Розв'язання рівнянь з логарифмами в міру. Методика розв'язання логарифмічних рівнянь

основними властивостями.

logax + logay = loga (x · y);
logax – logay = loga (x: y).

однакові підстави

Log6 4+log6 9.

Тепер трохи ускладнимо завдання.

Приклади вирішення логарифмів

Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за такими правилами:

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x >

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Перехід до нової основи

Нехай даний логарифм logax. Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 і c ≠ 1, правильна рівність:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Дивіться також:

Основні властивості логарифму

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Експонента дорівнює 2,718281828. Щоб запам'ятати експоненту, можете вивчити правило: експонента дорівнює 2,7 і двічі рік народження Льва Миколайовича Толстого.

Основні властивості логарифмів

Знаючи це правило знатимете і точне значенняекспоненти та дату народження Льва Толстого.

Приклади на логарифми

Прологарифмувати вирази

приклад 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).

За властивостями 3,5 обчислюємо

4. де .

Приклад 2. Знайти х, якщо

Приклад 3. Нехай задано значення логарифмів

Обчислити log(x), якщо

Основні властивості логарифмів

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми — це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Ці правила обов'язково треба знати - без них не вирішується жодне серйозне логарифмічне завдання. До того ж їх зовсім небагато — все можна вивчити за один день. Отже, почнемо.

Додавання та віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими підставами: logax та logay. Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

logax + logay = loga (x · y);
logax – logay = loga (x: y).

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різниця - приватного логарифму. Зверніть увагу: ключовий момент тут однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний виразнавіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади і переконайтеся:

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log2 48 − log2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log3 135 − log3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті побудовано багато контрольні роботи. Так що контрольні — подібні висловлювання на повному серйозі (іноді практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифму

Неважко помітити, що останнє правило слідує їх перших двох. Але краще його все ж таки пам'ятати — у деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x > 0. І ще: вчитеся застосовувати всі формули як зліва направо, а й навпаки, тобто. можна вносити числа, що стоять перед знаком логарифму, до самого логарифму. Саме це найчастіше й потрібне.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log7 496.

Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 24; 49 = 72. Маємо:

Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо лише зі знаменником.

Формули логарифмів. Логарифми – приклади рішення.

Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники — отримали «триповерховий» дріб.

Тепер подивимося на основний дріб. У чисельнику та знаменнику стоїть те саме число: log2 7. Оскільки log2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб — у знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що було зроблено. В результаті вийшла відповідь: 2.

Перехід до нової основи

Говорячи про правила складання та віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють лише за однакових підстав. А що, коли підстави різні? Що, якщо вони не є точними ступенями того самого числа?

На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:

Нехай даний логарифм logax. Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 і c ≠ 1, правильна рівність:

Зокрема, якщо покласти c = x отримаємо:

З другої формули випливає, що можна міняти місцями основу та аргумент логарифму, але при цьому весь вислів «перевертається», тобто. логарифм опиняється у знаменнику.

Ці формули рідко зустрічається у звичайних числових виразах. Оцінити, наскільки вони зручні, можна лише при розв'язанні логарифмічних рівнянь та нерівностей.

Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нової основи. Розглянемо пару таких:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log5 16 · log2 25.

Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступені. Винесемо показники: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

Оскільки від перестановки множників твір не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку та двійку, а потім розібралися з логарифмами.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log9 100 · lg 3.

Підстава та аргумент першого логарифму — точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:

Тепер позбудемося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:

Основне логарифмічне тотожність

Часто в процесі рішення потрібно представити число як логарифм на задану основу. У цьому випадку нам допоможуть формули:

У першому випадку число n стає показником ступеня, що стоїть у аргументі. Число n може бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифму.

Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона і називається: .

Справді, що буде, якщо число b звести на такий ступінь, що число b у цій мірі дає число a? Правильно: вийде це саме число a. Уважно прочитайте цей абзац ще раз — багато хто на ньому «зависає».

Подібно до формул переходу до нової основи, основна логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що log25 64 = log5 8 — просто винесли квадрат із підстави та аргументу логарифму. Враховуючи правила множення ступенів з однаковою основою, отримуємо:

Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ 🙂

Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль

Насамкінець наведу дві тотожності, які складно назвати властивостями — швидше, це наслідки з визначення логарифму. Вони постійно зустрічаються у завданнях і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.

logaa = 1 – це. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи a від самої цієї основи дорівнює одиниці.
loga 1 = 0 це. Підстава a може бути будь-якою, але якщо в аргументі стоїть одиниця — логарифм дорівнює нулю! Тому що a0 = 1 — це прямий наслідок визначення.

Ось і всі властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! Завантажте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її і вирішуйте завдання.

Дивіться також:

Логарифмом числа b на підставі a позначають вираз . Обчислити логарифм означає знайти такий ступінь x (), при якому виконується рівність

Основні властивості логарифму

Наведені властивості необхідно знати, оскільки, на їх основі вирішуються практично всі завдання та приклади пов'язані з логарифмами. Інші екзотичні властивості можна вивести шляхом математичних маніпуляцій з даними формулами

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

При обчисленнях формули суми та різниці логарифмів (3,4) зустрічаються досить часто. Інші дещо складні, але у ряді завдань є незамінними для спрощення складних виразів та обчислення їх значень.

Поширені випадки логарифмів

Одними з поширених логарифмів є такі в яких основа рівна десять, експоненті або двійці.
Логарифм на основі десять прийнято називати десятковим логарифмом і спрощено позначати lg(x).

Із запису видно, що основи запису не пишуть. Для прикладу

Натуральний логарифм – це логарифм, у якого за основу експонента (позначають ln(x)).

Експонента дорівнює 2,718281828. Щоб запам'ятати експоненту, можете вивчити правило: експонента дорівнює 2,7 і двічі рік народження Льва Миколайовича Толстого. Знаючи це правило знатимете і точне значення експоненти, і дату народження Льва Толстого.

І ще один важливий логарифм на основі два позначають

Похідна від логарифм функції дорівнює одиниці розділеної на змінну

Інтеграл чи первісна логарифма визначається залежністю

Наведеного матеріалу Вам достатньо, щоб вирішувати широкий клас завдань, пов'язаних з логарифмами та логарифмування. Для засвоєння матеріалу наведу лише кілька поширених прикладів з шкільної програмита ВНЗ.

Приклади на логарифми

Прологарифмувати вирази

приклад 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).

За властивостями 3,5 обчислюємо

2.
За властивістю різниці логарифмів маємо

3.
Використовуючи властивості 3,5 знаходимо

4. де .

На вигляд складне вираження з використанням низки правил спрощується до вигляду

Знаходження значень логарифмів

Приклад 2. Знайти х, якщо

Рішення. Для обчислення застосуємо до останнього доданку 5 і 13 властивості

Підставляємо в запис і сумуємо

Оскільки основи рівні, то прирівнюємо вирази

Логарифми. Початковий рівень.

Нехай задано значення логарифмів

Обчислити log(x), якщо

Рішення: Прологарифмуємо змінну, щоб розписати логарифм через суму доданків

На цьому знайомство з логарифмами та їх властивостями лише починається. Вправляйтеся в обчисленнях, збагачуйте практичні навички - отримані знання скоро знадобляться для вирішення логарифмічних рівнянь. Вивчивши основні методи розв'язання таких рівнянь, ми розширимо Ваші знання для іншої. важливій темі- Логарифмічні нерівності ...

Основні властивості логарифмів

Додавання та віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими підставами: logax та logay. Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

logax + logay = loga (x · y);
logax – logay = loga (x: y).

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний вираз навіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади і переконайтеся:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log6 4 + log6 9.

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log2 48 − log2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log3 135 − log3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті збудовано багато контрольних робіт. Так що контрольні — подібні висловлювання на повному серйозі (іноді практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифму

Тепер трохи ускладнимо завдання. Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за такими правилами:

Як вирішувати логарифми

Саме це найчастіше й потрібне.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log7 496.

Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 24; 49 = 72. Маємо:

Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо лише зі знаменником. Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники — отримали «триповерховий» дріб.

Перехід до нової основи

На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:

Нехай даний логарифм logax. Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 і c ≠ 1, правильна рівність:

Зокрема, якщо покласти c = x отримаємо:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log5 16 · log2 25.

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log9 100 · lg 3.

Підстава та аргумент першого логарифму — точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:

Тепер позбудемося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:

Основне логарифмічне тотожність

Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона і називається: .

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ 🙂

Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль

logaa = 1 – це. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи a від самої цієї основи дорівнює одиниці.
loga 1 = 0 це. Підстава a може бути будь-якою, але якщо в аргументі стоїть одиниця — логарифм дорівнює нулю! Тому що a0 = 1 — це прямий наслідок визначення.

Логарифмічним рівняннямназивається рівняння, в якому невідоме (х) та вирази з ним знаходяться під знаком логарифмічної функції. Рішення логарифмічних рівнянь має на увазі, що ви вже знайомі з і .
Як розв'язувати логарифмічні рівняння?

Найпростіше рівняння має вигляд log a x = b, де a і b деякі числа, x - невідоме.
Рішенням логарифмічного рівнянняє x = a b за умови: a> 0, a 1.

Слід зазначити, що якщо х буде десь поза логарифмом, наприклад log 2 х = х-2, то таке рівняння вже називається змішаним і для його вирішення потрібен особливий підхід.

Ідеальним випадком є ситуація, коли Вам трапиться рівняння, в якому під знаком логарифму знаходяться лише числа, наприклад, х+2 = log 2 2. Тут достатньо знати властивості логарифмів для його вирішення. Але такий успіх трапляється не часто, тому приготуйтеся до складніших речей.

Але спочатку, все-таки, почнемо з простих рівнянь. Для їх вирішення бажано мати найзагальніше уявлення про логарифм.

Вирішення найпростіших логарифмічних рівнянь

До таких відносяться рівняння типу log 2 х = log 2 16. Неозброєним оком видно, що, опустивши знак логарифму, отримаємо х = 16.

Для того, щоб розв'язати складніше логарифмічне рівняння, його зазвичай призводять до вирішення звичайного алгебраїчного рівнянняабо до вирішення найпростішого логарифмічного рівняння log a x = b. У найпростіших рівняннях це відбувається в один рух, тому вони і звуться найпростішими.

Вищевикористаний метод опускання логарифмів одна із основних способів розв'язання логарифмічних рівнянь і нерівностей. У математиці ця операція зветься потенціювання. Існують певні правилаабо обмеження для таких операцій:

однакові числові підстави у логарифмів
логарифми обох частинах рівняння перебувають вільно, тобто. без будь-яких коефіцієнтів та інших різного роду виразів.

Скажімо в рівнянні log 2 х = 2log 2 (1-х) потенціювання не застосовується - коефіцієнт 2 справа не дозволяє. У наступному прикладі log 2 x + log 2 (1 - х) = log 2 (1 + х) також не виконується одне з обмежень - зліва логарифму два. От був би один – зовсім інша річ!

Втім, прибирати логарифми можна тільки за умови, що рівняння має вигляд:

log a (...) = log a (...)

У дужках можуть бути абсолютно будь-які висловлювання, на операцію потенціювання це ніяк не впливає. І вже після ліквідації логарифмів залишиться простіше рівняння – лінійне, квадратне, показове тощо, яке Ви вже, сподіваюся, вмієте вирішувати.

Візьмемо інший приклад:

log 3 (2х-5) = log 3х

Застосовуємо потенціювання, отримуємо:

log 3 (2х-1) = 2

Виходячи з визначення логарифму, а саме, що логарифм - це число, в яке треба звести основу, щоб отримати вираз, що знаходиться під знаком логарифму, тобто. (4х-1), отримуємо:

Знову отримали гарну відповідь. Тут ми обійшлися без ліквідації логарифмів, але потенціювання можна застосувати і тут, тому що логарифм можна зробити з будь-якої кількості, причому саме такої, яку нам треба. Цей спосіб дуже допомагає при вирішенні логарифмічних рівнянь і особливо нерівностей.

Розв'яжемо наше логарифмічне рівняння log 3 (2х-1) = 2 за допомогою потенціювання:

Уявімо число 2 у вигляді логарифму, наприклад, такого log 3 9, адже 3 2 =9.

Тоді log 3 (2х-1) = log 39 і знову отримуємо все те ж рівняння 2х-1 = 9. Сподіваюся, все зрозуміло.

Ось ми й розглянули як вирішувати найпростіші логарифмічні рівняння, які насправді є дуже важливими, адже розв'язання логарифмічних рівнянь, навіть найстрашніших і закручених, у результаті завжди зводиться до вирішення найпростіших рівнянь.

У всьому, що ми робили вище, ми не брали до уваги один дуже важливий момент, який надалі матиме вирішальну роль. Річ у тім, що рішення будь-якого логарифмічного рівняння, навіть елементарного, складається з двох рівноцінних частин. Перша – це саме рішення рівняння, друга – робота з областю допустимих значень (ОДЗ). Ось саме першу частину ми й освоїли. У наведених вище прикладах ОДЗ на відповідь ніяк не впливає, тому ми її і не розглядали.

А ось візьмемо інший приклад:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Зовні це рівняння нічим не відрізняється від елементарного, яке успішно вирішується. Але це зовсім так. Ні, ми звичайно ж його вирішимо, але швидше за все неправильно, тому що в ньому криється невелика засідка, в яку відразу трапляються і трієчники, і відмінники. Давайте розглянемо його ближче.

Допустимо необхідно знайти корінь рівняння або суму коренів, якщо їх декілька:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Застосовуємо потенціювання, тут воно допустиме. У результаті отримуємо звичайне квадратне рівняння.

Знаходимо коріння рівняння:

Вийшло два корені.

Відповідь: 3 та -1

З першого погляду все вірно. Але перевіримо результат і підставимо його у вихідне рівняння.

Почнемо з х 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Перевірка пройшла успішно, тепер черга х 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Так стоп! Зовні все ідеально. Один момент – логарифмів від негативних чисел не буває! А це означає, що корінь х = –1 не підходить для вирішення нашого рівняння. І тому правильна відповідь буде 3, а не 2, як ми написали.

Ось тут і зіграла свою фатальну роль ОДЗ, про яку ми забули.

Нагадаю, що під областю допустимих значень приймаються такі значення х, які є дозволеними або мають сенс для вихідного прикладу.

Без ОДЗ будь-яке рішення, навіть абсолютно правильне, будь-якого рівняння перетворюється на лотерею – 50/50.

Як же ми змогли потрапити під час вирішення, здавалося б, елементарного прикладу? А ось саме у момент потенціювання. Логарифми зникли, а з ними і всі обмеження.

Що ж тоді робити? Відмовлятися від ліквідації логарифмів? І геть-чисто відмовитися від вирішення цього рівняння?

Ні, ми просто, як справжні герої з однієї відомої пісні, ходімо в обхід!

Перед тим, як приступати до вирішення будь-якого логарифмічного рівняння, будемо записувати ОДЗ. А ось після цього можна робити з нашим рівнянням все, що душа забажає. Отримавши відповідь, ми просто викидаємо те коріння, яке не входить до нашої ОДЗ, і записуємо остаточний варіант.

Тепер визначимося, як записувати ОДЗ. Для цього уважно оглядаємо вихідне рівняння та шукаємо в ньому підозрілі місця, на кшталт поділу на х, кореня парного ступеня тощо. Поки ми не вирішили рівняння, ми не знаємо - чому одно х, але твердо знаємо, що такі х, які при підстановці дадуть поділ на 0 або вилучення квадратного кореня з негативного числа, не відповідають у відповідь. Тому такі х неприйнятні, решта ж і становитимуть ОДЗ.

Скористаємося знову тим самим рівнянням:

log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х)

Як бачимо, поділу на 0 немає, квадратного коріннятакож немає, але є висловлювання з х у тілі логарифму. Тут же згадуємо, що вираз, що знаходиться всередині логарифму, завжди має бути >0. Це умова і записуємо у вигляді ОДЗ:

Тобто. ми ще нічого не вирішували, але вже записали обов'язкова умована все підлогарифмний вираз. Фігурна дужка означає, що ці умови мають виконуватися одночасно.

ОДЗ записано, але треба ще й вирішити отриману систему нерівностей, чим і займемося. Отримуємо відповідь x > v3. Тепер точно відомо – які їх нам не підійдуть. А далі вже приступаємо до вирішення самого логарифмічного рівняння, що ми зробили вище.

Отримавши відповіді х 1 = 3 і х 2 = -1, легко побачити, що підходить лише х1= 3, його й записуємо, як остаточну відповідь.

На майбутнє дуже важливо запам'ятати наступне: розв'язання будь-якого логарифмічного рівняння робимо у 2 етапи. Перший вирішуємо саме рівняння, другий вирішуємо умову ОДЗ. Обидва етапи виконуються незалежно друг від друга і тільки під час написання відповіді зіставляються, тобто. відкидаємо все зайве та записуємо правильну відповідь.

Для закріплення матеріалу рекомендуємо подивитися відео:

На відео інші приклади вирішення балки. рівнянь та відпрацювання методу інтервалів на практиці.

На це з питання, як вирішувати логарифмічні рівняння, поки все. Якщо щось за рішенням балка. рівнянь залишилося не ясним чи незрозумілим, пишіть свої запитання у коментарях.

Нотатка: Академія соціальної освіти (КСЮІ) - готова прийняти нових учнів.

На рівняннях такого виду багато учнів «зависають». При цьому самі завдання аж ніяк не складні - досить просто виконати грамотну заміну змінної, для чого слід навчитися виділяти стійкі вирази.

На додаток до цього уроку на вас чекає досить об'ємна самостійна робота, що складається з двох варіантів по 6 завдань у кожному.

Метод угруповання

Сьогодні ми розберемо два логарифмічні рівняння, одне з яких не вирішується «напролом» і потребує спеціальних перетворень, а друге... втім, не розповідатиму все відразу. Дивіться відео, завантажуйте самостійну роботу - і навчайтеся вирішувати складні завдання.

Отже, угруповання та винесення спільних множників за дужку. Додатково я розповім вам, яке підводне каміння несе область визначення логарифмів, і як невеликі зауваження щодо області визначень можуть істотно змінювати як коріння, так і все рішення.

Почнемо із угруповання. Нам потрібно вирішити наступне логарифмічне рівняння:

log 2 x · log 2 (x − 3) + 1 = log 2 (x 2 − 3x )

Насамперед зазначимо, що x 2 − 3x можна розкласти на множники:

log 2 x (x − 3)

Потім згадуємо чудову формулу:

log a fg = log a f + log a g

Відразу невелике зауваження: дана формула чудово працює, коли а, f і g - звичайні числа. Але коли замість них стоять функції, ці вирази перестають бути рівноправними. Уявіть собі таку гіпотетичну ситуацію:

f< 0; g < 0

У цьому випадку твір fg буде позитивним, отже, log a (fg ) буде існувати, а от log a f і log a g окремо не існуватиме, і виконати таке перетворення ми не зможемо.

Ігнорування даного фактупризведе до звуження області визначення і, як наслідок, до втрати коріння. Тому як виконувати таке перетворення, потрібно обов'язково заздалегідь переконатися, що функції f і g позитивні.

У нашому випадку, все просто. Оскільки у вихідному рівнянні є функція log 2 x , то x > 0 (адже змінна x стоїть у аргументі). Також є log 2 (x - 3), тому x - 3> 0.

Отже, у функції log 2 x (x − 3) кожен множник буде більшим за нуль. Тому можна сміливо розкладати твір на суму:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x − 3)

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0

На перший погляд, може здатися, що легше не стало. Навпаки: кількість доданків лише збільшилася! Щоб зрозуміти, як діяти далі, введемо нові змінні:

log 2 x = а

log 2 (x − 3) = b

a · b + 1 − a − b = 0

А тепер згрупуємо третій доданок з першим:

(a · b − a ) + (1 − b ) = 0

a (1 · b − 1) + (1 − b ) = 0

Зауважимо, що і в першій, і в другій дужці стоїть b-1 (у другому випадку доведеться винести мінус за дужку). Розкладемо нашу конструкцію на множники:

a(1 · b − 1) − (b − 1) = 0

(b − 1)(а · 1 − 1) = 0

А тепер згадуємо наше чудове правило: твір дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю:

b − 1 = 0 ⇒ b = 1;

a − 1 = 0 ⇒ a = 1.

Згадуємо, що таке b та а. Отримаємо два найпростіші логарифмічні рівняння, в яких залишиться лише позбутися знаків logи прирівняти аргументи:

log 2 x = 1 ⇒ log 2 x = log 2 2 ⇒ x 1 =2;

log 2 (x − 3) = 1 ⇒ log 2 (x − 3) = log 2 2 ⇒ x 2 = 5

Ми отримали два корені, але це не рішення вихідного логарифмічного рівняння, а лише відповідальні кандидати. Тепер перевіримо область визначення. Для першого аргументу:

x > 0

Обидва корені задовольняють першу вимогу. Переходимо до другого аргументу:

x − 3 > 0 ⇒ x > 3

А ось тут уже x=2 нас не задовольняє, зате x=5 цілком нас влаштовує. Отже, єдиною відповіддю буде x=5.

Переходимо до другого логарифмічного рівняння. На перший погляд, воно суттєво простіше. Однак у процесі його вирішення ми розглянемо тонкі моменти, пов'язані з областю визначення, незнання яких суттєво ускладнює життя учням-початківцям.

log 0,7 (x 2 − 6x + 2) = log 0,7 (7 − 2x )

Перед нами канонічна форма логарифмічного рівняння. Нічого перетворювати не потрібно – навіть підстави однакові. Тому просто прирівнюємо аргументи:

x 2 − 6x + 2 = 7 − 2x

x 2 − 6x + 2 − 7 + 2x = 0

x 2 − 4x − 5 = 0

Перед нами наведене квадратне рівняння, воно легко вирішується за формулами Вієта:

(x - 5) (x + 1) = 0;

x − 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = −1.

Але це коріння ще не є остаточними відповідями. Потрібно знайти область визначення, оскільки у вихідному рівнянні є два логарифми, тобто. облік області визначення суворо обов'язковий.

Отже, випишемо область визначення. З одного боку, аргумент першого логарифму має бути більшим за нуль:

x 2 − 6x + 2 > 0

З іншого — другий аргумент теж має бути більшим за нуль:

7 − 2x > 0

Ці вимоги мають виконуватися одночасно. І ось тут починається найцікавіше. Безумовно, ми можемо вирішити кожну з цих нерівностей, потім перетнути їх і знайти область визначення всього рівняння. Але навіщо так ускладнювати собі життя?

Давайте помітимо одну тонкість. Позбавляючись знаків log, ми прирівнюємо аргументи. Звідси випливає, що вимоги x 2 − 6x + 2 > 0 та 7 − 2x > 0 рівносильні. Як наслідок, будь-яку з двох нерівностей можна викреслити. Давайте викреслимо найскладніше, а собі залишимо звичайну лінійну нерівність:

−2x > −7

x< 3,5

Оскільки ми ділили обидві частини на негативне число, символ нерівності змінився.

Отже, ми знайшли ОДЗ без жодних квадратних нерівностей, дискримінантів та перетинів. Тепер залишилося просто вибрати коріння, яке лежить на даному інтервалі. Очевидно, що нас влаштує лише x = -1, тому що x = 5> 3,5.

Можна записати відповідь: x = 1 є єдиним рішеннямвихідного логарифмічного рівняння

Висновки з цього логарифмічного рівняння такі:

Не бійтеся розкладати логарифми на множники, а потім множники розкладати на суму логарифмів. Однак пам'ятайте, що розбиваючи твір на суму двох логарифмів, ви тим самим звужуєте область визначення. Тому, перш ніж виконувати таке перетворення, обов'язково перевірте, які вимоги області визначення. Найчастіше жодних проблем не виникає, проте зайвий раз перестрахуватися не завадить.
Позбавляючись канонічної форми, намагайтеся оптимізувати обчислення. Зокрема, якщо від нас потрібно, щоб f > 0 і g > 0, але в самому рівнянні f = g , то сміливо викреслюємо одну з нерівностей, залишаючи собі найпростіше. Область визначення та відповіді при цьому ніяк не постраждають, а ось обсяг обчислень суттєво скоротиться.

Ось, власне, і все, що я хотів розповісти про угруповання.

Типові помилки під час вирішення

Сьогодні ми розберемо два типові логарифмічні рівняння, на яких спотикаються багато учнів. На прикладі цих рівнянь ми побачимо, які помилки найчастіше допускаються в процесі розв'язання та перетворення вихідних виразів.

Дробно-раціональні рівняння з логарифмами

Відразу слід зазначити, що це досить підступний тип рівнянь, у яких не завжди відразу присутній дріб з логарифмом десь у знаменнику. Однак у процесі перетворень такий дріб обов'язково виникне.

При цьому будьте уважні: у процесі перетворення початкова область визначення логарифмів може суттєво змінитись!

Переходимо до ще більш жорстких логарифмічних рівнянь, що містять дроби та змінні підстави. Щоб за один короткий урок встигнути більше, я не розповідатиму елементарну теорію. Відразу перейдемо до завдань:

4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1

Подивившись на це рівняння, хтось запитає: «До чого тут дробово-раціональне рівняння? Де в цьому рівнянні дріб? Давайте не поспішатимемо і уважно подивимося на кожен доданок.

Перший доданок: 4 log 25 (x - 1). Підставою логарифму є число, але аргументі стоїть функція від змінної x . З цим ми поки що нічого зробити не можемо. Йдемо далі.

Наступний доданок: log 3 27. Згадуємо, що 27 = 3 3 . Отже, весь логарифм ми можемо переписати так:

log 3 27 = 3 3 = 3

Отже, другий доданок - це просто трійка. Третій доданок: 2 log x − 1 5. Тут теж не все просто: в основі стоїть функція, в аргументі — звичайне число. Пропоную перевернути весь логарифм за такою формулою:

log a b = 1/log b a

Таке перетворення можна виконати тільки якщо b ≠ 1. Інакше логарифм, який вийде у знаменнику другого дробу, просто не існуватиме. У нашому випадку b = 5, тому все гаразд:

2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

Перепишемо вихідне рівняння з урахуванням отриманих перетворень:

4 log 25 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) = 1

У знаменнику дробу ми маємо log 5 (x − 1), а першому доданку ми маємо log 25 (x − 1). Але 25 = 5 2 тому виносимо квадрат з підстави логарифму за правилом:

Іншими словами, ступінь у основі логарифму стає дробом спереду. А вираз перепишеться так:

4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0

У нас вийшло довге рівняння з купою однакових логарифмів. Введемо нову змінну:

log 5 (x − 1) = t;

2t − 4 + 2/t = 0;

І це вже дробно-раціональне рівняння, яке вирішується засобами алгебри 8—9 класу. Для початку розділимо все на двійку:

t − 2 + 1/t = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0

У дужках стоїть точний квадрат. Згорнемо його:

(t − 1) 2 /t = 0

Дроб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. Ніколи не забувайте про цей факт:

(t − 1) 2 = 0

t = 1

t ≠ 0

Згадуємо, що таке t:

log 5 (x − 1) = 1

log 5 (x − 1) = log 5 5

Позбавляємося знаків log, прирівнюємо їх аргументи, і отримуємо:

x − 1 = 5 ⇒ x = 6

Всі. Завдання вирішено. Але повернімося до вихідного рівняння і пригадаємо, що там були відразу два логарифми зі змінною x . Тому потрібно виписати область визначення. Оскільки x − 1 стоїть в аргументі логарифму, цей вираз має бути більшим за нуль:

x − 1 > 0

З іншого боку, той самий x − 1 присутній і в основі, тому має відрізнятися від одиниці:

x − 1 ≠ 1

Звідси укладаємо:

x > 1; x ≠ 2

Ці вимоги мають виконуватися одночасно. Значення x = 6 відповідає обом вимогам, тому є x = 6 остаточним рішенням логарифмічного рівняння.

Переходимо до другого завдання:

Знов не поспішатимемо і подивимося на кожне доданок:

log 4 (x + 1) - в основі стоїть четвірка. Звичайне число, і його можна не чіпати. Минулого разу ми натрапили на точний квадрат у підставі, яку довелося виносити з-під знаку логарифму. Давайте зараз зробимо те саме:

log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)

Фішка в тому, що у нас вже є логарифм зі змінною x , хоч і в основі — він є зворотним до логарифму, який ми щойно знайшли:

8 log x + 1 2 = 8 · (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

Наступний доданок - log 2 8. Це константа, оскільки і аргумент, і в підставі стоять звичайні числа. Знайдемо значення:

log 2 8 = log 2 2 3 = 3

Те саме ми можемо зробити і з останнім логарифмом:

Тепер перепишемо вихідне рівняння:

1/2 · log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) - 3 - 1 = 0;

log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0

Наведемо все до спільного знаменника:

Перед нами знову дрібно-раціональне рівняння. Введемо нову змінну:

t = log 2 (x + 1)

Перепишемо рівняння з урахуванням нової змінної:

Будьте уважні: на цьому кроці я змінив доданки місцями. У чисельнику дробу стоїть квадрат різниці:

Як і минулого разу, дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля:

(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

t ≠ 0

Отримали один корінь, який відповідає всім вимогам, тому повертаємося до змінної x :

log 2 (x + 1) = 4;

log 2 (x + 1) = log 2 2 4;

x + 1 = 16;

x = 15

Все, ми вирішили рівняння. Але оскільки у вихідному рівнянні було кілька логарифмів, необхідно виписати область визначення.

Так, вираз x + 1 стоїть у аргументі логарифму. Тому x + 1 > 0. З іншого боку, x + 1 є у підставі, тобто. x + 1 ≠ 1. Разом:

0 ≠ x > −1

Чи задовольняє знайдений корінь цим вимогам? Безперечно. Отже, x = 15 є рішенням логарифмічного вихідного рівняння.

Насамкінець хотів би сказати наступне: якщо ви дивитеся на рівняння і розумієте, що вам належить вирішувати щось складне і нестандартне, намагайтеся виділити стійкі конструкції, які згодом будуть позначені іншою змінною. Якщо ж якісь доданки взагалі містять змінну x , їх часто можна просто обчислити.

Ось і все, про що я хотів сьогодні розповісти. Сподіваюся, цей урок допоможе вам у вирішенні складних логарифмічних рівнянь. Дивіться інші відеоуроки, завантажуйте та вирішуйте самостійні роботи, і до зустрічі у наступному відео!

Приклади:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Як вирішувати логарифмічні рівняння:

При вирішенні логарифмічного рівняння потрібно прагнути перетворити його на вигляд \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), після чого зробити перехід до \(f(x)=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Приклад:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Рішення:
\(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\)
\ (x-2 = 8 \)
\(x=10\)
Перевірка:\(10>2\) - підходить по ОДЗ
Відповідь:\(x=10\)

ОДЗ:
\(x-2>0\)
\(x>2\)

Дуже важливо!Цей перехід можна робити лише якщо:

Ви написали для вихідного рівняння, і наприкінці перевірите, чи входять знайдені в ОДЗ. Якщо це не зробити, може з'явитися зайве коріння, а значить – неправильне рішення.

Число (або вираз) ліворуч і праворуч однаково;

Логарифми ліворуч і праворуч - «чисті», тобто не повинно бути ніяких множень, поділів і т.д. - Тільки одинокі логарифми по обидва боки від знаку одно.

Наприклад:

Зауважимо, що рівняння 3 та 4 можна легко вирішити, застосувавши потрібні властивості логарифмів.

приклад . Розв'язати рівняння \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\)

Рішення :

		Напишемо ОДЗ: (x>0).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) ОДЗ: \(x>0\)		Зліва перед логарифмом стоїть коефіцієнт, справа сума логарифмів. Це нам заважає. Перенесемо двійку у показник ступеня \(x\) за якістю: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Суму логарифмів представимо у вигляді одного логарифму за якістю: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Ми привели рівняння до виду \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) і записали ОДЗ, отже можна виконати перехід до виду \(f(x)=g(x)\ ).
		Вийшло. Вирішуємо його та отримуємо коріння.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Перевіряємо чи підходять коріння під ОДЗ. Для цього в (x>0) замість (x) підставляємо (5) і (-5). Цю операцію можна виконати усно.
\(5>0\), \(-5>0\)		Перша нерівність вірна, друга – ні. Значить (5) - корінь рівняння, а от (-5) - ні. Записуємо відповідь.

Відповідь : \(5\)

приклад : Розв'язати рівняння \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Рішення :

		Напишемо ОДЗ: (x>0).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ОДЗ: \(x>0\)		Типове рівняння, яке вирішується за допомогою . Замінюємо \(\log_2⁡x) на \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Отримали звичайне. Шукаємо його коріння.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Робимо зворотну заміну
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Перетворюємо праві частини, представляючи їх як логарифми: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) і \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Тепер наші рівняння мають вигляд \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), і ми можемо виконати перехід до \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Перевіряємо відповідність коренів ОДЗ. Для цього в нерівність \(x>0\) замість \(x\) підставляємо \(4\) та \(2\).
\(4>0\) \(2>0\)		Обидві нерівності вірні. Значить і (4) і (2) корені рівняння.

Відповідь : \(4\); \(2\).

Підготовка до підсумкового тестування з математики включає важливий розділ - «Логарифми». Завдання з цієї теми обов'язково містяться у ЄДІ. Досвід минулих років показує, що логарифмічні рівняння викликали складнощі у багатьох школярів. Тому розуміти, як знайти правильну відповідь, та оперативно справлятися з ними мають учні з різним рівнем підготовки.

Здайте атестаційне випробування успішно за допомогою освітнього порталу «Школкове»!

Підготовка до єдиного державному екзаменувипускникам старших класів потрібно достовірне джерело, що надає максимально повну та точну інформацію для успішного вирішення тестових завдань. Однак підручник не завжди виявляється під рукою, а пошук необхідних правилта формул в Інтернеті часто потребує часу.

Освітній портал «Школкове» дозволяє займатися підготовкою до ЄДІ у будь-якому місці у будь-який час. На нашому сайті пропонується найбільш зручний підхід до повторення та засвоєння великої кількості інформації з логарифмів, а також з одним і кількома невідомими. Почніть із легких рівнянь. Якщо ви впоралися з ними легко, переходьте до складніших. Якщо у вас виникли проблеми з вирішенням певної нерівності, ви можете додати її до «Вибраного», щоб повернутися до неї пізніше.

Знайти необхідні формули для виконання завдання, повторити окремі випадки та способи обчислення кореня стандартного логарифмічного рівняння ви можете, заглянувши до розділу «Теоретична довідка». Викладачі «Школково» зібрали, систематизували та виклали всі необхідні для успішної здачіматеріали у максимально простій та зрозумілій формі.

Щоб без проблем справлятися із завданнями будь-якої складності, на нашому порталі ви можете ознайомитися з вирішенням деяких типових логарифмічних рівнянь. Для цього перейдіть до розділу «Каталоги». У нас представлена велика кількість прикладів, у тому числі з рівняннями профільного рівня ЄДІз математики.

Скористатися нашим порталом можуть учні зі шкіл у всій Росії. Для початку занять просто зареєструйтесь у системі та приступайте до вирішення рівнянь. Для закріплення результатів радимо повертатись на сайт «Школкове» щодня.