Чому дорівнює площа поверхні циліндра? Циліндр як геометрична фігура

Назва науки "геометрія" перекладається як "вимір землі". Зародилася стараннями найперших древніх землевпорядників. А було так: під час розливів священного Нілу потоки води іноді змивали межі ділянок землеробів, а нові кордони могли не збігтися зі старими. Податки ж селянами сплачувалися до скарбниці фараона пропорційно до величини земельного наділу. Вимірюванням площ ріллі у нових кордонах після розливу займалися спеціальні люди. Саме в результаті їх діяльності і виникла нова наука, що отримала розвиток Стародавню Грецію. Там вона і назву отримала, і набула практично сучасний вигляд. Надалі термін став міжнародною назвою науки про плоскі та об'ємні фігури.

Планіметрія – розділ геометрії, що займається вивченням плоских фігур. Іншим розділом науки є стереометрія, що розглядає властивості просторових (об'ємних) фігур. До таких фігур відноситься і описується в цій статті – циліндр.

Прикладів присутності предметів циліндричної форми повсякденному життідостатньо. Циліндричну (набагато рідше – конічну) форму мають майже всі деталі обертання – вали, втулки, шийки, осі тощо. Циліндр широко використовується в будівництві: вежі, опорні, декоративні колони. Крім того посуд, деякі види упаковки, труби різних діаметрів. І нарешті - знамениті капелюхи, які надовго стали символом чоловічої елегантності. Список можна продовжувати нескінченно.

Визначення циліндра як геометричної фігури

Циліндром (круговим циліндром) прийнято називати фігуру, що складається з двох кіл, які при бажанні поєднуються за допомогою паралельного перенесення. Саме ці кола є підставами циліндра. А ось лінії (прямі відрізки), що зв'язують відповідні точки, одержали назву «утворюючі».

Важливо, що підстави циліндра завжди рівні (якщо ця умова не виконується, то перед нами - усічений конус, щось інше, але тільки не циліндр) і знаходяться в паралельних площинах. А відрізки, що з'єднують відповідні точки на колах, паралельні і рівні.

Сукупність нескінченної множини утворюючих - не що інше, як бічна поверхняциліндра - один із елементів даної геометричної фігури. Інша її важлива складова – розглянуті вище кола. Називаються вони основами.

Види циліндрів

Найпростіший і найпоширеніший вид циліндра - круговий. Його утворюють два правильні кола, які у ролі підстав. Але замість них можуть бути інші фігури.

Основи циліндрів можуть утворювати (крім кіл) еліпси, інші замкнуті фігури. Але циліндр може мати обов'язково замкнуту форму. Наприклад основою циліндра може служити парабола, гіпербола, інша відкрита функція. Такий циліндр буде відкритим чи розгорнутим.

По куту нахилу утворюють до основ циліндри можуть бути прямими або похилими. У прямого циліндра утворюють строго перпендикулярні площині основи. Якщо цей кут відрізняється від 90°, циліндр – похилий.

Що таке поверхня обертання

Прямий круговий циліндр, без сумніву, - найпоширеніша поверхня обертання, яка використовується в техніці. Іноді за технічними показаннями застосовується конічна, куляста, деякі інші типи поверхонь, але 99% всіх валів, осей, що обертаються, і т.д. виконані саме у формі циліндрів. Для того, щоб краще усвідомити, що таке поверхня обертання, можна розглянути, як утворений сам циліндр.

Припустимо, є якась пряма a, розташований вертикально. ABCD - прямокутник, одна із сторін якого (відрізок АВ) лежить на прямій a. Якщо обертати прямокутник навколо прямої, як показано на малюнку, обсяг, який він займе, обертаючись, і буде нашим тілом обертання - прямим круговим циліндром з висотою H = AB = DC і радіусом R = AD = BC.

В даному випадку, в результаті обертання фігури – прямокутника – виходить циліндр. Обертаючи трикутник, можна отримати конус, обертаючи півколо - кулю і т.д.

Площа поверхні циліндра

Для того щоб обчислити площу поверхні прямого звичайного кругового циліндра, необхідно підрахувати площі основ і бічної поверхні.

Спочатку розглянемо, як обчислюють площу бічної поверхні. Це твір довжини кола на висоту циліндра. Довжина кола, своєю чергою, дорівнює подвоєному твору універсального числа Пна радіус кола.

Площа кола, як відомо, дорівнює добутку Пна квадрат радіусу. Отже, склавши формули для площі визначення бічної поверхні з подвоєним виразом площі підстави (адже їх два) і зробивши нехитрі алгебраїчні перетворення, отримуємо остаточне вираз для визначення площі поверхні циліндра.

Визначення обсягу фігури

Об'єм циліндра визначається за стандартною схемою: площа поверхні основи множиться на висоту.

Таким чином, кінцева формула виглядає наступним чином: шукане визначається як добуток висоти тіла на універсальне число Пі квадрат радіуса основи.

Отримана формула, треба сказати, застосовна для вирішення найнесподіваніших завдань. Так само, як обсяг циліндра, визначається, наприклад, обсяг електропроводки. Це необхідно для обчислення маси проводів.

Відмінності у формулі тільки в тому, що замість радіуса одного циліндра стоїть ділений надвоє діаметр жили проводки і у виразі з'являється кількість жил у проводі N. Також замість висоти використовується довжина дроту. Таким чином розраховується об'єм «циліндра» не одного, а за кількістю проводків обплітання.

Такі розрахунки часто потрібні практично. Адже значна частина ємностей для води виготовлена ​​у формі труби. І обчислити об'єм циліндра часто потрібно навіть у домашньому господарстві.

Проте, як говорилося, форма циліндра може бути різною. І в деяких випадках потрібно розрахувати, чому дорівнює об'єм похилого циліндра.

Відмінність у тому, що площу поверхні основи множать не так на довжину утворює, як у разі прямому циліндром, але в відстань між площинами - перпендикулярний відрізок, побудований з-поміж них.

Як видно з малюнка, такий відрізок дорівнює добутку довжини утворює синус кута нахилу утворює до площини.

Як побудувати розгортку циліндра

У деяких випадках потрібно викроїти розгортку циліндра. На наведеному малюнку показані правила, якими будується заготівля виготовлення циліндра із заданими висотою і діаметром.

Слід враховувати, що малюнок наведений без урахування швів.

Відмінності скошеного циліндра

Уявімо собі якийсь прямий циліндр, обмежений з одного боку площиною, перпендикулярною утворюючим. А ось площина, що обмежує циліндр з іншого боку, не перпендикулярна до утворює і не паралельна першій площині.

На малюнку представлено скошений циліндр. Площина апід деяким кутом, відмінним від 90° до утворюючим, перетинає фігуру.

Така геометрична форма найчастіше зустрічається на практиці у вигляді з'єднань трубопроводів (коліни). Але бувають навіть будівлі, збудовані у вигляді скошеного циліндра.

Геометричні характеристики скошеного циліндра

Нахил однієї з площин скошеного циліндра трохи змінює порядок розрахунку як площі поверхні такої фігури, так і її об'єму.

Площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі прямокутника, основа якого дорівнює 2π r, а висота дорівнює висоті циліндра h, Т. е. 2π rh.

Повна поверхня циліндра становитиме: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ h).

За площу бічної поверхні циліндра приймається площа розгорткийого бічній поверхні.

Тому площа бічної поверхні прямого кругового циліндра дорівнює площі відповідного прямокутника (рис.) і обчислюється за формулою

S б.ц. = 2πRH, (1)

Якщо до площі бічної поверхні циліндра додати площі двох його основ, то отримаємо площу повної поверхніциліндра

S повн. =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

Об'єм прямого циліндра

де Q – площа основи, а Н – висота циліндра.

Так як площа основи циліндра дорівнює Q, то існують послідовності описаних та вписаних багатокутників з площами Q nта Q’ nтаких, що

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n= Q.

Побудуємо послідовності призм, основами яких є розглянуті вище описані та вписані багатокутники, а бічні ребра паралельні утворює даного циліндра і мають довжину H. Ці призми є описаними та вписаними для даного циліндра. Їхні обсяги знаходяться за формулами

V n= Q n H та V’ n= Q’ n H.

Отже,

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n H = QH.

Слідство.
Об'єм прямого кругового циліндра обчислюється за формулою

V = π R 2 H

де R – радіус основи, а H – висота циліндра.

Так як основа кругового циліндра є коло радіусу R, то Q = π R 2 і тому

Циліндр (походить з грецької мови, від слів "ковзанка", "валик") - це геометричне тіло, яке обмежене зовні поверхнею, що називається циліндричною, та двома площинами. Дані площини перетинають поверхню фігури і є паралельними одна одній.

Циліндрична поверхня – це поверхня, яка отримана прямою лінією в просторі. Ці рухи такі, що виділена точка цієї прямої лінії здійснює рух вздовж кривої плоского типу. Така пряма лінія називається твірною, а крива лінія - спрямовуючою.

Циліндр складається з пари основ та бічної циліндричної поверхні. Циліндри бувають декількох видів:

1. Круговий, прямий циліндр. У такого циліндра основи і направляюча перпендикулярні до утворюючої лінії, і є

2. Похилий циліндр. У нього кут між твірною лінією і основою не є прямим.

3. Циліндр іншої форми. Гіперболічний, еліптичний, параболічний та інші.

Площа циліндра, а також площа повної поверхні будь-якого циліндра знаходиться за допомогою складання площ основ цієї фігури та площі бічної поверхні.

Формула, за якою обчислюється повна площа циліндра для кругового, прямого циліндра:

Sp = 2п Rh + 2п R2 = 2п R (h + R).

Площа бічної поверхні шукається трохи складніше, ніж площа циліндра цілком, вона обчислюється шляхом множення довжини утворюючої лінії на периметр перерізу, утвореного площиною, яка перпендикулярна до утворюючої лінії.

Ця циліндра для кругового, прямого циліндра дізнається по розгортці цього об'єкта.

Розгортка - це прямокутник, який має висоту h і довжину P, яка дорівнює периметру основи.

Звідси випливає, що бічна площа циліндра рівної площірозгортки і може бути обчислена за цією формулою:

Якщо взяти круговий, прямий циліндр, то для нього:

P = 2п R, а Sb = 2п Rh.

Якщо циліндр похилий, то площа бічної поверхні повинна дорівнювати добутку довжини його утворюючої лінії і периметра перерізу, який перпендикулярно даної утворюючої лінії.

На жаль, не існує простої формули для вираження площі бічної поверхні похилого циліндрачерез його висоту та параметри його основи.

Щоб обчислити циліндр, необхідно знати кілька фактів. Якщо перетин своєю площиною перетинає основи, такий переріз завжди є прямокутником. Але ці прямокутники будуть різними, залежно від положення перетину. Одна зі сторін осьового перерізу фігури, яка перпендикулярна основам, дорівнює висоті, а інша - діаметру основи циліндра. А площа такого перерізу, відповідно, дорівнює добутку однієї сторони прямокутника на іншу, перпендикулярну першій, або добутку висоти даної фігури на діаметр його основи.

Якщо перетин буде перпендикулярно основ фігури, але не проходитиме через вісь обертання, то площа цього перерізу дорівнюватиме добутку висоти цього циліндра і певної хорди. Щоб отримати хорду, потрібно побудувати коло біля основи циліндра, провести радіус і відкласти на ньому відстань, на якій знаходиться перетин. А від цієї точки потрібно провести перпендикуляри до радіусу від перетину з колом. Точки перетину з'єднуються із центром. А основа трикутника - це шукана якою шукається по звучить так: «Сума квадратів двох катетів дорівнює гіпотенузі, зведеній у квадрат»:

С2 = А2 + В2.

Якщо перетин не торкається основи циліндра, а сам циліндр круговий і прямий, то площа цього перерізу знаходиться як площа кола.

Площа кола дорівнює:

S окр. = 2п R2.

Щоб знайти R, потрібно її довжину C розділити на 2п:

R = C \ 2п, де п - число пі, математична постійна, обчислена для роботи з даними кола та дорівнює 3,14.

Існує велика кількість завдань, пов'язаних із циліндром. У них потрібно знаходити радіус та висоту тіла або вид його перерізу. Плюс до всього, іноді потрібно обчислити площу циліндра та його об'єм.

Яке тіло є циліндром?

В курсі шкільної програмививчається круговий, тобто такий, що є в основі, циліндр. Але виділяють ще й еліптичний вигляд цієї постаті. З назви ясно, що його основою буде еліпс чи овал.

Підстав у циліндра два. Вони рівні один одному та з'єднані відрізками, які поєднують відповідні точки основ. Вони називаються утворюючими циліндрами. Усі утворюють паралельні одне одному і рівні. Саме вони становлять бічну поверхню тіла.

У загальному випадкуциліндр - це похило тіло. Якщо утворюючі становлять прямий кут із основами, то говорять вже про пряму фігуру.

Цікаво, що круговий циліндр є тілом обертання. Він виходить від повороту прямокутника навколо однієї з сторін.

Основні елементи циліндра

Основні елементи циліндра виглядають так.

1. Висота. Вона є найкоротшим відстанню між основами циліндра. Якщо він прямий, то висота збігається з твірною.
2. Радіус. Збігається з тим, який можна провести на підставі.
3. Ось. Це пряма лінія, яка містить центри обох основ. Ось завжди паралельна всім утворюючим. У прямому циліндрі вона перпендикулярна до основ.
4. Осьовий переріз. Воно утворюється при перетині циліндра площиною, що містить вісь.
5. Дотична площина. Вона проходить через одну з утворюючих і перпендикулярна до осьового перерізу, який проведено через цю утворювальну.

Як пов'язаний циліндр із вписаною в нього або описаною біля нього призмою?

Іноді зустрічаються завдання, у яких потрібно обчислити площу циліндра, а відомі при цьому деякі елементи призми, пов'язаної з ним. Як співвідносяться ці постаті?

Якщо призма вписана в циліндр, її основи - рівні багатокутники. Причому вони вписані у відповідні основи циліндра. Бічні ребра призми збігаються з утворюючими.

У описаної призми в основах знаходяться правильні багатокутники. Вони описані біля кіл циліндра, що є його основами. Площини, які містять грані призми, стосуються циліндра утворюючим.

Про площу бічної поверхні та підстави для прямого кругового циліндра

Якщо зробити розгортку бічної поверхні, то вийде прямокутник. Його сторони збігатимуться з утворюючим і довжиною кола основи. Тому бічна площа циліндра дорівнюватиме добутку цих двох величин. Якщо записати формулу, то вийде таке:

S бік = l * н,

де н - утворює, l - Довжина кола.

Причому останній параметр обчислюється за такою формулою:

l = 2 π*r,

тут r - радіус кола, π - число "пі", що дорівнює 3,14.

Оскільки основа - коло, його площа обчислюється з допомогою такого висловлювання:

S осн = π * r 2 .

Про площу всієї поверхні прямого кругового циліндра

Так як вона утворена двома основами та бічною поверхнею, то потрібно скласти ці три величини. Тобто повна площа циліндра обчислюватиметься за такою формулою:

S підлога = 2 π*r*н+2 π * r 2 .

Часто її записують в іншому вигляді:

S підлога = 2 π*r (н+r).

Про площі похилого кругового циліндра

Щодо підстав, то там усі формули ті самі, адже вони, як і раніше, кола. А ось бічна поверхня вже не дає прямокутника.

Для розрахунку площі бічної поверхні похилого циліндра потрібно перемножити значення твірної і периметра перерізу, який буде перпендикулярно обраної твірної.

Формула виглядає так:

S бік = х * Р,

де х - Довжина утворює циліндра, Р - периметр перерізу.

Перетин, до речі, краще вибирати таке, щоб воно утворювало еліпс. Тоді буде спрощено розрахунки його периметра. Довжина еліпса обчислюється за такою формулою, що дає приблизну відповідь. Але його часто буває достатньо для завдань шкільного курсу:

l = π * (а + в),

де "а" і "в" - півосі еліпса, тобто відстані від центру до найближчої і найдальшої його точок.

Площу всієї поверхні потрібно обчислювати за допомогою такого виразу:

S підлога = 2 π * r 2 + х * Р.

Чому дорівнюють деякі перерізи прямого кругового циліндра?

Коли перетин проходить через вісь, його площа визначається як добуток утворює і діаметра основи. Це тим, що має вигляд прямокутника, боку якого збігаються з позначеними елементами.

Щоб знайти площу перерізу циліндра, що є паралельним осьовому, буде потрібно також формула для прямокутника. У цій ситуації одна його сторона, як і раніше, співпадатиме з висотою, а інша дорівнює хорді основи. Остання ж збігається з лінією перерізу з основи.

Коли перетин перпендикулярно осі, воно має вигляд кола. Причому його площа така сама, як у підстави фігури.

Можливе ще перетин під деяким кутом до осі. Тоді в перерізі виходить овал чи його частина.

Приклади завдань

Завдання №1.Даний прямий циліндр, площа основи якого 12,56 см 2 . Необхідно обчислити повну площу циліндра, якщо його висота дорівнює 3 см.

Рішення. Необхідно скористатися формулою для повної площі прямого кругового циліндра. Але в ній не вистачає даних, а саме радіусу основи. Натомість відома площа кола. З неї легко вирахувати радіус.

Він виявляється рівним квадратному кореню з приватного, яке виходить від поділу площі основи на пі. Після розподілу 12,56 на 3,14 виходить 4. Квадратний коріньіз 4 — це 2. Тому радіус матиме саме таке значення.

Відповідь: S підлога = 50,24 см 2 .

Завдання №2.Циліндр з радіусом 5 см припинений площиною паралельної осі. Відстань від перерізу до осі дорівнює 3 см. Висота циліндра - 4 см. Потрібно знайти площу перерізу.

Рішення. Форма перерізу – прямокутна. Одна його сторона збігається з висотою циліндра, а інша дорівнює хорді. Якщо перша величина відома, другу потрібно знайти.

Для цього слід зробити додаткову побудову. В основі проводимо два відрізки. Обидва вони починаються в центрі кола. Перша закінчуватиметься в центрі хорди і дорівнюватиме відомій відстані до осі. Друга – на кінці хорди.

Вийде прямокутний трикутник. У ньому відомі гіпотенуза та один із катетів. Гіпотенуза збігається із радіусом. Другий катет дорівнює половині хорди. Невідомий катет, помножений на 2, дасть довжину хорди. Обчислимо його значення.

Для того щоб знайти невідомий катет, потрібно звести в квадрат гіпотенузу і відомий катет, відняти з першого друге і витягти квадратний корінь. Квадрати дорівнюють 25 і 9. Їхня різниця - 16. Після вилучення квадратного кореня залишається 4. Це шуканий катет.

Хорда дорівнюватиме 4 * 2 = 8 (см). Тепер можна обчислити площу перерізу: 8*4 = 32 (см 2).

Відповідь: S січ дорівнює 32 см 2 .

Завдання №3.Необхідно обчислити площу осьового перерізу циліндра. Відомо, що в нього вписаний куб із ребром 10 см.

Рішення. Осьовий переріз циліндра збігається з прямокутником, який проходить через чотири вершини куба та містить діагоналі його основ. Сторона куба є твірною циліндра, а діагональ основи збігається з діаметром. Добуток цих двох величин дасть площу, яку потрібно дізнатися в задачі.

Для пошуку діаметра потрібно скористатися знанням того, що в основі куба – квадрат, а його діагональ утворює рівносторонній прямокутний трикутник. Гіпотенуза його є шуканою діагоналлю фігури.

Для її розрахунку знадобиться формула теореми Піфагора. Потрібно звести в квадрат бік куба, помножити на 2 і витягти квадратний корінь. Десять у другому ступені — це сто. Помножене на 2 – двісті. Квадратний корінь із 200 дорівнює 10√2.

Перетин - це знову прямокутник із сторонами 10 та 10√2. Його площу легко порахувати, перемноживши ці значення.

Відповідь. S січ = 100√2 см 2 .

Як обчислити площу поверхні циліндра – тема цієї статті. В будь-який математичного завданняпочати потрібно з введення даних, визначити, що відомо і чим оперувати надалі, і потім розпочати безпосередньо розрахунку.

Дане об'ємне тіло є геометричною фігурою циліндричної форми, обмеженою зверху і знизу двома паралельними площинами. Якщо докласти трохи уяви, можна помітити, що геометричне тіло утворюється обертанням прямокутника навколо осі, причому віссю одна із його сторін.

Звідси випливає, що крива зверху і знизу циліндра, що описується, буде колом, основним показником якого є радіус або діаметр.

Площа поверхні циліндра - онлайн калькулятор.

Дана функція остаточно полегшує процес розрахунку, і все зводиться лише автоматичному підставленню заданих значень висоти та радіусу (діаметра) основи фігури. Єдине, що потрібно - точно визначити дані та не помилитися під час введення цифр.

Площа бічної поверхні циліндра

Спочатку потрібно уявити, як виглядає розгортка у двомірному просторі.

Це не що інше, як прямокутник, одна сторона якого дорівнює довжині кола. Формула її відома з давніх-давен - 2π *r, де r- Радіус кола. Інша сторона прямокутника дорівнює висоті h. Знайти шукане не складе труднощів.

Sбік= 2π *r * h,

де число π = 3.14.

Площа повної поверхні циліндра

Для знаходження повної площі циліндра потрібно отримати S бікдодати площі двох кіл, верху та низу циліндра, які вважаються за формулою S про =2π * r 2 .

Кінцева формула виглядає так:

Sстать= 2π * r 2+ 2π * r * h.

Площа циліндра – формула через діаметр

Для полегшення розрахунків іноді потрібно зробити обчислення через діаметр. Наприклад, є шматок порожнистої труби відомого діаметра.

Не обтяжуючи себе зайвими розрахунками, маємо готову формулу. На допомогу приходить алгебра за 5 клас.

Sпідлога = 2π*r 2 + 2 π*r*h= 2 π*d 2 /4 + 2 π*h*d/2 = π *d 2 /2 + π *d * h,

Замість rв повну формулупотрібно вставити значення r =d/2.

Приклади розрахунку площі циліндра

Озброївшись знаннями, приступаємо до практики.

приклад 1. Потрібно обчислити площу зрізаного шматка труби, тобто циліндра.

Маємо r = 24 мм, h = 100 мм. Використовувати необхідно формулу через радіус:

S підлога = 2 * 3.14 * 24 2 + 2 * 3.14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (мм 2).

Перекладаємо у звичні м2 і отримуємо 0,01868928, приблизно 0.02 м2.

приклад 2. Потрібно дізнатися площу внутрішньої поверхніпічної азбестової труби, стінки якої облицьовані вогнетривкою цеглою.

Дані такі: діаметр 0,2 м; висота 2 м. Використовуємо формулу через діаметр:

S підлога = 3.14 * 0.2 2 /2 + 3,14 * 0.2 * 2 = 0,0628 + 1.256 = 1.3188 м 2 .

приклад 3. Як дізнатися, скільки матеріалу потрібно для пошиття мішка, r = 1 м і висотою 1 м.

Один момент є формула:

S бік = 2 * 3.14 * 1 * 1 = 6.28 м 2 .

Висновок

Наприкінці статті назріло питання: а чи так необхідні всі ці обчислення та переведення одних значень до інших. Навіщо все це потрібне і найголовніше, для кого? Але не варто нехтувати та забувати прості формулиіз середньої школи.

Світ стояв і стоятиме на елементарних знаннях з математики, в тому числі. І, приступаючи до якоїсь важливої ​​роботи, ніколи не зайве освіжити в пам'яті дані викладки, застосувавши їх на практиці з великим ефектом. Точність – ввічливість королів.