Логарифмічні нерівності з однаковими основами. Логарифмічні нерівності - Гіпермаркет знань

Цілі уроку:

Дидактичні:

• 1 рівень – навчити вирішувати найпростіші логарифмічні нерівності, застосовуючи визначення логарифму, властивості логарифмів;
• 2 рівень – вирішувати логарифмічні нерівності, обираючи самостійно спосіб розв'язання;
• 3 рівень – вміти застосовувати знання та вміння у нестандартних ситуаціях.

Розвиваючі:розвивати пам'ять, увагу, логічне мислення, навички порівняння, вміти узагальнювати та робити висновки

Виховні:виховувати акуратність, відповідальність за завдання, взаємодопомога.

Методи навчання: словесний , наочний , практичний , частково-пошуковий , самоврядування , контролю.

Форми організації пізнавальної діяльностіучнів: фронтальний , індивідуальний , робота у парах.

Обладнання: набір тестових завдань, опорний конспект, чистий лист для рішень.

Тип уроку:Вивчення нового матеріалу.

Хід уроку

1. Організаційний момент.Оголошуються тема та цілі уроку, схема проведення уроку: кожному учневі видається оціночний лист, який учень заповнює протягом уроку; для кожної пари учнів – друковані матеріали із завданнями, виконувати завдання потрібно у парах; чисті листидля рішень; опорні листи: визначення логарифму; графік логарифмічної функції, її властивості; властивості логарифмів; алгоритм розв'язання логарифмічних нерівностей.

Усі рішення після самооцінки здаються вчителю.

Оціночний лист учня

2. Актуалізація знань.

Вказівки вчителя. Згадайте визначення логарифму, графік логарифмічної функції та її властивості. Для цього прочитайте текст на с.88–90, 98–101 підручника “Алгебра та початки аналізу 10–11” за редакцією Ш.А Алімова, Ю.М Колягіна та ін.

Учням лунають листи, на яких записані: визначення логарифму; зображено графік логарифмічної функції, її властивості; властивості логарифмів; алгоритм розв'язання логарифмічних нерівностей, приклад розв'язання логарифмічної нерівності, що зводиться до квадратного.

3. Вивчення нового матеріалу.

Розв'язання логарифмічних нерівностей ґрунтується на монотонності логарифмічної функції.

Алгоритм розв'язання логарифмічних нерівностей:

А) Знайти область визначення нерівності (підлогарифмічний вираз більше за нуль).
Б) Уявити (якщо можливо) ліву і праву частини нерівності у вигляді логарифмів по одному й тому підставі.
В) Визначити, зростаючою чи спадною є логарифмічна функція: якщо t>1, то зростаюча; якщо 0 1, то спадна.
Г) Перейти до більш простої нерівності(підлогарифмічних виразів), враховуючи, що знак нерівності збережеться, якщо функція зростає, і зміниться, якщо вона зменшується.

Навчальний елемент №1.

Мета: закріпити вирішення найпростіших логарифмічних нерівностей

Форма організації пізнавальної діяльності учнів: індивідуальна робота.

Завдання для самостійної роботина 10 хв. Для кожної нерівності є кілька варіантів відповідей, потрібно вибрати правильну і перевірити за ключом.

КЛЮЧ: 13321, максимальна кількість балів – 6 б.

Навчальний елемент №2.

Мета: закріпити розв'язання логарифмічних нерівностей, застосовуючи властивості логарифмів.

Вказівки вчителя. Згадайте основні властивості логарифмів. Для цього прочитайте підручник на с.92, 103–104.

Завдання для самостійної роботи на 10 хвилин.

КЛЮЧ: 2113, максимальна кількість балів – 8 б.

Навчальний елемент №3.

Мета: вивчити розв'язання логарифмічних нерівностей шляхом зведення до квадратного.

Вказівки вчителя: метод зведення нерівності до квадратного полягає в тому, що потрібно перетворити нерівність до такого виду, щоб деяку логарифмічну функцію позначити новою змінною, отримавши при цьому квадратну нерівність щодо цієї змінної.

Застосуємо метод інтервалів.

Ви пройшли перший рівень засвоєння матеріалу. Тепер вам доведеться самостійно вибрати метод розв'язання логарифмічних рівнянь, використовуючи всі свої знання та можливості.

Навчальний елемент №4.

Мета: закріпити розв'язання логарифмічних нерівностей, обравши самостійно раціональний спосіб розв'язання.

Завдання для самостійної роботи на 10 хвилин

Навчальний елемент №5.

Вказівки вчителя. Молодці! Ви освоїли розв'язання рівнянь другого рівня складності. Метою подальшої вашої роботи є застосування своїх знань та умінь у більш складних та нестандартних ситуаціях.

Завдання для самостійного вирішення:

Вказівки вчителя. Чудово, якщо ви справилися з усім завданням. Молодці!

Оцінка за весь урок залежить від кількості набраних балів за всіма навчальними елементами:

• якщо N ≥ 20, то ви отримуєте оцінку “5”,
• при 16 ≤ N ≤ 19 – оцінка “4”,
• при 8 ≤ N ≤ 15 – оцінка “3”,
• при N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Оцінні лисиці здати вчителю.

5. Домашнє завдання: якщо ви набрали не більше 15 байт – виконайте роботу над помилками (рішення можна взяти у вчителя), якщо ви набрали більше 15 байт – виконайте творче завдання на тему “Логарифмічні нерівності”.

З ними перебувають усередині логарифмів.

Приклади:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Як вирішувати логарифмічні нерівності:

Будь-яка логарифмічна нерівність потрібно прагнути привести до вигляду \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (символ \(˅\) означає будь-який з ). Такий вид дозволяє позбутися логарифмів та їх підстав, зробивши перехід до нерівності виразів під логарифмами, тобто до виду (f(x) ˅ g(x)).

Але при виконанні цього переходу є одна дуже важлива тонкість:
\(-\) якщо - число і воно більше 1 - знак нерівності при переході залишається таким,
\(-\) якщо основа - число більше 0, але менше 1 (лежить між нулем та одиницею), то знак нерівності повинен змінюватися на протилежний, тобто.

Приклади:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ОДЗ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(x<8\) Рішення: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) Відповідь: ((6; 8))

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\(((x+ 1))\) ОДЗ: \(\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)\) \(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\x > -1\end(cases) \) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\) Рішення: \(2x-4\)\(≤\) \(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Відповідь: \((2;5]\)

Дуже важливо!У будь-якій нерівності перехід від виду \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) до порівняння виразів під логарифмами можна робити тільки якщо:

приклад . Розв'язати нерівність: \(\log\)\(≤-1\)

Рішення:

\(\log\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Випишемо ОДЗ.
ОДЗ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Розкриваємо дужки, наводимо .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Помножуємо нерівність на (-1), не забувши при цьому перевернути знак порівняння.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Побудуємо числову вісь і відзначимо на ній точки \(\frac(7)(3)\) і \(\frac(3)(2)\). Зверніть увагу, точка із знаменника – виколота, незважаючи на те, що нерівність не сувора. Справа в тому, що ця точка не буде рішенням, тому що при підстановці в нерівність призведе нас до поділу на нуль.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Тепер на ту ж числову вісь наносимо ОДЗ і записуємо у відповідь проміжок, який потрапляє в ОДЗ.
	Записуємо остаточну відповідь.

Відповідь: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

приклад . Вирішити нерівність: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Рішення:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Випишемо ОДЗ.
ОДЗ: \(x>0\)	Приступимо до вирішення.
Рішення: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Перед нами типова квадратно-логарифмічна нерівність. Робимо.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Розкладаємо ліву частину нерівності на .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Тепер потрібно повернутись до вихідної змінної – ікса. Для цього перейдемо до , Що має таке ж рішення, і зробимо зворотну заміну.
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Перетворюємо \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(gathered) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Робимо перехід до порівняння аргументів. Підстави у логарифмів більше (1), тому знак нерівностей не змінюється.
\(\left[ \begin(gathered) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Поєднаємо рішення нерівності та ОДЗ на одному малюнку.
	Запишемо відповідь.

Відповідь: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

Вступ

Логарифми були придумані для прискорення та спрощення обчислень. Ідея логарифму, т. е. ідея висловлювати числа як ступеня однієї й тієї ж підстави, належить Михайлу Штифелю. Але за часів Штифеля математика була настільки розвинена і ідея логарифму не знайшла свого розвитку. Логарифми були винайдені пізніше одночасно і незалежно один від одного шотландським вченим Джоном Непером (1550-1617) і швейцарцем Іобст Бюрги (1552-1632) Першим опублікував роботу Непер в 1614г. під назвою "Опис дивовижної таблиці логарифмів", теорія логарифмів Непера була дана в досить повному обсязі, спосіб обчислення логарифмів дано найбільш простий, тому заслуги Непера у винаході логарифмів більше, ніж у Бюрги. Бюргі працював над таблицями одночасно з Непером, але довгий час тримав їх у секреті та опублікував лише у 1620р. Ідеєю логарифму Непер опанував около1594г. хоча таблиці опублікував через 20 років. Спочатку він називав свої логарифми "штучними числами" і вже потім запропонував ці "штучні числа" називати одним словом "логарифм", який у перекладі з грецької- "співвіднесені числа", взяті одне з арифметичної прогресії, а інше зі спеціально підібраної до неї геометричної прогресу. Перші таблиці російською були видані в1703г. за участю чудового педагога 18 ст. Л. Ф. Магницького. У розвитку теорії логарифмів велике значення мали роботи петербурзького академіка Леонарда Ейлера. Він першим став розглядати логарифмування як дію, зворотне зведенню в ступінь, він увів у вживання терміни «основа логарифму» і «мантіса» Брігс склав таблиці логарифмів з основою 10. . Тому десяткові логарифми іноді називають бригсовими. Термін «характеристика» запровадив Брігс.

У ті далекі часи, коли мудреці вперше почали замислюватися про рівність, що містять невідомі величини, напевно, ще не було ні монет, ні гаманців. Зате були купи, а також горщики, кошики, які чудово підходили на роль схованок-сховищ, що вміщають невідому кількість предметів. У стародавніх математичних завданнях Межиріччя, Індії, Китаю, Греції невідомі величини виражали кількість павичів у саду, кількість бугаїв у стаді, сукупність речей, що враховуються при розподілі майна. Добре навчені науці рахунки переписувачі, чиновники та посвячені в таємні знання жерці досить успішно справлялися з такими завданнями.

Джерела, що дійшли до нас, свідчать, що древні вчені володіли якимись загальними прийомами вирішення завдань з невідомими величинами. Однак в жодному папірусі, в жодній глиняній табличці не дано опису цих прийомів. Автори лише зрідка постачали свої числові викладки скупими коментарями типу: "Дивись!", "Роби так!", "Ти правильно знайшов". У цьому сенсі винятком є ​​"Арифметика" грецького математика Діофанта Олександрійського (III ст.) - Збір завдань на складання рівнянь із систематичним викладом їх рішень.

Однак першим керівництвом з вирішення завдань, що набуло широкої популярності, стала праця багдадського вченого IX ст. Мухаммеда бен Муси аль-Хорезмі. Слово "аль-джебр" з арабської назви цього трактату - "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга про відновлення і протиставлення") - згодом перетворилося на добре знайоме всім слово "алгебра", а сам твір аль-Хорезмі послужив відправною точкою у становленні науки про розв'язання рівнянь.

Логарифмічні рівняння та нерівності

1. Логарифмічні рівняння

Рівняння, що містить невідоме під знаком логарифму або на його підставі, називається логарифмічним рівнянням.

Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння виду

log a x = b . (1)

Твердження 1. Якщо a > 0, a≠ 1, рівняння (1) за будь-якого дійсного bмає єдине рішення x = a b .

Приклад 1. Розв'язати рівняння:

a) log 2 x= 3; b) log 3 x= -1, c)

Рішення. Використовуючи затвердження 1, отримаємо a) x= 2 3 або x= 8; b) x= 3 -1 або x= 1/3; c)

або x = 1.

Наведемо основні властивості логарифму.

Р1. Основна логарифмічна тотожність:

де a > 0, a≠ 1 та b > 0.

Р2. Логарифм твору позитивних співмножників дорівнює сумілогарифмів цих співмножників:

log a N 1 · N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Зауваження. Якщо N 1 · N 2 > 0, тоді властивість P2 набуде вигляду

log a N 1 · N 2 = log a |N 1 | + log a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

Р3. Логарифм приватного двох позитивних чисел дорівнює різниці логарифмів ділимого та дільника

(a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Зауваження. Якщо

, (що рівносильно N 1 N 2 > 0) тоді властивість P3 набуде вигляду (a > 0, a ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Логарифм ступеня позитивного числа дорівнює добутку показника ступеня логарифм цього числа:

log a N k = k log a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Зауваження. Якщо k- парне число ( k = 2s), то

log a N 2s = 2s log a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Формула переходу до іншої основи:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

зокрема, якщо N = b, отримаємо

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Використовуючи властивості P4 та P5, легко отримати наступні властивості

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

і, якщо (5) c- парне число ( c = 2n), має місце

(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

Перерахуємо основні властивості логарифмічної функції f (x) = log a x :

1. Область визначення логарифмічної функції є множиною позитивних чисел.

2. Область значень логарифмічної функції – безліч дійсних чисел.

3. При a> 1 логарифмічна функція строго зростає (0< x 1 < x 2 log a x 1 < loga x 2), а при 0< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 log a x 1 > log a x 2).

4. log a 1 = 0 та log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Якщо a> 1, то логарифмічна функція негативна при x(0;1) і позитивна при x(1;+∞), а якщо 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) і негативна при x (1;+∞).

6. Якщо a> 1, то логарифмічна функція опукла вгору, і якщо a(0;1) - опукла вниз.

Наступні твердження (див., наприклад,) використовуються при вирішенні логарифмічних рівнянь.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.