Знайти фундаментальну систему рішень системи. Фундаментальний набір рішень однорідної системи лінійних рівнянь

Системи лінійних рівнянь, у якої всі вільні члени дорівнюють нулю, називаються однорідними :

Будь-яка однорідна система завжди спільна, оскільки завжди має нульовим (тривіальним ) Рішенням. Виникає питання, за яких умов однорідна система матиме нетривіальне рішення.

Теорема 5.2.Однорідна система має нетривіальне рішення тоді і лише тоді, коли ранг основної матриці менше числаїї невідомих.

Слідство. Квадратна однорідна система має нетривіальне рішення і тоді, коли визначник основний матриці системи не дорівнює нулю.

Приклад 5.6.Визначити значення параметра l, за яких система має нетривіальні рішення, і знайти ці рішення:

Рішення. Ця система матиме нетривіальне рішення тоді, коли визначник основної матриці дорівнює нулю:

Отже, система нетривіальна, коли l=3 чи l=2. При l=3 ранг основної матриці системи дорівнює 1. Тоді залишаючи лише одне рівняння і вважаючи, що y=aі z=b, отримаємо x=b-a, тобто.

При l=2 ранг основної матриці системи дорівнює 2. Тоді, вибираючи як базисний мінор:

отримаємо спрощену систему

Звідси знаходимо, що x=z/4, y=z/2. Вважаючи z=4a, отримаємо

Безліч всіх рішень однорідної системи має дуже важливе значення. лінійною властивістю : якщо стовпці X 1 та X 2 - рішення однорідної системи AX = 0, то всяка їхня лінійна комбінація a X 1 + b X 2 також буде вирішенням цієї системи. Справді, оскільки AX 1 = 0 і AX 2 = 0 , то A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Саме внаслідок цієї властивості, якщо лінійна система має більше одного рішення, то цих рішень буде нескінченно багато.

Лінійно незалежні стовпці E 1 , E 2 , E k, що є рішеннями однорідної системи, називається фундаментальною системою рішень однорідної системи лінійних рівнянь, якщо спільне рішенняцієї системи можна записати у вигляді лінійної комбінації цих стовпців:

Якщо однорідна система має nзмінних, а ранг основної матриці системи дорівнює r, то k = n-r.

Приклад 5.7.Знайти фундаментальну систему розв'язків наступної системи лінійних рівнянь:

Рішення. Знайдемо ранг основної матриці системи:

Таким чином, безліч рішень даної системи рівнянь утворює лінійний підпростір розмірності n - r= 5 - 2 = 3. Виберемо як базисний мінор

.

Тоді залишаючи лише базисні рівняння (інші будуть лінійною комбінацією цих рівнянь) і базисні змінні (інші, так звані вільні, змінні переносимо вправо), отримаємо спрощену систему рівнянь:

Вважаючи, x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, знаходимо

, .

Вважаючи a= 1, b = c= 0, отримаємо перше базисне рішення; вважаючи b= 1, a = c= 0, отримаємо друге базисне рішення; вважаючи c= 1, a = b= 0, отримаємо третє базисне рішення. В результаті, нормальна фундаментальна система рішень набуде вигляду

З використанням фундаментальної системи загальне рішення однорідної системи можна записати як

X = aE 1 + bE 2 + cE 3 . à

Зазначимо деякі властивості розв'язків неоднорідної системи лінійних рівнянь AX=Bта їх взаємозв'язок відповідною однорідною системою рівнянь AX = 0.

Загальне рішення неоднорідної системидорівнює сумі загального рішення відповідної однорідної системи AX = 0 та довільного приватного вирішення неоднорідної системи. Справді, нехай Y 0 довільне окреме рішення неоднорідної системи, тобто. AY 0 = B, і Y- загальне рішення неоднорідної системи, тобто. AY = B. Віднімаючи одну рівність з іншої, отримаємо
A(Y-Y 0) = 0, тобто. Y - Y 0 є загальне рішення відповідної однорідної системи AX=0. Отже, Y - Y 0 = X, або Y = Y 0 + X. Що і потрібно було довести.

Нехай неоднорідна система має вигляд AX = B 1 + B 2 . Тоді загальне рішення такої системи можна записати у вигляді X = X 1 + X 2 , де AX 1 = B 1 та AX 2 = B 2 . Ця властивість виражає універсальну властивість взагалі будь-яких лінійних систем (алгебраїчних, диференціальних, функціональних і т.д.). У фізиці ця властивість називається принципом суперпозиції, в електро- та радіотехніці - принципом накладення. Наприклад, в теорії лінійних електричних ланцюгів струм у будь-якому контурі може бути отриманий як сума алгебри струмів, що викликаються кожним джерелом енергії окремо.

Системи лінійних однорідних рівнянь - має вигляд ∑a k i x i = 0. де m > n або m Однорідна система лінійних рівнянь завжди спільна, оскільки rangA = rangB. Вона свідомо має рішення, що складається з нулів, яке називається тривіальним.

Призначення сервісу. Онлайн-калькулятор призначений для знаходження нетривіального та фундаментального рішення СЛАУ. Отримане рішення зберігається у файлі Word (див. приклад рішення).

Інструкція. Виберіть розмірність матриці:

кількість змінних: 2 3 4 5 6 7 8 кількість рядків 2 3 4 5 6

Властивості систем лінійних однорідних рівнянь

Для того, щоб система мала нетривіальні рішення, необхідно і достатньо, щоб ранг її матриці був меншим за кількість невідомих.

Теорема. Система у разі m=n має нетривіальне рішення і тоді, коли визначник цієї системи дорівнює нулю.

Теорема. Будь-яка лінійна комбінація рішень системи є рішенням цієї системи.
Визначення. Сукупність розв'язків системи лінійних однорідних рівнянь називається фундаментальною системою рішеньякщо ця сукупність складається з лінійно незалежних рішень і будь-яке рішення системи є лінійною комбінацією цих рішень.

Теорема. Якщо ранг r матриці системи менше числа n невідомих, існує фундаментальна система рішень, що складається з (n-r) рішень.

Алгоритм розв'язання систем лінійних однорідних рівнянь

1. Знаходимо ранг матриці.
2. Виділяємо базовий мінор. Виділяємо залежні (базисні) та вільні невідомі.
3. Викреслюємо ті рівняння системи, коефіцієнти яких увійшли до складу базисного мінору, оскільки є наслідками інших (по теоремі про базисному мінору).
4. Члени рівнянь, які містять вільні невідомі, перенесемо до праву частину. В результаті отримаємо систему з r рівнянь з r невідомими, еквівалентну даній, визначник якої відмінний від нуля.
5. Вирішуємо отриману систему шляхом виключення невідомих. Знаходимо співвідношення, що виражають залежні змінні через вільні.
6. Якщо ранг матриці не дорівнює кількості змінних, знаходимо фундаментальне рішення системи.
7. Що стосується rang = n маємо тривіальне рішення.

Приклад. Знайти базис системи векторів (а 1, а 2, ..., а m), ранг і виразити вектори по базі. Якщо а 1 = (0,0,1, -1), а 2 = (1,1,2,0), а 3 = (1,1,1,1), а 4 = (3,2,1) ,4), а 5 = (2,1,0,3).
Випишемо основну матрицю системи:

Помножимо 3-й рядок на (-3). Додамо 4-й рядок до 3-го:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Помножимо 4-й рядок на (-2). Помножимо 5-й рядок на (3). Додамо 5-ий рядок до 4-го:
Додамо 2-й рядок до 1-го:
Знайдемо ранг матриці.
Система з коефіцієнтами цієї матриці еквівалентна вихідній системі і має вигляд:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Методом виключення невідомих знаходимо нетривіальне рішення:
Отримали співвідношення, що виражають залежні змінні x 1 x 2 x 3 через вільні x 4 тобто знайшли загальне рішення:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

Ми продовжимо шліфувати техніку елементарних перетворень на однорідної системи лінійних рівнянь.
За першими абзацами матеріал може здатися нудним і звичайним, але це враження оманливе. Крім подальшого відпрацювання технічних прийомів буде багато нової інформаціїТому, будь ласка, постарайтеся не нехтувати прикладами цієї статті.

Що таке однорідна система лінійних рівнянь?

Відповідь напрошується сама собою. Система лінійних рівнянь є однорідною, якщо вільний член кожногорівняння системи дорівнює нулю. Наприклад:

Цілком зрозуміло, що однорідна система завжди спільнатобто завжди має рішення. І, перш за все, в очі впадає так зване тривіальнеРішення . Тривіальне, для тих, хто зовсім не зрозумів сенс прикметника, отже безпонтове. Не академічно, звичайно, але зате зрозуміло =) …Чого ходити навколо та навколо, давайте з'ясуємо, чи немає у цієї системи якихось інших рішень:

Приклад 1

Рішення: щоб вирішити однорідну систему необхідно записати матрицю системиі за допомогою елементарних перетворень привести її до східчастого вигляду. Зверніть увагу, що тут відпадає необхідність записувати вертикальну межу та нульовий стовпець вільних членів – адже що не роби з нулями, вони так і залишаться нулями:

(1) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. До третього рядка додали перший рядок, помножений на -3.

(2) До третього рядка додали другий рядок, помножений на -1.

Ділити третій рядок на 3 немає особливого сенсу.

В результаті елементарних перетворень отримано еквівалентну однорідну систему , і, застосовуючи зворотний хід методу Гауса, легко переконатися, що рішення єдине.

Відповідь:

Сформулюємо очевидний критерій: однорідна система лінійних рівнянь має тільки тривіальне рішення, якщо ранг матриці системи(у разі 3) дорівнює кількості змінних (у разі – 3 прим.).

Розігріємося та налаштовуємо свій радіоприймач на хвилю елементарних перетворень:

Приклад 2

Розв'язати однорідну систему лінійних рівнянь

Щоб остаточно закріпити алгоритм, розберемо фінальне завдання:

Приклад 7

Вирішити однорідну систему, відповідь записати у векторній формі.

Рішення: запишемо матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

(1) У першому рядку змінили знак. Ще раз загострюю увагу на прийомі, що неодноразово зустрічався, який дозволяє істотно спростити наступну дію.

(1) До 2-го та 3-го рядків додали перший рядок. До 4-го рядка додали перший рядок, помножений на 2.

(3) Останні три рядки пропорційні, два з них видалили.

В результаті отримана стандартна ступінчаста матриця, і рішення продовжується за накатаною колією:

- Базисні змінні;
- Вільні змінні.

Виразимо базисні змінні через вільні змінні. З 2-го рівняння:

- Підставимо в 1-е рівняння:

Таким чином, загальне рішення:

Оскільки в цьому прикладі три вільні змінні, то фундаментальна система містить три вектори.

Підставимо трійку значень у загальне рішення і отримаємо вектор координати якого задовольняють кожному рівнянню однорідної системи. І знову повторюся, що дуже бажано перевіряти кожен отриманий вектор - часу займе не так багато, а від помилок вбереже повністю.

Для трійки значень знаходимо вектор

І, нарешті, для трійки отримуємо третій вектор:

Відповідь: , де

Бажаючі уникнути дробових значень можуть розглянути трійки та отримати відповідь у еквівалентному вигляді:

До речі про дроби. Подивимося на отриману в задачі матрицю і поставимо запитання – чи не можна спростити подальше рішення? Адже тут ми спочатку висловили через дроби базисну змінну, потім через дроби базисну змінну, і, треба сказати, процес це був не найпростіший і не найприємніший.

Другий варіант вирішення:

Ідея полягає в тому, щоб спробувати вибрати інші базисні змінні. Подивимося на матрицю і помітимо дві одиниці у третьому стовпці. То чому б не отримати нуль вгорі? Проведемо ще одне елементарне перетворення:

Ви можете замовити докладне рішеннявашого завдання !!!

Щоб зрозуміти, що таке фундаментальна система рішеньВи можете переглянути відео-урок для цього ж прикладу, клацнувши . Тепер перейдемо до опису всієї необхідної роботи. Це допоможе вам детальніше розібратися в суті цього питання.

Як знайти фундаментальну систему розв'язків лінійного рівняння?

Візьмемо для прикладу таку систему лінійних рівнянь:

Знайдемо рішення цієї лінійної системирівнянь. Для початку нам треба виписати матрицю коефіцієнтів системи.

Перетворимо цю матрицю на трикутну.Перший рядок переписуємо без змін. І всі елементи, що стоять під $a_(11)$, треба зробити нулями. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(21)$, треба від другого рядка відняти першу, і різницю записати в другому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(31)$, треба від третього рядка відняти першу і різницю записати в третьому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(41)$, треба від четвертого рядка відняти першу помножену на 2 і різницю записати в четвертому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(31)$, треба від п'ятого рядка відняти першу помножену на 2 і різницю записати в п'ятому рядку.

Перший та другий рядок переписуємо без змін. І всі елементи, що стоять під $a_(22)$, треба зробити нулями. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(32)$, треба від третього рядка відняти другу помножену на 2 і різницю записати в третьому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(42)$, треба від четвертого рядка відняти другу помножену на 2 і різницю записати в четвертому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(52)$, треба від п'ятого рядка відняти другу помножену на 3 і різницю записати в п'ятому рядку.

Бачимо, що останні три рядки – однаковітому якщо від четвертої і п'ятої відняти третю, то вони стануть нульовими.

За цією матрицею записуємо нову систему рівнянь.

Бачимо, що лінійно незалежних рівнянь у нас лише три, а невідомих п'ять, тому фундаментальна система рішень складатиметься з двох векторів. Значить, нам треба перенести дві останні невідомі праворуч.

Тепер починаємо висловлювати ті невідомі, що стоять у лівій частині через ті, що стоять у правій частині. Починаємо з останнього рівняння, спочатку висловимо $x_3$, потім отриманий результат підставимо на друге рівняння і висловимо $x_2$, а потім у перше рівняння і тут висловимо $x_1$. Таким чином ми всі невідомі, що стоять у лівій частині, висловили через невідомі, що стоять у правій частині.

Після чого ви замість $x_4$ і $x_5$ можемо підставляти будь-які числа і знаходити $x_1$, $x_2$ і $x_3$. Кожна така п'ятірка чисел буде корінням нашої початкової системи рівнянь. Що б знайти вектори, що входять до ФСРнам треба замість $x_4$ підставити 1, а замість $x_5$ підставити 0, знайти $x_1$, $x_2$ і $x_3$, та був навпаки $x_4=0$ і $x_5=1$.