кілометри і т.д., це вже скільки зелених чоловічків вашу уяву помістить в тарілку, що літає.

Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженою лініями , ,

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Розглянемо два складніші завдання, які теж часто зустрічаються на практиці.

Обчислити об'єм тіла, отриманого при обертанні навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями , ,

Рішення: Зобразимо на кресленні плоску фігуру, обмежену лініями , , , , не забуваючи при цьому, що рівняння задає вісь :

Шукана фігура заштрихована синім кольором. При її обертанні навколо осі виходить такий сюрреалістичний бублик із чотирма кутами.

Об'єм тіла обертання обчислимо як різницю обсягів тіл.

Спочатку розглянемо фігуру, обведену червоним кольором. При її обертанні навколо осі виходить усічений конус. Позначимо обсяг цього зрізаного конуса через .

Розглянемо фігуру, обведену зеленим кольором. Якщо обертати цю фігуру навколо осі, то вийде також усічений конус, тільки трохи менше. Позначимо його обсяг через .

І, очевидно, різницю обсягів - точно обсяг нашого «бублика».

Використовуємо стандартну формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

1) Фігура, обведена червоним кольором обмежена зверху прямою, тому:

2) Фігура, обведена зеленим кольором обмежена зверху прямою, тому:

3) Обсяг шуканого тіла обертання:

Відповідь:

Цікаво, що у разі рішення можна перевірити, використовуючи шкільну формулу для обчислення обсягу зрізаного конуса.

Саме рішення частіше оформляють коротше, приблизно так:

Тепер трохи відпочинемо, і розповім про геометричні ілюзії.

У людей часто виникають ілюзії, пов'язані з обсягами, які помітив ще Перельман (інший) у книзі Цікава геометрія. Подивіться на плоску фігуру у вирішеній задачі - вона начебто невелика за площею, а об'єм тіла обертання становить трохи більше 50 кубічних одиниць, що здається занадто великим. До речі, середньостатистична людина за все своє життя випиває рідину об'ємом із кімнату площею 18 квадратних метрів, що, навпаки, видається надто маленьким об'ємом.

Після ліричного відступу якраз доречно вирішити творче завдання:

Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням щодо осі плоскої фігури, обмеженою лініями , , де .

Це приклад самостійного рішення. Зверніть увагу, що всі відносини відбуваються в смузі, тобто, фактично дані готові межі інтегрування. Правильно накресліть графіки тригонометричних функцій, нагадаю матеріал уроку про геометричних перетвореннях графіків: якщо аргумент ділиться на два: , то графіки розтягуються по осі удвічі. Бажано знайти хоча б 3-4 крапки за тригонометричними таблицями, щоб точніше виконати креслення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. До речі, завдання можна вирішити раціонально та не дуже раціонально.

Обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням
плоскої фігури навколо осі

Другий параграф буде ще цікавішим, ніж перший. Завдання на обчислення об'єму тіла обертання навколо осі ординат - також досить частий гість у контрольних роботах. Принагідно буде розглянута завдання про знаходження площі фігуриДругим способом - інтегруванням по осі, це дозволить вам не тільки покращити свої навички, але й навчить знаходити найвигідніший шлях рішення. У цьому є практичний життєвий сенс! Як з усмішкою згадувала мій викладач за методикою викладання математики, багато випускників дякували її словам: «Нам дуже допоміг Ваш предмет, тепер ми ефективні менеджери та оптимально керуємо персоналом». Користуючись нагодою, я теж висловлюю свою велику подяку, тим більше, що використовую отримані знання за прямим призначенням =).

Рекомендую для прочитання всім навіть повним чайникам. Більш того, засвоєний матеріал другого параграфа надасть неоціненну допомогу при обчисленні подвійних інтегралів.

Дана плоска фігура, обмежена лініями , , .

1) Знайти площу плоскої фігури, обмеженої даними лініями.
2) Знайти об'єм тіла, отриманого обертанням плоскої фігури, обмеженою даними лініями навколо осі .

Увага!Навіть якщо ви хочете ознайомитися тільки з другим пунктом, спочатку обов'язково прочитайте перший!

Рішення: Завдання складається з двох частин Почнемо із площі.

1) Виконаємо креслення:

Легко помітити, що функція задає верхню гілку параболи, а функція – нижню гілку параболи. Перед нами тривіальна парабола, яка лежить на боці.

Потрібна фігура, площу якої належить знайти, заштрихована синім кольором.

Як знайти площу фігури? Її можна знайти «звичайним» способом, що розглядався на уроці Визначений інтеграл. Як обчислити площу фігури. Причому площа фігури знаходиться як сума площ:
- на відрізку ;
- На відрізку.

Тому:

Чим у разі поганий простий шлях рішення? По-перше, вийшло два інтеграли. По-друге, під інтегралами коріння, а коріння в інтегралах – не подарунок, до того ж можна заплутатися у підстановці меж інтегрування. Насправді, інтеграли, звичайно, не вбивчі, але на практиці все буває значно сумнішим, просто я підібрав для завдання функції «краще».

Є більш раціональний шлях рішення: він полягає в переході до зворотних функцій та інтеграції по осі.

Як перейти до зворотних функцій? Грубо кажучи, треба висловити "ікс" через "ігрок". Спочатку розберемося з параболою:

Цього достатньо, але переконаємося, що таку саму функцію можна вивести з нижньої гілки:

З прямою все простіше:

Тепер дивимося на вісь: будь ласка, періодично нахиляйте голову вправо на 90 градусів по ходу пояснень (це не прикол!). Потрібна нам постать лежить на відрізку, який позначений червоним пунктиром. При цьому на відрізку пряма розташована вище параболи, а значить, площу фігури слід знайти за вже знайомою вам формулою: . Що змінилося у формулі? Тільки літера, і не більше.

! Примітка: Межі інтегрування по осі слід розставляти строго знизу нагору!

Знаходимо площу:

На відрізку , тому:

Зверніть увагу, як я здійснив інтегрування, це раціональний спосіб, і в наступному пункті завдання буде зрозуміло - чому.

Для читачів, які сумніваються у коректності інтегрування, знайду похідні:

Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже інтегрування виконано правильно.

Відповідь:

2) Обчислимо об'єм тіла, утвореного обертанням цієї фігури, навколо осі.

Перемалюю креслення трохи в іншому оформленні:

Отже, фігура, заштрихована синім кольором, обертається довкола осі. В результаті виходить «високий метелик», який крутиться навколо своєї осі.

Для знаходження об'єму тіла обертання інтегруватимемо по осі. Спочатку потрібно перейти до зворотних функцій. Це вже зроблено та детально розписано у попередньому пункті.

Тепер знову нахиляємо голову вправо та вивчаємо нашу фігуру. Очевидно, що об'єм тіла обертання слід знайти як різницю об'ємів.

Обертаємо фігуру, обведену червоним кольором, навколо осі, в результаті виходить зрізаний конус. Позначимо цей обсяг через .

Повертаємо фігуру, обведену зеленим кольором, навколо осі та позначаємо через об'єм отриманого тіла обертання.

Обсяг нашого метелика дорівнює різниці обсягів.

Використовуємо формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

У чому на відміну від формули попереднього параграфа? Лише у букві.

А ось і перевага інтегрування, про яку я нещодавно говорив, набагато легше знайти ніж попередньо зводити підінтегральну функцію в 4-у ступінь.

Відповідь:

Зверніть увагу, що якщо цю ж плоску фігуру обертати навколо осі, то вийде зовсім інше тіло обертання, іншого, природно, об'єму.

Дана плоска фігура, обмежена лініями, та віссю.

1) Перейти до зворотних функцій та знайти площу плоскої фігури, обмеженої даними лініями, інтегруванням по змінній .
2) Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням плоскої фігури, обмеженою даними лініями навколо осі .

Це приклад самостійного рішення. Бажаючі також можуть знайти площу фігури «звичайним» способом, виконавши цим перевірку пункту 1). А от якщо, повторюся, обертатимете плоску фігуру навколо осі, то вийде зовсім інше тіло обертання з іншим обсягом, до речі, правильна відповідь (теж для любителів вирішувати).

Повне рішення двох запропонованих пунктів завдання наприкінці уроку.

Так, і не забувайте нахиляти голову праворуч, щоб розібратися в тілах обертання та в межах інтегрування!

Хотів було вже закінчити статтю, але сьогодні принесли цікавий прикладсаме на знаходження об'єму тіла обертання навколо осі ординат. Свіжачок:

Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженою кривими та .

Рішення: Виконаємо креслення:

Принагідно знайомимося з графіками деяких інших функцій. Такий цікавий графік парної функції ….

Об'єм тіла обертання можна обчислити за формулою:

У формулі перед інтегралом обов'язково є число . Так повелося – все, що у житті крутиться, пов'язане з цією константою.

Як розставити межі інтегрування «а» та «бе», гадаю, легко здогадатися з виконаного креслення.

Що це за функція? Давайте подивимося на креслення. Плоска фігура обмежена графіком параболи зверху. Це і є та функція, що мається на увазі у формулі.

У практичних завданнях плоска фігура іноді може розташовуватися нижче осі. Це нічого не змінює – підінтегральна функція у формулі зводиться у квадрат: таким чином інтеграл завжди невід'ємний що дуже логічно.

Обчислимо об'єм тіла обертання, використовуючи цю формулу:

Як я вже зазначав, інтеграл майже завжди виходить простим, головне, бути уважним.

Відповідь:

У відповіді потрібно обов'язково вказати розмірність – кубічні одиниці. Тобто у нашому тілі обертання приблизно 3,35 «кубиків». Чому саме кубічні одиниці? Тому що найбільш універсальне формулювання. Можуть бути кубічні сантиметри, можуть бути кубічні метри, можуть бути кубічні кілометри і т.д., це вже скільки зелених чоловічків вашу уяву помістить в тарілку, що літає.

Приклад 2

Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженою лініями,

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Розглянемо два складніші завдання, які теж часто зустрічаються на практиці.

Приклад 3

Обчислити об'єм тіла, отриманого при обертанні навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями

Рішення: Зобразимо на кресленні плоску фігуру, обмежену лініями,,,, не забуваючи при цьому, що рівняння задає вісь:

Шукана фігура заштрихована синім кольором. При її обертанні навколо осі виходить такий сюрреалістичний бублик із чотирма кутами.

Об'єм тіла обертання обчислимо як різницю обсягів тіл.

Спочатку розглянемо фігуру, обведену червоним кольором. При її обертанні навколо осі виходить усічений конус. Позначимо обсяг цього зрізаного конуса через.

Розглянемо фігуру, обведену зеленим кольором. Якщо обертати цю фігуру навколо осі, то вийде також усічений конус, тільки трохи менше. Позначимо його обсяг через.

І, очевидно, різниця обсягів – точно обсяг нашого «бублика».

Використовуємо стандартну формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

1) Фігура, обведена червоним кольором обмежена зверху прямою, тому:

2) Фігура, обведена зеленим кольором обмежена зверху прямою, тому:

3) Обсяг шуканого тіла обертання:

Відповідь:

Цікаво, що у разі рішення можна перевірити, використовуючи шкільну формулу для обчислення обсягу зрізаного конуса.

Саме рішення частіше оформляють коротше, приблизно так:

Тепер трохи відпочинемо, і розповім про геометричні ілюзії.

У людей часто виникають ілюзії, пов'язані з обсягами, які помітив ще Перельман (інший) у книзі Цікава геометрія. Подивіться на плоску фігуру у вирішеному завданні - вона начебто невелика за площею, а об'єм тіла обертання становить трохи більше 50 кубічних одиниць, що здається занадто великим. До речі, середньостатистична людина за все своє життя випиває рідину об'ємом із кімнату площею 18 квадратних метрів, що, навпаки, видається надто маленьким об'ємом.

Взагалі, система освіти в СРСР справді була найкращою. Та сама книга Перельмана, видана ще 1950 року, дуже добре розвиває, як сказав гуморист, міркування і вчить шукати оригінальні нестандартні вирішення проблем. Нещодавно з великим інтересом перечитав деякі розділи, рекомендую, доступні навіть для гуманітаріїв. Ні, не треба посміхатися, що я запропонував безпонтове проведення часу, ерудиція та широкий кругозір у спілкуванні – чудова штука.

Після ліричного відступу якраз доречно вирішити творче завдання:

Приклад 4

Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням щодо осі плоскої фігури, обмеженої лініями, де.

Це приклад самостійного рішення. Зверніть увагу, що всі відносини відбуваються в смузі, тобто, фактично дані готові межі інтегрування. Правильно накресліть графіки тригонометричних функцій, нагадаю матеріал уроку про геометричних перетвореннях графіків : якщо аргумент ділиться на два: , то графіки розтягуються по осив двічі. Бажано знайти хоча б 3-4 крапки за тригонометричними таблицями , щоб точніше виконати креслення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. До речі, завдання можна вирішити раціонально та не дуже раціонально.

Як обчислити об'єм тіла обертання за допомогою певного інтегралу?

Крім знаходження площі плоскої фігури за допомогою певного інтегралу найважливішим додатком теми є обчислення об'єму тіла обертання. Матеріал простий, але читач має бути підготовленим: необхідно вміти вирішувати невизначені інтеграли середньої складності та застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца в певному інтегралі . Як і для завдання знаходження площі, потрібні впевнені навички побудови креслень – це чи не найважливіше (оскільки інтеграли власними силами частіше будуть легкими). Освоїти грамотну та швидку техніку побудови графіків можна за допомогою методичного матеріалу . Але, власне, про важливість креслень я вже неодноразово говорив на уроці .

Взагалі в інтегральному обчисленні дуже багато цікавих додатків, за допомогою певного інтеграла можна обчислити площу фігури, об'єм тіла обертання, довжину дуги, площу поверхні тіла та багато іншого. Тому буде весело, будь ласка, налаштуйтеся на оптимістичний лад!

Подайте деяку плоску фігуру на координатній площині. Уявили? ... Цікаво, хто що представив... =))) Її площу ми вже знаходили. Але, крім того, цю фігуру можна ще й крутити, причому крутити двома способами:

– навколо осі абсцис; - Навколо осі ординат.

У цій статті буде розібрано обидва випадки. Особливо цікавий другий спосіб обертання, він викликає найбільші труднощі, але насправді рішення практично таке ж, як і в поширеному обертанні навколо осі абсцис. Як бонус я повернуся до задачі знаходження площі фігури , і розповім вам, як знаходити площу другим способом - по осі. Навіть не так бонус, скільки матеріал успішно вписується в тему.

Почнемо з найбільш популярного різновиду обертання.

Приклад 1

Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням фігури, обмеженою лініями навколо осі.

Рішення:Як і завдання на перебування площі, рішення починається з креслення плоскої фігури. Тобто, на площині необхідно побудувати фігуру, обмежену лініями, при цьому не забуваємо, що рівняння задає вісь. Як раціональніше і швидше виконати креслення, можна дізнатися на сторінках Графіки та властивості Елементарних функцій і Визначений інтеграл. Як обчислити площу фігури . Це китайське нагадування, і зараз я більше не зупиняюся.

Креслення тут досить простий:

Плоска фігура, що шукається, заштрихована синім кольором, саме вона і обертається навколо осі. В результаті обертання виходить така яйцеподібна літаюча тарілка, яка симетрична щодо осі. Насправді у тіла є математична назва, але в довіднику щось ліньки дивитися, тому їдемо далі.

Як визначити обсяг тіла обертання?

Об'єм тіла обертання можна обчислити за такою формулою:

У формулі перед інтегралом обов'язково є число . Так повелося – все, що у житті крутиться, пов'язане з цією константою.

Як розставити межі інтегрування «а» та «бе», гадаю, легко здогадатися з виконаного креслення.

Що це за функція? Давайте подивимося на креслення. Плоска фігура обмежена графіком параболи зверху. Це і є та функція, що мається на увазі у формулі.

У практичних завданнях плоска фігура іноді може розташовуватися нижче осі. Це нічого не змінює – функція у формулі зводиться у квадрат: таким чином об'єм тіла обертання завжди невід'ємнийщо дуже логічно.

Обчислимо об'єм тіла обертання, використовуючи цю формулу:

Як я вже зазначав, інтеграл майже завжди виходить простим, головне, бути уважним.

Відповідь:

У відповіді потрібно обов'язково вказати розмірність – кубічні одиниці. Тобто у нашому тілі обертання приблизно 3,35 «кубиків». Чому саме кубічні одиниці? Тому що найбільш універсальне формулювання. Можуть бути кубічні сантиметри, можуть бути кубічні метри, можуть бути кубічні кілометри і т.д., це вже скільки зелених чоловічків вашу уяву помістить в тарілку, що літає.

Приклад 2

Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженою лініями,

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Розглянемо два складніші завдання, які теж часто зустрічаються на практиці.

Приклад 3

Обчислити об'єм тіла, отриманого при обертанні навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями

Рішення:Зобразимо на кресленні плоску фігуру, обмежену лініями,,,, не забуваючи при цьому, що рівняння задає вісь:

Шукана фігура заштрихована синім кольором. При її обертанні навколо осі виходить такий сюрреалістичний бублик із чотирма кутами.

Об'єм тіла обертання обчислимо як різницю обсягів тіл.

Спочатку розглянемо фігуру, обведену червоним кольором. При її обертанні навколо осі виходить усічений конус. Позначимо обсяг цього зрізаного конуса через.

Розглянемо фігуру, обведену зеленим кольором. Якщо обертати цю фігуру навколо осі, то вийде також усічений конус, тільки трохи менше. Позначимо його обсяг через.

І, очевидно, різниця обсягів – точно обсяг нашого «бублика».

Використовуємо стандартну формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

1) Фігура, обведена червоним кольором обмежена зверху прямою, тому:

2) Фігура, обведена зеленим кольором обмежена зверху прямою, тому:

3) Обсяг шуканого тіла обертання:

Відповідь:

Цікаво, що у разі рішення можна перевірити, використовуючи шкільну формулу для обчислення обсягу зрізаного конуса.

Саме рішення частіше оформляють коротше, приблизно так:

Тепер трохи відпочинемо, і розповім про геометричні ілюзії.

У людей часто виникають ілюзії, пов'язані з обсягами, які помітив ще Перельман (не той) у книзі Цікава геометрія. Подивіться на плоску фігуру у вирішеному завданні - вона начебто невелика за площею, а об'єм тіла обертання становить трохи більше 50 кубічних одиниць, що здається занадто великим. До речі, середньостатистична людина за все своє життя випиває рідину об'ємом із кімнату площею 18 квадратних метрів, що, навпаки, видається надто маленьким об'ємом.

Взагалі, система освіти в СРСР справді була найкращою. Та ж книга Перельмана, написана ним ще у 1950 році, дуже добре розвиває, як сказав гуморист, міркування та вчить шукати оригінальні нестандартні вирішення проблем. Нещодавно з великим інтересом перечитав деякі розділи, рекомендую, доступні навіть для гуманітаріїв. Ні, не треба посміхатися, що я запропонував безпонтове проведення часу, ерудиція та широкий кругозір у спілкуванні – чудова штука.

Після ліричного відступу якраз доречно вирішити творче завдання:

Приклад 4

Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням щодо осі плоскої фігури, обмеженої лініями, де.

Це приклад самостійного рішення. Зверніть увагу, що всі справи відбуваються в смузі, іншими словами, дано практично готові межі інтегрування. Також постарайтеся правильно накреслити графіки тригонометричних функцій, якщо аргумент ділиться на два: то графіки розтягуються по осив два рази. Спробуйте знайти хоча б 3-4 точки за тригонометричними таблицями і точніше виконати креслення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку. До речі, завдання можна вирішити раціонально та не дуже раціонально.

Обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням плоскої фігури навколо осі

Другий параграф буде ще цікавішим, ніж перший. Завдання на обчислення об'єму тіла обертання навколо осі ординат теж досить частий гість у контрольних роботах. Принагідно буде розглянута завдання про знаходження площі фігури Другим способом - інтегруванням по осі, це дозволить вам не тільки покращити свої навички, але і навчить знаходити найбільш вигідний шлях рішення. У цьому є практичний життєвий сенс! Як з усмішкою згадувала мій викладач за методикою викладання математики, багато випускників дякували її словам: «Нам дуже допоміг Ваш предмет, тепер ми ефективні менеджери та оптимально керуємо персоналом». Користуючись нагодою, я теж висловлюю свою велику подяку, тим більше, що використовую отримані знання за прямим призначенням =).

Приклад 5

Дана плоска фігура, обмежена лініями,,.

1) Знайти площу плоскої фігури, обмеженої даними лініями. 2) Знайти об'єм тіла, отриманого обертанням плоскої фігури, обмеженою даними лініями навколо осі .

Увага!Навіть якщо ви хочете ознайомитися тільки з другим пунктом, спочатку обов'язковопрочитайте перший!

Рішення:Завдання і двох частин. Почнемо із площі.

1) Виконаємо креслення:

Легко помітити, що функція задає верхню гілку параболи, а функція – нижню гілку параболи. Перед нами тривіальна парабола, яка лежить на боці.

Потрібна фігура, площу якої належить знайти, заштрихована синім кольором.

Як знайти площу фігури? Її можна знайти «звичайним» способом, що розглядався на уроці Визначений інтеграл. Як обчислити площу фігури . Причому площа фігури знаходиться як сума площ: – на відрізку ; - На відрізку.

Тому:

Чим у разі поганий простий шлях рішення? По-перше, вийшло два інтеграли. По-друге, під інтегралами коріння, а коріння в інтегралах – не подарунок, до того ж можна заплутатися у підстановці меж інтегрування. Насправді, інтеграли, звичайно, не вбивчі, але на практиці все буває значно сумнішим, просто я підібрав для завдання функції «краще».

Є більш раціональний шлях рішення: він полягає в переході до зворотних функцій та інтеграції по осі.

Як перейти до зворотних функцій? Грубо кажучи, треба висловити "ікс" через "ігрок". Спочатку розберемося з параболою:

Цього достатньо, але переконаємося, що таку саму функцію можна вивести з нижньої гілки:

З прямою все простіше:

Тепер дивимося на вісь: будь ласка, періодично нахиляйте голову вправо на 90 градусів по ходу пояснень (це не прикол!). Потрібна нам фігура лежить на відрізку, позначеному червоним пунктиром. При цьому на відрізку пряма розташована вище параболи, а значить, площу фігури слід знайти за вже знайомою вам формулою: . Що змінилося у формулі? Тільки літера, і не більше.

! Примітка: Межі інтегрування по осі слід розставлятистрого знизу нагору !

Знаходимо площу:

На відрізку , тому:

Зверніть увагу, як я здійснив інтегрування, це раціональний спосіб, і в наступному пункті завдання буде зрозуміло – чому.

Для читачів, які сумніваються у коректності інтегрування, знайду похідні:

Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже інтегрування виконано правильно.

Відповідь:

2) Обчислимо об'єм тіла, утвореного обертанням цієї фігури, навколо осі.

Перемалюю креслення трохи в іншому оформленні:

Отже, фігура, заштрихована синім кольором, обертається довкола осі. В результаті виходить «високий метелик», який крутиться навколо своєї осі.

Для знаходження об'єму тіла обертання інтегруватимемо по осі. Спочатку потрібно перейти до зворотних функцій. Це вже зроблено та детально розписано у попередньому пункті.

Тепер знову нахиляємо голову вправо та вивчаємо нашу фігуру. Очевидно, що об'єм тіла обертання слід знайти як різницю об'ємів.

Обертаємо фігуру, обведену червоним кольором, навколо осі, в результаті виходить зрізаний конус. Позначимо цей обсяг через.

Повертаємо фігуру, обведену зеленим кольором, навколо осі і позначаємо через обсяг отриманого тіла обертання.

Обсяг нашого метелика дорівнює різниці обсягів.

Використовуємо формулу для знаходження об'єму тіла обертання:

У чому на відміну від формули попереднього параграфа? Лише у букві.

А ось і перевага інтегрування, про яку я нещодавно говорив, набагато легше знайти ніж попередньо зводити підінтегральну функцію в 4-у ступінь.

Визначення 3. Тіло обертання - це тіло, отримане обертанням плоскої фігури навколо осі, що не перетинає фігуру і лежить з нею в одній площині.

Вісь обертання може перетинати фігуру, якщо це вісь симетрії фігури.

Теорема 2.
, віссю
та відрізками прямих
і

обертається навколо осі
. Тоді об'єм тіла обертання, що виходить, можна обчислити за формулою

(2)

Доведення. Для такого тіла перетин із абсцисою – це коло радіусу
, значить
та формула (1) дає необхідний результат.

Якщо фігура обмежена графіками двох безперервних функцій
і
, та відрізками прямих
і
, причому
і
, то при обертанні навколо осі абсцис отримаємо тіло, обсяг якого

приклад 3. Обчислити об'єм тора, отриманого обертанням кола, обмеженого коло

навколо осі абсцис.

Р ешение. Вказане коло знизу обмежено графіком функції
, а зверху –
. Різниця квадратів цих функцій:

Шуканий обсяг

(графіком підінтегральної функції є верхнє півколо, тому написаний вище інтеграл – це площа півкола).

приклад 4. Параболічний сегмент із основою
, і заввишки обертається навколо основи. Обчислити обсяг тіла, що виходить («лимон» Кавальєрі).

Р ешение. Параболу розташуємо як показано малюнку. Тоді її рівняння
, причому
. Знайдемо значення параметра :
. Отже, потрібний обсяг:

Теорема 3. Нехай криволінійна трапеція, обмежена графіком безперервної невід'ємної функції
, віссю
та відрізками прямих
і
, причому
, обертається навколо осі
. Тоді об'єм тіла обертання, що виходить, може бути знайдений за формулою

(3)

Ідея підтвердження. Розбиваємо відрізок
точками

, на частини та проводимо прямі
. Вся трапеція розкладеться на смужки, які можна вважати приблизно прямокутниками з основою
та заввишки
.

Циліндр, що виходить при обертанні такого прямокутника, розріжемо по твірній і розгорнемо. Отримаємо «майже» паралелепіпед з розмірами:
,
і
. Його обсяг
. Отже, для об'єму тіла обертання матимемо наближену рівність

Для здобуття точної рівності треба перейти до межі при
. Написана вище сума є інтегральна сума для функції
, Отже, в межі отримаємо інтеграл з формули (3). Теорему доведено.

Зауваження 1. У теоремах 2 та 3 умова
можна опустити: формула (2) взагалі нечутлива до знаку
, а у формулі (3) достатньо
замінити на
.

Приклад 5. Параболічний сегмент (підстава
, висота ) обертається навколо висоти. Знайти обсяг тіла, що виходить.

Рішення. Розташуємо параболу як показано малюнку. І хоча вісь обертання перетинає фігуру, вона – вісь – є віссю симетрії. Тому слід розглядати лише праву половину сегмента. Рівняння параболи
, причому
, значить
. Маємо для об'єму:

Примітка 2. Якщо криволінійна межа криволінійної трапеції задана параметричними рівняннями
,
,
і
,
то можна використовувати формули (2) та (3) із заміною на
і
на
при зміні tвід
до .

Приклад 6. Фігура обмежена першою аркою циклоїди
,
,
, і віссю абсцис. Знайти обсяг тіла, отриманого обертанням цієї фігури навколо: 1) осі
; 2) осі
.

Рішення. 1) Загальна формула
У нашому випадку:

2) Загальна формула
Для нашої фігури:

Пропонуємо студентам самостійно провести усі обчислення.

Примітка 3. Нехай криволінійний сектор, обмежений безперервною лінією
та променями
,

обертається навколо полярної осі. Обсяг тіла, що виходить, можна обчислити за формулою.

Приклад 7. Частина фігури, обмеженою кардіоїдою
, що лежить поза колом
обертається навколо полярної осі. Знайти обсяг тіла, яке при цьому виходить.

Рішення. Обидві лінії, отже, і фігура, яку вони обмежують, симетричні щодо полярної осі. Тому необхідно розглядати лише ту частину, для якої
. Криві перетинаються при
і

при
. Далі фігуру можна розглядати як різницю двох секторів, а значить і об'єм обчислювати як різницю двох інтегралів. Маємо:

Завдання для самостійного вирішення.

1. Круговий сегмент, основа якого
, висота обертається навколо основи. Знайти об'єм тіла обертання.

2. Знайти об'єм параболоїда обертання, основа якого , а висота дорівнює .

3. Фігура, обмежена астроідою
,
обертається навколо осі абсцис. Знайти обсяг тіла, що виходить у своїй.

4. Фігура, обмежена лініями
і
обертається навколо осі абсцис. Знайти об'єм тіла обертання.