Знайти ранг матриці з п'ятьма стовпцями. Обчислення рангу матриці за допомогою елементарних перетворень

Нехай A - матриця розмірів m\times n, а k - натуральне число, що не перевищує m і n : k\leqslant\min\(m;n\). Мінором k-го порядкуматриці A називається визначник матриці k-го порядку, утвореної елементами, що стоять на перетині довільно вибраних k рядків і k стовпців матриці A . Позначаючи мінори, номери вибраних рядків будемо вказувати верхніми індексами, а вибраних стовпців - нижніми, розташовуючи їх за зростанням.

Приклад 3.4.Записати мінори різних порядків матриці

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)!.

Рішення.Матриця A має розміри 3\times4. Вона має: 12 мінорів 1-го порядку, наприклад, мінор M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 мінорів 2-го порядку, наприклад, M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 мінори 3-го порядку, наприклад,

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

У матриці A розмірів m\times n мінор r-го порядку називається базиснимякщо він відмінний від нуля, а всі мінори (r+1)-ro порядку дорівнюють нулю або їх взагалі не існує.

Рангом матриціназивається порядок базисного мінору. У нульовій матриці базового мінору немає. Тому ранг нульової матриці, за визначенням вважають рівним нулю. Ранг матриці A позначається \operatorname(rg)A.

Приклад 3.5.Знайти всі базисні мінори та ранг матриці

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\0&2&2&3\0&0&0&0\end(pmatrix)!.

Рішення.Всі мінори третього порядку даної матриці дорівнюють нулю, так як у цих визначників третій рядок нульовий. Тому базисним може бути лише мінор другого порядку, розташований у перших двох рядках матриці. Перебираючи 6 можливих мінорів, відбираємо відмінні від нуля

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Кожен із цих п'яти мінорів є базисним. Отже, ранг матриці дорівнює 2.

Зауваження 3.2

1. Якщо в матриці всі мінори k-го порядку дорівнюють нулю, то дорівнюють нулю і мінори більш високого порядку. Справді, розкладаючи мінор (k+1)-ro порядку за будь-яким рядком, отримуємо суму творів елементів цього рядка на мінори k-го порядку, а вони дорівнюють нулю.

2. Ранг матриці дорівнює найбільшому порядку відмінного від нуля мінора цієї матриці.

3. Якщо квадратна матриця невироджена, її ранг дорівнює її порядку. Якщо квадратна матриця вироджена, її ранг менше її порядку.

4. Для рангу застосовуються також позначення \operatorname(Rg)A,~ \operatorname(rang)A,~ \operatorname(rank)A.

5. Ранг блокової матрицівизначається як ранг звичайної (числової) матриці, тобто. не зважаючи на її блокову структуру. При цьому ранг блокової матриці не менший за ранги її блоків: \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)Aі \operatorname(rg)(A\mid B)\geqslant\operatorname(rg)Bоскільки всі мінори матриці A (або B ) є також мінорами блокової матриці (A\mid B) .

Теореми про базисний мінор і ранг матриці

Розглянемо основні теореми, що виражають властивості лінійної залежності та лінійної незалежності стовпців (рядків) матриці.

Теорема 3.1 про базисний мінор.У довільній матриці A кожен стовпець (рядок) є лінійною комбінацією стовпців (рядків), в яких розташований базовий мінор.

Дійсно, без обмеження спільності припускаємо, що в матриці A розмірів m\times n базисний мінор розташований в перших рядках r і перших стовпцях r. Розглянемо визначник

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

який отримано приписуванням до базисного мінору матриці A відповідних елементів s-йрядки та k-го стовпця. Зазначимо, що за будь-яких 1\leqslant s\leqslant mі цей визначник дорівнює нулю. Якщо s\leqslant r або k\leqslant r , то визначник D містить два однакові рядки або два однакові стовпці. Якщо ж s>r і k>r то визначник D дорівнює нулю, так як є мінором (r+l)-ro порядку. Розкладаючи визначник за останнім рядком, отримуємо

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

де D_(r+1\,j) - алгебраїчні доповненняелементів останнього рядка. Зауважимо, що D_(r+1\,r+1)\ne0 , оскільки це базисний мінор. Тому

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), де \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)), ~j=1,2,\ldots,r.

\begin(pmatrix)a_(1k)\\vdots\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\vdots\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

тобто. k-й стовпець (за будь-якого 1\leqslant k\leqslant n) є лінійна комбінація стовпців базисного мінору, що потрібно було довести.

Теорема про базисному мінору служить докази наступних важливих теорем.

Умова рівності нулю визначника

Теорема 3.2 (необхідне та достатня умоварівності нулю визначника).Для того щоб визначник дорівнював нулю необхідно і достатньо, щоб один з його стовпців (один з його рядків) був лінійною комбінацією інших стовпців (рядків).

Насправді, необхідність випливає з теореми про базисний мінор. Якщо визначник квадратної матриці n-го порядку дорівнює нулю, її ранг менше n , тобто. хоча б один стовпець не входить до базисного мінору. Тоді цей обраний стовпець теоремі 3.1 є лінійною комбінацією стовпців, в яких розташований базисний мінор. Додаючи, за потреби, до цієї комбінації інші стовпці з нульовими коефіцієнтами, отримуємо, що обраний стовпець є лінійна комбінація інших стовпців матриці. Достатність випливає із властивостей визначника. Якщо, наприклад, останній стовпець A_n визначника \det(A_1~A_2~\cdots~A_n)лінійно виражається через інші

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\dot A_(n-1),

то додаючи A_n стовпець A_1 , помножений на (-\lambda_1) , потім стовпець A_2 , помножений на (-\lambda_2) , і т.д. стовпець A_(n-1) , помножений на (-\lambda_(n-1)) , отримаємо визначник \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o)з нульовим стовпцем, що дорівнює нулю (властивість 2 визначника).

Інваріантність рангу матриці при елементарних перетвореннях

Теорема 3.3 (про інваріантність рангу при елементарних перетвореннях). При елементарних перетвореннях стовпців (рядків) матриці її ранг не змінюється.

Справді, нехай. Припустимо, що в результаті одного елементарного перетворення стовпців матриці A отримали матрицю A". Якщо було виконано перетворення I типу (перестановка двох стовпців), то будь-який мінор (r+l)-ro порядку матриці A" або дорівнює відповідному мінору (r+l )-ro порядку матриці A або відрізняється від нього знаком (властивість 3 визначника). Якщо було виконано перетворення II типу (множення стовпця на число \lambda\ne0 ), то будь-який мінор (г+l)-ro порядку матриці A" або дорівнює відповідному мінору (r+l)-ro порядку матриці A, або відрізняється від нього множником \lambda\ne0 (властивість 6 визначника) Якщо було виконано перетворення III типу (додаток до одного стовпця іншого стовпця, помноженого на число \Lambda ), то будь-який мінор (г+1)-го порядку матриці A" або дорівнює відповідному мінору (г+1) -го порядку матриці A (властивість 9 визначника), або дорівнює сумідвох мінорів (r+l)-ro порядку матриці A (властивість 8 визначника). Тому при елементарному перетворенні будь-якого типу всі мінори (r+l)-ro порядку матриці A" дорівнюють нулю, тому що дорівнюють нулю всі мінори (г+l)-ro порядку матриці A. Таким чином, доведено, що при елементарних перетвореннях стовпців ранг матриці не може збільшитися.Так як перетворення, зворотні до елементарних, є елементарними, то ранг матриці при елементарних перетвореннях стовпців не може і зменшитися, тобто не змінюється.

Наслідок 1. Якщо один рядок (стовпець) матриці є лінійною комбінацією інших її рядків (стовпців), то цей рядок (стовпець) можна викреслити з матриці, не змінивши при цьому її рангу.

Справді, такий рядок за допомогою елементарних перетворень можна зробити нульовим, а нульовий рядок не може входити в базовий мінор.

Наслідок 2. Якщо матриця наведена до найпростішого виду (1.7), то

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=r\,.

Дійсно, матриця найпростішого виду (1.7) має базовий мінор r-го порядку.

Наслідок 3. Будь-яка невироджена квадратна матриця є елементарною, тобто будь-яка невироджена квадратна матриця еквівалентна одиничної матриці того ж порядку.

Справді, якщо A – невироджена квадратна матриця n-го порядку, то \operatorname(rg)A=n(Див. п.З зауважень 3.2). Тому, приводячи елементарними перетвореннями матрицю A до найпростішого виду (1.7), отримаємо одиничну матрицю Lambda = E_n , так як \operatorname(rg)A=\operatorname(rg)\Lambda=n(Див. слідство 2). Отже, матриця A еквівалентна поодинокі матриці E_n і може бути отримана з неї в результаті кінцевого числа елементарних перетворень. Це означає, що матриця елементарна.

Теорема 3.4 (про ранг матриці). Ранг матриці дорівнює максимальному числу лінійно незалежних рядків цієї матриці.

Справді, нехай \operatorname(rg)A=r. Тоді матриці A є r лінійно незалежних рядків. Це рядки, в яких розташований базовий мінор. Якби вони були лінійно залежні, то цей мінор дорівнював би нулю по теоремі 3.2, а ранг матриці A не дорівнював би r . Покажемо, що r - максимальне число лінійно незалежних рядків, тобто. будь-які p рядків лінійно залежні при p>r. Справді, утворюємо з цих рядків матрицю B . Оскільки матриця B - це частина матриці A, то \operatorname(rg)B\leqslant \operatorname(rg)A=r

Значить, хоча б один рядок матриці B не входить у базовий мінор цієї матриці. Тоді за теоремою про базисному мінорі вона дорівнює лінійній комбінації рядків, у яких розташований базисний мінор. Отже, рядки матриці B лінійно залежать. Таким чином, у матриці A не більше, ніж r лінійно незалежних рядків.

Наслідок 1. Максимальна кількість лінійно незалежних рядків у матриці дорівнює максимальному числу лінійно незалежних стовпців:

\operatorname(rg)A=\operatorname(rg)A^T.

Це твердження випливає з теореми 3.4, якщо її застосувати до рядків транспонованої матриці та врахувати, що при транспонуванні мінори не змінюються (властивість 1 визначника).

Наслідок 2. При елементарних перетвореннях рядків матриці лінійна залежність (або лінійна незалежність) будь-якої системи шпальт цієї матриці зберігається.

Справді, виберемо будь-які k стовпців даної матриці A і складемо їх матрицю B . Нехай в результаті елементарних перетворень рядків матриці A була отримана матриця A", а в результаті тих же перетворень рядків матриці B була отримана матриця B". За теоремою 3.3 \operatorname(rg)B"=\operatorname(rg)B. Отже, якщо шпальти матриці B були лінійно незалежні, тобто. k = \ operatorname (rg) B(див. слідство 1), то і стовпці матриці B також лінійно незалежні, так як k=\operatorname(rg)B". Якщо стовпці матриці B були лінійно залежні (k>\operatorname(rg)B), то і стовпці матриці B" також лінійно залежні (k>\operatorname(rg)B"). Отже, для будь-яких шпальт матриці A лінійна залежність або лінійна незалежність зберігається при елементарних перетвореннях рядків.

Зауваження 3.3

1. З огляду на слідство 1 теореми 3.4 властивість стовпців, зазначене у слідстві 2, справедливо й у будь-який системи рядків матриці, якщо елементарні перетворення виконуються лише з її стовпцями.

2. Наслідок 3 теореми 3.3 можна уточнити так: Будь-яку невироджену квадратну матрицю, використовуючи елементарні перетворення лише її рядків (чи її стовпців), можна призвести до одиничної матриці тієї самої порядку.

Насправді, використовуючи лише елементарні перетворення рядків, будь-яку матрицю A можна призвести до спрощеного вигляду \ Lambda (рис. 1.5) (див. теорему 1.1). Оскільки матриця A невироджена (\det(A)\ne0) , її стовпці лінійно незалежні. Значить, стовпці матриці Lambda також лінійно незалежні (наслідок 2 теореми 3.4). Тому спрощений вигляд Lambda невиродженої матриці A збігається з її найпростішим виглядом (рис. 1.6) і являє собою одиничну матрицю Lambda = E (див. наслідок 3 теореми 3.3). Таким чином, перетворюючи лише рядки невиродженої матриці, її можна привести до одиничної. Аналогічні міркування справедливі й у елементарних перетворень стовпців невиродженої матриці.

Ранге твору та суми матриць

Теорема 3.5 (про ранг добутку матриць). Ранг твору матриць не перевищує рангу множників:

\operatorname(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatorname(rg)A,\operatorname(rg)B\).

Справді, нехай матриці A та B мають розміри m\times p та p\times n . Припишемо до матриці A матрицю C=AB\colon\,(A\mid C). Зрозуміло, що \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)оскільки C - це частина матриці (A\mid C) (див. п.5 зауважень 3.2). Зауважимо, що кожен стовпець C_j згідно операції множення матриць є лінійною комбінацією стовпців A_1,A_2,\ldots,A_pматриці A=(A_1~cdots~A_p):

C_(j)=A_1cdot b_(1j)+A_2cdot b_(2j)+ldots+A_(p)cdot b_pj),quad j=1,2,ldots,n.

Такий стовпець можна викреслити з матриці (A\mid C), при цьому її ранг не зміниться (наслідок 1 теореми 3.3). Викреслюючи всі стовпці матриці C, отримуємо: \operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Звідси, \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)(A\mid C)=\operatorname(rg)A. Аналогічно можна довести, що одночасно виконується умова \operatorname(rg)C\leqslant\operatorname(rg)Bі зробити висновок про справедливість теореми.

Слідство. Якщо A невироджена квадратна матриця, то \operatorname(rg)(AB)= \operatorname(rg)Bі \operatorname(rg)(CA)=\operatorname(rg)C, тобто. ранг матриці не змінюється при множенні її зліва або праворуч на невироджену квадратну матрицю.

Теорема 3.6 про ранг суми матриць. Ранг суми матриць не перевищує суми рангів доданків:

\operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B.

Справді, складемо матрицю (A+B\mid A\mid B). Зауважимо, кожен стовпець матриці A+B є лінійна комбінація стовпців матриць A і B . Тому \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)= \operatorname(rg)(A\mid B). Враховуючи, що кількість лінійно незалежних стовпців у матриці (A\mid B) не перевищує \operatorname(rg)A+\operatorname(rg)B, a \operatorname(rg)(A+B)\leqslant \operatorname(rg)(A+B\mid A\mid B)(див. п.5 зауважень 3.2), отримуємо нерівність, що доводиться.

Елементарниминазиваються такі перетворення матриці:

1) перестановка двох будь-яких рядків (або стовпців),

2) множення рядка (або стовпця) на відмінне від нуля число,

3) додаток до одного рядка (або стовпця) іншого рядка (або стовпця), помноженого на деяке число.

Дві матриці називаються еквівалентнимиякщо одна з них виходить з іншої за допомогою кінцевої множини елементарних перетворень.

Еквівалентні матриці є, взагалі кажучи, рівними, та їх ранги рівні. Якщо матриці А і В еквівалентні, це записується так: A ~ B.

Канонічноїматрицею називається матриця, у якої на початку головної діагоналі стоять поспіль кілька одиниць (число яких може дорівнювати нулю), а всі інші елементи дорівнюють нулю, наприклад,

За допомогою елементарних перетворень рядків та стовпців будь-яку матрицю можна призвести до канонічної. Ранг канонічної матриці дорівнює числу одиниць її головної діагоналі.

Приклад 2Знайти ранг матриці

А =

та привести її до канонічного вигляду.

Рішення.З другого рядка віднімемо перший і переставимо ці рядки:

.

Тепер з другого та третього рядків віднімемо перший, помножений відповідно на 2 і 5:

;

з третього рядка віднімемо перший; отримаємо матрицю

В = ,

яка еквівалентна матриці А, оскільки отримана з неї за допомогою кінцевої множини елементарних перетворень. Очевидно, що ранг матриці дорівнює 2, а отже, і r(A)=2. Матрицю легко привести до канонічної. Віднімаючи перший стовпець, помножений на відповідні числа, з усіх наступних, звернемо в нуль всі елементи першого рядка, крім першого, причому елементи інших рядків не змінюються. Потім, віднімаючи другий стовпець, помножений на відповідні числа з усіх наступних, звернемо в нуль всі елементи другого рядка, крім другого, і отримаємо канонічну матрицю:

.

Теорема Кронекера - Капелі- критерій спільності системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

Для того щоб лінійна системабула спільною, необхідно і достатньо, щоб ранг розширеної матриці цієї системи був дорівнює рангуїї основна матриця.

Доказ (умови спільності системи)

Необхідність

Нехай системаспільна. Тоді є числа такі, що . Отже, стовпець є лінійною комбінацією стовпців матриці. З того, що ранг матриці не зміниться, якщо із системи його рядків (стовпців) викреслити або приписати рядок (стовпець), який є лінійною комбінацією інших рядків (стовпців) випливає, що .

Достатність

Нехай. Візьмемо в матриці якийсь базовий мінор. Так як, то він і буде базисним мінором і матриці. Тоді, відповідно до теореми про базисне міноре, Останній стовпець матриці буде лінійною комбінацією базових стовпців, тобто стовпців матриці . Отже, стовпець вільних членів системи є лінійною комбінацією стовпців матриці.

Наслідки

Кількість основних змінних системиі рангу системи.

Спільна системабуде визначено (її рішення єдине), якщо ранг системи дорівнює числу всіх її змінних.

Однорідна система рівнянь

Пропозиція15 . 2 Однорідна система рівнянь

завжди є спільною.

Доведення. Для цієї системи набір чисел , , є рішенням.

У цьому розділі ми будемо використовувати матричний запис системи: .

Пропозиція15 . 3 Сума розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь є розв'язком цієї системи. Рішення, помножене на число, є рішенням.

Доведення. Нехай і є рішеннями системи . Тоді і . Нехай. Тоді

Так як, то - рішення.

Нехай - довільне число, . Тоді

Так як, то - рішення.

Слідство15 . 1 Якщо однорідна система лінійних рівняньмає ненульове рішення, вона має нескінченно багато різних рішень.

Справді, помножуючи ненульове рішення на різні числа, отримуватимемо різні рішення.

Визначення15 . 5 Говоритимемо, що рішення системи утворюють фундаментальну систему рішень, якщо стовпці утворюють лінійно незалежну систему та будь-яке рішення системи є лінійною комбінацією цих стовпців.

А також розглянемо важливий практичний додаток теми: дослідження системи лінійних рівнянь на сумісність.

Що таке ранг матриці?

У гумористичному епіграфі статті міститься велика частка істини. Саме слово «ранг» у нас зазвичай асоціюється з деякою ієрархією, найчастіше, зі службовими сходами. Чим більше людина знань, досвіду, здібностей, блату тощо. – тим вища його посада та спектр можливостей. Висловлюючись молодіжним, під рангом мають на увазі загальний ступінь «крутості».

І брати наші математичні живуть за тими самими принципами. Виведемо на прогулянку кілька довільних нульових матриць:

Замислимося, якщо у матриці одні нулі, то про який ранг може йтися? Усім знайомий неформальний вираз «повний нуль». У суспільстві матриць все так само:

Ранг нульової матрицібудь-яких розмірів дорівнює нулю.

Примітка : нульова матриця позначається грецькою літерою«тета»

З метою кращого розуміння рангу матриці тут і далі я залучатиму на допомогу матеріали аналітичної геометрії. Розглянемо нульовий векторнашого тривимірного простору, який не задає певного напряму і не є корисним для побудови афінного базису. З точки зору алгебри координати даного вектора записані в матрицю«один на три» та логічно (У зазначеному геометричному сенсі)вважати, що ранг цієї матриці дорівнює нулю.

Тепер розглянемо кілька ненульових векторів-стовпціві векторів-рядок:


У кожному екземплярі є хоча б один ненульовий елемент, і це вже дещо!

Ранг будь-якого ненульового вектора-рядки (вектора-стовпця) дорівнює одиниці

І взагалі - якщо у матриці довільних розмірівє хоча б один ненульовий елемент, то її ранг не меншеодиниці.

Алгебраїчні вектори-рядки та вектори-стовпці певною мірою абстрактні, тому знову звернемося до геометричної асоціації. Ненульовий векторзадає цілком певний напрямок у просторі та годиться для побудови базисутому ранг матриці будемо вважати рівним одиниці.

Теоретична довідка : у лінійній алгебрі вектор – це елемент векторного простору (визначається через 8 аксіом), який, зокрема, може являти собою впорядкований рядок (або стовпець) дійсних чисел з певними для них операціями складання та множення на дійсне число. З більш детальною інформацієюпро вектори можна ознайомитись у статті Лінійні перетворення.

лінійно залежні(Виражаються один через одного). З геометричної точки зору до другого рядка записані координати колінеарного вектора , який анітрохи не просунув справу у побудові тривимірного базису, будучи в цьому сенсі зайвим. Таким чином, ранг цієї матриці теж дорівнює одиниці.

Перепишемо координати векторів у стовпці ( транспонуємо матрицю):

Що змінилося з погляду рангу? Нічого. Стовпці пропорційні, отже, ранг дорівнює одиниці. До речі, зверніть увагу, що всі три рядки також пропорційні. Їх можна ототожнити з координатами трьохколінеарних векторів площини, з яких тільки одинкорисний для побудови «плоського» базису. І це повністю узгоджується з нашим геометричним змістомрангу.

З наведеного прикладу слід важливе твердження:

Ранг матриці по рядках дорівнює рангу матриці за стовпцями. Про це я вже трохи згадував на уроці про ефективні методи обчислення визначника.

Примітка : з лінійної залежності рядків випливає лінійна залежність стовпців (і навпаки). Але з метою економії часу, та й через звичку я майже завжди говоритиму про лінійну залежність рядків.

Продовжимо дресирувати нашого улюбленого вихованця. Додамо до матриці третій рядок координати ще одного колінеарного вектора :

Чи допоміг він нам у побудові тривимірного базису? Звичайно, ні. Всі три вектори гуляють туди-сюди однією доріжкою, і ранг матриці дорівнює одиниці. Можна взяти скільки завгодно колінеарних векторів, скажімо, 100, укласти їх координати в матрицю «сто на три» і ранг такого хмарочоса все одно залишиться поодиноким.

Познайомимося з матрицею, рядки якої лінійно незалежні. Пара неколлінеарних векторів придатна для побудови тривимірного базису. Ранг цієї матриці дорівнює двом.

А чому дорівнює ранг матриці? Рядки начебто не пропорційні ..., значить, за ідеєю трьом. Однак ранг цієї матриці теж дорівнює двом. Я склав перші два рядки і записав результат унизу, тобто лінійно висловивтретій рядок через перші два. Геометрично рядки матриці відповідають координатам трьох компланарних векторів, причому серед цієї трійки є пара неколлінеарних товаришів.

Як бачите, лінійна залежністьу розглянутій матриці не очевидна, і сьогодні ми навчимося виводити її «на чисту воду».

Думаю, багато хто здогадується, що таке ранг матриці!

Розглянемо матрицю, рядки якої лінійно незалежні. Вектори утворюють афінний базис, і ранг цієї матриці дорівнює трьом.

Як ви знаєте, будь-який четвертий, п'ятий, десятий вектор тривимірного простору лінійно виражатиметься через базисні вектори. Тому, якщо до матриці додати будь-яку кількість рядків, то її ранг все одно дорівнюватиме трьом.

Аналогічні міркування можна провести для матриць більших розмірів (зрозуміло, вже без геометричного змісту).

Визначення : ранг матриці – це максимальна кількістьлінійно незалежних рядків. Або: ранг матриці – це максимальна кількість лінійно незалежних стовпців. Так, їхня кількість завжди збігається.

З вищесказаного також випливає важливий практичний орієнтир: ранг матриці не перевищує її мінімальної розмірності. Наприклад, у матриці чотири рядки та п'ять стовпців. Мінімальна розмірність - чотири, отже, ранг даної матриці явно не перевищить 4.

Позначення: у світовій теорії та практиці немає загальноприйнятого стандарту для позначення рангу матриці, найчастіше можна зустріти: – як кажуть, англієць пише одне, німець інше. Тому давайте за мотивами відомого анекдоту про американське та російське пекло позначати ранг матриці рідним словом. Наприклад: . А якщо матриця «безіменна», яких зустрічається дуже багато, можна просто записати .

Як знайти ранг матриці за допомогою мінорів?

Якби у бабусі нас у матриці був п'ятий стовпець, слід було б обчислити ще один мінор 4-го порядку («сині», «малиновий» + 5-й стовпець).

Висновок: максимальний порядок ненульового мінору дорівнює трьом, отже, .

Можливо, не всі остаточно осмислили цю фразу: мінор 4-го порядку дорівнює нулю, але серед мінорів 3-го порядку знайшовся ненульовий - тому максимальний порядок ненульовогомінору і дорівнює трьом.

Виникає питання, а чому б одразу не обчислити визначник? Ну, по-перше, у більшості завдань матриця не квадратна, а по-друге, навіть якщо у вас і вийде ненульове значення, то завдання з високою ймовірністю забракують, оскільки воно зазвичай має на увазі стандартне рішення «знизу нагору». А в розглянутому прикладі нульовий визначник 4-го порядку взагалі дозволяє стверджувати, що ранг матриці лише менше чотирьох.

Повинен зізнатися, розібране завдання я придумав сам, щоб якісніше пояснити метод мінорів. У реальній практиці все простіше:

Приклад 2

Знайти ранг матриці методом обрамляють мінорів

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Коли алгоритм працює найшвидше? Повернемося до тієї ж матриці «чотири на чотири» . Очевидно, рішення буде найкоротшим у разі «хороших» кутових мінорів:

І, якщо , то , інакше – .

Роздуми зовсім не гіпотетичні – існує чимало прикладів, де вся справа і обмежується лише кутовими мінорами.

Однак у ряді випадків ефективніший і кращий інший спосіб:

Як знайти ранг матриці за допомогою методу Гауса?

Параграф розрахований на читачів, які вже знайомі з методом Гаусаі хоч трохи набили на ньому руку.

З технічної точки зору метод не відрізняється новизною:

1) за допомогою елементарних перетворень наводимо матрицю до східчастого вигляду;

2) ранг матриці дорівнює кількості рядків.

Цілком зрозуміло, що використання методу Гауса не змінює рангу матриці, І суть тут дуже проста: згідно з алгоритмом, в ході елементарних перетворень виявляються і видаляються всі зайві пропорційні (лінійно залежні) рядки, в результаті чого залишається «сухий залишок» – максимальна кількість лінійно незалежних рядків.

Перетворимо стару знайому матрицю з координатами трьох колінеарних векторів:

(1) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. До третього рядка додали перший рядок.

(2) Нульові рядки видаляємо.

Таким чином, залишився один рядок, отже, . Що й казати, це набагато швидше, ніж розрахувати дев'ять нульових мінорів 2-го порядку і лише потім зробити висновок.

Нагадую, що в самій по собі алгебраїчної матрицінічого міняти не можна, і перетворення виконуються лише з метою з'ясування рангу! До речі, зупинімося ще раз на питанні, чому не можна? Вихідна матриця несе інформацію, яка принципово відрізняється від інформації матриці та рядка . В деяких математичні моделі(без перебільшення) різниця в одному числі може бути питанням життя та смерті. …Згадалися шкільні вчителі математики початкових та середніх класів, які безжально зрізали оцінку на 1-2 бали за найменшу неточність чи відхилення від алгоритму. І було дуже прикро, коли замість, здавалося б, гарантованої «п'ятірки» виходило «добре» або ще гірше. Розуміння прийшло набагато пізніше – а як інакше довірити людині супутники, ядерні боєголовки та електростанції? Але ви не турбуйтеся, я не працюю у цих сферах =)

Перейдемо до змістовніших завдань, де також познайомимося з важливими обчислювальними прийомами методу Гауса:

Приклад 3

Знайти ранг матриці за допомогою елементарних перетворень

Рішення: дана матриця «чотири на п'ять», значить, її ранг свідомо не більше 4

У першому стовпці, відсутнє 1 або –1, отже, необхідні додаткові дії, створені задля отримання хоча б однієї одиниці. За весь час існування сайту мені неодноразово запитували: «Чи можна в ході елементарних перетворень переставляти стовпці?». Ось тут - переставили перший-другий стовпець, і все чудово! У більшості завдань, де використовується метод Гауса, стовпці справді переставляти можна. АЛЕ НЕ ПОТРІБНО. І справа навіть не в можливій плутанині зі змінними, справа в тому, що в класичному курсі навчання вищої математики дана діяЗазвичай не розглядається, тому такий реверанс подивляться ДУЖЕ криво (або навіть змусять все переробляти).

Другий момент стосується чисел. У результаті рішення корисно керуватися наступним емпіричним правилом: елементарні перетворення наскільки можна зменшувати числа матриці. Адже з одиницею-двійкою-трійкою працювати значно легше, ніж, наприклад, з 23, 45 та 97. І перша дія спрямована не лише на отримання одиниці у першому стовпці, а й на ліквідацію чисел 7 та 11.

Спочатку повне рішення, потім коментарі:

(1) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. До третього рядка додали перший рядок, помножений на -3. І до купи: до 4-го рядка додали 1-й рядок, помножений на -1.

(2) Останні три рядки пропорційні. Видалили 3-й і 4-й рядки, другий рядок перемістили на перше місце.

(3) До другого рядка додали перший рядок, помножений на –3.

У приведеній до ступінчастого виду матриці два рядки.

Відповідь:

Тепер ваша черга мучити матрицю «чотири на чотири»:

Приклад 4

Знайти ранг матриці методом Гауса

Нагадую, що метод Гаусане передбачає однозначної жорсткості, і ваше рішення, швидше за все, відрізнятиметься від мого рішення. Короткий зразокоформлення завдання наприкінці уроку.

Який метод використовуватиме знаходження рангу матриці?

Насправді часто взагалі сказано, який метод необхідно використовуватиме знаходження рангу. У такій ситуації слід аналізувати умову – для одних матриць раціональніше провести рішення через мінори, а для інших значно вигідніше застосувати елементарні перетворення:

Приклад 5

Знайти ранг матриці

Рішення: перший спосіб якось відразу відпадає =)

Трохи вище я радив не чіпати стовпці матриці, але коли є нульовий стовпець, або пропорційні/збігаються стовпці, то все ж таки варто провести ампутацію:

(1) П'ятий стовпець нульовий, видалимо його з матриці. Таким чином, ранг матриці не більший за чотири. Перший рядок помножили на –1. Це ще одна фірмова фішка методу Гауса, що перетворює наступну дію на приємну прогулянку:

(2) До всіх рядків, починаючи з другого, додали перший рядок.

(3) Перший рядок помножили на –1, третій рядок розділили на 2, четвертий рядок розділили на 3. До п'ятого рядка додали другий рядок, помножений на –1.

(4) До п'ятого рядка додали третій рядок, помножений на -2.

(5) Останні два рядки пропорційні, видаляємо п'яту.

В результаті отримано 4 рядки.

Відповідь:

Стандартна п'ятиповерхівка для самостійного дослідження:

Приклад 6

Знайти ранг матриці

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

Слід зазначити, що словосполучення ранг матриці не так часто зустрінеш на практиці, і в більшості завдань можна взагалі обійтися без нього. Але існує одне завдання, де поняття, що розглядається, є головним дійовою особою, і на закінчення статті ми розглянемо цей практичний додаток:

Як дослідити систему лінійних рівнянь на сумісність?

Нерідко крім рішення системи лінійних рівняньза умовою попередньо потрібно досліджувати її на спільність, тобто довести, що будь-яке рішення взагалі існує. Ключову роль у такій перевірці грає теорема Кронекера-Капеллі, яку я сформулюю у необхідному вигляді:

Якщо ранг матриці системидорівнює рангу розширеної матриці системи, то система спільна, причому, якщо це число збігається з кількістю невідомих, то рішення єдине.

Таким чином, для дослідження системи на спільність потрібно перевірити рівність , де - матриця системи(Згадуємо термінологію з уроку Метод Гауса), а – розширена матриця системи(Тобто матриця з коефіцієнтами при змінних + стовпець вільних членів).

Нехай задана деяка матриця:

.

Виділимо у цій матриці довільних рядків та довільних стовпців
. Тоді визначник -го порядку, складений з елементів матриці
, розташованих на перетині виділених рядків та стовпців, називається мінором -го порядку матриці
.

Визначення 1.13.Рангом матриці
називається найбільший порядок мінору цієї матриці, відмінного від нуля.

Для обчислення рангу матриці слід розглядати всі її мінори найменшого порядку і, якщо хоч один із них відмінний від нуля, переходити до розгляду мінорів старшого порядку. Такий підхід до визначення рангу матриці називається методом облямівки (або методом облямівних мінорів).

Завдання 1.4.Методом обрамляють мінорів визначити ранг матриці
.

.

Розглянемо оздоблення першого порядку, наприклад,
. Потім перейдемо до розгляду деякого облямування другого порядку.

Наприклад,
.

Нарешті, проаналізуємо оздоблення третього порядку.

.

Таким чином, найвищий порядок мінору, відмінного від нуля, дорівнює 2, отже,
.

При розв'язанні задачі 1.4 можна помітити, що ряд мінерів другого порядку, що облямовують, відмінні від нуля. У цьому має місце таке поняття.

Визначення 1.14.Базовим мінором матриці називається всякий, відмінний від нуля мінор, порядок якого дорівнює рангу матриці.

Теорема 1.2.(Теорема про базисний мінор). Базові рядки (базисні стовпці) лінійно незалежні.

Зауважимо, що рядки (стовпці) матриці лінійно залежні тоді і лише тоді, коли хоча б одну з них можна представити як лінійну комбінацію інших.

Теорема 1.3.Число лінійно незалежних рядків матриці дорівнює числу лінійно незалежних стовпців матриці і дорівнює рангу матриці.

Теорема 1.4.(Необхідна та достатня умова рівності нулю визначника). Для того, щоб визначник -го порядку дорівнював нулю, необхідно і достатньо, щоб його рядки (стовпці) були лінійно залежні.

Обчислення рангу матриці, що ґрунтується на використанні його визначення, є надто громіздкою операцією. Особливо це суттєвим для матриць високих порядків. У зв'язку з цим на практиці ранг матриці обчислюють на підставі застосування теорем 10.2 - 10.4, а також використання понять еквівалентності матриць та елементарних перетворень.

Визначення 1.15.Дві матриці
і називаються еквівалентними, якщо їх ранги рівні, тобто.
.

Якщо матриці
і еквівалентні, то відзначають
 .

Теорема 1.5.Ранг матриці змінюється від елементарних перетворень.

Будемо називати елементарними перетвореннями матриці
будь-які з наступних дій над матрицею:

Заміну рядків стовпцями, а стовпців відповідними рядками;

Перестановка рядків матриці;

Викреслювання рядка, всі елементи якого дорівнюють нулю;

Розмноження будь-якого рядка на число, відмінне від нуля;

Додаток до елементів одного рядка відповідних елементів іншого рядка помножених на те саме число
.

Наслідок теореми 1.5.Якщо матриця
отримана з матриці за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень, то матриці
і еквівалентні.

При обчисленні рангу матриці її слід навести за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень до трапецієподібної форми.

Визначення 1.16.Трапецієподібною будемо називати таку форму представлення матриці, коли в мінорі, що облямовує, найбільшого порядку відмінного від нуля всі елементи, що стоять нижче діагональних, звертаються в нуль. Наприклад:

.

Тут
, елементи матриці
звертаються у нуль. Тоді форма представлення такої матриці буде трапецієподібною.

Як правило, матриці до трапецієподібної форми наводять за допомогою алгоритму Гаусса. Ідея алгоритму Гауса полягає в тому, що, помножуючи елементи першого рядка матриці на відповідні множники, домагаються, щоб усі елементи першого стовпця, розташовані нижче елемента
, перетворювалися б на нуль. Потім, помножуючи елементи другого стовпця на відповідні множники, домагаються, щоб усі елементи другого стовпця, розташовані нижче елемента
, перетворювалися б на нуль. Далі надходять аналогічно.

Завдання 1.5.Визначити ранг матриці шляхом зведення її до трапецієподібної форми.

.

Для зручності застосування алгоритму Гауса можна поміняти місцями перший і третій рядки.








.

Очевидно, що тут
. Однак, для приведення результату до більш витонченого вигляду можна продовжити перетворення над стовпцями.










.

Число r називається рангом матриці A якщо:
1) в матриці A є мінор порядку r відмінний від нуля;
2) всі мінори порядку (r+1) і вище, якщо вони існують, дорівнюють нулю.
Інакше ранг матриці – це найвищий порядок мінору, відмінного від нуля.
Позначення: rangA, rA або r.
З визначення випливає, що r – ціле додатне число. Для нуль-матриці вважають ранг рівним нулю.

Призначення сервісу. Онлайн-калькулятор призначений для знаходження рангу матриці. При цьому рішення зберігається у форматі Word та Excel. див. приклад рішення.

Інструкція. Виберіть розмір матриці, натисніть Далі.

Визначення. Нехай дана матриця рангу r. Будь-який мінор матриці, відмінний від нуля і має порядок r, називається базисним, а рядки та стовпці його складові – базисними рядками та стовпцями.
Згідно з цим визначенням, матриця A може мати кілька базисних мінорів.

Ранг одиничної матриці E дорівнює n (кількості рядків).

приклад 1 . Дано дві матриці , та їхні мінори , . Який з них можна прийняти як базисний?
Рішення. Мінор M 1 =0, тому він не може бути базовим для жодної з матриць. Мінор M 2 =-9≠0 і має порядок 2, значить його можна прийняти як базисні матриці A або / і B за умови, що вони мають ранги, рівні 2 . Оскільки detB=0 (як визначник з двома пропорційними стовпцями), то rangB=2 і M 2 можна взяти за базисний мінор матриці B. Ранг матриці A дорівнює 3, тому що detA=-27≠0 і, отже, порядок базисного мінору цієї матриці повинен дорівнювати 3, тобто M 2 не є базисним для матриці A . Зазначимо, що у матриці A єдиний базисний мінор, що дорівнює визначнику матриці A .

Теорема (про базисний мінор). Будь-який рядок (стовпець) матриці є лінійною комбінацією її базисних рядків (стовпців).
Наслідки з теореми.

1. Будь-які (r+1) стовпців (рядків) матриці рангу r лінійно залежні.
2. Якщо ранг матриці менше числаїї рядків (стовпців), то її рядки (стовпці) лінійно залежні. Якщо rangA дорівнює числу її рядків (стовпців), то рядки (стовпці) лінійно незалежні.
3. Визначник матриці A дорівнює нулю і тоді, коли її рядки (стовпці) лінійно залежні.
4. Якщо до рядка (стовпця) матриці додати інший рядок, (стовпець) помножений на будь-яке число, відмінне від нуля, то ранг матриці не зміниться.
5. Якщо в матриці закреслити рядок (стовпець), що є лінійною комбінацією інших рядків (стовпців), то ранг матриці не зміниться.
6. Ранг матриці дорівнює максимальному числу її лінійно незалежних рядків (стовпців).
7. Максимальна кількість лінійно незалежних рядків збігається з максимальним числом лінійно незалежних стовпців.

Приклад 2 . Знайти ранг матриці .
Рішення. Виходячи з визначення рангу матриці, шукатимемо мінор найвищого порядку, відмінний від нуля. Спочатку перетворимо матрицю до більш простому вигляду. Для цього перший рядок матриці помножимо на (-2) і додамо до другого, потім її помножимо на (-1) і додамо до третього.