Рішення прямокутних матриць методом гауса. Метод гауса для чайників: вирішуємо слау легко

Одним із найпростіших способів вирішення системи лінійних рівняньє прийом, заснований на обчисленні визначників ( правило Крамера). Його перевага полягає в тому, що він дозволяє одразу провести запис рішення, особливо він зручний у тих випадках, коли коефіцієнти системи є не числами, а якимись параметрами. Його недолік - громіздкість обчислень у разі великої кількостірівнянь, до того ж правило Крамера безпосередньо не застосовується до систем, у яких кількість рівнянь не збігається з числом невідомих. У таких випадках зазвичай застосовують метод Гауса.

Системи лінійних рівнянь, що мають одну і ту ж безліч рішень, називаються еквівалентними. Очевидно, що безліч рішень лінійної системине зміниться, якщо якісь рівняння поміняти місцями, або помножити одне із рівнянь на якесь ненульове число, або якщо одне рівняння додати до іншого.

Метод Гауса (метод послідовного виключенняневідомих) полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень система наводиться до еквівалентної системи східчастого вигляду. Спочатку за допомогою 1-го рівняння виключається x 1 з усіх наступних рівнянь системи. Потім за допомогою 2-го рівняння виключається x 2 з 3-го та всіх наступних рівнянь. Цей процес, званий прямим ходом методу Гауса, триває доти, доки в лівій частині останнього рівняння залишиться лише одне невідоме x n. Після цього проводиться Зворотній хідметоду Гауса– вирішуючи останнє рівняння, знаходимо x n; після цього, використовуючи це значення, з передостаннього рівняння обчислюємо x n-1 І т.д. Останнім знаходимо x 1 із першого рівняння.

Перетворення Гауса зручно проводити, здійснюючи перетворення з самими рівняннями, і з матрицями їх коефіцієнтів. Розглянемо матрицю:

звану розширеною матрицею системи, бо до неї, крім основної матриці системи, включений стовпець вільних членів. Метод Гаусса заснований на приведенні основної матриці системи до трикутного виду (або трапецієподібного вигляду у разі неквадратних систем) за допомогою елементарних перетворень рядків (!) розширеної матриці системи.

Приклад 5.1.Вирішити систему методом Гауса:

Рішення. Випишемо розширену матрицю системи і, використовуючи перший рядок, після цього обнулятимемо інші елементи:

отримаємо нулі у 2-му, 3-му та 4-му рядках першого стовпця:

Тепер потрібно щоб усі елементи в другому стовпці нижче 2-го рядка дорівнювали нулю. Для цього можна помножити другий рядок на -4/7 і додати до 3-го рядка. Однак, щоб не мати справу з дробами, створимо одиницю у 2-му рядку другого стовпця і тільки

Тепер, щоб отримати трикутну матрицю, потрібно обнулити елемент четвертого рядка 3-го стовпця, для цього можна помножити третій рядок на 8/54 і додати його до четвертого. Однак щоб не мати справу з дробами поміняємо місцями 3-й і 4-й рядки і 3-й і 4-й стовпець і тільки після цього зробимо обнулення зазначеного елемента. Зауважимо, що з перестановці стовпців змінюються місцями, відповідні змінні і це пам'ятати; інші елементарні перетворення зі стовпцями (складання та множення на число) робити не можна!

Остання спрощена матриця відповідає системі рівнянь, еквівалентної вихідної:

Звідси, використовуючи зворотний хід методу Гаусса, знайдемо з четвертого рівняння x 3 = -1; з третього x 4 = -2, з другого x 2 = 2 та з першого рівняння x 1 = 1. У матричному вигляді відповідь записується як

Ми розглянули випадок, коли система є певною, тобто. коли є лише одне рішення. Подивимося, що вийде, якщо система несумісна чи невизначена.

Приклад 5.2.Дослідити систему методом Гауса:

Рішення. Виписуємо та перетворюємо розширену матрицю системи

Записуємо спрощену систему рівнянь:

Тут, у останньому рівнянні вийшло, що 0=4, тобто. протиріччя. Отже, система немає рішення, тобто. вона несумісна. à

Приклад 5.3.Дослідити та вирішити систему методом Гауса:

Рішення. Виписуємо та перетворюємо розширену матрицю системи:

В результаті перетворень, в останньому рядку вийшли одні нулі. Це означає, що кількість рівнянь зменшилася на одиницю:

Отже, після спрощень залишилося два рівняння, а невідомих чотири, тобто. два невідомі "зайві". Нехай "зайвими", або, як то кажуть, вільними змінними, будуть x 3 та x 4 . Тоді

Вважаючи x 3 = 2aі x 4 = b, отримаємо x 2 = 1–aі x 1 = 2b–a; або в матричному вигляді

Записане подібним чином рішення називається загальним, оскільки, надаючи параметрам aі b різні значенняможна описати всі можливі рішення системи. à

Сьогодні розбираємося з методом Гауса для вирішення лінійних систем. алгебраїчних рівнянь. Про те, що це за системи, можна почитати у попередній статті, присвяченій рішенню тих самих СЛАУ методом Крамера. Метод Гауса не вимагає якихось специфічних знань, потрібна лише уважність та послідовність. Незважаючи на те, що з точки зору математики для його застосування вистачить і шкільної підготовки, у студентів освоєння цього методу часто викликає труднощі. У цій статті спробуємо звести їх нанівець!

Метод Гауса

М етод Гауса- Найбільш універсальний методрішення СЛАУ (за винятком ну вже дуже великих систем). На відміну від розглянутого раніше, він підходить не тільки для систем, що мають єдине рішення, але і для систем, у яких рішень безліч. Тут можливі три варіанти.

1. Система має єдине рішення (визначник головної матриці системи не дорівнює нулю);
2. Система має безліч рішень;
3. Рішень немає, система несумісна.

Отже, ми маємо систему (нехай у неї буде одне рішення), і ми збираємося вирішувати її методом Гауса. Як це працює?

Метод Гауса складається з двох етапів – прямого та зворотного.

Прямий хід методу Гауса

Спочатку запишемо розширену матрицю системи. Для цього до головної матриці додаємо стовпець вільних членів.

Вся суть методу Гауса полягає в тому, щоб шляхом елементарних перетворень привести цю матрицю до ступінчастого (або як ще кажуть трикутного) вигляду. У такому вигляді під (або над) головною діагоналлю матриці мають бути одні нулі.

Що можна робити:

1. Можна переставляти рядки матриці місцями;
2. Якщо у матриці є однакові (або пропорційні) рядки, можна видалити їх усі, крім одного;
3. Можна множити чи ділити рядок на будь-яке число (крім нуля);
4. Нульові рядки видаляються;
5. Можна додавати до рядка рядок, помножений на число, відмінне від нуля.

Зворотний хід методу Гауса

Після того як ми перетворимо систему таким чином, одна невідома Xn стає відома, і можна в зворотному порядку знайти всі невідомі, підставляючи вже відомі ікси в рівняння системи, аж до першого.

Коли інтернет завжди під рукою, можна вирішити систему рівнянь методом Гаусса онлайн.Достатньо лише вбити в онлайн-калькулятор коефіцієнти. Але погодьтеся, набагато приємніше усвідомлювати, що приклад вирішено не комп'ютерною програмою, а Вашим власним мозком.

Приклад розв'язання системи рівнянь методом Гаусс

А тепер – приклад, щоб усе стало наочно та зрозуміло. Нехай дана система лінійних рівнянь і потрібно вирішити її методом Гауса:

Спочатку запишемо розширену матрицю:

Тепер займемося перетвореннями. Пам'ятаємо, що нам потрібно досягти трикутного вигляду матриці. Помножимо 1-ий рядок на (3). Помножимо 2-й рядок на (-1). Додамо 2-й рядок до 1-го і отримаємо:

Потім помножимо 3-й рядок на (-1). Додамо 3-й рядок до 2-го:

Помножимо 1-ий рядок на (6). Помножимо 2-й рядок на (13). Додамо 2-й рядок до 1-го:

Вуаля – система наведена до відповідного виду. Залишилось знайти невідомі:

Система у цьому прикладі має єдине рішення. Вирішення систем з безліччю рішень ми розглянемо в окремій статті. Можливо, спочатку Ви не знатимете, з чого почати перетворення матриці, але після відповідної практики наб'єте руку і клацатимете СЛАУ методом Гауса як горішки. А якщо Ви раптом зіткнетеся зі СЛАУ, яка виявиться занадто міцним горішком, звертайтесь до наших авторів! ви можете, залишивши заявку у Заочнику. Разом ми вирішимо будь-яке завдання!

Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо безліч їх рішень збігається.

Елементарні перетвореннясистеми рівнянь - це:

1. Викреслення із системи очевидних рівнянь, тобто. таких, у яких всі коефіцієнти дорівнюють нулю;
2. Розмноження будь-якого рівняння на число, відмінне від нуля;
3. Додаток до будь-якого i-го рівняння будь-якого j-то рівняння, помноженого на будь-яке число.

Змінна x i називається вільною, якщо ця змінна не є дозволеною, а вся система рівнянь є дозволеною.

Теорема. Елементарні перетворення переводять систему рівнянь на рівносильну.

Сенс методу Гауса полягає в тому, щоб перетворити вихідну систему рівнянь та отримати рівносильну дозволену або рівносильну несумісну систему.

Отже, метод Гауса складається з наступних кроків:

1. Розглянемо перше рівняння. Виберемо перший ненульовий коефіцієнт і розділимо все рівняння нею. Отримаємо рівняння, яке деяка змінна x i входить з коефіцієнтом 1;
2. Віднімемо це рівняння з усіх інших, множачи його на такі числа, щоб коефіцієнти при змінній x i в інших рівняннях обнулилися. Отримаємо систему, дозволену щодо змінної x i і рівносильну вихідної;
3. Якщо виникають тривіальні рівняння (рідко, але буває; наприклад, 0 = 0), викреслюємо їх із системи. Внаслідок рівнянь стає на одне менше;
4. Повторюємо попередні кроки трохи більше n разів, де n - число рівнянь у системі. Щоразу вибираємо для «обробки» нову змінну. Якщо виникають суперечливі рівняння (наприклад, 0 = 8) система несумісна.

У результаті за кілька кроків отримаємо або дозволену систему (можливо, з вільними змінними), або несовместную. Дозволені системи розпадаються на два випадки:

1. Число змінних дорівнює числу рівнянь. Отже, систему визначено;
2. Число змінних більше числарівнянь. Збираємо всі вільні змінні праворуч – отримуємо формули для дозволених змінних. Ці формули так і записуються у відповідь.

От і все! Система лінійних рівнянь вирішена! Це досить простий алгоритм, і для його освоєння вам не обов'язково звертатися до репетитора з математики. Розглянемо приклад:

Завдання. Розв'язати систему рівнянь:

Опис кроків:

1. Віднімаємо перше рівняння з другого та третього - отримаємо дозволену змінну x 1;
2. Помножуємо друге рівняння на (−1), а третє рівняння ділимо на (−3) – отримаємо два рівняння, у яких змінна x 2 входить із коефіцієнтом 1;
3. Додаємо друге рівняння до першого, а з третього – віднімаємо. Отримаємо дозволену змінну x 2;
4. Нарешті, віднімаємо третє рівняння з першого - отримуємо дозволену змінну x 3;
5. Отримали дозволену систему, записуємо відповідь.

Спільне рішення спільної системилінійних рівнянь - це нова система, рівносильна вихідній, у якій всі дозволені змінні виражені через вільні.

Коли може знадобитися спільне рішення? Якщо доводиться робити менше кроків, ніж k (k - це скільки всього рівнянь). Однак причин, через які процес закінчується на деякому кроці l< k , может быть две:

1. Після l-го кроку вийшла система, яка містить рівняння з номером (l + 1). Насправді, це добре, т.к. дозволена система все одно отримана – навіть на кілька кроків раніше.
2. Після l -го кроку отримали рівняння, у якому всі коефіцієнти при змінних дорівнюють нулю, а вільний коефіцієнт відмінний від нуля. Це суперечливе рівняння, отже, система несовместна.

Важливо розуміти, що виникнення суперечливого рівняння методом Гаусса - це достатня підстава несумісності. При цьому зауважимо, що в результаті l-го кроку не може залишитися тривіальних рівнянь - всі вони викреслюються у процесі.

Опис кроків:

1. Віднімаємо перше рівняння, помножене на 4, з другого. А також додаємо перше рівняння до третього - отримаємо дозволену змінну x 1;
2. Віднімаємо третє рівняння, помножене на 2, з другого – отримаємо суперечливе рівняння 0 = −5.

Отже, система несумісна, оскільки виявлено суперечливе рівняння.

Завдання. Дослідити спільність та знайти загальне рішення системи:

Опис кроків:

1. Віднімаємо перше рівняння з другого (попередньо помноживши на два) і третього - отримаємо дозволену змінну x 1;
2. Віднімаємо друге рівняння з третього. Оскільки всі коефіцієнти цих рівняннях збігаються, третє рівняння перетвориться на тривіальне. Заодно помножимо друге рівняння на (-1);
3. Віднімаємо з першого рівняння друге - отримаємо дозволену змінну x 2 . Вся система рівнянь тепер також дозволена;
4. Оскільки змінні x 3 і x 4 - вільні, переносимо їх праворуч, щоб висловити дозволені змінні. Це є відповідь.

Отже, система спільна і невизначена, оскільки є дві дозволені змінні (x 1 і x 2) і дві вільні (x 3 і x 4).

Вирішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса.Нехай нам потрібно знайти рішення системи з nлінійних рівнянь з nневідомими змінними
визначник основної матриці якої відмінний від нуля.

Суть методу Гаусаполягає у послідовному виключенні невідомих змінних: спочатку виключається x 1з усіх рівнянь системи, починаючи з другого, далі виключається x 2з усіх рівнянь, починаючи з третього, і так далі, поки в останньому рівнянні залишиться лише невідома змінна x n. Такий процес перетворення рівнянь системи для послідовного виключення невідомих змінних називається прямим ходом методу Гауса. Після завершення прямого ходу методу Гауса з останнього рівняння перебуває x n, за допомогою цього значення з передостаннього рівняння обчислюється x n-1, і так далі, з першого рівняння знаходиться x 1. Процес обчислення невідомих змінних під час руху від останнього рівняння системи до першого називається зворотним ходом методу Гауса.

Коротко опишемо алгоритм виключення невідомих змінних.

Вважатимемо, що , оскільки ми можемо цього домогтися перестановкою місцями рівнянь системи. Виключимо невідому змінну x 1із усіх рівнянь системи, починаючи з другого. Для цього до другого рівняння системи додамо перше, помножене на , до третього рівняння додамо перше, помножене на , і так далі, до n-омурівняння додамо перше, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а .

До такого ж результату ми дійшли б, якби висловили x 1через інші невідомі змінні у першому рівнянні системи та отриманий вираз підставили у всі інші рівняння. Таким чином, змінна x 1виключена зі всіх рівнянь, починаючи з другого.

Далі діємо аналогічно, але лише з частиною отриманої системи, яка зазначена на малюнку

Для цього до третього рівняння системи додамо друге, помножене на , до четвертого рівняння додамо друге, помножене на , і так далі, до n-омурівняння додамо друге, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а . Таким чином, змінна x 2виключена зі всіх рівнянь, починаючи з третього.

Далі приступаємо до виключення невідомої x 3, при цьому діємо аналогічно із зазначеною на малюнку частиною системи

Так продовжуємо прямий хід методу Гаусса доки система не набуде вигляду

З цього моменту починаємо зворотний хід методу Гауса: обчислюємо x nз останнього рівняння як , за допомогою отриманого значення x nзнаходимо x n-1з передостаннього рівняння, і так далі знаходимо x 1з першого рівняння.

приклад.

Розв'яжіть систему лінійних рівнянь методом Гауса.