піраміда. Усічена піраміда

• 09.10.2014

  Показаний на малюнку попередній підсилювач призначений для використання з 4-ма видами джерел звуку, наприклад мікрофон, CD-програвач, магнітола та ін. При цьому попередньо підсилювач має один вхід, який може змінювати чутливість від 50 мВ до 500мВ. вихідна напруга підсилювача 1000мВ. Підключаючи різні джереласигналу при перемиканні перемикача SA1 ми завжди отримаємо …

• 20.09.2014

  БП розрахований на навантаження потужністю 15...20 Вт. Джерело виконано за схемою однотактного високочастотного імпульсного перетворювача. На транзисторі зібрано автогенератор, що працює на частоті 20...40кГц. Частота налаштовується ємністю С5. Елементи VD5, VD6 та С6 утворюють ланцюг запуску автогенератора. У вторинному ланцюзі після мостового випрямляча стоїть звичайний лінійний стабілізатор на мікросхемі, що дає можливість …

• 28.09.2014

  На малюнку представлений генератор мікросхемі К174ХА11, частота якого керується напругою. При зміні ємності С1 від 560 до 4700пФ можна отримати широкий діапазон частот, при цьому налаштування частоти здійснюється зміною опору R4. Так наприклад автор з'ясував, що при С1=560пФ частоту генератора можна змінювати за допомогою R4 від 600Гц до 200кГц, …

• 03.10.2014

  Блок призначений для живлення потужного УНЧ, розрахований на вихідну напругу ±27В і так навантаження до 3А на кожне плече. БП двох полярний, виготовлений на комплектарних складових транзисторах КТ825-КТ827. Обидва плечі стабілізатора виконані за однією схемою, але в іншому плечі (він не показаний) змінена полярність конденсаторів та використані транзистори іншої…

Багатогранник, у якого одна з граней – багатокутник, а всі інші грані – трикутники із загальною вершиною, називається пірамідою.

Ці трикутники, з яких складено піраміду, називають бічними гранями, а багатокутник, що залишився - основоюпіраміди.

В основі піраміди лежить геометрична фігура- n-кутник. У такому разі піраміду називають ще n-вугільний.

Трикутну піраміду, всі ребра якої рівні, називають тетраедром.

Ребра піраміди, які не належать до основи, називаються бічними, а їх загальна точка– це вершинапіраміди. Інші ребра піраміди зазвичай називають сторонами заснування.

Піраміду називають правильноюякщо у неї в основі лежить правильний багатокутник, а всі бічні ребра рівні між собою.

Відстань від вершини піраміди до площини основи називається заввишкипіраміди. Можна сказати, що висота піраміди є відрізок, перпендикулярний до основи, кінці якого знаходяться у вершині піраміди і на площині основи.

Для будь-якої піраміди мають місце такі формули:

1) S повн = S бік + S осн, де

S повний - площа повної поверхніпіраміди;

S бік – площа бічної поверхні, тобто. сума площ усіх бічних граней піраміди;

S осн - площа основи піраміди.

2) V = 1/3 S осн · Н, де

V – обсяг піраміди;

Н – висота піраміди.

Для правильної пірамідимає місце:

S бік = 1/2 P осн h, де

P осн - периметр основи піраміди;

h – довжина апофеми, тобто довжина висоти бічної грані, опущеної з вершини піраміди.

Частина піраміди, укладена між двома площинами – площиною основи та січною площиною, проведеною паралельно основі, називають усіченою пірамідою.

Основа піраміди та переріз піраміди паралельною площиною називаються підставамиусіченої піраміди. Інші грані називають бічними. Відстань між площинами основ називають заввишкиусіченої піраміди. Ребра, які не належать підставам, називаються бічними.

Крім того, основи усіченої піраміди подібні n-кутники. Якщо основи зрізаної піраміди – правильні багатокутники, а всі бічні ребра рівні між собою, то така зрізана піраміда називається правильною.

Для довільної усіченої пірамідимають місце такі формули:

1) S повний = S бік + S 1 + S 2, де

S повний - площа повної поверхні;

S бік – площа бічної поверхні, тобто. сума площ усіх бічних граней усіченої піраміди, які є трапецією;

S 1 , S 2 – площі основ;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H, де

V – обсяг усіченої піраміди;

H – висота усіченої піраміди.

Для правильної усіченої пірамідитакож маємо:

S бік = 1/2 (P 1 + P 2) · h,де

P 1 , P 2 - периметри основ;

h – апофема (висота бічної грані, що є трапецію).

Розглянемо кілька завдань на усічену піраміду.

Завдання 1.

У трикутній зрізаній піраміді з висотою, що дорівнює 10, сторони однієї з підстав дорівнюють 27, 29 і 52. Визначте об'єм зрізаної піраміди, якщо периметр іншої основи дорівнює 72.

Рішення.

Розглянемо зрізану піраміду АВСА 1 В 1 С 1 , зображену на малюнку1.

1. Обсяг зрізаної піраміди може бути знайдений за формулою

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), де S 1 – площа однієї з підстав, можна знайти за формулою Герона

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

т.к. у задачі дано довжини трьох сторін трикутника.

Маємо: p 1 = (27 + 29 + 52) / 2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 · 27 · 25 · 2) = 270.

2. Піраміда усічена, а отже, в основах лежать подібні багатокутники. У нашому випадку трикутник АВС подібний до трикутника А 1 В 1 С 1 . Крім того, коефіцієнт подібності можна знайти як відношення периметрів трикутників, що розглядаються, а відношення їх площ буде дорівнює квадрату коефіцієнта подоби. Таким чином, маємо:

S 1 / S 2 = (P 1) 2 / (P 2) 2 = 108 2 / 72 2 = 9/4. Звідси S 2 = 4S 1 /9 = 4 · 270/9 = 120.

Отже, V = 1/3 · 10 (270 + 120 + √ (270 · 120)) = 1900.

Відповідь: 1900.

Завдання 2.

У трикутній зрізаній піраміді через бік верхньої основи проведено площину паралельно протилежному бічному ребру. У якому відношенні розділився обсяг зрізаної піраміди, якщо відповідні сторони підстав відносяться як 1:2?

Рішення.

Розглянемо АВСА 1 В 1 З 1 – усічену піраміду, зображену на Мал. 2.

Так як в основах сторони відносяться як 1: 2, то площі основ відносяться як 1: 4 (трикутник АВС подібний до трикутника А 1 В 1 С 1).

Тоді обсяг усіченої піраміди дорівнює:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2 , де S 2 - Площа верхньої основи, h - Висота.

Але обсяг призми АDEA 1 B 1 C 1 становить V 1 = S 2 · h і, отже,

V 2 = V - V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2 .

Отже, V2: V1 = 3:4.

Відповідь: 3: 4.

Завдання 3.

Сторони основ правильної чотирикутної усіченої піраміди дорівнюють 2 і 1, а висота дорівнює 3. Через точку перетину діагоналей піраміди паралельно основам піраміди проведено площину, що ділить піраміду на дві частини. Знайти обсяги кожної з них.

Рішення.

Розглянемо усічену піраміду АВСDА 1 В 1 З 1 D 1 , зображену на Мал. 3.

Позначимо О 1 О 2 = х, тоді ОО₂ = О 1 О – О 1 О 2 = 3 – х.

Розглянемо трикутник В 1 Про 2 D 1 і трикутник ВО 2 D:

кут В 1 Про 2 D 1 дорівнює куту 2 D як вертикальні;

кут ВDO 2 дорівнює куту D 1 B 1 O 2 і кут O 2 ВD дорівнює куту B 1 D 1 O 2 як навхрест що лежать при B 1 D 1 || BD і січучих B₁D та BD₁ відповідно.

Отже, трикутник В 1 Про 2 D 1 подібний до трикутника ВО 2 D і має місце відношення сторін:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 або 1/2 = х/(х - 3), звідки х = 1.

Розглянемо трикутник В 1 D 1 і трикутник LО 2 B: кут В – загальний, а так само є пара односторонніх кутів при B 1 D 1 || LM, отже, трикутник В 1 D 1 У подібний до трикутника LО 2 B, звідки В 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, тобто.

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Тоді S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Отже, V 1 = 1/3 · 2 (4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Відповідь: 152/27; 37/27.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Вміння обчислювати обсяг просторових фігур є важливим при вирішенні ряду практичних завданьз геометрії. Однією з найпоширеніших фігур є піраміда. У статті розглянемо піраміди як повної, і усіченої.

Піраміда як об'ємна фігура

Кожен знає про єгипетських пірамідахтому добре уявляє, про яку фігуру піде мова. Проте єгипетські кам'яні споруди є лише окремим випадком величезного класу пірамід.

Розглянутий геометричний об'єкт в загальному випадкуявляє собою багатокутну основу, кожна вершина якого з'єднана з деякою точкою у просторі, що не належить площині основи. Дане визначенняпризводить до фігури, що складається з одного n-кутника та n трикутників.

Будь-яка піраміда складається з n+1 граней, 2*n ребер та n+1 вершини. Оскільки фігура, що розглядається, є досконалим поліедром, то числа зазначених елементів підпорядковуються рівності Ейлера:

2 * n = (n + 1) + (n + 1) - 2.

Багатокутник, що знаходиться в основі, дає назву піраміди, наприклад, трикутна, п'ятикутна і так далі. Набір пірамід з різними підставаминаведено на фото нижче.

Крапка, в якій n трикутників фігури з'єднуються, називається вершиною піраміди. Якщо з неї опустити на основу перпендикуляр і він перетне його в геометричному центрі, тоді така фігура називатиметься прямою. Якщо ця умова не виконується, має місце похила піраміда.

Пряма фігура, основа якої утворена рівностороннім (рівнокутним) n-кутником, називається правильною.

Формула об'єму піраміди

Для обчислення обсягу піраміди скористаємося інтегральним обчисленням. Для цього розіб'ємо фігуру паралельними підставі площинами, що січуть, на нескінченну кількість тонких шарів. Малюнок нижче показує чотирикутну піраміду висотою h і довжиною сторони L, у якій чотирикутником відзначений тонкий шар перерізу.

Площу кожного такого шару можна обчислити за такою формулою:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Тут A 0 – площа основи, z – значення вертикальної координати. Видно, якщо z = 0, то формула дає значення A 0 .

Щоб отримати формулу обсягу піраміди, слід обчислити інтеграл по всій висоті фігури, тобто:

V = ∫ h 0 (A(z) * dz).

Підставляючи залежність A(z) і обчислюючи первісну, приходимо до виразу:

V = -A 0 * (h-z) 3 / (3 * h 2) | h 0 = 1/3 * A 0 * h.

Ми одержали формулу обсягу піраміди. Щоб знайти величину V, достатньо помножити висоту фігури на площу основи, а потім поділити результат на три.

Зауважимо, що отриманий вираз справедливий для обчислення обсягу піраміди довільного типу. Тобто вона може бути похилою, а її підстава є довільним n-кутником.

та її обсяг

Отриману в пункті вище загальну формулу для обсягу можна уточнити у разі піраміди з правильною основою. Площа такої підстави обчислюється за такою формулою:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Тут L є довжиною сторони правильного багатокутникаіз n вершинами. Символ pi – це число пі.

Підставляючи вираз для A 0 загальну формулу, отримуємо об'єм правильної піраміди:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Наприклад, для трикутної пірамідиця формула призводить до наступного виразу:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

Для правильної чотирикутної піраміди формула об'єму набуває вигляду:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *h.

Визначення обсягів правильних пірамід вимагає знання сторони їхньої основи та висоти фігури.

Піраміда зрізана

Припустимо, що ми взяли довільну піраміду і відтнули у неї частину бічної поверхні, що містить вершину. Фігура, що залишилася, називається усіченою пірамідою. Вона складається вже з двох n-вугільних основ та n трапецій, які їх з'єднують. Якщо січна площина була паралельна до основи фігури, тоді утворюється зрізана піраміда з паралельними подібними основами. Тобто довжини сторін однієї з них можна одержати, помножуючи довжини іншого деякий коефіцієнт k.

Малюнок вище демонструє зрізану правильну Видно, що верхня основаїї так само, як і нижнє, утворено правильним шестикутником.

Формула яку можна вивести, використовуючи подібне наведене інтегральне числення, має вигляд:

V = 1/3 * h * (A 0 + A 1 + √ (A 0 * A 1)).

Де A 0 і A 1 - площі нижньої (великої) і верхньої (маленької) підстав відповідно. Змінною h позначається висота зрізаної піраміди.

Об'єм піраміди Хеопса

Цікаво вирішити завдання визначення обсягу, який містить у собі найбільша єгипетська піраміда.

У 1984 році британські єгиптологи Марк Легнер (Mark Lehner) та Джон Гудман (Jon Goodman) встановили точні розміри піраміди Хеопса. Її первісна висотадорівнювала 146,50 метра (нині близько 137 метрів). Середня довжина кожної із чотирьох сторін споруди становила 230,363 метра. Основа піраміди з високою точністю є квадратною.

Скористаємося наведеними цифрами визначення обсягу цього кам'яного гіганта. Оскільки піраміда є правильною чотирикутною, тоді для неї справедлива формула:

Підставляємо цифри, отримуємо:

V 4 = 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 м 3 .

Обсяг піраміди Хеопса дорівнює практично 2,6 млн. м 3 . Для порівняння зазначимо, що олімпійський басейн має об'єм 2,5 тис. м3. Тобто для заповнення всієї піраміди Хеопса знадобиться понад 1000 таких басейнів!

– це багатогранник, який утворюється основою піраміди та паралельним йому перетином. Можна сказати, що усічена піраміда - це піраміду зі зрізаною верхівкою. Ця фігура має безліч унікальних властивостей:

• Бічні грані піраміди є трапеціями;
• Бічні ребра правильної усіченої піраміди однакової довжини та нахилені до основи під однаковим кутом;
• Основи є подібними багатокутниками;
• У правильній усіченій піраміді, грані є однаковими рівнобедрені трапеції, площа яких дорівнює. Також вони нахилені до основи під одним кутом.

Формула площі бічної поверхні усіченої піраміди є сумою площ її сторін:

Так як сторони усіченої піраміди є трапецією, то для розрахунку параметрів доведеться скористатися формулою площі трапеції. Для правильної зрізаної піраміди можна застосувати іншу формулу розрахунку площі. Так як всі її сторони, грані, і кути при основі рівні, можна застосувати периметри підстави і апофему, а також вивести площу через кут при підставі.

Якщо за умовами в правильній усіченій піраміді дано апофему (висота бічної сторони) і довжину сторін основи, то можна розрахувати площу через напівтвор суми периметрів основ і апофеми:

Давайте розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні усіченої піраміди.
Дано правильну п'ятикутну піраміду. Апофема l= 5 см, довжина грані у великій підставі дорівнює a= 6 см, а грань у меншій основі b= 4 см. Розрахуйте площу зрізаної піраміди.

Для початку знайдемо периметри основ. Оскільки нам дана п'ятикутна піраміда, ми розуміємо, що підстави є п'ятикутниками. Отже, в основах лежить постать із п'ятьма однаковими сторонами. Знайдемо периметр більшої основи:

Таким же чином знаходимо периметр меншої основи:

Тепер можемо розраховувати площу правильної усіченої піраміди. Підставляємо дані у формулу:

Таким чином, ми розрахували площу правильної усіченої піраміди через периметри та апофему.

Ще один спосіб розрахунку площі бічної поверхні правильної піраміди, це формула через кути біля основи та площу цих самих підстав.

Розгляньмо приклад розрахунку. Пам'ятаємо, що ця формула застосовується лише для правильної усіченої піраміди.

Нехай дана правильна чотирикутна піраміда. Грань нижньої основи a = 6 см, а грань верхнього b = 4 см. Двогранний кут на основі β = 60°. Знайдіть площу бічної поверхні правильної усіченої піраміди.

Для початку розрахуємо площу основ. Так як піраміда правильна, всі межі основ рівні між собою. Враховуючи, що в основі лежить чотирикутник, розуміємо, що потрібно буде розрахувати площа квадрата. Вона є добутком ширини на довжину, але в квадраті ці значення збігаються. Знайдемо площу більшої основи:


Тепер використовуємо знайдені значення розрахунку площі бічної поверхні.

Знаючи кілька нескладних формул, ми легко розрахували площу бічної трапеції усіченої піраміди через різні значення.