Певні інтеграли збіжність розбіжність як вирішувати. Певний інтеграл онлайн

Певні інтеграли онлайн на сайт для закріплення студентами та школярами пройденого матеріалу. І тренування своїх практичних навичок. Повноцінне рішення певних інтегралів онлайн для вас за лічені миті допоможе визначити всі етапи процесу. Інтеграли онлайн - певний інтеграл онлайн. Певні інтеграли онлайн на сайт для повноцінного закріплення студентами та школярами пройденого матеріалу та тренування своїх практичних навичок. Повноцінне рішення певних інтегралів онлайн для вас за лічені миті допоможе визначити всі етапи процесу. Інтеграли онлайн - певний інтеграл онлайн. Для нас певний інтеграл онлайн взяти не представляється чимось понад природним, вивчивши цю тему за книгою видатних авторів. Велике їм спасибі та висловлюємо респект цим особам. Допоможе визначити певний інтеграл онлайн сервісз обчислення таких завдань за дві секунди. Тільки вкажіть правильні дані та все буде Good! Будь-який певний інтеграл як розв'язання задачі підвищить грамотність студентів. Про це мріє кожен лінивець, і ми не виняток, визнаємо це чесно. Якщо все-таки вдасться обчислити певний інтеграл онлайн з рішенням безкоштовно, то, будь ласка, напишіть сайт всім бажаючим ним скористатися. Як кажуть, поділишся корисним посиланням - і тобі віддячать гарні людиза даром. Дуже цікавим буде питання аналізу завдання, в якій певний інтеграл буде калькулятор вирішувати самостійно, а не за рахунок витрати вашого дорогоцінного часу. На те вони й машини, щоб орати людей. Однак рішення певних інтегралів онлайн не кожному сайту по зубах, і це легко перевірити, а саме, достатньо взяти складний прикладта спробувати вирішити його за допомогою кожного такого сервісу. Ви відчуєте різницю на власній шкурі. Найчастіше знайти певний інтеграл онлайн без докладаних зусиль стане досить складно і безглуздо виглядатиме ваша відповідь на тлі загальної картиниподання результату. Найкраще б спочатку пройти курс молодого бійця. Будь-яке рішення невласних інтегралів онлайн зводиться спочатку до обчислення невизначеного, а потім через теорію меж обчислити як правило односторонні межі від отриманих виразів з підставленими межами A і B. Розглянувши вказаний вами певний інтеграл онлайн з докладним рішеннямМи зробили висновок, що ви помилилися на п'ятому кроці, а саме при використанні формули заміни змінної Чебишева. Будьте дуже уважними у подальшому рішенні. Якщо ваш певний інтеграл онлайн калькуляторне зміг взяти з першого разу, то в першу чергу варто перевіряти ще раз написані дані у відповідні форми на сайті. Переконайтеся, що все гаразд і вперед, Go-Go! Для кожного студента перешкодою є обчислення невласних інтегралів онлайн при самому викладі, оскільки це або іспит, або колоквіум, або просто контрольна роботана паре.. Як тільки заданий невласний інтеграл онлайн калькулятор буде у вашому розпорядженні, то відразу вбивайте задану функцію, підставляйте задані межіінтегрування та натискайте на кнопку Рішення, після цього вам буде доступна повноцінна розгорнута відповідь. І все-таки добре, коли є такий чудовий сайт як сайт, тому що він і безкоштовний, і простий у користуванні також містить дуже багато розділів. якими студенти користуються повсякденно, один із них якраз є певний інтеграл онлайн із рішенням у повному вигляді. У цьому розділі можна обчислити невласний інтеграл онлайн з докладним рішенням подальших застосувань відповіді як у інституті, і у інженерних роботах. Здавалося б, усім визначити певний інтеграл онлайн справа нехитра, якщо заздалегідь вирішити такий приклад без верхнього та нижнього кордону, тобто не інтеграл Лейбніца, а невизначений інтеграл. Але тут ми з вами не згодні категорично, тому що на перший погляд це може здатися саме так, проте є суттєва різниця, давайте розберемо все по поличках. Такий певний інтеграл рішення дає над явному вигляді, а наслідок перетворення висловлювання на граничне значення. Інакше кажучи, потрібно спочатку вирішити інтеграл з підстановкою символьних значень кордонів, та був обчислити межа або нескінченності, або у певній точці. Звідси вирахувати певний інтеграл онлайн із рішенням безкоштовно означає ні що інше як подання точного рішення за формулою Ньютона-Лейбніца. Якщо ж розглядати наш певний інтеграл калькулятор, допоможе його підрахувати за кілька секунд прямо на ваших очах. Такий поспіх потрібний усім охочим якнайшвидше впоратися із завданням і звільнитися для особистих справ. Не варто шукати в інтернеті сайти, на яких попросять вас реєструватися, потім поповнити гроші на баланс і все заради того, щоб якийсь розумник готував рішення певних інтегралів нібито онлайн. Запам'ятайте адресу Math24 - це безкоштовний сервіс для вирішення множини математичних завдань, у тому числі ми допоможемо знайти певний інтеграл онлайн, і щоб у цьому переконатися, просимо перевірити наше твердження на конкретних прикладах. Введіть підінтегральну функцію у відповідне поле, потім вкажіть або нескінченні граничні значення (у цьому випадку буде обчислено та отримано рішення невласних інтегралів онлайн), або задайте свої числові або символьні межі та певний інтеграл онлайн з докладним рішенням виведеться на сторінці після натискання на кнопку "Рішення" ". Чи неправда - це дуже просто, не вимагає від вас зайвих дій, безкоштовно, що найголовніше, і водночас результативно. Ви можете самостійно скористатися сервісом, щоб певний інтеграл онлайн калькулятор приніс вам максимум користі, і ви отримали комфортний стан, не напружуючись на складність всіх обчислювальних процесів, дозвольте нам зробити все за вас і продемонструвати всю міць комп'ютерних технологій сучасного світу. Якщо занурюватися в нетрі найскладніших формул і обчислення невласних інтегралів онлайн вивчити самостійно, це похвально, і ви можете претендувати на можливість написання кандидатської роботи, проте повернемося до реалій студентського життя. А хто такий студент? Насамперед - це молодий чоловік, енергійний і життєрадісний, який бажає встигнути відпочити та зробити хатинку! Тому ми подбали про учнів, які намагаються відшукати на просторах глобальної мережі невласний інтеграл онлайн калькулятор, і ось він до вашої уваги – сайт – найкорисніша для молоді вирішалка в режимі онлайн. До речі наш сервіс хоч і подається як помічник студентам та школярам, ​​але він повною мірою підійде будь-якому інженеру, тому що нам під силу будь-які типи завдань та їх вирішення представляється у професійному форматі. Наприклад, певний інтеграл онлайн з рішенням у повному вигляді ми пропонуємо по етапах, тобто кожному логічному блоку (підзавдання) відводиться окремий запис з усіма викладками по ходу процесу загального рішення. Це звичайно ж спрощує сприйняття багатоетапних послідовних розкладок, і тим самим є перевагою проекту сайт перед аналогічними сервісами знаходження невласний інтеграл онлайн з докладним рішенням.

Певний інтеграл як межа інтегральної суми

може існувати (тобто мати певне кінцеве значення) лише за умов

Якщо хоча б одна з цих умов порушена, то визначення втрачає сенс. Справді, у разі нескінченного відрізка, наприклад [ a; ) його не можна розбити на пчастин кінцевої довжини
, що до того ж зі збільшенням кількості відрізків прагнула б до нуля. У разі ж необмеженою в деякій точці з[a; b] порушується вимога довільного вибору точки на часткових відрізках – не можна вибрати =з, оскільки значення функції у цій точці не визначено. Проте й цих випадків можна узагальнити поняття певного інтеграла, ввівши ще один граничний перехід. Інтеграли по нескінченних проміжках і від розривних (необмежених) функцій називають невласними.

Визначення.

Нехай функція
визначено на проміжку [ a; ) та інтегрована на будь-якому кінцевому відрізку [ a; b], тобто. існує
для будь-кого b > a. Межа виду
називають невласним інтегралом першого роду (або невласним інтегралом по нескінченному проміжку) та позначають
.

Таким чином, за визначенням,
=
.

Якщо межа справа існує і кінцева, то невласний інтеграл
називають схожим . Якщо ця межа нескінченна, або не існує взагалі, то кажуть, що невласний інтеграл розходиться .

Аналогічно можна запровадити поняття невласного інтеграла від функції
за проміжком (–; b]:

=
.

А невласний інтеграл від функції
за проміжком (–; +) визначається як сума введених вище інтегралів:

=
+
,

де а- Довільна точка. Цей інтеграл сходиться, якщо сходяться обидва доданки, і розходиться, якщо розходиться хоча б один із доданків.

З геометричної точки зору, інтеграл
,
визначає чисельне значення площі нескінченної криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком функції.
, зліва – прямий
, знизу - віссю ОХ. Східність інтеграла означає існування кінцевої площі такої трапеції та рівність її межі площі криволінійної трапеції з рухомою правою стінкою
.

На випадок інтеграла з нескінченною межею можна узагальнити і формулу Ньютона-Лейбніца:

=
=F( + ) – F( a),

де F( + ) =
. Якщо ця межа існує, то інтеграл сходиться, інакше – розходиться.

Ми розглянули узагальнення поняття певного інтеграла у разі нескінченного проміжку.

Розглянемо тепер узагальнення для необмеженої функції.

Визначення

Нехай функція
визначено на проміжку [ a; b), необмежена в деякій околиці точки b, і безперервна на будь-якому відрізку
, де>0 (і, отже, інтегрована цьому відрізку, тобто.
існує). Межа виду
називається невласним інтегралом другого роду (або невласним інтегралом від необмеженої функції) та позначається
.

Таким чином, невласний інтеграл від необмеженої у точці bфункції є за визначенням

=
.

Якщо межа справа існує і кінцева, то інтеграл називається схожим. Якщо кінцевої межі немає, то невласний інтеграл називається розбіжним.

Аналогічно можна визначити невласний інтеграл від функції
має нескінченний розрив у точці а:

=
.

Якщо функція
має нескінченний розрив у внутрішній точці з
, то невласний інтеграл визначається так

=
+
=
+
.

Цей інтеграл сходиться, якщо сходяться обидва доданки, і розходиться, якщо розходиться хоча б один доданок.

З геометричної точки зору, невласний інтеграл від необмеженої функції також характеризує площу необмеженої криволінійної трапеції:

Оскільки невласний інтеграл виводиться шляхом граничного переходу з певного інтеграла, всі властивості певного інтеграла можуть бути перенесені (з відповідними уточненнями) на невласні інтеграли першого і другого роду.

У багатьох завданнях, що призводять до невласних інтегралів, не обов'язково знати, до чого дорівнює цей інтеграл, достатньо лише переконатися в його збіжності чи розбіжності. Для цього використовують ознаки збіжності. Ознаки збіжності невласних інтегралів:

1) Ознака порівняння.

Нехай для всіх х

. Тоді, якщо
сходиться, то сходиться і
, причому

. Якщо
розходиться, то розходиться і
.

2) Якщо сходиться
, то сходиться і
(Останній інтеграл у цьому випадку називається абсолютно схожим).

Ознаки збіжності та розбіжності невласних інтегралів від необмежених функцій аналогічні сформульованим вище.

Приклади розв'язання задач.

приклад 1.

а)
; б)
; в)

г)
; д)
.

Рішення.

а) За визначенням маємо:

.

б) Аналогічно

Отже, даний інтеграл сходиться і дорівнює .

в) За визначенням
=
+
, причому, а- Довільне число. Покладемо у нашому випадку
, Тоді отримаємо:

Цей інтеграл сходиться.

Отже, цей інтеграл розходиться.

д) Розглянемо
. Щоб знайти первинну підінтегральну функцію, необхідно застосувати метод інтегрування частинами. Тоді отримаємо:

Оскільки не
ні
не існують, то не існує і

Отже, цей інтеграл розходиться.

приклад 2.

Дослідити збіжність інтегралу залежно від п.

Рішення.

При
маємо:

Якщо
, то
в. Отже, інтеграл розходиться.

Якщо
, то
, а
тоді

=,

Отже, інтеграл сходиться.

Якщо
, то

отже, інтеграл розходиться.

Таким чином,

приклад 3.

Обчислити невласний інтеграл чи встановити його розбіжність:

а)
; б)
; в)
.

Рішення.

а) Інтеграл
є невласним інтегралом другого роду, оскільки підінтегральна функція
не обмежена у точці

. Тоді, за визначенням,

.

Інтеграл сходиться і дорівнює .

б) Розглянемо
. Тут також підінтегральна функція не обмежена у точці
. Тому, цей інтеграл - невласний другого роду і за визначенням,

Отже, інтеграл розходиться.

в) Розглянемо
. Підінтегральна функція
терпить нескінченний розрив у двох точках:
і
, перша з яких належить проміжку інтегрування
. Отже, цей інтеграл - невласний другого роду. Тоді, за визначенням

=

=

.

Отже, інтеграл сходиться і дорівнює
.

Визначений інтеграл

\[ I=\int_a^bf(x)dx \]

був побудований припущення, що числа $a,\,b$ кінцеві і $f(x)$ - безперервна функція. Якщо одне з цих припущень порушується, говорять про невласні інтеграли.

10.1 Невласні інтеграли 1 роду

Невласний інтеграл 1 роду виникає, коли Крайній міріодне із чисел $a,\,b$ нескінченно.

10.1.1 Визначення та основні властивості

Розглянемо спочатку ситуацію, коли нижня межа інтегрування кінцева, а верхня дорівнює $+\infty$, інші варіанти обговоримо дещо пізніше. Для $f(x)$, безперервної при всіх цікавих для нас $x$, розглянемо інтеграл

\begin(equation) I=\int _a^(+\infty)f(x)dx. \quad(19) \label(inf1) \end(equation)

Насамперед треба встановити сенс цього виразу. Для цього введемо функцію

\[ I(N)=\int _a^(N)f(x)dx \]

і розглянемо її поведінку при $Nrightarrow +infty$.

Визначення. Нехай існує кінцева межа

\[ A=\lim_(N \rightarrow +\infty)I(N)=\lim_(N \rightarrow +\infty)\int _a^(N)f(x)dx. \]

Тоді стверджують, що невласний інтеграл 1 роду (19) є схожим і йому приписують значення $A$, саму функцію називають інтегрованою на інтервалі $\left[ a, \, +\infty \right)$. Якщо ж зазначеної межі немає чи він дорівнює $\pm \infty$, то кажуть, що інтеграл (19) розходиться.

Сходящиеся невласні інтеграли 1 роду мають усіма стандартними якостями традиційних певних інтегралів.

1. Якщо $f(x)$, $g(x)$ інтегруються на інтервалі $\left[ a, \, +\infty \right)$, їх сума $f(x)+g(x)$ також інтегрована на цьому інтервалі, причому \[ \int _a^(+\infty)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(+\infty)f(x)dx+\int _a^(+\infty)g(x)dx. \] 2. Якщо $f(x)$ інтегрована на інтервалі $\left[ a, \, +\infty \right)$, то для будь-якої константи $C$ функція $C\cdot f(x)$ також інтегрована на цьому інтервалі, причому \[ \int _a^(+\infty)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(+\infty)f(x)dx. \] 3. Якщо $f(x)$ інтегрована на інтервалі $\left[ a, \, +\infty \right)$, причому цьому інтервалі $f(x)>0$, то \[ \int _a^ (+\infty) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Якщо $f(x)$ інтегрована на інтервалі $\left[ a, \, +\infty \right)$, то для будь-якого $b>a$ інтеграл \[ \int _b^(+\infty) f(x)dx \] сходиться, причому \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx=\int _a^(b) f(x)dx+\int _b^(+\infty) f( x) dx \] (адитивність інтеграла за інтервалом).

Справедливі також формули заміни змінної, інтегрування частинами і т.д. (З природними застереженнями).

Розглянемо тепер варіант, коли нижня межа інтегрування дорівнює $-\infty$, а верхній кінцевий, тобто. розглянемо інтеграли

\[ I = int _(-\infty)^af(x)dx. \]

Однак цей варіант можна звести до попереднього, якщо зробити заміну змінних $x=-s$ і потім змінити межі інтегрування місцями, так що

\[ I=\int _(-a)^(+\infty)g(s)ds, \]

$g(s)=f(-s)$. Розглянемо тепер випадок, коли є дві нескінченні межі, тобто. інтеграл

\begin(equation) I=\int _(-\infty)^(+\infty)f(x)dx, \quad (21) \label(intr) \end(equation)

причому $f(x)$ безперервна за всіх $x \in \mathbb(R)$. Роз'єм інтервал на дві частини: візьмемо $c \in \mathbb(R)$, і розглянемо два інтеграли,

\[ I_1=\int _(-\infty)^(c)f(x)dx, \quad I_2=\int _(c)^(+\infty)f(x)dx. \]

Визначення. Якщо обидва інтеграли $I_1$, $I_2$ сходяться, то інтеграл (21) називається схожим, йому приписують значення $I=I_1+I_2$ (відповідно до адитивності по інтервалу). Якщо хоча б один із інтегралів $I_1$, $I_2$ розходиться, інтеграл (21) називається розбіжним.

Можна довести, що збіжність інтеграла (21) залежить від вибору точки $c$.

Невласні інтеграли 1 роду з інтервалами інтегування $\left(-\infty, \, c \right]$ або $(-\infty, \, +\infty)$ також мають всі стандартні властивості певних інтегралів (з відповідним переформулюванням, що враховує вибір інтервал інтегрування ).

10.1.2 Ознаки збіжності невласних інтегралів 1 роду

Теорема (перша ознака порівняння). Нехай $f(x)$, $g(x)$ - безперервні при $x>a$, причому $0 a$. Тоді

1. Якщо інтеграл \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx \] сходиться, то сходиться і інтеграл \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx. \] 2. Якщо інтеграл \[ \int _a^(+\infty)f(x)dx \] розходиться, то розходиться і інтеграл \[ \int _a^(+\infty)g(x)dx. \]

Теорема (друга ознака порівняння). Нехай $f(x)$, $g(x)$ - безперервні та позитивні при $x>a$, причому існує кінцева межа

\[ \theta = \lim_(x \rightarrow +\infty) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

Тоді інтеграли

\[ \int _a^(+\infty)f(x)dx, \quad \int _a^(+\infty)g(x)dx \]

сходяться або розходяться одночасно.

Ви ще тут? =) Ні, я нікого не намагався залякати, просто тема невласних інтегралів – дуже хороша ілюстрація того, наскільки важливо не запускати вищу математику та інші точні науки. Для освоєння уроку на сайті все є – у докладній та доступній формі було б бажання….

Отже, почнемо. Образно кажучи, невласний інтеграл – це «просунутий» певний інтеграл, і насправді складнощів з ними не так і багато, до того ж невласний інтеграл має дуже хороший геометричний зміст.

Що означає обчислити невласний інтеграл?

Обчислити невласний інтеграл – це означає, знайти ЧИСЛО(Так само, як у певному інтегралі), або довести, що він розходиться(Тобто, отримати в результаті нескінченність замість числа).

Невласні інтеграли бувають двох видів.

Невласний інтеграл із нескінченною межею (ами) інтегрування

Іноді такий невласний інтеграл називають невласним інтегралом першого роду. У загальному виглядіневласний інтеграл з нескінченною межею найчастіше виглядає так: . У чому його на відміну від певного інтеграла? У верхній межі. Він нескінченний: .

Рідше зустрічаються інтеграли з нескінченною нижньою межею або з двома нескінченними межами: , і їх ми розглянемо пізніше – коли увійдете до смаку:)

Ну а зараз розберемо найпопулярніший випадок. У переважній більшості прикладів підінтегральна функція безперервнана проміжку , і цей важливий факт слід перевіряти насамперед!Бо якщо є розриви, то є додаткові нюанси. Для певності припустимо, що і тоді типова криволінійна трапеціявиглядатиме так:

Зверніть увагу, що вона нескінченна (не обмежена праворуч), та невласний інтегралчисельно дорівнює її площі. При цьому можливі такі варіанти:

1) Перша думка, яка спадає на думку: «якщо постать нескінченна, то », Іншими словами, площа теж нескінченна. Так може бути.У цьому випадку кажуть, що невласний інтеграл розходиться.

2) Але. Як це не парадоксально прозвучить, площа нескінченної фігури може дорівнювати ... кінцевому числу! Наприклад: . Чи може так бути? Просто. У другому випадку невласний інтеграл сходиться.

3) Про третій варіант трохи пізніше.

У яких випадках невласний інтеграл розходиться, а якому сходиться? Це від підінтегральної функції , і конкретні приклади ми дуже швидко розглянемо.

А що буде, якщо нескінченна криволінійна трапеція розташована нижче за осю? У цьому випадку невласний інтеграл (Розходиться) або дорівнює кінцевому негативному числу.

Таким чином, невласний інтеграл може бути негативним.

Важливо!Коли Вам для рішення запропоновано БУДЬ-ЯКИЙ невласний інтеграл, то, взагалі кажучи, ні про яку площу не йдеться і креслення будувати не потрібно. Геометричний змістневласного інтеграла я розповів лише для того, щоб легше було зрозуміти матеріал.

Якщо невласний інтеграл дуже схожий на певний інтеграл, то згадаємо формулу Ньютона-Лейбніца: . Насправді формула може бути застосована і до невласних інтегралів, тільки її потрібно трохи модифікувати. В чому різниця? У нескінченній верхній межі інтегрування: . Напевно, багато хто здогадався, що це вже пахне застосуванням теорії меж, і формула запишеться так: .

У чому на відміну від певного інтеграла? Та ні в чому особливому! Як і певному інтегралі, потрібно вміти знаходити першорядну функцію (невизначений інтеграл), вміти застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца. Єдине, що додалося, – це обчислення межі. У кого з ними погано, вивчіть урок Межі функцій. Приклади рішень, Бо краще пізно, ніж у армії.

Розглянемо два класичні приклади:

Приклад 1

Для наочності я побудую креслення, хоча, ще раз наголошую, на практиці будувати креслення в даному завданні не потрібно.

Підінтегральна функція безперервна на напівінтервалі, отже, все нормально і невласний інтеграл можна обчислити "штатним" методом.

Застосування нашої формули і розв'язання задачі виглядає так:

Тобто невласний інтеграл розходиться, і площа заштрихованої криволінійної трапеції дорівнює нескінченності.

У розглянутому прикладі ми маємо найпростіший табличний інтеграл і така сама техніка застосування формули Ньютона-Лейбніца, як у певному інтегралі. Але застосовується ця формула під знаком межі. Замість звичної літери "динамічної" змінної виступає літера "бе". Це не повинно бентежити або ставити в глухий кут, тому що будь-яка буква нічим не гірша за стандартний «ікс».

Якщо Вам не зрозуміло чому при , то це дуже погано, або Ви не розумієте найпростіші межі (і взагалі не розумієте, що таке межа), або не знаєте, як виглядає графік логарифмічної функції. У другому випадку відвідайте урок Графіки та властивості елементарних функцій.

При вирішенні невласних інтегралів важливо знати, як виглядають графіки основних елементарних функцій!

Чистове оформлення завдання має виглядати приблизно так:

“

! При оформленні прикладу завжди перериваємо рішення і вказуємо, що відбувається з підінтегральною функцією – безперервна вона на проміжку інтегрування чи ні. Цим ми ідентифікуємо тип невласного інтегралу та обґрунтовуємо подальші дії.

Приклад 2

Обчислити невласний інтеграл чи встановити його розбіжність.

Виконаємо креслення:

По-перше, зауважуємо наступне: підінтегральна функція безперервна на напівінтервалі. Гуд. Вирішуємо за допомогою формули :

(1) Беремо найпростіший інтеграл від статечної функції(Цей окремий випадок є в багатьох таблицях). Мінус краще відразу винести за знак межі, щоб він не плутався під ногами у подальших обчисленнях.

(2) Підставляємо верхню та нижню межі за формулою Ньютона-Лейбніца.

(3) Вказуємо, що за (Господа, це вже давно потрібно розуміти) і спрощуємо відповідь.

Ось тут площа нескінченної криволінійної трапеції дорівнює кінцевому числу! Неймовірно, але факт.

Чистове оформлення прикладу має виглядати приблизно так:

“

Підінтегральна функція безперервна на

“

Що робити, якщо вам зустрінеться інтеграл на кшталт – з точкою розривуна інтервалі інтегрування? Це говорить про те, що в прикладі друкарська помилка (скоріше за все), Або про просунутому рівні навчання. В останньому випадку, в силу властивості адитивності, слід розглянути два невласні інтеграли на проміжках і потім розібратися з сумою.

Іноді внаслідок друкарської помилки або наміру невласного інтеграла може зовсім не існуватиТак, наприклад, якщо в знаменник вищевказаного інтеграла поставити квадратний корінь з «ікс», то частина проміжку інтегрування взагалі не увійде в область визначення підінтегральної функції.

Більше того, невласного інтеграла може не існувати навіть за всього «видимого благополуччя». Класичний приклад: . Незважаючи на певність та безперервність косинуса, такого невласного інтеграла не існує! Чому? Все дуже просто, тому що:
- не існує відповідної межі.

І такі приклади нехай рідко, але трапляються на практиці! Таким чином, крім збіжності та розбіжності, є ще й третій результат рішення з повноправною відповіддю: «невласного інтеграла немає».

Слід також зазначити, що суворе визначення невласного інтеграла дається саме через межу, і охочі можуть ознайомитися з ним у навчальної літератури. Ну а ми продовжуємо практичне заняттяі переходимо до більш змістовних завдань:

Приклад 3

Обчислити невласний інтеграл чи встановити його розбіжність.

Спочатку спробуємо знайти первісну функцію (невизначений інтеграл). Якщо нам не вдасться цього зробити, то невласний інтеграл ми, природно, також не вирішимо.

На який із табличних інтегралів схожа підінтегральна функція? Нагадує вона арктангенс: . З цих міркувань напрошується думка, що непогано було б у знаменнику отримати квадрат. Робиться це шляхом заміни.

Проведемо заміну:

Невизначений інтеграл знайдено, константу у разі додавати немає сенсу.

На чернетці завжди корисно виконати перевірку, тобто продиференціювати отриманий результат:

Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже, невизначений інтеграл знайдено правильно.

Тепер знаходимо невласний інтеграл:

(1) Записуємо рішення відповідно до формули . Константу краще відразу винести за знак межі, щоб вона не заважала подальших обчисленнях.

(2) Підставляємо верхню та нижню межі відповідно до формули Ньютона-Лейбніца. Чому при? Дивіться графік арктангенсу у вже неодноразово рекомендованій статті.

(3) Отримуємо остаточну відповідь. Той факт, що корисно знати напам'ять.

Просунуті студенти можуть знаходити окремо невизначений інтеграл, і використовувати метод заміни, а використовувати метод підведення функції під знак диференціала і вирішувати невласний інтеграл «відразу». У цьому випадку рішення має виглядати приблизно так:

“

Підінтегральна функція безперервна на .

“

Приклад 4

Обчислити невласний інтеграл чи встановити його розбіжність.

! Це типовий прикладі схожі інтеграли зустрічаються дуже часто. Добре його опрацюйте! Первісна функціятут знаходиться методом виділення повного квадрата, більш докладно з методом можна ознайомитись на уроці Інтегрування деяких дробів.

Приклад 5

Обчислити невласний інтеграл чи встановити його розбіжність.

Цей інтеграл можна вирішити докладно, тобто спочатку знайти невизначений інтеграл, провівши заміну змінної. А можна вирішити "відразу" - підведенням функції під знак диференціала. У кого якась математична підготовка.

Повні рішеннята відповіді наприкінці уроку.

Приклади рішень невласних інтегралів з нескінченною нижньою межею інтегрування можна переглянути на сторінці Ефективні методи вирішення невласних інтегралів. Там же розібрано випадок, коли обидві межі інтегрування нескінченні.

Невласні інтеграли від необмежених функцій

Або невласні інтегралами другого роду. Невласні інтеграли другого роду підступно «шифруються» під звичайний певний інтеграл і виглядають так само: Але, на відміну від певного інтеграла, підінтегральна функція зазнає нескінченного розриву (не існує): 1) у точці , 2) або в точці , 3) ​​або в обох точках одразу, 4) або навіть на відрізку інтегрування. Ми розглянемо перші два випадки, для випадків 3-4 наприкінці статті є посилання на додатковий урок.

Відразу приклад, щоб було зрозуміло: . Начебто це певний інтеграл. Але насправді - це невласний інтеграл другого роду, якщо ми підставимо в підінтегральну функцію значення нижньої межі, то знаменник у нас звертається в нуль, тобто підінтегральної функції просто не існує у цій точці!

Взагалі під час аналізу невласного інтеграла завжди потрібно підставляти в підінтегральну функцію обидві межі інтегрування. У цьому зв'язку перевіримо і верхню межу: . Тут все гаразд.

Криволінійна трапеція для розглянутого різновиду невласного інтеграла принципово виглядає так:

Тут майже так само, як в інтегралі першого роду.

Наш інтеграл чисельно дорівнює площізаштрихованої криволінійної трапеції, яка не обмежена зверху. У цьому може бути два варианта*: невласний інтеграл розходиться (площа нескінченна) чи невласний інтеграл дорівнює кінцевому числу (тобто, площа нескінченної постаті – кінцева!).

* за умовчанням звично вважаємо, що невласний інтеграл існує

Залишилося лише модифікувати формулу Ньютона-Лейбніца. Вона теж модифікується за допомогою межі, але межа прагне вже не до нескінченності, а до значення праворуч.Легко простежити за кресленням: по осі ми маємо нескінченно близько наблизитися до точки розриву справа.

Подивимося, як це реалізується практично.

Приклад 6

Обчислити невласний інтеграл чи встановити його розбіжність.

Підінтегральна функція зазнає нескінченного розриву в точці (не забуваємо усно або на чернетці перевірити, чи все нормально з верхньою межею!)

Спочатку обчислимо невизначений інтеграл:

Заміна:

У кого виникли труднощі із заміною, зверніться до уроку Метод заміни у невизначеному інтегралі.

Обчислимо невласний інтеграл:

(1) Що тут нового? За технікою рішення практично нічого. Єдине, що змінилося, це запис під позначкою межі: . Добавка означає, що ми прагнемо значення праворуч (що логічно – див. графік). Таку межу в теорії меж називають односторонньою межею. У цьому випадку у нас правостороння межа.

(2) Підставляємо верхню та нижню межу за формулою Ньютона Лейбніца.

(3) Розбираємось з при . Як визначити, куди прагне вираз? Грубо кажучи, в нього потрібно просто підставити значення , підставляємо три чверті і вказуємо, що . Зачісуємо відповідь.

У разі невласний інтеграл дорівнює негативному числу. У цьому немає криміналу немає, просто відповідна криволінійна трапеція розташована під віссю.

А зараз два приклади для самостійного вирішення.

Приклад 7

Обчислити невласний інтеграл чи встановити його розбіжність.

Приклад 8

Обчислити невласний інтеграл чи встановити його розбіжність.

Якщо підінтегральна функція не існує в точці

Нескінченна криволінійна трапеція для такого невласного інтеграла принципово виглядає так.