Вирішити за методом гауса. Метод Гауса для вирішення матриць

Нехай задана система лінійних алгебраїчних рівнянь, яку необхідно вирішити (знайти такі значення невідомих хi, що звертають кожне рівняння системи на рівність).

Ми знаємо, що система лінійних рівнянь алгебри може:

1) Не мати рішень (бути несумісний).
2) Мати безліч рішень.
3) Мати єдине рішення.

Як ми пам'ятаємо, правило Крамера і матричний метод непридатні в тих випадках, коли система має безліч рішень або несумісна. Метод Гауса – найбільш потужний та універсальний інструмент для знаходження рішення будь-якої системи лінійних рівнянь , Котрий у кожному випадкуприведе нас до відповіді! Сам алгоритм методу у всіх трьох випадках працює однаково. Якщо в методах Крамера і матричному необхідні знання визначників, то для застосування методу Гауса необхідно знання лише арифметичних дій, що робить його доступним навіть для школярів початкових класів.

Перетворення розширеної матриці ( це матриця системи - матриця, складена тільки з коефіцієнтів при невідомих, плюс стовпець вільних членів)системи лінійних рівнянь алгебри в методі Гауса:

1) з трокиматриці можна, можливо переставлятимісцями.

2) якщо в матриці з'явилися (або є) пропорційні (як окремий випадок – однакові) рядки, то слід вилучитиз матриці всі ці рядки крім одного.

3) якщо в матриці в ході перетворень з'явився нульовий рядок, то його слід також вилучити.

4) рядок матриці можна помножити (розділити)на будь-яке число, відмінне від нуля.

5) до рядка матриці можна додати інший рядок, помножений на число, відмінне від нуля.

У методі Гауса елементарні перетворення не змінюють розв'язання системи рівнянь.

Метод Гауса складається з двох етапів:

1. «Прямий хід» – за допомогою елементарних перетвореньпривести розширену матрицю системи лінійних рівнянь алгебри до «трикутного» східчастого вигляду: елементи розширеної матриці, розташовані нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю (хід «згори донизу»). Наприклад, до такого виду:

Для цього виконаємо такі дії:

1) Нехай ми розглядаємо перше рівняння системи лінійних рівнянь алгебри і коефіцієнт при х 1 дорівнює К. Друге, третє і т.д. рівняння перетворюємо наступним чином: кожне рівняння (коефіцієнти при невідомих, включаючи вільні члени) ділимо на коефіцієнт при невідомому х 1 , що стоїть у кожному рівнянні, і множимо на К. Після цього з другого рівняння (коефіцієнти при невідомих і вільні члени) віднімають Отримуємо при х 1 у другому рівнянні коефіцієнт 0. З третього перетвореного рівняння віднімаємо перше рівняння, так до тих пір, поки всі рівняння, крім першого, при невідомому х 1 не матимуть коефіцієнт 0.

2) Переходимо до наступного рівняння. Нехай це буде друге рівняння та коефіцієнт при х 2 дорівнює М. З усіма «нижчими» рівняннями чинимо так, як описано вище. Таким чином, «під» невідомої х 2 у всіх рівняннях будуть нулі.

3) Переходимо до наступного рівняння і так доти, доки не залишиться одна остання невідома і перетворений вільний член.

1. «Зворотний хід» методу Гауса – отримання рішення системи лінійних рівнянь алгебри (хід «знизу-вгору»). З останнього «нижнього» рівняння отримуємо одне перше рішення – невідому х n . Для цього розв'язуємо елементарне рівняння А * х n = В. У прикладі, наведеному вище, х 3 = 4. Підставляємо знайдене значення «верхнє» наступне рівняння і вирішуємо його щодо наступної невідомої. Наприклад, х 2 – 4 = 1, тобто. х 2 = 5. І так доти, доки не знайдемо всі невідомі.

приклад.

Вирішимо систему лінійних рівнянь методом Гауса, як радять деякі автори:

Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Дивимося на ліву верхню сходинку. Там у нас має бути одиниця. Проблема у тому, що у першому стовпці одиниць немає взагалі, тому перестановкою рядків нічого не вирішити. У разі одиницю треба організувати з допомогою елементарного перетворення. Зазвичай це можна зробити кількома способами. Вчинимо так:
1 крок . До першого рядка додаємо другий рядок, помножений на -1. Тобто подумки помножили другий рядок на -1 і виконали додавання першого і другого рядка, при цьому другий рядок у нас не змінився.

Тепер ліворуч угорі «мінус один», що нас цілком влаштує. Хто хоче отримати +1, може виконати додаткову дію: помножити перший рядок на –1 (змінити знак).

2 крок . До другого рядка додали перший рядок, помножений на 5. До третього рядка додали перший рядок, помножений на 3.

3 крок . Перший рядок помножили на -1, в принципі це для краси. У третього рядка також змінили знак і переставили її на друге місце, таким чином, на другому сходинці у нас з'явилася потрібна одиниця.

4 крок . До третього рядка додали другий рядок, помножений на 2.

5 крок . Третій рядок поділили на 3.

Ознакою, яка свідчить про помилку в обчисленнях (рідше – про друкарську помилку), є «поганий» нижній рядок. Тобто, якби в нас унизу вийшло щось на кшталт (0 0 11 |23) , і, відповідно, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, то з великою часткою ймовірності можна стверджувати, що допущена помилка в ході елементарних перетворень.

Виконуємо зворотний хід, в оформленні прикладів часто не переписують саму систему, а рівняння "беруть прямо з наведеної матриці". Зворотний хід, нагадую, працює «знизу нагору». У цьому прикладі вийшов подарунок:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, отже x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Відповідь: x 1 = -1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Вирішимо цю саму систему за запропонованим алгоритмом. Отримуємо

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Розділимо друге рівняння на 5, а третє – на 3. Отримаємо:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Помножимо друге та третє рівняння на 4, отримаємо:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Віднімемо з другого та третього рівнянь перше рівняння, маємо:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Розділимо третє рівняння на 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Помножимо третє рівняння на 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Віднімемо з третього рівняння друге, отримаємо «ступінчасту» розширену матрицю:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Таким чином, так як у процесі обчислень накопичувалася похибка, одержуємо х 3 = 0,96 або приблизно 1.

х 2 = 3 та х 1 = -1.

Вирішуючи таким чином, Ви ніколи не заплутаєтеся у обчисленнях і не дивлячись на похибки обчислень, отримаєте результат.

Такий спосіб вирішення системи лінійних рівнянь алгебри легко програмуємо і не враховує специфічні особливостікоефіцієнтів за невідомих, адже на практиці (в економічних та технічних розрахунках) доводиться мати справу саме з нецілими коефіцієнтами.

Бажаю успіхів! До зустрічі на заняттях! Репетитор Дмитро Айстраханов.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Вирішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса.Нехай нам потрібно знайти рішення системи з nлінійних рівнянь з nневідомими змінними
визначник основної матриці якої відмінний від нуля.

Суть методу Гаусаполягає у послідовному виключенні невідомих змінних: спочатку виключається x 1з усіх рівнянь системи, починаючи з другого, далі виключається x 2з усіх рівнянь, починаючи з третього, і так далі, поки в останньому рівнянні залишиться лише невідома змінна x n. Такий процес перетворення рівнянь системи для послідовного виключенняневідомих змінних називається прямим ходом методу Гауса. Після завершення прямого ходу методу Гауса з останнього рівняння перебуває x n, за допомогою цього значення з передостаннього рівняння обчислюється x n-1, і так далі, з першого рівняння знаходиться x 1. Процес обчислення невідомих змінних під час руху від останнього рівняння системи до першого називається зворотним ходом методу Гауса.

Коротко опишемо алгоритм виключення невідомих змінних.

Вважатимемо, що , оскільки ми можемо цього домогтися перестановкою місцями рівнянь системи. Виключимо невідому змінну x 1із усіх рівнянь системи, починаючи з другого. Для цього до другого рівняння системи додамо перше, помножене на , до третього рівняння додамо перше, помножене на , і так далі, до n-омурівняння додамо перше, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а .

До такого ж результату ми дійшли б, якби висловили x 1через інші невідомі змінні у першому рівнянні системи та отриманий вираз підставили у всі інші рівняння. Таким чином, змінна x 1виключена зі всіх рівнянь, починаючи з другого.

Далі діємо аналогічно, але лише з частиною отриманої системи, яка зазначена на малюнку

Для цього до третього рівняння системи додамо друге, помножене на , до четвертого рівняння додамо друге, помножене на , і так далі, до n-омурівняння додамо друге, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а . Таким чином, змінна x 2виключена зі всіх рівнянь, починаючи з третього.

Далі приступаємо до виключення невідомої x 3, при цьому діємо аналогічно із зазначеною на малюнку частиною системи

Так продовжуємо прямий хід методу Гаусса доки система не набуде вигляду

З цього моменту починаємо зворотний хід методу Гауса: обчислюємо x nз останнього рівняння як , за допомогою отриманого значення x nзнаходимо x n-1з передостаннього рівняння, і так далі знаходимо x 1з першого рівняння.

приклад.

Розв'яжіть систему лінійних рівнянь методом Гауса.

1. Система лінійних рівнянь алгебри

1.1 Поняття системи лінійних рівнянь алгебри

Система рівнянь – це умова, яка полягає у одночасному виконанні кількох рівнянь щодо кількох змінних. Системою лінійних рівнянь алгебри (далі – СЛАУ), що містить m рівнянь і n невідомих, називається система виду:

де числа a ij називаються коефіцієнтами системи, числа b i – вільними членами, a ijі b i(i=1,…, m; b=1,…, n) є деякі відомі числа, а x 1 ,…, x n- Невідомі. У позначенні коефіцієнтів a ijперший індекс i означає номер рівняння, а другий j – номер невідомого, при якому стоїть цей коефіцієнт. Підлягають знаходженню числа xn. Таку систему зручно записувати у компактній матричній формі: AX=B.Тут А - матриця коефіцієнтів системи, яка називається основною матрицею;

- Вектор стовпець з невідомих xj.
– вектор-стовпець із вільних членів bi.

Добуток матриць А*Х визначено, оскільки у матриці А стовпців стільки ж, скільки рядків у матриці Х (n штук).

Розширеною матрицею системи називається матриця A системи, доповнена стовпцем вільних членів

1.2 Розв'язання системи лінійних рівнянь алгебри

Рішенням системи рівнянь називається впорядкований набір чисел (значень змінних), при підстановці яких замість змінних кожне із рівнянь системи перетворюється на правильну рівність.

Рішенням системи називається n значень невідомих х1 = c1, x2 = c2, ..., xn = cn, при підстановці яких усі рівняння системи звертаються у вірні рівності. Будь-яке рішення системи можна записати у вигляді матриці-стовпця

Система рівнянь називається спільною, якщо вона має хоча б одне рішення, і несумісною, якщо вона не має жодного рішення.

Спільна система називається певною, якщо вона має єдине рішення, та невизначеною, якщо вона має більше одного рішення. У разі кожне її рішення називається приватним рішенням системи. Сукупність всіх окремих рішень називається загальним рішенням.

Вирішити систему – це означає з'ясувати, спільна вона чи несовместна. Якщо система спільна, знайти її спільне рішення.

Дві системи називаються еквівалентними (рівносильними), якщо вони мають те саме загальне рішення. Іншими словами, системи еквівалентні, якщо кожне рішення однієї з них є рішенням іншої, і навпаки.

Перетворення, застосування якого перетворює систему на нову систему, еквівалентну вихідної, називається еквівалентним або рівносильним перетворенням. Прикладами еквівалентних перетворень можуть бути такі перетворення: перестановка місцями двох рівнянь системи, перестановка місцями двох невідомих разом із коефіцієнтами в усіх рівнянь, множення обох частин будь-якого рівняння системи відмінне від нуля число.

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо всі вільні члени дорівнюють нулю:

Однорідна система завжди спільна, тому що x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0 є рішенням системи. Це рішення називається нульовим чи тривіальним.

2. Метод виключення Гауса

2.1 Сутність методу виключення Гауса

Класичним методом вирішення систем лінійних рівнянь алгебри є метод послідовного виключення невідомих – метод Гауса(його ще називають методом гаусових винятків). Це метод послідовного виключення змінних, коли за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівносильної системи ступінчастого (або трикутного) виду, з якого послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, є всі інші змінні.

Процес рішення за методом Гауса складається з двох етапів: прямий та зворотний ходи.

1. Прямий хід.

На першому етапі здійснюється так званий прямий хід, коли шляхом елементарних перетворень над рядками систему призводять до ступінчастої або трикутної форми, або встановлюють, що система несумісна. А саме, серед елементів першого стовпця матриці вибирають ненульовий, переміщують його на крайнє верхнє положення перестановкою рядків і віднімають перший рядок, що вийшов після перестановки, з інших рядків, домноживши її на величину, рівну відношенню першого елемента кожного з цих рядків до першого елемента першого рядка, обнуляя цим стовпець під ним.

Після того, як зазначені перетворення були здійснені, перший рядок і перший стовпець подумки викреслюють і продовжують доки залишиться матриця нульового розміру. Якщо на якійсь із ітерацій серед елементів першого стовпця не знайшовся ненульовий, то переходять до наступного стовпця і роблять аналогічну операцію.

У першому етапі (прямий хід) система наводиться до ступінчастому (зокрема, трикутному) виду.

Наведена нижче система має ступінчастий вигляд:

,

Коефіцієнти aii називаються головними (провідними) елементами системи.

(якщо a11=0, переставимо рядки матриці так, щоб a 11 не дорівнював 0. Це завжди можливо, тому що в іншому випадку матриця містить нульовий стовпець, її визначник дорівнює нулю і система несумісна).

Перетворимо систему, виключивши невідоме х1 у всіх рівняннях, крім першого (використовуючи елементарні перетворення системи). Для цього помножимо обидві частини першого рівняння на

і складемо почленно з другим рівнянням системи (або другого рівняння почленно віднімемо перше, помножене на ). Потім помножимо обидві частини першого рівняння і складемо з третім рівнянням системи (або з третього почленно віднімемо перше, помножене на ). Таким чином, послідовно множимо перший рядок на число і додаємо до i-й рядку, для i= 2, 3, …,n.

Продовжуючи цей процес, отримаємо еквівалентну систему:

– нові значення коефіцієнтів при невідомих та вільні члени в останніх m-1 рівняннях системи, що визначаються формулами:

Таким чином, на першому кроці знищуються всі коефіцієнти, що лежать під першим провідним елементом a 11

0 на другому кроці знищуються елементи, що лежать під другим провідним елементом а 22 (1) (якщо a 22 (1) 0) і т.д. Продовжуючи цей процес і далі, ми нарешті на (m-1) кроці наведемо вихідну систему до трикутної системи.

Якщо процесі приведення системи до ступінчастому виду з'являться нульові рівняння, тобто. рівності виду 0=0 їх відкидають. Якщо ж з'явиться рівняння виду

то це свідчить про несумісність системи.

У цьому прямий хід методу Гаусса закінчується.

2. Зворотний перебіг.

На другому етапі здійснюється так званий зворотний хід, суть якого полягає в тому, щоб висловити всі базисні змінні через небазисні і побудувати фундаментальну систему рішень, або, якщо всі змінні є базисними, то висловити в чисельному вигляді єдине рішення системи лінійних рівнянь.

Ця процедура починається з останнього рівняння, з якого виражають відповідну базисну змінну (вона в ньому всього одна) і підставляють у попередні рівняння, і так далі, піднімаючись «сходинками» нагору.

Кожному рядку відповідає рівно одна базисна змінна, тому на кожному кроці, крім останнього (найвищого), ситуація точно повторює випадок останнього рядка.

Примітка: практично зручніше працювати не з системою, а з розширеною її матрицею, виконуючи всі елементарні перетворення над її рядками. Зручно, щоб коефіцієнт a11 дорівнював 1 (рівняння переставити місцями, або розділити обидві частини рівняння на a11).

2.2 Приклади рішення СЛАУ методом Гаусса

У цьому розділі на трьох різних прикладах покажемо, як методом Гауса можна вирішити СЛАУ.

Приклад 1. Вирішити СЛАУ 3-го порядку.

Обнулили коефіцієнти при

у другому та третьому рядках. Для цього домножимо їх на 2/3 та 1 відповідно і складемо з першим рядком:

Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо безліч їх рішень збігається.

Елементарні перетворення системи рівнянь – це:

1. Викреслення із системи очевидних рівнянь, тобто. таких, у яких всі коефіцієнти дорівнюють нулю;
2. Розмноження будь-якого рівняння на число, відмінне від нуля;
3. Додаток до будь-якого i-го рівняння будь-якого j-то рівняння, помноженого на будь-яке число.

Змінна x i називається вільною, якщо ця змінна не є дозволеною, а вся система рівнянь є дозволеною.

Теорема. Елементарні перетворення переводять систему рівнянь на рівносильну.

Сенс методу Гаусса у тому, щоб перетворити вихідну систему рівнянь і отримати рівносильну дозволену чи рівносильну несовместную систему.

Отже, метод Гауса складається з наступних кроків:

1. Розглянемо перше рівняння. Виберемо перший ненульовий коефіцієнт та розділимо все рівняння на нього. Отримаємо рівняння, яке деяка змінна x i входить з коефіцієнтом 1;
2. Віднімемо це рівняння з усіх інших, множачи його на такі числа, щоб коефіцієнти при змінній x i в інших рівняннях обнулилися. Отримаємо систему, дозволену щодо змінної x i і рівносильну вихідної;
3. Якщо виникають тривіальні рівняння (рідко, але буває; наприклад, 0 = 0), викреслюємо їх із системи. Внаслідок рівнянь стає на одне менше;
4. Повторюємо попередні кроки трохи більше n разів, де n - число рівнянь у системі. Щоразу вибираємо для «обробки» нову змінну. Якщо виникають суперечливі рівняння (наприклад, 0 = 8) система несумісна.

У результаті за кілька кроків отримаємо або дозволену систему (можливо, з вільними змінними), або несовместную. Дозволені системи розпадаються на два випадки:

1. Число змінних дорівнює числу рівнянь. Отже, систему визначено;
2. Число змінних більше числарівнянь. Збираємо всі вільні змінні праворуч – отримуємо формули для дозволених змінних. Ці формули так і записуються у відповідь.

От і все! Система лінійних рівнянь вирішена! Це досить простий алгоритм, і для його освоєння вам не обов'язково звертатися до репетитора з математики. Розглянемо приклад:

Завдання. Розв'язати систему рівнянь:

Опис кроків:

1. Віднімаємо перше рівняння з другого та третього - отримаємо дозволену змінну x 1;
2. Помножуємо друге рівняння на (−1), а третє рівняння ділимо на (−3) – отримаємо два рівняння, у яких змінна x 2 входить із коефіцієнтом 1;
3. Додаємо друге рівняння до першого, а з третього – віднімаємо. Отримаємо дозволену змінну x 2;
4. Нарешті, віднімаємо третє рівняння з першого - отримуємо дозволену змінну x 3;
5. Отримали дозволену систему, записуємо відповідь.

Спільне рішення спільної системилінійних рівнянь - це нова система, рівносильна вихідної, в якій всі дозволені змінні виражені через вільні.

Коли може знадобитися рішення? Якщо доводиться робити менше кроків, ніж k (k - це скільки всього рівнянь). Однак причин, через які процес закінчується на деякому кроці l< k , может быть две:

1. Після l-го кроку вийшла система, яка містить рівняння з номером (l + 1). Насправді, це добре, т.к. дозволена система все одно отримана – навіть на кілька кроків раніше.
2. Після l -го кроку отримали рівняння, у якому всі коефіцієнти при змінних дорівнюють нулю, а вільний коефіцієнт відмінний від нуля. Це суперечливе рівняння, отже, система несовместна.

Важливо розуміти, що виникнення суперечливого рівняння методом Гаусса - це достатня підстава несумісності. При цьому зауважимо, що в результаті l-го кроку не може залишитися тривіальних рівнянь - всі вони викреслюються у процесі.

Опис кроків:

1. Віднімаємо перше рівняння, помножене на 4, з другого. А також додаємо перше рівняння до третього - отримаємо дозволену змінну x 1;
2. Віднімаємо третє рівняння, помножене на 2, з другого – отримаємо суперечливе рівняння 0 = −5.

Отже, система несумісна, оскільки виявлено суперечливе рівняння.

Завдання. Дослідити спільність та знайти загальне рішення системи:

Опис кроків:

1. Віднімаємо перше рівняння з другого (попередньо помноживши на два) і третього - отримаємо дозволену змінну x 1;
2. Віднімаємо друге рівняння з третього. Оскільки всі коефіцієнти цих рівняннях збігаються, третє рівняння перетвориться на тривіальне. Заодно помножимо друге рівняння на (-1);
3. Віднімаємо з першого рівняння друге - отримаємо дозволену змінну x 2 . Вся система рівнянь тепер також дозволена;
4. Оскільки змінні x 3 і x 4 - вільні, переносимо їх праворуч, щоб висловити дозволені змінні. Це є відповідь.

Отже, система спільна і невизначена, оскільки є дві дозволені змінні (x 1 і x 2) і дві вільні (x 3 і x 4).

Метод Гаусачудово підходить для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ). Він має низку переваг у порівнянні з іншими методами:

• по-перше, немає потреби попередньо дослідити систему рівнянь на спільність;
• по-друге, методом Гаусса можна вирішувати не тільки СЛАУ, в яких кількість рівнянь збігається з кількістю невідомих змінних та основна матриця системи невироджена, але й системи рівнянь, у яких кількість рівнянь не збігається з кількістю невідомих змінних або визначник основної матриці дорівнює нулю;
• по-третє, метод Гауса призводить до результату при порівняно невеликій кількості обчислювальних операцій.

Короткий огляд статті.

Спочатку дамо необхідні визначення та введемо позначення.

Далі опишемо алгоритм методу Гауса для найпростішого випадку, тобто, для систем лінійних рівнянь алгебри, кількість рівнянь в яких збігається з кількістю невідомих змінних і визначник основної матриці системи не дорівнює нулю. При вирішенні таких систем рівнянь найвиразніше видно суть методу Гаусса, яка полягає у послідовному виключенні невідомих змінних. Тому метод Гауса також називають методом послідовного виключення невідомих. Покажемо докладні рішеннякількох прикладів.

У висновку розглянемо рішення методом Гауса систем лінійних рівнянь алгебри, основна матриця яких або прямокутна, або вироджена. Рішення таких систем має деякі особливості, які ми розберемо на прикладах.

Навігація на сторінці.

Основні визначення та позначення.

Розглянемо систему з p лінійних рівнянь з n невідомими (p може дорівнювати n ):

Де – невідомі змінні, – числа (дійсні чи комплексні), – вільні члени.

Якщо , то система лінійних рівнянь алгебри називається однорідний, в іншому випадку - неоднорідний.

Сукупність значення невідомих змінних , у яких всі рівняння системи перетворюються на тотожності, називається рішенням СЛАУ.

Якщо існує хоча б одне рішення системи лінійних рівнянь алгебри, то вона називається спільної, в іншому випадку - несумісний.

Якщо СЛАУ має єдине рішення, вона називається певною. Якщо рішень більше одного, то система називається невизначеною.

Кажуть, що система записана у координатної формиякщо вона має вигляд
.

Ця система в матричній формізапису має вигляд , де - основна матриця СЛАУ; - матриця стовпець невідомих змінних; - матриця вільних членів.

Якщо до матриці А додати як (n+1)-ого ​​стовпця матрицю-стовпець вільних членів, то отримаємо так звану розширену матрицюсистеми лінійних рівнянь Зазвичай розширену матрицю позначають буквою Т , а стовпець вільних членів відокремлюють вертикальною лінією від інших стовпців, тобто,

Квадратна матриця А називається виродженоюякщо її визначник дорівнює нулю. Якщо , то матриця А називається невиродженою.

Слід зазначити наступний момент.

Якщо з системою лінійних рівнянь алгебри зробити наступні дії

• поміняти місцями два рівняння,
• помножити обидві частини будь-якого рівняння на довільне та відмінне від нуля дійсне (або комплексне) число k ,
• до обох частин якогось рівняння додати відповідні частини іншого рівняння, помножені на довільне число k ,

то вийде еквівалентна система, яка має такі ж рішення (або як і вихідна не має рішень).

Для розширеної матриці системи лінійних рівнянь алгебри ці дії означатимуть проведення елементарних перетворень з рядками:

• перестановку двох рядків місцями,
• множення всіх елементів будь-якого рядка матриці T на відмінне від нуля число k ,
• додавання до елементів якогось рядка матриці відповідних елементів іншого рядка, помножених на довільне число k .

Тепер можна переходити до опису методу Гаусса.

Рішення систем лінійних рівнянь алгебри, в яких число рівнянь дорівнює числу невідомих і основна матриця системи невироджена, методом Гаусса.

Як би ми вчинили у школі, якби отримали завдання знайти рішення системи рівнянь .

Деякі зробили б так.

Зауважимо, що додавши до лівої частини другого рівняння ліву частину першого, а до правої частини - праву, можна позбутися невідомих змінних x 2 і x 3 і відразу знайти x 1 :

Підставляємо знайдене значення x 1 =1 у перше та третє рівняння системи:

Якщо помножити обидві частини третього рівняння системи на -1 і додати їх до відповідних частин першого рівняння, ми позбудемося невідомої змінної x 3 і зможемо знайти x 2 :

Підставляємо отримане значення x 2 =2 в третє рівняння і знаходимо невідому змінну x 3 :

Інші вчинили б інакше.

Дозволимо перше рівняння системи щодо невідомої змінної x 1 і підставимо отриманий вираз у друге та третє рівняння системи, щоб виключити з них цю змінну:

Тепер розв'яжемо друге рівняння системи щодо x 2 і підставимо отриманий результат у третє рівняння, щоб виключити з нього невідому змінну x 2 :

З третього рівняння системи видно, що х 3 =3. З другого рівняння знаходимо , та якщо з першого рівняння отримуємо .

Знайомі способи рішення, чи не так?

Найцікавіше тут те, що другий спосіб рішення по суті і є методом послідовного виключення невідомих, тобто методом Гауса. Коли ми висловлювали невідомі змінні (спочатку x 1 , наступному етапі x 2 ) і підставляли в інші рівняння системи, тим самим виключали їх. Виняток ми проводили до того моменту, поки в останньому рівнянні не залишилася єдина невідома змінна. Процес послідовного виключення невідомих називається прямим ходом методу Гауса. Після завершення прямого ходу у нас з'являється можливість обчислити невідому змінну, яка знаходиться в останньому рівнянні. З її допомогою з передостаннього рівняння знаходимо наступну невідому змінну тощо. Процес послідовного знаходження невідомих змінних під час руху від останнього рівняння до першого називається зворотним ходом методу Гауса.

Слід зазначити, що коли ми висловлюємо х 1 через х 2 і х 3 у першому рівнянні, а потім підставляємо отриманий вираз у друге і третє рівняння, то до такого ж результату наводять такі дії:

Справді, така процедура також дозволяє виключити невідому змінну x 1 із другого та третього рівнянь системи:

Нюанси за винятком невідомих змінних за методом Гаусса виникають тоді, коли рівняння системи не містять деяких змінних.

Наприклад, у СЛАУ у першому рівнянні відсутня невідома змінна x 1 (іншими словами, коефіцієнт перед нею дорівнює нулю). Тому ми можемо дозволити перше рівняння системи щодо x 1 , щоб унеможливити цю невідому змінну з інших рівнянь. Виходом із цієї ситуації є перестановка місцями рівнянь системи. Так як ми розглядаємо системи лінійних рівнянь, визначники основних матриць яких відмінні від нуля, то завжди існує рівняння, в якому є потрібна нам змінна, і ми це рівняння можемо переставити на потрібну нам позицію. Для нашого прикладу достатньо поміняти місцями перше та друге рівняння системи , Далі можна дозволити перше рівняння щодо x 1 і виключити її з інших рівнянь системи (хоча в другому рівнянні x 1 вже немає).

Сподіваємося, що суть Ви вловили.

Опишемо алгоритм методу Гауса.

Нехай нам потрібно вирішити систему з n лінійних рівнянь алгебри з n невідомими змінними виду і нехай визначник її основної матриці відмінний від нуля.

Вважатимемо, що , оскільки ми можемо цього домогтися перестановкою місцями рівнянь системи. Виключимо невідому змінну x 1 зі всіх рівнянь системи, починаючи з другого. Для цього до другого рівняння системи додамо перше, помножене на , до третього рівняння додамо перше, помножене на , і так далі, до n-го рівняння додамо перше, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а .

До такого ж результату ми дійшли б, якби виразили x 1 через інші невідомі змінні в першому рівнянні системи і отриманий вираз підставили у всі інші рівняння. Таким чином, змінна x 1 виключена зі всіх рівнянь, починаючи з другого.

Далі діємо аналогічно, але лише з частиною отриманої системи, яка зазначена на малюнку

Для цього до третього рівняння системи додамо друге, помножене на , до четвертого рівняння додамо друге, помножене на , і так далі, до n-го рівняння додамо друге, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а . Таким чином, змінна x 2 виключена зі всіх рівнянь, починаючи з третього.

Далі приступаємо до виключення невідомої x 3 при цьому діємо аналогічно з зазначеною на малюнку частиною системи

Так продовжуємо прямий хід методу Гаусса доки система не набуде вигляду

З цього моменту починаємо зворотний хід методу Гауса: обчислюємо x n з останнього рівняння як за допомогою отриманого значення x n знаходимо x n-1 з передостаннього рівняння, і так далі, знаходимо x 1 з першого рівняння.

Розберемо алгоритм з прикладу.

приклад.

методом Гауса.

Рішення.

p align="justify"> Коефіцієнт a 11 відмінний від нуля, так що приступимо до прямого ходу методу Гаусса, тобто, до виключення невідомої змінної x 1 з усіх рівнянь системи, крім першого. Для цього до лівої та правої частин другого, третього та четвертого рівняння додамо ліву та праву частини першого рівняння, помножені відповідно на , і :

Невідому змінну x 1 виключили, переходимо до виключення x 2 . До лівих та правих частин третього та четвертого рівнянь системи додаємо ліву та праву частини другого рівняння, помножені відповідно на і :

Для завершення прямого ходу методу Гауса нам залишилося виключити невідому змінну x 3 з останнього рівняння системи. Додамо до лівої та правої частин четвертого рівняння відповідно ліву та праву частинутретього рівняння, помножену на :

Можна розпочинати зворотний хід методу Гаусса.

З останнього рівняння маємо ,
з третього рівняння отримуємо ,
з другого,
з першого.

Для перевірки можна підставити отримані значення невідомих змінних вихідну систему рівнянь. Всі рівняння звертаються до тотожності, що говорить про те, що рішення за методом Гауса знайдено правильно.

Відповідь:

Нині ж наведемо рішення цього прикладу методом Гаусса в матричної формі записи.

приклад.

Знайдіть розв'язок системи рівнянь методом Гауса.

Рішення.

Розширена матриця системи має вигляд . Зверху над кожним стовпцем записані невідомі змінні, яким відповідають елементи матриці.

Прямий хід методу Гаусса тут передбачає приведення розширеної матриці системи до трапецеїдальний вид за допомогою елементарних перетворень. Цей процес схожий із винятком невідомих змінних, яке ми проводили із системою в координатній формі. Зараз Ви в цьому переконаєтесь.

Перетворимо матрицю так, щоб усі елементи в першому стовпці, починаючи з другого, стали нульовими. Для цього до елементів другого, третього та четвертого рядків додамо відповідні елементи першого рядка помножені на , і відповідно:

Далі отриману матрицю перетворимо так, щоб у другому стовпці всі елементи, починаючи з третього, стали нульовими. Це відповідатиме виключенню невідомої змінної x 2 . Для цього до елементів третього та четвертого рядків додамо відповідні елементи першого рядка матриці, помножені відповідно на і :

Залишилося виключити невідому змінну x 3 із останнього рівняння системи. Для цього до елементів останнього рядка отриманої матриці додамо відповідні елементи передостаннього рядка, помножені на :

Слід зазначити, що ця матриця відповідає системі лінійних рівнянь

яка була отримана раніше після прямого ходу.

Настав час зворотного ходу. У матричній формі запису зворотний хід методу Гауса передбачає таке перетворення отриманої матриці, щоб матриця, зазначена на малюнку

стала діагональною, тобто, набула вигляду

де – деякі числа.

Ці перетворення аналогічні перетворенням прямого ходу методу Гаусса, але виконуються не від першого рядка до останнього, а від останнього до першого.

Додамо до елементів третього, другого та першого рядків відповідні елементи останнього рядка, помножені на , на та на відповідно:

Тепер додамо до елементів другого та першого рядків відповідні елементи третього рядка, помножені на і відповідно:

на останньому кроцізворотного ходу методу Гауса до елементів першого рядка додаємо відповідні елементи другого рядка, помножені на :

Отримана матриця відповідає системі рівнянь , звідки знаходимо невідомі змінні

Відповідь:

ЗВЕРНІТЬ УВАГУ.

При використанні методу Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри слід уникати наближених обчислень, так як це може призвести до абсолютно невірних результатів. Рекомендуємо не округляти десяткові дроби. Краще від десяткових дробівпереходити до звичайним дробам.

приклад.

Розв'яжіть систему з трьох рівнянь методом Гауса .

Рішення.

Зазначимо, що в цьому прикладі невідомі змінні мають інше позначення (не x 1 x 2 x 3 а x, y, z). Перейдемо до звичайних дробів:

Виключимо невідому x з другого та третього рівнянь системи:

У отриманій системі у другому рівнянні відсутня невідома змінна y , а третьому рівнянні y присутня, тому, переставимо місцями друге і третє рівняння:

На цьому прямий хід методу Гауса закінчено (з третього рівняння не потрібно виключати y, оскільки цієї невідомої змінної вже немає).

Приступаємо до зворотного ходу.

З останнього рівняння знаходимо ,
з передостаннього


з першого рівняння маємо

Відповідь:

X = 10, y = 5, z = -20.

Рішення систем лінійних рівнянь алгебри, в яких число рівнянь не збігається з числом невідомих або основна матриця системи вироджена, методом Гаусса.

Системи рівнянь, основна матриця яких прямокутна або квадратна вироджена, можуть мати рішень, можуть мати єдине рішення, а можуть мати безліч рішень.

Зараз ми розберемося, як метод Гауса дозволяє встановити спільність чи несумісність системи лінійних рівнянь, а разі її спільності визначити всі рішення (чи одне єдине рішення).

У принципі, процес виключення невідомих змінних у разі таких СЛАУ залишається таким самим. Однак слід докладно зупинитись на деяких ситуаціях, які можуть виникнути.

Переходимо до найважливішого етапу.

Отже, припустимо, що система лінійних рівнянь алгебри після завершення прямого ходу методу Гаусса набула вигляду і жодне рівняння не звелося до (у цьому випадку ми зробили б висновок про несумісність системи). Виникає логічне питання: Що робити далі?

Випишемо невідомі змінні, які стоять на першому місці всіх рівнянь отриманої системи:

У прикладі це x 1 , x 4 і x 5 . У лівих частинах рівнянь системи залишаємо лише ті доданки, які містять виписані невідомі змінні x 1 , x 4 і x 5 , інші доданки переносимо у праву частину рівнянь із протилежним знаком:

Надамо невідомим змінним, які перебувають у правих частинах рівнянь, довільні значення , де - довільні числа:

Після цього в правих частинах всіх рівнянь нашої СЛАУ знаходяться числа і можна починати зворотний хід методу Гауса.

З останнього рівнянь системи маємо, з передостаннього рівняння знаходимо, з першого рівняння отримуємо

Рішенням системи рівнянь є сукупність значень невідомих змінних

Надаючи числам різні значення, ми будемо отримувати різні рішеннясистеми рівнянь. Тобто наша система рівнянь має безліч рішень.

Відповідь:

де - Довільні числа.

Для закріплення матеріалу докладно розберемо рішення ще кількох прикладів.

приклад.

Вирішіть однорідну системулінійних рівнянь алгебри методом Гауса.

Рішення.

Виключимо невідому змінну x з другого та третього рівнянь системи. Для цього до лівої та правої частини другого рівняння додамо відповідно ліву та праву частини першого рівняння, помножені на , а до лівої та правої частини третього рівняння - ліву та праву частини першого рівняння, помножені на :

Тепер виключимо y із третього рівняння отриманої системи рівнянь:

Отримана СЛАУ рівносильна системі .

Залишаємо в лівій частині рівнянь системи тільки доданки, що містять невідомі змінні x і y, а доданки з невідомою змінною z переносимо в праву частину: