Розберемо, як збудувати перетин піраміди, на конкретних прикладах. Оскільки в піраміді немає паралельних площин, побудова лінії перетину (сліду) січної площини з площиною грані найчастіше передбачає проведення прямої через дві точки, що лежать у площині цієї грані.

У найпростіших завданнях потрібно побудувати переріз піраміди площиною, що проходить через ці точки, що вже лежать в одній грані.

приклад.

Побудувати переріз площиною (MNP)

Трикутник MNP - переріз піраміди

Точки M та N лежать в одній площині ABS, отже, через них можемо провести пряму. Слід цієї прямої - відрізок MN. Він видимий, отже, з'єднуємо M та N суцільною лінією.

Точки M та P лежать в одній площині ACS, тому через них проведемо пряму. Слід – відрізок MP. Ми не бачимо, тому відрізок MP проводимо штрихом. Аналогічно будуємо слід PN.

Трикутник MNP - шуканий переріз.

Якщо точка, якою потрібно провести перетин, лежить не так на ребре, але в грані, вона буде кінцем сліду-отрезка.

приклад. Побудувати переріз піраміди площиною, що проходить через точки B, M та N, де точки M та N належать, відповідно, граням ABS та BCS.

Тут точки B та M лежать в одній грані ABS, тому можемо через них провести пряму.

Аналогічно проводимо пряму через точки B та P. Отримали, відповідно, сліди BK та BL.

Точки K та L лежать в одній грані ACS, тому через них можемо провести пряму. Її слід – відрізок KL.

Трикутник BKL - шуканий переріз.

Однак не завжди через дані за умови точки вдається провести пряму. У цьому випадку потрібно знайти точку, що лежить на прямій перетину площин, що містять грані.

приклад. Побудувати переріз піраміди площиною, яка проходить через точки M, N, P.

Точки M та N лежать в одній площині ABS, тому через них можна провести пряму. Отримуємо слід MN. Аналогічно – NP. Обидва сліди видимі, тому з'єднуємо їх суцільною лінією.

Точки M та P лежать у різних площинах. Тому з'єднати їх прямо не можемо.

Продовжимо пряму NP.

Вона лежить у площині грані BCS. NP перетинається тільки з прямими, що лежать у цій самій площині. Таких прямих у нас три: BS, CS та BC. З прямими BS і CS вже є точки перетину - це якраз N і P. Отже, шукаємо перетин NP з прямою BC.

Точку перетину (назвемо її H), отримуємо, продовжуючи прямі NP та BC до перетину.

Ця точка H належить як площині (BCS), оскільки лежить прямий NP, і площини (ABC), оскільки лежить прямий BC.

Таким чином, ми отримали ще одну точку січної площини, що лежить у площині (ABC).

Через H і точку M, що лежить у цій площині, можемо провести пряму.

Отримаємо слід MT.

T — точка перетину прямих MH та AC.

Так як T належить прямий AC, через неї і точку P можемо провести пряму, оскільки вони обидві лежать в одній площині (ACS).

4-кутник MNPT - шуканий переріз піраміди площиною, що проходить через дані точки M, N, P.

Ми працювали з прямою NP, продовжуючи її для відшукання точки перетину січної площини з площиною (ABC). Якщо працювати з прямою MN, приходимо до того ж результату.

Розмірковуємо так: пряма MN лежить у площині (ABS), тому може перетинатися тільки з прямими, що лежать у цій же площині. У нас таких прямих три: AB, BS та AS. Але з прямими AB та BS вже є точки перетину: M та N.

Отже, продовжуючи MN, шукаємо точку перетину її з прямою AS. Назвемо цю точку R.

Точка R лежить на прямий AS, отже вона лежить і в площині (ACS), якій належить пряма AS.

Оскільки точка P лежить у площині (ACS), через R та P можемо провести пряму. Отримуємо слід PT.

Точка T лежить у площині (ABC), тому через неї та точку M можемо провести пряму.

Таким чином, отримали все той же переріз MNPT.

Розглянемо ще один приклад такого роду.

Побудувати переріз піраміди площиною, яка проходить через точки M, N, P.

Через точки M та N, що лежать в одній площині (BCS), проводимо пряму. Отримуємо слід MN (видимий).

Через точки N та P, що лежать в одній площині (ACS), проводимо пряму. Отримуємо слід PN (невидимий).

Через точки M та P пряму провести не можемо.

1) Пряма MN лежить у площині (BCS), де є ще три прямі: BC, SC та SB. З прямими SB і SC є точки перетину: M і N. Тому шукаємо точку перетину MN з BC. Продовживши ці прямі, одержуємо точку L.

Точка L належить прямий BC, отже, лежить у площині (ABC). Тому через L та P, яка також лежить у площині (ABC) можемо провести пряму. Її слід – PF.

F лежить на прямій AB, отже, й у площині (ABS). Тому через F та точку M, яка також лежить у площині (ABS), проводимо пряму. Її слід - FM. Чотирьохкутник MNPF - шуканий переріз.

2) Інший шлях – продовжити пряму PN. Вона лежить у площині (ACS) і перетинається з прямими AC і CS, що у цій площині, у точках P і N.

Отже, шукаємо точку перетину PN із третьою прямою цією площиною — з AS. Продовжуємо AS та PN, на перетині отримуємо точку E. Оскільки точка E лежить на прямій AS, що належить площині (ABS), то через E та точку M, яка також лежить у (ABS), можемо провести пряму. Її слід - FM. Точки P і F лежать у водній площині (ABC), проводимо через них пряму і отримуємо слід PF (невидимий).

Правильна шестикутна піраміда, перетнута фронтально-проєкувальною площиною Р,показано на рис. 180.

Як і в попередніх прикладах, фронтальна проекція перерізу збігається з фронтальним слі-

хата P vплощині. Горизонтальну та профільну проекції фігури перерізу будують за точками, які є точками перетину площини. Рз ребрами піраміди.

Дійсний вид фігури перерізу у цьому прикладі визначається способом поєднання.

Розгорнення бічної поверхні усіченої піраміди з фігурою перерізу та фігурою основи наведено на рис. 180, б.

Спочатку будують розгортку невсіченої піраміди, всі грані якої, що мають форму трикутника, однакові. На площині намічають крапку s l(вершину піраміди) і з неї, як із центру, проводять дугу кола радіусом R,рівним дійсної довжини бічного ребра піраміди. Справжню довжину ребра можна визначити за профільною проекцією піраміди, наприклад відрізки s"e"або s"b",так як ці ребра паралельні площині Wі зображуються у ньому справжньої довжиною. Далі по дузі кола від будь-якої точки, наприклад а 1 відкладають шість однакових відрізків, рівних дійсної довжині сторони шестикутника - підстави піраміди. Дійсну довжину сторони основи піраміди отримуємо на горизонтальній проекції (відрізок ab).Крапки a 1 ...f 1з'єднують прямими з вершиною s 1 . Потім від вершини a 1цих прямих відкладають дійсні довжини відрізків ребер до січної площини.

На профільній проекції зрізаної піраміди є дійсні довжини тільки двох від-

різке - s"5і s"2.Дійсні довжини інших відрізків визначають способом обертання їх навколо осі, перпендикулярної до площини. Ні проходить через вершину s. Наприклад, повернувши відрізок s"6"біля осі до положення, паралельного площині W,отримаємо на цій площині його справжню довжину. Для цього достатньо через точку 6" провести горизонтальну пряму до перетину з дійсною довжиною ребра SEабо SB.Відрізок s"6 0 ″(Див. рис. 180).

Отримані точки 1 1 2 1 , 3 1 , і т.д. з'єднують прямими і пристосовують фігури основи та перерізу, користуючись методом тріангуляції. Лінії згину на розгортці проводять штрихпунктирною лінією з двома точками.

Побудова ізометричної проекції зрізаної піраміди починають із побудови ізометричної проекції основи піраміди за розмірами, взятими з горизонтальної проекції комплексного креслення. Потім на площині основи координат точок 1...6 будують горизонтальну проекцію перерізу (див. тонкі сині лінії на рис. 180, а, в).З вершин отриманого шестикутника проводять вертикальні прямі, на яких відкладають координати, взяті з фронтальної або профільної проекцій призми, наприклад, відрізки До ( , До 2 , До 3і т.д. Отримані точки 1...6 з'єднуємо, отримуємо фігуру перерізу. З'єднавши точки 1...6 з вершинами шестикутника, основи піраміди, отримаємо ізометричну проекцію зрізаної піраміди. Невидимі ребра зображують штриховими лініями.

Приклад перерізу трикутної не правильної пірамідифронтально-проецірующій площиною показаний на рис. 181.

Усі ребра на трьох площинах проекцій зображені зі спотворенням. Горизонтальна проекція

основи є його дійсний вигляд, так як основа піраміди розташована на площині Н.

Справжній вигляд 1 0 , 2 0 , 3 0 фігури перерізу отримано способом зміни площин проекцій. У цьому прикладі горизонтальна площина проекцій Нзамінена новою площиною, яка паралельна площині Р;нова вісь х 1поєднана зі слідом Р V(Рис. 181, а).

Розгортку поверхні піраміди будують в такий спосіб. Спосібом обертання знаходять дійсну довжину ребер піраміди та їх відрізків від основи до січної площини Р.

Наприклад, дійсні довжини ребра SCйого відрізка СЗрівні відповідно до довжини фронтальної проекції s"c"ребра та відрізка c 1 ′ 3 1 після повороту.

Потім будують розгортку трикутної неправильної піраміди (рис. 181 в). Для цього з довільної точки Sпроводять пряму, на кіт, відкладають дійсну довжину ребра SA.З точки sроблять засічку радіусом R 1 ,рівним дійсної довжини ребра SB,а з точки засічку радіусом R 2 ,рівним боці основи піраміди АВ,внаслідок чого отримують точку b 1та грань s 1 b 1 a 1 .Потім із точок sі b 1як із центрів, роблять засічки радіусами, рівними дійсної довжині ребра SCта стороні НДотримують грань s 1 b 1 з 1піраміди. Також будується грань s 1 з 1 a 1.

Від точок а 1 b 1і з 1відкладають дійсні довжини відрізків ребер, які беруть на фронтальній проекції (відрізки а 1 '1 1 ', b 1 '2 1 ',з 1 '3 1 '). Використовуючи метод тріангуляції, пристосовують основу та фігуру перерізу.

Для побудови ізометричної проекції усіченої піраміди (рис. 181 б) проводять ізометричну вісь х.За координатами ті пбудують основу піраміди ABC.Сторона заснування АСпаралельна осі хабо збігається з віссю х.Як і в попередньому прикладі, будують ізометричну проекцію горизонтальної проекції фігури перерізу 1 2 2 2 3 2 (використовуючи точки I, III та IV). З цих точок проводять вертикальні прямі, на яких відкладають відрізки, взяті з фронтальної або профільної проекції призми До 1, До 2і До 3 .Отримані точки 1 , 2, 3 з'єднують прямими між собою та з вершинами основи.

Вступ

Коли ми почали вивчати стереометричні фігури, торкнулися теми «Піраміда». Нам сподобалася ця тема, тому що піраміда часто-густо вживається в архітектурі. І оскільки наша майбутня професіяархітектора, надихнувшись цією фігурою, ми думаємо, що вона зможе підштовхнути нас до чудових проектів.

Міцність архітектурних споруд, найважливіша їх якість. Зв'язуючи міцність, по-перше, з тими матеріалами, з яких вони створені, а, по-друге, з особливостями конструктивних рішень, виявляється, міцність споруди пов'язана безпосередньо з тією геометричною формою, яка є для нього базовою.

Іншими словами, йдеться про ту геометричну фігуру, яка може розглядатися як модель відповідної архітектурної форми. Виявляється, що геометрична форма також визначає міцність архітектурної споруди.

Найміцнішою архітектурною спорудою з давніх-давен вважаються єгипетські піраміди. Як відомо, вони мають форму правильних чотирикутних пірамід.

Саме ця геометрична форма забезпечує найбільшу стійкість за рахунок великої площі основи. З іншого боку, форма піраміди забезпечує зменшення маси зі збільшенням висоти над землею. Саме ці дві властивості роблять піраміду стійкою, а отже, і міцною в умовах земного тяжіння.

Мета проекту: дізнатися щось нове про піраміди, поглибити знання та знайти практичне застосування

Для досягнення поставленої мети потрібно вирішити такі завдання:

· Дізнатися історичні відомості про піраміду

· Розглянути піраміду, як геометричну фігуру

· Знайти застосування в житті та архітектурі

· Знайти подібність та відмінність пірамід, розташованих у різних частинахсвітла

Теоретична частина

Історичні відомості

Початок геометрії піраміди було покладено в Стародавньому Єгипті та Вавилоні, проте активний розвиток отримав у Стародавню Грецію. Першим, хто встановив, чому дорівнює обсяг піраміди, був Демокріт, а довів Євдокс Кнідський. Давньогрецький математик Евклід систематизував знання про піраміду в XII томі своїх «Почав», а також вивів перше визначення піраміди: тілесна фігура, обмежена площинами, які сходяться в одній точці.

Усипальниці єгипетських фараонів. Найбільші з них - піраміди Хеопса, Хефрена і Мікеріна в Ель-Гізі в давнину вважалися одним із Семи чудес світу. Зведення піраміди, в якому вже греки і римляни бачили пам'ятник небаченої гордині царів і жорстокості, що прирік весь народ Єгипту на безглузде будівництво, було найважливішим культовим діянням і мало висловлювати, мабуть, містичне тотожність країни та її правителя. Населення країни працювало на будівництві гробниці у вільну від сільськогосподарських робіт частину року. Ряд текстів свідчить про ту увагу і турботу, які самі царі (щоправда, пізнішого часу) приділяли зведенню своєї гробниці та її будівельникам. Відомо також про особливі культові почесті, які виявлялися самій піраміді.

Основні поняття

Пірамідоюназивається багатогранник, основа якого – багатокутник, інші грані – трикутники, мають загальну вершину.

Апофема- Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини;

Бічні грані- трикутники, що сходяться у вершині;

Бічні ребра- загальні сторони бічних граней;

Вершина піраміди- точка, що з'єднує бічні ребра і не лежить у площині основи;

Висота- відрізок перпендикуляра, проведеного через вершину піраміди до площини її основи (кінцями цього відрізка є вершина піраміди та основа перпендикуляра);

Діагональний переріз піраміди- переріз піраміди, що проходить через вершину та діагональ основи;

підстава- багатокутник, якому належить вершина піраміди.

Основні властивості правильної піраміди

Бічні ребра, бічні грані та апофеми відповідно рівні.

Двогранні кути при основі рівні.

Двогранні кути при бічних ребрах рівні.

Кожна точка висоти рівновіддалена від усіх вершин основи.

Кожна точка висоти рівновіддалена від усіх бічних граней.

Основні формули піраміди

Площа бічний та повної поверхніпіраміди.

Площею бічної поверхні піраміди (повної та усіченої) називається сума площ усіх її бічних граней, площею повної поверхні – сума площ усіх її граней.

Теорема: Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи апофему піраміди.

p- периметр основи;

h- Апофема.

Площа бічної та повної поверхонь усіченої піраміди.

p 1, p 2 - периметри основ;

h- Апофема.

Р- площа повної поверхні правильної усіченої піраміди;

S бік- площа бічної поверхні правильної усіченої піраміди;

S 1 + S 2- площі основи

Об'єм піраміди

форм вузла об'єму використовується для пірамід будь-якого виду.

H- Висота піраміди.

Кути піраміди

Кути, які утворені бічною гранню та основою піраміди, називаються двогранними кутами при основі піраміди.

Двогранний кут утворюється двома перпендикулярами.

Щоб визначити цей кут, часто потрібно використовувати теорему про три перпендикуляри.

Кути, які утворені бічним ребром та його проекцією на площину основи, називаються кутами між бічним ребром і площиною основи.

Кут, який утворений двома бічними гранями, називається двогранним кутом при бічному ребрі піраміди.

Кут, який утворений двома бічними ребрами однієї грані піраміди, називається кутом при вершині піраміди.

Перерізи піраміди

Поверхня піраміди – це поверхня багатогранника. Кожна її грань є площиною, тому переріз піраміди, заданої січною площиною - це ламана лінія, що складається з окремих прямих.

Діагональний переріз

Перетин піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не лежать на одній грані, називається діагональним перетиномпіраміди.

Паралельні перерізи

Теорема:

Якщо піраміда перетнута площиною, паралельною основі, то бічні ребра та висоти піраміди діляться цією площиною на пропорційні частини;

Перерізом цієї площини є багатокутник, подібний до основи;

Площі перерізу та основи відносяться один до одного як квадрати їх відстаней від вершини.

Види піраміди

Правильна піраміда– піраміда, основою якої є правильний багатокутник, і вершина піраміди проектується в центр основи.

У правильної піраміди:

1. бічні ребра рівні

2. бічні грані рівні

3. апофеми рівні

4. двогранні кути при основі рівні

5. двогранні кути при бічних ребрах рівні

6. кожна точка висоти рівновіддалена від усіх вершин основи

7. кожна точка висоти рівновіддалена від усіх бічних граней

Усічена піраміда– частина піраміди, укладена між її основою та січною площиною, паралельною основі.

Підстава та відповідні переріз усіченої піраміди називаються основами усіченої піраміди.

Перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї основи на площину іншої, називається висотою усіченої піраміди.

Завдання

№1. У правильній чотирикутній піраміді точка О – центр основи, SO=8 см, BD=30 см. Знайдіть бічне ребро SA.

Розв'язання задач

№1. У правильній піраміді всі грані та ребра рівні.

Розглянемо OSB: OSB-прямокутний прямокутник, т.к.

SB 2 =SO 2 +OB 2

SB 2 = 64 +225 = 289

Піраміда в архітектурі

Піраміда - монументальна споруда у формі звичайної правильної геометричної піраміди, В якій бічні сторони сходяться в одній точці. За функціональним призначенням піраміди в давнину були місцем поховання або поклоніння культу. Основа піраміди може бути трикутною, чотирикутною або у формі багатокутника з довільним числом вершин, але найпоширенішою версією є чотирикутна основа.

Відомо чимала кількість пірамід, побудованих різними культурами Стародавнього світув основному як храми або монументи. До великих пірамід відносяться єгипетські піраміди.

По всій землі можна побачити архітектурні споруди у вигляді пірамід. Будівлі-піраміди нагадують про давні часи і дуже гарно виглядають.

Єгипетські пірамідинайбільші архітектурні пам'ятники Стародавнього Єгипту, Серед яких одне із «Семи чудес світу» піраміда Хеопса. Від підніжжя до вершини вона досягає 137, 3 м, а до того, як втратила верхівку, висота її була 146, 7 м.

Будівля радіостанції в столиці Словаччини, що нагадує перевернуту піраміду, була побудована в 1983 р. Крім офісів та службових приміщень, всередині обсягу знаходиться досить місткий концертна залаякий має один з найбільших органів у Словаччині.

Лувр, який "мовчить незмінно і велично, як піраміда", протягом століть переніс чимало змін перш, ніж перетворитися на найбільший музейсвіту. Він народився як фортеця, споруджена Пилипом Августом у 1190 р., яка незабаром перетворилася на королівську резиденцію. У 1793 р. палац стає музеєм. Колекції збагачуються завдяки заповітам чи покупкам.

Вступ. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Поняття багатогранника. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Піраміда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Властивості піраміди. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Усічена піраміда. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . 8

2.3. Побудова піраміди та її плоских перерізів. . . .9

3. Призма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1. Зображення призми та побудова її

перерізів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4. Паралелепіпед. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1 Деякі властивості паралелепіпеда. . . . . . . 16

5. Теорема Ейлера про багатогранники. . . . . . . . . . . . . . . 18

6. Подібність багатогранників. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7. Правильні багатогранники. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.1. Зведена таблиця багатогранників. . . . . . . . . . . 22

Висновок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Список літератури. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Вступ

Якось Блез Паскаль сказав: «Предмет математика настільки серйозний, що корисно не пропустити нагоди зробити його трохи цікавішим». З цієї позиції спробуємо розглянути стереометрію, що є одним із розділів геометрії. Стереометрія вивчає властивості фігур у просторі. Наприклад, краплі рідини в невагомості набувають форми. геометричного тіла, називається кулею. Таку ж форму має і маленька тенісна кулька, і більші предмети - наша планета та багато інших космічних об'єктів. А консервна банка – це циліндр.

Стереометрія навколо нас: у побуті та в професійної діяльності. Ми, звичайно, не можемо «побачити» науку, але можемо щодня бачити об'ємні тіла в просторі, які вона вивчає. Хіба не цікаво розглядати себе у дзеркалі з усіх боків? Але ж людська фігура- Це теж об'ємний предмет.

Для вирішення багатьох геометричних завдань, пов'язаних з тетраедром і паралелепіпедом, необхідно вміти будувати на малюнку їх перерізи різними площинами. Назвемо січною площиною будь-яку площину, по обидва боки якої є точки даної фігури. Січна площина перетинає грані фігури по відрізках. Багатокутник, сторонами якого є ці відрізки, називається перетином фігури. Так як тетраедр має чотири грані, його перерізами можуть бути тільки трикутники і чотирикутники. Паралелепіпед має шість граней. Його перерізами можуть бути трикутники, чотирикутники, п'ятикутники та шестикутники.

1. Поняття багатогранника

Багатогранник– геометричне просторове тіло, обмежене з усіх боків кінцевим числом плоских багатокутників. Гранями багатогранники називаються багатокутники, що обмежують багатогранник (грані – ABCD, MEFN, ABEM, BEFC, CDNF, ADMN). Ребрами Багатогранники називаються загальні сторони суміжних граней (ребра - AB, BC, CD, AD, BE, CF, AM, DN, ME, EF, FN, MN). Вершинами багатогранника називаються вершини багатогранних кутів, утворених його гранями, що сходяться в одній точці . Діагоналлю багатогранника називається відрізок прямої, що з'єднує дві вершини, що не лежать в одній грані (BN). Діагональною площиною багатогранника називається площина, що проходить через три вершини багатогранника, що не лежать в одній грані (площина BEN).

Багатогранник називається опуклим якщо він розташований по одну сторону площини кожного багатокутника його поверхні. Гранями опуклого багатогранника можуть бути лише опуклі багатокутники (приклад опуклого багатогранника може бути куб, рис. 1).

Якщо ж межі багатокутника самоперетинаються, то такий багатогранник називається невипуклим (Рис. 2).

Перерізом багатогранника площиною називається частина цієї площини, обмежена лінієюперетину поверхні багатогранника з цією площиною.

.

2. Піраміда

Пірамідоюназивається багатогранник, одна грань якого - довільний багатокутник, інші грані - трикутники, мають загальну вершину.

Підставою піраміди називається багатогранник, отриманий у січній площині (ABCDE). Боковими гранями піраміди називаються трикутники ASB, BSC, … із загальною вершиною S, яка називається вершиною піраміди. Боковими ребрами піраміди називаються ребра, якими перетинаються бічні грані. Висотою піраміди називається перпендикуляр, опущений із вершин піраміди на площину її основи. Апофема піраміди називається висота бічної грані, опущена з вершини піраміди.

Піраміда називається правильною , якщо її основа - правильний багатокутник, і вершина піраміди проектується до центру цього багатокутника.

Доведемо, що всі бічні ребра правильної піраміди рівні, а бічні грані є рівними рівнобедреними трикутниками

Розглянемо правильну піраміду PA 1 A 2 …A n . Спочатку доведемо, що всі бічні ребра цієї піраміди рівні. Будь-яке бічне ребро є гіпотенузою. прямокутного трикутникаодним катетом якого служить висота PO піраміди, а іншим – радіус описаної біля основи кола (наприклад, бічне ребро PA 1 – гіпотенуза трикутника OPA 1 , в якому OP=h, OA 1 =R). По теоремі Піфагора будь-яке бічне ребро дорівнює √(h 2 +R 2), тому PA 1 = PA 2 = ... = PA n .

Ми довели, що бічні ребра правильної піраміди PA 1 A 2 …A n рівні один одному, тому бічні грані – рівнобедрені трикутники. Основи цих трикутників також дорівнюють один одному, оскільки A 1 A 2 …A n – правильний багатокутник. Отже, бічні грані рівні за третьою ознакою рівності трикутників, що потрібно довести.

Перетин піраміди площиною, паралельної площині основи, називають поперечним перерізом піраміди .

Властивості піраміди

Властивості поперечних перерізів піраміди.

1. Якщо перетнути піраміду площиною, паралельною до основи, то:

· бічні ребра та висота піраміди розділяться цією площиною на пропорційні відрізки;

· У перетині вийде багатокутник, подібний до багатокутника, що лежить в основі;

· площі перерізу та основи відноситимуться один до одного як квадрати їх відстаней від вершини піраміди:

S 1:S 2 =X 1 2:X 2 2

2. Якщо дві піраміди з рівними висотами перетнути площинами, паралельними основам, на однаковій відстані від вершини, то площі перерізів будуть пропорційні площам основ.

Площею бічної поверхні (або просто бічною поверхнею) піраміди називається сума площ її бічних граней.

Площа повної поверхні(або просто повна поверхня) піраміди - сума площі її бічної поверхні та площі основи.

Властивості висоти піраміди

1. Якщо бічна грань піраміди перпендикулярна до площини основи, то висота піраміди проходить у площині цієї грані.

2. Якщо два суміжні бічні ребра піраміди рівні, то основа висоти піраміди знаходиться на перпендикулярі, проведеному через середину тієї сторони основи, з кінців якої виходять ці бічні ребра.

3. Якщо дві суміжні бічні грані піраміди однаково нахилені до площини основи, то основа висоти піраміди лежить на бісектрисі кута, утвореного тими сторонами основи, через які проходять ці бічні грані.

4. Якщо бічне ребро піраміди утворює рівні кути з двома сторонами основи, що примикають до нього, то основа висоти піраміди лежить на бісектрисі кута, утвореного цими сторонами основи.

5. Якщо бічне ребро піраміди перпендикулярно стороні основи, що перетинається з ним, то основа висоти піраміди знаходиться на перпендикулярі, відновленому (в площині основи піраміди) до цієї сторони з точки її перетину з цим бічним ребром.

ПРИМІТКА: якщо піраміда має якісь - або дві з цих особливостей, то можна однозначно вказати точку, що є основою висоти піраміди.

На малюнку зображено фрагмент правильної n – вугільної піраміди SABCD…, де SH – висота піраміди; SK – апофема. Введемо такі позначення: кут альфа ( ά ) – кут між боковим ребром піраміди та площиною основи; бета (β) - кут між бічною гранню і площиною основи; кут ігорок (γ) – кут між суміжними бічними ребрами; кут фі (φ) – кут між суміжними бічними гранями.

Якщо правильної піраміді відомий одне із цих кутів, можна знайти інші три. Шість відносин наведено у таблиці:

Об'єм пірамідизнаходиться за формулою:

V=1/3S осн H,

де S осн - площа основи, H - висота.

Площа бічної поверхніправильної піраміди виражається так:

S бік =1/2Ph,

де P – периметр основи, h – висота бічної грані

2.2. Усічена піраміда.

Усіченою пірамідоюназивається частина піраміди, укладена між її основою і січною площиною, паралельною основи, наприклад піраміда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

Підставами усіченої піраміди називаються паралельні грані ABCD і A 1 B 1 C 1 D 1 (ABCD – нижня основа, а A 1 B 1 C 1 D 1 – верхня основа).

Висотаусіченої піраміди – відрізок прямий, перпендикулярний до основ і укладений між їх площинами.

Усічена піраміда правильна , якщо її основи - правильні багатокутники, а пряма, що з'єднує центри основ, перпендикулярна площині основ.

Апофемою усіченої піраміди називають висоту її бічної грані.

Бічною поверхнеюусіченої піраміди називається сума площ її бічних граней. Повна поверхня усіченої піраміди дорівнює сумі бічної поверхні та площ основ.

Усічена піраміда виходить з піраміди відсіканням від неї верхньої частини площиною, паралельною до основи. Підстави зрізаної піраміди - подібні багатокутники, бічні грані - трапеції.

Об `ємусіченої піраміди знаходиться за формулою:

V=1/3 H(S+ √ SS 1 +S 1),

де S та S1 – площі основ, а H – висота.

Площа бічної поверхніправильної усіченої піраміди виражається так:

S бік =1/2(P+P 1)h,

де P та P1 – периметри основ, h – висота бічної грані (або апофема правильної усіченої піраміди).

2.3. Побудова піраміди та її плоских перерізів

Відповідно до правил паралельного проектування зображення піраміди будується в такий спосіб. Спочатку будується основа. Це буде деякий плоский багатокутник. Потім відзначається вершина піраміди, яка з'єднується бічними ребрами з вершинами основи.

Перерізи піраміди площинами, що проходять через її вершину, є трикутниками (рис. а). Зокрема, також трикутниками є діагональні перерізи. Це перерізи площинами, що проходять через два не сусідні бічні ребра піраміди (рис. б).

Перетин піраміди площиною із заданим слідом g на площині основи будується так само, як і переріз призми.

Для побудови перерізу піраміди площиною досить побудувати перетин її бічних граней з січною площиною.

Якщо на грані, не паралельній сліду g, відома якась точка А, що належить перерізу, то спочатку будується перетин сліду g сіючої площини з площиною цієї грані - точка D на малюнку ( в). Точка D з'єднується із точкою А прямою. Тоді відрізок цієї прямої, що належить грані, є перетин цієї грані з січною площиною. Якщо точка А лежить на межі, паралельній сліду g, то січна площина перетинає цю грань по відрізку, паралельному прямій g. Переходячи до сусідньої бічної грані, будують її перетин з січою площиною і т. д. У результаті виходить необхідний переріз піраміди.

піраміда. Усічена піраміда

Пірамідоюназивається багатогранник, одна з граней якого багатокутник ( основа ), а всі інші грані – трикутники із загальною вершиною ( бічні грані ) (рис. 15). Піраміда називається правильною якщо її основою є правильний багатокутник і вершина піраміди проектується в центр основи (рис. 16). Трикутна піраміда, у якої всі ребра рівні, називається тетраедром .

Боковим ребромпіраміди називається сторона бічної грані, що не належить основи Висотою піраміди називається відстань від її вершини до площини основи. Усі бічні ребра правильної піраміди рівні між собою, всі бічні грані – рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з вершини, називається апофемою . Діагональним перетином називається переріз піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать одній грані.

Площею бічної поверхніпіраміди називається сума площ усіх бічних граней. Площею повної поверхні називається сума площ усіх бічних граней та підстави.

Теореми

1. Якщо в піраміді всі бічні ребра рівнонахилені до площини основи, то вершина піраміди проектується в центр кола описаного біля основи.

2. Якщо в піраміді всі бічні ребра мають рівні довжини, то вершина піраміди проектується в центр кола описаного біля основи.

3. Якщо в піраміді всі грані рівнонахилені до площини основи, то вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу.

Для обчислення обсягу довільної піраміди вірна формула:

де V- Об `єм;

S осн– площа основи;

H- Висота піраміди.

Для правильної піраміди вірні формули:

де p– периметр основи;

h а- Апофема;

H- Висота;

S повний

S бік

S осн– площа основи;

V- Об'єм правильної піраміди.

Усіченою пірамідоюназивається частина піраміди, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі піраміди (рис. 17). Правильною усіченою пірамідою називається частина правильної піраміди, укладена між основою та січною площиною, паралельною основі піраміди.

Підставизрізаної піраміди – подібні багатокутники. Бічні грані - Трапеції. Висотою усіченої піраміди називається відстань між її основами. Діагоналлю усіченої піраміди називається відрізок, що з'єднує її вершини, що не лежать в одній грані. Діагональним перетином називається переріз усіченої піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать одній грані.

Для усіченої піраміди справедливі формули:

(4)

де S 1 , S 2 – площі верхнього та нижньої основ;

S повний- Площа повної поверхні;

S бік- Площа бічної поверхні;

H- Висота;

V- Об'єм зрізаної піраміди.

Для правильної усіченої піраміди вірна формула:

де p 1 , p 2 – периметри основ;

h а- Апофема правильної усіченої піраміди.

приклад 1.У правильній трикутної пірамідидвогранний кут при підставі дорівнює 60 º. Знайти тангенс кута нахилу бокового ребра до площини основи.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 18).

Піраміда правильна, отже, в основі рівносторонній трикутникі всі бічні грані рівні рівнобедрені трикутники. Двогранний кут при основі – це кут нахилу бічної грані піраміди до площини основи. Лінійним кутом буде кут aміж двома перпендикулярами: і. Вершина піраміди проектується в центрі трикутника (центр описаного кола та вписаного кола в трикутник АВС). Кут нахилу бокового ребра (наприклад SB) – це кут між самим ребром та його проекцією на площину основи. Для ребра SBцим кутом буде кут SBD. Щоб знайти тангенс необхідно знати катети SOі OB. Нехай довжина відрізка BDдорівнює 3 а. Крапкою Провідрізок BDділиться на частини: і З знаходимо SO: З знаходимо:

Відповідь:

приклад 2.Знайти об'єм правильної усіченої чотирикутної піраміди, Якщо діагоналі її основ дорівнюють см і см, а висота 4 см.

Рішення.Для знаходження об'єму зрізаної піраміди скористаємося формулою (4). Щоб знайти площі основ необхідно знайти сторони квадратів-підстав, знаючи їх діагоналі. Сторони підстав рівні відповідно 2 см і 8 см. Значить площі підстав і Підставивши всі дані у формулу, обчислимо обсяг усіченої піраміди:

Відповідь: 112 см 3 .

приклад 3.Знайти площу бічної грані правильної трикутної усіченої піраміди, сторони основ якої дорівнюють 10 см і 4 см, а висота піраміди 2 см.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 19).

Бічна грань цієї піраміди є рівнобокою трапецією. Для обчислення площі трапеції необхідно знати основи та висоту. Підстави дано за умовою, залишається невідомою лише висота. Її знайдемо з де А 1 Еперпендикуляр з точки А 1 на площину нижньої основи, A 1 D- Перпендикуляр з А 1 на АС. А 1 Е= 2 см, оскільки це висота піраміди. Для знаходження DEзробимо додатково малюнок, у якому зобразимо вид зверху (рис. 20). Крапка Про– проекція центрів верхньої та нижньої основ. оскільки (див. рис. 20) і з іншого боку ОК– радіус вписаної в коло та ОМ- Радіус вписаної в колі:

MK = DE.

За теоремою Піфагора з

Площа бічної грані:

Відповідь:

приклад 4.В основі піраміди лежить рівнобока трапеція, основа якої аі b (a> b). Кожна бічна грань утворює з площиною основи піраміди кут рівний j. Знайти площу повної поверхні піраміди.

Рішення.Зробимо рисунок (рис. 21). Площа повної поверхні піраміди SABCDдорівнює сумі площ та площі трапеції ABCD.

Скористаємося твердженням, що й усі грані піраміди рівнонахилені до площині основи, то вершина проектується у центр вписаної основу окружности. Крапка Про- Проекція вершини Sна основу піраміди. Трикутник SODє ортогональною проекцією трикутника CSDна площину основи. За теоремою про площу ортогональної проекції плоскої фігури отримаємо:

Аналогічно і означає Таким чином, завдання звелося до знаходження площі трапеції. АВСD. Зобразимо трапецію ABCDокремо (рис.22). Крапка Про- Центр вписаної в трапецію кола.

Так як в трапецію можна вписати коло, то або З по теоремі Піфагора маємо