Об'єм піраміди з основою трикутника. Об'єм правильної піраміди
Піраміда - це багатогранник, основу якого лежить багатокутник. Всі грані у свою чергу утворюють трикутники, які сходяться на одній вершині. Піраміди бувають трикутними, чотирикутними тощо. Щоб визначити, яка піраміда перед вами, досить порахувати кількість кутів у її основі. Визначення "висота піраміди" дуже часто зустрічається в задачах з геометрії шкільній програмі. У статті спробуємо розглянути різні способиїї знаходження.
Частини піраміди
Кожна піраміда складається з наступних елементів:
- бічні грані, які мають по три кути та сходяться у вершині;
- апофема є висотою, яка опускається з її вершини;
- вершина піраміди - це точка, яка з'єднує бічні ребра, але при цьому не лежить у площині основи;
- основа - це багатокутник, у якому лежить вершина;
- висота піраміди є відрізком, який перетинає вершину піраміди і утворює з її основою прямий кут.
Як знайти висоту піраміди, якщо відомий її об'єм
Через формулу V = (S * h) / 3 (у формулі V - об'єм, S - площа основи, h - висота піраміди) знаходимо, що h = (3 * V) / S. Для закріплення матеріалу давайте відразу вирішимо завдання. У трикутної основидорівнює 50 см 2 тоді як її обсяг становить 125 см 3 . Невідома висота трикутної піраміди, яку нам необхідно знайти. Тут все просто: вставляємо дані до нашої формули. Отримуємо h = (3 * 125) / 50 = 7,5 см.
Як знайти висоту піраміди, якщо відома довжина діагоналі та її ребра
Як ми пам'ятаємо, висота піраміди утворює з її основою прямий кут. А це означає, що висота, ребро і половина діагоналі разом утворюють Багато хто, звичайно ж, пам'ятають теорему Піфагора. Знаючи два виміри, третю величину знайти буде нескладно. Згадаймо відому теорему a² = b² + c², де а - гіпотенуза, а нашому випадку ребро піраміди; b - перший катет або половина діагоналі і - відповідно, другий катет, або висота піраміди. З цієї формули c? = a? - b?.
Тепер завдання: у правильній піраміді діагональ дорівнює 20 см, коли як довжина ребра - 30 см. Необхідно визначити висоту. Вирішуємо: c ² = 30 ² - 20 ² = 900-400 = 500. Звідси з = √ 500 = близько 22,4.
Як знайти висоту зрізаної піраміди
Вона являє собою багатокутник, який має перетин паралельно до її основи. Висота усіченої піраміди - це відрізок, який з'єднує дві її основи. Висоту можна знайти у правильної пірамідиякщо будуть відомі довжини діагоналей обох основ, а також ребро піраміди. Нехай діагональ більшої основи дорівнює d1, тоді як діагональ меншої основи – d2, а ребро має довжину – l. Щоб знайти висоту, можна із двох верхніх протилежних точок діаграми опустити висоти на її основу. Ми бачимо, що у нас вийшли два прямокутні трикутники, залишається знайти довжини їх катетів. Для цього з більшої діагоналі віднімаємо меншу та ділимо на 2. Так ми знайдемо один катет: а = (d1-d2)/2. Після чого за теоремою Піфагора нам залишається лише знайти другий катет, який є висотою піраміди.
Тепер розглянемо всю цю справу на практиці. Перед нами завдання. Усічена піраміда має в основі квадрат, довжина діагоналі більшої основи дорівнює 10 см, тоді як меншої - 6 см, а ребро дорівнює 4 см. Потрібно знайти висоту. Для початку знаходимо один катет: а = (10-6)/2 = 2 см. Один катет дорівнює 2 см, а гіпотенуза - 4 см. Виходить, що другий катет або висота дорівнюватиме 16-4 = 12, тобто h = √12 = близько 3,5 см.
Визначення. Бічна грань- Це трикутник, у якого один кут лежить у вершині піраміди, а протилежна йому сторона збігається зі стороною основи (багатокутника).
Визначення. Бічні ребра- це спільні сторони бічних граней. У піраміди стільки ребер, скільки кутів у багатокутника.
Визначення. Висота піраміди- Це перпендикуляр, опущений з вершини на основу піраміди.
Визначення. Апофема- Це перпендикуляр бічної грані піраміди, опущений з вершини піраміди до сторони основи.
Визначення. Діагональний переріз- це переріз піраміди площиною, що проходить через вершину піраміди та діагональ основи.
Визначення. Правильна піраміда- це піраміда, в якій основою є правильний багатокутник, а висота опускається до центру основи.
Об'єм та площа поверхні піраміди
Формули. Об'єм пірамідичерез площу основи та висоту:
Властивості піраміди
Якщо всі бічні ребра рівні, навколо основи піраміди можна описати коло, а центр основи збігається з центром кола. Також перпендикуляр, опущений із вершини, проходить через центр основи (кола).
Якщо бічні ребра рівні, всі вони нахилені до площині підстави під однаковими кутами.
Бічні ребра рівні тоді, коли вони утворюють із площиною основи рівні кути або якщо навколо основи піраміди можна описати коло.
Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то в основу піраміди можна вписати коло, а вершина піраміди проектується до її центру.
Якщо бічні грані нахилені до поверхні підстави під одним кутом, то апофеми бічних граней рівні.
Властивості правильної піраміди
1. Вершина піраміди рівновіддалена від усіх кутів основи.
2. Усі бічні ребра рівні.
3. Усі бічні ребра нахилені під однаковими кутами до основи.
4. Апофеми всіх бічних граней рівні.
5. Площі всіх бічних граней рівні.
6. Усі грані мають однакові двогранні (плоські) кути.
7. Навколо піраміди можна описати сферу. Центром описаної сфери буде точка перетину перпендикулярів, що проходять через середину ребер.
8. До піраміди можна вписати сферу. Центром вписаної сфери буде точка перетину бісектрис, що виходять із кута між ребром і основою.
9. Якщо центр вписаної сфери збігається з центром описаної сфери, то сума плоских кутів при вершині дорівнює π або навпаки один кут дорівнює π/n , де n - це кількість кутів в основі піраміди.
Зв'язок піраміди зі сферою
Навколо піраміди можна описати сферу тоді, коли в основі піраміди лежить багатогранник навколо якого можна описати коло (необхідне і достатня умова). Центром сфери буде точка перетину площин, що проходять перпендикулярно через середини бічних ребер піраміди.
Навколо будь-якої трикутної чи правильної піраміди можна описати сферу.
У піраміду можна вписати сферу, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в одній точці (необхідна та достатня умова). Ця точка буде осередком сфери.
Зв'язок піраміди з конусом
Конус називається вписаним у піраміду, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса вписана в основу піраміди.
Конус можна вписати до піраміди, якщо апофеми піраміди рівні між собою.
Конус називається описаним навколо піраміди, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса описана навколо основи піраміди.
Конус можна описати навколо піраміди, якщо всі бічні ребра піраміди рівні між собою.
Зв'язок піраміди з циліндром
Піраміда називається вписаною в циліндр, якщо вершина піраміди лежить на одній основі циліндра, а основа піраміди вписана в іншу основу циліндра.
Циліндр можна описати навколо піраміди, якщо навколо основи піраміди можна описати коло.
У чотиригранник чотири грані та чотири вершини та шість ребер, де будь-які два ребра не мають спільних вершин але не стикаються.
Кожна вершина складається з трьох граней та ребер, які утворюють тригранний кут.
Відрізок, що з'єднує вершину чотиригранника із центром протилежної грані називається медіаною чотиригранника(GM).
Бімедіаноюназивається відрізок, що з'єднує середини протилежних ребер, які не стикаються (KL).
Усі бімедіани та медіани чотиригранника перетинаються в одній точці (S). При цьому бімедіани діляться навпіл, а медіани щодо 3:1, починаючи з вершини.
Визначення. Гострокутна піраміда- це піраміда в якій апофема більше половини довжини сторони основи.
Визначення. Тупокутна піраміда- це піраміда в якій апофема менше половини довжини сторони основи.
Визначення. Правильний тетраедр- чотиригранник у якого всі чотири грані - рівносторонні трикутники. Він є одним із п'яти правильних багатокутників. У правильного тетраедра всі двогранні кути (між гранями) та тригранні кути (при вершині) рівні.
Визначення. Прямокутний тетраедрназивається чотиригранник у якого прямий кут між трьома ребрами при вершині (ребра перпендикулярні). Три грані утворюють прямокутний трикутний куті грані є прямокутними трикутниками, а основа є довільним трикутником. Апофема будь-якої межі дорівнює половині боку основи, яку падає апофема.
Визначення. Рівногранний тетраедрназивається чотиригранник у якого бічні грані рівні між собою, а основа – правильний трикутник. У такого тетраедра грані це рівнобедрені трикутники.
Визначення. Ортоцентричний тетраедрназивається чотиригранник, у якого всі висоти (перпендикуляри), що опущені з вершини до протилежної грані, перетинаються в одній точці.
Визначення. Зіркова піраміданазивається багатогранник, у якого основою є зірка.
Тут розберемо приклади, пов'язані з поняттям обсягу. Для вирішення подібних завдань обов'язково потрібно знати формулу обсягу піраміди:
S
h – висота піраміди
Підставою може бути будь-який багатокутник. Але в більшості завдань на ЄДІ мова в умові, як правило, йде про правильні піраміди. Нагадаю одну з її властивостей:
Вершина правильної піраміди проектується до центру її заснування
Подивіться на проекцію правильної трикутної, чотирикутної та шестикутної пірамід (ВИД Зверху):
Можете на блозі, де розбиралися завдання, пов'язані зі знаходженням обсягу піраміди.Розглянемо завдання:
27087. Знайдіть об'єм правильної трикутної піраміди, сторони основи якої дорівнюють 1, а висота дорівнює кореню з трьох.
S– площа основи піраміди
h- Висота піраміди
Знайдемо площу основи піраміди, це правильний трикутник. Скористаємося формулою – площа трикутника дорівнює половині добутку сусідніх сторін на синус кута між ними, отже:
Відповідь: 0,25
27088. Знайдіть висоту правильної трикутної піраміди, сторони основи якої дорівнюють 2, а об'єм дорівнює коренюіз трьох.
Такі поняття як висота піраміди та характеристики її основи пов'язані формулою об'єму:
S– площа основи піраміди
h- Висота піраміди
Сам обсяг нам відомий, площу основи можемо знайти, оскільки відомі сторони трикутника, який є основою. Знаючи зазначені величини легко знайдемо висоту.
Для знаходження площі основи скористаємося формулою – площа трикутника дорівнює половині добутку сусідніх сторін на синус кута між ними, отже:
Таким чином, підставивши дані значення формулу обсягу можемо обчислити висоту піраміди:
Висота дорівнює трьом.
Відповідь: 3
27109. У правильній чотирикутної пірамідивисота дорівнює 6, бічне ребро дорівнює 10. Знайдіть її об'єм.
Обсяг піраміди обчислюється за такою формулою:
S– площа основи піраміди
h- Висота піраміди
Висота нам відома. Необхідно знайти площу основи. Нагадаю, що вершина правильної піраміди проектується до центру її заснування. Підставою правильної чотирикутної піраміди є квадрат. Ми можемо знайти його діагональ. Розглянемо прямокутний трикутник (виділений синім):
Відрізок з'єднує центр квадрата з точкою Це катет, який дорівнює половині діагоналі квадрата. Цей катет можемо вирахувати за теоремою Піфагора:
Значить BD = 16. Обчислимо площу квадрата, скориставшись формулою площі чотирикутника:
Отже:
Таким чином, обсяг піраміди дорівнює:
Відповідь: 256
27178. У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 12, об'єм дорівнює 200. Знайдіть бічне ребро цієї піраміди.
Висота піраміди та її та обсяг відомі, значить можемо знайти площу квадрата, який є основою. Знаючи площу квадрата, ми зможемо знайти його діагональ. Далі розглянувши прямокутний трикутник по теоремі Піфагора обчислимо бічне ребро:
Знайдемо площу квадрата (підстави піраміди):
Обчислимо діагональ квадрата. Так як його площа дорівнює 50, то сторона дорівнюватиме кореню з п'ятдесяти і за теоремою Піфагора:
Крапка Про поділяє діагональ BD навпіл, значить катет прямокутного трикутникаВВ = 5.
Таким чином, можемо обчислити чому одно бічне ребро піраміди:
Відповідь: 13
245353. Знайдіть об'єм піраміди, зображеної на малюнку. Її основою є багатокутник, сусідні сторони якого перпендикулярні, а одне з бічних ребер перпендикулярно площині основи і 3.
Як неодноразово було сказано – обсяг піраміди обчислюється по формуле:
S– площа основи піраміди
h- Висота піраміди
Бокове ребро перпендикулярне до основи дорівнює трьом, це означає, що висота піраміди дорівнює трьом. Основи піраміди – це багатокутник, площа якого дорівнює:
Таким чином:
Відповідь: 27
27086. Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 3 та 4. Її об'єм дорівнює 16. Знайдіть висоту цієї піраміди.
Назад вперед
Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.
Цілі уроку.
Освітня: Вивести формулу для обчислення об'єму піраміди
Розвиваюча: розвивати в учнів пізнавальний інтерес до навчальних дисциплін, вміння застосовувати свої знання практично.
Виховна: виховувати увагу, акуратність, розширювати кругозір учнів.
Обладнання та матеріали: комп'ютер, екран, проектор, презентація "Об'єм піраміди".
1. Фронтальне опитування. Слайди 2, 3
Що називається пірамідою, основою піраміди, ребрами, висотою, віссю, апофемою. Яка піраміда називається правильною, тетраедром, усіченою пірамідою?
Піраміда - багатогранник, що складається із плоского багатокутника, крапки, що не лежить у площині цього багатокутника та всіх відрізків, що з'єднують цю точку з точками багатокутника.
Ця точканазивається вершиноюпіраміди, а плоский багатокутник - основою піраміди. Відрізки, що з'єднують вершину піраміди з вершинами основи, називаються ребрами . Висотапіраміди - перпендикуляропущений з вершини піраміди на площині основи. Апофема - висота бічної граніправильної піраміди. Піраміда, у якої в основілежить правильний n-кутник, а основа висотиспівпадає з центром основиназивається правильною n-вугільною пірамідою. Ос'ю Правильною піраміди називається пряма, що містить її висоту. Правильна трикутна піраміда називається тетраедром. Якщо піраміду перетнути площиною, паралельною площині основи, то вона відсіче піраміду, подібнуданої. Остання частина називається усіченою пірамідою.
2. Виведення формули для обчислення об'єму піраміди V=SH/3 Слайди 4, 5, 6
1. Нехай SABC – трикутна піраміда з вершиною S та основою АВС.
2. Доповнимо цю піраміду до трикутної призми з тією ж основою та висотою.
3. Ця призма складена із трьох пірамід:
1) цієї піраміди SABC.
2) піраміди SCC 1 B 1 .
3) та піраміди SCBB 1 .
4. У другої та третьої пірамід рівні основи СС 1 В 1 і В 1 ВС і загальна висота, проведена з вершини S до грані паралелограма ВВ 1 С 1 С. Тому у них рівні обсяги.
5. У першій і третій пірамід теж рівні основи SAB і BB 1 S і збігаються висоти, проведені з вершини до грані паралелограма АВВ 1 S. Тому у них теж рівні обсяги.
Отже, всі три піраміди мають один і той самий обсяг. Оскільки сума цих обсягів дорівнює обсягу призми, то обсяги пірамід дорівнюють SH/3.
Обсяг будь-якої трикутної піраміди дорівнює одній третині твору площі основи на висоту.
3. Закріплення нового матеріалу. Розв'язання вправ.
1) Завдання № 33 із підручника О.М. Погорєлова. Слайди 7, 8, 9
З боку підстави? і бічному ребру b знайдіть об'єм правильної піраміди, в основі якої лежить:
1) трикутник,
2) чотирикутник,
3) шестикутник.
У правильній піраміді висота проходить через центр кола, описаного біля основи. Тоді: (Додаток)
4. Історичні відомості про піраміди. Слайди 15, 16, 17
Першим із наших сучасників, хто встановив ряд незвичайних явищ, пов'язаних із пірамідою, був французький вчений Антуан Бові. Досліджуючи піраміду Хеопса в 30-х роках ХХ століття, він виявив, що тіла дрібних тварин, що випадково потрапили в царську кімнату, муміфікувалися. Причину цього Бові пояснив собі формою піраміди і, як виявилося, не помилився. Його праці лягли в основу сучасних досліджень, в результаті яких за останні 20 років з'явилося безліч книг та публікацій, що підтверджують, що енергія пірамід може мати прикладне значення.
Таємниця пірамід
Деякі дослідники стверджують, що піраміда містить у собі величезну кількість інформації про будову Всесвіту, Сонячної системи та людини, що закодована в її геометричній формі, а точніше, у формі октаедра, половину якого і представляє піраміда. Піраміда вершиною вгору символізує життя, вершиною вниз – смерть, потойбічний світ. Так само, як складові Зірки Давида (Маген Давид), де трикутник, спрямований вгору, символізує сходження до Вищого Розуму, Бога, а трикутник, опущений своєю вершиною вниз, символізує сходження душі на Землю, матеріальне існування...
Цифрове значення коду, яким зашифрована у піраміді інформація про Всесвіт, число 365, вибрано не випадково. Насамперед, це річний життєвий цикл нашої планети. Крім того, число 365 складається з трьох цифр 3, 6 та 5. Що вони означають? Якщо в Сонячної системиСонце проходить під номером 1, Меркурій – 2, Венера – 3, Земля – 4, Марс – 5, Юпітер – 6, Сатурн – 7, Уран – 8, Нептун – 9, Плутон – 10, то 3 – Венера, 6 – Юпітер та 5 – Марс. Отже, Земля особливо пов'язана саме з цими планетами. Склавши числа 3, 6 та 5, отримуємо 14, з яких 1 – це Сонце, а 4 – Земля.
Число 14 взагалі має глобальне значення: на ньому, зокрема, заснована будова кистей рук людини, загальне числофаланг пальців кожної з яких теж 14. Цей код має відношення і до сузір'я Великої Ведмедиці, в яку входить наше Сонце, і в якому колись була ще одна зірка, що занапастила Фаетон, планету, що була між Марсом і Юпітером, після чого в Сонячній системі з'явився Плутон, і змінилися показники інших планет.
Багато езотеричних джерел стверджують, що людство Землі вже чотири рази переживало всесвітню катастрофу. Третя лемуріанська раса знала Божественну науку про Всесвіт, потім цю таємну доктрину передавали лише посвяченим. На початку циклів та напівциклів зоряного року вони будували піраміди. Вони впритул підходили до відкриття коду життя. Цивілізації Атлантиди багато вдавалося, але на якомусь рівні пізнання їх зупинила чергова планетарна катастрофа, що супроводжувалася зміною рас. Ймовірно, присвячені хотіли передати нам, що в пірамідах закладено знання космічних законів.
Спеціальні пристрої у вигляді пірамід нейтралізують негативне електромагнітне випромінювання людини від комп'ютера, телевізора, холодильника та інших електропобутових приладів.
В одній з книг описано випадок, коли піраміда, встановлена в салоні автомобіля, скорочувала витрату палива і знижувала вміст у відпрацьованих газах.
Витримане в пірамідах насіння городніх культур мало кращу схожість та врожайність. У публікаціях навіть рекомендувалося замочувати насіння перед посівом у пірамідній воді.
Було виявлено, що піраміди благотворно впливають на екологічну обстановку. Усувають патогенні зони у квартирах, офісах та дачних ділянках, створюючи позитивну ауру.
Голландський дослідник Пауль Дікенс у своїй книзі наводить приклади про лікувальні властивості пірамід. Він зауважив, що з їх допомогою можна знімати головний біль, біль у суглобах, зупиняти кровотечі при невеликих порізах і те, що енергія пірамід стимулює обмін речовин та зміцнює імунітет.
У деяких сучасних публікаціях зазначається, що ліки, витримані в піраміді, скорочують курс лікування, а перев'язувальний матеріал, насичуючись позитивною енергетикою, сприяє загоєнню ран.
Косметичні креми та мазі покращують свою дію.
Напої, у тому числі й спиртні, покращують свої смакові якості, а вода, що міститься у 40% горілці, стає цілющою. Щоправда, щоб зарядити позитивною енергією стандартну пляшку 0,5 літра, знадобиться висока піраміда.
В одній газетній статті розповідається про те, що якщо зберігати ювелірні вироби під пірамідою вони самоочищаються і набувають особливого блиску, а дорогоцінне і напівдорогоцінне каміння акумулюють позитивну біоенергетику і потім поступово її віддають.
За твердженням американських учених, продукти харчування, наприклад, крупа, борошно, сіль, цукор, кава, чай, побувавши в піраміді, покращують свої смакові якості, а дешеві сигарети стають схожими на своїх благородних побратимів.
Можливо, для багатьох це буде не актуально, але в маленькій піраміді самозаточуються старі леза для гоління, а у великій піраміді вода не замерзає при -40 градусах за Цельсієм.
За твердженням більшості дослідників, це є доказом існування енергії пірамід.
За 5000 років свого існування, піраміди перетворилися на якийсь символ, який уособлює прагнення людини досягти вершини знань.
5. Підбиття підсумків уроку.
Список використаної літератури.
1) http://schools.techno.ru
2) Погорєлов А. В. Геометрія 10-11, видавництво "Освіта".
3) Енциклопедія "Дерево пізнання" Маршалл До.
Теорема.
Обсяг піраміди дорівнює одній третині твору площі основи на висоту.
Доведення:
Спочатку доведемо теорему для трикутної піраміди, потім довільної.1. Розглянемо трикутну пірамідуОАВСз об'ємом V, площею основиSта заввишки h. Проведемо вісь ох (ОМ2- Висота), розглянемо перетинА1 В1 С1піраміди площиною, перпендикулярною до осіохі, отже, паралельної площині основи. Позначимо черезхабсцису точки М1 перетину цієї площини з віссю ох, а черезS(x)- Площа перерізу. Висловимо S(x)через S, hі х. Зауважимо, що трикутники А1 У1 З1 і АВС подібні. Справді А1 У1 II AB, тому трикутникОА 1 У 1 подібний до трикутника ОАВ. Зльодово, А1 У1 : АВ=ОА 1: ОА .
Прямокутні трикутникиОА 1 У 1 та ОАВ теж подібні (вони мають загальний гострий кутз вершиною О). Тому , ОА 1: ОА = О 1 М1 : ОМ = х: h. Таким чиномА 1 У 1 : А В = х: h.Аналогічно доводиться, щоВ1 С1:НД = х: hі А1 С1:АС =х: h.Отже, трикутникА1 В1 С1і АВСподібні до коефіцієнта подібностіх: h.Отже, S(x) : S = (х: h)², або S(x) = S х ²/ h².
Застосуємо тепер основну формулу для обчислення обсягів тіл приa= 0, b =hотримуємо
Таким чином, обсяг вихідної піраміди дорівнює 1/3Sh. Теорему доведено.
Наслідок:
Об'єм V усіченої піраміди, висота якої дорівнює h, а площі основи дорівнюють S і S1 , обчислюються за формулою
h - висота піраміди
S верх. - площа верхньої основи
S ниж. - площа нижньої основи
Завантаження...