Правильна піраміда якості. Піраміда

Вступ

Коли ми почали вивчати стереометричні фігури, торкнулися теми «Піраміда». Нам сподобалася ця тема, тому що піраміда часто-густо вживається в архітектурі. І оскільки наша майбутня професіяархітектора, надихнувшись цією фігурою, ми думаємо, що вона зможе підштовхнути нас до чудових проектів.

Міцність архітектурних споруд, найважливіша їх якість. Зв'язуючи міцність, по-перше, з тими матеріалами, з яких вони створені, а, по-друге, з особливостями конструктивних рішень, виявляється, міцність споруди пов'язана безпосередньо з тією геометричною формою, яка є для нього базовою.

Іншими словами, мова йдепро ту геометричну фігуру, яка може розглядатися як модель відповідної архітектурної форми. Виявляється, що геометрична форма також визначає міцність архітектурної споруди.

Найміцнішою архітектурною спорудою з давніх-давен вважаються єгипетські піраміди. Як відомо, вони мають форму правильних чотирикутних пірамід.

Саме ця геометрична форма забезпечує найбільшу стійкість за рахунок великої площі основи. З іншого боку, форма піраміди забезпечує зменшення маси зі збільшенням висоти над землею. Саме ці дві властивості роблять піраміду стійкою, а отже, і міцною в умовах земного тяжіння.

Мета проекту: дізнатися щось нове про піраміди, поглибити знання та знайти практичне застосування

Для досягнення поставленої мети потрібно вирішити такі завдання:

· Дізнатися історичні відомості про піраміду

· Розглянути піраміду, як геометричну фігуру

· Знайти застосування в житті та архітектурі

· Знайти подібність та відмінність пірамід, розташованих у різних частинахсвітла

Теоретична частина

Історичні відомості

Початок геометрії піраміди було покладено в Стародавньому Єгипті та Вавилоні, проте активний розвиток отримав у Стародавню Грецію. Першим, хто встановив, чому дорівнює обсяг піраміди, був Демокріт, а довів Євдокс Кнідський. Давньогрецький математик Евклід систематизував знання про піраміду в XII томі своїх «Почав», а також вивів перше визначення піраміди: тілесна фігура, обмежена площинами, які сходяться в одній точці.

Усипальниці єгипетських фараонів. Найбільші з них - піраміди Хеопса, Хефрена і Мікеріна в Ель-Гізі в давнину вважалися одним із Семи чудес світу. Зведення піраміди, в якому вже греки і римляни бачили пам'ятник небаченої гордині царів і жорстокості, що прирік весь народ Єгипту на безглузде будівництво, було найважливішим культовим діянням і мало висловлювати, мабуть, містичне тотожність країни та її правителя. Населення країни працювало на будівництві гробниці у вільну від сільськогосподарських робіт частину року. Ряд текстів свідчить про ту увагу і турботу, які самі царі (щоправда, пізнішого часу) приділяли зведенню своєї гробниці та її будівельникам. Відомо також про особливі культові почесті, які виявлялися самій піраміді.

Основні поняття

Пірамідоюназивається багатогранник, основа якого – багатокутник, інші грані – трикутники, мають загальну вершину.

Апофема- Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини;

Бічні грані- трикутники, що сходяться у вершині;

Бічні ребра- загальні сторони бічних граней;

Вершина піраміди- точка, що з'єднує бічні ребра і не лежить у площині основи;

Висота- відрізок перпендикуляра, проведеного через вершину піраміди до площини її основи (кінцями цього відрізка є вершина піраміди та основа перпендикуляра);

Діагональний переріз піраміди- переріз піраміди, що проходить через вершину та діагональ основи;

Заснування- багатокутник, якому належить вершина піраміди.

Основні властивості правильної піраміди

Бічні ребра, бічні грані та апофеми відповідно рівні.

Двогранні кути при основі рівні.

Двогранні кути при бічних ребрах рівні.

Кожна точка висоти рівновіддалена від усіх вершин основи.

Кожна точка висоти рівновіддалена від усіх бічних граней.

Основні формули піраміди

Площа бічний та повної поверхніпіраміди.

Площею бічної поверхні піраміди (повної та усіченої) називається сума площ усіх її бічних граней, площею повної поверхні – сума площ усіх її граней.

Теорема: Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи апофему піраміди.

p- периметр основи;

h- Апофема.

Площа бічної та повної поверхонь усіченої піраміди.

p 1, p 2 - периметри основ;

h- Апофема.

Р- площа повної поверхні правильної усіченої піраміди;

S бік- площа бічної поверхні правильної усіченої піраміди;

S 1 + S 2- площі основи

Об'єм піраміди

форм вузла об'єму використовується для пірамід будь-якого виду.

H- Висота піраміди.

Кути піраміди

Кути, які утворені бічною гранню та основою піраміди, називаються двогранними кутами при основі піраміди.

Двогранний кут утворюється двома перпендикулярами.

Щоб визначити цей кут, часто потрібно використовувати теорему про три перпендикуляри.

Кути, які утворені бічним ребром та його проекцією на площину основи, називаються кутами між бічним ребром і площиною основи.

Кут, який утворений двома бічними гранями, називається двогранним кутом при бічному ребрі піраміди.

Кут, який утворений двома бічними ребрами однієї грані піраміди, називається кутом при вершині піраміди.

Перерізи піраміди

Поверхня піраміди – це поверхня багатогранника. Кожна її грань є площиною, тому переріз піраміди, заданої січною площиною - це ламана лінія, що складається з окремих прямих.

Діагональний переріз

Перетин піраміди площиною, що проходить через два бічні ребра, що не лежать на одній грані, називається діагональним перетиномпіраміди.

Паралельні перерізи

Теорема:

Якщо піраміда перетнута площиною, паралельною основі, то бічні ребра та висоти піраміди діляться цією площиною на пропорційні частини;

Перерізом цієї площини є багатокутник, подібний до основи;

Площі перерізу та основи відносяться один до одного як квадрати їх відстаней від вершини.

Види піраміди

Правильна піраміда– піраміда, основою якої є правильний багатокутник, і вершина піраміди проектується до центру основи.

У правильної піраміди:

1. бічні ребра рівні

2. бічні грані рівні

3. апофеми рівні

4. двогранні кути при основі рівні

5. двогранні кути при бічних ребрах рівні

6. кожна точка висоти рівновіддалена від усіх вершин основи

7. кожна точка висоти рівновіддалена від усіх бічних граней

Усічена піраміда– частина піраміди, укладена між її основою та січною площиною, паралельною основі.

Підстава та відповідні переріз усіченої піраміди називаються основами усіченої піраміди.

Перпендикуляр, проведений з будь-якої точки однієї основи на площину іншої, називається висотою усіченої піраміди.

Завдання

№1. У правильній чотирикутній піраміді точка О – центр основи, SO=8 см, BD=30 см. Знайдіть бічне ребро SA.

Вирішення задач

№1. У правильній піраміді всі грані та ребра рівні.

Розглянемо OSB: OSB-прямокутний прямокутник, т.к.

SB 2 =SO 2 +OB 2

SB 2 = 64 +225 = 289

Піраміда в архітектурі

Піраміда - монументальна споруда у формі звичайної правильної геометричної піраміди, в якій бічні сторони сходяться в одній точці. За функціональним призначенням піраміди в давнину були місцем поховання або поклоніння культу. Основа піраміди може бути трикутною, чотирикутною або у формі багатокутника з довільним числом вершин, але найпоширенішою версією є чотирикутна основа.

Відомо чимала кількість пірамід, побудованих різними культурами Стародавнього світув основному як храми або монументи. До великих пірамід відносяться єгипетські піраміди.

По всій землі можна побачити архітектурні споруди у вигляді пірамід. Будівлі-піраміди нагадують про давні часи і дуже гарно виглядають.

Єгипетські пірамідинайбільші архітектурні пам'ятники Стародавнього Єгипту, Серед яких одне із «Семи чудес світу» піраміда Хеопса. Від підніжжя до вершини вона досягає 137, 3 м, а до того, як втратила верхівку, висота її була 146, 7 м.

Будівля радіостанції в столиці Словаччини, що нагадує перевернуту піраміду, була побудована в 1983 р. Крім офісів та службових приміщень, всередині обсягу знаходиться досить місткий концертна залаякий має один з найбільших органів у Словаччині.

Лувр, який "мовчить незмінно і велично, як піраміда", протягом століть переніс чимало змін перш, ніж перетворитися на найбільший музейсвіту. Він народився як фортеця, споруджена Пилипом Августом у 1190 р., яка незабаром перетворилася на королівську резиденцію. У 1793 р. палац стає музеєм. Колекції збагачуються завдяки заповітам чи покупкам.

З поняттям піраміда учні стикаються задовго до вивчення геометрії. Виною всьому знамениті великі єгипетські чудеса світу. Тому, починаючи вивчення цього чудового багатогранника, більшість учнів вже наочно уявляють її собі. Всі вищезгадані пам'ятки мають правильну форму. Що таке правильна піраміда, і які властивості вона має і йтиметься далі.

Вконтакте

Визначення

Визначень піраміди можна зустріти чимало. Починаючи ще з давніх часів, вона мала популярність.

Наприклад, Евклід визначав її як тілесну фігуру, що складається з площин, які, починаючи від однієї, сходяться у певній точці.

Герон подав більш точне формулювання. Він наполягав на тому, що це постать, яка має основу та площини у вигляді трикутників,що сходяться в одній точці.

Спираючись на сучасне тлумачення, піраміду представляють як просторовий багатогранник, що складається з певного k-кутника і k плоских фігур трикутної форми, що має одну загальну точку.

Розберемося докладніше, з яких елементів вона складається:

k-кутник вважають основою фігури;
фігури 3-кутової форми виступають гранями бічної частини;
верхня частина, з якої беруть початок бічні елементи, називають вершиною;
всі відрізки, що з'єднують вершину, називають ребрами;
якщо з вершини на площину фігури опустити пряму під кутом 90 градусів, то її частина, укладена у внутрішньому просторі - висота піраміди;
в будь-якому бічному елементі до нашого багатогранника можна провести перпендикуляр, званий апофемою.

Число ребер обчислюється за формулою 2*k де k – кількість сторін k-кутника. Скільки граней такого багатогранника, як піраміда, можна визначити за допомогою виразу k+1.

Важливо!Пірамідою правильної форминазивають стереометричну фігуру, площину основи якої є k-кутник з рівними сторонами.

Основні властивості

Правильна піраміда має безліч властивостей,які властиві лише їй. Перерахуємо їх:

Основа – фігура правильної форми.
Ребра піраміди, що обмежують бічні елементи, мають рівні числові значення.
Бічні елементи – рівнобедрені трикутники.
Основа висоти фігури потрапляє в центр багатокутника, при цьому він одночасно є центральною точкою, вписаною та описаною .
Усі бічні ребра нахилені до площини основи під однаковим кутом.
Усі бічні поверхні мають однаковий кут нахилу по відношенню до основи.

Завдяки всім перерахованим властивостям виконання обчислень елементів набагато спрощується. Виходячи з наведених властивостей, звертаємо увагу на дві ознаки:

У тому випадку, коли багатокутник вписується в коло, бічні грані матимуть з основою рівні кути.
При описі кола біля багатокутника всі ребра піраміди, що виходять з вершини, матимуть рівну довжину і рівні кути з основою.

В основі лежить квадрат

Правильна чотирикутна піраміда – багатогранник, у якого в основі лежить квадрат.

У неї чотири бічні грані, які за своїм виглядом є рівностегновими.

На площині квадрат зображають , але ґрунтуються на всіх властивостях правильного чотирикутника.

Наприклад, якщо потрібно зв'язати сторону квадрата з його діагоналлю, то застосовують таку формулу: діагональ дорівнює добутку сторони квадрата на квадратний корінь з двох.

В основі лежить правильний трикутник

Правильна трикутна піраміда – багатогранник, в основі якого лежить правильний трикутник.

Якщо основа є правильним трикутником, а бічні ребра рівні ребрам основи, то така фігура називається тетраедром.

Усі грані тетраедра є рівносторонніми 3-кутниками. В даному випадку необхідно знати деякі моменти та не витрачати на них час при обчисленнях:

кут нахилу ребер до будь-якої основи дорівнює 60 градусів;
величина всіх внутрішніх граней також становить 60 градусів;
будь-яка грань може виступити основою;
, проведені усередині фігури, це рівні елементи

Переріз багатогранника

У будь-якому багатограннику розрізняють кілька видів перерізуплощиною. Найчастіше у шкільному курсі геометрії працюють із двома:

осьове;
паралельне основі.

Осьовий переріз отримують при перетині площиною багатогранника, яка проходить через вершину, бічні ребра та вісь. У разі віссю є висота, проведена з вершини. Поверхня площина обмежується лініями перетину з усіма гранями, в результаті отримуємо трикутник.

Увага!У правильній піраміді осьовим перетином є рівнобедрений трикутник.

Якщо січна площина проходить паралельно до основи, то в результаті отримуємо другий варіант. У цьому випадку маємо в розрізі фігуру, подібну до основи.

Наприклад, якщо в основі лежить квадрат, то перетин паралельно основі також буде квадратом, тільки менших розмірів.

При вирішенні завдань за такої умови використовують ознаки та властивості подібності фігур, засновані на теоремі Фалеса. Насамперед необхідно визначити коефіцієнт подібності.

Якщо площина проведена паралельно основі, і вона відсікає верхню частину багатогранника, то нижній частині отримують правильну усічену піраміду. Тоді кажуть, що основи багатогранника є подібними багатокутниками. І тут бічні грані є рівнобокими трапеціями. Осьовим перетином також є рівнобока.

Для того щоб визначити висоту зрізаного багатогранника, необхідно провести висоту в осьовому перерізі, тобто в трапеції.

Площі поверхонь

Основні геометричні завдання, які доводиться вирішувати у шкільному курсі геометрії, це знаходження площ поверхні та обсягу у піраміди.

Значення площі поверхні розрізняють двох видів:

площі бічних елементів;
площі всієї поверхні.

Із самої назви зрозуміло, про що йдеться. Бічна поверхнявключає лише бічні елементи. З цього випливає, що для її знаходження необхідно просто скласти площі бічних площин, тобто площі рівнобедрених трикутників. Спробуємо вивести формулу площі бічних елементів:

Площа рівнобедреного трикутника дорівнює Sтр=1/2(aL), де а – сторона основи, L – апофема.
Кількість бічних площин залежить від виду k-го косинця в основі. Наприклад, правильна чотирикутна пірамідамає чотири бічні площини. Отже, необхідно скласти площі чотирьох фігур Sбок=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4а*L. Вираз спрощено у такий спосіб оскільки значення 4а=Росн, де Росн – периметр основи. А вираз 1/2*Росн є її напівпериметром.
Отже, робимо висновок, що площа бічних елементів правильної піраміди дорівнює добутку напівпериметра основи апофему: Sбок = Росн * L.

Площа повної поверхні піраміди складається з суми площ бічних площин і основи: Sп.п. = Sбок + Sосн.

Що стосується площі основи, то тут формула використовується відповідно до виду багатокутника.

Об'єм правильної пірамідидорівнює добутку площі площини підстави на висоту, розділену на три: V = 1/3 * Sосн * Н, де Н - висота багатогранника.

Що таке правильна піраміди в геометрії

Властивості правильної чотирикутної піраміди

апофема- Висота бічної грані правильної піраміди, яка проведена з її вершини (крім того, апофемою є довжина перпендикуляра, який опущений з середини правильного багатокутника на 1-ну з його сторін);
бічні грані (ASB, BSC, CSD, DSA) - трикутники, що сходяться у вершині;
бічні ребра ( AS , BS , CS , DS ) - загальні сторони бічних граней;
вершина піраміди (т. S) - точка, яка з'єднує бічні ребра і яка не лежить у площині основи;
висота ( SO ) - відрізок перпендикуляра, який проведений через вершину піраміди до площини її основи (кінцями такого відрізка будуть вершина піраміди та основа перпендикуляра);
діагональний переріз піраміди- перетин піраміди, який проходить через вершину та діагональ основи;
заснування (ABCD) багатокутник, якому не належить вершина піраміди.

Властивості піраміди.

1. Коли всі бічні ребра мають однакову величину, тоді:

біля основи піраміди легко описати коло, при цьому вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола;
бічні ребра утворюють з площиною основи однакові кути;
крім того, вірне і протилежне, тобто. коли бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути, або коли біля основи піраміди можна описати коло і вершина піраміди проектуватиметься в центр цього кола, отже, всі бічні ребра піраміди мають однакову величину.

2. Коли бічні грані мають кут нахилу до площини основи однієї величини, тоді:

біля основи піраміди легко описати коло, при цьому вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола;
висоти бічних граней мають рівну довжину;
площа бічної поверхні дорівнює ½ добутку периметра основи на висоту бічної грані.

3. Біля піраміди можна описати сферу в тому випадку, якщо в основі піраміди лежить багатокутник, навколо якого можна описати коло (необхідне і достатня умова). Центром сфери стане точка перетину площин, що проходять через середини ребер піраміди перпендикулярно їм. З цієї теореми робимо висновок, що як у всякої трикутної, так і у будь-якої правильної піраміди можна описати сферу.

4. У піраміду можна вписати сферу в тому випадку, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в 1-ій точці (необхідна та достатня умова). Ця точка стане центром сфери.

Найпростіша піраміда.

За кількістю кутів основи піраміди ділять на трикутні, чотирикутні тощо.

Піраміда буде трикутної, чотирикутний, і так далі, коли основою піраміди буде трикутник, чотирикутник і так далі. Трикутна пірамідає чотиригранник - тетраедр. Чотирикутна - п'ятигранник і так далі.

Визначення. Бічна грань- Це трикутник, у якого один кут лежить у вершині піраміди, а протилежна йому сторона збігається зі стороною основи (багатокутника).

Визначення. Бічні ребра- це спільні сторони бічних граней. У піраміди стільки ребер, скільки кутів у багатокутника.

Визначення. Висота піраміди- Це перпендикуляр, опущений з вершини на основу піраміди.

Визначення. Апофема- Це перпендикуляр бічної грані піраміди, опущений з вершини піраміди до сторони основи.

Визначення. Діагональний переріз- це переріз піраміди площиною, що проходить через вершину піраміди та діагональ основи.

Визначення. Правильна піраміда- це піраміда, в якій основою є правильний багатокутник, а висота опускається до центру основи.

Об'єм та площа поверхні піраміди

Формули. Об'єм пірамідичерез площу основи та висоту:

Властивості піраміди

Якщо всі бічні ребра рівні, навколо основи піраміди можна описати коло, а центр основи збігається з центром кола. Також перпендикуляр, опущений із вершини, проходить через центр основи (кола).

Якщо бічні ребра рівні, всі вони нахилені до площині підстави під однаковими кутами.

Бічні ребра рівні тоді, коли вони утворюють із площиною основи рівні кути або якщо навколо основи піраміди можна описати коло.

Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то в основу піраміди можна вписати коло, а вершина піраміди проектується до її центру.

Якщо бічні грані нахилені до поверхні підстави під одним кутом, то апофеми бічних граней рівні.

Властивості правильної піраміди

1. Вершина піраміди рівновіддалена від усіх кутів основи.

2. Усі бічні ребра рівні.

3. Усі бічні ребра нахилені під однаковими кутами до основи.

4. Апофеми всіх бічних граней рівні.

5. Площі всіх бічних граней рівні.

6. Усі грані мають однакові двогранні (плоські) кути.

7. Навколо піраміди можна описати сферу. Центром описаної сфери буде точка перетину перпендикулярів, що проходять через середину ребер.

8. До піраміди можна вписати сферу. Центром вписаної сфери буде точка перетину бісектрис, що виходять із кута між ребром і основою.

9. Якщо центр вписаної сфери збігається з центром описаної сфери, то сума плоских кутів при вершині дорівнює π або навпаки один кут дорівнює π/n , де n - це кількість кутів в основі піраміди.

Зв'язок піраміди зі сферою

Навколо піраміди можна описати сферу тоді, коли в основі піраміди лежить багатогранник навколо якого можна описати коло (необхідна та достатня умова). Центром сфери буде точка перетину площин, що проходять перпендикулярно через середини бічних ребер піраміди.

Навколо будь-якої трикутної чи правильної піраміди можна описати сферу.

У піраміду можна вписати сферу, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в одній точці (необхідна та достатня умова). Ця точка буде осередком сфери.

Зв'язок піраміди з конусом

Конус називається вписаним у піраміду, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса вписана в основу піраміди.

Конус можна вписати до піраміди, якщо апофеми піраміди рівні між собою.

Конус називається описаним навколо піраміди, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса описана навколо основи піраміди.

Конус можна описати навколо піраміди, якщо всі бічні ребра піраміди рівні між собою.

Зв'язок піраміди з циліндром

Піраміда називається вписаною в циліндр, якщо вершина піраміди лежить на одній основі циліндра, а основа піраміди вписана в іншу основу циліндра.

Циліндр можна описати навколо піраміди, якщо навколо основи піраміди можна описати коло.

Визначення. Усічена піраміда (пірамідальна призма)- це багатогранник, який знаходиться між основою піраміди та площиною перерізу, паралельною основі. Таким чином піраміда має більшу основу і меншу основу, яка подібна до більшої. Бічні грані є трапецією.

Визначення. Трикутна піраміда (чотиригранник)- це піраміда в якій три грані та основа є довільними трикутниками.

У чотиригранник чотири грані та чотири вершини та шість ребер, де будь-які два ребра не мають спільних вершин але не стикаються.

Кожна вершина складається з трьох граней та ребер, які утворюють тригранний кут.

Відрізок, що з'єднує вершину чотиригранника із центром протилежної грані називається медіаною чотиригранника(GM).

Бімедіаноюназивається відрізок, що з'єднує середини протилежних ребер, які не стикаються (KL).

Усі бімедіани та медіани чотиригранника перетинаються в одній точці (S). При цьому бімедіани діляться навпіл, а медіани щодо 3:1, починаючи з вершини.

Визначення. Похила піраміда - це піраміда в якій одне з ребер утворює тупий кут (β) з основою.

Визначення. Прямокутна піраміда- це піраміда в якій одна з бічних граней перпендикулярна до основи.

Визначення. Гострокутна піраміда- це піраміда в якій апофема більше половини довжини сторони основи.

Визначення. Тупокутна піраміда- це піраміда в якій апофема менше половини довжини сторони основи.

Визначення. Правильний тетраедр- чотиригранник у якого всі чотири грані - рівносторонні трикутники. Він є одним із п'яти правильних багатокутників. У правильного тетраедра всі двогранні кути (між гранями) та тригранні кути (при вершині) рівні.

Визначення. Прямокутний тетраедрназивається чотиригранник у якого прямий кут між трьома ребрами при вершині (ребра перпендикулярні). Три грані утворюють прямокутний трикутний куті грані є прямокутними трикутникамиа основа довільним трикутником. Апофема будь-якої межі дорівнює половині боку основи, яку падає апофема.

Визначення. Рівногранний тетраедрназивається чотиригранник у якого бічні грані рівні між собою, а основа - правильний трикутник. У такого тетраедра грані це рівнобедрені трикутники.

Визначення. Ортоцентричний тетраедрназивається чотиригранник, у якого всі висоти (перпендикуляри), що опущені з вершини до протилежної грані, перетинаються в одній точці.

Визначення. Зіркова піраміданазивається багатогранник, у якого основою є зірка.

Визначення. Біпіраміда- багатогранник, що складається із двох різних пірамід (також можуть бути зрізані піраміди), що мають загальну основу, а вершини лежать по різні боки від площини основи.