Прямий паралелепіпед як. Типи паралелепіпеда

На цьому уроці всі охочі матимуть змогу вивчити тему «Прямокутний паралелепіпед». На початку уроку ми повторимо, що таке довільний та прямий паралелепіпеди, пригадаємо властивості їх протилежних граней та діагоналей паралелепіпеда. Потім розглянемо, що таке прямокутний паралелепіпед, та обговоримо його основні властивості.

Тема: Перпендикулярність прямих та площин

Урок: Прямокутний паралелепіпед

Поверхня, складена з двох рівних паралелограмів АВСD і А 1 В 1 С 1 D 1 і чотирьох паралелограмів АВВ 1 А 1 , ВСС 1 В 1 , СDD 1 С 1 , DАА 1 D 1 називається паралелепіпедом(Рис. 1).

Мал. 1 Паралелепіпед

Тобто: маємо два рівні паралелограми АВСD і А 1 В 1 З 1 D 1 (основи), вони лежать у паралельних площинах так, що бічні ребра АА 1 , ВВ 1 , DD 1 , СС 1 паралельні. Таким чином, складена з паралелограмів поверхня називається паралелепіпедом.

Таким чином, поверхня паралелепіпеда - це сума всіх паралелограмів, з яких складено паралелепіпед.

1. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.

(Фігури рівні, тобто їх можна поєднати накладенням)

Наприклад:

АВСD = А 1 В 1 З 1 D 1 (рівні паралелограми за визначенням),

АА 1 В 1 В = DD 1 С 1 С (оскільки АА 1 В 1 В і DD 1 С 1 С - протилежні грані паралелепіпеда),

АА 1 D 1 D = ВВ 1 З 1 З (оскільки АА 1 D 1 D і ВВ 1 З 1 З - протилежні грані паралелепіпеда).

2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.

Діагоналі паралелепіпеда АС 1 , В 1 D, А 1 С, D 1 перетинаються в одній точці О, і кожна діагональ ділиться цією точкою навпіл (рис. 2).

Мал. 2 Діагоналі паралелепіпеда перетинаються і ділитися точкою перетину навпіл.

3. Є три четвірки рівних і паралельних ребер паралелепіпеда: 1 - АВ, А 1 В 1 , D 1 C 1 , DC, 2 - AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, 3 - АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 .

Визначення. Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні до основ.

Нехай бічне ребро АА 1 перпендикулярне до основи (рис. 3). Це означає, що пряма АА 1 перпендикулярна до прямих АD і АВ, які лежать у площині основи. Отже, в бічних гранях лежать прямокутники. А в основах лежать довільні паралелограми. Позначимо, ∠BAD = φ, кут φ може бути будь-яким.

Мал. 3 Прямий паралелепіпед

Отже, прямий паралелепіпед - це паралелепіпед, в якому бічні ребра перпендикулярні основ паралелепіпеда.

Визначення. Паралелепіпед називається прямокутним,якщо його бічні ребра перпендикулярні до основи. Основи є прямокутниками.

Паралелепіпед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 - прямокутний (рис. 4), якщо:

1. АА 1 ⊥ АВСD (бічне ребро перпендикулярно площині основи, тобто паралелепіпед прямої).

2. ∠ВАD = 90°, тобто в основі лежить прямокутник.

Мал. 4 Прямокутний паралелепіпед

Прямокутний паралелепіпед має всі властивості довільного паралелепіпеда.Але є додаткові властивості, що виводяться з визначення прямокутного паралелепіпеда.

Отже, прямокутний паралелепіпед- це паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні до основи. Основа прямокутного паралелепіпеда - прямокутник.

1. У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней прямокутники.

АВСD і А1В1С1D1 - прямокутники за визначенням.

2. Бічні ребра перпендикулярні до основи. Отже, всі бічні грані прямокутного паралелепіпеда – прямокутники.

3. Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

Розглянемо, наприклад, двогранний кут прямокутного паралелепіпеда з ребром АВ, тобто двогранний кут між площинами АВВ 1 та АВС.

АВ - ребро, точка А 1 лежить в одній площині - у площині АВВ 1, а точка D в іншій - у площині А 1 В 1 З 1 D 1 . Тоді розглянутий двогранний кут можна позначити так: ∠А 1 АВD.

Візьмемо точку А на ребері АВ. АА 1 - перпендикуляр до ребра АВ у площині АВВ-1, AD перпендикуляр до ребра АВ у площині АВС. Отже, ∠А 1 АD – лінійний кут даного двогранного кута. ∠А 1 АD = 90°, отже, двогранний кут при ребері АВ дорівнює 90°.

∠(АВВ 1 , АВС) = ∠(АВ) = ∠А 1 АВD= ∠А 1 АD = 90°.

Аналогічно доводиться, що будь-які двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює суміквадратів трьох його вимірів.

Примітка. Довжини трьох ребер, що виходять з однієї вершини прямокутного паралелепіпеда, є вимірами прямокутного паралелепіпеда. Їх іноді називають довжина, ширина, висота.

Дано: АВСDА 1 В 1 З 1 D 1 - прямокутний паралелепіпед (рис. 5).

Довести: .

Мал. 5 Прямокутний паралелепіпед

Доведення:

Пряма СС 1 перпендикулярна площині АВС, отже, і прямий АС. Отже, трикутник СС 1 А – прямокутний. За теоремою Піфагора:

Розглянемо прямокутний трикутникАВС. За теоремою Піфагора:

Але ВС та AD - протилежні сторони прямокутника. Значить, НД = AD. Тоді:

Так як , а , те. Оскільки СС 1 = АА 1 , те що потрібно було довести.

Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

Позначимо виміри паралелепіпеда АВС як a, b, c (див. рис. 6), тоді АС 1 = СА 1 = В 1 D = DВ 1 =

Визначення

Багатогранникомназиватимемо замкнуту поверхню, складену з багатокутників і обмежує деяку частину простору.

Відрізки, що є сторонами цих багатокутників, називаються ребрамибагатогранника, а самі багатокутники – гранями. Вершини багатокутників називаються вершинами багатогранника.

Розглянемо тільки опуклі багатогранники (це такий багатогранник, який знаходиться по одну сторону від кожної площини, що містить його грань).

Багатокутники, у тому числі складений багатогранник, утворюють його поверхню. Частина простору, яку обмежує цей багатогранник, називається його начинкою.

Визначення: призма

Розглянемо два рівні багатокутники \(A_1A_2A_3...A_n\) і \(B_1B_2B_3...B_n\) , що знаходяться в паралельних площинах так, що відрізки \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)паралельні. Багатогранник, утворений багатокутниками \(A_1A_2A_3...A_n\) та \(B_1B_2B_3...B_n\) , а також паралелограмами \(A_1B_1B_2A_2, \ A_2B_2B_3A_3, ...\)називається (\(n\) -вугільною) призмою.

Багатокутники \(A_1A_2A_3...A_n\) і \(B_1B_2B_3...B_n\) називаються основами призми, паралелограми \(A_1B_1B_2A_2, \ A_2B_2B_3A_3, ...\)– бічними гранями, відрізки \(A_1B_1, \A_2B_2, \..., A_nB_n\)– бічними ребрами.
Таким чином, бічні ребра призми паралельні та рівні між собою.

Розглянемо приклад – призма \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), В основі якої лежить опуклий п'ятикутник.

Висотапризми – це перпендикуляр, опущений із будь-якої точки однієї основи до площини іншої основи.

Якщо бічні ребра не перпендикулярні до основи, то така призма називається похилій(рис. 1), інакше – прямий. У прямій призми бічні ребра є висотами, а бічні грані – рівними прямокутниками.

Якщо в основі прямої призми лежить правильний багатокутник, то призма називається правильною.

Визначення: поняття обсягу

Одиниця виміру обсягу – одиничний куб (куб розмірами \(1\times1\times1\) од\(^3\) , де од - деяка одиниця виміру).

Можна сміливо сказати, що обсяг багатогранника – це величина простору, яку обмежує цей багатогранник. Інакше: це величина, числове значення якої показує, скільки разів одиничний куб та його частини вміщуються в даний багатогранник.

Об'єм має ті ж властивості, що і площа:

1. Об'єми рівних фігур рівні.

2. Якщо багатогранник складений з декількох багатогранників, що не перетинаються, то його обсяг дорівнює сумі обсягів цих багатогранників.

3. Обсяг – величина невід'ємна.

4. Об'єм вимірюється в см\(^3\) (кубічні сантиметри), м\(^3\) ( кубічні метри) і т.д.

Теорема

1. Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку периметра основи висоту призми.
Площа бічної поверхні – сума площ бічних граней призми.

2. Обсяг призми дорівнює добутку площі підстави на висоту призми: \

Визначення: паралелепіпед

Паралелепіпед- Це призма, в основі якої лежить паралелограм.

Всі грані паралелепіпеда (їх (6): (4) бічні грані і (2) підстави) являють собою паралелограми, причому протилежні грані (паралельні один одному) є рівними паралелограми (рис. 2).

Діагональ паралелепіпеда- Це відрізок, що з'єднує дві вершини паралелепіпеда, що не лежать в одній грані (їх (8 \): \(AC_1, \A_1C, \BD_1, \B_1D\)і т.д.).

Прямокутний паралелепіпед- це прямий паралелепіпед, в основі якого лежить прямокутник.
Т.к. це прямий паралелепіпед, то бічні грані є прямокутниками. Значить взагалі всі грані прямокутного паралелепіпеда – прямокутники.

Усі діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні (це випливає з рівності трикутників \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\)і т.д.).

Зауваження

Таким чином, паралелепіпед має всі властивості призми.

Теорема

Площа бічної поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює \

Площа повної поверхніпрямокутного паралелепіпеда дорівнює \

Теорема

Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його ребер, що виходять з однієї вершини (три виміри прямокутного паралелепіпеда): \

Доведення

Т.к. у прямокутного паралелепіпеда бічні ребра перпендикулярні до основи, то є і його висотами, тобто \(h=AA_1=c\) Т.к. в основі лежить прямокутник, то \(S_(\text(осн))=AB\cdot AD=ab\). Звідси і випливає ця формула.

Теорема

Діагональ \(d\) прямокутного паралелепіпеда шукається за формулою (де \(a,b,c\) - вимірювання паралелепіпеда) \

Доведення

Розглянемо рис. 3. Т.к. в основі лежить прямокутник, то \(\triangle ABD\) - прямокутний, отже, за теоремою Піфагора \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Т.к. всі бічні ребра перпендикулярні основам, то \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\)перпендикулярно будь-якої прямої у цій площині, тобто. \(BB_1\perp BD\) . Значить, \(\triangle BB_1D) - прямокутний. Тоді за теоремою Піфагора \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), Чтд.

Визначення: куб

Куб- це прямокутний паралелепіпед, усі грані якого – рівні квадрати.

Таким чином, три виміри дорівнюють між собою: \(a=b=c\) . Значить, вірні такі

Теореми

1. Об'єм куба з ребром \(a\) дорівнює \(V_(\text(куба))=a^3\) .

2. Діагональ куба шукається за формулою (d = a sqrt3).

3. Площа повної поверхні куба \(S_(\text(повн.пов-ти куба))=6a^2\).

Тема: Перпендикулярність прямих та площин

Урок: Прямокутний паралелепіпед

Мал. 1 Паралелепіпед

Таким чином, поверхня паралелепіпеда - це сума всіх паралелограмів, з яких складено паралелепіпед.

1. Протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.

(Фігури рівні, тобто їх можна поєднати накладенням)

Наприклад:

АВСD = А 1 В 1 З 1 D 1 (рівні паралелограми за визначенням),

АА 1 В 1 В = DD 1 С 1 С (оскільки АА 1 В 1 В і DD 1 С 1 С - протилежні грані паралелепіпеда),

АА 1 D 1 D = ВВ 1 З 1 З (оскільки АА 1 D 1 D і ВВ 1 З 1 З - протилежні грані паралелепіпеда).

2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.

Мал. 2 Діагоналі паралелепіпеда перетинаються і ділитися точкою перетину навпіл.

Визначення. Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні до основ.

Мал. 3 Прямий паралелепіпед

Отже, прямий паралелепіпед - це паралелепіпед, в якому бічні ребра перпендикулярні основ паралелепіпеда.

Паралелепіпед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 - прямокутний (рис. 4), якщо:

1. АА 1 ⊥ АВСD (бічне ребро перпендикулярно площині основи, тобто паралелепіпед прямої).

2. ∠ВАD = 90°, тобто в основі лежить прямокутник.

Мал. 4 Прямокутний паралелепіпед

1. У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней прямокутники.

АВСD і А1В1С1D1 - прямокутники за визначенням.

2. Бічні ребра перпендикулярні до основи. Отже, всі бічні грані прямокутного паралелепіпеда – прямокутники.

3. Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

∠(АВВ 1 , АВС) = ∠(АВ) = ∠А 1 АВD= ∠А 1 АD = 90°.

Аналогічно доводиться, що будь-які двогранні кути прямокутного паралелепіпеда прямі.

Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.

Дано: АВСDА 1 В 1 З 1 D 1 - прямокутний паралелепіпед (рис. 5).

Довести: .

Мал. 5 Прямокутний паралелепіпед

Доведення:

Розглянемо прямокутний трикутник АВС. За теоремою Піфагора:

Але ВС та AD - протилежні сторони прямокутника. Значить, НД = AD. Тоді:

Так як , а , те. Оскільки СС 1 = АА 1 , те що потрібно було довести.

Діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні.

Позначимо виміри паралелепіпеда АВС як a, b, c (див. рис. 6), тоді АС 1 = СА 1 = В 1 D = DВ 1 =

Паралелепіпедом називається чотирикутна призма, в основі якої лежать паралелограми. Висотою паралелепіпеда називають відстань між площинами його основами. На малюнку висота показана відрізком . Розрізняють два види паралелепіпедів: прямий та похилий. Як правило, репетитор з математики спочатку дає відповідні визначення призми, а потім переносить їх на паралелепіпед. Ми зробимо також.

Нагадаю, що призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основ, якщо перпендикулярності немає – призму називають похилою. Цю термінологію успадковує і паралелепіпед. Прямий паралелепіпед – ні що інше, як різновид прямої призми, бічне ребро якої збігається з висотою. Зберігаються визначення таких понять, як грань, ребро і вершина, що є загальними для сімейства багатогранників. З'являються поняття протилежних граней. У паралелепіпеда 3 пари протилежних граней, 8 вершин ти 12 ребер.

Діагональ паралелепіпеда (діагональ призми) - відрізок, що з'єднує дві вершини багатогранника і не лежить в жодній з його граней.

Діагональний переріз - перетин паралелепіпеда, що проходить через його діагональ і діагональ його основи.

Властивості похилого паралелепіпеда:
1) Усі його грані – паралелограми, а протилежні грані – рівні паралелограми.
2)Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться в цій точці навпіл.
3)Кожен паралелепіпед складається із шести рівних за обсягом трикутних пірамід. Щоб показати їх учневі репетитор з математики повинен відрізати від паралелепепеда половинку його діагональним перетином і розбити окремо на 3 піраміди. Їхні підстави повинні лежати в різних гранях вихідного паралелепіпеда. Репетитор математики знайде застосування цієї властивості у аналітичній геометрії. Воно використовується для виведення обсягу піраміди через змішане твір векторів.

Формули об'єму паралелепіпеда:
1) , де - Площа основи, h - Висота.
2) Об'єм паралелепіпеда дорівнює добутку площі поперечного перерізу на бічне ребро.
Репетитор з математики: Як відомо, формула є спільною для всіх призм і якщо репетитор вже довів її, немає сенсу повторювати те саме для паралелепіпеда Однак у роботі з учнем середнього рівня (слабкому формула не знадобиться) викладачеві бажано діяти з точністю до навпаки. Призму дати спокій, а для паралелепіпеда провести акуратний доказ.
3) , де - обсяг однієї з шести трикутних піраміди з яких складається паралелепіпед.
4) Якщо , то

Площею бічної поверхні паралелепіпеда називається сума площ усіх його граней:
Повна поверхня паралелепіпеда – це сума площ всіх його граней, тобто площа + дві площі основи: .

Про роботу репетитора з похилим паралелепіпедом:
Завданнями на похилий паралелепіпед репетитор з математики займається не часто. Імовірність їхньої появи на ЄДІ досить мала, а дидактика непристойно бідна. Більш-менш пристойне завдання на обсяг похилого паралелепіпеда викликає серйозні проблеми, пов'язані з розподілом розташування точки Н - основи його висоти. У цьому випадку репетитору з математики можна порадити обрізати паралелепіпед до однієї з шести його пірамід (про які йде мовау властивості №3), спробувати знайти її обсяг і помножити на 6.

Якщо бічне ребро паралелепіпеда має рівні кути зі сторонами основи, то Н лежить на бісектрисі кута A основи ABCD. І якщо, наприклад, ABCD – ромб, то

Завдання репетитора з математики:
1) Грані паралелепіпеда рівні роїби зі стороною 2см і гострим кутом. Знайти обсяг паралелепіпеда.
2) У похилому паралелепіпеді бічне ребро дорівнює 5см. Перетин, перпендикулярний йому, є чотирикутником із взаємно перпендикулярними діагоналями, що мають довжини 6см і 8 см. Обчислити об'єм паралелепіпеда.
3) У похилому паралелепіпеді відомо, що , а в онуванням ABCD є ромб зі стороною 2см і кутом . Визначте об'єм паралелепіпеда.

Репетитор з математики Олександр Колпаков

Розрізняється кілька типів паралелепіпедів:

· Прямокутний паралелепіпед- це паралелепіпед, у якого всі грані - прямокутники;

· Прямий паралелепіпед - це паралелепіпед, у якого 4 бічні грані - паралелограми;

· Похилий паралелепіпед- це паралелепіпед, бічні грані якого не перпендикулярні до основ.

Основні елементи

Дві грані паралелепіпеда, які мають спільного ребра, називаються протилежними, а мають спільне ребро - суміжними. Дві вершини паралелепіпеда, що не належать до однієї грані, називаються протилежними. Відрізок,що з'єднує протилежні вершини, називається діагоналлюпаралелепіпеда. Довжини трьохребер прямокутного паралелепіпеда, що мають загальну вершину, називають його вимірами.

Властивості

· Паралелепіпед симетричний щодо середини його діагоналі.

· Будь-який відрізок з кінцями, що належать поверхні паралелепіпеда і проходить через середину його діагоналі, ділиться нею навпіл; зокрема, всі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл.

· Протилежні грані паралелепіпеда паралельні та рівні.

· Квадрат довжини діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів

Основні формули

Прямий паралелепіпед

· Площа бічної поверхні S б =Р про *h, де Р про - периметр основи, h - висота

· Площа повної поверхні S п = S б +2S про, де S про - площа основи

· Об `єм V=S про *h

Прямокутний паралелепіпед

· Площа бічної поверхні S б =2c(a+b), де a, b - сторони основи, c - бічне ребро прямокутного паралелепіпеда

· Площа повної поверхні S п =2(ab+bc+ac)

· Об `єм V=abc, де a, b, c - виміри прямокутного паралелепіпеда.

· Площа бічної поверхні S = 6 * h 2 де h - висота ребра куба

34. Тетраедр- правильний багатогранник, має 4 грані, які є правильними трикутниками. Вершин біля тетраедра 4 до кожної вершини сходиться 3 ребра, а всього ребер 6 . Також тетраедр є пірамідою.

Трикутники, з яких складається тетраедр, називаються гранями (АОС, ОСВ, ACB, AOB), їхні сторони --- ребрами (AO, OC, OB), а вершини --- вершинами (A, B, C, O)тетраедра. Два ребра тетраедра, що не мають спільних вершин, називаються протилежними... Іноді виділяють одну з граней тетраедра та називають її основою, а три інші --- бічними гранями.

Тетраедр називається правильнимякщо всі його грані - рівносторонні трикутники. При цьому правильний тетраедр та правильна трикутна піраміда- Це не одне і те ж.

У правильного тетраедравсі двогранні кути при ребрах і всі тригранні кути при вершинах рівні.

35. Правильна призма

Призмою називається багатогранник, у якого дві грані (основи) лежать у паралельних площинах, а всі ребра поза цими гранями паралельні між собою. Грані, відмінні від основ, називаються бічними гранями, які ребра називаються бічними ребрами. Усі бічні ребра рівні між собою як паралельні відрізки, обмежені двома паралельними площинами. Усі бічні грані призми є паралелограмами. Відповідні сторони підстав призми рівні та паралельні. Прямою називається призма, у якої бічне ребро перпендикулярне площині основи, інші призми називаються похилими. В основі правильної призмилежить правильний багатокутник. У такої призми усі грані – рівні прямокутники.

Поверхня призми складається з двох основ та бічної поверхні. Висотою призми називається відрізок, що є загальним перпендикуляром площин, у яких лежать основи призми. Висота призми є відстань Hміж площинами основ.

Площею бічної поверхні Sб призми називається сума площ її бічних граней. Площею повної поверхні Sп призми називається сума площ усіх її граней. Sп = Sб + 2 Sде S– площа основи призми, Sб - площа бічної поверхні.

36. Багатогранник, у якого одна грань, звана основою, - багатокутник,
а інші грані – трикутники із загальною вершиною, називається пірамідою .

Грані, відмінні від основи, називаються бічними.
Загальна вершина бічних граней називається вершиною піраміди.
Ребра, що з'єднують вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними.
Висотою піраміди називається перпендикуляр, проведений з вершини піраміди на її основу.

Піраміда називається правильною, якщо її основа – правильний багатокутник, а висота проходить через центр основи.

Апофема бічний грані правильної пірамідиназивається висота цієї грані, проведена з вершини піраміди.

Площина, паралельна до основи піраміди, відсікає її на подібну піраміду і зрізану піраміду.

Властивості правильних пірамід

Бічні ребра правильної піраміди – рівні.
Бічні грані правильної піраміди – рівні один одному рівнобедрені трикутники.

Якщо всі бічні ребра рівні, то

В· висота проектується в центр описаного кола;

В· бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути.

Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то

В· висота проектується в центр вписаного кола;

· Висоти бічних граней рівні;

·Площа бічної поверхні дорівнює половині добутку периметра основи на висоту бічної грані

37. Функцію y=f(x), де x належить множині натуральних чисел, називають функцією натурального аргументу або числовою послідовністю. Позначають її y=f(n), або (y n)

Послідовності можна задавати у різний спосіб, словесно, так задається послідовність простих чисел:

2, 3, 5, 7, 11 і т.д.

Вважають, що послідовність задана аналітично, якщо вказано формулу її n-го члена:

1, 4, 9, 16, …, n 2 …

2) y n = C. Таку послідовність називають постійною чи стаціонарною. Наприклад:

2, 2, 2, 2, …, 2, …

3) yn = 2n. Наприклад,

2, 2 2 , 2 3 , 2 4 , …, 2 n , …

Послідовність називають обмеженою зверху, якщо всі її члени не більші за деяке число. Іншими словами, послідовність можна назвати обмеженою, якщо є таке число М, що виконується нерівність yn менше або дорівнює M. Число М називають верхньою межею послідовності. Наприклад послідовність: -1, -4, -9, -16, …, - n 2; обмежена зверху.

Аналогічно, послідовність можна назвати обмеженою знизу, якщо всі її члени більші за деяке число. Якщо послідовність обмежена і зверху та знизу вона називається обмеженою.

Послідовність називають зростаючою, якщо кожен її наступний член більший за попередній.

Послідовність називають спадною, якщо кожен її наступний член менший за попередній. Зростаючі та спадні послідовності визначають одним терміном – монотонні послідовності.

Розглянемо дві послідовності:

1) y n: 1, 3, 5, 7, 9, …, 2n-1, …

2) x n: 1, ½, 1/3, 1/4, …, 1/n, …

Якщо ми зобразимо члени цієї послідовності на числовій прямій, то зауважимо, що, у другому випадку члени послідовності згущуються навколо однієї точки, а першому випадку такого немає. У таких випадках говорять, що послідовність y n розходиться, а послідовність x n сходиться.

Число b називають межею послідовності y n якщо в будь-якій заздалегідь обраної околиці точки b містяться всі члени послідовності, починаючи з деякого номера.

У цьому випадку ми можемо написати:

Якщо приватне прогресії по модулю менше одиниці, то межа цієї послідовності, при х, що прагнуть нескінченності дорівнює нулю.

Якщо послідовність сходиться, то лише до однієї межі

Якщо послідовність сходиться, вона обмежена.

Теорема Вейерштрасса: Якщо послідовність монотонно сходиться, вона обмежена.

Межа стаціонарної послідовності дорівнює будь-якому члену послідовності.

Властивості:

1) Межа суми дорівнює сумі меж

2) Межа твору дорівнює твору меж

3) Межа приватного дорівнює приватній межі

4) Постійний множник можна винести за знак межі

Запитання 38
сума нескінченної геометричної прогресії

Геометрична прогресія- послідовність чисел b 1 , b 2 , b 3 .. (членів прогресії), у якій кожне наступне число, починаючи з другого, виходить з попереднього множенням його на певне число q (знаменник прогресії), де b 1 ≠0 , q ≠0.

Сума нескінченної геометричної прогресії– це граничне число, якого сходиться послідовність прогресії.

Інакше кажучи, якою б довгою не була геометрична прогресія, сума її членів не більша за якийсь певної кількостіі практично дорівнює цьому числу. Воно називається сумою геометричної прогресії.

Не будь-яка геометрична прогресія має таку граничну суму. Вона може бути тільки у такої прогресії, знаменник якої – дрібне число менше 1.