Циліндр – це симетрична просторова фігура, властивості якої розглядають у старших класах школи в курсі стереометрії. Для його опису використовують такі лінійні характеристики, як висота та радіус основи. У цій статті розглянемо питання щодо того, що таке осьовий переріз циліндра і як розрахувати його параметри через основні лінійні характеристики фігури.

Геометрична фігура

Спочатку дамо визначення фігурі, про яку йтиметься у статті. Циліндр є поверхнею, утвореною паралельним переміщенням відрізка фіксованої довжини вздовж деякої кривої. Головною умовою цього переміщення є те, що відрізок площини кривої не повинен належати.

На малюнку нижче показаний циліндр, крива (напрямна) якого є еліпсом.

Тут відрізок довжиною h є його твірною і висотою.

Видно, що циліндр складається з двох однакових підстав(еліпси в даному випадку), які лежать у паралельних площинах, та бічній поверхні. Останній належать усі точки утворюючих ліній.

Перед тим, як переходити до розгляду осьового перерізу циліндрів, розповімо, які типи цих фігур бувають.

Якщо утворююча лінія перпендикулярна підстав фігури, тоді говорять про прямий циліндр. В іншому випадку циліндр буде похилим. Якщо з'єднати центральні точки двох підстав, то пряма називається віссю фігури. Наведений малюнок демонструє різницю між прямим та похилим циліндрами.

Видно, що для прямої фігури довжина відрізка, що утворює, збігається зі значенням висоти h. Для похилого циліндра висота, тобто відстань між основами, завжди менше довжиниутворюючої лінії.

Осьовий переріз прямого циліндра

Осьовим називається будь-який переріз циліндра, який містить його вісь. Це визначення означає, що осьовий переріз завжди буде паралельно утворюючої лінії.

У прямому циліндрі вісь проходить через центр кола і перпендикулярна його площині. Це означає, що переріз коло буде перетинати по його діаметру. На малюнку показано половинку циліндра, яка вийшла в результаті перетину фігури площиною, що проходить через вісь.

Не складно зрозуміти, що осьовий переріз прямого круглого циліндра є прямокутником. Його сторонами є діаметр d основи та висота h фігури.

Запишемо формули для площі осьового перерізу циліндра та довжини h d його діагоналі:

Прямокутник має дві діагоналі, але обидві вони рівні один одному. Якщо відомий радіус основи, то не складно переписати ці формули через нього, враховуючи, що він вдвічі менший за діаметр.

Осьовий переріз похилого циліндра

Рисунок вище демонструє похилий циліндр, виготовлений із паперу. Якщо виконати його осьовий перетин, то вийде не прямокутник, а паралелограмм. Його сторони – це відомі величини. Одна з них, як і у разі перерізу прямого циліндра, дорівнює діаметру d основи, інша - довжина утворює відрізка. Позначимо її b.

Для однозначного визначення параметрів паралелограма недостатньо знати його довжину сторін. Потрібний ще кут між ними. Припустимо, що гострий кут між напрямною та основою дорівнює α. Він і буде кутом між сторонами паралелограма. Тоді формулу для площі осьового перерізу похилого циліндра можна записати так:

Діагоналі осьового перерізу похилого циліндра розрахувати трохи складніше. Паралелограм має дві діагоналі різної довжини. Наведемо без висновку вирази, що дозволяють розраховувати діагоналі паралелограма відомим сторонамі гострому куткуміж ними:

l 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));

l 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))

Тут l 1 і l 2 - довжини малої та великої діагоналей відповідно. Ці формули можна отримати самостійно, якщо розглянути кожну діагональ вектор, ввівши прямокутну систему координат на площині.

Завдання з прямим циліндром

Покажемо, як використовувати отримані знання для вирішення наступного завдання. Нехай дано круглий прямий циліндр. Відомо, що осьовий переріз циліндра – квадрат. Чому дорівнює площа цього перерізу, якщо всієї фігури становить 100 см2?

Для обчислення потрібної площі необхідно знайти або радіус, або діаметр основи циліндра. Для цього скористаємося формулою для загальної площі Sf фігури:

Оскільки перетин осьовий являє собою квадрат, це означає, що радіус r основи в два рази менше висоти h. З огляду на це можна переписати рівність вище у вигляді:

S f = 2 * pi * r * (r + 2 * r) = 6 * pi * r 2

Тепер можна виразити радіус r, маємо:

Оскільки сторона квадратного перерізу дорівнює діаметру основи фігури, для обчислення його площі S буде справедлива наступна формула:

S = (2 * r) 2 = 4 * r 2 = 2 * S f / (3 * pi)

Ми бачимо, що потрібна площа однозначно визначається площею поверхні циліндра. Підставляючи дані на рівність, приходимо до відповіді: S = 21,23 см 2 .

Площа кожної основи циліндра дорівнює π r 2 , площа обох основ становитиме 2π r 2 (рис.).

Площа бічної поверхні циліндра дорівнює площі прямокутника, основа якого дорівнює 2π r, а висота дорівнює висоті циліндра h, Т. е. 2π rh.

Повна поверхня циліндра становитиме: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ h).

За площу бічної поверхні циліндра приймається площа розгорткийого бічній поверхні.

Тому площа бічної поверхні прямого кругового циліндра дорівнює площі відповідного прямокутника (рис.) і обчислюється за формулою

S б.ц. = 2πRH, (1)

Якщо до площі бічної поверхні циліндра додати площі двох його основ, то отримаємо площу повної поверхніциліндра

S повн. =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

Об'єм прямого циліндра

Теорема. Об'єм прямого циліндра дорівнює добутку площі його основи на висоту , тобто.

де Q – площа основи, а Н – висота циліндра.

Так як площа основи циліндра дорівнює Q, то існують послідовності описаних та вписаних багатокутників з площами Q nта Q’ nтаких, що

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n= Q.

Побудуємо послідовності призм, основами яких є розглянуті вище описані та вписані багатокутники, а бічні ребра паралельні утворює даного циліндра і мають довжину H. Ці призми є описаними та вписаними для даного циліндра. Їхні обсяги знаходяться за формулами

V n= Q n H та V’ n= Q’ n H.

Отже,

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q' n H = QH.

Слідство.
Об'єм прямого кругового циліндра обчислюється за формулою

V = π R 2 H

де R – радіус основи, а H – висота циліндра.

Так як основа кругового циліндра є коло радіусу R, то Q = π R 2 і тому

Назва науки "геометрія" перекладається як "вимір землі". Зародилася стараннями найперших древніх землевпорядників. А було так: під час розливів священного Нілу потоки води іноді змивали межі ділянок землеробів, а нові кордони могли не збігтися зі старими. Податки ж селянами сплачувалися до скарбниці фараона пропорційно до величини земельного наділу. Вимірюванням площ ріллі у нових кордонах після розливу займалися спеціальні люди. Саме в результаті їх діяльності і виникла нова наука, що отримала розвиток Стародавню Грецію. Там вона і назву отримала, і набула практично сучасний вигляд. Надалі термін став міжнародною назвою науки про плоскі та об'ємних фігурах.

Планіметрія – розділ геометрії, що займається вивченням плоских фігур. Іншим розділом науки є стереометрія, що розглядає властивості просторових (об'ємних) фігур. До таких фігур відноситься і описується в цій статті – циліндр.

Прикладів присутності предметів циліндричної форми повсякденному життідостатньо. Циліндричну (набагато рідше – конічну) форму мають майже всі деталі обертання – вали, втулки, шийки, осі тощо. Циліндр широко використовується в будівництві: вежі, опорні, декоративні колони. Крім того посуд, деякі види упаковки, труби різних діаметрів. І нарешті - знамениті капелюхи, які надовго стали символом чоловічої елегантності. Список можна продовжувати нескінченно.

Визначення циліндра як геометричної фігури

Циліндром (круговим циліндром) прийнято називати фігуру, що складається з двох кіл, які при бажанні поєднуються за допомогою паралельного перенесення. Саме ці кола є підставами циліндра. А ось лінії (прямі відрізки), що зв'язують відповідні точки, одержали назву «утворюючі».

Важливо, що підстави циліндра завжди рівні (якщо ця умова не виконується, то перед нами - усічений конус, щось інше, але тільки не циліндр) і знаходяться в паралельних площинах. А відрізки, що з'єднують відповідні точки на колах, паралельні і рівні.

Сукупність нескінченної множини утворюючих - не що інше, як бічна поверхня циліндра - один з елементів даної геометричної фігури. Інша її важлива складова – розглянуті вище кола. Називаються вони основами.

Види циліндрів

Найпростіший і найпоширеніший вид циліндра - круговий. Його утворюють два правильні кола, які у ролі підстав. Але замість них можуть бути інші фігури.

Основи циліндрів можуть утворювати (крім кіл) еліпси, інші замкнуті фігури. Але циліндр може мати обов'язково замкнуту форму. Наприклад основою циліндра може служити парабола, гіпербола, інша відкрита функція. Такий циліндр буде відкритим чи розгорнутим.

По куту нахилу утворюють до основ циліндри можуть бути прямими або похилими. У прямого циліндра утворюють строго перпендикулярні площині основи. Якщо цей кут відрізняється від 90°, циліндр – похилий.

Що таке поверхня обертання

Прямий круговий циліндр, без сумніву, - найпоширеніша поверхня обертання, яка використовується в техніці. Іноді за технічними показаннями застосовується конічна, куляста, деякі інші типи поверхонь, але 99% всіх валів, осей, що обертаються, і т.д. виконані саме у формі циліндрів. Для того, щоб краще усвідомити, що таке поверхня обертання, можна розглянути, як утворений сам циліндр.

Припустимо, є якась пряма a, розташований вертикально. ABCD - прямокутник, одна із сторін якого (відрізок АВ) лежить на прямій a. Якщо обертати прямокутник навколо прямої, як показано на малюнку, обсяг, який він займе, обертаючись, і буде нашим тілом обертання - прямим круговим циліндром з висотою H = AB = DC і радіусом R = AD = BC.

В даному випадку, в результаті обертання фігури – прямокутника – виходить циліндр. Обертаючи трикутник, можна отримати конус, обертаючи півколо - кулю і т.д.

Площа поверхні циліндра

Для того щоб обчислити площу поверхні прямого звичайного кругового циліндра, необхідно підрахувати площі основ і бічної поверхні.

Спочатку розглянемо, як обчислюють площу бічної поверхні. Це твір довжини кола на висоту циліндра. Довжина кола, своєю чергою, дорівнює подвоєному твору універсального числа Пна радіус кола.

Площа кола, як відомо, дорівнює добутку Пна квадрат радіусу. Отже, склавши формули для площі визначення бічної поверхні з подвоєним виразом площі підстави (адже їх дві) і зробивши нехитрі алгебраїчні перетворення, отримуємо остаточне вираз для визначення площі поверхні циліндра.

Визначення обсягу фігури

Об'єм циліндра визначається за стандартною схемою: площа поверхні основи множиться на висоту.

Таким чином, кінцева формула виглядає наступним чином: шукане визначається як добуток висоти тіла на універсальне число Пі квадрат радіуса основи.

Отримана формула, треба сказати, застосовна для вирішення найнесподіваніших завдань. Так само, як обсяг циліндра, визначається, наприклад, обсяг електропроводки. Це необхідно для обчислення маси проводів.

Відмінності у формулі тільки в тому, що замість радіуса одного циліндра стоїть ділений надвоє діаметр жили проводки і у виразі з'являється кількість жил у проводі N. Також замість висоти використовується довжина дроту. Таким чином розраховується об'єм «циліндра» не одного, а за кількістю проводків обплітання.

Такі розрахунки часто потрібні практично. Адже значна частина ємностей для води виготовлена ​​у формі труби. І обчислити об'єм циліндра часто потрібно навіть у домашньому господарстві.

Проте, як говорилося, форма циліндра може бути різною. І в деяких випадках потрібно розрахувати, чому дорівнює об'єм похилого циліндра.

Відмінність у тому, що площу поверхні основи множать не так на довжину утворює, як у випадку з прямим циліндром, але в відстань між площинами - перпендикулярний відрізок, побудований з-поміж них.

Як видно з малюнка, такий відрізок дорівнює добутку довжини утворює синус кута нахилу утворює до площини.

Як побудувати розгортку циліндра

У деяких випадках потрібно викроїти розгортку циліндра. На наведеному малюнку показані правила, якими будується заготівля виготовлення циліндра із заданими висотою і діаметром.

Слід враховувати, що малюнок наведений без урахування швів.

Відмінності скошеного циліндра

Уявімо собі якийсь прямий циліндр, обмежений з одного боку площиною, перпендикулярною утворюючим. А ось площина, що обмежує циліндр з іншого боку, не перпендикулярна до утворює і не паралельна першій площині.

На малюнку представлено скошений циліндр. Площина апід деяким кутом, відмінним від 90° до утворюючим, перетинає фігуру.

Така геометрична форма найчастіше зустрічається на практиці у вигляді з'єднань трубопроводів (коліни). Але бувають навіть будівлі, збудовані у вигляді скошеного циліндра.

Геометричні характеристики скошеного циліндра

Нахил однієї з площин скошеного циліндра трохи змінює порядок розрахунку як площі поверхні такої фігури, так і її об'єму.

Знайдіть площу осьового перерізу, перпендикулярного основам циліндра. Одна зі сторін цього прямокутника дорівнює висоті циліндра, друга - діаметру кола основи. Відповідно, площа перерізу в цьому випадку дорівнюватиме добутку сторін прямокутника. S = 2R * h, де S - площа перерізу, R - радіус кола основи, заданий умовами задачі, а h - висота циліндра, також задана умовами задачі.

Якщо перетин перпендикулярно основам, але при цьому не проходить через вісь обертання, прямокутника не дорівнюватиме діаметру кола. Її треба вирахувати. Для цього завдання має бути сказано, на якій відстані від осі обертання проходить площина перерізу. Для зручності обчислень побудуйте коло основи циліндра, проведіть радіус і відкладіть на ньому відстань, на якій від центру кола знаходиться перетин. Від цієї точки проведіть до перпендикуляра до їхнього перетину з колом. З'єднайте точки перетину із центром. Вам потрібно знайти хорди. Знайдіть розмір половини хорди за теоремою Піфагора. Він дорівнюватиме квадратного кореняз різниці квадратів радіусу кола від центру до лінії перерізу. a2 = R2-b2. Вся хорда буде відповідно дорівнює 2а. Обчисліть площу перерізу, яка дорівнює добутку сторін прямокутника, тобто S = 2a * h.

Циліндр можна розсікти, що не проходить через площину основи. Якщо поперечний переріз проходить перпендикулярно осі обертання, воно буде коло. Площа його в цьому випадку дорівнює площі основ, тобто обчислюється за формулою S = R2.

Корисна порада

Щоб точніше уявити перетин, зробіть креслення та додаткові побудови до нього.

Джерела:

• переріз циліндра площа

Лінія перетину поверхні з площиною належить одночасно поверхні та січній площині. Лінія перетину циліндричної поверхні січною площиною, паралельною прямою твірною – пряма лінія. Якщо січна площина перпендикулярна до осі поверхні обертання – у перерізі буде коло. У загальному випадкулінія перетину циліндричної поверхні із січною площиною – крива лінія.

Вам знадобиться

• Олівець, лінійка, трикутник, лекала, циркуль, вимірювач.

Інструкція

На фронтальній площині проекцій П₂ лінія перерізу збігається з проекцією площини, що січе, Σ₂ у вигляді прямої.
Позначте точки перетину циліндра, що утворюють, з проекцією Σ₂ 1₂, 2₂ і т.д. до точок 10₂ та 11₂.

На площині П₁ – це коло. Зазначені на площині перерізу Σ₂ точки 1₂ , 2₂ і т.д. за допомогою лінії проекційного зв'язку спроектуються на нарисі цього кола. Позначте їх горизонтальні проекції симетрично щодо горизонтальної осі кола.

Отже, проекції шуканого перерізу визначено: на площині П₂ – пряма (точки 1₂, 2₂…10₂); на площині П₁ – коло (точки 1₁, 2₁…10₁).

По двох побудуйте натуральну величину перерізу даного циліндра площиною, що фронтально-проектує, Σ. Для цього використовуйте метод проекцій.

Проведіть площину П₄ паралельно до проекції площини Σ₂. На цій новій осі x₂₄ позначте точку 1₀. Відстань між точками 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂ і т.д. з фронтальної проекції перерізу відкладіть на осі x₂₄, проведіть тонкі лінії проекційного зв'язку перпендикулярно до осі x₂₄.

У цьому способі площиною П₄ замінюється площина П₁, тому з горизонтальної проекції розміри від осі до точок перенесіть на вісь площини П₄.

Наприклад, на П₁ для точок 2 і 3 це буде відстань від 2₁ і 3₁ до осі (точка А) і т.д.

Відклавши з горизонтальної проекції зазначені відстані, отримайте точки 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Потім для більшої точності побудови визначаються інші проміжні точки.

З'єднавши лекальною кривою всі точки, отримайте шукану натуральну величину перерізу циліндра фронтально-проектуючою площиною.

Джерела:

• як замінити площину

Порада 3: Як знайти площу осьового перерізу зрізаного конуса

Щоб вирішити це завдання, необхідно згадати, що таке усічений конус і які властивості він має. Обов'язково зробіть креслення. Це дозволить визначити, яку геометричну фігуруявляє собою переріз. Цілком можливо, що після цього розв'язання задачі вже не представлятиме вам складності.

Інструкція

Круглий конус – тіло, отримане шляхом обертання трикутника навколо одного з його катетів. Прямі, що виходять із вершини конусаі перетинають його основу, називаються утворюючими. Якщо всі утворюють рівні, конус є прямим. В основі круглого конусалежить коло. Перпендикуляр, опущений на основу з вершини, є висотою конуса. У круглого прямого конусависота збігається з його віссю. Вісь – це пряма, що з'єднує з центром основи. Якщо горизонтальна січна площина кругового конуса, то його верхня основа є коло.

Оскільки в умові завдання не обумовлено, саме конус дається в даному випадку, можна зробити висновок, що це прямий усічений конус, горизонтальний переріз якого паралельно до основи. Його осьовий перетин, тобто. вертикальна площина, яка через вісь круглого конуса, являє собою рівнобічну трапецію Усі осьові перерізукруглого прямого конусарівні між собою. Отже, щоб знайти площаосьового перерізу, потрібно знайти площатрапеції, основами якої діаметри основ усіченого конуса, А бічні сторони - його утворюють. Висота усіченого конусає одночасно заввишки трапеції.

Площа трапеції визначається за формулою: S = ½(a+b) h, де S – площатрапеції; a – величина нижньої основитрапеції; b - величина її верхньої основи; h - Висота трапеції.

Оскільки в умові не обумовлено, які саме дані, можна визначити, що діаметри обох підстав усіченого конусавідомі: AD = d1 – діаметр нижньої основи усіченого конуса;BC = d2 – діаметр його верхньої основи; EH = h1 – висота конуса.Таким чином, площаосьового перерізуусіченого конусавизначається: S1 = ½ (d1+d2) h1

Джерела:

• площа зрізаного конуса

Циліндр є просторовою фігурою і складається з двох рівних основ, які являють собою кола та бічній поверхні, що з'єднує лінії, що обмежують основи. Щоб обчислити площа циліндра, знайдіть площі всіх поверхонь і складіть їх.

Стереометрія – це розділ геометрії, в якому вивчаються фігури у просторі. Основними фігурами у просторі є точка, пряма та площина. У стереометрії з'являється новий вид взаємного розташуванняпрямих: прямі, що схрещуються. Це одна з небагатьох суттєвих відмінностей стереометрії від планіметрії, тому що в багатьох випадках завдання стереометрії вирішуються шляхом розгляду різних площин, в яких виконуються планиметричні закони.

У природі, що нас оточує, існує безліч об'єктів, які є фізичними моделями зазначеної фігури. Наприклад, багато деталей машин мають форму циліндра або є деяким їх поєднанням, а величні колони храмів і соборів, виконані у формі циліндрів, підкреслюють їх гармонію і красу.

Греч. − кюліндрос. Античний термін. У побуті – сувій папірусу, валик, ковзанка (дієслово – крутити, катати).

У Евкліда циліндр виходить обертанням прямокутника. У Кавальєрі – рухом утворюючої (при довільній напрямній – "циліндрика").

Мета цього реферату розглянути геометричне тіло – циліндр.

Для досягнення цієї мети необхідно розглянути такі завдання:

− дати визначення циліндра;

− розглянути елементи циліндра;

− вивчити властивості циліндра;

− розглянути види перерізу циліндра;

− вивести формулу площі циліндра;

− вивести формулу об'єму циліндра;

− розв'язати задачі з використанням циліндра.

1.1. Визначення циліндра

Розглянемо якусь лінію (криву, ламану або змішану) l, що лежить у деякій площині α, і деяку пряму S, що перетинає цю площину. Через усі точки даної лінії l проведемо прямі, паралельні прямий S; утворена цими прямими поверхня називається циліндричною поверхнею. Лінія l називається спрямовуючою цієї поверхні, прямі s 1 , s 2 , s 3 ,... − її утворюючими.

Якщо напрямна є ламаною, то така циліндрична поверхня складається з ряду плоских смуг, укладених між парами паралельних прямих, і називається призматичною поверхнею. Утворюючі, що проходять через вершини напрямної ламаною, називаються ребрами призматичної поверхні, плоскі смуги між ними її гранями.

Якщо розсікти будь-яку циліндричну поверхню довільною площиною, що не паралельна її утворює, то отримаємо лінію, яка також може бути прийнята за напрямну даної поверхні. Серед напрямних виділяється та, яка, виходить, від перерізу поверхні площиною, перпендикулярною до утворює поверхні. Такий переріз називається нормальним перерізом, а відповідна напрямна – нормальною напрямною.

Якщо напрямна − замкнута (опукла) лінія (ламана чи крива), то відповідна поверхня називається замкненою (опуклою) призматичною чи циліндричною поверхнею. З циліндричних поверхонь найпростіша має своєю нормальною напрямною коло. Розсічемо замкнуту опуклу призматичну поверхню двома площинами, паралельними між собою, але не паралельними утворюючим.

У перерізах отримаємо опуклі багатокутники. Тепер частина призматичної поверхні, укладена між площинами α і α", і дві багатокутні пластинки, що при цьому утворилися, в цих площинах обмежують тіло, зване призматичним тілом - призмою.

Циліндричне тіло - циліндр визначається аналогічно призмі:
Циліндром називається тіло, обмежене з боків замкненою (опуклою) циліндричною поверхнею, а з торців двома плоскими паралельними основами. Обидва підстави циліндра рівні, також рівні між собою і всі утворюють циліндра, тобто. відрізки утворюють циліндричної поверхні між площинами основ.

Циліндром (точніше, круговим циліндром) називається геометричне тіло, яке складається з двох кіл, що не лежать в одній площині і поєднуються паралельним переносом, і всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих кіл (рис. 1).

Кола називаються основами циліндра, а відрізки, що з'єднують відповідні точки кіл кіл, − утворюючими циліндра.

Так як паралельне перенесення є рух, то підстави циліндра рівні.

Оскільки при паралельному перенесенні площина перетворюється на паралельну площину (чи у собі), то циліндра підстави лежать у паралельних площинах.

Так як при паралельному перенесенні точки зміщуються по паралельним (або збігаються) прямим на одну і ту ж відстань, то у циліндра утворюють паралельні та рівні.

Поверхня циліндра складається з основ та бічної поверхні. Бічна поверхня складена з утворюючих.

Циліндр називається прямим, якщо його утворюють перпендикулярні до площин основ.

Прямий циліндр наочно можна уявити як геометричне тіло, яке описує прямокутник при обертанні його біля боку як осі (рис. 2).

Рис. 2 − Прямий циліндр

Надалі ми розглядатимемо лише прямий циліндр, називаючи його для стислості просто циліндром.

Радіусом циліндра називається радіус його основи. Висотою циліндра називається відстань між площинами його основ. Оссю циліндра називається пряма, що проходить через центри основ. Вона паралельна утворюючим.

Циліндр називається рівностороннім, якщо його висота дорівнює діаметру основи.

Якщо підстави циліндра плоскі (і, отже, площини, що їх містять, паралельні), то циліндр називають стоять на площині. Якщо підстави циліндра, що стоїть на площині, перпендикулярні твірній, то циліндр називається прямим.

Зокрема, якщо основа циліндра, що стоїть на площині − коло, то говорять про круговий (круглий) циліндр; якщо еліпс – то еліптичному.

1. 3. Перетину циліндра

Перетин циліндра площиною, паралельної його осі, є прямокутником (рис. 3, а). Дві його сторони – утворюють циліндри, а дві інші – паралельні хорди основ.

а) б)

в) г)

Рис. 3 – Переріз циліндра

Зокрема, прямокутником є ​​осьовий переріз. Це − перетин циліндра площиною, що проходить крізь його вісь (рис. 3, б).

Перетин циліндра площиною, паралельною до основи − коло (рис 3, в).

Перетин циліндра площиною не паралельною до основи та його осі − овал (рис. 3г).

Теорема 1. Площина, паралельна площині основи циліндра, перетинає його бічну поверхнюпо колу, рівному колу основи.

Доведення. Нехай β – площина, паралельна площині основи циліндра. Паралельне перенесення в напрямку осі циліндра, що поєднує площину β з площиною основи циліндра, поєднує переріз бічної поверхні площиною β з коло основи. Теорему доведено.

Площа бічній поверхні циліндра.

За площу бічної поверхні циліндра приймається межа, до якої прагне площа бічної поверхні правильної призми, вписаної в циліндр, коли кількість сторін основи цієї призми необмежено зросте.

Теорема 2. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює добутку довжини кола його основи на висоту (S бок.ц = 2πRH, де R - радіус основи циліндра, Н - висота циліндра).

а) б)
Рис. 4 − Площа бічної поверхні циліндра

Доведення.

Нехай P n і Н відповідно периметр основи та висота правильної n-вугільної призми, вписаної в циліндр (рис. 4, а). Тоді площа бічної поверхні цієї призми S бок. Тоді периметр P n прагне довжини кола З = 2πR, де R- радіус основи циліндра, а висота H не змінюється. Таким чином, площа бічної поверхні призми прагне межі 2πRH, тобто площа бічної поверхні циліндра дорівнює S бок.ц = 2πRH. Теорему доведено.

Повна поверхня циліндра.

Площею повної поверхні циліндра називається сума площ бічної поверхні та двох основ. Площа кожної основи циліндра дорівнює πR 2 , отже, площа повної поверхні циліндра S повний обчислюється за формулою S бок.ц = 2πRH+ 2πR 2 .

r

T 1

T

F

F 1

F

T

а)

F

б)

Рис. 5 − Площа повної поверхні циліндра

Якщо бічну поверхню циліндра розрізати по твірної FT (рис. 5, а) і розгорнути так, щоб усі утворювальні опинилися в одній площині, то в результаті ми отримаємо прямокутник FTT1F1, який називається розгорткою бічної поверхні циліндра. Сторона FF1 прямокутника є розгорткою кола основи циліндра, отже, FF1=2πR, яке сторона FT дорівнює твірної циліндра, т. е. FT = Н (рис. 5, б). Таким чином, площа FT∙FF1=2πRH розгортки циліндра дорівнює площі його бічної поверхні.

1.5. Об'єм циліндра

Якщо геометричне тіло просте, тобто допускає розбиття на кінцеве число трикутних пірамід, то його обсяг дорівнює суміобсягів цих пірамід. Для довільного тіла обсяг визначається в такий спосіб.

Дане тіло має об'єм V, якщо існує прості тіла, що містять його, і містяться в ньому прості тіла з об'ємами, скільки завгодно мало відрізняються від V.

Застосуємо це визначення знаходження об'єму циліндра з радіусом підстави R і висотою Н.

При виведенні формули для площі кола були побудовані такі два n-кутники (один - коло, другий - що міститься в колі), що їх площі при необмеженому збільшенні n необмежено наближалися до площі кола. Побудуємо такі багатокутники для кола в основі циліндра. Нехай Р – багатокутник, що містить коло, а Р” – багатокутник, що міститься у колі (рис. 6).

Рис. 7 − Циліндр із описаною та вписаною в нього призмою

Побудуємо дві прямі призми з основами Р і Р" і висотою Н, що дорівнює висоті циліндра. Перша призма містить циліндр, а друга призма міститься в циліндрі. Так як при необмеженому збільшенні n площі основ призм необмежено наближаються до площі основи циліндра S, то їх обсяги необмежено наближаються до SН, згідно з визначенням об'єм циліндра

V = SH = πR 2 H.

Отже, обсяг циліндра дорівнює добутку площі основи висоту.

Завдання 1.

Осьовий переріз циліндра – квадрат, площа якого Q.

Знайдіть площу основи циліндра.

Дано: циліндр, квадрат – осьовий переріз циліндра, S квадрата = Q.

Знайти: S осн.

Сторона квадрата дорівнює. Вона дорівнює діаметру основи. Тому площа основи дорівнює .

Відповідь: S осн.цил. =

Завдання 2.

У циліндр вписано правильну шестикутну призму. Знайдіть кут між діагоналлю її бічної грані та віссю циліндра, якщо радіус основи дорівнює висоті циліндра.

Дано: циліндр, правильна шестикутна призма, вписана в циліндр, радіус основи = висоті циліндра.

Знайти: кут між діагоналлю її бічної грані та віссю циліндра.

Рішення: Бічні грані призми – квадрати, оскільки сторона правильного шестикутника, вписаного в коло, дорівнює радіусу.

Ребра призми паралельні осі циліндра, тому кут між діагоналлю грані та віссю циліндра дорівнює куту між діагоналлю та бічним ребром. А це кут дорівнює 45°, оскільки грані – квадрати.

Відповідь: кут між діагоналлю її бічної грані та віссю циліндра = 45°.

Завдання 3.

Висота циліндра 6см, радіус основи 5см.

Знайдіть площу перерізу, проведеного паралельно осі циліндра на відстані 4 см від неї.

Дано: Н = 6см, R = 5см, ОЕ = 4см.

Знайти: S січ.

S січ. = КМ×КС,

ОЕ = 4 див, КС = 6 див.

Трикутник ОКМ - рівнобедрений (ОК = ОМ = R = 5 см),

трикутник ОЕК – прямокутний.

З трикутника ОЕК, за теоремою Піфагора:

КМ = 2ЕК = 2×3 = 6,

S січ. = 6×6 = 36 см 2 .

Мета даного реферату виконано, розглянуто таке геометричне тіло, як циліндр.

Розглянуто такі завдання:

− дано визначення циліндра;

− розглянуті елементи циліндра;

− вивчено властивості циліндра;

− розглянуті види перерізу циліндра;

− виведено формулу площі циліндра;

− виведено формулу об'єму циліндра;

− вирішені задачі з використанням циліндра.

1. Погорєлов А. В. Геометрія: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ, 1995.

2. Бескін Л.М. Стереометрія. Посібник для вчителів середньої школи, 1999.

3. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Кисельова Л. С., Позняк Е. Г. Геометрія: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ, 2000.

4. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рижик В.І. Геометрія: підручник для 10–11 класів загальноосвітніх установ, 1998.

5. Кисельов А. П., Рибкін Н. А. Геометрія: Стереометрія: 10 - 11 класи: Підручник та задачник, 2000.