У попередніх завданнях для побудови перетину нам виявилось достатньо знань теорії. Розглянемо інше завдання. Завдання 1. Побудувати перетин тетраедра, що проходить через точку М, паралельно площині ABD. M Одна точка нам нічим не допоможе, але завдання має додаткову умову: перетин має бути паралельно площині ABD. Що нам це дає? 1. Площини ADB і DBC перетинаються по прямій DB, отже перетин, паралельний ADB, перетинає DBC (Якщо дві паралельні прямий, паралельної DB. площини пересічені третьої, то лінії перетину паралельні) M Точка М належить грані DBC. Проведемо крізь неї N пряму MK, паралельну DB. 2. Аналогічно: (ADB) (ABC)=AB, K отже перетин перетинатиме (ABC) по прямій, паралельній AB. K(ABC). Через точку K площині ABC проведе пряму KN, паралельну AB. M N K N (ADC), M (ADC), отже MN (ADC) (і площині перерізу). Проведемо NM. MKN - шуканий переріз. Отже: M N 1. Побудова: 1. У площині (DBC) MK // DB, MK BC = K. 2. У площині (ABC) KN // AB, KN AC = N. 3. MN Доведемо, що MKN – шукане перетин K 2. Доказ. 1. Перетин проходить через точку М 2. N (ADC), M (ADC) => NM (ADC) 3. MK // DB, NK // AB за побудовою, отже (NMK) // (ABD) за ознакою. Отже, MKN - шуканий переріз ч.т.д. Завдання 2. Побудуйте перетин паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1, що проходить через середину ребра D1C1 та точку D, паралельно прямій a. B1 C1 Міркування. M A1 D1 B A C D 1. Зазначимо вказану в умові точку (назвемо її довільним чином). M – середина D1C1. 2. Точки M та D лежать B1 C1 M A1 A отже їх можна з'єднати. D1 B C D в одній площині DD1C1, більше з'єднувати нема чого. 3. Скористайтеся додатковою умовою: січуча площина повинна бути паралельна прямій a. B1 C1 M A1 B C S A Для цього вона повинна містити пряму, паралельну до прямої a. Найпростіше провести таку пряму площині ABC, т.к. у ній лежать пряма і точка D, що належить перерізу. D Проведемо в площині ABC через точку D пряму DS, паралельну до прямої a. DS AB = S. 4. Т.к. (ABC) // (A1B1C1), проведемо в площині (A1B1C1) через точку M, пряму MP // SD. MP B1C1 = P 5. Т.к. (DD1C1) // (AA1B1), то P B C площині (AA1B1) можна через точку S провести пряму M N A D SN, паралельну DM. SN BB1 = N 1 1 1 1 B C S A D 6. Точки N і P лежать у площині (A1B1C1). З'єднаємо їх. SNPMD - шуканий переріз. Отже: 1. Побудова. 1. MD B1 A1 N P C1 S A M 3. (A1B1C1), через точку M, MP // DS, MP B1C1 = P C 4. У площині (AA1B1) через точку S, SN // DM, SN BB1 = N 5. NP D1 B D 2. В (ABC), через точку D, DS // a, DS AB = S Доведемо, що SNPMD шуканий переріз . 2. Доказ. B1 A1 N 1. Перетин проходить через точку D і середину ребра D1C1 - точку M за побудовою. P C1 M C S A 3. PM // SD, P B1C1 за побудовою D1 B D 2. DS // a, (S AB) за побудовою, отже (KNP) // a за ознакою. 4. SN // DM, N BB1 за побудовою 5. P (BB1C1), N (BB1C1) => PN (BB1C1). Отже, SNPMD шуканий переріз ч.т.д. Завдання 3. Побудувати перетин паралелепіпеда, паралельний B1A і проходить через точки M і N. Міркування. 1. З'єднаємо M та N (вони лежать у площині (C1A1B1)). B1 N M A1 D1 B A C1 C D Більше з'єднувати нема чого. Скористаємося додатковою умовою: січна площина повинна бути паралельна прямої B1A 2. Для того, щоб січна площина виявилася паралельна AB1, потрібно, щоб у ній лежала пряма, паралельна AB1 (або DC1, тому що DC // AB1 за властивістю паралепі. Найзручніше зображати таку пряму межі DD1C1C, т.к. (DD1C1) // (AA1B1), а AB1 (AA1B1). Проведемо у площині (DD1C1) пряму NK // AB1, NK DD1 = K. B1 N M A1 D1 B 3. Тепер у площині AA1D1 є дві точки, M і K, що належать перерізу. З'єднаємо їх. C K A C1 D MNK – перетин, що шукається. Отже: 1. Побудова. 1. MN 2. У площині (DD1C1) NK // AB1, NK DD1 = K. . B1 N A1 A M D1 C1 3. MK Доведемо, що MNK – перетин 2. Доказ. B C 1. Перетин проходить через точки M та N. K 2. M (A1B1C1), N (A1B1C1) => D MN (A1B1C1). 3. M (ADD1), K (ADD1) => MK (ADD1). 4. Т.к. NK // AB1 за побудовою, то (MNK) // AB1 за ознакою паралельності прямої та площини. Отже, MNK – шуканий переріз ч.т.д. Завдання 3. 1. У тетраедрі DABC побудуйте переріз площиною, що проходить через середину ребра DC, вершину B та паралельної прямої AC. 2. Побудуйте перетин паралелепіпеда площиною, що проходить через середину ребра B1C1 і точку K, що лежить на ребрі CD, паралельній прямій BD, якщо DK: KC = 1:3. прямий a (рис. 1). рис.1 4. У паралелепіпеді ABCDA1B1C1D1 точка E належить ребру CD. Побудуйте перетин паралелепіпеда площиною, що проходить через цю точку та паралельною площиною BC1D. 5. Побудуйте перетин паралелепіпеда площиною, що проходить через AA1, паралельно MN, де M – середина AB, N – середина BC. 6. Побудуйте перетин паралелепіпеда площиною, що проходить через середину ребра B1C1 паралельно площині AA1C1.

Викладач математики Щелковської філії ДБПОУ МО "Красногорський коледж" Артем'єв Василь Ілліч.

Вивчення теми «Вирішення завдань на побудову перерізів» починається в 10 класі або на першому курсі установ НУО. У випадку, якщо кабінет математики оснащений засобами мультимедіа, вирішення проблеми вивчення полегшується за допомогою різних програм. Однією із таких програм є програмне забезпечення динамічної математики GeoGebra 4.0.12. Вона підходить для вивчення та навчання на будь-якому з етапів освіти, полегшує створення математичних побудовта моделей учнями, які дозволяють проводити інтерактивні дослідження при переміщенні об'єктів та зміну параметрів.

Розглянемо застосування цього програмного продукту конкретному прикладі.

Завдання. Побудувати переріз піраміди площиною PQR, якщо точка P лежить на прямій SA, точка Q лежить на прямій SB, точка R лежить на прямій SC.

Рішення. Розглянемо два випадки. Випадок 1. Нехай точка P належить до ребра SA.

1. Зазначимо за допомогою інструмента «Точка» довільні точки A, B, C, D. Клацніть правою клавішею на точку D, виберемо «Перейменувати». Перейменуємо D на S і встановимо положення цієї точки, як показано на малюнку 1.

2. За допомогою інструмента «Відрізок по двох точках» збудуємо відрізки SA, SB, SC, AB, AC, BC.

3. Клацніть правою клавішею миші по відрізку AB і вибираємо "Властивості" - "Стиль". Встановлюємо пунктирну лінію.

4. Зазначимо на відрізках SA, SB, CS точки P, Q, R.

5. Інструментом "Пряма по двох точках" побудуємо пряму PQ.

6. Розглянемо пряму PQ та точку R. Питання учням: Скільки площин проходить через пряму PQ та точку R? Відповідь обґрунтуйте. (Відповідь. Через пряму і не лежачу на ній точку проходить площину, і до того ж тільки одна).

7. Будуємо прямі PR та QR.

8. Вибираємо інструмент «Багатокутник» та по черзі клацніть по точках PQRP.

9. Інструментом «Переміщувати» змінюємо положення точок та спостерігаємо за змінами перерізу.

Малюнок 1.

10. Клацніть по багатокутнику правою клавішею і вибираємо "Властивості" - "Колір". Заливаємо багатокутник якимось ніжним кольором.

11. На панелі об'єктів клацніть по маркерах і приховати прямі.

12. Як додаткове завдання можна виміряти площу перерізу.

Для цього виберемо інструмент «Площа» і клацніть лівою кнопкою миші по багатокутнику.

Випадок 2. Крапка P лежить на прямій SA. Для розгляду розв'язання задачі для цього випадку можна скористатися кресленням колишнього завдання. Прихуємо лише багатокутник і точку Р.

1. Інструментом "Пряма по двох точках" побудуємо пряму SA.

2. Зауважимо на прямій SA точку P1, як показано на малюнку 2.

3. Проведемо пряму P1Q.

4. Вибираємо інструмент «Перетин двох об'єктів» і клацніть лівою клавішею миші по прямих АВ і P1Q. Знайдемо точку їх перетину До.

5. Проведемо пряму P1R. Знайдемо точку перетину М цієї прямої з прямою АС.

Запитання учням: скільки площин можна провести через прямі P1Q та P1R? Відповідь обґрунтуйте. (Відповідь. Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину, і притому тільки одна).

6. Проведемо прямі КМ та QR. Запитання учням. Яким площинам одночасно належать точки К, М? Перетином яких площин є пряма КМ?

7. Побудуємо багатокутник QRKMQ. Заллємо ніжним кольором і приховаємо допоміжні прямі.

Малюнок 2.

За допомогою інструмента "Переміщення" рухаємо точку вздовж прямої AS. Розглядаємо різні положення площини перерізу.

Завдання для побудови перерізів:

1. Побудувати перетин, що визначається паралельними прямими АА1 та СС1. Скільки площин проходить через паралельні прямі?

2. Побудувати перетин, що проходить через прямі, що перетинаються. Скільки площин проходить через прямі, що перетинаються?

3. Побудова перерізів із використанням властивостей паралельних площин:

а) Побудувати перетин паралелепіпеда площиною, що проходить через точку М та пряму АС.

б) Побудувати переріз призми площиною, що проходить через ребро АВ та середину ребра В1С1.

в) Побудувати переріз піраміди площиною, що проходить через точку К і паралельно площині основ піраміди.

4. Побудова перерізів шляхом слідів:

а) Дано піраміду SABCD. Побудувати переріз піраміди площиною, що проходить через точки P, Q та R.

5) Проведемо пряму QF і знайдемо точку Н перетину з ребром SB.

6) Проведемо прямі HR та PG.

7) Виділимо інструментом «Багатокутник» отриманий переріз і змінимо колір заливки.

б) Самостійно побудуйте перетин паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 площиною, що проходить через точки P, K та M. Список джерел.

1. Електронний ресурс http://www.geogebra.com/indexcf.php

2. Електронний ресурс http://geogebra.ru/www/index.php (Сайт Сибірського інституту GeoGebra)

3. Електронний ресурс http://cdn.scipeople.com/materials/16093/projective_geometry_geogebra.PDF

4. Електронний ресурс. http://nesmel.jimdo.com/geogebra-rus/

5. Електронний ресурс http://forum.sosna24k.ru/viewforum.php?f=35&sid=(Форум GeoGebra для вчителів та школярів).

6. Електронний ресурс www.geogebratube.org (Інтерактивні матеріали для роботи з програмою)

А ви знаєте, що називається перетином багатогранників площиною? Якщо ви поки сумніваєтеся в правильності відповіді на це питання, то можете досить просто себе перевірити. Пропонуємо пройти невеликий тест, поданий нижче.

Запитання. Назвіть номер малюнка, на якому зображено перетин паралелепіпеда площиною?

Отже, правильна відповідь – малюнку 3.

Якщо ви відповісте правильно, це підтверджує те, що ви розумієте з чим маєте справу. Але, на жаль, навіть правильна відповідь на запитання-тест не гарантує вам найвищих позначок на уроках на тему «Речення багатогранників». Адже найскладнішим є не розпізнавання перерізів на готових кресленнях, хоча це теж дуже важливо, а їхню побудову.

Спочатку сформулюємо визначення перерізу багатогранника. Отже, перерізом багатогранника називають багатокутник, вершини якого лежать на ребрах багатогранника, а сторони – з його гранях.

Тепер потренуємося швидко та безпомилково будувати точки перетину даної прямої із заданою площиною. Для цього вирішимо таке завдання.

Побудувати точки перетину прямої MN з площинами нижньої та верхньої основ трикутної призми ABCA 1 B 1 C 1 , за умови, що точка M належить бічному ребру CC 1 , а точка N – ребру BB 1 .

Почнемо з того, що продовжимо креслення пряму MN в обидві сторони (рис. 1). Потім, щоб отримати необхідні за уловом завдання точки перетину, продовжуємо і прямі, що лежать у верхній і нижній підставах. І ось настає найскладніший момент у розв'язанні задачі: які саме прямі в обох підставах необхідно продовжити, тому що в кожному є по три прямі.

Щоб правильно зробити заключний крокпобудови, необхідно визначити, які з прямих основ знаходяться в тій же площині, що і пряма MN, що цікавить нас. У нашому випадку це пряма CB в нижньому і C 1 B 1 в верхніх підставах. І саме їх і продовжуємо до перетину із прямою NM (рис. 2).

Отримані точки P і P 1 є точки перетину прямої MN з площинами верхнього і нижньої основтрикутної призми ABCA 1 B 1 C 1 .

Після розбору поданої задачі можна перейти безпосередньо до побудови перерізів багатогранників. Ключовим моментом тут будуть міркування, які й допоможуть дійти потрібного результату. У результаті постараємося в результаті скласти шаблон, який відображатиме послідовність дій при вирішенні завдань даного типу.

Отже, розглянемо таке завдання. Побудувати переріз трикутної призми ABCA 1 B 1 C 1 площиною, що проходить через точки X, Y, Z, що належать ребрам AA 1 AC і BB 1 відповідно.

Рішення: Виконаємо креслення та визначимо, які пари точок лежать в одній площині.

Пари точок X та Y, X і Z можна з'єднати, т.к. вони лежать у одній площині.

Побудуємо додаткову точку, що лежати у тій самій грані, як і точка Z. І тому продовжимо прямі XY і СС 1 , т.к. вони лежать у площині грані AA 1 C 1 C. Назвемо отриману точку P.

Точки P і Z лежать у одній площині – у площині грані CC 1 B 1 B. Тому можемо їх з'єднати. Пряма PZ перетинає ребро CB у певній точці, назвемо її T. Точки Y та T лежать у нижній площині призми, з'єднуємо їх. Таким чином, утворився чотирикутник YXZT, а це і є перетин, що шукається.

Підведемо підсумок. Щоб побудувати переріз багатогранника площиною, необхідно:

1) провести прямі через пари точок, що лежать в одній площині.

2) знайти прямі, якими перетинаються площини перерізу і грані багатогранника. Для цього потрібно знайти точки перетину прямої, що належить площині перерізу, з прямою, що лежить в одній із граней.

Процес побудови перерізів багатогранників складний тим, що у кожному даному випадку він різний. І жодна теорія не визначає його від початку до кінця. Насправді є лише один вірний спосіб навчитися швидко та безпомилково будувати перерізи будь-яких багатогранників – це постійна практика. Чим більше перетинів ви збудуєте, тим легше надалі вам це робитиме.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

ПОБУДУВАННЯ ПЕРЕКЛАВ І РОЗРІЗІВ НА КРЕСЛЕННЯХ

Формування креслення деталі здійснюється шляхом послідовного додавання необхідних проекцій, розрізів та перерізів. Спочатку створюється довільний вигляд із зазначеною користувачем моделі, при цьому задається орієнтація моделі, що найбільше підходить для головного вигляду. Далі з цього та наступних видів створюються необхідні розрізи та перерізи.

Головний вид (вид спереду) вибирається таким чином, щоб він давав найбільш повне уявлення про форми та розміри деталі.

Розрізи на кресленнях

Залежно від положення січної площини розрізняють такі види розрізів:

А) горизонтальні, якщо січна площина розташовується паралельно горизонтальній площині проекцій;

Б) вертикальні, якщо січна площина перпендикулярна горизонтальній площині проекцій;

В) похилі - січна площина нахилена до площин проекцій.

Вертикальні розрізи поділяються на:

· фронтальні - січна площина паралельна фронтальній площині проекцій;

· профільні - січна площина паралельна профільній площині проекцій.
Залежно від кількості сіючих площин розрізи бувають:

· прості - при одній січній площині (рис.107);

· складні - при двох і більше секучих площинах (мал.108)
Стандартом передбачені такі види складних розрізів:

· ступінчасті, коли сіючі площини розташовуються паралельно (рис.108 а) і ламані - сіючі площини перетинаються (рис.108 б)

Рис.107 Простий розріз

а) б)

Рис.108 Складні розрізи

Позначення розрізів

У разі, коли в простому розрізі січна площина збігається з площиною симетрії предмета, не позначається розріз (рис.107). В інших випадках розрізи позначаються великими літерамиросійського алфавіту, починаючи з літери А, наприклад, А-А.

Положення січної площини на кресленні вказують лінією перерізу – потовщеною розімкнутою лінією. При складному розрізі штрихи проводять у перегинів лінії перерізу. На початковому та кінцевому штрихах слід ставити стрілки, що вказують напрямок погляду, стрілки повинні знаходитися на відстані 2-3 мм від зовнішніх кінців штрихів. З зовнішнього боку кожної стрілки, що вказує напрям погляду, наносять ту саму прописну букву.

Для позначення розрізів і перерізів у системі КОМПАС використовується та сама кнопка Лінія розрізу, розташована сторінці Позначення (рис.109).

Рис.109 Кнопка Лінія розрізу

З'єднання половини виду з половиною розрізу

Якщо вид і розріз є симетричними фігурами (рис.110), можна з'єднувати половину виду і половину розрізу, розділяючи їх штрихпунктирою тонкою лінією, що є віссю симетрії. Частину розрізу зазвичай мають праворуч від осі симетрії, що розділяє частину виду з частиною розрізу, або знизу від осі симетрії. Лінії невидимого контуру на частинах виду і розрізу, що з'єднуються, зазвичай не показуються. Якщо з осьовою лінією, що поділяє вигляд і розріз, збігається проекція будь-якої лінії, наприклад, ребра гранної фігури, то вид і розріз поділяються суцільною хвилястою лінією, що проводиться ліворуч від осі симетрії, якщо ребро лежить на внутрішньої поверхні, або правіше, якщо зовнішнє ребро.

Рис. 110 З'єднання частини виду та розрізу

Побудова розрізів

Побудова розрізів у системі КОМПАС вивчимо з прикладу побудови креслення призми, завдання якого зображено на рис.111.

Послідовність побудови креслення така:

1. За заданими розмірами збудуємо твердотільну модель призми (рис.109 б). Збережемо модель у пам'яті комп'ютера у файлі під назвою «Призма».

Рис.112 Панель Лінії

3. Для побудови профільного розрізу (рис.113) накреслимо лінію розрізу А-Ана головному вигляді за допомогою кнопкиЛінія розрізу.

Рис.113 Побудова профільного розрізу

Напрямок погляду та текст позначення можна вибрати на панелі керування командою внизу екрана (рис.114). Завершується побудова лінії розрізу натисканням кнопки Створити об'єкт.

Рис.114 Панель управління командою побудови розрізів та перерізів

4. На панелі Асоціативні види (рис.115) виберемо кнопку Лінія розрізу, потім пасткою, що з'явилася на екрані, вкажемо лінію розрізу. Якщо все зроблено правильно (лінія розрізу повинна бути обов'язково побудована в активному вигляді), лінія розрізу пофарбується в червоний колір. Після вказівки лінії розрізу АА на екрані з'явиться фантом зображення у вигляді габаритного прямокутника.

Рис.115 Панель Асоціативні види

За допомогою перемикача Розріз/перетин на Панелі властивостей вибирається тип зображення – Розріз (рис.116) і масштаб розрізу, що відображається.

Рис.116 Панель управління командою побудови розрізів та перерізів

Профільний розріз побудується автоматично у проекційному зв'язку та зі стандартним позначенням. При необхідності проекційний зв'язок можна вимикати перемикачем Проекційний зв'язок (рис.116).Для налаштування параметрів штрихування, яка буде використана у розрізі (перетині), що створюється, використовується елементи керування на вкладці Штрихування.

Рис.117 Побудова горизонтального розрізу Б-Б та перерізу В-В

Якщо вибрана січна площина під час побудови розрізу збігається з площиною симетрії деталі, то відповідно до стандарту такий розріз не позначається. Але якщо просто стерти позначення розрізу, то через те, що вигляд і розріз у пам'яті комп'ютера пов'язані між собою, то зітреться весь розріз. Тому для того, щоб видалити позначення, спочатку слід зруйнувати зв'язок виду та розрізу. Для цього клацанням лівої кнопки миші виділяється розріз, а потім клацанням правої кнопки миші викликається контекстне меню, з якого вибирається пункт Зруйнувати вигляд (рис.97). Тепер позначення розрізу можна видалити.

5. Для побудови горизонтального розрізу проведемо через нижню площину отвору у вигляді спереду лінію розрізу Б-Б. Попередньо обов'язково двома клацаннями лівої кнопки миші вид спереду слід зробити поточним. Потім будується горизонтальний розріз (рис.117).

6. При побудові фронтального розрізу сумісний частина виду та частина розрізу, т.к. це симетричні постаті. На лінію розділяє вигляд і розріз проектується зовнішнє ребро призми, тому розмежуємо вид і розріз суцільний тонкої хвилястою лінією, що проводиться праворуч від осі симетрії, т.к. ребро зовнішнє. Для побудови хвилясті лініївикористовується кнопкаКрива Безьє, що розташована на панелі Геометрія, що викреслюється стилем Для лінії обриву (рис.118). Послідовно вказуйте точки, якими має пройти крива Безье. Закінчити виконання команди слід натисканням кнопки Створити об'єкт.

Рис.118 Вибір стилю лінії для урвища

Побудова перерізів

Перерізом називається зображення предмета, які виходять при уявному розтину предмета площиною. На перерізі показують тільки те, що розташоване в площині, що сить.

Положення січної площини, з допомогою якої утворюється переріз, на кресленні вказують лінією перерізу, як і розрізів.

Перерізи в залежності від розташування їх на кресленнях поділяються на винесені та накладені. Винесені перерізи розташовуються найчастіше вільному полі креслення і обводяться основний лінією. Накладені перерізи мають безпосередньо на зображенні предмета і обводять тонкими лініями (рис.119).

Рис.119 Побудова перерізів

Розглянемо послідовність побудови креслення призми з винесеним похилим перетином Б-Б(Рис.117).

1. Зробимо вигляд спереду активним подвійним клацанням лівою кнопкою миші на вигляд і накреслимо лінію розрізу за допомогою кнопки Лінія розрізу . Виберемо текст написи В-В.

2. За допомогою кнопки Лінія розрізу, розташованої на панелі Асоціативні види (рис.115), пасткою, що з'явилася, вкажемо лінію сіючої площині В-В. За допомогою перемикача Розріз/перетин на Панелі властивостей слід вибрати тип зображення – Перетин (рис.116), масштаб перетину, що відображається, вибирається з вікна Масштаб.

Побудований перетин розташовується у проекційному зв'язку, що обмежує його переміщення по кресленню, але проекційний зв'язок можна відключати за допомогою кнопки Проекційний зв'язок.

На готовому кресленні слід прокреслити осьові лінії, у разі потреби проставити розміри.

У ході уроку всі охочі зможуть отримати уявлення про тему.Завдання на побудову перерізів у паралелепіпеді». Спочатку ми повторимо чотири основні опорні властивості паралелепіпеда. Потім, використовуючи їх, вирішимо деякі типові завдання на побудову перерізів у паралелепіпеді та визначення площі перерізу паралелепіпеда.

Тема: Паралельність прямих та площин

Урок: Завдання на побудову перерізів у паралелепіпеді

У ході уроку всі охочі зможуть отримати уявлення про тему «Завдання на побудову перерізів у паралелепіпеді».

Розглянемо паралелепіпед АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 1). Згадаймо його властивості.

Рис. 1. Властивості паралелепіпеда

1) Протилежні грані (рівні паралелограми) лежать у паралельних площинах.

Наприклад, паралелограми АВСD і А1B1C1D1 рівні (тобто їх можна поєднати накладенням) і лежать у паралельних площинах.

2) Довжини паралельних ребер рівні.

Наприклад, AD = BC = A 1 D 1 = B 1 C 1 (рис. 2).

Рис. 2. Довжини протилежних ребер паралелепіпеда рівні

3) Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.

Наприклад, діагоналі паралелепіпеда BD 1 і B 1 D перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл (рис. 3).

4) У переріз паралелепіпеда може бути трикутник, чотирикутник, п'ятикутник, шестикутник.

Завдання на переріз паралелепіпеда

Наприклад, розглянемо рішення наступного завдання. Дано паралелепіпед АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 і точки M, N, K на ребрах AA 1 , A 1 D 1 , A 1 B 1 відповідно (рис. 4). Побудуйте перерізи паралелепіпеда площиною MNK. Точки M і N одночасно лежать у площині AA 1 D 1 і в січній площині. Отже, MN - лінія перетину двох зазначених площин. Аналогічно отримуємо MK та KN. Тобто перетином буде трикутник MKN.

1. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий та профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е видання, виправлене та доповнене – М.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл.

Завдання 13, 14, 15 стор.

2. Даний паралелепіпед АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 . М і N - середини ребер DC та A 1 B 1 .

а) Побудуйте точки перетину прямих АМ та AN площиною грані ВР 1 С 1 С.

б) Побудуйте лінію перетину площин AMN та ВР 1 С 1

3. Побудуйте перерізи паралелепіпеда АВСDА 1 B 1 C 1 D 1 площиною, що проходить через ВС 1 і середину М ребра DD 1 .