Визначення

Перетин - це плоска фігура, яка утворюється при перетині просторової фігури площиною та межа якої лежить на поверхні просторової фігури.

Зауваження

Для побудови перерізів різних просторових фігур необхідно пам'ятати основні визначення та теореми про паралельність та перпендикулярність прямих і площин, а також властивості просторових фігур. Нагадаємо, основні факти.
Для більш докладного вивченнярекомендується ознайомитись з темами “Введення у стереометрію. Паралельність” та “Перпендикулярність. Кути та відстані у просторі”.

Важливі визначення

1. Дві прямі у просторі паралельні, якщо вони лежать в одній площині та не перетинаються.

2. Дві прямі у просторі схрещуються, якщо їх не можна провести площину.

4. Дві площини є паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

5. Дві прямі у просторі називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює \(90^\circ\).

6. Пряма називається перпендикулярною площині, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

7. Дві площини називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює \(90^\circ\).

Важливі аксіоми

1. Через три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площина, і до того ж лише одна.

2. Через пряму і не лежачу на ній точку проходить площину, і до того ж лише одна.

3. Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину, і притому тільки одна.

Важливі теореми

1. Якщо пряма \(a\) , що не лежить у площині \(\pi\) , паралельна деякій прямій \(p\) , що лежить у площині \(\pi\) , то вона паралельна даній площині.

2. Нехай пряма \(p\) паралельна площині \(\mu\). Якщо площина \(\pi\) проходить через пряму \(p\) і перетинає площину \(\mu\) , то лінія перетину площин \(\pi\) і \(\mu\) - пряма \(m\) - Паралельна прямий (p).

3. Якщо дві прямих, що перетинаються, з однієї площини паралельні двом прямим, що перетинаються, з іншої площини, то такі площини будуть паралельні.

4. Якщо дві паралельні площини \(\alpha\) і \(\beta\) перетнуті третьою площиною \(\gamma\) , то лінії перетину площин також паралельні:

\[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \\beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

5. Нехай пряма (l) лежить в площині (lambda). Якщо пряма \(s\) перетинає площину \(\lambda\) у точці \(S\) , що не лежить на прямій \(l\) , то прямі \(l\) і \(s\) схрещуються.

6. Якщо пряма перпендикулярна двом прямим, що перетинаються, лежать у даній площині, то вона перпендикулярна цій площині.

7. Теорема про три перпендикуляри.

Нехай \(AH\) - перпендикуляр до площини \(\beta\). Нехай \(AB, BH\) - похила та її проекція на площину \(\beta\). Тоді пряма \(x\) у площині \(\beta\) буде перпендикулярна похилій тоді і тільки тоді, коли вона перпендикулярна до проекції.

8. Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до іншої площини, то вона перпендикулярна до цієї площини.

Зауваження

Ще один важливий факт, що часто використовується для побудови перерізів:

для того, щоб знайти точку перетину прямої та площини, достатньо знайти точку перетину даної прямої та її проекції на цю площину.

Для цього з двох довільних точок \(A\) і \(B\) прямий \(a\) проведемо перпендикуляри на площину \(\mu\) - \(AA"\) та \(BB"\) (точки \ (A", B"\) називаються проекціями точок \(A,B\) на площину). Тоді пряма \(A"B"\) - проекція прямої \(a\) на площину \(\mu\). Точка \(M=a\cap A"B"\) і є точка перетину прямої \(a\) і площини \(\mu\) .

Причому зауважимо, що це крапки \(A, B, A", B", M\) лежать в одній площині.

приклад 1.

Даний куб (ABCDA"B"C"D"). \(A"P=\dfrac 14AA", \ KC=\dfrac15 CC"\). Знайдіть точку перетину прямої \(PK\) і площині \(ABC\) .

Рішення

1) Т.к. ребра куба \(AA", CC"\) перпендикулярні \((ABC)\) , то точки \(A\) і \(C\) - проекції точок \(P\) і \(K\) . Тоді пряма (AC) - проекція прямої (PK) на площину (ABC). Продовжимо відрізки \(PK\) і \(AC\) за точки \(K\) і \(C\) відповідно і отримаємо точку перетину прямих - точку \(E\).

2) Знайдемо відношення (AC:EC). \(\triangle PAE\sim \triangle KCE\)по двох кутах ( \(\angle A=\angle C=90^\circ, \angle E\)– загальний), отже, \[\dfrac(PA)(KC)=\dfrac(EA)(EC)\]

Якщо позначити ребро куба за (a), то (PA = dfrac34a, KC = dfrac15a, AC = a sqrt2). Тоді:

\[\dfrac(\frac34a)(\frac15a)=\dfrac(a\sqrt2+EC)(EC) \Rightarrow EC=\dfrac(4\sqrt2)(11)a \Rightarrow AC:EC=4:11\ ]

приклад 2.

Дана правильна трикутна піраміда\(DABC\) з основою \(ABC\) , висота якої дорівнює стороні основи. Нехай точка \(M\) ділить бічне ребро піраміди щодо \(1:4\), рахуючи від вершини піраміди, а \(N\) - висоту піраміди щодо \(1:2\), рахуючи від вершини піраміди. Знайдіть точку перетину прямої \(MN\) з площиною \(ABC\) .

Рішення

1) Нехай (DM:MA=1:4, DN:NO=1:2) (див. малюнок). Т.к. піраміда правильна, то висота падає в точку \(O\) перетину медіан основи. Знайдемо проекцію прямої (MN) на площину (ABC). Т.к. \(DO\perp (ABC)\) , то і (NO\perp (ABC)\) . Отже, \(O\) – точка, що належить цій проекції. Знайдемо другу точку. Опустимо перпендикуляр \(MQ\) з точки \(M\) на площину \(ABC\). Точка (Q) буде лежати на медіані (AK).
Справді, т.к. \(MQ\) і \(NO\) перпендикулярні \((ABC)\), то вони паралельні (означає, лежать в одній площині). Отже, т.к. точки \(M, N, O\) лежать в одній площині \(ADK\) , то і точка \(Q\) лежатиме в цій площині. Але ще (за побудовою) точка \(Q\) повинна лежати в площині \(ABC\), отже, вона лежить на лінії перетину цих площин, а це - \(AK\).

Значить, пряма \(AK\) і є проекція прямої \(MN\) на площину \(ABC\). \ (L \) - Точка перетину цих прямих.

2) Зауважимо, що для того, щоб правильно намалювати креслення, необхідно знайти точне положення точки \(L\) (наприклад, на нашому кресленні точка \(L\) лежить поза відрізком \(OK\) , хоча вона могла б лежати і всередині нього, а як правильно?).

Т.к. за умовою сторона основи дорівнює висоті піраміди, то позначимо (AB = DO = a). Тоді медіана (AK = dfrac (sqrt3) 2a)). Значить, \(OK=\dfrac13AK=\dfrac 1(2\sqrt3)a\). Знайдемо довжину відрізка \(OL\) (тоді ми зможемо зрозуміти, всередині або поза відрізком \(OK\) знаходиться точка \(L\): якщо \(OL>OK\) - то поза, інакше - всередині).

а) \(\triangle AMQ\sim \triangle ADO\)по двох кутах ( \(\angle Q=\angle O=90^\circ, \ \angle A\)- загальний). Значить,

\[\dfrac(MQ)(DO)=\dfrac(AQ)(AO)=\dfrac(MA)(DA)=\dfrac 45 \Rightarrow MQ=\dfrac 45a, \ AQ=\dfrac 45\cdot \dfrac 1(\sqrt3)a\]

Значить, \(QK=\dfrac(\sqrt3)2a-\dfrac 45\cdot \dfrac 1(\sqrt3)a=\dfrac7(10\sqrt3)a\).

б) Позначимо (KL = x).
\(\triangle LMQ\sim \triangle LNO\)по двох кутах ( \(\angle Q=\angle O=90^\circ, \ \angle L\)- загальний). Значить,

\[\dfrac(MQ)(NO)=\dfrac(QL)(OL) \Rightarrow \dfrac(\frac45 a)(\frac 23a) =\dfrac(\frac(7)(10\sqrt3)a+x )(\frac1(2\sqrt3)a+x) \Rightarrow x=\dfrac a(2\sqrt3) \Rightarrow OL=\dfrac a(\sqrt3)\]

Отже, \(OL>OK\), отже, точка \(L\) дійсно лежить поза відрізком \(AK\).

Зауваження

Не варто лякатися, якщо при вирішенні подібного завдання у вас вийде, що довжина відрізка є негативною. Якби в умовах попереднього завдання ми отримали, що \(x\) - негативний, це якраз означало б, що ми неправильно вибрали положення точки \(L\) (тобто вона знаходиться всередині відрізка \(AK\) ) .

Приклад 3

Дана правильна чотирикутна піраміда\(SABCD\). Знайдіть переріз піраміди площиною \(\alpha\) , що проходить через точку \(C\) і середину ребра \(SA\) і паралельної прямої \(BD\) .

Рішення

1) Позначимо середину ребра \(SA\) за \(M\). Т.к. піраміда правильна, то висота (SH) піраміди падає в точку перетину діагоналей основи. Розглянемо площину (SAC). Відрізки (CM) і (SH) лежать у цій площині, нехай вони перетинаються в точці (O).

Для того, щоб площина (alpha) була паралельна прямий (BD), вона повинна містити деяку пряму, паралельну (BD). Точка \(O\) знаходиться разом з прямою \(BD\) в одній площині - в площині \(BSD\). Проведемо в цій площині через точку \(O\) пряму \(KP\parallel BD\) (\(K\in SB, P\in SD\)). Тоді, з'єднавши точки \(C, P, M, K\), отримаємо переріз піраміди площиною \(\alpha\).

2) Знайдемо відношення, в якому ділять точки \(K\) і \(P\) ребра \(SB\) та \(SD\). Таким чином, ми повністю визначимо побудований перетин.

Зауважимо, що оскільки \(KP\parallel BD\) , то за теоремою Фалеса \(\dfrac(SB)(SK)=\dfrac(SD)(SP)\). Але \(SB=SD\), отже і \(SK=SP\). Таким чином, можна знайти тільки \(SP:PD\).

Розглянемо \(\triangle ASC\). \(CM, SH\) – медіани в цьому трикутнику, отже, точкою перетину діляться щодо \(2:1\), рахуючи від вершини, тобто \(SO:OH=2:1\).

Тепер за теоремою Фалеса з \(\triangle BSD\): \(\dfrac(SP)(PD)=\dfrac(SO)(OH)=\dfrac21\).

3) Зауважимо, що за теоремою про три перпендикуляри \(CO\perp BD\) як похила (\(OH\) ​​- перпендикуляр на площину \(ABC\) , \(CH\perp BD\) - проекція). Значить, \ (CO perp KP) . Таким чином, перетином є чотирикутник (CPMK), діагоналі якого взаємно перпендикулярні.

Приклад 4

Дана прямокутна піраміда \(DABC\) з ребром \(DB\), перпендикулярним площині \(ABC\). В основі лежить прямокутний трикутникз \(\angle B=90^\circ\) , причому \(AB=DB=CB\). Проведіть через пряму \(AB\) площину, перпендикулярну до грані \(DAC\) , і знайдіть перетин піраміди цією площиною.

Рішення

1) Площина \(\alpha\) буде перпендикулярна грані \(DAC\), якщо вона міститиме пряму, перпендикулярну \(DAC\). Проведемо з точки \(B\) перпендикуляр на площину \(DAC\) - \(BH\), \(H\in DAC\).

Проведемо допоміжні \(BK\) - медіану в \(\triangle ABC\) і \(DK\) - медіану в \(\triangle DAC\).
Т.к. \(AB=BC\) , то \(\triangle ABC\) - рівнобедрений, значить, \(BK\) - висота, тобто \(BK\perp AC\) .
Т.к. \(AB=DB=CB\) та \(\angle ABD=\angle CBD=90^\circ\), то \(\triangle ABD=\triangle CBD\), Отже, \(AD=CD\) , Отже, \(\triangle DAC\) - теж рівнобедрений і \(DK\perp AC\) .

Застосуємо теорему про три перпендикуляри: (BH) - перпендикуляр на (DAC); похильна (BKperp AC), означає і проекція (HKperp AC). Але ми вже визначили, що (DK Perp AC). Таким чином, точка \(H\) лежить на відрізку \(DK\).

З'єднавши точки \(A\) і \(H\) , отримаємо відрізок \(AN\) , яким площину \(\alpha\) перетинається з гранню \(DAC\) . Тоді \(\triangle ABN\) - шуканий переріз піраміди площиною \(\alpha\).

2) Визначимо точне положення точки \(N\) на ребрі \(DC\).

Позначимо \(AB=CB=DB=x\). Тоді \(BK\), як медіана, опущена з вершини прямого кутав \(\triangle ABC\) , дорівнює \(\frac12 AC\) , отже, \(BK=\frac12 \cdot \sqrt2 x\) .

Розглянемо \(\triangle BKD\). Знайдемо відношення (DH: HK).

Зауважимо, що т.к. \(BH\perp (DAC)\) , то \(BH\) перпендикулярно до будь-якої прямої з цієї площини, значить, \(BH\) – висота в \(\triangle DBK\) . Тоді \(\triangle DBH\sim \triangle DBK\), отже

\[\dfrac(DH)(DB)=\dfrac(DB)(DK) \Rightarrow DH=\dfrac(\sqrt6)3x \Rightarrow HK=\dfrac(\sqrt6)6x \Rightarrow DH:HK=2:1 \]

Розглянемо тепер \(\triangle ADC\). Медіани трикутника точної перетину діляться щодо \(2:1\), рахуючи від вершини. Значить, \(H\) - точка перетину медіан в \(\triangle ADC\) (бо \(DK\) - медіана). Тобто \(AN\) - теж медіана, значить \(DN=NC\) .

На цьому уроці ми розглянемо тетраедр та його елементи (ребро тетраедра, поверхня, грані, вершини). І вирішимо кілька завдань на побудову перерізів у тетраедрі, використовуючи загальний методдля побудови перерізів.

Тема: Паралельність прямих та площин

Урок: Тетраедр. Завдання на побудову перерізів у тетраедрі

Як побудувати тетраедр? Візьмемо довільний трикутник АВС. Довільну точку D, що не лежить у площині цього трикутника. Отримаємо 4 трикутники. Поверхня, утворена цими 4 трикутниками, називається тетраедром (Рис. 1.). Внутрішні точки, обмежені цією поверхнею, також входять до складу тетраедра.

Рис. 1. Тетраедр АВСD

Елементи тетраедра
А,B, C, D - вершини тетраедра.
AB, AC, AD, BC, BD, CD - ребра тетраедра.
ABC, ABD, BDC, ADC - грані тетраедра.

Примітка:можна прийняти площину АВСза основа тетраедра, і тоді точка Dє вершиною тетраедра. Кожне ребро тетраедра є перетином двох площин. Наприклад, ребро АВ- це перетин площин АВDі АВС. Кожна вершина тетраедра – це перетин трьох площин. Вершина Алежить у площинах АВС, АВD, АDЗ. Крапка А- це перетин трьох зазначених площин. Цей факт записується так: А= АВС ∩ АВD ∩ АСD.

Тетраедр визначення

Отже, тетраедр- Це поверхня, утворена чотирма трикутниками.

Ребро тетраедра- Лінія перечісування двох площин тетраедра.

Складіть із 6 сірників 4 рівні трикутники. На площині вирішити завдання не виходить. А у просторі це зробити легко. Візьмемо тетраедр. 6 сірників – це його ребра, чотири грані тетраедра і будуть чотирма рівними трикутниками. Завдання вирішено.

Дан тетраедр АВСD. Крапка Mналежить ребру тетраедра АВ, крапка Nналежить ребру тетраедра УDі крапка Рналежить ребру DЗ(Мал. 2.). Побудуйте перетин тетраедра площиною MNP.

Рис. 2. Малюнок до задачі 2 - Побудувати перетин тетраедра площиною

Рішення:
Розглянемо грань тетраедра DНД. У цій межі точки Nі Pналежать грані DНД, А значить, і тетраедру. Але за умовою точки N, Pналежать січній площині. Значить, NP- це лінія перетину двох площин: площини грані DНДта січній площині. Припустимо, що прямі NPі НДне паралельні. Вони лежать в одній площині DНД.Знайдемо точку перетину прямих NPі НД. Позначимо її Е(Мал. 3.).

Рис. 3. Малюнок задачі 2. Знаходження точки Е

Крапка Еналежить площині перерізу MNP, так як вона лежить на прямий NР, а пряма NРповністю лежить у площині перерізу MNP.

Також точка Ележить у площині АВСтому, що вона лежить на прямий НДз площини АВС.

Отримуємо, що ЇМ- лінія перетину площин АВСі MNP,так як точки Еі Млежать одночасно у двох площинах - АВСі MNP.З'єднаємо точки Мі Е, і продовжимо пряму ЇМдо перетину з прямої АС. Точку перетину прямих ЇМі АСпозначимо Q.

Отже, у цьому випадку NPQМ- Перетин, що шукається.

Рис. 4. Малюнок задачі 2.Рішення задачі 2

Розглянемо тепер випадок, коли NPпаралельна BC. Якщо пряма NPпаралельна до якої-небудь прямої, наприклад, прямої НДз площини АВС, то пряма NPпаралельна всій площині АВС.

Шукана площина перерізупроходить через пряму NP, паралельну площині АВС, і перетинає площину прямою МQ. Значить, лінія перетину МQпаралельна прямий NP. Отримуємо, NPQМ- Перетин, що шукається.

Крапка Млежить на бічній грані АDУтетраедра АВСD. Побудуйте перетин тетраедра площиною, що проходить через точку Мпаралельно підставі АВС.

Рис. 5. Малюнок до задачі 3 Побудувати перетин тетраедра площиною

Рішення:
Поточна площина φ паралельна площині АВСза умовою, отже, ця площина φ паралельна прямим АВ, АС, НД.
У площині АВDчерез точку Мпроведемо пряму PQпаралельно АВ(Рис. 5). Пряма PQлежить у площині АВD. Аналогічно у площині АСDчерез точку Рпроведемо пряму РRпаралельно АС. Отримали крапку R. Дві прямі, що перетинаються PQі РRплощині РQRвідповідно паралельні двом прямим прямокутним прямим АВі АСплощині АВСотже, площині АВСі РQRпаралельні. РQR- Перетин, що шукається. Завдання вирішено.

Дан тетраедр АВСD. Крапка М- точка внутрішня, точка грані тетраедра АВD. N- Внутрішня точка відрізка DЗ(Мал. 6.). Побудувати точку перетину прямої NMта площині АВС.

Рис. 6. Малюнок завдання 4

Рішення:
Для вирішення збудуємо допоміжну площину DМN. Нехай пряма DМперетинає пряму АВ у точці До(Мал. 7.). Тоді, СКD- це переріз площини DМNта тетраедра. У площині DМNлежить і пряма NM, та отримана пряма СК. Значить, якщо NMне паралельна СК, то вони перетнуться в деякій точці Р. Крапка Рі буде шукана точка перетину прямий NMта площині АВС.

Рис. 7. Малюнок задачі 4. Розв'язання задачі 4

Дан тетраедр АВСD. М- Внутрішня точка грані АВD. Р- Внутрішня точка грані АВС. N- Внутрішня точка ребра DЗ(Мал. 8.). Побудувати перетин тетраедра площиною, що проходить через крапки М, Nі Р.

Рис. 8. Малюнок до задачі 5 Побудувати перетин тетраедра площиною

Рішення:
Розглянемо перший випадок, коли пряма MNне паралельна площині АВС. У минулому завданні ми знайшли точку перетину прямої MNта площині АВС. Це точка До, вона отримана за допомогою допоміжної площини DМN, тобто. ми проводимо DМі отримуємо точку F. Проводимо СFі на перетині MNотримуємо крапку До.

Рис. 9. Малюнок задачі 5. Знаходження точки К

Проведемо пряму КР. Пряма КРлежить і в площині перерізу, і в площині АВС. Отримуємо точки Р 1і Р 2. З'єднуємо Р 1і Мі на продовженні отримуємо крапку М 1. З'єднуємо точку Р 2і N. В результаті отримуємо шуканий переріз Р 1 Р 2 NМ 1. Завдання у першому випадку вирішено.
Розглянемо другий випадок, коли пряма MNпаралельна площині АВС. Площина МNРпроходить через пряму МNпаралельну площині АВСі перетинає площину АВСза деякою прямою Р 1 Р 2тоді пряма Р 1 Р 2паралельна даній прямий MN(Мал. 10.).

Рис. 10. Малюнок задачі 5. Шуканий перетин

Тепер проведемо пряму Р 1 Мі отримаємо точку М 1.Р 1 Р 2 NМ 1- Перетин, що шукається.

Отже, ми розглянули тетраедр, вирішили деякі типові завдання на тетраедр. На наступному уроці ми розглянемо паралелепіпед.

1. І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е видання, виправлене та доповнене - М.: Мнемозіна, 2008. - 288 с. : іл. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий та профільний рівні)

2. Шаригін І. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: іл. Геометрія. 10-11 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів

3. Є. В. Потоскуєв, Л. І. Звалич. – 6-те видання, стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с. :іл. Геометрія. 10 клас: Підручник для загальноосвітніх закладів з поглибленим та профільним вивченням математики

Додаткові веб-ресурси

2. Як побудувати перетин тетраедра. Математика ().

3. Фестиваль педагогічних ідей ().

Зроби вдома завдання на тему "Тетраедр", як знаходити ребро тетраедра, грані тетраедра, вершини та поверхню тетраедра

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий та профільний рівні) І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е видання, виправлене та доповнене – М.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. Завдання 18, 19, 20 стор.

2. Крапка Есередина ребра МАтетраедра МАВС. Побудуйте перетин тетраедра площиною, що проходить через крапки В, Сі Е.

3. У тетраедрі МАВС точка М належить грані АМВ, точка Р – грані ВМС, точка К – ребру АС. Побудуйте перетин тетраедра площиною, що проходить через крапки М, Р, До.

4. Які фігури можуть вийти внаслідок перетину площиною тетраедра?

Мета роботи:
Розвиток просторових уявлень.
Завдання:
1. Ознайомити з правилами побудови перерізів.
2. Виробити навички побудови перерізів
тетраедра і паралелепіпеда при різних
випадках завдання січної площини.
3. Сформувати вміння застосовувати правила
побудови перерізів при розв'язанні задач з
тем «Многогранники».

Для вирішення багатьох
геометричних
завдань необхідно
будувати перерізи
багатогранників
різними
площин.

Поняття сіючої площини

поточної
площиною
паралелепіпеда
(тетраедра)
називається будь-яка
площина, по обидві
сторони від
якої є
точки даного
паралелепіпеда
(Тетраедра).

Поняття перерізу багатогранника

Поточна площина
перетинає грані
тетраедра
(паралелепіпеда) по
відрізкам.
Багатокутник, сторонами
якого є дані
відрізки, називається
перетином тетраедра
(паралелепіпеда).

Робота за малюнками

Скільки площин можна провести
через виділені елементи?
Які аксіоми та теореми ви застосовували?

Для побудови перерізу
потрібно побудувати крапки
перетину січної
площини з ребрами та
з'єднати їх відрізками.

Правила побудови перерізів

1. З'єднувати можна лише дві
точки, що лежать у площині однієї
грані.
2. Січна площина перетинає
паралельні грані по
паралельним відрізкам.

Правила побудови перерізів

3. Якщо у площині грані зазначено
тільки одна точка, що належить
площині перерізу, то треба
побудувати додаткову точку.
Для цього необхідно знайти точки
перетину вже збудованих
прямих з іншими прямими,
лежать у тих же гранях.

10. Побудова перерізів тетраедра

11.

Тетраедр має 4 грані
У перерізах можуть вийти
Трикутники
Чотирикутники

12.

Побудувати перетин тетраедра
DABC площиною, що проходить
через точки M,N,K
1. Проведемо пряму через
точки М та К, т.к. вони лежать
в одній грані (ADC).
D
M
AA
N
K
BB
CC
2. Проведемо пряму через
точки К та N, т.к. вони
лежать в одній грані
(СDB).
3. Аналогічно розмірковуючи,
проводимо пряму MN.
4. Трикутник MNK -
шуканий переріз.

13. проходить через точку М паралельно АВС.

D
1. Проведемо через точку М
пряму паралельну
ребру AB
2.
М
Р
А
До
З
У
Проведемо через точку М
пряму паралельну
ребру AC
3. Проведемо пряму через
точки K та P, т.к. вони лежать у
однієї грані (DBC)
4. Трикутник MPK -
шуканий переріз.

14.

Побудувати перетин тетраедра площиною,
проходить через точки E, F, K.
D
1. Проводимо КF.
2. Проводимо FE.
3. Продовжимо
EF, продовжимо AC.
F
4. EF AC = М
5. Проводимо
MK.
E
M
AB=L
6.
MK
C
A
7. Проводимо EL
L
EFKL – шуканий переріз
K
B

15.

Побудувати перетин тетраедра площиною,
проходить через точки E, F, K
Які
який прямі
точкою,
що лежить в
можна, можливо
З'єднайте
вийшли
Які
крапки
можна, можливо
відразу
тій
ж
грані
можна, можливо
продовжити,
щоб
отримати
точки,
лежачі
в
однієї
з'єднати?
з'єднати
отриману
додаткову
точку?
грані,
назвіть
перетин.
додаткову точку?
D
АС
ЕLFK
FСЕК
іточкою
K,і Е
та FК
F
L
C
M
A
E
K
B

16.

Побудувати перетин
тетраедра площиною,
проходить через точки
E, F, K.
D
F
L
C
A
E
K
B
Про

17.

Висновок: незалежно від способу
побудови перерізу однакові

18. Побудова перерізів паралелепіпеда

19.

Тетраедр має 6 граней
Трикутники
П'ятикутники
У його перерізах можуть вийти
Чотирикутники
Шестикутники

20. Побудувати перетин паралелепіпеда площиною, що проходить через точку Х паралельно площині (ОСВ)

В 1
А1
Y
Х
D1
S
У
А
D
Z
1. Проведемо через
З 1
точку X пряму
паралельну ребру
D1C1
2. Через точку X
пряму
паралельну ребру
D1D
3. Через точку Z пряму
паралельну ребру
З
DC
4. Проведемо пряму через
точки S та Y, т.к. вони лежать у
однієї грані (BB1C1)
XYSZ – шуканий переріз

21.

Побудувати перетин паралелепіпеда
площиною, що проходить через точки
M,A,D
В 1
D1
E
A1
З 1
У
А
1. AD
2. MD
3. ME//AD, т.к. (ABC)//(A1B1C1)
4. AE
5. AEMD – шуканий переріз
М
D
З

22. Побудувати перетин паралелепіпеда площиною, що проходить через точки М, К, Т

N
М
До
R
S
Х
Т

23. Виконайте завдання самостійно

м
т
до
м
Д
до
т
Побудуйте перетин: а) паралелепіпеда;
б) тетраедра
площиною, що проходить через точки М, Т, До.

24. Використані ресурси

Соболєва Л. І. Побудова перерізів
Ткачова В. В. Побудова перерізів
тетраедра та паралелепіпеда
Гобозова Л. В. Завдання на побудову
перерізів
DVD-диск. Уроки геометрії Кирила та
Мефодія. 10 клас, 2005
Навчальні та перевірочні завдання.
Геометрія. 10 клас (Зошит) / Альошина
Т.М. - М.: Інтелект-Центр, 1998

ПОБУДУВАННЯ ПЕРЕКЛАВ І РОЗРІЗІВ НА КРЕСЛЕННЯХ

Формування креслення деталі здійснюється шляхом послідовного додавання необхідних проекцій, розрізів та перерізів. Спочатку створюється довільний вигляд із зазначеною користувачем моделі, при цьому задається орієнтація моделі, що найбільше підходить для головного вигляду. Далі з цього та наступних видів створюються необхідні розрізи та перерізи.

Головний вид (вид спереду) вибирається таким чином, щоб він давав найбільш повне уявлення про форми та розміри деталі.

Розрізи на кресленнях

Залежно від положення січної площини розрізняють такі види розрізів:

А) горизонтальні, якщо січна площина розташовується паралельно горизонтальній площині проекцій;

Б) вертикальні, якщо січна площина перпендикулярна горизонтальній площині проекцій;

В) похилі - січна площина нахилена до площин проекцій.

Вертикальні розрізи поділяються на:

· фронтальні - січна площина паралельна фронтальній площині проекцій;

· профільні - січна площина паралельна профільній площині проекцій.
Залежно від кількості сіючих площин розрізи бувають:

· прості - при одній січній площині (рис.107);

· складні - при двох і більше секучих площинах (мал.108)
Стандартом передбачені такі види складних розрізів:

· ступінчасті, коли сіючі площини розташовуються паралельно (рис.108 а) і ламані - сіючі площини перетинаються (рис.108 б)

Рис.107 Простий розріз

а) б)

Рис.108 Складні розрізи

Позначення розрізів

У разі, коли в простому розрізі січна площина збігається з площиною симетрії предмета, не позначається розріз (рис.107). В інших випадках розрізи позначаються великими літерамиросійського алфавіту, починаючи з літери А, наприклад, А-А.

Положення січної площини на кресленні вказують лінією перерізу – потовщеною розімкнутою лінією. При складному розрізі штрихи проводять у перегинів лінії перерізу. На початковому та кінцевому штрихах слід ставити стрілки, що вказують напрямок погляду, стрілки повинні знаходитися на відстані 2-3 мм від зовнішніх кінців штрихів. З зовнішнього боку кожної стрілки, що вказує напрям погляду, наносять ту саму прописну букву.

Для позначення розрізів і перерізів у системі КОМПАС використовується та сама кнопка Лінія розрізу, розташована сторінці Позначення (рис.109).

Рис.109 Кнопка Лінія розрізу

З'єднання половини виду з половиною розрізу

Якщо вид і розріз є симетричними фігурами (рис.110), можна з'єднувати половину виду і половину розрізу, розділяючи їх штрихпунктирою тонкою лінією, що є віссю симетрії. Частину розрізу зазвичай мають праворуч від осі симетрії, що розділяє частину виду з частиною розрізу, або знизу від осі симетрії. Лінії невидимого контуру на частинах виду і розрізу, що з'єднуються, зазвичай не показуються. Якщо з осьовою лінією, що поділяє вигляд і розріз, збігається проекція будь-якої лінії, наприклад, ребра гранної фігури, то вид і розріз поділяються суцільною хвилястою лінією, що проводиться ліворуч від осі симетрії, якщо ребро лежить на внутрішньої поверхні, або правіше, якщо зовнішнє ребро.

Рис. 110 З'єднання частини виду та розрізу

Побудова розрізів

Побудова розрізів у системі КОМПАС вивчимо з прикладу побудови креслення призми, завдання якого зображено на рис.111.

Послідовність побудови креслення така:

1. За заданими розмірами збудуємо твердотільну модель призми (рис.109 б). Збережемо модель у пам'яті комп'ютера у файлі під назвою «Призма».

Рис.112 Панель Лінії

3. Для побудови профільного розрізу (рис.113) накреслимо лінію розрізу А-Ана головному вигляді за допомогою кнопкиЛінія розрізу.

Рис.113 Побудова профільного розрізу

Напрямок погляду та текст позначення можна вибрати на панелі керування командою внизу екрана (рис.114). Завершується побудова лінії розрізу натисканням кнопки Створити об'єкт.

Рис.114 Панель управління командою побудови розрізів та перерізів

4. На панелі Асоціативні види (рис.115) виберемо кнопку Лінія розрізу, потім пасткою, що з'явилася на екрані, вкажемо лінію розрізу. Якщо все зроблено правильно (лінія розрізу повинна бути обов'язково побудована в активному вигляді), лінія розрізу пофарбується в червоний колір. Після вказівки лінії розрізу АА на екрані з'явиться фантом зображення у вигляді габаритного прямокутника.

Рис.115 Панель Асоціативні види

За допомогою перемикача Розріз/перетин на Панелі властивостей вибирається тип зображення – Розріз (рис.116) і масштаб розрізу, що відображається.

Рис.116 Панель управління командою побудови розрізів та перерізів

Профільний розріз побудується автоматично у проекційному зв'язку та зі стандартним позначенням. При необхідності проекційний зв'язок можна вимикати перемикачем Проекційний зв'язок (рис.116).Для налаштування параметрів штрихування, яка буде використана у розрізі (перетині), що створюється, використовується елементи керування на вкладці Штрихування.

Рис.117 Побудова горизонтального розрізу Б-Б та перерізу В-В

Якщо вибрана січна площина під час побудови розрізу збігається з площиною симетрії деталі, то відповідно до стандарту такий розріз не позначається. Але якщо просто стерти позначення розрізу, то через те, що вигляд і розріз у пам'яті комп'ютера пов'язані між собою, то зітреться весь розріз. Тому для того, щоб видалити позначення, спочатку слід зруйнувати зв'язок виду та розрізу. Для цього клацанням лівої кнопки миші виділяється розріз, а потім клацанням правої кнопки миші викликається контекстне меню, з якого вибирається пункт Зруйнувати вигляд (рис.97). Тепер позначення розрізу можна видалити.

5. Для побудови горизонтального розрізу проведемо через нижню площину отвору у вигляді спереду лінію розрізу Б-Б. Попередньо обов'язково двома клацаннями лівої кнопки миші вид спереду слід зробити поточним. Потім будується горизонтальний розріз (рис.117).

6. При побудові фронтального розрізу сумісний частина виду та частина розрізу, т.к. це симетричні постаті. На лінію розділяє вигляд і розріз проектується зовнішнє ребро призми, тому розмежуємо вид і розріз суцільний тонкої хвилястою лінією, що проводиться праворуч від осі симетрії, т.к. ребро зовнішнє. Для побудови хвилясті лініївикористовується кнопкаКрива Безьє, що розташована на панелі Геометрія, що викреслюється стилем Для лінії обриву (рис.118). Послідовно вказуйте точки, якими має пройти крива Безье. Закінчити виконання команди слід натисканням кнопки Створити об'єкт.

Рис.118 Вибір стилю лінії для урвища

Побудова перерізів

Перерізом називається зображення предмета, які виходять при уявному розтину предмета площиною. На перерізі показують тільки те, що розташоване в площині, що сить.

Положення січної площини, з допомогою якої утворюється переріз, на кресленні вказують лінією перерізу, як і розрізів.

Перерізи в залежності від розташування їх на кресленнях поділяються на винесені та накладені. Винесені перерізи розташовуються найчастіше вільному полі креслення і обводяться основний лінією. Накладені перерізи мають безпосередньо на зображенні предмета і обводять тонкими лініями (рис.119).

Рис.119 Побудова перерізів

Розглянемо послідовність побудови креслення призми з винесеним похилим перетином Б-Б(Рис.117).

1. Зробимо вигляд спереду активним подвійним клацанням лівою кнопкою миші на вигляд і накреслимо лінію розрізу за допомогою кнопки Лінія розрізу . Виберемо текст написи В-В.

2. За допомогою кнопки Лінія розрізу, розташованої на панелі Асоціативні види (рис.115), пасткою, що з'явилася, вкажемо лінію сіючої площині В-В. За допомогою перемикача Розріз/перетин на Панелі властивостей слід вибрати тип зображення – Перетин (рис.116), масштаб перетину, що відображається, вибирається з вікна Масштаб.

Побудований перетин розташовується у проекційному зв'язку, що обмежує його переміщення по кресленню, але проекційний зв'язок можна відключати за допомогою кнопки Проекційний зв'язок.

На готовому кресленні слід прокреслити осьові лінії, у разі потреби проставити розміри.

Метод перерізів багатогранників у стереометрії використовується у завданнях на побудову. У його основі лежить вміння будувати переріз багатогранника і визначати вид перерізу.

Цей матеріал характеризується такими особливостями:

1. Метод перерізів застосовується лише багатогранників, оскільки різні складні (похилі) види перерізів тіл обертання не входять у програму середньої школи.
2. У завданнях використовуються переважно найпростіші багатогранники.
3. Завдання представлені переважно без числових даних, щоб створити можливість їх багатоваріантного використання.

Щоб розв'язати задачу побудови перерізу багатогранника учень повинен знати:

• що означає побудувати переріз багатогранника площиною;
• як можуть розташовуватися щодо один одного багатогранник та площина;
• як задається площина;
• коли завдання на побудову перерізу багатогранника площиною вважається вирішеним.

Оскільки площина визначається:

• трьома точками;
• прямою та точкою;
• двома паралельними прямими;
• двома прямими, що перетинаються,

будова площини перерізу проходить в залежності від завдання цієї площини. Тому всі способи побудови перерізів багатогранників можна поділити на методи.

Існує три основні методипобудови перерізів багатогранників:

1. Спосіб слідів.
2. Метод допоміжних перерізів.
3. Комбінований метод.

Перші два методи є різновидами Аксіоматичного методупобудови перерізів.

Можна також виділити такі методи побудови перерізів багатогранників:

• побудова перерізу багатогранника площиною, що проходить через задану точку паралельно заданій площині;
• побудова перерізу, що проходить через задану пряму паралельно до іншої заданої прямої;
• побудова перерізу, що проходить через задану точку паралельно двом заданим прямим, що схрещується;
• побудова перерізу багатогранника площиною, що проходить через задану пряму перпендикулярно заданій площині;
• побудова перерізу багатогранника площиною, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданої прямої.

У федеральний список підручників з геометрії для 10-11 класів входять підручники авторів:

• Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б. та ін (Геометрія, 10-11);
• Погорєлова А.В. (Геометрія, 7-11);
• Александрова А.Д., Вернера А.Л., Рижик В.І. (Геометрія, 10-11);
• Смирновий І.М. (Геометрія, 10-11);
• Шаригіна І.Ф. (Геометрія, 10–11).

Розглянемо докладніше підручники Л.С, Атанасяна та Погорєлова А.В.

У підручнику Л.С. Атанасяна на тему "Побудова перерізів багатогранників" виділено дві години. У 10 класі у темі “Паралельність прямих і площин” після вивчення тетраедра і паралелепіпеда відводиться одну годину на виклад параграфа “Завдання побудувати перерізів”. Розглядаються перерізи тетраедра та паралелепіпеда. І тема "Паралельність прямих і площин" завершується вирішенням завдань на одному або двох годинах (всього завдань на побудову перерізів у підручнику вісім).

У підручнику Погорєлова О.В. на побудову перерізів відводиться близько трьох годин у розділі “Многогранники”: один – вивчення теми “Зображення призми і побудова її перерізів”, другий – вивчення теми “Побудова піраміди та її плоских перерізів” і третій – вирішення завдань. У списку завдань, наведених після теми, завдань на переріз налічується близько десяти.

Ми пропонуємо систему уроків на тему “Побудова перерізів багатогранників” для підручника Погорєлова А.В.

Матеріал пропонується розташувати у тому послідовності, як і може застосовуватися на навчання учнів. З викладу теми “Многогранники” пропонується виключити такі параграфи: “Побудова перерізів призми” та “Побудова перерізів піраміди” для того, щоб систематизувати цей матеріал наприкінці цієї теми “Многогранники”. Класифікувати його за тематикою завдань із приблизним дотриманням принципу “від простого до складного” можна умовно наступним чином:

1. Визначення перерізу багатогранників.
2. Побудова перерізів призми, паралелепіпеда, піраміди методом слідів. (Як правило в шкільному курсі стереометрії використовуються завдання на побудову перерізів багатогранників, які вирішуються основними методами. Інші методи, у зв'язку з їх більш високим рівнемскладнощі, вчитель може залишити для розгляду на факультативних заняттях чи самостійне вивчення. У завдання на побудову основними методами потрібно побудувати площину перерізу, що проходить через три точки).
3. Знаходження площі перерізів у багатогранниках (без використання теореми про площу ортогональної проекції багатокутника).
4. Знаходження площі перерізів у багатогранниках (із застосуванням теореми про площу ортогональної проекції багатокутника).

СТЕРЕОМЕТРИЧНІ ЗАВДАННЯ НА ПОБУДУВАННЯ ПЕРЕКЛАВ МНОГОГРАНИКІВ І МЕТОДИКА ЇХ ВИКОРИСТАННЯ НА УРОКАХ У 10-11 КЛАСАХ.

(Система уроків та факультативних занять на тему “Побудова перерізів багатогранників”)

УРОК 1.

Тема уроку: "Побудова перерізів багатогранників".

Мета уроку: ознайомлення з методами побудов перерізів багатогранників.

Етапи уроку:

1. Актуалізація опорних знань.
2. Постановка задачі.
3. Вивчення нового матеріалу:

А) Визначення перерізу.

Б) Методи побудов перерізів:

а) метод слідів;

б) метод допоміжних перерізів;

в) комбінований метод.

1. Закріплення матеріалу.

Приклади побудов перерізів методом слідів.

1. Підбиття підсумків уроку.

Хід уроку.

1. Актуалізація опорних знань.

Згадаймо:
- перетин прямий з площиною;
- перетин площин;
- властивості паралельних площин.

2. Постановка задачі.

Запитання до класу:
- Що означає побудувати перетин багатогранника площиною?
- Як можуть розташовуватися щодо один одного багатогранник та площина?
- Як задається площина?
- Коли завдання на побудову перерізу багатогранника площиною вважається вирішеним?

3. Вивчення нового матеріалу.

А) Отже, завдання полягає у побудові перетину двох фігур: багатогранника та площини (рис.1). Це може бути: порожня фігура (а), точка (б), відрізок (в), багатокутник (г). Якщо перетин багатогранника і площини є багатокутником, то цей багатокутник називається перетином багатогранника площиною.

Розглядатимемо лише випадок, коли площина перетинає багатогранник за його начинкою. При цьому перетином даної площини з кожною гранню багатогранника буде певний відрізок. Таким чином, завдання вважається вирішеним, якщо знайдено всі відрізки, якими площина перетинає грані багатогранника.

Дослідіть перерізи куба (мал.2) і дайте відповідь на наступні питання:

Які багатокутники виходять у перерізі куба площиною? (Важлива кількість сторін багатокутника);

[ Можливі відповіді: трикутник, чотирикутник, п'ятикутник, шестикутник.]

Чи може у перерізі куба площиною вийти семикутник? А восьмикутник тощо? Чому?

Давайте розглянемо призму та її можливі перерізи площиною (на моделі). Які багатокутники виходять?

Який можна зробити висновок? Чому дорівнює найбільша кількість сторін багатокутника, одержаного перетином багатогранника з площиною?

[ Найбільша кількістьсторін багатокутника, отриманого в перерізі багатогранника площиною, дорівнює числу граней багатогранника.]

Б) а) Метод слідівполягає у побудові слідів січної площини на площину кожної грані багатогранника. Побудова перерізу багатогранника методом слідів зазвичай починають із побудови про основного сліду січної площині, тобто. сліду січної площини на площині основи багатогранника.

б) Метод допоміжних перерізівпобудови перерізів багатогранників є достатньо універсальною. У тих випадках, коли потрібний слід (або сліди) січній площині виявляється за межами креслення, цей метод має певні переваги. Разом про те слід пам'ятати, що побудови, виконувані під час використання цього, найчастіше виходять “скученими”. Проте у деяких випадках метод допоміжних перерізів виявляється найбільш раціональним.

Метод слідів та метод допоміжних перерізів є різновидами аксіоматичного методупобудови перерізів багатогранників площиною.

в) Суть комбінованого методупобудови перерізів багатогранників полягає у застосуванні теорем про паралельність прямих та площин у просторі у поєднанні з аксіоматичним методом.

А тепер на прикладі розв'язання задач розглянемо метод слідів.

4. Закріплення матеріалу.

Завдання 1.

Побудувати переріз призми ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 площиною, яка проходить через точки P, Q, R (точки вказані на кресленні (рис.3)).

Рішення.

Рис. 3

1. Побудуємо слід січної площини на площину нижньої основипризми. Розглянемо грань АА 1 У 1 У. У цій грані лежать точки перерізу P і Q. Проведемо пряму PQ.
2. Продовжимо пряму PQ, що належить перерізу, до перетину з прямою АВ. Отримаємо точку S 1 , що належить сліду.
3. Аналогічно отримуємо точку S 2 перетином прямих QR та BC.
4. Пряма S 1 S 2 - слід січної площини на площину нижньої основи призми.
5. Пряма S 1 S 2 перетинає сторону AD у точці U, сторону CD у точці Т. З'єднаємо точки P та U, оскільки вони лежать в одній площині грані АА 1 D 1 D. Аналогічно отримуємо TU та RT.
6. PQRTU - шуканий переріз.

Побудувати перетин паралелепіпеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 площиною, що проходить через точки M, N, P (точки вказані на кресленні (рис.4)).

Рішення.

1. Точки N і P лежать у площині перерізу та у площині нижньої основи паралелепіпеда. Побудуємо пряму, що одягне через ці точки. Ця пряма є слідом січної площини на площину основи паралелепіпеда.
2. Продовжимо пряму, де лежить сторона AB паралелепіпеда. Прямі AB і NP перетинаються у певній точці S. Ця точка належить площині перерізу.
3. Так як точка M також належить площині перерізу і перетинає пряму АА 1 деякій точці Х.
4. Крапки X і N лежать в одній площині грані АА 1 D 1 D, з'єднаємо їх та отримаємо пряму XN.
5. Так як площини граней паралелепіпеда паралельні, то через точку M можна провести пряму в грані A 1 B 1 C 1 D 1 паралельну прямий NP. Ця пряма перетне бік У 1 З 1 у точці Y.
6. Аналогічно проводимо пряму YZ, паралельно до прямої XN. З'єднуємо Z з P та отримуємо шуканий перетин – MYZPNX.

Завдання 3 (для самостійного вирішення).

Побудувати перетин тетраедра DACB площиною, що проходить через точки M, N, P (точки вказані на кресленні (рис.5)).

5. Підбиття підсумків уроку.

Дайте відповідь на запитання: чи є зафарбовані фігури перерізами зображених багатогранників площиною PQR? І виконайте правильну побудову (рис. 6).

Варіант 1.

Варіант 2.

Тема уроку: ЗНАХОДЖЕННЯ ПЛОЩІ ПЕРЕЧЕННЯ.

Мета уроку: познайомити із способами знаходження площі перерізу багатогранника.

Етапи уроку:

1. Актуалізація опорних знань.

Згадати теорему про площу ортогональної проекції багатокутника.

2. Розв'язання задач на знаходження площі перерізу:

Без використання теореми про площу ортогональної проекції багатокутника;

З використанням теореми про площу ортогональної проекції багатокутника.

3. Підбиття підсумків уроку.

Хід уроку.

1. Актуалізація опорних знань.

Згадаймо теорему про площу ортогональної проекції багатокутника:площа ортогональної проекції багатокутника на площину дорівнює добутку його площі на косинус кута між площиною багатокутника та площиною проекції.

2. Розв'язання задач.

ABCD – правильна трикутна піраміда зі стороною основи AB рівною ата висотою DH рівною h. Побудуйте переріз піраміди площиною, що проходить через точки D, C і М, де М – середина сторони АВ, та знайдіть його площу (рис.7).

Перерізом піраміди є трикутник MCD. Знайдемо його площу.

S = 1/2 · DH · CM = 1/2 · =

Знайти площу перерізу куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 з ребром аплощиною, що проходить через вершину D і точки Е та F на ребрах А 1 D 1 і C 1 D 1 відповідно, якщо A 1 E = k · D 1 E та C 1 F = k · D 1 F.

Побудова перерізу:

1. Оскільки точки Е і F належать площині перерізу та площині грані A 1 B 1 C 1 D 1 , а дві площини перетинаються по прямій, то пряма EF буде слідом січної площини на площину грані A 1 B 1 C 1 D 1 (рис.8 ).
2. Аналогічно виходять прямі ED та FD.
3. EDF – шуканий переріз.

Завдання 3 (для самостійного вирішення).

Побудувати перетин куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 зі стороною аплощиною, що проходить через точки B, M та N, де Ь – середина ребра АА 1 , а N – середина ребра СС 1 .

Перетин будуємо шляхом слідів.

Площа перерізу знаходимо за допомогою теореми про площу ортогональної проекції багатокутника. Відповідь: S = 1/2 · a 2.