Елементарниминазиваються такі перетворення матриці:

1) перестановка двох будь-яких рядків (або стовпців),

2) множення рядка (або стовпця) на відмінне від нуля число,

3) додаток до одного рядка (або стовпця) іншого рядка (або стовпця), помноженого на деяке число.

Дві матриці називаються еквівалентнимиякщо одна з них виходить з іншої за допомогою кінцевої множини елементарних перетворень.

Еквівалентні матриці є, взагалі кажучи, рівними, та їх ранги рівні. Якщо матриці А і В еквівалентні, це записується так: A ~ B.

Канонічноїматрицею називається матриця, у якої на початку головної діагоналі стоять поспіль кілька одиниць (число яких може дорівнювати нулю), а всі інші елементи дорівнюють нулю, наприклад,

За допомогою елементарних перетворень рядків та стовпців будь-яку матрицю можна призвести до канонічної. Ранг канонічної матриці дорівнює числу одиниць її головної діагоналі.

Приклад 2Знайти ранг матриці

А =

та привести її до канонічного вигляду.

Рішення.З другого рядка віднімемо перший і переставимо ці рядки:

.

Тепер з другого та третього рядків віднімемо перший, помножений відповідно на 2 і 5:

;

з третього рядка віднімемо перший; отримаємо матрицю

В = ,

яка еквівалентна матриці А, оскільки отримана з неї за допомогою кінцевої множини елементарних перетворень. Очевидно, що ранг матриці дорівнює 2, а отже, і r(A)=2. Матрицю легко привести до канонічної. Віднімаючи перший стовпець, помножений на відповідні числа, з усіх наступних, звернемо в нуль всі елементи першого рядка, крім першого, причому елементи інших рядків не змінюються. Потім, віднімаючи другий стовпець, помножений на відповідні числа з усіх наступних, звернемо в нуль всі елементи другого рядка, крім другого, і отримаємо канонічну матрицю:

.

Теорема Кронекера - Капелі- критерій спільності системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

Для того щоб лінійна системабула спільною, необхідно і достатньо, щоб ранг розширеної матриці цієї системи дорівнював рангу її основної матриці.

Доказ (умови спільності системи)

Необхідність

Нехай системаспільна. Тоді є числа такі, що . Отже, стовпець є лінійною комбінацією стовпців матриці. З того, що ранг матриці не зміниться, якщо із системи його рядків (стовпців) викреслити або приписати рядок (стовпець), який є лінійною комбінацією інших рядків (стовпців) випливає, що .

Достатність

Нехай. Візьмемо в матриці якийсь базовий мінор. Так як, то він і буде базисним мінором і матриці. Тоді, відповідно до теореми про базисне міноре, Останній стовпець матриці буде лінійною комбінацією базових стовпців, тобто стовпців матриці . Отже, стовпець вільних членів системи є лінійною комбінацією стовпців матриці.

Наслідки

Кількість основних змінних системиі рангу системи.

Спільна системабуде визначено (її рішення єдине), якщо ранг системи дорівнює числу всіх її змінних.

Однорідна система рівнянь

Пропозиція15 . 2 Однорідна система рівнянь

завжди є спільною.

Доведення. Для цієї системи набір чисел , , є рішенням.

У цьому розділі ми будемо використовувати матричний запис системи: .

Пропозиція15 . 3 Сума розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь є розв'язком цієї системи. Рішення, помножене на число, є рішенням.

Доведення. Нехай і є рішеннями системи . Тоді і . Нехай. Тоді

Так як, то - рішення.

Нехай - довільне число, . Тоді

Так як, то - рішення.

Слідство15 . 1 Якщо однорідна система лінійних рівняньмає ненульове рішення, вона має нескінченно багато різних рішень.

Справді, помножуючи ненульове рішення на різні числа, отримуватимемо різні рішення.

Визначення15 . 5 Говоритимемо, що рішення системи утворюють фундаментальну систему рішень, якщо стовпці утворюють лінійно незалежну систему та будь-яке рішення системи є лінійною комбінацією цих стовпців.

Для того щоб обчислити ранг матриці можна застосувати метод обрамляють мінорів або метод Гаусса. Розглянемо метод Гаусса чи метод елементарних перетворень.

Рангом матриці називають максимальний порядок її мінорів, серед яких є хоча б один, не рівний нулю.

Рангом системи рядків (стовпців) називається максимальна кількістьлінійно незалежних рядків (стовпців) цієї системи.

Алгоритм знаходження рангу матриці методом обрамляють мінорів:

1. Мінор M k-тогопорядку не дорівнює нулю.
2. Якщо обрамляють мінори для мінору M (k+1)-гопорядку, скласти неможливо (тобто матриця містить kрядків або kстовпців), то ранг матриці дорівнює k. Якщо мінори, що облямовують, існують і всі рівні нулю, то ранг дорівнює k. Якщо серед обрамляючих мінорів є хоча б один, не рівний нулю, то пробуємо скласти новий мінор k+2і т.д.

Розберемо алгоритм докладніше. Спочатку розглянемо мінори першого (елементи матриці) порядку матриці A. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то rangA = 0. Якщо є мінори першого порядку (елементи матриці) не рівні нулю M 1 ≠ 0, то ранг rangA ≥ 1.

M 1. Якщо такі мінори є, то вони будуть мінорами другого порядку. Якщо всі мінори обрамляють мінор M 1рівні нулю, то rangA = 1. Якщо є хоч один мінор другого порядку, не рівні нулю M 2 ≠ 0, то ранг rangA ≥ 2.

Перевіримо, чи є мінори для мінору. M 2. Якщо такі мінори є, то вони будуть мінорами третього порядку. Якщо всі мінори обрамляють мінор M 2рівні нулю, то rangA = 2. Якщо є хоч один мінор третього порядку не дорівнює нулю M 3 ≠ 0, то ранг rangA ≥ 3.

Перевіримо, чи є мінори для мінору. M 3. Якщо такі мінори є, то вони будуть мінорами четвертого порядку. Якщо всі мінори обрамляють мінор M 3рівні нулю, то rangA = 3. Якщо є хоч один мінор четвертого порядку не дорівнює нулю M 4 ≠ 0, то ранг rangA ≥ 4.

Перевіряємо чи є мінор для мінору, що облямовує M 4, і так далі. Алгоритм припиняється, якщо на якомусь етапі мінори, що облямовують, дорівнюють нулю або облямовуючий мінор не можна отримати (у матриці "закінчилися" рядки або стовпці). Порядок не нульового мінору, який вдалося скласти буде рангом матриці.

приклад

Розглянемо даний методна прикладі. Дана матриці 4х5:

У даній матриці ранг не може бути більше 4. Також у цій матриці є не нульові елементи (мінор першого порядку), значить ранг матриці ≥ 1.

Складемо мінор Другогопорядку. Почнемо з кута.

Так визначник дорівнює нулю, складемо інший мінор.

Знайдемо визначник цього мінору.

Визначити даного мінору дорівнює -2 . Значить ранг матриці ≥ 2 .

Якщо даний мінор дорівнював 0, то склали б інші мінори. До кінця склали б усі мінори по 1 і другому рядку. Потім по 1 і 3 рядку, по 2 і 3 рядку, по 2 і 4 рядку, доки не знайшли б мінор не рівний 0, наприклад:

Якщо всі мінори другого порядку дорівнюють 0, то ранг матриці дорівнював 1. Рішення можна було б зупинити.

3-гопорядку.

Мінор вийшов не нульовим. значить ранг матриці ≥ 3 .

Якби цей мінор був нульовим, то треба було б скласти інші мінори. Наприклад:

Якщо всі мінори третього порядку дорівнюють 0, то ранг матриці дорівнював би 2. Рішення можна було б зупинити.

Продовжимо пошук рангу матриці. Складемо мінор 4-гопорядку.

Знайдемо визначник цього мінору.

Визначник мінору вийшов рівний 0 . Побудуємо інший мінор.

Знайдемо визначник цього мінору.

Мінор вийшов рівним 0 .

Побудувати мінор 5-гопорядку не вийде, для цього немає рядка в цій матриці. Останній мінор не рівний нулю був 3-гопорядку, значить ранг матриці дорівнює 3 .

>>Ранг матриці

Ранг матриці

Визначення рангу матриці

Розглянемо прямокутну матрицю. Якщо у цій матриці виділити довільно kрядків та kстовпців, то елементи, що стоять на перетині виділених рядків та стовпців, утворюють квадратну матрицю k-го порядку. Визначник цієї матриці називається мінором k-го порядкуматриці А. Очевидно, що матриця А має мінори будь-якого порядку від 1 до найменшого з чисел m і n. Серед усіх відмінних від нуля мінорів матриці А знайдеться по Крайній міріодин мінор, порядок якого буде найбільшим. Найбільший із порядків мінорів даної матриці, відмінних від нуля, називається рангомматриці. Якщо ранг матриці А дорівнює r, то це означає, що в матриці А є відмінний від нуля мінор порядку r, але всякий мінор порядку, більшого ніж r, дорівнює нулю. Ранг матриці позначається через r(A). Очевидно, що виконується співвідношення

Обчислення рангу матриці за допомогою мінорів

Ранг матриці знаходиться або шляхом облямування мінорів, або шляхом елементарних перетворень. При обчисленні рангу матриці першим способом слід переходити від мінорів нижчих порядків до мінорів. високого порядку. Якщо знайдено мінор D k-го порядку матриці А, відмінний від нуля, то вимагають обчислення лише мінори (k+1)-го порядку, що облямовують мінор D, тобто. містять його як мінор. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює k.

приклад 1.Знайти методом облямівки мінорів ранг матриці

.

Рішення.Починаємо з мінорів 1-го порядку, тобто. з елементів матриці А. Виберемо, наприклад, мінор (елемент) М 1 = 1, розташований у першому рядку та першому стовпці. Обрамляючи за допомогою другого рядка і третього стовпця, отримуємо мінор M 2 = відмінний від нуля. Переходимо тепер до мінорів 3-го порядку, що облямовує М 2 . Їх лише два (можна додати другий стовпець або четвертий). Обчислюємо їх: = 0. Таким чином, всі мінори третього порядку, що облямовують, виявилися рівними нулю. Ранг матриці А дорівнює двом.

Обчислення рангу матриці за допомогою елементарних перетворень

Елементарниминазиваються такі перетворення матриці:

1) перестановка двох будь-яких рядків (або стовпців),

2) множення рядка (або стовпця) на відмінне від нуля число,

3) додаток до одного рядка (або стовпця) іншого рядка (або стовпця), помноженого на деяке число.

Дві матриці називаються еквівалентнимиякщо одна з них виходить з іншої за допомогою кінцевої множини елементарних перетворень.

Еквівалентні матриці є, взагалі кажучи, рівними, та їх ранги рівні. Якщо матриці А і В еквівалентні, це записується так: A~ B.

Канонічноїматрицею називається матриця, у якої на початку головної діагоналі стоять поспіль кілька одиниць (число яких може дорівнювати нулю), а всі інші елементи дорівнюють нулю, наприклад,

.

За допомогою елементарних перетворень рядків та стовпців будь-яку матрицю можна призвести до канонічної. Ранг канонічної матриці дорівнює числу одиниць її головної діагоналі.

Приклад 2Знайти ранг матриці

А =

та привести її до канонічного вигляду.

Рішення.З другого рядка віднімемо перший і переставимо ці рядки:

.

Тепер з другого та третього рядків віднімемо перший, помножений відповідно на 2 і 5:

;

з третього рядка віднімемо перший; отримаємо матрицю

В = ,

яка еквівалентна матриці А, оскільки отримана з неї за допомогою кінцевої множини елементарних перетворень. Очевидно, що ранг матриці дорівнює 2, а отже, і r(A)=2. Матрицю легко привести до канонічної. Віднімаючи перший стовпець, помножений на відповідні числа, з усіх наступних, звернемо в нуль всі елементи першого рядка, крім першого, причому елементи інших рядків не змінюються. Потім, віднімаючи другий стовпець, помножений на відповідні числа з усіх наступних, звернемо в нуль всі елементи другого рядка, крім другого, і отримаємо канонічну матрицю:

.

Визначення. Рангом матриціназивається максимальна кількість лінійно незалежних рядків, що розглядаються як вектори.

Теорема 1 про ранг матриці. Рангом матриціназивається максимальний порядок відмінного від нуля мінора матриці.

Поняття мінору ми вже розбирали на уроці за визначниками, а зараз узагальнимо його. Візьмемо в матриці скільки рядків і скільки стовпців, причому це "скільки-то" має бути менше числа рядків і стовпців матриці, а для рядків і стовпців це "скільки-то" має бути одним і тим же числом. Тоді на перетині скільки рядків і скільки стовпців виявиться матриця меншого порядку, ніж наша вихідна матриця. Визначник це матриці і буде мінором k-го порядку, якщо згадане "скількись" (кількість рядків і стовпців) позначимо через k.

Визначення.Мінор ( r+1)-го порядку, всередині якого лежить обраний мінор r-го порядку, називається називається облямовуючим для даного мінору.

Найчастіше використовуються два способи відшукання рангу матриці. Це спосіб облямівних міноріві спосіб елементарних перетворень(методом Гауса).

При способі обрамляють мінорів використовується наступна теорема.

Теорема 2 про ранг матриці.Якщо з елементів матриці можна скласти мінор r-го порядку, не рівний нулю, то ранг матриці дорівнює r.

При способі елементарних перетворень використовується така властивість:

Якщо шляхом елементарних перетворень отримано трапецієподібну матрицю, еквівалентну вихідній, то рангом цієї матриціє число рядків у ній крім рядків, що повністю складаються з нулів.

Знаходження рангу матриці способом обрамляють мінорів

Облямовуючим мінором називається мінор більшого порядку по відношенню до даного, якщо цей мінорм більшого порядку містить даний мінор.

Наприклад, дана матриця

Візьмемо мінор

оточуючими будуть такі мінори:

Алгоритм знаходження рангу матрицінаступний.

1. Знаходимо не рівні нулю мінори другого порядку. Якщо всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнюватиме одиниці ( r =1 ).

2. Якщо існує хоча б один мінор другого порядку, не рівний нулю, то складаємо мінори третього порядку. Якщо всі обрамляють мінори третього порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює двом ( r =2 ).

3. Якщо хоча б один з мінерів третього порядку, що облямовують, не дорівнює нулю, то складаємо обрамляючі його мінори. Якщо всі обрамляють мінори четвертого порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює трьом ( r =2 ).

4. Продовжуємо так, поки дозволяє розмір матриці.

приклад 1.Знайти ранг матриці

.

Рішення. Мінор другого порядку .

Обрамляємо його. Обрамляють мінорів буде чотири:

,

,

Таким чином, усі обрамляючі мінори третього порядку дорівнюють нулю, отже, ранг даної матриці дорівнює двом ( r =2 ).

приклад 2.Знайти ранг матриці

Рішення. Ранг даної матриці дорівнює 1, так як всі мінори другого порядку цієї матриці дорівнюють нулю (у цьому, як і у випадках обрамляють мінорів у двох наступних прикладах, дорогим студентам пропонується переконатися самостійно, можливо, використовуючи правила обчислення визначників), а серед мінорів першого порядку тобто серед елементів матриці, є не рівні нулю.

приклад 3.Знайти ранг матриці

Рішення. Мінор другого порядку цієї матриці у всі мінори третього порядку цієї матриці дорівнюють нулю. Отже, ранг цієї матриці дорівнює двом.

приклад 4.Знайти ранг матриці

Рішення. Ранг цієї матриці дорівнює 3, так як єдиний мінор третього порядку цієї матриці дорівнює 3.

Знаходження рангу матриці способом елементарних перетворень (методом Гауса)

Вже на прикладі 1 видно, що завдання визначення рангу матриці способом обрамляють мінорів вимагає обчислення великої кількостівизначників. Існує, однак, спосіб, що дозволяє звести обсяг обчислень до мінімуму. Цей спосіб заснований на використанні елементарних перетворень матриць і називається також методом Гаусса.

Під елементарними перетвореннямиматриці розуміються такі операції:

1) множення будь-якого рядка або якогось стовпця матриці на число, відмінне від нуля;

2) додавання до елементів будь-якого рядка або якогось стовпця матриці відповідних елементів іншого рядка або стовпця, помножених на те саме число;

3) зміна місцями двох рядків чи стовпців матриці;

4) видалення "нульових" рядків, тобто таких, всі елементи яких дорівнюють нулю;

5) видалення всіх пропорційних рядків, крім одного.

Теорема.При елементарному перетворенні ранг матриці не змінюється. Іншими словами, якщо ми є елементарними перетвореннями від матриці Aперейшли до матриці B, то.