Початковий рівень

піраміда. Візуальний гід (2019)

Що таке піраміда?

Як вона виглядає?

Бачиш: у піраміди внизу. в основі») якийсь багатокутник, і всі вершини цього багатокутника з'єднані з деякою точкою в просторі (ця точка називається « вершина»).

У всій цій конструкції ще є бічні грані, бічні ребраі ребра основи. Ще раз намалюємо піраміду разом із усіма цими назвами:

Деякі піраміди можуть виглядати дуже дивно, але все одно це – піраміди.

Ось, наприклад, зовсім «коса» піраміда.

І ще трохи про назви: якщо в основі піраміди лежить трикутник, то піраміда називається трикутною, якщо чотирикутник, то чотирикутною, а якщо стокутник, то... здогадайся сам.

При цьому крапка, куди опустилася висота, називається основою висоти. Зверніть увагу, що в «кривих» пірамідах висотаможе взагалі опинитися поза пірамідою. Ось так:

І нічого в цьому страшного нема. Схоже на тупокутний трикутник.

Правильна піраміда.

Чи багато складних слів? Давай розшифруємо: «У підставі – правильний» – це зрозуміло. А тепер пригадаємо, що у правильного багатокутника є центр - точка, що є центром і , і .

Ну ось, а слова «вершина проектується в центр основи» означають, що основа висоти потрапляє саме в центр основи. Дивись, як рівненько і симпатично виглядає правильна піраміда.

ШестикутнаОсі: в основі - правильний шестикутник, вершина проектується в центр основи.

Чотирикутна: в основі - квадрат, вершина проектується в точку перетину діагоналей цього квадрата.

Трикутна: в основі - правильний трикутник, вершина проектується в точку перетину висот (вони ж і медіани, і бісектриси) цього трикутника.

Дуже важливі властивості правильної піраміди:

У правильній піраміді

• всі бічні ребра рівні.
• всі бічні грані - рівнобедрені трикутникиі всі ці трикутники рівні.

Об'єм піраміди

Головна формула обсягу піраміди:

Звідки взялася саме? Це не так просто, і спочатку потрібно просто запам'ятати, що у піраміди і конуса у формулі об'єму є, а у циліндра - ні.

Тепер давай порахуємо обсяг найпопулярніших пірамід.

Нехай сторона основи дорівнює, а бічне ребро рівне. Потрібно знайти в.

Це площа правильного трикутника.

Згадаймо, як шукати цю площу. Використовуємо формулу площі:

У нас "" - це, а "" - це теж, а.

Тепер знайдемо.

За теоремою Піфагора для

Чому ж одно? Це радіус описаного кола в, тому що пірамідаправильнаі, отже, – центр.

Так як - точка перетину та медіан теж.

(теорема Піфагора для)

Підставимо у формулу для.

І підставимо все у формулу обсягу:

Увага:якщо в тебе правильний тетраедр (тобто), то формула виходить такою:

Нехай сторона основи дорівнює, а бічне ребро рівне.

Тут і шукати не треба; адже в основі - квадрат, і тому.

Знайдемо. За теоремою Піфагора для

Чи відомо нам? Ну майже. Дивись:

(Це ми побачили, розглянувши).

Підставляємо у формулу для:

А тепер і підставляємо у формулу обсягу.

Нехай сторона основи дорівнює, а бічне ребро.

Як знайти? Дивись, шестикутник складається з шести однакових правильних трикутників. Площу правильного трикутника ми вже шукали при підрахунку об'єму правильної трикутної пірамідитут використовуємо знайдену формулу.

Тепер знайдемо (це).

За теоремою Піфагора для

Але чому ж одно? Це просто, тому що (і всі інші теж) правильний.

Підставляємо:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

ПІРАМІДА. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Піраміда - це багатогранник, який складається з будь-якого плоского багатокутника (), точки, що не лежить у площині основи (вершина піраміди) і всіх відрізків, що з'єднують вершину піраміди з точками основи (бічні ребра).

Перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи.

Правильна піраміда- піраміда, біля якої в основі лежить правильний багатокутник, а вершина піраміди проектується в центр основи.

Властивість правильної піраміди:

• У правильній піраміді всі бічні ребра рівні.
• Усі бічні грані – рівнобедрені трикутники і всі ці трикутники рівні.

З поняттям піраміда учні стикаються задовго до вивчення геометрії. Виною всьому знамениті великі єгипетські чудеса світу. Тому, починаючи вивчення цього чудового багатогранника, більшість учнів вже наочно уявляють її собі. Всі вищезгадані пам'ятки мають правильну форму. Що таке правильна піраміда, і які властивості вона має і йтиметься далі.

Вконтакте

Визначення

Визначень піраміди можна зустріти чимало. Починаючи ще з давніх часів, вона мала популярність.

Наприклад, Евклід визначав її як тілесну фігуру, що складається з площин, які, починаючи від однієї, сходяться у певній точці.

Герон подав більш точне формулювання. Він наполягав на тому, що це постать, яка має основу та площини у вигляді трикутників,що сходяться в одній точці.

Спираючись на сучасне тлумачення, піраміду представляють як просторовий багатогранник, що складається з певного k-кутника і k плоских фігур трикутної форми, що має одну загальну точку.

Розберемося докладніше, з яких елементів вона складається:

• k-кутник вважають основою фігури;
• фігури 3-кутової форми виступають гранями бічної частини;
• верхня частина, з якої беруть початок бічні елементи, називають вершиною;
• всі відрізки, що з'єднують вершину, називають ребрами;
• якщо з вершини на площину фігури опустити пряму під кутом 90 градусів, її частина, укладена у внутрішньому просторі — висота піраміди;
• в будь-якому бічному елементі до нашого багатогранника можна провести перпендикуляр, званий апофемою.

Число ребер обчислюється за формулою 2*k де k – кількість сторін k-кутника. Скільки граней такого багатогранника, як піраміда, можна визначити за допомогою виразу k+1.

Важливо!Пірамідою правильної форминазивають стереометричну фігуру, площину основи якої є k-кутник з рівними сторонами.

Основні властивості

Правильна піраміда має безліч властивостей,які властиві лише їй. Перерахуємо їх:

1. Основа – фігура правильної форми.
2. Ребра піраміди, що обмежують бічні елементи, мають рівні числові значення.
3. Бічні елементи – рівнобедрені трикутники.
4. Основа висоти фігури потрапляє в центр багатокутника, при цьому він одночасно є центральною точкою, вписаною та описаною .
5. Усі бічні ребра нахилені до площини основи під однаковим кутом.
6. Усі бічні поверхні мають однаковий кут нахилу по відношенню до основи.

Завдяки всім перерахованим властивостям виконання обчислень елементів набагато спрощується. Виходячи з наведених властивостей, звертаємо увагу на дві ознаки:

1. У тому випадку, коли багатокутник вписується в коло, бічні грані матимуть з основою рівні кути.
2. При описі кола біля багатокутника всі ребра піраміди, що виходять з вершини, матимуть рівну довжину і рівні кути з основою.

В основі лежить квадрат

Правильна чотирикутна піраміда – багатогранник, у якого в основі лежить квадрат.

У неї чотири бічні грані, які за своїм виглядом є рівностегновими.

На площині квадрат зображають , але ґрунтуються на всіх властивостях правильного чотирикутника.

Наприклад, якщо потрібно зв'язати сторону квадрата з його діагоналлю, то використовують таку формулу: діагональ дорівнює добутку сторони квадрата на квадратний корінь з двох.

В основі лежить правильний трикутник

Правильна трикутна піраміда – багатогранник, в основі якого лежить правильний трикутник.

Якщо основа є правильним трикутником, а бічні ребра рівні ребрам основи, то така фігура називається тетраедром.

Усі грані тетраедра є рівносторонніми 3-кутниками. В даному випадку необхідно знати деякі моменти та не витрачати на них час при обчисленнях:

• кут нахилу ребер до будь-якої основи дорівнює 60 градусів;
• величина всіх внутрішніх граней також становить 60 градусів;
• будь-яка грань може виступити основою;
• , проведені усередині фігури, це рівні елементи

Переріз багатогранника

У будь-якому багатограннику розрізняють кілька видів перерізуплощиною. Найчастіше у шкільному курсі геометрії працюють із двома:

• осьове;
• паралельне основі.

Осьовий переріз отримують при перетині площиною багатогранника, яка проходить через вершину, бічні ребра та вісь. У разі віссю є висота, проведена з вершини. Поверхня площина обмежується лініями перетину з усіма гранями, в результаті отримуємо трикутник.

Увага!У правильній піраміді осьовим перетином є рівнобедрений трикутник.

Якщо січна площина проходить паралельно до основи, то в результаті отримуємо другий варіант. У цьому випадку маємо в розрізі фігуру, подібну до основи.

Наприклад, якщо в основі лежить квадрат, то перетин паралельно основі також буде квадратом, тільки менших розмірів.

При вирішенні завдань за такої умови використовують ознаки та властивості подібності фігур, засновані на теоремі Фалеса. Насамперед необхідно визначити коефіцієнт подібності.

Якщо площина проведена паралельно основі, і вона відсікає верхню частину багатогранника, то нижній частині отримують правильну усічену піраміду. Тоді кажуть, що основи багатогранника є подібними багатокутниками. І тут бічні грані є рівнобокими трапеціями. Осьовим перетином також є рівнобока.

Для того щоб визначити висоту зрізаного багатогранника, необхідно провести висоту в осьовому перерізі, тобто в трапеції.

Площі поверхонь

Основні геометричні завдання, які доводиться вирішувати у шкільному курсі геометрії, це знаходження площ поверхні та обсягу у піраміди.

Значення площі поверхні розрізняють двох видів:

• площі бічних елементів;
• площі всієї поверхні.

Із самої назви зрозуміло, про що йдеться. Бічна поверхнявключає лише бічні елементи. З цього випливає, що для її знаходження необхідно просто скласти площі бічних площин, тобто площі рівнобедрених трикутників. Спробуємо вивести формулу площі бічних елементів:

1. Площа рівнобедреного трикутника дорівнює Sтр=1/2(aL), де а – сторона основи, L – апофема.
2. Кількість бічних площин залежить від виду k-го косинця в основі. Наприклад, правильна чотирикутна піраміда має чотири бічні поверхні. Отже, необхідно скласти площі чотирьох фігур Sбок=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4а*L. Вираз спрощено у такий спосіб оскільки значення 4а=Росн, де Росн – периметр основи. А вираз 1/2*Росн є її напівпериметром.
3. Отже, робимо висновок, що площа бічних елементів правильної піраміди дорівнює добутку напівпериметра основи апофему: Sбок = Росн * L.

Площа повної поверхніпіраміди складається з суми площ бічних площин і основи: Sп.п. = Sбок + Sосн.

Що стосується площі основи, то тут формула використовується відповідно до виду багатокутника.

Об'єм правильної пірамідидорівнює добутку площі площини підстави на висоту, розділену на три: V = 1/3 * Sосн * Н, де Н - висота багатогранника.

Що таке правильна піраміди в геометрії

Властивості правильної чотирикутної піраміди

піраміда. Усічена піраміда

Пірамідоюназивається багатогранник, одна з граней якого багатокутник ( основа ), а всі інші грані – трикутники із загальною вершиною ( бічні грані ) (рис. 15). Піраміда називається правильною якщо її основою є правильний багатокутник і вершина піраміди проектується в центр основи (рис. 16). Трикутна піраміда, у якої всі ребра рівні, називається тетраедром .

Боковим ребромпіраміди називається сторона бічної грані, що не належить основи Висотою піраміди називається відстань від її вершини до площини основи. Усі бічні ребра правильної піраміди рівні між собою, всі бічні грані – рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з вершини, називається апофемою . Діагональним перетином називається переріз піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать одній грані.

Площею бічної поверхніпіраміди називається сума площ усіх бічних граней. Площею повної поверхні називається сума площ усіх бічних граней та підстави.

Теореми

1. Якщо в піраміді всі бічні ребра рівнонахилені до площини основи, то вершина піраміди проектується в центр кола описаного біля основи.

2. Якщо в піраміді всі бічні ребра мають рівні довжини, то вершина піраміди проектується в центр кола описаного біля основи.

3. Якщо в піраміді всі грані рівнонахилені до площини основи, то вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу.

Для обчислення обсягу довільної піраміди вірна формула:

де V- Об `єм;

S осн– площа основи;

H- Висота піраміди.

Для правильної піраміди вірні формули:

де p– периметр основи;

h а- Апофема;

H- Висота;

S повний

S бік

S осн– площа основи;

V- Об'єм правильної піраміди.

Усіченою пірамідоюназивається частина піраміди, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі піраміди (рис. 17). Правильною усіченою пірамідою називається частина правильної піраміди, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі піраміди.

Підставизрізаної піраміди – подібні багатокутники. Бічні грані - Трапеції. Висотою усіченої піраміди називається відстань між її основами. Діагоналлю усіченої піраміди називається відрізок, що з'єднує її вершини, що не лежать в одній грані. Діагональним перетином називається переріз усіченої піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать одній грані.

Для усіченої піраміди справедливі формули:

(4)

де S 1 , S 2 – площі верхнього та нижньої основ;

S повний- Площа повної поверхні;

S бік- Площа бічної поверхні;

H- Висота;

V- Об'єм зрізаної піраміди.

Для правильної усіченої піраміди вірна формула:

де p 1 , p 2 – периметри основ;

h а- Апофема правильної усіченої піраміди.

приклад 1.У правильній трикутній піраміді двогранний кут при підставі дорівнює 60 º. Знайти тангенс кута нахилу бокового ребра до площини основи.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 18).

Піраміда правильна, отже, в основі рівносторонній трикутникі всі бічні грані рівні рівнобедрені трикутники. Двогранний кут при основі - це кут нахилу бічної грані піраміди до площини основи. Лінійним кутом буде кут aміж двома перпендикулярами: і. Вершина піраміди проектується в центрі трикутника (центр описаного кола та вписаного кола в трикутник АВС). Кут нахилу бокового ребра (наприклад SB) – це кут між самим ребром та його проекцією на площину основи. Для ребра SBцим кутом буде кут SBD. Щоб знайти тангенс необхідно знати катети SOі OB. Нехай довжина відрізка BDдорівнює 3 а. Крапкою Провідрізок BDділиться на частини: і З знаходимо SO: З знаходимо:

Відповідь:

приклад 2.Знайти об'єм правильної зрізаної чотирикутної піраміди, якщо діагоналі її основ дорівнюють см і см, а висота 4 см.

Рішення.Для знаходження об'єму зрізаної піраміди скористаємося формулою (4). Щоб знайти площі основ необхідно знайти сторони квадратів-підстав, знаючи їх діагоналі. Сторони підстав рівні відповідно 2 см і 8 см. Значить площі підстав і Підставивши всі дані у формулу, обчислимо обсяг усіченої піраміди:

Відповідь: 112 см 3 .

приклад 3.Знайти площу бічної грані правильної трикутної усіченої піраміди, сторони основ якої дорівнюють 10 см і 4 см, а висота піраміди 2 см.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 19).

Бічна грань цієї піраміди є рівнобокою трапецією. Для обчислення площі трапеції необхідно знати основи та висоту. Підстави дано за умовою, залишається невідомою лише висота. Її знайдемо з де А 1 Еперпендикуляр з точки А 1 на площину нижньої основи, A 1 D- Перпендикуляр з А 1 на АС. А 1 Е= 2 см, оскільки це висота піраміди. Для знаходження DEзробимо додатково малюнок, у якому зобразимо вид зверху (рис. 20). Крапка Про– проекція центрів верхньої та нижньої основ. оскільки (див. рис. 20) і з іншого боку ОК– радіус вписаної в коло та ОМ- Радіус вписаної в колі:

MK = DE.

За теоремою Піфагора з

Площа бічної грані:

Відповідь:

приклад 4.В основі піраміди лежить рівнобока трапеція, основа якої аі b (a> b). Кожна бічна грань утворює з площиною основи піраміди кут рівний j. Знайти площу повної поверхні піраміди.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 21). Площа повної поверхні піраміди SABCDдорівнює сумі площ та площі трапеції ABCD.

Скористаємося твердженням, що й усі грані піраміди рівнонахилені до площині основи, то вершина проектується у центр вписаної основу окружности. Крапка Про- Проекція вершини Sна основу піраміди. Трикутник SODє ортогональною проекцією трикутника CSDна площину основи. За теоремою про площу ортогональної проекції плоскої фігури отримаємо:

Аналогічно і означає Таким чином, завдання звелося до знаходження площі трапеції. АВСD. Зобразимо трапецію ABCDокремо (рис.22). Крапка Про- Центр вписаної в трапецію кола.

Так як в трапецію можна вписати коло, то або З по теоремі Піфагора маємо

Поняття піраміди

Визначення 1

Геометрична фігура, утворена багатокутником і точкою, що не лежить у площині, що містить цей багатокутник, з'єднаною з усіма вершинами багатокутника називається пірамідою (рис. 1).

Багатокутник, з якого складена піраміда, називається основою піраміди, одержувані при з'єднанні з точкою трикутники - бічними гранями піраміди, сторони трикутників - сторонами піраміди, а загальна для всіх трикутників точка - вершиною піраміди.

Види пірамід

Залежно від кількості кутів у основі піраміди її можна назвати трикутною, чотирикутною тощо (рис. 2).

Малюнок 2.

Ще один вид пірамід - правильна піраміда.

Введемо та доведемо властивість правильної піраміди.

Теорема 1

Усі бічні грані правильної піраміди є рівнобедреними трикутниками, які рівні між собою.

Доведення.

Розглянемо правильну $n-$вугільну піраміду з вершиною $S$ заввишки $h=SO$. Опишемо навколо основи коло (рис. 4).

Малюнок 4.

Розглянемо трикутник $SOA$. За теоремою Піфагора, отримаємо

Очевидно, що так визначатиметься будь-яке бічне ребро. Отже, всі бічні ребра рівні між собою, тобто всі бічні грані – рівнобедрені трикутники. Доведемо, що вони між собою рівні. Оскільки основа - правильний багатокутник, то основи всіх бічних граней рівні між собою. Отже, всі бічні грані дорівнюють за III ознакою рівності трикутників.

Теорему доведено.

Введемо тепер таке визначення, пов'язане з поняттям правильної піраміди.

Визначення 3

Апофемою правильної піраміди називається висота її бічної грані.

Очевидно, що за теоремою всі апофеми рівні між собою.

Теорема 2

Площа бічної поверхні правильної піраміди визначається як добуток напівпериметра основи апофему.

Доведення.

Позначимо сторону основи $n-$вугільної піраміди через $a$, а апофему через $d$. Отже, площа бічної грані дорівнює

Так як, за теоремою 1, всі бічні сторони рівні, то

Теорему доведено.

Ще один вид піраміди - усічена піраміда.

Визначення 4

Якщо через звичайну піраміду провести площину, паралельну до її основи, то постать, утворена між цією площиною та площиною основи називається усіченою пірамідою (рис. 5).

Рисунок 5. Усічена піраміда

Боковими гранями усіченої піраміди є трапеції.

Теорема 3

Площа бічної поверхні правильної зрізаної піраміди визначається як добуток суми напівпериметрів підстав на апофему.

Доведення.

Позначимо сторони основ $n-$вугільної піраміди через $a\ і b відповідно, а апофему через $d$. Отже, площа бічної грані дорівнює

Оскільки всі бічні сторони рівні, то

Теорему доведено.

Приклад завдання

Приклад 1

Знайти площу бічної поверхні усіченої трикутної піраміди, якщо вона отримана з правильної піраміди зі стороною основи 4 і апофемою 5 шляхом відсікання площиною, що проходить через середню лінію бічних граней.

Рішення.

По теоремі про середню лінію отримаємо, що верхня основа усіченої піраміди дорівнює $4\cdot \frac(1)(2)=2$, а апофема дорівнює $5\cdot \frac(1)(2)=2,5$.

Тоді, за теоремою 3, отримаємо

Визначення

Піраміда– це багатогранник, складений із багатокутника \(A_1A_2...A_n\) і \(n\) трикутників із загальною вершиною \(P\) (що не лежить у площині багатокутника) і протилежними їй сторонами, що збігаються зі сторонами багатокутника.
Позначення: \(PA_1A_2...A_n\) .
Приклад: п'ятикутна піраміда \(PA_1A_2A_3A_4A_5\).

Трикутники \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) і т.д. називаються бічними гранямипіраміди, відрізки (PA_1, PA_2) і т.д. - бічними ребрами, багатокутник \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – основою, точка \ (P \) - вершиною.

Висотапіраміди – це перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи.

Піраміда, в основі якої лежить трикутник, називається тетраедром.

Піраміда називається правильною, якщо в її основі лежить правильний багатокутник і виконано одну з умов:

\((a)\) бічні ребра піраміди рівні;

\((b)\) висота піраміди проходить через центр описаного біля основи кола;

\((c)\) бічні ребра нахилені до площини основи під однаковим кутом.

\((d)\) бічні грані нахилені до площини основи під однаковим кутом.

Правильний тетраедр– це трикутна піраміда, усі грані якої – рівні рівносторонні трикутники.

Теорема

Умови ((a), (b), (c), (d)) еквівалентні.

Доведення

Проведемо висоту піраміди (PH). Нехай \(\alpha\) - площина основи піраміди.

1) Доведемо, що з ((a)) слід ((b)). Нехай \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Т.к. \(PH\perp \alpha\) , то \(PH\) перпендикулярна будь-якій прямій, що лежить у цій площині, отже, трикутники - прямокутні. Значить, ці трикутники рівні за загальним катетом \(PH\) і гіпотенуз \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Отже, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Отже, точки \(A_1, A_2, ..., A_n\) знаходяться на однаковій відстані від точки \(H\), отже, лежать на одному колі з радіусом \(A_1H\). Це коло за визначенням і є описане біля багатокутника \(A_1A_2...A_n\) .

2) Доведемо, що з \((b)\) випливає \((c)\).

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)прямокутні та рівні за двома катетами. Отже, рівні та їхні кути, отже, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) Доведемо, що з ((c)) слід ((a)).

Аналогічно першому пункту трикутники \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)прямокутні та по катету та гострому кутку. Отже, рівні та його гіпотенузи, тобто \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Доведемо, що з ((b)) слід ((d)).

Т.к. у правильному багатокутнику збігаються центри описаного та вписаного кола (взагалі кажучи, ця точка називається центром правильного багатокутника), то \(H\) – центр вписаного кола. Проведемо перпендикуляри з точки \(H\) на сторони основи: \(HK_1, HK_2\) і т.д. Це – радіуси вписаного кола (за визначенням). Тоді по ТТП (\(PH\) - перпендикуляр на площину, \(HK_1, HK_2\) і т.д. - проекції, перпендикулярні сторонам) похилі (PK_1, PK_2\) і т.д. перпендикулярні сторонам (A_1A_2, A_2A_3) і т.д. відповідно. Отже, за визначенням \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\)рівні кутам між бічними гранями та основою. Т.к. трикутники \(PK_1H, PK_2H, ...\) рівні (як прямокутні за двома катетами), то й кути \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\)рівні.

5) Доведемо, що з ((d)) слід ((b)).

Аналогічно четвертому пункту трикутники \(PK_1H, PK_2H, ...\) рівні (як прямокутні за катетом і гострим кутом), отже, рівні відрізки \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) . Значить, за визначенням, (H) – центр вписаної в основу кола. Але т.к. у правильних багатокутниківцентри вписаного та описаного кола збігаються, то \(H\) – центр описаного кола. Чтд.

Слідство

Бічні грані правильної піраміди – рівні рівнобедрені трикутники.

Визначення

Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою.
Апофеми всіх бічних граней правильної піраміди рівні між собою і є також медіанами та бісектрисами.

Важливі зауваження

1. Висота правильної трикутної піраміди падає в точку перетину висот (або бісектрис, або медіан) основи (основа – правильний трикутник).

2. Висота правильної чотирикутної піраміди падає в точку перетину діагоналей основи (основа – квадрат).

3. Висота правильної шестикутної піраміди падає в точку перетину діагоналей основи (основа – правильний шестикутник).

4. Висота піраміди перпендикулярна будь-якій прямій, що лежить в основі.

Визначення

Піраміда називається прямокутноїякщо одне її бічне ребро перпендикулярно площині основи.

Важливі зауваження

1. У прямокутної піраміди ребро, перпендикулярне до основи, є висотою піраміди. Тобто (SR) - висота.

2. Т.к. \(SR\) перпендикулярно будь-якій прямій з основи, то \(\triangle SRM, \triangle SRP\)- Прямокутні трикутники.

3. Трикутники \(\triangle SRN, \triangle SRK\)- теж прямокутні.
Тобто будь-який трикутник, утворений цим ребром та діагоналлю, що виходить з вершини цього ребра, що лежить у підставі, буде прямокутним.

\[(\Large(\text(Обсяг та площа поверхні піраміди)))\]

Теорема

Обсяг піраміди дорівнює третині твору площі основи на висоту піраміди: \

Наслідки

Нехай \(a\) - сторона основи, \(h\) - висота піраміди.

1. Об'єм правильної трикутної піраміди дорівнює \(V_(\text(прав.треуг.пір.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Об'єм правильної чотирикутної піраміди дорівнює \(V_(\text(прав.чотир.пір.))=\dfrac13a^2h\).

3. Об'єм правильної шестикутної піраміди дорівнює \(V_(\text(прав.шест.пір.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Об'єм правильного тетраедра дорівнює \(V_(\text(прав.тетр.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Теорема

Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює напівтвору периметра основи на апофему.

\[(\Large(\text(Усічена піраміда)))\]

Визначення

Розглянемо довільну піраміду \(PA_1A_2A_3...A_n\). Проведемо через деяку точку, що лежить на бічному ребрі піраміди, площину паралельно до основи піраміди. Ця площина розіб'є піраміду на два багатогранники, один з яких – піраміда (\(PB_1B_2...B_n\) ), а інший називається усічена піраміда(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Усічена піраміда має дві підстави – багатокутники \(A_1A_2...A_n\) і \(B_1B_2...B_n\) , які подібні один до одного.

Висота зрізаної піраміди – це перпендикуляр, проведений з якоїсь точки верхньої основидо площини нижньої основи.

Важливі зауваження

1. Усі бічні грані усіченої піраміди – трапеції.

2. Відрізок, що з'єднує центри основ правильної зрізаної піраміди (тобто піраміди, отриманої перерізом правильної піраміди), є висотою.