Розв'язання задач засобами Excel. Вирішення систем лінійних рівнянь алгебри засобами Excel

Систему лінійних алгебраїчних рівняньможна також вирішити, використовуючи надбудову "Пошук рішення".При використанні даної надбудови будується послідовність наближень , i=0,1,…n.

Назвемо вектором нев'язок наступний вектор:

Завдання Excel полягає в тому, щоб знайти таке наближення , при якому вектор нев'язок став би нульовим, тобто. домогтися збігу значень правих і лівих частин системи.

Як приклад розглянемо СЛАУ (3.27).

Послідовність дій:

1. Оформимо таблицю, як показано на рис.3.4. Введемо коефіцієнти системи (матрицю А) у комірки А3:С5.

Рис.3.4. Рішення СЛАУ за допомогою надбудови «Пошук рішення»

2. У осередках А8:С8 буде сформовано рішення системи (х 1, х 2, х 3). Спочатку вони залишаються пустими, тобто. рівними нулю. Надалі будемо їх називати змінними комірками.. Однак для контролю правильності формул, що вводяться далі, зручно ввести в ці комірки будь-які значення, наприклад, одиниці. Ці значення можна як нульове наближення рішення системи, = (1, 1, 1).

3. У стовпець D введемо вирази для обчислення лівих частин вихідної системи. Для цього в комірку D3 введемо і потім скопіюємо до кінця таблиці формулу:

D3=СУМПРОВИЗВ (A3:C3;$A$8:$C$8).

Використовувана функція СУМПРОВИЗВналежить категорії Математичні.

4. У стовпець Е запишемо значення правих частин системи (матрицю).

5. У стовпець F введемо нев'язки відповідно до формули (3.29), тобто. введемо формулу F3=D3-E3 і скопіюємо її до кінця таблиці.

6. Буде не зайвим перевірити правильність обчислень для випадку = (1, 1, 1).

7. Виберемо команду Дані\Аналіз\Пошук рішення.

Рис. 3.5. Вікно надбудови «Пошук рішення»

У вікні Пошук рішення(рис.3.5) у полі Змінювані осередкивкажемо блок $А$8:$З$8,а в полі Обмеження – $F$3:$F$5=0. Далі клацніть по кнопці Додатиі введемо ці обмеження. І потім – кнопка Виконати

Отримане рішення систем (3.28) х 1 = 1; х 2 = –1х 3 = 2 записано в осередках А8: С8, рис.3.4.

Реалізація методу Якобі засобами програми MS Excel

Як приклад розглянемо систему рівнянь (3.19), розв'язання якої методом Якобі отримано вище (приклад 3.2)

Наведемо цю систему до нормального вигляду:

Послідовність дій

1. Оформимо таблицю, як показано на рис.3.6.

Матриці і (3.15) введемо до осередків В6:Е8.

Значення e-У Н5.

Номер ітерації kсформуємо в стовпці таблиці А за допомогою автозаповнення.

Як нульове наближення виберемо вектор

= (0, 0, 0) і введемо його до осередків В11:D11.

2. Використовуючи вирази (3.29), в комірки В12:D12 запишемо формули для обчислення першого наближення:

B12=$E$6+B11*$B$6+C11*$C$6+D11*$D$6,

C12=$E$7+B11*$B$7+C11*$C$7+D11*$D$7,

D12=$E$8+B11*$B$8+C11*$C$8+D11*$D$8.

Ці формули можна записати інакше, використовуючи функцію ExcelСУМПРОВИЗВ.

У комірку Е12 введемо формулу: E12=ABS(B11-B12) і скопіюємо її вправо, комірки F12:G12.

Рис.3.6. Схема рішення СЛАУ методом Якобі

3. У комірку Н12 введемо формулу для обчислення M (k) ,використовуючи вираз (3.18): Н12 = МАКС(E12: G12). Функція МАКС знаходиться у категорії статистичні.

4. Виділимо комірки В12: Н12 і скопіюємо їх до кінця таблиці. Таким чином, отримаємо kнаближення рішення СЛАУ.

5. Визначимо наближене рішення системи та кількість ітерацій, необхідну для досягнення заданої точності e.

Для цього оцінимо міру близькості двох сусідніх ітерацій за формулою (3.18). Скористаємося Умовним форматуванняму осередках стовпця.

Результат такого форматування видно на рис.3.6. Осередки стовпця Н, значення яких задовольняють умові (3.18), тобто. менше e=0,1, тоновані.

Аналізуючи результати, приймаємо наближене рішення вихідної системи із заданою точністю e=0,1 четверту ітерацію, тобто.

Досліджуємо характер ітераційного процесу . Для цього виділимо блок осередків А10: D20 і, використовуючи Майстер діаграм,побудуємо графіки зміни кожної компоненти вектора рішення в залежності від номера ітерації,

Наведені графіки (рис.3.7) підтверджують збіжність ітераційного процесу.

Рис. 3.7. Ілюстрація схожого ітераційного процесу

Змінюючи значення eу осередку Н5, отримаємо нове наближене рішення вихідної системи з новою точністю.

Реалізація методу прогонки засобами програми Excel

Розглянемо рішення наступної системи лінійних рівнянь алгебри методом «прогонки», використовуючи таблиці Excel.

Вектори:

Послідовність дій

1. Оформимо таблицю, як показано на рис.3.8. Початкові дані розширеної матриці системи (3.30), тобто. вектора введемо до осередків B5:E10.

2. Про гоночні коефіцієнти U 0 =0 і V 0 =0введемо в комірки G4 та H4 відповідно.

3. Обчислимо прогінні коефіцієнти L i , U i , V i. Для цього в осередках F5, G5, H5 обчислимо L 1 , U 1 , V 1. за формулою (3.8). Для цього введемо формули:

F5 = B5 * G4 + C5; G5=-D5/F5, H5 = (E5-B5*H4)/F5, а потім скопіюємо їх вниз.

Рис.3.8. Розрахункова схема методу «прогонки»

4. У осередку I10 обчислимо x 6за формулою (3.10)

I10 = (E10-B10 * H9) / (B10 * G9 + C10).

5. За формулою (3.7) обчислимо всі інші невідомі x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 .Для цього в осередку I9 обчислимо x 5за формулою (3.6): I9 = G9 * I10 + H9. А далі копіюємо цю формулу нагору.

Контрольні питання

1. Система лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ). Що рішення СЛАУ. Коли існує єдине рішенняСлау.

2. Загальна характеристикапрямих (точних) методів розв'язання СЛАУ. Методи Гауса та прогонки.

3. Загальна характеристика ітераційних методів розв'язання СЛАУ. Методи Якобі ( простих ітерацій) та Гаусса-Зейделя.

4. Умови збіжності ітераційних процесів.

5. Що розуміють під термінами обумовленості завдань та обчислень, коректності задачі розв'язання СЛАУ.

Розділ 4.

Чисельне інтегрування

При вирішенні достатньо великого колатехнічних завдань доводиться стикатися з необхідністю обчислення певного інтегралу:

Обчислення площ, обмежених кривими, роботи, моментів інерції, перемноження епюрза формулою Мора і т.д. зводиться до обчислення певного інтегралу.

Якщо безперервна на відрізку [ a, b] функція y = f(x)має на цьому відрізку первісну F(x), тобто. F '(x) = f(x), Інтеграл (4.1) може бути обчислений за формулою Ньютона - Лейбніца:

Однак, тільки для вузького класу функцій y=f(x)первісна F(x)може бути виражена елементарних функціях. Крім того, функція y=f(x)може задаватися графічно чи таблично. У таких випадках застосовують різні формули для наближеного обчислення інтегралів.

Такі формули називають квадратурними формулами чи формулами чисельного інтегрування.

Формули чисельного інтегрування добре ілюструються графічно. Відомо, що значення певного інтегралу (4.1) пропорційноплощі криволінійної трапеції, утвореної підінтегральною функцією y=f(x), Прямими х=а та х=b,віссю ОХ(Рис.4.1).

Завдання обчислення певного інтеграла (4.1) замінюємо завданням обчислення площі цієї криволінійної трапеції. Однак завдання знаходження площі криволінійної не є простим.

Звідси ідея чисельного інтегрування полягатиме у заміні криволінійної трапеції фігурою, площа якої обчислюється досить легко.

y=f(x)

y

x

xi

xi+1

xn=b

xо=a

Si

Рис.4.1. Геометрична інтерпретація чисельного інтегрування

Для цього відрізок інтегрування [ a, b] розіб'ємо на nрівних елементарних відрізків (i=0, 1, 2, …..,n-1),з кроком h=(b-a)/n.При цьому криволінійна трапеція розіб'ється на n елементарних криволінійних трапеційз рівними підставами h(Рис.4.1).

Кожна елементарна криволінійна трапеція замінюється фігурою, площа якої обчислюється досить легко. Позначимо цю площу S i.Сума всіх цих площ називається інтегральною сумоюта обчислюється за формулою

Тоді наближена формула обчислення певного інтеграла (4.1) має вигляд

Точність обчислення за формулою (4.4) залежить від кроку h, тобто. від числа розбиття n.Зі збільшенням nінтегральна сума наближається до точного значенняінтеграла

Це добре проілюстровано на рис.4.2.

Рис.4.2. Залежність точності обчислення інтегралу

від числа розбиття

У математиці доводиться теорема: якщо функція y=f(x) безперервна на то межа інтегральної суми б n існує і не залежить від способу розбиття відрізка на елементарні відрізки.

Формулу (4.4) можна використовувати, якщо відома ступінь точності такого наближення.Існують різні формули з метою оцінки похибки висловлювання (4.4), але, зазвичай, досить складні. Проводимо оцінку точності наближення (4.4) методом половинного кроку.

Обчислити значення коренів сформованої системи рівнянь двома методами: зворотної матриці та методом Крамера.

Введемо дані значення в комірки А2: С4 – матриця А та комірки D2: D4 – матриця В.

Вирішення системи рівнянь методом зворотної матриці

Знайдемо матрицю, обернену до матриці А. Для цього в комірку А9 введемо формулу =МОБР(A2:C4). Після цього виділимо діапазон А9:С11, починаючи з комірки, що містить формулу. Натисніть клавішу F2, а потім натисніть клавіші CTRL+SHIFT+ENTER. Формула вставляється як формула масиву. =МОБР(A2: C4).
Знайдемо добуток матриць A-1*b. У комірки F9:F11 введемо формулу: =МУМНОЖ(A9:C11;D2:D4) як формулу масиву. Отримаємо у осередках F9:F11коріння рівняння:

Рішення системи рівнянь методом Крамера

Розв'яжемо систему методом Крамера, для цього знайдемо визначник матриці.
Знайдемо визначники матриць, одержаних заміною одного стовпця на стовпець b.

У комірку В16 введемо формулу =МОПРЕД(D15:F17),

У комірку В17 введемо формулу = МОПРЕД(D19: F21).

У комірку В18 введемо формулу = МОПРЕД(D23: F25).

Знайдемо коріння рівняння, для цього в комірку В21 введемо: =B16/$B$15, в комірку В22 введемо: = =B17/$B$15, в комірку В23 введемо: ==B18/$B$15.

Отримаємо коріння рівняння:

Уміння вирішувати системи рівнянь часто може принести користь у навчанні, а й у практиці. У той самий час, далеко ще не кожен користувач ПК знає, що у Екселе існує власні варіанти рішень лінійних рівнянь. Давайте дізнаємося, як із застосуванням інструментарію цього табличного процесора виконати це завдання різними способами.

Спосіб 1: матричний метод

Найпоширеніший спосіб розв'язання системи лінійних рівнянь інструментами Excel – це застосування матричного методу. Він полягає у побудові матриці з коефіцієнтів виразів, а потім у створенні зворотної матриці. Спробуємо використовувати цей метод для вирішення наступної системи рівнянь:

14x1+2x2+8x4=218
7x1-3x2+5x3+12x4=213
5x1+x2-2x3+4x4=83
6x1+2x2+x3-3x4=21

1. Заповнюємо матрицю числами, що є коефіцієнтами рівняння. Дані числа повинні розташовуватись послідовно по порядку з урахуванням розташування кожного кореня, якому вони відповідають. Якщо у якомусь вираженні одне з коренів відсутня, то цьому випадку коефіцієнт вважається рівним нулю. Якщо коефіцієнт не позначений у рівнянні, але відповідний корінь є, то вважається, що коефіцієнт дорівнює 1 . Позначаємо отриману таблицю як вектор A.



2. Окремо записуємо значення після знаку "рівно". Позначаємо їх загальним найменуванням як вектор B.



3. Тепер для знаходження коренів рівняння, перш за все, нам потрібно відшукати матрицю, обернену до існуючої. На щастя, Ексель є спеціальний оператор, який призначений для вирішення цього завдання. Називається він МОБР. Він має досить простий синтаксис:

   МОБР(масив)

   Аргумент «Масив»- Це, власне, адреса вихідної таблиці.

   Отже, виділяємо на аркуші область порожніх осередків, яка за розміром дорівнює діапазону вихідної матриці. Клацаємо по кнопці "Вставити функцію", розташовану біля рядка формул.



4. Виконується запуск Майстри функцій. Переходимо до категорії "Математичні". У списку, що представився, шукаємо найменування «МОБР». Після того, як воно знайдено, виділяємо його і тиснемо на кнопку "OK".



5. МОБР. Воно за кількістю аргументів має лише одне поле – «Масив». Тут необхідно вказати адресу нашої таблиці. Для цього встановлюємо курсор у полі. Потім затискаємо ліву кнопку миші і виділяємо область на аркуші, де знаходиться матриця. Як бачимо, дані про координати розміщення автоматично заносяться до поля вікна. Після того, як ця задача виконана, найбільш очевидним було б натиснути кнопку "OK"але не варто поспішати. Справа в тому, що натискання на цю кнопку є рівнозначним застосуванню команди Enter. Але при роботі з масивами після завершення введення формули слід не натискати на кнопку Enter, а зробити набір клавіш Ctrl+Shift+Enter. Виконуємо цю операцію.



6. Отже, після цього програма здійснює обчислення і на виході в попередньо виділеній області ми маємо матрицю, обернену до цієї.



7. Тепер нам потрібно буде помножити зворотну матрицю на матрицю Bяка складається з одного стовпця значень, розташованих після знака «рівно»у виразах. Для множення таблиць в Екселі також є окрема функція, яка називається МУМНІЖ. Цей оператор має наступний синтаксис:

   МУМНОЖ(Массив1;Массив2)

   Виділяємо діапазон, що у нашому випадку складається з чотирьох осередків. Далі знову запускаємо Майстер функцій, натиснувши значок "Вставити функцію".



8. у категорії "Математичні", що запустився Майстри функцій, виділяємо найменування «МУМНІЖ»і тиснемо на кнопку "OK".



9. Активується вікно аргументів функції МУМНІЖ. В полі «Масив1»заносимо координати нашої зворотної матриці. Для цього, як і минулого разу, встановлюємо курсор у полі та із затиснутою лівою кнопкою миші виділяємо курсором відповідну таблицю. Аналогічну дію проводимо для внесення координат у поле «Масив2», тільки цього разу виділяємо значення колонки B. Після того, як вищезазначені дії проведені, знову не поспішаємо натискати на кнопку "OK"або клавішу Enter, а набираємо комбінацію клавіш Ctrl+Shift+Enter.



10. Після даної діїу попередньо виділеному осередку відобразяться коріння рівняння: X1, X2, X3і X4. Вони будуть розташовані послідовно. Таким чином, можна сказати, що ми вирішили цю систему. Для того, щоб перевірити правильність рішення, достатньо підставити у вихідну систему виразів дані відповіді замість відповідного коріння. Якщо рівність буде дотримано, це означає, що представлена ​​система рівнянь вирішена правильно.

Спосіб 2: вибір параметрів

Другий відомий спосібВирішення системи рівнянь в Екселі - це застосування методу підбору параметрів. Суть даного методуполягає у пошуку від зворотного. Тобто, ґрунтуючись на відомому результаті, ми робимо пошук невідомого аргументу. Давайте для прикладу використовуємо квадратне рівняння

Цей результат також можна перевірити, підставивши дане значення у вираз замість значення x.

Спосіб 3: метод Крамера

Тепер спробуємо розв'язати систему рівнянь методом Крамера. Для прикладу візьмемо ту саму систему, яку використовували в Способі 1:

14x1+2x2+8x4=218
7x1-3x2+5x3+12x4=213
5x1+x2-2x3+4x4=83
6x1+2x2+x3-3x4=21

1. Як і в першому способі, складаємо матрицю Aз коефіцієнтів рівнянь та таблицю Bіз значень, які стоять після знака «рівно».



2. Далі робимо ще чотири таблиці. Кожна з них є копією матриці AТільки у цих копій по черзі один стовпець замінений на таблицю B. У першій таблиці це перший стовпець, у другої таблиці другий і т.д.



3. Тепер нам потрібно вирахувати визначники для всіх цих таблиць. Система рівнянь матиме рішення лише тому випадку, якщо всі визначники матимуть значення, відмінне від нуля. Для розрахунку цього значення Екселе знову є окрема функція – МОПРЕД. Синтаксис цього оператора наступний:

   МОПРЕД(масив)

   Таким чином, як і у функції МОБР, єдиним аргументом є посилання на оброблювану таблицю.

   Отже, виділяємо комірку, в якій виводитиметься визначник першої матриці. Потім тиснемо на знайому за попередніми способами кнопку "Вставити функцію".



4. Активується вікно Майстри функцій. Переходимо до категорії "Математичні"і серед списку операторів виділяємо там найменування «МОПРЕД». Після цього тиснемо на кнопку "OK".



5. Запускається вікно аргументів функції МОПРЕД. Як бачимо, воно має лише одне поле – «Масив». У це поле вписуємо адресу першої перетвореної матриці. Для цього встановлюємо курсор у полі, а потім виділяємо матричний діапазон. Після цього тиснемо на кнопку "OK". Ця функціявиводить результат в одну комірку, а не масивом, тому для отримання розрахунку не потрібно вдаватися до натискання клавіш. Ctrl+Shift+Enter.



6. Функція здійснює підрахунок результату і виводить його в заздалегідь виділену комірку. Як бачимо, у нашому випадку визначник дорівнює -740 , тобто, не дорівнює нулю, що нам підходить.



7. Аналогічним чином проводимо підрахунок визначників для решти трьох таблиць.



8. На завершальному етапі робимо підрахунок визначника первинної матриці. Процедура відбувається за тим самим алгоритмом. Як бачимо, визначник первинної таблиці теж відмінний від нуля, а отже, матриця вважається невиродженою, тобто система рівнянь має розв'язання.



9. Тепер настав час знайти коріння рівняння. Корінь рівняння дорівнюватиме відношенню визначника відповідної перетвореної матриці на визначник первинної таблиці. Таким чином, поділивши по черзі всі чотири визначники перетворених матриць на число -148 , Яке є визначником початкової таблиці, ми отримаємо чотири корені. Як бачимо, вони рівні значенням 5 , 14 , 8 і 15 . Таким чином, вони точно збігаються з корінням, яке ми знайшли, використовуючи зворотну матрицю в способі 1, що підтверджує правильність розв'язання системи рівнянь.

Спосіб 4: метод Гауса

Вирішити систему рівнянь можна також, застосувавши метод Гаусса. Для прикладу візьмемо більше просту системурівнянь із трьох невідомих:

14x1+2x2+8x3=110
7x1-3x2+5x3=32
5x1+x2-2x3=17

1. Знову послідовно записуємо коефіцієнти до таблиці A, а вільні члени, розташовані після знаку «рівно»- До таблиці B. Але цього разу зблизимо обидві таблиці, оскільки це знадобиться нам для роботи надалі. Важливою умовою є те, щоб у першому осередку матриці Aзначення було відмінним від нуля. Інакше слід переставити рядки місцями.



2. Копіюємо перший рядок двох з'єднаних матриць в рядок нижче (для наочності можна пропустити один рядок). У першу комірку, яка розташована в рядку ще нижче попереднього, вводимо таку формулу:

   B8:E8-$B$7:$E$7*(B8/$B$7)

   Якщо ви розташували матриці по-іншому, то й адреси комірок формули у вас будуть мати інше значення, але ви зможете вирахувати їх, зіставивши з тими формулами та зображеннями, що наводяться тут.

   Після того, як формула введена, виділіть весь ряд осередків та натисніть комбінацію клавіш Ctrl+Shift+Enter. До ряду буде застосовано формулу масиву і він буде заповнений значеннями. Таким чином ми зробили віднімання з другого рядка першого, помноженого на відношення перших коефіцієнтів двох перших виразів системи.



3. Після цього копіюємо отриманий рядок і вставляємо його в рядок нижче.



4. Виділяємо два перші рядки після пропущеного рядка. Тиснемо на кнопку «Копіювати», яка розташована на стрічці у вкладці «Головна».



5. Пропускаємо рядок після останнього запису на аркуші. Виділяємо перший осередок у наступному рядку. Клацаємо правою кнопкою миші. У контекстному меню, що відкрилося, наводимо курсор на пункт «Спеціальна вставка». У додатковому списку, що запустився, вибираємо позицію «Значення».



6. Наступного рядка вводимо формулу масиву. У ній проводиться віднімання з третього рядка попередньої групи даних другого рядка, помноженої на відношення другого коефіцієнта третього та другого рядка. У нашому випадку формула матиме такий вигляд:

   B13:E13-$B$12:$E$12*(C13/$C$12)

   Після введення формули виділяємо весь ряд та застосовуємо поєднання клавіш Ctrl+Shift+Enter.



7. Тепер слід виконати зворотну прогін за методом Гауса. Пропускаємо три рядки від останнього запису. У четвертому рядку вводимо формулу масиву:

   Таким чином, ми ділимо останній розрахований нами рядок на його третій коефіцієнт. Після того, як набрали формулу, виділяємо весь рядок і тиснемо клавіші Ctrl+Shift+Enter.



8. Піднімаємося на рядок вгору і вводимо до неї таку формулу масиву:

   =(B16:E16-B21:E21*D16)/C16

   Тиснемо звичне вже нам поєднання клавіш для застосування формули масиву.



9. Піднімаємось ще на один рядок вище. У неї вводимо формулу масиву наступного виду:

   =(B15:E15-B20:E20*C15-B21:E21*D15)/B15

   Знову виділяємо весь рядок та застосовуємо поєднання клавіш Ctrl+Shift+Enter.



10. Тепер дивимося на числа, які вийшли в останньому стовпці останнього блоку рядків, розрахованого раніше. Саме ці числа ( 4 , 7 і 5 ) будуть корінням даної системи рівнянь. Перевірити це можна, підставивши їх замість значень X1, X2і X3у вирази.

Як бачимо, в Екселі систему рівнянь можна вирішити цілим рядом способів, кожен з яких має власні переваги та недоліки. Але всі ці методи можна умовно розділити на великі групи: матричні і із застосуванням інструменту підбору параметрів. У деяких випадках не завжди матричні методипідходять для вирішення задачі. Зокрема, коли визначник матриці дорівнює нулю. В інших випадках користувач сам вільний вирішувати, який варіант він вважає більш зручним для себе.

Метод Крамера ґрунтується на використанні визначників у вирішенні систем лінійних рівнянь. Це значно прискорює процес розв'язання.

Метод Крамера може бути використаний у вирішенні системи стільки лінійних рівнянь, скільки в кожному рівнянні невідомих. Якщо визначник системи не дорівнює нулю, то метод Крамера може бути використаний у рішенні, якщо дорівнює нулю, то не може. Крім того, метод Крамера може бути використаний у вирішенні систем лінійних рівнянь, що мають єдине рішення.

Визначення. Визначник, складений із коефіцієнтів при невідомих, називається визначником системи та позначається (дельта).

Визначники

виходять шляхом заміни коефіцієнтів за відповідних невідомих вільними членами:

;

.

Теорема Крамера. Якщо визначник системи відмінний від нуля, то система лінійних рівнянь має одне єдине рішення, причому невідоме дорівнює відношенню визначників. У знаменнику – визначник системи, а чисельнику – визначник, отриманий з визначника системи шляхом заміни коефіцієнтів у своїй невідомому вільними членами. Ця теорема має місце системи лінійних рівнянь будь-якого порядку.

приклад 1.Розв'язати систему лінійних рівнянь:

Згідно теоремі Крамерамаємо:

Отже, рішення системи (2):

онлайн-калькулятором вирішальним методомКрамер.

Три випадки під час вирішення систем лінійних рівнянь

Як випливає з теореми Крамера, При вирішенні системи лінійних рівнянь можуть зустрітися три випадки:

Перший випадок: система лінійних рівнянь має єдине рішення

(Система спільна та визначена)

Другий випадок: система лінійних рівнянь має безліч рішень

(Система спільна та невизначена)

** ,

тобто. коефіцієнти при невідомих та вільні члени пропорційні.

Третій випадок: система лінійних рівнянь рішень не має

(Система несумісна)

Отже, система mлінійних рівнянь з nзмінними називається несумісний, якщо вона не має жодного рішення, і спільноїякщо вона має хоча б одне рішення. Спільна системарівнянь, що має лише одне рішення, називається певної, а більше одного – невизначеною.

Приклади розв'язання систем лінійних рівнянь методом Крамера

Нехай дана система

.

На підставі теореми Крамера

………….
,

де
-

визначник системи. Інші визначники отримаємо, замінюючи стовпець з коефіцієнтами відповідної змінної (невідомого) вільними членами:

приклад 2.

.

Отже, система є певною. Для знаходження її рішення обчислюємо визначники

За формулами Крамера знаходимо:

Отже, (1; 0; -1) – єдине рішення системи.

Для перевірки рішень систем рівнянь 3Х3 і 4Х4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.

Якщо в системі лінійних рівнянь в одному або кількох рівняннях відсутні будь-які змінні, то у визначнику відповідні елементи дорівнюють нулю! Такий такий приклад.

приклад 3.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

.

Рішення. Знаходимо визначник системи:

Уважно подивіться на систему рівнянь і на визначник системи і повторіть відповідь на питання, в яких випадках один або кілька елементів визначника дорівнюють нулю. Отже, визначник не дорівнює нулю, отже система є певною. Для знаходження її рішення обчислюємо визначники за невідомих

За формулами Крамера знаходимо:

Отже, рішення системи – (2; -1; 1).

Для перевірки рішень систем рівнянь 3Х3 і 4Х4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.

На початок сторінки

Продовжуємо вирішувати системи методом Крамера разом

Як мовилося раніше, якщо визначник системи дорівнює нулю, а визначники при невідомих не дорівнюють нулю, система несовместна, тобто рішень немає. Проілюструємо наступний приклад.

Приклад 6.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

Рішення. Знаходимо визначник системи:

Визначник системи дорівнює нулю, отже система лінійних рівнянь або несумісна і певна, або несумісна, тобто не має рішень. Для уточнення обчислюємо визначники при невідомих

Визначники при невідомих не дорівнюють нулю, отже, система несумісна, тобто немає рішень.

Для перевірки рішень систем рівнянь 3Х3 і 4Х4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.

У задачах системи лінійних рівнянь зустрічаються і такі, де крім літер, що позначають змінні, є ще й інші літери. Ці букви позначають деяке число, найчастіше дійсне. На практиці до таких рівнянь та систем рівнянь наводять завдання на пошук загальних властивостейбудь-яких явищ та предметів. Тобто винайшли ви який-небудь новий матеріалабо пристрій, а для опису його властивостей, загальних незалежно від величини або кількості екземпляра, потрібно вирішити систему лінійних рівнянь, де замість деяких коефіцієнтів при змінних - літери. За прикладами далеко не треба ходити.

Наступний приклад - на аналогічне завдання, тільки збільшується кількість рівнянь, змінних і букв, що позначають деяке дійсне число.

Приклад 8.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

Рішення. Знаходимо визначник системи:

Знаходимо визначники при невідомих

Рішення систем лінійних рівнянь алгебри в Excel Методи вирішення систем лінійних рівнянь алгебри добре описані в підручнику "Основи обчислювальної математики. Демидович Б.П., Марон І.А. 1966". Завантажити - 11Мб

1. Метод зворотної матриці (рішення в Excel)

Якщо дано рівняння:
A*X = B де A - квадратна матриця, X,B - вектора;
причому B - відомий вектор (тобто стовпець чисел), X - невідомий вектор,
то рішення X можна записати у вигляді:
X = A -1 * B де A -1 - зворотна від А матриця.
У MS Excel зворотна матрицяобчислюється функцією МОБР(), а перемножуються матриці (або матриця вектор) - функцією МУМНОЖ().

Є "тонкощі" використання цих матричних дійв Excel. Так, щоб обчислити зворотну матрицю від матриці А потрібно:

1. Мишкою виділити квадратну область клітин, де буде розміщена зворотна матриця. 2. Почати вписувати формулу = МОБР (3. Виділити мишкою матрицю А. При цьому правіше дужки впишеться відповідний діапазон клітин. 4. Закрити дужку, натиснути комбінацію клавіш: Ctrl-Shift-Enter 5. Повинна обчислитися зворотна матриця і заповнити призначену Щоб помножити матрицю на вектор: 1. Мишкою виділити область клітин, де буде розміщено результат множення 2. Почати вписувати формулу =МУМНОЖ(3. Виділити мишкою матрицю - перший співмножник. При цьому правіше дужки впишеться відповідний діапазон клітин. 4. З клавіатури ввести розділювач 5. Виділити мишкою вектор-другий співмножник При цьому правіше дужки впишеться відповідний діапазон клітин 6. Закрити дужку, натиснути комбінацію клавіш: Ctrl-Shift-Enter 7. Повинно обчислитися добуток і заповнити призначену для нього область Є та інший спосіб, при якому використовується кнопка будівельника функції Excel.

Завантажити документ Excel, у якому цей приклад вирішено різними методами.

2. Метод Гауса

Метод Гаусса докладно (по кроках) виконується лише у навчальних цілях, коли потрібно показати, що це Ви вмієте. А щоб вирішити реальну СЛАУ, краще застосувати в Excel метод зворотної матриці або скористатися спеціальними програмами, наприклад, цією

Короткий опис.

3. Метод Якобі (метод простих ітерацій)

Для застосування методу Якобі (і методу Зейделя) необхідно, щоб діагональні компоненти матриці А були більшими за суму інших компонент того ж рядка. Задана системане має такої властивості, тому виконую попередні перетворення.

(1)' = (1) + 0,43*(2) - 0,18*(3) – 0,96*(4) (2)' = (2) + 0,28*(1) – 1 ,73*(3) + 0,12*(4) (3)' = (3) – 0,27*(1) - 0,75*(2) + 0,08*(4) (4)' = (4) + 0,04 * (1) - 6,50 * (2) + 8,04 * (3) Примітка: підбір коефіцієнтів виконаний на аркуші "Аналіз". Вирішуються системи рівнянь, мета яких – звернути позадіагональні елементи на нуль. Коефіцієнти - це заокруглені результати розв'язання таких систем рівнянь. Звісно, ​​це не справа. В результаті отримую систему рівнянь:
Для застосування методу Якобі систему рівнянь потрібно перетворити на вигляд:
X = B2 + A2*X Перетворюю:

Далі поділяю кожен рядок на множник лівого стовпця, тобто на 16, 7, 3, 70 відповідно. Тоді матриця А2 має вигляд:


А вектор В2: