Фундаментальна система рішень слу. Однорідні системи лінійних рівнянь

Однорідна система завжди спільна і має тривіальне рішення
. Для існування нетривіального рішення необхідно, щоб ранг матриці був менше числаневідомих:

.

Фундаментальною системою рішень однорідної системи
називають систему рішень у вигляді векторів-стовпців
, що відповідають канонічного базису, тобто. базису, в якому довільні постійні
по черзі покладаються рівними одиниці, тоді як інші дорівнюють нулю.

Тоді загальне рішення однорідної системи має вигляд:

де
- Довільні постійні. Інакше кажучи, загальне рішення є лінійна комбінація фундаментальної системи рішень.

Таким чином, базисні рішення можуть бути отримані з загального рішення, якщо вільним невідомим по черзі надавати значення одиниці, вважаючи й інші рівні нулю.

приклад. Знайдемо рішення системи

Приймемо, тоді отримаємо рішення у вигляді:

Побудуємо тепер фундаментальну систему рішень:

.

Загальне рішення запишеться у вигляді:

Рішення системи однорідних лінійних рівняньмають властивості:

Іншими словами, будь-яка лінійна комбінація рішень однорідної системи знову є рішенням.

Вирішення систем лінійних рівнянь методом Гауса

Вирішення систем лінійних рівнянь цікавить математиків кілька століть. Перші результати було отримано у XVIII столітті. У 1750 р. Г. Крамер (1704 –1752) опублікував свої праці з детермінантам квадратних матриць і запропонував алгоритм перебування зворотної матриці. У 1809 р. Гаус виклав новий метод рішення, відомий як метод виключення.

Метод Гаусса, чи метод послідовного виключення невідомих, у тому, що з допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівносильної системі ступінчастого (чи трикутного) виду. Такі системи дозволяють послідовно знаходити всі невідомі у порядку.

Припустимо, що в системі (1)
(Що завжди можливо).

(1)

Помножуючи по черзі перше рівняння так звані відповідні числа

і складаючи результат множення з відповідними рівняннями системи, ми отримаємо еквівалентну систему, в якій у всіх рівняннях, крім першого, не буде відома х 1

(2)

Помножимо тепер друге рівняння системи (2) на відповідні числа, вважаючи, що

,

і складаючи його з нижчестоящими, виключимо змінну із усіх рівнянь, починаючи з третього.

Продовжуючи цей процес, після
кроку ми отримаємо:

(3)

Якщо хоча б одне із чисел
не дорівнює нулю, то відповідна рівність суперечлива і система (1) несумісна. Назад, для будь-якої спільної системи числа
рівні нулю. Число - це що інше, як ранг матриці системи (1).

Перехід від системи (1) до (3) називається прямим ходом методу Гауса, а знаходження невідомих (3) – зворотним ходом .

Зауваження : Перетворення зручніше робити не з самими рівняннями, а з розширеною матрицею системи (1).

приклад. Знайдемо рішення системи

.

Запишемо розширену матрицю системи:

.

Додамо до рядків 2,3,4 перший, помножений на (-2), (-3), (-2) відповідно:

.

Поміняємо рядки 2 і 3 місцями, потім в матриці, що вийшла, додамо до рядка 4 рядок 2, помножений на :

.

Додамо до рядка 4 рядок 3, помножений на
:

.

Очевидно, що
, Отже, система спільна. З отриманої системи рівнянь

знаходимо рішення зворотною підстановкою:

,
,
,
.

приклад 2.Знайти рішення системи:

.

Вочевидь, що система несумісна, т.к.
, а
.

Переваги методу Гауса :

Менш трудомісткий, ніж метод Крамера.

Однозначно встановлює спільність системи та дозволяє знайти рішення.

Дає можливість визначити ранг будь-яких матриць.

Однорідна система лінійних рівнянь над полем

ВИЗНАЧЕННЯ. Фундаментальною системою розв'язків системи рівнянь (1) називається непуста лінійно незалежна система її розв'язків, лінійна оболонка якої збігається з безліччю всіх розв'язків системи (1).

Зазначимо, що однорідна система лінійних рівнянь, має лише нульове рішення, немає фундаментальної системи рішень.

ПРОПОЗИЦІЯ 3.11. Будь-які дві фундаментальні системи розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь складаються з однакового числа розв'язків.

Доведення. Насправді, будь-які дві фундаментальні системи розв'язків однорідної системи рівнянь (1) еквівалентні та лінійно незалежні. Тому з пропозиції 1.12 їх ранги рівні. Отже, число рішень, що входять до однієї фундаментальної системи, дорівнює кількості рішень, що входять до будь-якої іншої фундаментальної системи рішень.

Якщо основна матриця А однорідної системи рівнянь (1) нульова, то будь-який вектор є рішенням системи (1); в цьому випадку будь-яка сукупність лінійно незалежних векторів є фундаментальною системою рішень. Якщо стовпцевий ранг матриці А дорівнює , то система (1) має тільки одне рішення - нульове; отже, у цьому випадку система рівнянь (1) не має фундаментальної системи рішень.

ТЕОРЕМА 3.12. Якщо ранг основної матриці однорідної системи лінійних рівнянь (1) менше кількості змінних , то система (1) має фундаментальну систему рішень, що складається з рішень.

Доведення. Якщо ранг основної матриці А однорідної системи (1) дорівнює нулю або, вище було показано, що теорема вірна. Тому нижче передбачається, що вважаючи , вважатимемо, що перші стовпчиків матриці А лінійно незалежні. У цьому випадку матриця А строчечно еквівалентна наведеній ступінчастій матриці, а система (1) рівносильна наступній наведеній ступінчастій системі рівнянь:

Легко перевірити, що будь-якій системі значень вільних змінних системи (2) відповідає одне і лише одне рішення системи (2) і, отже, системи (1). Зокрема, системі нульових значень відповідає лише нульове рішення системи (2) та системи (1).

Будемо в системі (2) надавати одному з вільних змінних значення, що дорівнює 1, а іншим змінним - нульові значення. В результаті отримаємо розв'язків системи рівнянь (2), які запишемо у вигляді рядків наступної матриці С:

Система рядків цієї матриці є лінійно незалежною. Насправді, для будь-яких скалярів із рівності

слідує рівність

і, отже, рівності

Доведемо, що лінійна оболонка системи рядків матриці збігається з безліччю всіх рішень системи (1).

Довільне вирішення системи (1). Тоді вектор

також є рішенням системи (1), причому

Системи лінійних однорідних рівнянь - має вигляд ∑a k i x i = 0. де m > n або m Однорідна система лінійних рівнянь завжди спільна, оскільки rangA = rangB. Вона свідомо має рішення, що складається з нулів, яке називається тривіальним.

Призначення сервісу. Онлайн-калькулятор призначений для знаходження нетривіального та фундаментального рішення СЛАУ. Отримане рішення зберігається у файлі Word (див. приклад рішення).

Інструкція. Виберіть розмірність матриці:

кількість змінних: 2 3 4 5 6 7 8 кількість рядків 2 3 4 5 6

Властивості систем лінійних однорідних рівнянь

Для того, щоб система мала нетривіальні рішення, необхідно і достатньо, щоб ранг її матриці був меншим за кількість невідомих.

Теорема. Система у разі m=n має нетривіальне рішення і тоді, коли визначник цієї системи дорівнює нулю.

Теорема. Будь-яка лінійна комбінація рішень системи є рішенням цієї системи.
Визначення. Сукупність розв'язків системи лінійних однорідних рівнянь називається фундаментальною системою рішеньякщо ця сукупність складається з лінійно незалежних рішень і будь-яке рішення системи є лінійною комбінацією цих рішень.

Теорема. Якщо ранг r матриці системи менше числа n невідомих, існує фундаментальна система рішень, що складається з (n-r) рішень.

Алгоритм розв'язання систем лінійних однорідних рівнянь

1. Знаходимо ранг матриці.
2. Виділяємо базовий мінор. Виділяємо залежні (базисні) та вільні невідомі.
3. Викреслюємо ті рівняння системи, коефіцієнти яких увійшли до складу базисного мінору, оскільки є наслідками інших (по теоремі про базисному мінору).
4. Члени рівнянь, які містять вільні невідомі, перенесемо до праву частину. В результаті отримаємо систему з r рівнянь з r невідомими, еквівалентну даній, визначник якої відмінний від нуля.
5. Вирішуємо отриману систему шляхом виключення невідомих. Знаходимо співвідношення, що виражають залежні змінні через вільні.
6. Якщо ранг матриці не дорівнює кількості змінних, знаходимо фундаментальне рішення системи.
7. Що стосується rang = n маємо тривіальне рішення.

Приклад. Знайти базис системи векторів (а 1, а 2, ..., а m), ранг і виразити вектори по базі. Якщо а 1 = (0,0,1, -1), а 2 = (1,1,2,0), а 3 = (1,1,1,1), а 4 = (3,2,1) ,4), а 5 = (2,1,0,3).
Випишемо основну матрицю системи:

Помножимо 3-й рядок на (-3). Додамо 4-й рядок до 3-го:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Помножимо 4-й рядок на (-2). Помножимо 5-й рядок на (3). Додамо 5-ий рядок до 4-го:
Додамо 2-й рядок до 1-го:
Знайдемо ранг матриці.
Система з коефіцієнтами цієї матриці еквівалентна вихідній системі і має вигляд:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Методом виключення невідомих знаходимо нетривіальне рішення:
Отримали співвідношення, що виражають залежні змінні x 1 x 2 x 3 через вільні x 4 тобто знайшли загальне рішення:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

Рішення однорідної системи мають такі властивості. Якщо вектор = (α 1 , α 2 ,... ,α n) є рішенням системи (15.14), то і для будь-якого числа kвектор k = (kα 1 , kα 2 ,..., kα n)буде вирішенням цієї системи. Якщо рішенням системи (15.14) є вектор = (γ 1 , γ 2 , ... ,γ n), то сума + також буде вирішенням цієї системи. Звідси слідує що будь-яка лінійна комбінація рішень однорідної системи є рішенням цієї системи.

Як ми знаємо з п. 12.2, будь-яка система n-мірних векторів, що складається більш ніж з пвекторів є лінійно залежною. Отже, з безлічі векторів-рішень однорідної системи (15.14) можна вибрати базис, тобто. будь-який вектор-рішення даної системи буде лінійною комбінацією векторів цього базису. Будь-який такий базис називається фундаментальною системою рішеньоднорідної системи лінійних рівнянь. Справедлива наступна теорема, яку ми наводимо без доказів.

ТЕОРЕМА 4. Якщо ранг r системи однорідних рівнянь(15.14) менше числа невідомих п, то будь-яка фундаментальна система рішень системи (15.14) складається з п - r рішень.

Вкажемо тепер спосіб знаходження фундаментальної системи рішень (ФСР). Нехай система однорідних рівнянь (15.14) має ранг r< п. Тоді, як випливає з правил Крамера, базові невідомі цієї системи x 1 , x 2 , … x rлінійно виражаються через вільні змінні x r + 1 , x r + 2 , ..., x п:

Виділимо окремі рішення однорідної системи (15.14) за наступним принципом. Для знаходження першого вектора-рішення 1 покладемо x r + 1 = 1, x r + 2 = x r +3 = ... = x n= 0. Потім знаходимо друге рішення 2: приймаємо x r+2 = 1, а решта r- 1 вільних змінних покладемо нулями. Інакше кажучи, ми послідовно присвоюємо кожної вільної змінної одиничне значення, поклавши інші нулями. Таким чином, фундаментальна система рішень у векторній формі з урахуванням перших rбазисних змінних (15.15) має вигляд

ФСР (15.16) є одним з фундаментальних наборіврозв'язків однорідної системи (15.14).

приклад 1.Знайти рішення та ФСР системи однорідних рівнянь

Рішення. Вирішуватимемо цю систему методом Гауса. Оскільки кількість рівнянь системи менша за кількість невідомих, вважаємо х 1 , x 2 , х 3 базисними невідомими, а x 4 х 5 , x 6 - вільними змінними. Складемо розширену матрицю системи та виконаємо дії, що становлять прямий хід методу.