Розв'язання матричних рівнянь. Типові приклади дії над матрицями

Визначники матриць часто використовуються у обчисленнях, у лінійній алгебрі та аналітичній геометрії. Поза академічним світом визначники матриць постійно потрібні інженерам і програмістам, особливо тим, хто працює з комп'ютерною графікою. Якщо ви вже знаєте, як знайти визначник матриці розмірністю 2x2, то з інструментів для знаходження визначника матриці 3x3 вам будуть потрібні тільки додавання, віднімання та множення.

Кроки

Пошук визначника

Запишіть матрицю розміром 3 x 3.Запишемо матрицю розмірністю 3 x 3, яку позначимо M і знайдемо її визначник |M|. Далі наводиться загальна форма запису матриці, яку ми будемо використовувати, та матриця для нашого прикладу:

• M = (a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33) = (1 5 3 2 4 7 4 6 2) (\displaystyle M=(\begin(pmatrix)a_(11)&a_ (12)&a_(13)\\a_(21)&a_(22)&a_(23)\\a_(31)&a_(32)&a_(33)\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)1&5&3\ \2&4&7\\4&6&2\end(pmatrix)))

1. Виберіть рядок або стовпець матриці.Цей рядок (або стовпець) буде опорним. Результат буде однаковий незалежно від того, який рядок або який стовпець ви виберете. У цьому прикладі давайте візьмемо перший рядок. Трохи пізніше ви знайдете кілька порад щодо того, як вибирати рядок або стовпець, щоб спростити обчислення.

   • Давайте виберемо перший рядок матриці M у прикладі. Обведіть числа 1 5 3. загальної формиобведіть a 11 a 12 a 13 .

2. Закресліть рядок або стовпець з першим елементом.Зверніться до опорного рядка (або до опорного стовпця) та виберіть перший елемент. Проведіть горизонтальну та вертикальну межу через цей елемент, викресливши таким чином стовпець та рядок з цим елементом. Має залишитися чотири числа. Вважатимемо ці елементи новою матрицею розмірністю 2 x 2.

   • У нашому прикладі опорним рядком буде 1 5 3. Перший елемент знаходиться на перетині першого стовпця та першого рядка. Викресліть рядок і стовпець з цим елементом, тобто перший термін і перший стовпець. Запишіть елементи, що залишилися у вигляді матриці 2 x 2 :
   • 1 5 3
   • 2 4 7
   • 4 6 2

3. Знайдіть визначник матриці 2 х 2.Запам'ятайте, що визначник матриці (a b c d) (\displaystyle (\begin(pmatrix)a&b\c&d\end(pmatrix)))обчислюється як ad - bc. Спираючись на це, ви можете обчислити визначник отриманої матриці 2 x 2, яку, якщо хочете, можете позначити як X. Помножте два числа матриці X, з'єднаних по діагоналі зліва направо (тобто:). Потім відніміть результат множення двох інших чисел по діагоналі справа наліво (тобто так: /). Використовуйте цю формулу, щоб визначити обчислювач матриці, яку ви тільки що отримали.

   Помножте отриману відповідь на вибраний елемент матриці M.Згадайте, який елемент із опорного рядка (або стовпця) ми використовували, коли викреслювали інші елементи рядка та стовпця, щоб отримати нову матрицю. Помножте цей елемент на отриманий мінор (визначник матриці 2x2, яку ми позначили X).

   • У прикладі ми вибирали елемент a 11 , який дорівнював 1. Помножимо його на -34 (визначник матриці 2x2), і ми вийде 1*-34 = -34 .

4. Визначте знак отриманого результату.Далі вам знадобиться помножити отриманий результат на 1 або на -1, щоб отримати алгебраїчне доповнення (кофактор)вибраного елемента. Знак кофактора залежатиме від того, де матриці 3x3 стоїть елемент. Запам'ятайте цю просту схемузнаків, щоб знати знак кофактора:

5. Повторіть усі описані вище дії з другим елементом опорного рядка (або стовпця).Поверніться до вихідної матриці розмірністю 3x3 та рядку, який ми обвели на самому початку обчислень. Повторіть усі дії з цим елементом:

   • Викресліть рядок та стовпець з цим елементом.У прикладі ми повинні вибрати елемент a 12 (рівний 5). Викреслимо перший рядок (1 5 3) та другий стовпець (5 4 6) (\displaystyle (\begin(pmatrix)5\\4\\6\end(pmatrix))))матриці.
   • Запишіть елементи, що залишилися, у вигляді матриці 2x2.У нашому прикладі матриця матиме вигляд (2 7 4 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)2&7\4&2\end(pmatrix)))
   • Знайдіть визначник цієї нової матриці 2×2.Скористайтеся наведеною вище формулою ad - bc. (2 * 2 - 7 * 4 = -24)
   • Помножте отриманий визначник на вибраний елемент матриці 3x3. -24 * 5 = -120
   • Перевірте, чи потрібно збільшити результат на -1.Скористайтеся формулою (-1) ij , щоб визначити знак додатка алгебри. Для обраного нами елемента a 12 у таблиці вказано знак "-", аналогічний результат дає і формула. Тобто ми маємо змінити знак: (-1)*(-120) = 120 .

6. Повторіть третій елемент.Далі вам знадобиться знайти ще один додаток алгебри. Обчисліть його для останнього елемента опорного рядка або опорного стовпця. Далі наводиться короткий опистого, як обчислюється додаток алгебри для a 13 в нашому прикладі:

   • Закресліть перший рядок і третій стовпець, щоб отримати матрицю (2 4 4 6) (\displaystyle (\begin(pmatrix)2&4\\4&6\end(pmatrix))))
   • Її визначник дорівнює 2 * 6 - 4 * 4 = -4.
   • Помножте результат елемент a 13: -4 * 3 = -12.
   • Елемент a 13 має знак + у наведеній вище таблиці, тому відповідь буде -12 .

7. Складіть отримані результати.Це останній крок. Вам необхідно скласти отримані додатки алгебри елементів опорного рядка (або опорного стовпця). Складіть їх разом і ви отримаєте значення визначника матриці 3x3.

   • У прикладі визначник дорівнює -34 + 120 + -12 = 74 .

   Як спростити завдання

   1. Вибирайте як опорний рядок (або стовпчик) той, що має більше нулів.Пам'ятайте, що як опорна ви можете вибрати будь-якурядок чи стовпець. Вибір опорного рядка або стовпця не впливає на результат. Якщо ви виберете рядок з найбільшою кількістю нулів, вам доведеться виконувати менше обчислень, оскільки вам буде потрібно обчислити додатки алгебри тільки для ненульових елементів. Ось чому:

      • Допустимо, ви вибрали 2 рядок з елементами a 21 , a 22 , and a 23 . Щоб знайти визначник, вам потрібно буде знайти визначники трьох різних матриць розмірністю 2x2. Назвемо їх A 21 , A 22 , and A 23 .
      • Тобто визначник матриці 3x3 дорівнює a 21 | A 21 | - a 22 | A 22 | + a 23 | A 23 |.
      • Якщо обидва елементи a 22 і a 23 дорівнюють 0, то наша формула стає набагато коротшою за a 21 |A 21 | - 0*|A 22 | + 0*|A 23 | = a 21 | A 21 | - 0 + 0 = a 21 | A 21 | Тобто необхідно обчислити лише додаток алгебри одного елемента.

   2. Використовуйте додавання рядків, щоб спростити матрицю.Якщо ви візьмете один рядок і додасте до нього інший, то визначник матриці не зміниться. Те саме вірно і для стовпців. Подібні дії можна виконувати кілька разів, крім того, ви можете множити значення рядка на постійну (перед додаванням) для того, щоб отримати якомога більше нулів. Подібні дії можуть заощадити багато часу.

      • Наприклад, у нас є матриця із трьох рядків: (9 − 1 2 3 1 0 7 5 − 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)9&-1&2\3&1&0\\7&5&-2\end(pmatrix))
      • Щоб позбутися 9 на місці елемента a 11 ми можемо помножити другий рядок на -3 і додати результат до першої. Новий перший рядок буде + [-9 -3 0] = .
      • Тобто ми отримуємо нову матрицю (0 − 4 2 3 1 0 7 5 − 2) (\displaystyle (\begin(pmatrix)0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2(endmatrix))Спробуйте зробити те саме зі стовпцями, щоб отримати на місці елемента a 12 нуль.

   3. Пам'ятайте, що обчислювати визначник трикутних матриць набагато простіше.Визначник трикутних матриць обчислюється як добуток елементів на головній діагоналі, від a 11 у верхньому лівому куті до a 33 в правому нижньому кутку. В даному випадку йдеться про трикутні матриці розмірністю 3x3. Трикутні матриці можуть бути наступних видів, залежно від розташування ненульовихзначень:

      • Верхня трикутна матриця: Всі ненульові елементи знаходяться на головній діагоналі і вище за неї. Усі елементи нижче за головну діагональ дорівнюють нулю.
      • Нижня трикутна матриця: Усі ненульові елементи знаходяться нижче за головну діагональ і на ній.
      • Діагональна матриця: Усі ненульові елементи знаходяться на головній діагоналі. Є окремим випадком вищеописаних матриць.
      • Описаний метод поширюється квадратні матриці будь-якого рангу. Наприклад, якщо ви використовуєте його для матриці 4x4, то після викреслення будуть залишатися матриці 3x3, для яких визначник буде обчислюватися вищезгаданим способом. Будьте готові до того, що обчислювати визначник для матриць таких розмірностей вручну – дуже трудомістке завдання!
      • Якщо всі елементи рядка або стовпця дорівнюють 0, то визначник матриці теж дорівнює 0.

Це поняття, що узагальнює всі можливі операції, які виробляються з матрицями. Математична матриця – таблиця елементів. Про таку таблицю, де mрядків та nстовпців, кажуть, що це матриця має розмірність mна n.

Загальний вигляд матриці:

Для рішення матрицьнеобхідно розуміти, що таке матриця та знати основні її параметри. Основні елементи матриці:

• Головна діагональ, що складається з елементів а 11, а 22 …..а mn.
• Побічна діагональ, що складається з елементів а 1n, а 2n-1 …..а m1.

Основні види матриць:

• Квадратна - така матриця, де число рядків = числу стовпців ( m=n).
• Нульова – де всі елементи матриці = 0.
• Транспонована матриця - матриця У, яка була отримана з вихідної матриці Aшляхом заміни рядків на стовпці.
• Поодинока - всі елементи головної діагоналі = 1, решта = 0.
• Зворотна матриця - матриця, при множенні на яку вихідна матриця дає в результаті поодиноку матрицю.

Матриця може бути симетричною щодо головної та побічної діагоналі. Тобто, якщо а 12 = а 21, а 13 = а 31, .... а 23 = а 32 …. а m-1n = а mn-1то матриця симетрична щодо головної діагоналі. Симетричними можуть лише квадратні матриці.

Методи розв'язання матриць.

Майже все методи вирішення матриціполягають у знаходженні її визначника n-го порядку і більшість їх досить громіздкі. Щоб знайти визначник 2-го та 3-го порядку є інші, більш раціональні способи.

Знаходження визначників 2-го порядку.

Для обчислення визначника матриці А 2го порядку, необхідно від твору елементів головної діагоналі відняти добуток елементів побічної діагоналі:

Методи знаходження визначників 3-го порядку.

Нижче наведено правила знаходження визначника 3го порядку.

Спрощено правило трикутника, як одного з методів вирішення матриць, можна зобразити таким чином:

Іншими словами, добуток елементів у першому визначнику, які з'єднані прямими, береться зі знаком "+"; так само, для 2-го визначника - відповідні твори беруться зі знаком "-", тобто за такою схемою:

При рішенні матриць правилом Саррюса, праворуч від визначника дописують перші 2 стовпці та твори відповідних елементів на головній діагоналі та на діагоналях, які їй паралельні, беруть зі знаком "+"; а твори відповідних елементів побічної діагоналі та діагоналей, які їй паралельні, зі знаком "-":

Розкладання визначника по рядку чи стовпцю під час вирішення матриць.

Визначник дорівнює сумітворів елементів рядка визначника з їхньої алгебраїчні доповнення. Зазвичай вибирають той рядок / стовпець, в якому є нулі. Рядок або стовпець, по якому ведеться розкладання, будуть позначати стрілкою.

Приведення визначника до трикутного вигляду під час вирішення матриць.

При рішенні матрицьЗ допомогою приведення визначника до трикутному виду, працюють так: з допомогою найпростіших перетворень над рядками чи стовпцями, визначник стає трикутного вигляду і тоді його значення, відповідно до властивостями визначника, дорівнюватиме добутку елементів, які стоять на головній діагоналі.

Теорема Лапласа під час вирішення матриць.

Вирішуючи матриці за теоремою Лапласа, необхідно знати безпосередньо саму теорему. Теорема Лапласа: Нехай Δ - це визначник n-го порядку. Вибираємо в ньому будь-які kрядків (або стовпців), за умови k≤ n - 1. У такому разі сума творів усіх мінорів k-го порядку, що містяться у вибраних kрядках (стовпцях), на їх алгебраїчні доповнення дорівнюватиме визначнику.

Вирішення зворотної матриці.

Послідовність дій для рішення зворотної матриці:

1. Зрозуміти, чи квадратна дана матриця. У разі негативної відповіді стає ясно, що зворотної матриці не може бути.
2. Обчислюємо додатки алгебри.
3. Складаємо союзну (взаємну, приєднану) матрицю C.
4. Складаємо зворотну матрицю з алгебраїчних доповнень: всі елементи приєднаної матриці Cділимо на визначник початкової матриці. Підсумкова матриця буде шуканою зворотною матрицею щодо заданої.
5. Перевіряємо виконану роботу: множимо матрицю початкову та отриману матриці, результатом має стати одинична матриця.

Вирішення систем матриць.

Для рішення систем матрицьнайчастіше використовують метод Гаусса.

Метод Гауса – це стандартний спосіб вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь(СЛАУ) і він полягає в тому, що послідовно виключаються змінні, тобто за допомогою елементарних змін систему рівнянь доводять до еквівалентної системи трикутного вигляду і з неї, послідовно, починаючи з останніх (за номером), знаходять кожен елемент системи.

Метод Гаусає найуніверсальнішим і найкращим інструментом для знаходження рішення матриць. Якщо у системи безліч рішень або система є несумісною, то її не можна вирішувати за правилом Крамера і матричним методом.

Метод Гауса має на увазі також прямий (приведення розширеної матриці до східчастого вигляду, тобто. отримання нулів під головною діагоналлю) та зворотний (отримання нулів над головною діагоналлю розширеної матриці) ходи. Прямий хід є метод Гаусса, зворотний - метод Гаусса-Жордана. Метод Гауса-Жордана відрізняється від методу Гауса лише послідовністю виключення змінних.

Нехай є квадратна матриця n-го порядку

Матриця А-1 називається зворотною матрицеюстосовно матриці А, якщо А*А -1 = Е, де Е — одинична матриця n-го порядку.

Одинична матриця- Така квадратна матриця, у якої всі елементи по головній діагоналі, що проходить від лівого верхнього кута до правого нижнього кута, - одиниці, а інші - нулі, наприклад:

зворотна матриця може існувати тільки для квадратних матрицьтобто. для тих матриць, у яких число рядків та стовпців збігаються.

Теорема умови існування зворотної матриці

Для того, щоб матриця мала зворотну матрицю, необхідно і достатньо, щоб вона була невиродженою.

Матриця А = (А1, А2, ... Аn) називається невиродженоюякщо вектори-стовпці є лінійно незалежними. Число лінійно незалежних векторів-стовпців матриці називається рангом матриці. Тому можна сказати, що для того, щоб існувала обернена матриця, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці дорівнював її розмірності, тобто. r = n.

Алгоритм знаходження зворотної матриці

1. Записати до таблиці на вирішення систем рівнянь методом Гаусса матрицю А і праворуч (на місце правих частин рівнянь) приписати до неї матрицю Е.
2. Використовуючи перетворення Жордана, привести матрицю до матриці, що складається з одиничних стовпців; при цьому необхідно одночасно перетворити матрицю Е.
3. Якщо необхідно, то переставити рядки (рівняння) останньої таблиці так, щоб під матрицею вихідної таблиці А вийшла одинична матриця Е.
4. Записати зворотну матрицю А-1, яка знаходиться в останній таблиці під матрицею Е вихідної таблиці.

Для матриці А знайти зворотну матрицю А-1

Рішення: Записуємо матрицю А і праворуч приписуємо одиничну матрицю Е. Використовуючи перетворення Жордана, наводимо матрицю А до одиничної матриці Е. Обчислення наведено у таблиці 31.1.

Перевіримо правильність обчислень множенням вихідної матриці А та зворотної матриці А-1.

В результаті множення матриць вийшла поодинока матриця. Отже, обчислення зроблено правильно.

Відповідь:

Розв'язання матричних рівнянь

Матричні рівняння можуть мати вигляд:

АХ = В, ХА = В, АХВ = С,

де А, В, С - матриці, що задаються, Х - шукана матриця.

Матричні рівняння вирішуються з допомогою множення рівняння зворотні матриці.

Наприклад, щоб знайти матрицю з рівняння необхідно помножити це рівняння на ліворуч.

Отже, щоб знайти рішення рівняння потрібно знайти зворотну матрицю і помножити її на матрицю , що стоять у правій частині рівняння.

Аналогічно вирішуються інші рівняння.

Розв'язати рівняння АХ = В, якщо

Рішення: Оскільки зворотна матриця дорівнює (див. приклад 1)

Матричний метод в економічному аналізі

Поряд з іншими знаходять застосування також матричні методи . Ці методи базуються на лінійній та векторно-матричній алгебрі. Такі методи застосовуються з метою аналізу складних та багатовимірних економічних явищ. Найчастіше ці методи використовуються за необхідності порівняльної оцінки функціонування організацій та його структурних підрозділів.

У процесі застосування матричних методів аналізу можна виділити кілька етапів.

На першому етапіздійснюється формування системи економічних показниківі на її основі складається матриця вихідних даних , яка є таблицею, в якій за її окремими рядками показуються номери систем (i = 1,2,...,,n), а за вертикальними графами - номери показників (j = 1,2,....,m).

На другому етапіпо кожній вертикальній графі виявляється найбільше з існуючих значень показників, яке приймається за одиницю.

Після цього всі суми, відображені в даній графі поділяють на найбільше значенняі формується матриця стандартизованих коефіцієнтів.

На третьому етапівсі складові матриці зводять у квадрат. Якщо вони мають різну значимість, то кожному показнику матриці надається певний ваговий коефіцієнт k. Розмір останнього визначається експертним шляхом.

На останньому, четвертому етапізнайдені величини рейтингових оцінок R jгрупуються у порядку їх збільшення чи зменшення.

Викладені матричні методи слід використовувати, наприклад, при порівняльному аналізірізних інвестиційних проектів, і навіть в оцінці інших економічних показників діяльності організацій.

Група компаній «Оргпром» 2 МІСІЯ Ми сприяємо розвитку суспільства, допомагаючи бізнесу та людям побачити та реалізувати свій потенціал через проведення корпоративних програм розвитку виробничих систем Провідний російський провайдер, що надає повний спектр послуг з розвитку виробничих систем на основі концепції «ощадливе виробництво» (Lean Production , Lean Thinking, Toyota Production System, кайдзен)

Що таке політика Брокгауз і Ефрон: Політика (грец. politikó державні чи суспільні справи, від pólis держава) - одна з соціальних наук, А саме вчення про способи досягнення державних цілей. Ушаков: - Загальний характер, відмінні рисидіяльності чи поведінки (держави, громадської групи, окремої особи у тій чи іншій галузі). Триматися розумної політики. Недалекоглядна п. Тверда п. Нерішуча п. – перекл. Хитрість і хитрощі у відносинах з людьми, хитрий, ухильний образ дій (розг.). Я твою політику наскрізь бачу. Батько протопоп Савелій почав своєю політикою ще більше знищувати мене. Лєсков. Словник з економіки та фінансів: Політика підприємства - формулювання цілей підприємства та вибір коштів для їх реалізації

"Хосін Канрі" - "Розгортання політики", "Управління на основі політики" Типові проблеми Фінанси - Минуло вже півтора місяці! Що звідки? Чому? Клієнти, ринки – Важкодоступна інформація Внутрішні процеси – Недостатньо знань щодо вибору та моніторингу Персонал, інновації – Недостатньо знань щодо вибору та моніторингу

Що таке Хосін Канрі? Стратегічний інструмент виконання та контролю ходу виконання при управлінні змінами у критичних бізнес-процесах. Система розгортання стратегічного плану у всій організації. Координує зусилля співробітників та їхню діяльність зі стратегічними планами.

Навіщо розгортати політику? «Хто не знає, куди прямує, дуже здивується, потрапивши не туди» Марк Твен «Ви повинні на щось спиратися, інакше ви в будь-якому випадку впадете» 29% більшу продуктивність, порівняно з іншими фірмами Watson Wyatt Work Study

Розгортання політики дозволяє Сфокусуватися на цілях і пріоритетах, що розділяються Погодити цілі та пріоритети серед усіх лідерів Залучити кожного лідера у досягнення цілей та наслідування пріоритетів Узгодити роль і відповідальність кожного члена команди у досягненні цілей, що розділяються Зробити програму РПС - затребуваною та пов'язаною на всіх цілями («витягування» замість «виштовхування»)

Походження «Хосін Канрі» Словосполучення «Хосін Канрі» складається з чотирьох ієрогліфів: – Хо – напрямок, курс; - Син - голка, стрілка; "Хосин" - компас, напрямок стрілки компаса - Кан - контроль, управління; - Рі - логіка, причина; "Канрі" - менеджмент, розгортання, логіка управління "Хосін Канрі" - "Розгортання політики", "Управління на основі політики"

Розгортання політики Росія, XVII століття Необхідно і молодшим начальникам постійно мати його в думках, щоб вести війська згідно з ним. Мало того, навіть батальйонні, ескадронні, ротні командири повинні знати його з тієї ж причини, навіть унтер-офіцери та рядові. Кожен воїн має знати свій маневр. Олександр Васильович Суворов Не достатньо, щоб одні головні начальники повідомлено про план дії.

Розгортання політики А.В. Сувоврова План операційний – до головної армії, до корпусу, до колони! Ясний розподіл полків, скрізь розрахунок часу Вчення - світло, неучення - темрява За одного битого двох небитих дають Люби солдата, і він любитиме тебе - у цьому вся правда Я командую вправо, ти бачиш треба вліво мене не слухай ти ближній!

Місія = Призначення Набір фундаментальних, глибинних причин існування підприємства. Суть, душа. Відображає важливість, яку люди надають роботі – вона визначає їх саме ідеалістичні уявлення. Головна рольмісії – спрямовувати і надихати людей довгі роки, і навіть століття.

Система цінностей Якими принципами та пріоритетами при реалізації місії повинні керуватися – Менеджмент – Співробітники Хто зацікавлені сторони (у реалізації місії) – Що вони очікують? – Який їхній внесок? ОСНОВА ДЕЛЕГУВАННЯ - Нарівні з навчанням

Фактори успішності реалізації місії в аспекті балансу інтересів 1. Фінанси 2. Клієнти 3. Процеси 4. Розвиток Якість Точно вчасно Скорочення втрат Якість Точно вчасно Скорочення втрат Безпека Залучення Розвиток персоналу Фінанси / Ринки Акценти управління

Щоденний контроль прогресу у досягненні результатів При реалізації Хосін Щоденний вал подій та щоквартальний пресинг отримання фінансових результатівне превалюють над стратегічними планами, Навпаки, ця оперативна робота визначається і спрямовується самими планами (по досягненню стратегічних цілей). Йодзі Акао ДНМКГ ДНМКГ

Управління трьома потоками створення цінності Потік створення цінності Вихід потоку Втрати в потоці Інструменти управління 1) Потік створення споживчої цінності Якість Доставка Собівартість Задоволений замовник / потім задоволені власники, співробітники, постачальники, суспільство Робота без додавання потр. , мури) Інструменти Лін (VSM, Just-In-Time, Jidoka, 5S, TPM, VC, SOP, RCA), SCM, … 2) Потік розвитку талантів Безпека Залучення Рост Задоволений співробітник/ потім задоволений замовник і суспільство Робота з загрозою для здоров'я або без навчання OHSAS, лідерство, хосін канрі, A3, PDCA, SDCA, 5W2H, … 3) Потік створення еко-соціуму Дивіденди власникам Спільнота Екологічний статус-кво Гармонійний еко-соціум/ Потім задоволені власники, суспільство та майбутні покоління Робота без визначення інтересів ЗС та їх балансування Звітність GRI, Natural Step, регулярні наради з ЗС, … + перелічене вище

Матриця розгортання цілей заступника Гендиректора Оргпром Зам.Генерального директора Місія: Потік День Тиждень МісяцьКвартал Рік Q Якість Виконання ГУК у термін Коефіцієнт якості DТерміни Частка підрозділів у графіку (виконують добові завдання) Виконання виробничого плану (товар) Виконання виробничого плану річного CСкорочення втрат Частка підрозділів без дефектів та простоїв Виконання графіка ВТМ Кількість виконаних проектів ефективності (розшитих "вузьких" місць) Кількість комплектів на співробітника Економічний ефект від реалізації пропозицій, проектів та програм підвищення ефективності SОхорона праці та безпека Кількість днів без нещасних випадків Частка підрозділів без порушень ОП та дисципліни Частка підрозділів з покращенням оцінки за умовами праці, 5С та безпеки Середня оцінкапідрозділів за умовами праці, 5С та безпеки Частка атестованих робочих місць IЗалучення персоналу Кількість поданих пропозицій Реалізація пропозицій (Кількість реалізованих \ Кількість поданих за останні 3 місяці, %) Частка підрозділів з зростаючим рівнем подачі І реалізації Середня кількість реалізованих пропозицій на співробітника GРозвиток компетенцій Виконання графіка навчання (з урахуванням кількості) Середня зарплата MІнтереси бізнесу Виконання поточних графіків реконструкції та переозброєння Виконання поточних графіків комп'ютеризації, автоматизації, механізації, роботизації AРозвиток партнерів EСоціальний розвиток та екологія Виконання плану соціальної роботи Матриця Періодичної Системи Управління Стійким Розвитком Перспективна дія Співробітництво ) Потік сталого розвитку бізнесу

Матриця розгортання цілей начальника цеху Оргпром Начальник цеху 43 Місія: Потік День Тиждень МісяцьКвартал Рік Q Якість Кількість днів без дефектів Кількість прийнятих в роботу нових або удосконалених техпроцесів Коефіцієнт якості D Терміни Частка виконуючих завдання ділянок комплекти Виконання плану номенклатурного Виконання виробничого плану реалізованих та відсоток виконання Частка розшитих "вузьких" місць Економічний ефект Кількість комплектів на співробітника SОхорона праці та безпека Кількість днів без нещасних випадків Виконання графіка обходів Частка ділянок, що покращили свої показники з безпеки та 5S Середній балаудиту з безпеки та 5S Частка робочих місць без шкідливих умов та небезпек IЗалучення персоналу Кількість виявлених можливостей Кількість поданих пропозицій Реалізація пропозицій (Кількість реалізованих \ Кількість поданих за останні 3 місяці, %) Частка лідерів (що подають І реалізують пропозиції) Середня кількість реалізованих пропозицій на співробітника GРозвиток компетенцій Виконання графіка навчання Кількість наставників Частка робочих місць, укомплектованих співробітниками з відповідними компетенціями Середня зарплата MІнтереси бізнесу Виконання графіка техпереозброєння Частка механізованої праці Потужність цеху в комплектах на рік AРозвиток партнерів Перспектива Матриця Періодичної Системи Управління Стійким Розвитком Ми своєчасно виготовляємо якісні фітинги для складальних цехів Потік створення споживчої цінності (розвиток процесів) Потік створ ня талановитих співробітників (розвиток людей)

Матриця розгортання цілей начальника ділянки Оргпром Начальник ділянки цеху 43 Місія: Потік День Тиждень МісяцьКвартал Рік Q Якість Кількість днів без дефектів Частка стабілізованих процесів обробки деталей Вихід придатного з першого разу DТерміни Виконання змінно-добових завдань (%) Виконання плану по номенклатурі Виконання повної ефективності обладнання (ОЕЕ) Виконання нормативного часу на переналагодження обладнання (загальний час переналагодження верстатів/кількість переналагодок) SОхорона праці та безпека Кількість днів без травм Кількість зауважень по ТБ (2 ступінь) Оцінка стану робочої зони та робочих місць (5С) IЗалучення персоналу Кількість виявлених можливостей Кількість поданих пропозицій Реалізація пропозицій (Кількість реалізованих \ Кількість поданих за останні 3 місяці, %) GРозвиток компетенцій Частка операторів, що освоїли швидку переналагодження Кількість переходів у розвитку компетенцій (матриця компетен цій) ​​MІнтереси бізнесу AРозвиток партнерів EСоціальний розвиток та екологіякількість невиходів через захворювання Частка робочих місць, що відповідають вимогам екології та безпеки Потік сталого розвитку бізнесу Матриця Періодичної Системи Управління Стійким Розвитком Потік створення талановитих співробітників (розвиток людей)

Second Level Hoshin Kanri Primary Responsibility Secondary Responsibility RESOURCES ДРУГИЙ РІВЕНЬ Danaher Business System Office - Hoshin Kanri 1998 Primary Responsibility Secondary Responsibility Resources ВИСШИЙ РІВЕНЬ ключові виконавці та індикатори досягнення цілей Цілі Заготівельне Хутро обробка Агрегатне складання Складання Випробування Х-матриці Дошка виробничого аналізу ділянки Дошка показників цеху Показники цехів та ділянок розкривають зміст діяльності та ступінь досягнення розгорнутих цілей Рекомендується використовувати в системі винагороди

Послідовність Хосін 1. Сформулюйте чи уточніть філософію компанії – Призначення (місію) Заради чого існує наша компанія? – Система цінностей Що є і буде нашими пріоритетами? – Принципи управління На основі яких принципів ми забезпечуватимемо ці пріоритети? - Бачення майбутнього компанії Якою компанією ми хочемо стати? 2. Доведіть до персоналу, партнерів, суспільства 3. Невпинно слідуйте, погодьте та звіряйте

Періодична система управління сталим розвитком бізнесу Сталий розвиток бізнес-системи Формулювання та розгортання основ бізнесу Лідерська візуалізація Гармонізація та балансування потоків Лідерська стандартизація Безперервне навчання дією та вирішення проблем Формулювання та розгортання проривного бачення1. (ЗС), визначення та узгодження їх цінностей = інтересів ЗС (цільових станів) 2. Періодичне визначення та лідерська візуалізація потоків створення цих цінностей, втрат у них 3. Періодичне балансування та гармонізація потоків створення цінностей через скорочення втрат 4. Періодичний діалог ЗС та лідерська стандартизація для «витягування» відповідних цінностей 5. Періодична послідовність у безперервному вдосконаленні та розгортанні проривного бачення

Відповідь на це питання компанія «Тойота», світовий лідер не тільки в автомобілебудуванні, а й у створенні ефективних бізнес-систем, знайшла для себе в інструменті Хосін Канрі ще у 1950-1960-х роках. Це словосполучення можна перекласти з японської мовияк компас, а ширшому сенсі — управління політикою. Практично всі великі світові компанії вже давно перейняли цей інструмент і успішно його використовують, у тому числі в компанії Альстом. Як приклад можна навести ВАТ «РЖД», яке ще минулого року застосувало методику Хосін Канрі на Жовтневій залізниці.

Хосін Канрі - це структурований процес, що регулярно повторюється, результатом якого є документ, званий Х-матриця, що формулює основні напрямки розвитку компанії. Розгортання стратегії відбувається через вбудовані один одного плани заходів (PDCA).

Схематично процес Хосін Канрі стосовно окремого заводу ТМХ може бути представлений на Рис. 1.

Х-матриця кожного рівня складається з чотирьох основних блоків: глобальні цілі, стратегія, тактики та кількісні цілі. При цьому стратегії та глобальні цілі нижчих рівнів нерозривно пов'язані з тактиками та кількісними цілями вищих рівнів.

Тому зміна, вироблена одному з рівнів, швидко транслюється і викликає зміни усім інших. Принцип заповнення Х-матриці схематично представлений на рис. 3.

Використання Х-матриць на заводах холдингу

Нині у холдингу відбувається формування технічної стратегії розвитку підприємств. До цієї роботи також залучено і вище керівництво «Альстом Транспорт». Для всіх заводів актуальними є такі стратегії: здійснення прориву в галузі якості продукції, що випускається, розвиток персоналу, впровадження проектного менеджменту та управління витратами, завершення реструктуризації підприємств.

Для забезпечення ефективного впровадження стратегії розвитку холдингу на підприємствах у лютому — квітні 2014 року групою з виробничої системи було проведено дводенні семінари із практичного навчання керівництва заводів методології роботи з Х-матрицями. На сьогоднішній день навчений вищий менеджмент семи підприємств: БМЗ, НЕВЗ, ТВЗ, КЗ, ЦСМ, ДМЗ, МВМ.

У рамках підготовки до семінару з кожним генеральним директором опрацьовувалась Х-матриця рівня заводу (рівень L1), яка ґрунтувалася у свою чергу на вхідних даних із матриці рівня холдингу. Зазначені вище стратегії було доповнено тактичними ініціативами заводу. Так, для ЗАТ «УК «БМЗ» було визначено 19 тактик рівня заводу, серед яких створення двох еталонних ліній збирання основних продуктів, створення нової платформи (ТЕМ23), удосконалення системи виробничого планування, перегляд системи мотивації персоналу. Сам проект трансформації заводу, реалізація якого було розпочато раніше, отримало гучне гасло «БМЗ — перше в будь-якому складі!».

У ході семінару було побудовано Х-матриці основних дирекцій підприємства: дирекції з виробництва, технічні дирекції та дирекції з матеріально-технічного забезпечення та логістики (рівень L2). Потім керівники представили стратегії розвитку їхніх підрозділів начальникам відділів (цехів), які у свою чергу склали Х-матриці рівня L3 із тактичними завданнями відділів. Далі начальники відділів (цехів) «каскадували» завдання начальникам бюро, які становили дуже конкретні плани заходів для досягнення загальної стратегії дирекції. Якщо у Х-матрицях дирекцій та відділів обрій планування дорівнює одному році, то у разі плану заходів для керівників бюро — три місяці. Завершальним етапом семінару стало формування стендів із індикаторами для управління діяльністю підрозділу на кожному рівні.

Таким чином, була побудована система управління трансформацією заводу, що включає взаємопов'язані плани тактичних та операційних завдань, а також індикаторів, що дозволяють оцінити як процеси, так і рівень реалізації завдань.

На даний момент заводи допрацьовують Х-матриці, домагаючись повної взаємопов'язаності між матрицями. різних рівнів. Особливу увагу приділено роботі з індикаторами процесів, більшість із яких можна знайти у майбутній єдиній панелі індикаторів заводу.

Зв'язок Х-матриць та панелі індикаторів

Для прийняття обґрунтованих рішень керівникам різних рівнів слід покладатися на достовірну та своєчасну бізнес-інформацію. Панелі індикаторів зберігають дані про результативність та ефективність бізнес-процесів, що протікають в організації. Ці дані використовуються для моніторингу, аналізу, керування.

У 2013 році на НЕВЗ було проведено роботу з впровадження ключових показників ефективності, і в якості пілотної ділянки було обрано цех, де відбувається складання електропоїздів ЕП20 «Олімп». Досвід виявився успішним, і керівництво заводу отримало перехресну систему КПЕ, завдяки якій можна швидко та ефективно проаналізувати дані.

З початку 2014 року в холдингу ведеться активна робота з формування стандартної панелі індикаторів для заводів, яка включить у себе всі найважливіші КПЕ підприємства та щомісяця оновлюватиметься. Планується офіційно включити до бізнес-плану 2015 року крім показників результативності ще й показники ефективності діяльності заводів.

Серед найважливіших КПЕ, які будуть включені до панелі, можна виділити такі: ефективність виробничих робітників, відношення РСС та допоміжних робітників до основних робітників, оборотність сировини та матеріалів, оборотність незавершеного виробництва, вироблення нормо-годин на рік з 1 м2 виробничих площ.

У 2014 році робота з побудови Х-матриць була проведена під керівництвом групи з виробничої системи, наступному роцітака робота має стати звичайним завданням щодо планування діяльності підприємства на рік.

Наступні кроки щодо розгортання стратегії на заводах

Більшість російських підприємств і заводи Трансмашхолдингу не виняток мають дуже складну ієрархічну структуру з безліччю рівнів. Це означає, що каскадування завдань — тривалий процес, у якому важливо забезпечити повну відкритість і прозорість напрямів розвитку компанії. Тому ключовим етапом у розгортанні стратегії стає інформування всіх співробітників про майбутні зміни. Інформованість, розуміння та залученість — ось ланцюжок дій колективу кожного підприємства. І тут важлива участь корпоративних газет, які повинні регулярно транслювати ключові рішення керівництва, роботи з Х-матрицями, розповідати про перетворення, що відбуваються на заводах.

Для успішної реалізації стратегії потрібна повна підтримка всіх рівнів, тому зараз заводи працюють над пошуком назви проекту, що запам'ятовується, і його гасла. Через заводські газети, у ході колективних зборів, а головне — від безпосередніх керівників працівники заводів мають не лише дізнатися про плани підприємства, а й зрозуміти свою роль у цьому процесі.

Олександр Альбертович Василенко, генеральний директорЗАТ «УК «БМЗ»:

Для досягнення зазначених цілей керівництвом підприємства визначено тактичні завдання, які необхідно вирішити у 2014 році. Далі директори за напрямами на підставі матриці стратегії розвитку заводу розробили матриці з кожної служби і так до рівня відділів. Це дозволило довести глобальні цілі та тактичні завдання ТМХ, визначені керівництвом, до конкретних виконавців. Таким чином, усі співробітники стали розуміти свою особисту роль та внесок у стратегічний розвиток підприємства. В даний час перед керівниками заводу всіх рівнів стоїть завдання щодо щомісячного аналізу виконання тактичних завдань та планів заходів для оперативного реагування на можливі відхилення. Такий підхід дозволив систематизувати діяльність різних підрозділів у межах цілей заводу, встановив цільові стани процесів.

Дмитро ДЬЯКОВ, заступник начальника відділу виробництва ЗАТ «УК «БМЗ»:

Можна припустити, кілька століть тому Суворов вже займався вибудовуванням виробничої системи… в армії. Адже йому приписують слова «Кожен солдат має розуміти свій маневр». Це якраз і є принцип каскадування. Коли командувач ставить цілі, кожен солдат повинен не тільки знати, а й розуміти свій маневр. Що стосується нашого виробництва: оператор не просто прийшов і зробив деталь, а й знає, чому сьогодні такий рівень замовлень, чому потрібна оптимізація площ, раціоналізація техпроцесів, впровадження системи 5С на робочих місцях і т. д. Це один із методів виробничої системи, який дозволяє створити команду, здатну вловлювати і бачити зміни обстановки, вміти їх аналізувати, виробляти ці зміни комплекс дій і втілювати в життя.

Марк-Антуан Жювін, фінансовий контролер Трансмашхолдингу, який уже мав досвід роботи з цим інструментом, зазначає:

Використання в ТМХ Х-матриць саме сьогодні відповідає на виклики сучасного економічного середовища, яке відрізняється високою мінливістю та непередбачуваністю. Внаслідок цього необхідно діяти колективно, не порушуючи рівноваги всієї системи.