Рівняння щодо графіку функції дорівнює. Урок "рівняння щодо графіку функції"

На сучасному етапі розвитку освіти як одне з основних його завдань виступає формування творчо мислячої особистості. Здатність до творчості в учнів може бути розвинена лише за умови систематичного залучення їх до основ дослідницької діяльності. Фундаментом для застосування учнями своїх творчих сил, здібностей та обдарувань є сформовані повноцінні знання та вміння. У зв'язку з цим проблема формування системи базових знань та умінь з кожної теми шкільного курсу математики має важливе значення. При цьому повноцінні вміння повинні бути дидактичною метою не окремих завдань, а ретельно продуманої системи. У найширшому розумінні під системою розуміється сукупність взаємозалежних елементів, що володіє цілісністю і стійкою структурою.

Розглянемо методику навчання учнів складання рівняння щодо графіку функції. По суті, всі завдання на відшукання рівняння дотичної зводяться до необхідності відбору з множини (пучка, сімейства) прямих тих з них, які задовольняють певну вимогу - є дотичним до графіка деякої функції. При цьому безліч прямих, з якого здійснюється відбір, може бути задано двома способами:

а) точкою, що лежить на площині xOy (центральний пучок прямих);
б) кутовим коефіцієнтом (паралельний пучок прямих).

У зв'язку з цим щодо теми «Доторна до графіку функції» з метою вичленування елементів системи нами було виділено два типи завдань:

1) завдання на дотичну, задану точкою, якою вона проходить;
2) завдання на дотичну, задану її кутовим коефіцієнтом.

Навчання вирішення завдань на дотичну здійснювалося за допомогою алгоритму, запропонованого А.Г. Мордковичем. Його принципова відмінністьвід вже відомих полягає в тому, що абсциса точки дотику позначається буквою a (замість x0), у зв'язку з чим рівняння дотичної набуває вигляду

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(порівняйте з y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Цей методичний прийом, на наш погляд, дозволяє учням швидше та легше усвідомити, де в загальному рівнянні дотичної записані координати поточної точки, а де – точки торкання.

Алгоритм складання рівняння щодо графіку функції y = f(x)

1. Позначити буквою a абсцис точки торкання.
2. Знайти f(a).
3. Знайти f"(x) і f"(a).
4. Підставити знайдені числа a, f(a), f"(a) у загальне рівняння дотичної y = f(a) = f "(a)(x – a).

Цей алгоритм може бути складений на основі самостійного виділення учнями операцій та послідовності їх виконання.

Практика показала, що послідовне рішеннякожним із ключових завдань за допомогою алгоритму дозволяє формувати вміння написання рівняння щодо графіку функції поетапно, а кроки алгоритму служать опорними пунктами дій. Цей підхід відповідає теорії поетапного формування розумових дій, розробленої П.Я. Гальперіним та Н.Ф. Тализіна.

У першому типі завдань було виділено дві ключові задачі:

• дотична проходить через точку, що лежить на кривій (завдання 1);
• дотична проходить через точку, що не лежить на кривій (завдання 2).

Завдання 1. Складіть рівняння щодо графіку функції у точці M(3; - 2).

Рішення. Точка M(3; – 2) є точкою торкання, оскільки

1. a = 3 – абсцис точки дотику.
2. f(3) = - 2.
3. f "(x) = x 2 - 4, f "(3) = 5.
y = - 2 + 5 (x - 3), y = 5x - 17 - рівняння дотичної.

Завдання 2. Напишіть рівняння всіх, що стосуються графіка функції y = – x 2 – 4x + 2, що проходять через точку M(– 3; 6).

Рішення. Точка M(– 3; 6) не є точкою дотику, оскільки f(– 3) 6 (рис. 2).

2. f(a) = - a 2 - 4a + 2.
3. f "(x) = - 2x - 4, f "(a) = - 2a - 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – рівняння дотичної.

Відносна проходить через точку M(– 3; 6), отже, її координати задовольняють рівняння дотичної.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

Якщо a = - 4, то рівняння дотичної має вигляд y = 4x + 18.

Якщо a = - 2, то рівняння дотичної має вигляд y = 6.

У другому типі ключовими завданнями будуть такі:

• дотична паралельна до деякої прямої (завдання 3);
• дотична проходить під деяким кутом до цієї прямої (завдання 4).

Завдання 3. Напишіть рівняння всіх, що стосуються графіка функції y = x 3 – 3x 2 + 3, паралельних прямій y = 9x + 1.

1. a – абсцису точки торкання.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 - 6x, f "(a) = 3a 2 - 6a.

Але, з іншого боку, f "(a) = 9 (умова паралельності). Отже, треба розв'язати рівняння 3a 2 – 6a = 9. Його коріння a = – 1, a = 3 (рис. 3).

4. 1) a = - 1;
2) f(-1) = - 1;
3) f "(-1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 – рівняння дотичної;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);

y = 9x – 24 – рівняння дотичної.

Завдання 4. Напишіть рівняння щодо функції y = 0,5x 2 – 3x + 1, що проходить під кутом 45° до прямої y = 0 (рис. 4).

Рішення. З умови f "(a) = tg 45 ° знайдемо a: a - 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – абсцис точки дотику.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) = 4 - 3 = 1.
4. y = - 3 + 1 (x - 4).

y = x – 7 – рівняння дотичної.

Нескладно показати, що розв'язання будь-якого іншого завдання зводиться до вирішення однієї або кількох ключових задач. Розглянемо як приклад такі дві задачі.

1. Напишіть рівняння дотичних до параболи y = 2x 2 – 5x – 2, якщо дотичні перетинаються під прямим кутом і одна з них стосується параболи в точці з абсцисою 3 (рис. 5).

Рішення. Оскільки дана абсцис точки торкання, то перша частина рішення зводиться до ключового завдання 1.

1. a = 3 – абсцис точки дотику однієї зі сторін прямого кута.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x - 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – рівняння першої дотичної.

Нехай a – кут нахилу першої дотичної. Оскільки дотичні перпендикулярні, то – кут нахилу другої дотичної. З рівняння y = 7x – 20 першої дотичної маємо tg a = 7. Знайдемо

Це означає, що кутовий коефіцієнт другої дотичної дорівнює .

Подальше рішення зводиться до ключового завдання 3.

Нехай B(c; f(c)) є точка торкання другої прямої, тоді

1. – абсцису другої точки торкання.
2.
3.
4.
- Рівняння другої дотичної.

Примітка. Кутовий коефіцієнт дотичної може бути знайдений простіше, якщо учням відоме співвідношення коефіцієнтів перпендикулярних до прямих k 1 k 2 = – 1.

2. Напишіть рівняння всіх загальних, що стосуються графіків функцій

Рішення. Завдання зводиться до пошуку абсцис точок торкання загальних дотичних, тобто до вирішення ключового завдання 1 у загальному вигляді, складання системи рівнянь та подальшого її вирішення (рис. 6).

1. Нехай a – абсцис точки дотику, що лежить на графіку функції y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f"(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Нехай c – абсцису точки торкання, що лежить на графіку функції
2.
3. f"(c) = c.
4.

Оскільки дотичні загальні, то

Отже, y = x + 1 та y = - 3x - 3 - загальні дотичні.

Основна мета розглянутих завдань – підготувати учнів до самостійного розпізнавання типу ключового завдання під час вирішення складніших завдань, потребують певних дослідницьких умінь (уміння аналізувати, порівнювати, узагальнювати, висувати гіпотезу тощо. буд.). До таких завдань можна віднести будь-яку задачу, в яку ключове завдання входить як складова. Розглянемо як приклад завдання (зворотне завдання 1) на знаходження функції сімейства її дотичних.

3. При яких b і c прямі y = x та y = – 2x є дотичні до графіка функції y = x 2 + bx + c?

Нехай t – абсцису точки дотику прямої y = x з параболою y = x 2 + bx + c; p – абсцис точки торкання прямої y = – 2x з параболою y = x 2 + bx + c. Тоді рівняння дотичної y = x набуде вигляду y = (2t + b)x + c – t 2 , а рівняння дотичної y = – 2x набуде вигляду y = (2p + b)x + c – p 2 .

Складемо і розв'яжемо систему рівнянь

Відповідь:

Стосовна - це пряма яка стосується графіка функції в одній точці і всі точки якої знаходяться на найменшій відстані від графіка функції. Тому дотична проходить щодо графіка функції під певним кутом і не можуть проходити через точку дотику кілька дотичних під різними кутами. Рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції складаються за допомогою похідної.

Рівняння дотичної виводиться з рівняння прямої .

Виведемо рівняння дотичної, та був - рівняння нормалі до графіку функції.

y = kx + b .

В ньому k- Кутовий коефіцієнт.

Звідси отримуємо наступний запис:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Значення похідної f "(x 0 ) функції y = f(x) у точці x0 дорівнює кутовому коефіцієнту k= tg φ дотичної до графіка функції, проведеної через точку M0 (x 0 , y 0 ) , де y0 = f(x 0 ) . У цьому полягає геометричний змістпохідний .

Таким чином, можемо замінити kна f "(x 0 ) та отримати наступне рівняння дотичної до графіка функції :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

У завданнях на складання рівняння дотичної до графіку функції (а ми вже скоро до них перейдемо) потрібно привести рівняння, що вийшло за вищенаведеною формулою рівняння прямий у загальному вигляді. Для цього потрібно всі літери та числа перенести до лівої частини рівняння, а у правій частині залишити нуль.

Тепер про рівняння нормалі. Нормаль - це пряма, яка проходить через точку торкання графіка функції перпендикулярно дотичної. Рівняння нормалі :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Для розминки перший приклад пропонується вирішити самостійно, а потім подивитися рішення. Є всі підстави сподіватися, що для наших читачів це завдання не буде холодним душем.

приклад 0.Скласти рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції у точці M (1, 1) .

приклад 1.Скласти рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції , якщо абсцис точки торкання .

Знайдемо похідну функції:

Тепер у нас є все, що потрібно підставити до наведеного в теоретичній довідці запису, щоб отримати рівняння дотичної. Отримуємо

У цьому прикладі нам пощастило: кутовий коефіцієнт виявився рівним нулю, тому окремо наводити рівняння до загального виглядуне знадобилося. Тепер можемо скласти і рівняння нормалі:

На малюнку нижче: графік функції бордового кольору, дотична зеленого кольору, нормаль оранжевого кольору.

Наступний приклад - теж не складний: функція, як і в попередньому, також є багаточленом, але кутовий коефіцієнт не дорівнюватиме нулю, тому додасться ще один крок - приведення рівняння до загального вигляду.

приклад 2.

Рішення. Знайдемо ординату точки дотику:

Знайдемо похідну функції:

.

Знайдемо значення похідної у точці торкання, тобто кутовий коефіцієнт дотичної:

Підставляємо всі отримані дані у "формулу-болванку" і отримуємо рівняння дотичної:

Наводимо рівняння до загального вигляду (всі букви та числа, відмінні від нуля, збираємо в лівій частині, а в правій залишаємо нуль):

Складаємо рівняння нормалі:

приклад 3.Скласти рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції, якщо абсцис точки дотику.

Рішення. Знайдемо ординату точки дотику:

Знайдемо похідну функції:

.

Знайдемо значення похідної у точці торкання, тобто кутовий коефіцієнт дотичної:

.

Знаходимо рівняння дотичної:

Перед тим, як привести рівняння до загального вигляду, потрібно його трохи "зачесати": помножити почленно на 4. Робимо це і наводимо рівняння до загального вигляду:

Складаємо рівняння нормалі:

приклад 4.Скласти рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції, якщо абсцис точки дотику.

Рішення. Знайдемо ординату точки дотику:

.

Знайдемо похідну функції:

Знайдемо значення похідної у точці торкання, тобто кутовий коефіцієнт дотичної:

.

Отримуємо рівняння дотичної:

Наводимо рівняння до загального вигляду:

Складаємо рівняння нормалі:

Поширена помилка при складанні рівнянь дотичної та нормалі - не помітити, що функція, дана в прикладі, - складна і обчислювати її похідну як похідну простий функції. Наступні приклади - вже зі складними функціями(Відповідний урок відкриється в новому вікні).

Приклад 5.Скласти рівняння дотичної та рівняння нормалі до графіка функції, якщо абсцис точки дотику.

Рішення. Знайдемо ординату точки дотику:

Увага! Ця функція- складна, оскільки аргумент тангенсу (2 x) сам є функцією. Тому знайдемо похідну функції як похідну складної функції.

Стосовна- Це пряма, що проходить через точку кривої і збігається з нею в цій точці з точністю до першого порядку (рис.1).

Інше визначення: це граничне положення січеї при Δ x→0.

Пояснення: Візьмемо пряму, що перетинає криву у двох точках: Аі b(Див. малюнок). Це січна. Повертатимемо її за годинниковою стрілкою доти, доки вона не знайде тільки одну загальну точкуз кривою. Так ми отримаємо дотичну.

Суворе визначення дотичної:

Стосовна графіку функції f, що диференціюється в точці xпро, - Це пряма, що проходить через точку ( xпро; f(xпро)) і має кутовий коефіцієнт f′( xпро).

Кутовий коефіцієнт має прямий вигляд y =kx +b. Коефіцієнт kі є кутовим коефіцієнтомцієї прямої.

Кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсу гострого кута, що утворюється цією прямою з віссю абсцис:

k = tg α

Тут кут α – це кут між прямою y =kx +bі позитивним (тобто проти годинникової стрілки) напрямом осі абсцис. Він називається кутом нахилу прямий(Рис.1 і 2).

Якщо кут нахилу прямий y =kx +bгострий, то кутовий коефіцієнт є позитивним числом. Графік зростає (рис.1).

Якщо кут нахилу прямий y =kx +bтупий, то кутовий коефіцієнт є негативним числом. Графік зменшується (рис.2).

Якщо пряма паралельна осі абсцис, то кут нахилу прямий дорівнює нулю. У цьому випадку кутовий коефіцієнт прямий теж дорівнює нулю (оскільки тангенс нуля є нуль). Рівняння прямої мати вигляд y = b (рис.3).

Якщо кут нахилу прямий дорівнює 90º (π/2), тобто вона перпендикулярна до осі абсцис, то пряма задається рівністю x =c, де c- Деяке дійсне число (рис.4).

Рівняння щодо графіку функціїy = f(x) у точці xпро:

Приклад: Знайдемо рівняннядотичної до графіку функції f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 у точці з абсцисою 2.

Рішення .

Дотримуємося алгоритму.

1) Крапка торкання xпродорівнює 2. Обчислимо f(xпро):

f(xпро) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Знаходимо f′( x). Для цього застосовуємо формули диференціювання, викладені у попередньому розділі. Згідно з цими формулами, х 2 = 2х, а х 3 = 3х 2 . Значить:

f′( x) = 3х 2 – 2 ∙ 2х = 3х 2 – 4х.

Тепер, використовуючи отримане значення f′( x), обчислимо f′( xпро):

f′( xпро) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Отже, у нас є всі необхідні дані: xпро = 2, f(xпро) = 1, f ′( xпро) = 4. Підставляємо ці числа в рівняння дотичної та знаходимо остаточне рішення:

у = f(xпро) + f′( xпро) (x – x про) = 1 + 4 ∙ (х - 2) = 1 + 4х - 8 = -7 + 4х = 4х - 7.

Відповідь: у = 4х - 7.

приклад 1.Дана функція f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Напишемо рівняння щодо графіку функції f(x) у точці графіка з абсцисою x 0 = 1.

Рішення.Похідна функції f(x) існує для будь-якого x R . Знайдемо її:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

Тоді f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Рівняння дотичної має вигляд:

y = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),

y = 10(x – 1) + 2,

y = 10x – 8.

Відповідь. y = 10x – 8.

приклад 2.Дана функція f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Напишемо рівняння щодо графіку функції f(x), паралельної прямої y = 2x – 11.

Рішення.Похідна функції f(x) існує для будь-якого x R . Знайдемо її:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5) '= 3 x 2 – 6x + 2.

Так як до графіка функції f(x) у точці з абсцисою x 0 паралельна прямий y = 2x- 11, то її кутовий коефіцієнт дорівнює 2, тобто ( x 0) = 2. Знайдемо цю абсцису з умови, що 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Ця рівність справедлива лише за x 0 = 0 і при x 0 = 2. Так як у тому та в іншому випадку f(x 0) = 5, то пряма y = 2x + bстосується графіка функції або у точці (0; 5), або у точці (2; 5).

У першому випадку вірна числова рівність 5 = ​​2×0 + b, звідки b= 5, а у другому випадку вірна числова рівність 5 = ​​2×2 + b, звідки b = 1.

Отже, існує дві дотичні y = 2x+ 5 та y = 2x+ 1 до графіку функції f(x), паралельні прямий y = 2x – 11.

Відповідь. y = 2x + 5, y = 2x + 1.

приклад 3.Дана функція f(x) = x 2 – 6x+ 7. Напишемо рівняння щодо графіку функції f(x), що проходить через точку A (2; –5).

Рішення.Так як f(2) -5, то точка Aне належить графіку функції f(x). Нехай x 0 - абсцис точки торкання.

Похідна функції f(x) існує для будь-якого x R . Знайдемо її:

= (x 2 – 6x+ 1) '= 2 x – 6.

Тоді f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 – 6. Рівняння дотичної має вигляд:

y = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

y = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

Бо точка Aналежить дотичній, то справедливо числова рівність

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

звідки x 0 = 0 або x 0 = 4. Це означає, що через точку Aможна провести дві дотичні до графіку функції f(x).

Якщо x 0 = 0, то рівняння дотичної має вигляд y = –6x+ 7. Якщо x 0 = 4, то рівняння дотичної має вигляд y = 2x – 9.

Відповідь. y = –6x + 7, y = 2x – 9.

приклад 4.Дано функції f(x) = x 2 – 2x+ 2 та g(x) = –x 2 – 3. Напишемо рівняння загальної щодо графіків цих функції.

Рішення.Нехай x 1 - абсциса точки торкання прямої з графіком функції f(x), а x 2 - абсцис точки торкання тієї ж прямої з графіком функції g(x).

Похідна функції f(x) існує для будь-якого x R . Знайдемо її:

= (x 2 – 2x+ 2) '= 2 x – 2.

Тоді f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 – 2. Рівняння дотичної має вигляд:

y = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

y = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

Знайдемо похідну функції g(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.

У = f(х) і якщо в цій точці до графіка функції можна провести дотичну, не перпендикулярну до осі абсцис, то кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює f"(а). Ми цим вже кілька разів користувалися. Наприклад, § 33 було встановлено, що графік функції у = sin х(синусоїда) на початку координат утворює з віссю абсцис кут 45° (точніше, дотична до графіка на початку координат складає з позитивним напрямом осі х кут 45°), а в прикладі 5 § 33 були знайдені точки на графіку заданої функції, у яких дотична паралельна осі абсцис. У прикладі 2 § 33 було складено рівняння дотичної до графіку функції у = х 2 у точці х = 1 (точніше, у точці (1; 1), але частіше вказують тільки значення абсциси, вважаючи, що якщо значення абсциси відоме, то значення ординати можна знайти із рівняння у = f(х)). У цьому параграфі ми виробимо алгоритм складання рівняння дотичної графіки будь-якої функції.

Нехай дані функція у = f(х) і точка М (а; f(а)), а також відомо, що існує f"(а). Складемо рівняння дотичної до графіка заданої функціїу заданій точці. Це рівняння, як рівняння будь-якої прямої, не паралельної осі ординат, має вигляд у = кх + m, тому завдання полягає у відшуканні значень коефіцієнтів k і m.

З кутовим коефіцієнтом до проблем немає: ми знаємо, що до = f"(а). Для обчислення значення т скористаємося тим, що пряма пряма проходить через точку М(а; f(а)). Це означає, що, якщо підставити координати точки М до рівняння прямої, отримаємо правильну рівність: f(а) = ка+m, звідки знаходимо, що m = f(а) - ка.
Залишилося підставити знайдені значення коефіцієнтів кит в рівнянняпрямий:

Нами отримано рівняння щодо графіку функції у = f(х) у точці х=а.
Якщо, скажімо,
Підставивши в рівняння (1) знайдені значення а = 1, f(а) = 1 f"(а) = 2, отримаємо: у = 1+2(х-f), тобто у = 2х-1.
Порівняйте цей результат з тим, що був отриманий у прикладі 2 з § 33. Звичайно, вийшло те саме.
Складемо рівняння щодо графіку функції у = tg х на початку координат. Маємо: отже, соs х f"(0) = 1. Підставивши в рівняння (1) знайдені значення а=0, f(а)=0, f"(а)=1, отримаємо: у=х.
Саме тому ми і провели тангенсоіду в § 15 (див. рис. 62) через початок координат під кутом 45 ° до осі абсцис.
Вирішуючи ці достатньо прості приклади, ми фактично користувалися певним алгоритмом, закладеним у формулі (1). Зробимо цей алгоритм очевидним.

АЛГОРИТМ СКЛАДАННЯ РІВНЯННЯ ЩОДО ДО ГРАФІКА ФУНКЦІЇ у = f(x)

1) Позначити абсцис точки торкання літерою а.
2) Обчислити 1(а).
3) Знайти f"(х) і обчислити f"(а).
4) Підставити знайдені числа а, f(а), (а) у формулу (1).

приклад 1.Скласти рівняння щодо графіку функції у точці х = 1.
Скористаємося алгоритмом, враховуючи, що в цьому прикладі

На рис. 126 зображена гіпербола, побудована пряма у = 2-х.
Креслення підтверджує наведені викладки: дійсно, пряма у = 2-х стосується гіперболи в точці (1; 1).

Відповідь:у = 2-х.
приклад 2.До графіку функції провести дотику так, щоб вона була паралельна прямій у = 4х - 5.
Уточнимо формулювання завдання. Вимога "провести дотичну" зазвичай означає "скласти рівняння дотичної". Це логічно, бо якщо людина змогла скласти рівняння дотичної, то навряд чи вона відчуватиме труднощі з побудовою на координатної площинипрямий за її рівнянням.
Скористаємося алгоритмом складання рівняння дотичної, враховуючи, що в даному прикладі Але на відміну від попереднього прикладу є неясність: не вказано явно абсцису точки дотику.
Почнемо міркувати так. Шукальна дотична має бути паралельна прямий у = 4х-5. Дві прямі паралельні тоді й лише тоді, коли рівні їхні кутові коефіцієнти. Значить, кутовий коефіцієнт дотичної повинен дорівнювати кутовому коефіцієнту заданої прямої: Отже, значення ми можемо знайти з рівняння f"(а)= 4.
Маємо:
З рівняння Отже, є дві дотичні завдання, що задовольняють умові: одна в точці з абсцисою 2, інша в точці з абсцисою -2.
Тепер можна діяти за алгоритмом.

приклад 3.З точки (0; 1) провести дотичну до графіка функції
Скористаємося алгоритмом складання рівняння дотичної, враховуючи, що в даному прикладі Зауважимо, що і тут, як у прикладі 2, не зазначено явно абсцис точки дотику. Проте діємо за алгоритмом.

За умовою дотична проходить через точку (0; 1). Підставивши в рівняння (2) значення х = 0, у = 1, отримаємо:
Як бачите, у цьому прикладі лише на четвертому кроці алгоритму нам вдалося знайти абсцис точки торкання. Підставивши значення а = 4 до рівняння (2), отримаємо:

На рис. 127 представлена ​​геометрична ілюстрація розглянутого прикладу: побудований графік функції

У § 32 ми зазначили, що для функції у = f(х), що має похідну у фіксованій точці х, справедливо наближена рівність:

Для зручності подальших міркувань змінимо позначення: замість х будемо писати а, замість писатим х і відповідно замість писатим х-а. Тоді написана вище наближена рівність набуде вигляду:

А тепер погляньте на рис. 128. До графіку функції у = f(х) проведена дотична у точці М(а; f(а)). Відзначено точку х на осі абсцис поблизу а. Зрозуміло, що f(х) - ордината графіка функції у зазначеній точці x. А що таке f(а) + f"(а) (х-а)? Це ордината дотичної, що відповідає тій же точці х - див. формулу (1). У чому сенс наближеної рівності (3)? для обчислення наближеного значення функції беруть значення дотичної ординати.

приклад 4.Знайти наближене значення числового виразу 1,02 7 .
Йдеться знайти значення функції у = х 7 у точці х = 1,02. Скористаємося формулою (3), врахувавши, що у цьому прикладі
У результаті отримуємо:

Якщо ми скористаємося калькулятором, то отримаємо: 1,02 7 = 1,148685667...
Як бачите, точність наближення цілком прийнятна.
Відповідь: 1,02 7 =1,14.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 клас

Календарно-тематичне планування з математики, відеоз математики онлайн , Математика в школі

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні уроки календарний планна рік методичні рекомендаціїпрограми обговорення Інтегровані уроки