Визначення.

Це шестигранник, основами якого є два рівні квадрати, а бічні грані є рівними прямокутниками.

Бокове ребро- це спільна сторона двох суміжних бічних граней

Висота призми- це відрізок, перпендикулярний до основ призми

Діагональ призми- відрізок, що з'єднує дві вершини основ, що не належать до однієї грані

Діагональна площина- площина, яка проходить через діагональ призми та її бічні ребра

Діагональний переріз- межі перетину призми та діагональної площини. Діагональний переріз правильної чотирикутної призми є прямокутником.

Перпендикулярний переріз (ортогональний переріз)- це перетин призми та площини, проведеної перпендикулярно її бічним ребрам.

Елементи правильної чотирикутної призми

На малюнку зображено дві правильні чотирикутні призми, у яких позначені відповідними літерами:

• Підстави ABCD і A 1 B 1 C 1 D 1 рівні та паралельні один одному
• Бічні грані AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C та CC 1 D 1 D, кожна з яких є прямокутником
• Бічна поверхня- сума площ усіх бічних граней призми
• Повна поверхня - сума площ усіх основ та бічних граней (сума площі бічної поверхні та основ)
• Бічні ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 та DD 1 .
• Діагональ B 1 D
• Діагональ основи BD
• Діагональний переріз BB 1 D 1 D
• Перпендикулярний переріз A2B2C2D2.

Властивості правильної чотирикутної призми

• Підставами є два рівні квадрати
• Підстави паралельні одна одній
• Боковими гранями є прямокутники
• Бічні грані рівні між собою
• Бічні грані перпендикулярні основам
• Бічні ребра паралельні між собою та рівні
• Перпендикулярний перетин перпендикулярно всім бічним ребрам і паралельно основам
• Кути перпендикулярного перерізу – прямі
• Діагональний переріз правильної чотирикутної призми є прямокутником.
• Перпендикулярний (ортогональний переріз) паралельно основам

Формули для правильної чотирикутної призми

Вказівки до вирішення завдань

При вирішенні завдань на тему правильна чотирикутна призмамається на увазі, що:

Правильна призма- призма в основі якої лежить правильний багатокутник, а бічні ребра перпендикулярні до площин основи. Тобто правильна чотирикутна призма містить у своїй основі квадрат. (Див. вище властивості правильної чотирикутної призми) Примітка. Це частина уроку із завданнями з геометрії (розділ стереометрія – призма). Тут розміщені завдання, які викликають труднощі під час вирішення. Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. Для позначення дії вилучення квадратного кореняу розв'язках задач використовується символ√ .

Завдання.

У правильній чотирикутній призмі площа основи 144 см 2 , а висота 14 см. Знайти діагональ призми та площу повної поверхні.

Рішення.
Правильний чотирикутник – це квадрат.
Відповідно, сторона основи дорівнюватиме

√144 = 12 см.
Звідки діагональ основи правильної прямокутної призми дорівнюватиме
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Діагональ правильної призми утворює з діагоналлю основи та висотою призми прямокутний трикутник. Відповідно, за теоремою Піфагора діагональ заданої правильної чотирикутної призми дорівнюватиме:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см

Відповідь: 22 см

Завдання

Визначте повну поверхню правильної чотирикутної призми, якщо її діагональ дорівнює 5 см, а діагональ бічної грані дорівнює 4 см.

Рішення.
Оскільки в основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат, то бік основи (позначимо як a) знайдемо за теоремою Піфагора:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Висота бічної грані (позначимо як h) тоді дорівнюватиме:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Площа повної поверхні дорівнюватиме сумі площі бічної поверхні та подвоєної площі основи

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

Відповідь : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .

В основі призми може лежати будь-який багатокутник – трикутник, чотирикутник, і т.д. Обидві підстави абсолютно однакові, відповідно, якими кути паралельних граней з'єднуються між собою, завжди паралельні. В основі правильної призми лежить правильний багатокутник, тобто такий, у якого всі сторони рівні. У прямій призми ребра між бічними гранями перпендикулярні до основи. При цьому на підставі прямої призми може лежати багатокутник з будь-якою кількістю кутів. Призма, основою якої є паралелограм, називається паралелепіпедом. Прямокутник - окремий випадок паралелограма. Якщо в основі лежить саме ця фігура, а бічні грані розташовані до основи під прямим кутом, паралелепіпед називається прямокутним. Друга назва цього геометричного тіла – прямокутна.

Як вона виглядає

Прямокутний призм в оточенні сучасної людинидосить багато. Це, наприклад, звичайна картонна з-під взуття, комп'ютерних комплектуючих тощо. Огляньтеся на всі боки. Навіть у кімнаті ви напевно побачите безліч прямокутних призм. Це і комп'ютерний корпус, і книжкова, і холодильник, і шафа, і багато інших предметів. Форма надзвичайно популярна головним чином тому, що дозволяє використовувати місце максимально ефективно, незалежно від того, оформляєте ви інтер'єр або вкладаєте речі в картонні перед переїздом.

Властивості прямокутної призми

Прямокутна призма має поряд специфічних властивостей. Будь-яка пара граней може служити її , оскільки всі сусідні грані розташовані один до одного під одним і тим же кутом, і цей кут становить 90 °. Об'єм та площу поверхні прямокутної призми обчислити простіше, ніж у будь-якої іншої. Візьміть будь-який предмет, який має форму прямокутної призми. Виміряйте його довжину, ширину та висоту. Щоб знайти обсяг, достатньо перемножити ці мірки. Тобто формула виглядає так: V=a*b*h, де V – об'єм, a та b – сторони основи, h – висота, яка у цього геометричного тіла збігається з бічним ребром. Площа основи обчислюється за формулою S1=a*b. Щоб бічній поверхні потрібно спочатку обчислити периметр основи за формулою P=2(a+b), а потім помножити його на висоту. Виходить формула S2=P*h=2(a+b)*h. Для обчислення повної поверхні прямокутної призми складіть подвоєну площу основи та площу бічної поверхні. Вийде формула S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

Лекція: Призма, її основи, бічні ребра, висота, бічна поверхня; пряма призма; правильна призма

Призма

Якщо Ви разом з нами вивчили плоскі фігури з минулих питань, значить повністю готові до вивчення об'ємних фігур. Перше об'ємне тіло, яке ми вивчимо, буде призмою.

Призма– це об'ємне тіло, яке має велику кількість граней.

Дана фігура має в основі два багатокутники, які розташовані в паралельних площинах, а всі бічні грані мають форму паралелограма.

1. Рис. 2

Отже, давайте розберемося, із чого складається призма. Для цього зверніть увагу на рис.

Як уже говорилося раніше, призма має дві підстави, які паралельні один одному – це п'ятикутники ABCEF і GMNJK. Більше того, ці багатокутники рівні між собою.

Всі інші грані призми називаються бічними гранями – вони складаються з паралелограмів. Наприклад, BMNC, AGKF, FKJE і т.д.

Загальна поверхня всіх бічних граней називається бічною поверхнею.

Кожна пара сусідніх граней має спільну сторону. Така спільна сторона називається рубом. Наприклад МВ, РЄ, АВ тощо.

Якщо верхню та нижню основу призми з'єднати перпендикуляром, то він називатиметься висотою призми. На малюнку висота зазначена як пряма ГО 1 .

Існує два основні різновиди призми: похила та пряма.

Якщо бічні ребра призми не є перпендикулярними до основ, то така призма називається похилій.

Якщо всі ребра призми перпендикулярні до основ, така призма називається прямий.

Якщо у підставах призми лежать правильні багатокутники (ті, у яких сторони рівні), така призма називається правильною.

Якщо підстави призми не паралельні один одному, то така призма буде називатися усіченої.

Її Ви можете спостерігати на Рис.2

Формули для знаходження обсягу, площі призми

Існує три основні формули знаходження обсягу. Відрізняються вони один від одного застосуванням:

Аналогічні формули для знаходження площі поверхні призми:

Багатогранники

Основним об'єктом вивчення стереометрії є просторові тіла. Тілоє частиною простору, обмежену деякою поверхнею.

Багатогранникомназивається тіло, поверхня якого складається з кінцевого числа плоских багатокутників. Багатогранник називається опуклим, якщо він розташований з одного боку площини кожного плоского багатокутника з його поверхні. Загальна частина такої площини та поверхні багатогранника називається гранню. Грані опуклого багатогранника є плоскими опуклими багатокутниками. Сторони граней називається ребрами багатогранника, а вершини – вершинами багатогранника.

Наприклад, куб складається із шести квадратів, які є його гранями. Він містить 12 ребер (сторони квадратів) та 8 вершин (вершини квадратів).

Найпростішими багатогранниками є призми та піраміди, вивченням яких і займемося далі.

Призма

Визначення та властивості призми

Призмоюназивається багатогранник, що складається з двох плоских багатокутників, що лежать у паралельних площинах, що поєднуються паралельним переносом, і всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих багатокутників. Багатокутники називаються підставами призмиа відрізки, що з'єднують відповідні вершини багатокутників, – бічними ребрами призми.

Висотою призминазивається відстань між площинами її основ (). Відрізок, що з'єднує дві вершини призми, що не належать до однієї грані, називається діагоналлю призми(). Призма називається n-вугільнийякщо в її основі лежить n-кутник.

Будь-яка призма має такі властивості, що випливають з того факту, що підстави призми поєднуються паралельним переносом:

1. Підстави призми рівні.

2. Бічні ребра призми паралельні та рівні.

Поверхня призми складається з підстав та бічної поверхні. Бічна поверхня призми складається з паралелограмів (це випливає із властивостей призми). Площею бічної поверхні призми називається сума площ бічних граней.

Пряма призма

Призма називається прямий, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ. В іншому випадку призма називається похилій.

Гранями прямої призми є прямокутники. Висота прямої призми дорівнює її бічним граням.

Повною поверхнею призминазивається сума площі бічної поверхні та площ основ.

Правильною призмою називається пряма призма з правильним багатокутникомна підставі.

Теорема 13.1. Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра на висоту призми (або, що те саме, на бічне ребро).

Доведення. Бічні грані прямої призми є прямокутниками, основи яких є сторонами багатокутників у підставах призми, а висоти є бічними ребрами призми. Тоді за визначенням площа бічної поверхні:

,

де – периметр основи прямої призми.

Паралелепіпед

Якщо у підставах призми лежать паралелограми, вона називається паралелепіпедом. У паралелепіпеда всі грані – паралелограми. При цьому протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.

Теорема 13.2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться навпіл.

Доведення. Розглянемо дві довільні діагоналі, наприклад, і . Т.к. гранями паралелепіпеда є паралелограми, то і , а значить по Т про дві прямі паралельні третій . Крім того, це означає, що прямі і лежать в одній площині (площині). Ця площина перетинає паралельні площини і паралельним прямим і . Таким чином, чотирикутник - паралелограм, а за властивістю паралелограма його діагоналі і перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, що потрібно було довести.

Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник, називається прямокутним паралелепіпедом. У прямокутного паралелепіпеда всі грані – прямокутники. Довжини непаралельних ребер прямокутного паралелепіпеда називаються його лінійними розмірами (вимірюваннями). Таких розмірів три (ширина, висота, довжина).

Теорема 13.3. У прямокутному паралелепіпеді квадрат будь-якої діагоналі дорівнює суміквадратів трьох його вимірів (Доказується за допомогою дворазового застосування Т Піфагора).

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.

Завдання

13.1 Скільки діагоналей має n-вугільна призма

13.2У похилій трикутній призмі відстані між бічними ребрами дорівнюють 37, 13 і 40. Знайти відстань між більшою бічною гранню і протилежним бічним ребром.

13.3Через бік нижньої основиправильної трикутної призми проведена площина, що перетинає бічні грані по відрізках, кут між якими . Знайти кут нахилу цієї площини до основи призми.

Призма. Паралелепіпед

Призмоюназивається багатогранник, дві грані якого – рівні n-кутники (підстави) , що у паралельних площинах, інші n граней – паралелограммы (Бічні грані) . Боковим ребром призми називається сторона бічної грані, яка не належить підставі.

Призма, бічні ребра якої перпендикулярні до площин основ, називається прямий призмою (рис. 1). Якщо бічні ребра не перпендикулярні до площин основ, то призма називається похилій . Правильною призмою називається пряма призма, основи якої – правильні багатокутники.

Висотоюпризми називається відстань між площинами основ. Діагоналлю призми називається відрізок, що з'єднує дві вершини, що не належать до однієї грані. Діагональним перетином називається переріз призми площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать до однієї грані. Перпендикулярним перетином називається переріз призми площиною, перпендикулярною до бокового ребра призми.

Площею бічної поверхні призми називається сума площ усіх бічних граней. Площею повної поверхні називається сума площ усіх граней призми (тобто. сума площ бічних граней та площ основ).

Для довільної призми вірні формули:

де l- Довжина бічного ребра;

H- Висота;

P

Q

S бік

S повний

S осн– площа основ;

V- Обсяг призми.

Для прямої призми вірні формули:

де p– периметр основи;

l- Довжина бічного ребра;

H- Висота.

Паралелепіпедомназивається призма, основою якої є паралелограм. Паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні до основ, називається прямим (Рис. 2). Якщо бічні ребра не перпендикулярні основам, то паралелепіпед називається похилим . Прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник, називається прямокутним. Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.

Грані паралелепіпеда, що не мають спільних вершин, називаються протилежними . Довжини ребер, що виходять з однієї вершини, називаються вимірами паралелепіпеда. Оскільки паралелепіпед – це призма, основні його елементи визначаються аналогічно тому, як вони визначені для призм.

Теореми.

1. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл.

2. У прямокутному паралелепіпеді квадрат довжини діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів:

3. Усі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні між собою.

Для довільного паралелепіпеда вірні формули:

де l- Довжина бічного ребра;

H- Висота;

P- Періметр перпендикулярного перерізу;

Q- Площа перпендикулярного перерізу;

S бік- Площа бічної поверхні;

S повний- Площа повної поверхні;

S осн– площа основ;

V- Обсяг призми.

Для прямого паралелепіпедавірні формули:

де p– периметр основи;

l- Довжина бічного ребра;

H- Висота прямого паралелепіпеда.

Для прямокутного паралелепіпеда вірні формули:

(3)

де p– периметр основи;

H- Висота;

d– діагональ;

a, b, c- Виміри паралелепіпеда.

Для куба вірні формули:

де a- Довжина ребра;

d- Діагональ куба.

приклад 1.Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює 33 дм, а його виміри відносяться, як 2: 6: 9. Знайти виміри паралелепіпеда.

Рішення.Для знаходження вимірів паралелепіпеда скористаємося формулою (3), тобто. тим фактом, що квадрат гіпотенузи прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його вимірів. Позначимо через kкоефіцієнт пропорційності. Тоді виміри паралелепіпеда дорівнюватимуть 2 k, 6kта 9 k. Запишемо формулу (3) для даних завдання:

Вирішуючи це рівняння щодо k, Отримаємо:

Отже, вимірювання паралелепіпеда дорівнюють 6 дм, 18 дм і 27 дм.

Відповідь: 6 дм, 18 дм, 27 дм.

приклад 2.Знайти об'єм похилої трикутної призми, основою якої є рівносторонній трикутник зі стороною 8 см, якщо бічне ребро дорівнює стороні основи і нахилено під кутом 60º до основи.

Рішення . Зробимо рисунок (рис. 3).

Для того, щоб знайти обсяг похилої призми необхідно знати площу її основи та висоту. Площа заснування цієї призми – це площа рівностороннього трикутниказі стороною 8 см. Обчислимо її:

Висотою призми є відстань між її основами. З вершини А 1 верхньої основиопустимо перпендикуляр на площину нижньої основи А 1 D. Його довжина і буде заввишки призми. Розглянемо D А 1 АD: так як це кут нахилу бокового ребра А 1 Адо площини основи, А 1 А= 8 см. З цього трикутника знаходимо А 1 D:

Тепер обчислюємо обсяг за формулою (1):

Відповідь: 192 см 3 .

приклад 3.Бокове ребро правильної шестикутної призми дорівнює 14 см. Площа найбільшого діагонального перерізу дорівнює 168 см 2 . Знайти площу повної поверхні призми.

Рішення.Зробимо малюнок (рис. 4)

Найбільший діагональний переріз – прямокутник AA 1 DD 1 , оскільки діагональ ADправильного шестикутника ABCDEFє найбільшою. Для того, щоб обчислити площу бічної поверхні призми, необхідно знати бік основи та довжину бічного ребра.

Знаючи площу діагонального перерізу (прямокутника), знайдемо діагональ основи.

Оскільки , то

Бо те АВ= 6 див.

Тоді периметр основи дорівнює:

Знайдемо площу бічної поверхні призми:

Площа правильного шестикутника зі стороною 6 см дорівнює:

Знаходимо площу повної поверхні призми:

Відповідь:

приклад 4.Підставою прямого паралелепіпеда служить ромб. Площі діагональних перерізів 300 см 2 та 875 см 2 . Знайти площу бічної поверхні паралелепіпеда.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 5).

Позначимо бік ромба через а, діагоналі ромба d 1 і d 2 , висоту паралелепіпеда h. Щоб знайти площу бічної поверхні прямого паралелепіпеда необхідно периметр основи помножити на висоту: (Формула (2)). Периметр основи р = АВ + НД + CD + DA = 4AB = 4a, так як ABCD- Ромб. Н = АА 1 = h. Т.о. Необхідно знайти аі h.

Розглянемо діагональні перерізи. АА 1 СС 1 – прямокутник, одна сторона якого діагональ ромба АС = d 1 , друга – бічне ребро АА 1 = hтоді

Аналогічно для перерізу ВВ 1 DD 1 отримаємо:

Використовуючи властивість паралелограма таке, що сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх його сторін, отримаємо рівність. Отримаємо таке.