Провести перетин онлайн. Паралельні перерізи

Саме завдання зазвичай звучить так: "побудувати натуральний виглядфігури перерізу". Звичайно ж, ми вирішили не залишати це питання осторонь і постаратися якомога пояснити, як відбувається побудова похилого перерізу.

Щоб пояснити, як будується похилий перетин, я наведу кілька прикладів. Почну звичайно з елементарного, поступово нарощуючи складність прикладів. Сподіваюся, що проаналізувавши ці приклади креслень перерізів, ви розберетеся в тому, як це робиться, і зможете виконати своє навчальне завдання.

Розглянемо "цеглину" з розмірами 40х60х80 мм довільною похилою площиною. Січна площина розрізає його за точками 1-2-3-4. Думаю, тут усе зрозуміло.

Перейдемо до побудови натурального виду фігури перетину.
1. Насамперед проведемо вісь перерізу. Ось слід креслити паралельно площині перерізу - паралельно лінії, в яку проектується площина на головному вигляді - зазвичай саме на головному вигляді задають завдання на побудова похилого перерізу(Далі я завжди згадуватиму про головний вигляд, маючи на увазі, що так буває майже завжди в навчальних кресленнях).
2. На осі відкладаємо довжину перерізу. На моєму кресленні вона позначена як L. Розмір L визначається на головному вигляді і дорівнює відстані від точки входження перерізу до деталі до точки виходу з неї.
3. З двох точок на осі перпендикулярно їй відкладаємо ширини перерізу в цих точках. Ширину перерізу в точці входження в деталь і точці виходу з деталі можна визначити на вигляді зверху. В даному випадку обидва відрізки 1-4 і 2-3 дорівнюють 60 мм. Як видно з малюнка вище, краї перерізу прямі, тому просто з'єднуємо два наших відрізки, що отримали, отримавши прямокутник 1-2-3-4. Це і є - натуральний вид фігури перерізу нашої цегли похилою площиною.

Тепер ускладнимо нашу деталь. Поставимо цеглу на основу 120х80х20 мм і доповнимо фігуру ребрами жорсткості. Проведемо січну площину так, щоб вона проходила через всі чотири елементи фігури (через основу, цеглу і два ребра жорсткості). На малюнку нижче ви можете побачити три види та реалістичне зображення цієї деталі

Спробуємо збудувати натуральний вигляд цього похилого перерізу. Почнемо знову з осі перерізу: проведемо її паралельно площині перерізу, позначеного на головному вигляді. На ній відкладемо довжину перерізу рівну А-Е. Точка А є точкою входу перерізу в деталь, а окремо - точкою входу перерізу в основу. Точкою виходу з основи є точка В. Зазначимо точку на осі перерізу. Аналогічним чином відзначимо і точки входу-виходу в ребро, в "цеглинку" і друге ребро. З точок А і В перпендикулярно осі відкладемо відрізки рівні ширині основи (кожну сторону від осі по 40, всього 80мм). З'єднаємо крайні точки- Отримаємо прямокутник, що є натуральним видом перерізу основи деталі.

Тепер настала черга побудувати шматочок перерізу, що є перетином ребра деталі. З точок У і З відкладемо перпендикуляри по 5 мм у кожну сторону - вийдуть відрізки по 10 мм. З'єднаємо крайні точки та отримаємо перетин ребра.

З точок З і D відкладаємо перпендикулярні відрізки рівні ширині "цеглинки" - повністю аналогічно першому прикладу цього уроку.

Відклавши перпендикуляри з точок D і Е рівні ширині другого ребра і з'єднавши крайні точки, отримаємо натуральний вид його перерізу.

Залишається стерти перемички між окремими елементамиперетину, що вийшов, і нанести штрихування. Повинно вийти щось на кшталт цього:

Якщо ж по заданому перерізу зробити поділ фігури, ми побачимо наступний вид:

Я сподіваюся, що вас не налякали нудні абзаци опису алгоритму. Якщо ви прочитали все вищенаписане і ще не до кінця зрозуміли, як накреслити похилий перетиня дуже раджу вам взяти в руки аркуш паперу і олівець і спробувати повторити всі кроки за мною - це майже 100% допоможе вам засвоїти матеріал.

Колись я пообіцяв продовження цієї статті. Нарешті я готовий представити вам покрокову побудову похилого перерізу деталі, більш наближеної до рівня домашніх завдань. Більше того, похилий переріз задано на третьому вигляді (похилий переріз задано на вигляді зліва)

абозапишіть наш телефон та розкажіть про нас своїм друзям - хтось напевно шукає спосіб виконати креслення

абостворіть у себе на сторінці або в блозі замітку про наші уроки - і хтось зможе освоїти креслення.

Та все добре, тільки хотілося б побачити як робиться те саме на складнішій деталі, з фасками і конусоподібним отвором наприклад.

Дякую. А хіба на розрізах ребра жорсткості не штрихують?
Саме. Саме вони й не штрихують. Тому що такі загальні правилавиконання розрізів. Однак їх зазвичай штрихують під час виконання розрізів в аксонометричних проекціях - ізометрії, диметрії тощо. При виконанні похилих перерізів область, що відноситься до ребра жорсткості так само заштриховується.

Спасибі, дуже доступно.

Виконати такі перерізи можна. Але, на жаль, у мене зараз немає під рукою прикладу. І є ще один цікавий момент: з одного боку, там нічого нового, а з іншого боку, на практиці такі перерізи креслити реально складніше. Чомусь у голові все починає плутатися і у більшості студентів виникають складнощі. Але ж ви не здавайтеся!

Та все добре, тільки хотілося б побачити як робиться те саме, але з отворами (наскрізними та ненаскрізними), а то на еліпс вони в голові так і не перетворюються

допоможіть мені по комплексному завданню

Жаль, що ви саме тут написали. Написали б у пошту - може, ми змогли б встигнути все обговорити.

Добре пояснюєте. Як бути, якщо одна зі сторін деталі напівкругла? А також у деталі є отвори.

Ілля, використовуйте урок з розділу з накреслювальної геометрії "Переріз циліндра похилою площиною". З його допомогою зможете розібратися, що робити з отворами (вони по суті теж циліндри) і з напівкруглою стороною.

дякую автору за статтю!коротко і доступно пониманию.лет 20 тому сам гриз граніт науки,тепер сину допомагаю. багато чого забув, але Ваша стаття повернула фундаментальне розуміння теми. похилим перетиномциліндра розбиратися)

Додати свій коментар.

Як відомо, будь-який іспит з математики містить як основну частину рішення задач. Вміння вирішувати завдання – основний показник рівня математичного розвитку.

Досить часто на шкільних іспитах, а також на іспитах, що проводяться у ВНЗ і технікумах, трапляються випадки, коли учні, що показують хороші результати в галузі теорії, знають всі необхідні визначення та теореми, заплутуються при вирішенні простих завдань.

За роки навчання у школі кожен учень вирішує велике числозадач, але при цьому для всіх учнів завдання пропонуються ті самі. І якщо деякі учні засвоюють загальні правила та методи вирішення завдань, то інші, зустрівшись із завданням незнайомого виду, навіть не знають, як до неї підступитися.

Однією з причин такого становища є те, що якщо одні учні входять у хід вирішення завдання і намагаються усвідомити та зрозуміти загальні прийоми та методи їх вирішення, то інші не замислюються над цим, намагаються якнайшвидше вирішити запропоновані завдання.

Багато учнів не аналізують розв'язувані завдання, не виділяють собі загальні прийоми та способи вирішення. У разі завдання вирішуються лише заради отримання потрібної відповіді.

Так, наприклад, багато учнів навіть не знають, у чому суть вирішення завдань на побудову. Але ж завдання на побудовує обов'язковими завданнямиу курсі стереометрії. Ці завдання не тільки красиві та оригінальні у методах свого вирішення, але й мають велику практичну цінність.

Завдяки завданням на побудову розвивається здатність уявно уявляти собі ту чи іншу геометричну фігуру, розвивається просторове мислення, логічне мисленняа також геометрична інтуїція. Завдання на побудову розвивають навички вирішення проблем практичного характеру.

Завдання на побудови не є простими, оскільки єдиного правила чи алгоритму їх вирішення немає. Кожна нове завданняунікальна та потребує індивідуального підходу до рішення.

Процес вирішення будь-якої задачі на побудову – це послідовність деяких проміжних побудов, що призводять до мети.

Побудова перерізів багатогранників базується на наступних аксіомах:

1) Якщо дві точки прямої лежать у певній площині, те й вся пряма лежить у цій площині;

2) Якщо дві площини мають загальну точку, то вони перетинаються прямою, що проходить через цю точку.

Теорема:якщо дві паралельні площини перетнуті третьою площиною, то прямі перетину паралельні.

Побудувати переріз багатогранника площиною, що проходить через точки А, В та С. Розглянемо такі приклади.

Метод слідів

I.Побудувати переріз призмиплощиною, що проходить через дану пряму g (слід) на площині однієї з підстав призми та точку А.

Випадок 1.

Точка А належить іншій підставі призми (або грані, паралельної прямої g) – січна площина перетинає цю основу (грань) по відрізку ВС, паралельному сліду g .

Випадок 2

Точка А належить бічній грані призми:

Відрізок НД прямий AD і є перетин цієї грані з січною площиною.

Випадок 3.

Побудова перерізу чотирикутної призми площиною, що проходить через пряму g у площині нижньої основипризми та точку А на одному з бічних ребер.

ІІ.Побудувати переріз пірамідиплощиною, що проходить через дану пряму g (слід) на площині основи піраміди та точку А.

Для побудови перерізу піраміди площиною досить побудувати перетин її бічних граней з січною площиною.

Випадок 1.

Якщо точка А належить грані, паралельній прямій g, то січна площина перетинає цю грань по відрізку ВС, паралельному сліду g.

Випадок 2

Якщо точка А, що належить перерізу, розташована на грані, не паралельній грані сліду g, то:

1) будується точка D, в якій площина грані перетинає цей слід g;

2) проводиться пряма через точки А та D.

Відрізок ВС прямий АD і є перетин цієї грані з січною площиною.

Кінці відрізка ЗС належать і сусіднім граням. Тому описаним способом можна побудувати перетин цих граней з січною площиною. І т.д.

Випадок 3.

Побудова перерізу чотирикутної піраміди площиною, що проходить через бік основи та точку А на одному з бічних ребер.

Завдання на побудову перерізів через точку на межі

1. Побудувати переріз тетраедра АВСD площиною, що проходить через вершину С і точки М і N на гранях АСD та АВС відповідно.

Точки С та М лежать на межі АСD, отже, і пряма СМ лежить у площині цієї грані (Рис. 1).

Нехай Р – точка перетину прямих РМ та АD. Аналогічно, точки С і N лежать у межі АСВ, отже пряма СN лежить у площині цієї грані. Нехай Q – точка перетину прямих СN та АВ. Точки Р та Q належать і площині перерізу, і грані АВD. Тому відрізок РQ – сторона перерізу. Отже, трикутник СРQ - шуканий переріз.

2. Побудувати переріз тетраедра АВСD площиною MPN, де точки M, N, P лежать відповідно на ребрі АD, в грані ВСD та в грані АВС, причому MN не паралельно площині грані АВС (Рис. 2).

Залишились питання? Не знаєте, як збудувати перетин багатогранника?
Щоб отримати допомогу репетитора – .
Перший урок – безкоштовно!

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Визначення

Перетин - це плоска фігура, яка утворюється при перетині просторової фігури площиною та межа якої лежить на поверхні просторової фігури.

Зауваження

Для побудови перерізів різних просторових фігур необхідно пам'ятати основні визначення та теореми про паралельність та перпендикулярність прямих і площин, а також властивості просторових фігур. Нагадаємо, основні факти.
Для більш докладного вивченнярекомендується ознайомитись з темами “Введення у стереометрію. Паралельність” та “Перпендикулярність. Кути та відстані у просторі”.

Важливі визначення

1. Дві прямі у просторі паралельні, якщо вони лежать в одній площині та не перетинаються.

2. Дві прямі у просторі схрещуються, якщо їх не можна провести площину.

4. Дві площини є паралельними, якщо вони не мають спільних точок.

5. Дві прямі у просторі називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює \(90^\circ\).

6. Пряма називається перпендикулярною площині, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

7. Дві площини називаються перпендикулярними, якщо кут між ними дорівнює \(90^\circ\).

Важливі аксіоми

1. Через три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площина, і до того ж лише одна.

2. Через пряму і не лежачу на ній точку проходить площину, і до того ж лише одна.

3. Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину, і притому тільки одна.

Важливі теореми

1. Якщо пряма \(a\) , що не лежить у площині \(\pi\) , паралельна деякій прямій \(p\) , що лежить у площині \(\pi\) , то вона паралельна даній площині.

2. Нехай пряма \(p\) паралельна площині \(\mu\). Якщо площина \(\pi\) проходить через пряму \(p\) і перетинає площину \(\mu\) , то лінія перетину площин \(\pi\) і \(\mu\) - пряма \(m\) - Паралельна прямий (p).

3. Якщо дві прямих, що перетинаються, з однієї площини паралельні двом прямим, що перетинаються, з іншої площини, то такі площини будуть паралельні.

4. Якщо дві паралельні площини \(\alpha\) і \(\beta\) перетнуті третьою площиною \(\gamma\) , то лінії перетину площин також паралельні:

\[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \\beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

5. Нехай пряма (l) лежить в площині (lambda). Якщо пряма \(s\) перетинає площину \(\lambda\) у точці \(S\) , що не лежить на прямій \(l\) , то прямі \(l\) і \(s\) схрещуються.

6. Якщо пряма перпендикулярна двом прямим, що перетинаються, лежать у даній площині, то вона перпендикулярна цій площині.

7. Теорема про три перпендикуляри.

Нехай \(AH\) - перпендикуляр до площини \(\beta\). Нехай \(AB, BH\) - похила та її проекція на площину \(\beta\). Тоді пряма \(x\) у площині \(\beta\) буде перпендикулярна похилій тоді і тільки тоді, коли вона перпендикулярна до проекції.

8. Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до іншої площини, то вона перпендикулярна до цієї площини.

Зауваження

Ще один важливий факт, що часто використовується для побудови перерізів:

для того, щоб знайти точку перетину прямої та площини, достатньо знайти точку перетину даної прямої та її проекції на цю площину.

Для цього з двох довільних точок \(A\) і \(B\) прямий \(a\) проведемо перпендикуляри на площину \(\mu\) - \(AA"\) та \(BB"\) (точки \ (A", B"\) називаються проекціями точок \(A,B\) на площину). Тоді пряма \(A"B"\) - проекція прямої \(a\) на площину \(\mu\). Точка \(M=a\cap A"B"\) і є точка перетину прямої \(a\) і площини \(\mu\) .

Причому зауважимо, що це крапки \(A, B, A", B", M\) лежать в одній площині.

приклад 1.

Даний куб (ABCDA"B"C"D"). \(A"P=\dfrac 14AA", \ KC=\dfrac15 CC"\). Знайдіть точку перетину прямої \(PK\) і площині \(ABC\) .

Рішення

1) Т.к. ребра куба \(AA", CC"\) перпендикулярні \((ABC)\) , то точки \(A\) і \(C\) - проекції точок \(P\) і \(K\) . Тоді пряма (AC) - проекція прямої (PK) на площину (ABC). Продовжимо відрізки \(PK\) і \(AC\) за точки \(K\) і \(C\) відповідно і отримаємо точку перетину прямих - точку \(E\).

2) Знайдемо відношення (AC:EC). \(\triangle PAE\sim \triangle KCE\)по двох кутах ( \(\angle A=\angle C=90^\circ, \angle E\)– загальний), отже, \[\dfrac(PA)(KC)=\dfrac(EA)(EC)\]

Якщо позначити ребро куба за (a), то (PA = dfrac34a, KC = dfrac15a, AC = a sqrt2). Тоді:

\[\dfrac(\frac34a)(\frac15a)=\dfrac(a\sqrt2+EC)(EC) \Rightarrow EC=\dfrac(4\sqrt2)(11)a \Rightarrow AC:EC=4:11\ ]

приклад 2.

Дана правильна трикутна піраміда\(DABC\) з основою \(ABC\) , висота якої дорівнює стороні основи. Нехай точка \(M\) ділить бічне ребро піраміди щодо \(1:4\), рахуючи від вершини піраміди, а \(N\) - висоту піраміди щодо \(1:2\), рахуючи від вершини піраміди. Знайдіть точку перетину прямої \(MN\) з площиною \(ABC\) .

Рішення

1) Нехай (DM:MA=1:4, DN:NO=1:2) (див. малюнок). Т.к. піраміда правильна, то висота падає в точку \(O\) перетину медіан основи. Знайдемо проекцію прямої (MN) на площину (ABC). Т.к. \(DO\perp (ABC)\) , то і (NO\perp (ABC)\) . Отже, \(O\) – точка, що належить цій проекції. Знайдемо другу точку. Опустимо перпендикуляр \(MQ\) з точки \(M\) на площину \(ABC\). Точка (Q) буде лежати на медіані (AK).
Справді, т.к. \(MQ\) і \(NO\) перпендикулярні \((ABC)\), то вони паралельні (означає, лежать в одній площині). Отже, т.к. точки \(M, N, O\) лежать в одній площині \(ADK\) , то і точка \(Q\) лежатиме в цій площині. Але ще (за побудовою) точка \(Q\) повинна лежати в площині \(ABC\), отже, вона лежить на лінії перетину цих площин, а це - \(AK\).

Значить, пряма \(AK\) і є проекція прямої \(MN\) на площину \(ABC\). \ (L \) - Точка перетину цих прямих.

2) Зауважимо, що для того, щоб правильно намалювати креслення, необхідно знайти точне положення точки \(L\) (наприклад, на нашому кресленні точка \(L\) лежить поза відрізком \(OK\) , хоча вона могла б лежати і всередині нього, а як правильно?).

Т.к. за умовою сторона основи дорівнює висоті піраміди, то позначимо (AB = DO = a). Тоді медіана (AK = dfrac (sqrt3) 2a)). Значить, \(OK=\dfrac13AK=\dfrac 1(2\sqrt3)a\). Знайдемо довжину відрізка \(OL\) (тоді ми зможемо зрозуміти, всередині або поза відрізком \(OK\) знаходиться точка \(L\): якщо \(OL>OK\) - то поза, інакше - всередині).

а) \(\triangle AMQ\sim \triangle ADO\)по двох кутах ( \(\angle Q=\angle O=90^\circ, \ \angle A\)- загальний). Значить,

\[\dfrac(MQ)(DO)=\dfrac(AQ)(AO)=\dfrac(MA)(DA)=\dfrac 45 \Rightarrow MQ=\dfrac 45a, \ AQ=\dfrac 45\cdot \dfrac 1(\sqrt3)a\]

Значить, \(QK=\dfrac(\sqrt3)2a-\dfrac 45\cdot \dfrac 1(\sqrt3)a=\dfrac7(10\sqrt3)a\).

б) Позначимо (KL = x).
\(\triangle LMQ\sim \triangle LNO\)по двох кутах ( \(\angle Q=\angle O=90^\circ, \ \angle L\)- загальний). Значить,

\[\dfrac(MQ)(NO)=\dfrac(QL)(OL) \Rightarrow \dfrac(\frac45 a)(\frac 23a) =\dfrac(\frac(7)(10\sqrt3)a+x )(\frac1(2\sqrt3)a+x) \Rightarrow x=\dfrac a(2\sqrt3) \Rightarrow OL=\dfrac a(\sqrt3)\]

Отже, \(OL>OK\), отже, точка \(L\) дійсно лежить поза відрізком \(AK\).

Зауваження

Не варто лякатися, якщо при вирішенні подібного завдання у вас вийде, що довжина відрізка є негативною. Якби в умовах попереднього завдання ми отримали, що \(x\) - негативний, це якраз означало б, що ми неправильно вибрали положення точки \(L\) (тобто вона знаходиться всередині відрізка \(AK\) ) .

Приклад 3

Дана правильна чотирикутна піраміда\(SABCD\). Знайдіть переріз піраміди площиною \(\alpha\) , що проходить через точку \(C\) і середину ребра \(SA\) і паралельної прямої \(BD\) .

Рішення

1) Позначимо середину ребра \(SA\) за \(M\). Т.к. піраміда правильна, то висота (SH) піраміди падає в точку перетину діагоналей основи. Розглянемо площину (SAC). Відрізки (CM) і (SH) лежать у цій площині, нехай вони перетинаються в точці (O).

Для того, щоб площина (alpha) була паралельна прямий (BD), вона повинна містити деяку пряму, паралельну (BD). Точка \(O\) знаходиться разом з прямою \(BD\) в одній площині - в площині \(BSD\). Проведемо в цій площині через точку \(O\) пряму \(KP\parallel BD\) (\(K\in SB, P\in SD\)). Тоді, з'єднавши точки \(C, P, M, K\), отримаємо переріз піраміди площиною \(\alpha\).

2) Знайдемо відношення, в якому ділять точки \(K\) і \(P\) ребра \(SB\) та \(SD\). Таким чином, ми повністю визначимо побудований перетин.

Зауважимо, що оскільки \(KP\parallel BD\) , то за теоремою Фалеса \(\dfrac(SB)(SK)=\dfrac(SD)(SP)\). Але \(SB=SD\), отже і \(SK=SP\). Таким чином, можна знайти тільки \(SP:PD\).

Розглянемо \(\triangle ASC\). \(CM, SH\) – медіани в цьому трикутнику, отже, точкою перетину діляться щодо \(2:1\), рахуючи від вершини, тобто \(SO:OH=2:1\).

Тепер за теоремою Фалеса з \(\triangle BSD\): \(\dfrac(SP)(PD)=\dfrac(SO)(OH)=\dfrac21\).

3) Зауважимо, що за теоремою про три перпендикуляри \(CO\perp BD\) як похила (\(OH\) ​​- перпендикуляр на площину \(ABC\) , \(CH\perp BD\) - проекція). Значить, \ (CO perp KP) . Таким чином, перетином є чотирикутник (CPMK), діагоналі якого взаємно перпендикулярні.

Приклад 4

Дана прямокутна піраміда \(DABC\) з ребром \(DB\), перпендикулярним площині \(ABC\). В основі лежить прямокутний трикутникз \(\angle B=90^\circ\) , причому \(AB=DB=CB\). Проведіть через пряму \(AB\) площину, перпендикулярну до грані \(DAC\) , і знайдіть перетин піраміди цією площиною.

Рішення

1) Площина \(\alpha\) буде перпендикулярна грані \(DAC\), якщо вона міститиме пряму, перпендикулярну \(DAC\). Проведемо з точки \(B\) перпендикуляр на площину \(DAC\) - \(BH\), \(H\in DAC\).

Проведемо допоміжні \(BK\) - медіану в \(\triangle ABC\) і \(DK\) - медіану в \(\triangle DAC\).
Т.к. \(AB=BC\) , то \(\triangle ABC\) - рівнобедрений, значить, \(BK\) - висота, тобто \(BK\perp AC\) .
Т.к. \(AB=DB=CB\) та \(\angle ABD=\angle CBD=90^\circ\), то \(\triangle ABD=\triangle CBD\), Отже, \(AD=CD\) , Отже, \(\triangle DAC\) - теж рівнобедрений і \(DK\perp AC\) .

Застосуємо теорему про три перпендикуляри: (BH) - перпендикуляр на (DAC); похильна (BKperp AC), означає і проекція (HKperp AC). Але ми вже визначили, що (DK Perp AC). Таким чином, точка \(H\) лежить на відрізку \(DK\).

З'єднавши точки \(A\) і \(H\) , отримаємо відрізок \(AN\) , яким площину \(\alpha\) перетинається з гранню \(DAC\) . Тоді \(\triangle ABN\) - шуканий переріз піраміди площиною \(\alpha\).

2) Визначимо точне положення точки \(N\) на ребрі \(DC\).

Позначимо \(AB=CB=DB=x\). Тоді \(BK\), як медіана, опущена з вершини прямого кутав \(\triangle ABC\) , дорівнює \(\frac12 AC\) , отже, \(BK=\frac12 \cdot \sqrt2 x\) .

Розглянемо \(\triangle BKD\). Знайдемо відношення (DH: HK).

Зауважимо, що т.к. \(BH\perp (DAC)\) , то \(BH\) перпендикулярно до будь-якої прямої з цієї площини, значить, \(BH\) – висота в \(\triangle DBK\) . Тоді \(\triangle DBH\sim \triangle DBK\), отже

\[\dfrac(DH)(DB)=\dfrac(DB)(DK) \Rightarrow DH=\dfrac(\sqrt6)3x \Rightarrow HK=\dfrac(\sqrt6)6x \Rightarrow DH:HK=2:1 \]

Розглянемо тепер \(\triangle ADC\). Медіани трикутника точної перетину діляться щодо \(2:1\), рахуючи від вершини. Значить, \(H\) - точка перетину медіан в \(\triangle ADC\) (бо \(DK\) - медіана). Тобто \(AN\) - теж медіана, значить \(DN=NC\) .

Викладач математики Щелковської філії ДБПОУ МО "Красногорський коледж" Артем'єв Василь Ілліч.

Вивчення теми «Вирішення завдань на побудову перерізів» починається в 10 класі або на першому курсі установ НУО. У випадку, якщо кабінет математики оснащений засобами мультимедіа, вирішення проблеми вивчення полегшується за допомогою різних програм. Однією із таких програм є програмне забезпечення динамічної математики GeoGebra 4.0.12. Вона підходить для вивчення та навчання на будь-якому з етапів освіти, полегшує створення математичних побудовта моделей учнями, які дозволяють проводити інтерактивні дослідження при переміщенні об'єктів та зміну параметрів.

Розглянемо застосування цього програмного продукту конкретному прикладі.

Завдання. Побудувати переріз піраміди площиною PQR, якщо точка P лежить на прямій SA, точка Q лежить на прямій SB, точка R лежить на прямій SC.

Рішення. Розглянемо два випадки. Випадок 1. Нехай точка P належить до ребра SA.

1. Зазначимо за допомогою інструмента «Точка» довільні точки A, B, C, D. Клацніть правою клавішею на точку D, виберемо «Перейменувати». Перейменуємо D на S і встановимо положення цієї точки, як показано на малюнку 1.

2. За допомогою інструмента «Відрізок по двох точках» збудуємо відрізки SA, SB, SC, AB, AC, BC.

3. Клацніть правою клавішею миші по відрізку AB і вибираємо "Властивості" - "Стиль". Встановлюємо пунктирну лінію.

4. Зазначимо на відрізках SA, SB, CS точки P, Q, R.

5. Інструментом "Пряма по двох точках" побудуємо пряму PQ.

6. Розглянемо пряму PQ та точку R. Питання учням: Скільки площин проходить через пряму PQ та точку R? Відповідь обґрунтуйте. (Відповідь. Через пряму і не лежачу на ній точку проходить площину, і до того ж тільки одна).

7. Будуємо прямі PR та QR.

8. Вибираємо інструмент «Багатокутник» та по черзі клацніть по точках PQRP.

9. Інструментом «Переміщувати» змінюємо положення точок та спостерігаємо за змінами перерізу.

Малюнок 1.

10. Клацніть по багатокутнику правою клавішею і вибираємо "Властивості" - "Колір". Заливаємо багатокутник якимось ніжним кольором.

11. На панелі об'єктів клацніть по маркерах і приховати прямі.

12. Як додаткове завдання можна виміряти площу перерізу.

Для цього виберемо інструмент «Площа» і клацніть лівою кнопкою миші по багатокутнику.

Випадок 2. Крапка P лежить на прямій SA. Для розгляду розв'язання задачі для цього випадку можна скористатися кресленням колишнього завдання. Прихуємо лише багатокутник і точку Р.

1. Інструментом "Пряма по двох точках" побудуємо пряму SA.

2. Зауважимо на прямій SA точку P1, як показано на малюнку 2.

3. Проведемо пряму P1Q.

4. Вибираємо інструмент «Перетин двох об'єктів» і клацніть лівою клавішею миші по прямих АВ і P1Q. Знайдемо точку їх перетину До.

5. Проведемо пряму P1R. Знайдемо точку перетину М цієї прямої з прямою АС.

Запитання учням: скільки площин можна провести через прямі P1Q та P1R? Відповідь обґрунтуйте. (Відповідь. Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину, і притому тільки одна).

6. Проведемо прямі КМ та QR. Запитання учням. Яким площинам одночасно належать точки К, М? Перетином яких площин є пряма КМ?

7. Побудуємо багатокутник QRKMQ. Заллємо ніжним кольором і приховаємо допоміжні прямі.

Малюнок 2.

За допомогою інструмента "Переміщення" рухаємо точку вздовж прямої AS. Розглядаємо різні положення площини перерізу.

Завдання для побудови перерізів:

1. Побудувати перетин, що визначається паралельними прямими АА1 та СС1. Скільки площин проходить через паралельні прямі?

2. Побудувати перетин, що проходить через прямі, що перетинаються. Скільки площин проходить через прямі, що перетинаються?

3. Побудова перерізів із використанням властивостей паралельних площин:

а) Побудувати перетин паралелепіпеда площиною, що проходить через точку М та пряму АС.

б) Побудувати переріз призми площиною, що проходить через ребро АВ та середину ребра В1С1.

в) Побудувати переріз піраміди площиною, що проходить через точку К і паралельно площині основ піраміди.

4. Побудова перерізів шляхом слідів:

а) Дано піраміду SABCD. Побудувати переріз піраміди площиною, що проходить через точки P, Q та R.

5) Проведемо пряму QF і знайдемо точку Н перетину з ребром SB.

6) Проведемо прямі HR та PG.

7) Виділимо інструментом «Багатокутник» отриманий переріз і змінимо колір заливки.

б) Самостійно побудуйте перетин паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 площиною, що проходить через точки P, K та M. Список джерел.

1. Електронний ресурс http://www.geogebra.com/indexcf.php

2. Електронний ресурс http://geogebra.ru/www/index.php (Сайт Сибірського інституту GeoGebra)

3. Електронний ресурс http://cdn.scipeople.com/materials/16093/projective_geometry_geogebra.PDF

4. Електронний ресурс. http://nesmel.jimdo.com/geogebra-rus/

5. Електронний ресурс http://forum.sosna24k.ru/viewforum.php?f=35&sid=(Форум GeoGebra для вчителів та школярів).

6. Електронний ресурс www.geogebratube.org (Інтерактивні матеріали для роботи з програмою)

Завдання на побудову перерізів куба площиною, зазвичай, простіше ніж, наприклад, завдання перерізу піраміди.

Провести пряму можемо через дві точки, якщо вони лежать у одній площині. При побудові перерізів куба можливий ще один варіант побудови сліду площини. Оскільки дві паралельні площини третя площина перетинає паралельним прямим, то, якщо в одній з граней вже побудована пряма, а в іншій є точка, через яку проходить перетин, то можемо провести через цю точку пряму, паралельну даній.

Розглянемо на конкретних прикладах, як побудувати переріз куба площиною.

1) Побудувати перетин куба площиною, що проходить через точки A, C та M.

Завдання такого виду – найпростіші з усіх завдань на побудову перерізів куба. Оскільки точки A та C лежать в одній площині (ABC), то через них можемо провести пряму. Її слід – відрізок AC. Він невидимий, тому зображуємо AC штрихом. Аналогічно з'єднуємо точки M та C, що лежать в одній площині (CDD1), і точки A та M, які лежать в одній площині (ADD1). Трикутник ACM - шуканий переріз.

2) Побудувати перетин куба площиною, яка проходить через точки M, N, P.

Тут тільки точки M і N лежать в одній площині (ADD1), тому проводимо через них пряму та отримуємо слід MN (невидимий). Оскільки протилежні грані куба лежать у паралельних площинах, то січна площина перетинає паралельні площини (ADD1) і (BCC1) паралельними прямим. Одну з паралельних прямих ми вже збудували — це MN.

Через точку P проводимо пряму, паралельну MN. Вона перетинає ребро BB1 у точці S. PS — слід січної площини в грані (BCC1).

Проводимо пряму через точки M та S, що лежать в одній площині (ABB1). Отримали слід MS (видимий).

Площини (ABB1) та (CDD1) паралельні. У площині (ABB1) вже є пряма MS, тому через точку N площині (CDD1) проводимо пряму, паралельну MS. Ця пряма перетинає ребро D1C1 у точці L. Її слід - NL (невидимий). Точки P та L лежать в одній площині (A1B1C1), тому проводимо через них пряму.

П'ятикутник MNLPS - перетин, що шукається.

3) Побудувати перетин куба площиною, яка проходить через точки M, N, P.

Точки M та N лежать в одній площині (ВСС1), тому через них можна провести пряму. Отримуємо слід MN (видимий). Площина (BCC1) паралельна площині (ADD1), тому через точку P, що лежить (ADD1), проводимо пряму, паралельну MN. Вона перетинає ребро AD у точці E. Отримали слід PE (невидимий).

Більше немає точок, що лежить в одній площині, або прямої та точки в паралельних площинах. Тому треба продовжити одну з наявних прямих, щоб отримати додаткову точку.

Якщо продовжувати пряму MN, то оскільки вона лежить у площині (BCC1), потрібно шукати точку перетину MN з однією з прямих цієї площини. З CC1 та B1C1 точки перетину вже є – це M та N. Залишаються прямі BC та BB1. Продовжимо BC і MN до перетину в точці K. Точка K лежить на прямій BC, отже, вона належить площині (ABC), тому через неї і точку E, що лежить у цій площині, можемо провести пряму. Вона перетинає ребро CD у точці H. EH -її слід (невидимий). Оскільки H та N лежать в одній площині (CDD1), через них можна провести пряму. Отримуємо слід HN (невидимий).

Площини (ABC) та (A1B1C1) паралельні. В одній з них є пряма EH, в іншій – точка M. Можемо провести через M пряму, паралельну EH. Отримуємо слід MF (видимий). Проводимо пряму через точки M та F.

Шестикутник MNHEPF - шуканий переріз.

Якби ми продовжили пряму MN до перетину з іншої прямої площини (BCC1), BB1, то отримали б точку G, що належить площині (ABB1). Отже, через G і P можна провести пряму, слід якої PF. Далі - проводимо прямі через точки, що лежать у паралельних площинах, і приходимо до того ж результату.

Робота з прямою PE дає той же переріз MNHEPF.

4) Побудувати перетин куба площиною, яка проходить через точку M, N, P.

Тут можемо провести пряму через точки M та N, що лежать в одній площині (A1B1C1). Її слід – MN (видимий). Більше немає точок, що у однієї площині чи паралельних площинах.

Продовжимо пряму MN. Вона лежить у площині (A1B1C1), тому перетнутися може лише з однією з прямих цієї площини. З A1D1 і C1D1 точки перетину вже є N і M. Ще дві прямі цієї площини A1B1 і B1C1. Точка перетину A1B1 і MN - S. Оскільки вона лежить на прямій A1B1, то належить площині (ABB1), а значить, через неї і точку P, що лежить у цій площині, можна провести пряму. Пряма PS перетинає ребро AA1 у точці E. PE – її слід (видимий). Через точки N і E, що лежать в одній площині (ADD1), можна провести пряму, слід якої NE (невидимий). У площині (ADD1) є пряма NE, у паралельній площині (BCC1) — точка P. Через точку P можемо провести пряму PL, паралельну NE. Вона перетинає ребро CC1 у точці L. PL – слід цієї прямої (видимий). Точки M та L лежать в одній площині (CDD1), отже, через них можна провести пряму. Її слід – ML (невидимий). П'ятикутник MLPEN - шуканий переріз.

Можна було продовжувати пряму NM в обидві сторони і шукати її точки перетину не тільки з прямої A1B1, але і прямої B1C1, що також лежить в площині (A1B1C1). У цьому випадку через точку P проводимо відразу дві прямі: одну - в площині (ABB1) через точки P і S, а другу - у площині (BCC1), через точки P і R. Після чого залишається з'єднати точки, що лежать в одній площині: M c L, E - з N.