Зворотна матриця через визначник. Алгоритм обчислення зворотної матриці за допомогою додатків алгебри: метод приєднаної (союзної) матриці

Знайдіть визначити кожну матрицю розміром 2х2.Кожен елемент будь-якої матриці, включаючи транспоновану, пов'язаний із відповідною матрицею 2х2. Щоб знайти матрицю 2х2, яка відповідає певному елементу, закресліть рядок та стовпець, у яких знаходиться даний елемент, тобто потрібно закреслити п'ять елементів вихідної матриці 3х3. Незакресленими залишаться чотири елементи, які є елементами відповідної матриці 2х2.

• Наприклад, щоб знайти матрицю 2х2 для елемента, який розташований на перетині другого рядка та першого стовпця, закресліть п'ять елементів, які знаходяться у другому рядку та першому стовпці. Чотири елементи, що залишилися, є елементами відповідної матриці 2х2.
• Знайдіть визначник кожної матриці 2х2. Для цього добуток елементів другорядної діагоналі відніміть із добутку елементів головної діагоналі (дивіться малюнок).
• Детальну інформацію про матриці 2х2, що відповідають певним елементам матриці 3х3, можна знайти в інтернеті.

Створіть матрицю кофакторів.Результати, отримані раніше, запишіть у вигляді нової матриці кофакторів. Для цього знайдений визначник кожної матриці 2х2 напишіть там, де був відповідний елемент матриці 3х3. Наприклад, якщо розглядається матриця 2х2 елемента (1,1), її визначник запишіть в позиції (1,1). Потім поміняйте знаки відповідних елементів згідно з певною схемою, яка показана на малюнку.

• Схема зміни знаків: - знак першого елемента першого рядка не змінюється; знак другого елемента першого рядка змінюється на протилежний; знак третього елемента першого рядка не змінюється тощо рядково. Зверніть увагу, що знаки «+» та «-», які показані на схемі (дивіться малюнок), не свідчать про те, що відповідний елемент буде позитивним чи негативним. У разі знак «+» свідчить, що знак елемента не змінюється, а знак «-» свідчить про зміну знака елемента.
• Детальну інформацію про матриці кофакторів можна знайти в інтернеті.
• Так ви знайдете приєднану матрицю вихідної матриці. Іноді її називають комплексно-сполученою матрицею. Така матриця позначається як adj(M).

Розділіть кожен елемент приєднаної матриці на визначник.Визначник матриці М було обчислено на самому початку, щоб перевірити, що зворотна матриця існує. Тепер поділіть кожен елемент приєднаної матриці на цей визначник. Результат кожної операції поділу запишіть там, де є відповідний елемент. Так ви знайдете матрицю, обернену до вихідної.

• Визначник матриці, яка показана малюнку, дорівнює 1. Таким чином, тут приєднана матриця є зворотною матрицею (бо при розподілі будь-якого числа на 1 воно не змінюється).
• У деяких джерелах операція поділу замінюється операцією множення на 1/det(М). При цьому кінцевий результат змінюється.

Запишіть зворотну матрицю.Запишіть елементи, розташовані на правій половині великої матриці, як окремої матриці, яка є зворотною матрицею.

Введіть вихідну матрицю у пам'ять калькулятора.Для цього натисніть кнопку Matrix (Матриця), якщо вона є. У випадку калькулятора Texas Instruments, можливо, знадобиться натиснути кнопки 2nd та Matrix.

Виберіть меню Edit (Редагування).Зробіть це за допомогою кнопок зі стрілками або відповідної функціональної кнопки, розташованої у верхній частині клавіатури калькулятора (розташування кнопки залежить від моделі калькулятора).

Введіть позначку матриці.Більшість графічних калькуляторів вміє працювати із 3-10 матрицями, які можна позначити літерами А-J. Як правило, просто виберіть [A], щоб визначити вихідну матрицю. Потім натисніть кнопку Enter.

Введіть розмір матриці.У цій статті йдеться про матриці 3х3. Але графічні калькулятори можуть працювати з матрицями великих розмірів. Введіть кількість рядків, натисніть кнопку Enter, потім введіть кількість стовпців та ще раз натисніть кнопку Enter.

Введіть кожний елемент матриці.На екрані калькулятора з'явиться матриця. Якщо в калькулятор вже вводилася матриця, вона з'явиться на екрані. Курсор виділить перший елемент матриці. Введіть значення першого елемента та натисніть Enter. Курсор автоматично переміститься до наступного елемента матриці.

Матриця $A^(-1)$ називається зворотної по відношенню до квадратної матриці $A$, якщо виконано умову $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, де $E $ - Поодинока матриця, порядок якої дорівнює порядку матриці $ A $.

Невироджена матриця - матриця, визначник якої не дорівнює нулю. Відповідно, вироджена матриця - та, у якої дорівнює нулю визначник.

зворотна матриця$A^(-1)$ існує тоді й лише тоді, коли матриця $A$ – невироджена. Якщо зворотна матриця $A^(-1)$ існує, вона єдина.

Є кілька способів знаходження зворотної матриці, і ми розглянемо два їх. На цій сторінці буде розглянуто метод приєднаної матриці, який належить стандартним у більшості курсів вищої математики. Другий спосіб знаходження зворотної матриці (метод елементарних перетворень), який передбачає використання методу Гауса або методу Гауса-Жордана, розглянутий у другій частині.

Метод приєднаної (союзної) матриці

Нехай задано матрицю $A_(n\times n)$. Для того щоб знайти зворотну матрицю $A^(-1)$, потрібно здійснити три кроки:

1. Знайти визначник матриці $A$ і переконатися, що $Delta Aneq 0$, тобто. що матриця А – невироджена.
2. Скласти алгебраїчні доповнення $A_(ij)$ кожного елемента матриці $A$ і записати матрицю $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ зі знайдених додатків алгебри.
3. Записати зворотну матрицю з урахуванням формули $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Матрицю $(A^(*))^T$ найчастіше називають приєднаної (взаємної, союзної) до матриці $A$.

Якщо рішення відбувається вручну, перший спосіб хороший лише для матриць порівняно невеликих порядків: другого (), третього (), четвертого (). Щоб знайти зворотну матрицю для матриці вищого порядку, використовуються інші методи Наприклад, метод Гауса, який розглянуто у другій частині.

Приклад №1

Знайти матрицю, зворотну до матриці $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \ 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Так як всі елементи четвертого стовпця дорівнюють нулю, то $ Delta A = 0 $ (тобто матриця $ A $ є виродженою). Оскільки $\Delta A=0$, зворотної матриці до матриці $A$ немає.

Приклад №2

Знайти матрицю, зворотну до матриці $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Використовуємо метод приєднаної матриці. Спочатку знайдемо визначник заданої матриці $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\dot 9=-103. $$

Так як $ \ Delta A \ neq 0 $, то зворотна матриця існує, тому продовжимо рішення. Знаходимо додатки алгебри

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\end(aligned)

Складаємо матрицю з додатків алгебри: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Транспонуємо отриману матрицю: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (отримана матриця часто називається приєднаною чи союзною матрицею до матриці $A$). Використовуючи формулу $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, маємо:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Отже, зворотну матрицю знайдено: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\9/103 & 5/103 \end(array)\right) $. Щоб перевірити істинність результату, достатньо перевірити істинність однієї з рівностей: $A^(-1)\cdot A=E$ або $A\cdot A^(-1)=E$. Перевіримо виконання рівності $A^(-1)\cdot A=E$. Щоб поменше працювати з дробами, підставлятимемо матрицю $A^(-1)$ не у формі $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, а у вигляді $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\ -9 & -5 \end(array )\right)$:

Відповідь: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Приклад №3

Знайти зворотну матрицю для матриці $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 -4 & 9 & 4 \0 & 3 & 2\end(array) \right)$.

Почнемо з обчислення визначника матриці $A$. Отже, визначник матриці $A$ такий:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36 +56-12 = 26. $$

Так як $ \ Delta A \ neq 0 $, то зворотна матриця існує, тому продовжимо рішення. Знаходимо додатки алгебри кожного елемента заданої матриці:

Складаємо матрицю з додатків алгебри і транспонуємо її:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

Використовуючи формулу $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, отримаємо:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Отже, $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Щоб перевірити істинність результату, достатньо перевірити істинність однієї з рівностей: $A^(-1)\cdot A=E$ або $A\cdot A^(-1)=E$. Перевіримо виконання рівності $A\cdot A^(-1)=E$. Щоб поменше працювати з дробами, будемо підставляти матрицю $A^(-1)$ не у формі $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, а у вигляді $\frac(1)(26)\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Перевірку пройдено успішно, зворотна матриця $A^(-1)$ знайдена правильно.

Відповідь: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Приклад №4

Знайти матрицю, зворотну матриці $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \7 & 5 & 3 & 7 \\ 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Для матриці четвертого порядку знаходження зворотної матриці за допомогою додатків алгебри дещо важко. Проте такі приклади у контрольних роботах зустрічаються.

Щоб знайти зворотну матрицю, спочатку потрібно обчислити визначник матриці $A$. Найкраще в цій ситуації це зробити за допомогою розкладання визначника по рядку (стовпцю). Вибираємо будь-який рядок або стовпець і знаходимо додатки алгебри кожного елемента обраного рядка або стовпця.

Розглянемо проблему визначення операції, зворотної до множення матриць.

Нехай A - квадратна матриця порядку n. Матриця A^(-1) , що задовольняє разом із заданою матрицею A рівностями:

A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E,

З визначення слід, що й зворотна матриця A^(-1) існує, вона квадратна тієї ж порядку, як і A . Однак не для будь-якої квадратної матриці існує зворотна. Якщо визначник матриці A дорівнює нулю (\det(A)=0) , то неї немає зворотної. Насправді, застосовуючи теорему про визначника добутку матриць для одиничної матриці E=A^(-1)A отримуємо протиріччя

\det(E)=\det(A^(-1)\cdot A)=\det(A^(-1))\det(A)=\det(A^(-1))\cdot0=0

Теорема 4.1 про існування та єдиність зворотної матриці. Квадратна матриця A=\begin(pmatrix)a_(11)&cdots&a_(1n)\vdots&ddots&vdots a_(n1)&cdots&a_(nn) \end(pmatrix), Визначник якої відмінний від нуля, має зворотну матрицю і притому тільки одну:

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot\! \begin(pmatrix)A_(11)&A_(21)&\cdots&A_(1n)\\ A_(12)&A_(22)&\cdots&A_(n2)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_(1n )&A_(2n)&\cdots&A_(nn) \end(pmatrix)= \frac(1)(\det(A))\cdot A^(+),

де A^(+) - матриця, транспонована для матриці, складеної з додатків алгебри елементів матриці A .

Матриця A^(+) називається приєднаною матрицеюпо відношенню до матриці A.

Справді, матриця \frac(1)(\det(A))\,A^(+)існує за умови \det(A)\ne0. Треба показати, що вона обернена до A, тобто. задовольняє двом умовам:

\begin(aligned)\mathsf(1))&~A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)=E;\\ \mathsf (2))&~ \!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)\!\cdot A=E.\end(aligned)

Доведемо першу рівність. Відповідно до п.4 зауважень 2.3, із властивостей визначника випливає, що AA^(+)=\det(A)\cdot E. Тому

A\cdot\!\left(\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+)\right)= \frac(1)(\det(A))\cdot AA^(+) = \frac(1)(\det(A))\cdot \det(A)\cdot E=E,

що й потрібно було показати. Аналогічно доводиться друга рівність. Отже, за умови \det(A)\ne0 матриця A має зворотну

A^(-1)=\frac(1)(\det(A))\cdot A^(+).

Єдиність зворотної матриці доведемо від протилежного. Нехай крім матриці A^(-1) існує ще одна зворотна матриця B\,(B\ne A^(-1)) така, що AB=E . Помножуючи обидві частини цієї рівності зліва на матрицю A^(-1) , отримуємо \underbrace(A^(-1)AB)_(E)=A^(-1)E. Звідси B=A^(-1) , що суперечить припущенню B\ne A^(-1) . Отже, обернена матриця єдина.

Зауваження 4.1

1. З визначення випливає, що матриці A та A^(-1) перестановочні.

2. Матриця, зворотна до невиродженої діагональної, є також діагональною:

\Bigl[\operatorname(diag)(a_(11),a_(22),\ldots,a_(nn))\Bigr]^(-1)= \operatorname(diag)\!\left(\frac(1) )(a_(11)),\,\frac(1)(a_(22)),\,\ldots,\,\frac(1)(a_(nn))\right)\!.

3. Матриця, обернена до невиродженої нижньої (верхньої) трикутної, є нижньою (верхньою) трикутною.

4. Елементарні матриці мають зворотні, які є елементарними (див. п.1 зауважень 1.11).

Властивості зворотної матриці

Операція обігу матриці має такі властивості:

\begin(aligned)\bold(1.)&~~ (A^(-1))^(-1)=A\,;\\ \bold(2.)&~~ (AB)^(-1 )=B^(-1)A^(-1)\,;\\ \bold(3.)&~~ (A^T)^(-1)=(A^(-1))^T\ ,;\\ \bold(4.)&~~ \det(A^(-1))=\frac(1)(\det(A))\,;\\ \bold(5.)&~~ E^(-1)=E\,. \end(aligned)

Доведемо властивість 2: якщо добуток AB невироджених квадратних матриць того самого порядку має зворотну матрицю, то (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1).

Дійсно, визначник добутку матриць AB не дорівнює нулю, оскільки

\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B), де \det(A)\ne0,~\det(B)\ne0

Отже, зворотна матриця (AB) ^ (-1) існує і єдина. Покажемо за визначенням, що матриця B^(-1)A^(-1) є зворотною стосовно матриці AB . Справді.

зворотна матриця

Зворотною матрицеюназивається матриця, яка при множенні як праворуч, так і ліворуч на дану матрицю дає одиничну матрицю.
Позначимо зворотну матрицю до матриці Ачерез , тоді згідно з визначенням отримаємо:

де Е- одинична матриця.
Квадратна матрицяназивається неособливою (невиродженою), якщо її визначник не дорівнює нулю. Інакше вона називається особливою (виродженою) або сингулярною.

Має місце теорема: всяка неособлива матриця має зворотну матрицю.

Операція знаходження зворотної матриці називається зверненнямматриці. Розглянемо алгоритм обігу матриці. Нехай дана неособлива матриця n-го порядку:

де Δ = det A ≠ 0.

Алгебраїчним доповненням елементаматриці n-го порядку Аназивається взятий з певним знаком визначник матриці ( n-1)-го порядку, отриманої викресленням i-ого рядка та j-го стовпця матриці А:

Складемо так звану приєднануматрицю:

де - алгебраїчні доповнення відповідних елементів матриці А.
Зауважимо, що доповнення алгебри елементів рядків матриці Арозміщуються у відповідних стовпцях матриці Ã тобто одночасно проводиться транспонування матриці.
Розділивши всі елементи матриці Ã на Δ – величину визначника матриці А, Отримаємо в результаті зворотну матрицю:

Відзначимо ряд особливих властивостейзворотної матриці:
1) для даної матриці Аїї зворотна матриця є єдиною;
2) якщо існує зворотна матриця, то права зворотнаі ліва зворотнаматриці збігаються з нею;
3) особлива (вироджена) квадратна матриця немає зворотної матриці.

Основні властивості зворотної матриці:
1) визначник зворотної матриці та визначник вихідної матриці є зворотними величинами;
2) зворотна матриця добутку квадратних матриць дорівнює добутку зворотних матриць співмножників, взятому у зворотному порядку:

3) транспонована зворотна матриця дорівнює зворотній матриці від даної транспонованої матриці:

П р і м е р. Обчислити матрицю, обернену даною.

Продовжуємо розмову про дії з матрицями. А саме – під час вивчення даної лекції ви навчитеся знаходити зворотну матрицю. Навчіться. Навіть якщо з математикою важко.

Що таке зворотна матриця? Тут можна провести аналогію зі зворотними числами: розглянемо, наприклад, оптимістичне число 5 та зворотне число . Добуток цих чисел дорівнює одиниці: . З матрицями все схоже! Добуток матриці на зворотну їй матрицю дорівнює - одиничної матриціяка є матричним аналогом числової одиниці. Однак про все по порядку – спочатку вирішимо важливий практичне питання, А саме, навчимося цю саму зворотну матрицю знаходити.

Що необхідно знати та вміти для знаходження зворотної матриці? Ви повинні вміти вирішувати визначники. Ви повинні розуміти, що таке матрицята вміти виконувати деякі дії з ними.

Існує два основні методи знаходження зворотної матриці:
за допомогою алгебраїчних доповненьі за допомогою елементарних перетворень.

Сьогодні ми вивчимо перший, простіший спосіб.

Почнемо з найжахливішого та незрозумілого. Розглянемо квадратнуматрицю. Зворотну матрицю можна знайти за такою формулою:

Де - визначник матриці - транспонована матриця алгебраїчних доповнень відповідних елементів матриці .

Поняття зворотної матриці існує лише для квадратних матриць, матриць "два на два", "три на три" і т.д.

Позначення: Як ви вже, напевно, помітили, зворотна матриця позначається надрядковим індексом

Почнемо з найпростішого випадку - матриці "два на два". Найчастіше, звичайно, потрібно «три на три», але, настійно рекомендую вивчити просте завдання, щоб засвоїти загальний принцип рішення.

Приклад:

Знайти зворотну матрицю для матриці

Вирішуємо. Послідовність дій зручно розкласти за пунктами.

1) Спочатку знаходимо визначник матриці.

Якщо з розумінням цього дійства погано, ознайомтеся з матеріалом Як визначити обчислювач?

Важливо!Якщо визначник матриці дорівнює НУЛЮ– зворотної матриці НЕ ІСНУЄ.

У аналізованому прикладі, як з'ясувалося, отже, все гаразд.

2) Знаходимо матрицю мінорів.

Для вирішення нашого завдання не обов'язково знати, що таке мінор, проте бажано ознайомитися зі статтею Як визначити обчислювач.

Матриця мінорів має такі самі розміри, як і матриця, тобто в даному випадку.
Справа за малим, залишилося знайти чотири числа і поставити їх замість зірочок.

Повертаємось до нашої матриці
Спочатку розглянемо лівий верхній елемент:

Як знайти його мінор?
А робиться це так: ДУМКОВО викреслюємо рядок і стовпець, в якому знаходиться даний елемент:

Що залишилося і є мінором цього елемента, яке записуємо в нашу матрицю мінорів:

Розглядаємо наступний елемент матриці:

Подумки викреслюємо рядок і стовпець, у якому стоїть цей елемент:

Те, що залишилося, є мінор даного елемента, який записуємо в нашу матрицю:

Аналогічно розглядаємо елементи другого рядка та знаходимо їх мінори:


Готово.

Це просто. У матриці мінорів потрібно ЗМІНИТИ ЗНАКИу двох чисел:

Саме ці цифри, які я обвів у гурток!

- матриця алгебраїчних доповнень відповідних елементів матриці.

І всього лише...

4) Знаходимо транспоновану матрицю додатків алгебри.

– транспонована матриця додатків алгебри відповідних елементів матриці .

5) Відповідь.

Згадуємо нашу формулу
Все знайдено!

Таким чином, зворотна матриця:

Відповідь краще залишити у такому вигляді. НЕ ПОТРІБНОділити кожен елемент матриці на 2, тому що вийдуть дробові числа. Докладніше цей нюанс розглянуто в тій же статті Дії з матрицями.

Як перевірити рішення?

Необхідно здійснити матричне множення або

Перевірка:

Отримано вже згадану одинична матриця- це матриця з одиницями на головної діагоналіта нулями в інших місцях.

Таким чином, зворотну матрицю знайдено правильно.

Якщо провести дію, то в результаті також вийде одинична матриця. Це один із небагатьох випадків, коли множення матриць перестановочно, більше детальну інформаціюможна знайти у статті Властивості операцій над матрицями. Матричні вирази. Також зауважте, що під час перевірки константа (дроб) виноситься вперед і обробляється наприкінці – після матричного множення. Це стандартний прийом.

Переходимо до найпоширенішого на практиці випадку – матриці «три на три»:

Приклад:

Знайти зворотну матрицю для матриці

Алгоритм такий самий, як і для випадку «два на два».

Зворотну матрицю знайдемо за формулою: де - транспонована матриця алгебраїчних доповнень відповідних елементів матриці .

1) Знаходимо визначник матриці.

Тут визначник розкритий по першому рядку.

Також не забуваємо, що , отже, все нормально - зворотна матриця існує.

2) Знаходимо матрицю мінорів.

Матриця мінорів має розмірність «три на три» , і нам потрібно знайти дев'ять чисел.

Я докладно розгляну пару мінорів:

Розглянемо наступний елемент матриці:

ДУМКОВО викреслюємо рядок і стовпець, в якому знаходиться даний елемент:

Чотири числа, що залишилися, записуємо в визначник «два на два»

Цей визначник «два на два» та є мінором даного елемента. Його потрібно обчислити:


Все, мінор знайдено, записуємо його в нашу матрицю мінорів:

Як ви, напевно, здогадалися, необхідно вирахувати дев'ять визначників «два на два». Процес, звичайно, моторошний, але випадок не найважчий, буває гіршим.

Ну і для закріплення – знаходження ще одного мінору у картинках:

Інші мінори спробуйте вирахувати самостійно.

Остаточний результат:
- матриця мінорів відповідних елементів матриці.

Те, що всі мінори вийшли негативними – чиста випадковість.

3) Знаходимо матрицю алгебраїчних доповнень.

У матриці мінорів необхідно ЗМІНИТИ ЗНАКИсуворо у таких елементів:

В даному випадку:

Знаходження зворотної матриці для матриці «чотири на чотири» не розглядаємо, оскільки таке завдання може дати лише викладач-садист (щоб студент вирахував один визначник «чотири на чотири» та 16 визначників «три на три»). У моїй практиці зустрівся лише один такий випадок, і замовник контрольної роботизаплатив за мої муки досить дорого =).

У ряді підручників, методик можна зустріти дещо інший підхід до знаходження зворотної матриці, проте я рекомендую користуватися саме вищевикладеним алгоритмом рішення. Чому? Тому що ймовірність заплутатися у обчисленнях і знаках набагато менше.